高考函数专题之值域与最值问题答题技巧
高考一轮热点难点精讲与专题07：函数最值与值域妙解
考纲要求 :1、考查求函数单调性和最值的根本方法；求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法．2、会求一些简单函数的定义域和值域.根底知识回忆:函数的最值前提设函数 y＝f ( x)的定义域为 I ，如果存在实数M满足①对于任意 x∈ I ，①对于任意 x∈ I ，都有条件都有 f ( x)≤M； f ( x)≥ m；. ②存在 x0∈ I ，使得②存在 x0∈I ，使得f ( x )＝ M f ( x )＝ m.0 0结论M为最大值m为最小值应用举例 :招数一：换元法与配方法【例 1】求函数y = 4x 6 2x 7( x 0,2 )的最值及取得最值时的x 值.【答案】最小值为2, 此时 , x log2 3，最大值为 2,此时 x 0.那么 y t26t 7t 3 22，其图象是对称轴为t 3 ，开口向上的抛物线。
∵x 0，2，∴t 1，4，∴当 t 2x 3 ，即x log2 3时，y min2 ；当 t 2x 1 ，即 x 0 时，y max 0 。
点睛：1〕二次函数在闭区间上的最值有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动。
不管哪种类型，解决的关键是分清对称轴与区间的关系，并根据函数的图象求解；当条件中含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论。
（2〕二次函数的单调性问题那么主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．【例2】【山东省曲阜师范大学附属中学上学期期末考试】假设实数满足，那么的最小值是〔〕A．B．1C．D．5【答案】 C【例3【】广西钦州市2021 届高三第三次质量检测】定义运算：，那么的最大值为〔〕A．B．C．D．【答案】 D【解析】分析：令，得，即可得到，即可求解其最大值．详解：令，由于，所以，所以，所以其最大值为，应选D．点睛：此题主要考查了函数的新定义运算，二次函数与三角函数的性质，其中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．招数二：图像法【例4】【 2021 年高考数学〔理科，通用版〕练酷专题二轮复习课时跟踪检测】函数 f ( x)＝2x－1，g( x)＝ 1－x2，规定：当 | f ( x)| ≥g( x) 时，h( x) ＝ | A．有最小值－ 1，最大值 1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－ 1，无最大值D．有最大值－ 1，无最小值f ( x)| ；当 | f ( x)|< g( x)时， h( x)＝－ g( x)，那么h( x)( )【答案】 Cx, x 0,2 ，【例 5】【湖南省郴州市2021-2021 学年期末考试】函数f x { 4, x 2,4 .x〔Ⅰ〕画出函数 f x 的大致图象；〔Ⅱ〕写出函数 f x 的最大值和单调递减区间【答案】 (1)见解析(2) f x 的最大值为 2.其单调递减区间为2，4 或 2，4 .招数三：根本不等式法【例 6】【 2021 浙江省金华、 丽水、衢州市十二校联考】 设 minx, y y, x yx, x ，假设定义域为 R 的函数 f ( x) ，yg( x) 满足 f ( x) g( x)2x ，那么minf x ,g x 的最大值为 __________ ．x 28【答案】2 .8【解析】设 minf x ,g xm ，∴m f ( x) 2mf (x) g( x) mx ，显然，当 m 取到m g( x) 2 8xf ( x) g( x)最大值时， x0 ，∴ x8112，∴ m2 ，当且仅当 x 8时等号成立，x282 x 8 88 xxxx x即 m 的最大值是2，故填：2 .88【名师点睛】 一是在使用不等式时， 一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件， 如“同向不等式〞才可相加、“同向且两边同正的不等式〞才可相乘.【例 7】【 2021 河北省武安一中高三月考】求函数y log 3 x log x 3 1的值域 .【答案】 ( －∞，－ 3] ∪[1 ，＋∞ ) ．招数四：单调性法【例 8】设函数 f(x) ＝ 2xx 2 A ．2 B ．3 38C ．3D．8232在区间 [3,4] 上的最大值和最小值分别为M ， m ，那么m＝ ( )M【答案】 D【解析】由题意得f x2 x 4x 在区间 [3,4] 上单调递减，x 2，所以函数 f2 x 2所以 Mf 3 2 4 6, mf 4 24，2 434 2所以m 2 42 8M6．选 D ．31 x【例 9】【山西省太原市实验中学2021 届高三上学期 9 月月考】函数 f ( x ) ＝－log 2( x ＋ 2) 在区间 [ － 1，31] 上的最大值为 ________.【答案】 3【例 10】【山西省榆社中学 2021 届高三诊断性模拟考试】 假设函数在区间 上的最大值为 6，那么_______.【答案】 4【解析】由题意，函数在上为单调递增函数，又，且，所以当时，函数取得最大值，即，因为，所以.【例 11【】山西省太原市实验中学2021 届高三上学期9 月月考】函数 f ( x ) ＝2 －a的定义域为 (0 ，1](axx为实数 ).(1)当 a＝1时，求函数 y＝ f ( x)的值域；(2) 求函数y＝ f ( x)在区间(0 ， 1] 上的最大值及最小值，并求出当函数 f ( x)取得最值时x 的值. 【答案】(1) ( －∞，1]. (2) 见解析【解析】试题分析：〔 1〕将 a 的值代入函数解析式，利用定义证明函数的单调性，从而求出函数的值域；〔 2〕通过对 a 的讨论，判断出函数在〔0， 1] 上的单调性，求出函数的最值．试题解析：(1)当 a＝1时， f ( x)＝2x－，任取1≥x1＞ x2＞0，那么 f ( x1)－ f ( x2)＝2( x1－x2)－＝(x1－x2).∵1≥x 1 2 1 2 1 2＞ 0. ＞ x ＞0，∴ x － x ＞0， x x∴ f ( x1)＞ f ( x2)，∴ f ( x)在(0，1] 上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f ( x) 的值域为 ( －∞， 1].(2) 当a≥0时，y＝f ( x) 在 (0 ， 1] 上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；当 a＜0时， f ( x)＝2x＋，当≥1，即a∈( －∞，－ 2] 时，y＝f ( x) 在 (0 ，1] 上单调递减，无最大值，当 x＝1时取得最小值2－a；当＜ 1，即a∈ ( － 2， 0) 时， y＝ f ( x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.招数五：导数法【例 12】【 2021 年高考数学〔理科，通用版〕练酷专题二轮复习课时跟踪检测】为常数 ) 在[ － 2,2] 上有最大值为3，那么此函数在[ － 2,2] 上的最小值为( )f ( x)＝2x3－6x2＋ m( mA．0B C．－10 ．－ 5 D．－37【答案】 D【例 13】【浙江省宁波市 2021 届高三上学期期末考试】假设函数fxx1在 { x |1x 4, x R} 上x的最大值为 M ，最小值为 m ，那么 M m 〔 〕A ．7B ．2C ．9D ．11444【答案】 C 【解析】f x0, f 1 0, m 0 ， 又 f xx10时，等号成立，故只需求1 x 4 ，且 xx3g x1 4 的最大值，由于 g ' xx 2 2 M max g 1 , g 49 x1 x2x 2 ，故，应选 C.x4方法、规律归纳 :1、函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成局部，研究函数问题必须树立“定义域优先〞的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式( 组 ) 的问题，在解不等式( 组 ) 取交集时可借助于数轴．2、函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的．常用的求解方法有：(1) 根本不等式法，此时要注意其应用的条件；(2) 配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围； (3) 图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出； (4) 换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围；(5) 单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；(6) 导数法求函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大值和最小值 3 步骤①求函数在 ( a ，b ) 内的极值；②求函数在区间端点的函数值 f ( a ) ， f ( b ) ；③将函数f ( x ) 的极值与 f ( ) ， ( ) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．a fb实战演练 :1．【山西省太原市2021 届高三上学期期末考试】函数f xx 1， x 2,5 ，那么 f x 的最大值x 1是 __________ ．【答案】 3【解析】函数 f x 1 2 在2,5 上为减函数，故最大值为 f 2 1 2 3 .x 12．【陕西省 2021 届高三教学质量检测试题】假设函数f x ax b ， x a 4,a 的图像关于原点对称，那么函数 g x bx a4, 1 的值域为 __________．， x【答案】2,x 123．【浙江省杭州市 2021 届高三上学期期末】设函数 f x x2 ax b a,b R ，记M为函数y f x 在 1,1 上的最大值，N 为a b 的最大值.〔〕A．假设M 13B．假设M1N 3 ，那么 N ，那么3 2C．假设M 2，那么N 3D．假设M 3，那么N 3 【答案】 C4．【四川省德阳市2021 届高三二诊】、是函数〔其中常数〕图象上的两个动点，点，假设的最小值为0，那么函数的最大值为〔〕A．B．C．D．【答案】 B【解析】由题，当点、分别位于分段函数的两支上，且直线分别与函数图像相切时，最小，设当时，直线因为点在直线直线上，解得同理可得那么，且函数在上单调递增，在上单调递见，故函数的最大值为.应选 B.5 ．【陕西省延安市黄陵中学2021 届高三〔重点班〕下学期第一次大检测】函数 f x sin2x1，g x2a sinx cosx 4ax ，g x 是 g x 的导数，假设存在x0,，使得 f x g x 成立，2那么实数 a 的取值范围是〔〕A．,1 0, B ．1C ．, 11D．0, , ,2 2【答案】 D6．【河北省定州中学2021 届高三下学期第一次月考】3 e x 1 sin x 13,5 上的假设函数 f x e x 1 在区间最大值、最小值分别为p 、 q ，那么p q 的值为〔〕．A．2 B．1 C．6D．3 【答案】 Cf x 3 e x 1 sin x 1 sin x 1【解析】因为e x 1 3e x 1所以〔f x〕 3 sin x 11〕 3sinxe x 1，〔f xe x因为函数〔f x 1〕 3 为奇函数，所以它在区间4,4 上的最大值、最小值之和为0，也即 p 3 q 3 0 ，所以 p q 67．【吉林省实验中学2021-2021 学年上学期期末考试】定义在R上的函数f x 满足 f x f x 0 ．当x 0 时， f x 4x 8 2x 1．〔Ⅰ〕求 f x 的解析式；〔Ⅱ〕当 x3, 1 时，求 f x 的最大值和最小值．x1 x1 8 1, x 04 2【答案】 ( Ⅰ)f x { 0, x 0 ；( Ⅱ)f x最小值=17 ， f x 最大值1 .4x 8 2x 1, x 01 x 1 x8 1, x 04 2所以 f x { 0, x 0 ．4x 8 2x 1, x 01 x 〔Ⅱ〕令t ，t 2,8 ，那么y t28t 1，对称轴为t 4 2,8，2当 t 4 ，即 x 2 时， f x 最小值 =16 32 1 17 ，当 t 8 ，即 x 3 时， f x 最大值 =64 64 1 1.【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式，一般反用定义如奇函数利用 f x f x ，偶函数利用f ( x0 f x ，但奇函数要注意x 0 处的定义，另外求指数型复合函数的最值时，常用换元法，可以简化函数的形式，转化为其他函数求最值，解题要注意新元的范围.8．【安徽省宿州市2021 届高三上学期第一次教学质量检测】函数(1) 当时求函数的最小值；(2) 假设函数在上恒成立求实数的取值范围..【答案】 (1)4.(2).〔Ⅱ〕由题意得在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，那么在上单调递减，在上单调递增，∴，又，，解得，所以实数的取值范围是．9 ．【 2021 年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】a 0, b 0 ，那么6aba22ab 的最大9b2 b2 a2值是 __________．【答案】 3∴t 2 3∴8t 8 t 2 4t4t又∵ y t 42 3, 上为单调递增在t∴ t 42 34 8 3 tmin 2 3 3∴6ab 2ab的最大值是 839b2 a2 b2 a238 3故答案为 3 .8 3b a点睛：解答此题的关键是将等式化简到a b，再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用对2a23b10a b2勾函数的单调性求出该函数的最值，从而使得问题获解. 形如f x ax b(a 0, b 0) 的函数称为对勾x函数，其单调增区间为, b ， b , ；单调减区间为b,0 ，0, b .a a a a10．【全国名校大联考2021-2021 年度高三第三次联考】假设不等式t a t 2在 t 0,2 上恒成立，t 2 9 t 2 那么 a 的取值范围是__________．【答案】2 ,1 13。
谈谈解答最值问题的四个技巧
备考指南最值问题是高考试题中常见的考点之一.此类问题具有较强的综合性，且命题形式多种多样，在解题过程中若找不到恰当的方法，就会因为复杂冗繁的计算量而浪费大量的时间，甚至得不到正确的答案.如何选择合适的方法，如何灵活运用各个模块的知识，是解答最值问题所需要重点考虑的事情.本文举了四个典型的例题，并对其进行了分析、探究，总结出解答最值问题的技巧，供同学们参考.一、用函数的单调性求最值在求解最值问题时，我们通常可将目标式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，利用函数的单调性来求解最值.在解题时，需根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性求得最值.例1.设a 为实数，求x 2+||x -a +1的最小值.解：设f ()x =x 2+||x -a +1，(1)若x ≤a ，则f ()x =æèöøx -122+a +34，①当a <12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上单调递减，可知函数在(]-∞,a 上的最小值为f ()a =a 2+1；②当a ≥12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上的最小值为f æèöø12=34+a ，且f æèöø12≤f ()a .（2）若x >a ，则f ()x =æèöøx +122-a +34.①当a ≤-12时，则函数f ()x 在éëöø-12,+∞上单调递增，在éëöøa ,-12上单调递减，所以函数在[)a ,+∞上的最小值为f æèöø-12=34-a ，且f æèöø-12≤f ()a ；②当a >-12时，则函数f ()x 在[)a ,+∞上的最小值为f ()a =a 2+1.综上可得，当a ≤-12时，f ()x min =34-a ；当-12<a≤12时，f ()x min =a 2+1；当a >12时，f ()x min =a +34.将目标式看作二次函数式，便可根据x 与a 的大小关系，以及a 与函数对称轴-12的大小关系，确定二次函数的单调性，即可根据二次函数的单调性确定函数的最值.在解题时，需运用运动和变化的观点，构建关于变量、自变量的集合，通过类比、联想、转化的方式构造合适的函数.二、用基本不等式求最值基本不等式a +b 2≥ab ()a >0，b >0主要用于求函数的最值及证明不等式.在运用基本不等式求最值时，需把握“一正”“二定”“三相等”三个条件，重点关注或配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.例2.求y =x +4x的值域.解：①当x >0时，x +4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，②当x <0时，()-x +æèöø-4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，所以x +4x ≤-4，故y =x +4x的值域是(]-∞,-4∪[)4,+∞.由于x 的取值不确定，而运用基本不等式的条件是各式均为正值，于是将x 分为x >0和x <0两种情况，分别运用基本不等式来求最值.三、利用线性规划思想求最值线性规划思想是指求线性约束条件下，目标函数的极值.运用线性规划思想求最值的基本步骤是：①根据题意建立数学模型，并作出可行域；②建立目标函数；③利用图形求出目标函数的最值.例3.已知ìíîïïx -y +2≥0，x +y -4≥0，2x -y -5≤0，求z =x 2+y 2-10y +25的最小值.解：作出可行域，如图中阴影部分所示.将直线x -y +2=0、x +y -4=0、2x -y -5=0两两联立可求出三个顶点的坐标A ()1,3、B ()3,1、C ()7,9，51备考指南而z =x 2+y 2-10y +25=x 2+()y -52表示可行域内任一点()x ,y 到定点M ()0,5的距离的平方，过M 作直线AC易知垂足N 在线段AC 上，则z 的最小值为||MN 2，由点到直线的距离公式可得||MN =，故z 的最小值为||MN 2=92.我们将不等式组看作线性约束条件，画出可行域，便可将问题看作线性规划问题，结合图形寻找到目标函数取得最小值的点，即可利用线性规划思想求得问题的答案.四、利用代数式的几何意义求最值大部分的代数式都有几何意义，如y =x 2表示的是一条抛物线，y =x 表示的是一条直线，y =1x表示的是两条双曲线，等等.在求最值时，可先挖掘代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过寻找图形中的临界情形，如相切、相交等情形，确定目标式的最值.例4.已知x ，y 满足x 225+y 29=1，求()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最值.解：由方程x 225+y29=1易知，该曲线为椭圆，设P ()x ,y 为椭圆上的一点，B (2，2)，则a =5，b =3，c =4，右焦点A (4,0)，左焦点F 1(-4,0)，而||PA +||PB =()x -42+y 2+()x -22+()y -22，根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PA |=10，则|PA |=10-|PF 1|，|PA |＋|PB |=10-|PF 1|+|PB |，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边性质，可得10-|F 1B |≤|PF 1|-|PB |≤10+|F 1B |，又F 1B =210，故10-210≤|PA |+|PB |≤10+210.当且仅当P ，B ，A 共线时等号成立，故()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最大值是10+210，最小值是10-210.解答此题，需将方程x 225+y 29=1看作椭圆，P 看作椭圆上的一个动点，那么目标式表示的是线段||PA +||PB ，问题就变为求两线段和的最大值、最小值.挖掘题目中代数式的几何意义，将问题转化为几何图形问题，利用几何图形的性质以及相关定理、公式即可解题.当然，求最值的方法还有很多，如导数法、转化法等.这就要求让同学们运用发散思维，去寻求、总结更多的解答最值问题的方法.（作者单位：安徽省临泉第二中学）（上接34页）三、引导学生关注时事，点评其中的人与事“文章合为时而著”，在写作教学中，我们要引导学生关注时事，多思考，多评论，让他们走进社会生活，理性地表达自己的观点。
函数的值域与最值知识点梳理、经典例题及解析、近年高考题带答案
函数的值域与最值【考纲说明】1．理解值域和最值的区别与联系，掌握求函数值域和最值的基本方法； 2．通过函数最值求参数的范围，同时解决恒成立问题；【知识梳理】2.函数的值域1、函数值域的概念在函数y=f （x ）中，与自变量x 的值对应的y 值叫做函数值。
函数值的集合叫做函数的值域。
2、确定函数值域的原则（1）当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数y=f （x ）用图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； （3）当函数y=f （x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其解析式唯一确定； （4）当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定； 3、常见函数的值域（1）一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；（2）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），当a>0时值域为]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 （3）反比例函数y=xk（x ≠0）的值域为{}R y y y ∈≠且,0| （4）指数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为),0(+∞。
（5）对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；（6）正弦函数x y sin =,余弦函数x y cos =的值域都是]1,1[-。
（7）正切函数),2(tan Z k k x x y ∈≠=∏+∏其中,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。
3.函数的最值1、函数的最值一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
记作()max 0y f x =一、①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
高考数学冲刺策略函数的值域与最值求解
高考数学冲刺策略函数的值域与最值求解高考数学冲刺策略：函数的值域与最值求解高考数学中，函数的值域与最值问题一直是重点和难点。
在冲刺阶段，掌握有效的求解策略对于提高成绩至关重要。
本文将为同学们详细介绍函数值域与最值的求解方法，并通过实例帮助大家加深理解。
一、函数值域与最值的基本概念首先，我们来明确一下函数值域和最值的定义。
函数的值域是指函数在其定义域内所有可能的输出值的集合。
简单来说，就是当自变量在定义域内取遍所有可能的值时，函数所对应的函数值的范围。
而函数的最值则分为最大值和最小值。
最大值是函数在定义域内所能取得的最大函数值，最小值则是所能取得的最小函数值。
二、常见函数的值域与最值1、一次函数形如 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0）的函数为一次函数。
当 k ＞ 0 时，函数单调递增，值域为 R；当 k ＜ 0 时，函数单调递减，值域也为 R。
2、二次函数二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。
其图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
对于形如 y ＝ a(x h)²＋ k 的顶点式，顶点坐标为（h, k)，当 a ＞ 0 时，函数的最小值为 k；当 a ＜ 0 时，函数的最大值为 k。
3、反比例函数反比例函数 y ＝ k/x（k ≠ 0），其定义域为x ≠ 0。
当 k ＞ 0 时，函数在区间（∞， 0) 和（0, ＋∞）上分别单调递减；当 k ＜ 0 时，函数在区间（∞， 0) 和（0, ＋∞）上分别单调递增。
值域为（∞， 0) ∪（0, ＋∞）。
4、指数函数指数函数 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1），当 a ＞ 1 时，函数在 R 上单调递增，值域为（0, ＋∞）；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数在 R 上单调递减，值域同样为（0, ＋∞）。
5、对数函数对数函数 y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1），其定义域为（0, ＋∞）。
高考数学技巧解决复杂的函数极值和最值问题
高考数学技巧解决复杂的函数极值和最值问题函数极值和最值问题在高考数学中占有重要地位，涉及到函数的最大值、最小值以及极大值、极小值等概念。
这些问题需要我们灵活运用数学知识和技巧来解决。
在本文中，我将介绍一些高考数学技巧，帮助大家解决复杂的函数极值和最值问题。
一、化简与转换在解决函数极值和最值问题时，我们常常会碰到复杂的函数表达式。
这时，我们可以通过化简与转换来简化问题。
具体方法如下：1. 代数化简：利用代数运算的性质，将函数表达式进行化简。
常见的代数化简技巧有因式分解、配方法、合并同类项等。
通过化简，我们可以得到更简洁的函数表达式，便于后续的处理。
2. 函数性质转化：对于一些特殊类型的函数，我们可以利用其性质进行转化。
比如，对于幂函数，可以利用对数函数的性质进行转化；对于三角函数，可以利用三角函数的周期性进行转化。
通过函数性质的转化，我们可以将原问题转化为更简单的形式，进而解决问题。
二、求导与判定求导是解决函数极值和最值问题的常用技巧。
通过求导，我们可以确定函数的增减性和极值点。
具体方法如下：1. 求导：首先，我们需要求出函数的导数。
对于一元函数，我们可以直接对函数进行求导；对于多元函数，我们需要利用偏导数的概念进行求导。
求导的结果是一个新的函数，表示了原函数的变化率。
2. 极值判定：通过求导，我们可以判定函数的增减性和极值点。
当导数为0或不存在时，表明函数可能存在极值点。
通过对导数符号的分析，我们可以确定极值点的位置和类型。
例如，导数从正变负时，函数可能存在极大值点；导数从负变正时，函数可能存在极小值点。
三、辅助图像与辅助直线辅助图像和辅助直线是解决函数极值和最值问题的有效工具。
通过绘制图像和直线，我们可以直观地理解问题，确定问题的范围和性质。
具体方法如下：1. 绘制函数图像：通过绘制函数的图像，我们可以观察函数的变化趋势和特点。
特别是对于一些特殊的函数，如三角函数、指数函数等，其图像可以揭示函数的周期性、单调性等性质。
高中数学函数最值问题的求解思路与实例分析
高中数学函数最值问题的求解思路与实例分析在高中数学中，函数最值问题是一个常见且重要的考点。
解决这类问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。
本文将从求解思路和实例分析两个方面，详细介绍高中数学函数最值问题的解题方法。
一、求解思路要解决函数最值问题，首先需要明确函数的定义域和值域。
在明确了函数的定义域和值域后，我们可以采取以下步骤来求解函数的最值问题。
1. 找出函数的极值点函数的极值点是函数取得最大值或最小值的点。
要找出函数的极值点，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。
再将这些横坐标代入原函数中，求出对应的纵坐标，即可得到函数的极值点。
2. 检查边界点边界点是函数定义域的端点。
在求解函数的最值问题时，需要检查边界点是否可能成为函数的最值点。
将边界点代入函数中，与已经求得的极值点进行比较，找出最大值或最小值。
3. 比较极值点和边界点的大小将已经求得的极值点和边界点进行比较，找出其中的最大值或最小值。
这个值就是函数的最大值或最小值。
二、实例分析为了更好地理解函数最值问题的解题方法，我们来看一个具体的例子。
例题：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值和最小值。
解题步骤：1. 求导数f'(x) = 6x^2 - 6x - 122. 求极值点的横坐标令f'(x) = 0，解方程得到x = -1和x = 3。
3. 求极值点的纵坐标将x = -1和x = 3代入原函数f(x)中，得到f(-1) = -8和f(3) = -32。
4. 检查边界点由于函数没有明确的定义域，我们需要检查函数的值域。
当x趋于正无穷大时，f(x)也趋于正无穷大；当x趋于负无穷大时，f(x)也趋于负无穷大。
因此，函数的边界点为正负无穷大。
5. 比较极值点和边界点的大小将已经求得的极值点和边界点进行比较，发现f(-1) = -8是最小值，f(3) = -32是最大值。
综上所述，函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值为-32，最小值为-8。
高中数学解题方法系列：函数的值域与最值
（一）、最值与值域的高考地位 传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大（或最小），最少的人力、物
力等，均可归结于最值与值域的求解；当今高考数学中的求字母参数的取值范围 问题很大一部分归结于最值与值域的求解
通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的领会，提高运用数 学思想解题的能力。 （二）、最值与值域的关系 1、有的函数知道值域就可以求最值
A
由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求 x ( y) ；②x、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域
【及时反馈】
（1）、求函数 f (x) 2x 4 的值域 x 1
（2）、求函数
f
(x)
3x 5x
4
的值域
法（三）：分离变量法
2
9、最值存在定理：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值
（三）、基本初等函数的定义域与值域
函数名
函数解析式
定义域
值域
一次函数 y kx b(k 0)
R
R
二次函数 y ax 2 bx c(a 0) R
a 0 时，{y | y 4ac b2 } 4a
a 0 时，{y | y 4ac b2 } 4a
R
【-1,1】
{x | x k (kR Z )} 2
（四）、函数的最值与值域的求解技巧
即是求函数值的集合或是找到的 y 的不等式出来（以后者为重）
如：已知函数 f (x) 2x 1， x 0,1,2,3,5则此函数的值域是（ ）
A、9,1,2,3,5；B、 1,1,3；C、 9,1,1,3,5；D、x | 1 x 9
函数的值域与最值知识点归纳
函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。
在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。
本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。
一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。
确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。
2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。
3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。
例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。
二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。
确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。
需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。
2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。
首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。
3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。
需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。
综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。
确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。
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高考函数专题之值域与最值问题答题技巧一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3当y=2时,方程(＊)无解。
∴函数的值域为2＜y≤10/3。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。
常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。
（答案：值域为y≤－8或y>0）。
五．最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x 代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。
对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。
六．图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为－2x+1 (x≤1)y= 3 (-1<x≤2)2x-1(x>2)它的图象如图所示。
显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。
利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。
是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七．单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+√4-x 的值域。
(答案：｛y|y≥3｝)八．换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t=√2x+1 （t≥0）,则x=1/2(t2-1)。
于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1 –x的值域。
（答案：｛y|y≤－3/4｝九．构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。
设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1 。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。
当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。
这是数形结合思想的体现。
练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。
（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。
函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。
（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）十一．利用多项式的除法例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。
（答案：y≠2）十二．不等式法例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知x/(1-x)＞01-x≠0解得，0＜x<1。
∴函数的值域（0，1）。