函数最值与值域 --高中数学

函数的最值与值域【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值.【知识网络】【考点梳理】考点一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值．2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0∆≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4.不等式法：利用均值不等式求最值．5.利用函数的性质求函数的最值6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7.利用导数求函数的最值。

要点诠释：函数的最值与值域 函数的值域函数的最大值函数的最小值(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题:()f x A >在区间D 上恒成立⇔函数min ()()f x A x D >∈ ()f x B <在区间D 上恒成立⇔函数max ()()f x B x D <∈在区间D 上存在实数x 使()f x B <⇔函数min ()()f x B x D <∈ 在区间D 上存在实数x 使()f x A >⇔函数max ()()f x A x D >∈【典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数22()xx x f x e me e -=-+-x me -的最值．【解析】22()()xx x x f x ee m e e --=+-+2()()2xx xxe e m e e --=+-+-令x xt e e -=+（注意t 的范围），这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现22x x -+和1x x -±时，都可以化为二次式． 举一反三：【变式】求函数13y x x =-++的值域．解：平方再开方，得42(1)(3),[3,1]y x x x =+-+∈-[2,22]y ∴∈类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)2-12x y x =+； 1)x ∈[5，10]； 2)x ∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x 2-2x+3； 1)x ∈[-1，1]； 2)x ∈[-2，2]. 【解析】 (1)2(2)-5-5-522x y y x x x+===++Q +2可看作是由左移2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，919[(5),(10)][,]712y f f ∈即； 2)1(-,(1))((-3),)(-)(7)3y f f ∈∞⋃+∞∞⋃+∞即，，； (2)画出草图1)y ∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2)[(1),(-2)][2,11]y f f ∈即. 举一反三：【变式】已知函数13xf (x)13x+=-.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 【解析】(1)13x (3x 1)22f (x)113x 13x 3x 1+--++===----- 1f (x)(-)3∴∞在，上单调递增，在1(,)3+∞上单调递增；(2)1[1,3](,)3⊆+∞故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值5f (3)4=-∴x ∈[1，3]时f(x)的值域为5[2,]4--.类型三、含参类函数的最值与值域问题例3. 已知二次函数f(x)=x 2-(a-1)x+5在区间1(,1)2上是增函数，求： (1)实数a 的取值范围； (2)f(2)的取值范围. 【解析】(1)∵对称轴-12a x =是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需-11222a a ≤∴≤； (2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a ≤2，∴-2a ≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7[)f(2)7,+∴∈∞.举一反三：【变式】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.【解析】2()(2)f x x x=≥单调递减且值域(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，由图象知，若()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.类型四、抽象函数的最值与值域问题例4.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3【答案】B【解析】令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t=+∈ 举一反三：【变式】设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1()(2)f f 的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．18【答案】A【解析】∵2(2)2224f =+-=， ∴211115()()1()(2)4416f f f ==-=.类型五：函数、导数、不等式知识在最值方面的综合应用例5.已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. (1) 求a 、b 的值及函数()f x 的单调区间；(2) 若对[]1,2x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围.【解析】322(1)(),()32f x x ax bx c f x x ax b '=+++=++ 由2124()0,(1)320393f a b f a b ''-=-+==++= 得1,22a b =-=- 2()32(32)(1)f x x x x x '=--=+-，函数()f x 的单调区间如表：所以函数()f x 的递增区间为(,)3-∞-与(1,)+∞；递减区间为(,1)3-. （2）321()22f x x x x c =--+ []1,2x ∈- ，当23x =-时，22()27f x c =+为极大值 而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2()f x c <（[]1,2x ∈-）恒成立，只须2(2)2c f c =+>，解得1c -<或2c >.【总结升华】本题重点考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础知识的综合运用，考查数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.举一反三：【变式】设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++． （Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．【解析】（Ⅰ）221ln 11ln ()(1)(1)1(1)x xf x x x x x x x '=--+=-++++．故当(01)x ∈，时，()0f x '>，(1)x ∈+，∞时，()0f x '<． 所以()f x 在(01)，单调递增，在(1)+，∞单调递减．由此知()f x 在(0)+，∞的极大值为(1)ln 2f =，没有极小值．（Ⅱ）（ⅰ）当0a ≤时，由于[]ln(1)ln(1)ln (1)ln(1)ln ()011x x x x x x x x f x x x+++-++-==>++，故关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0)+，∞．（ⅱ）当0a >时，由ln 1()ln(1)1x f x x x=+++知ln 21(2)ln(1)122n nn nf =+++，其中n 为正整数， 且有22211ln(1)1log (1)222n nn n a e n e +<⇔<-⇔>--．又2n ≥时，ln 2ln 2ln 22ln 2(1)121(11)12n n nn n n n n =<=-+++-，且2ln 24ln 2112a n n n <⇔>+-． 取整数0n 满足202log (1)n n e >--，04ln 21n a>+，且02n ≥， 则0000ln 21(2)ln(1)12222nn n n a af a =++<+=+，即当0a >时，关于x 的不等式()f x a ≥的解集不是(0)+，∞．综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0)+，∞， 且a 的取值范围为(]0-∞，.类型六：函数、不等数与数列知识在最值方面的综合应用例6.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()nS n n N n∈均在函数32y x =-的图像上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .【解析】（I ）依题意得，32,nS n n=-即232n S n n =-. 当2n ≥时，()221(32)312(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦;当1n =时，2113121615a S ==⨯-==⨯-. 所以65()n a n n N *=-∈.（II ）由（I ）得[]131111()(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +===--+--+， 故1111111111(1)()...()(1)277136561261nn b n n n T =⎡⎤-=-+-++-=-⎢⎥-++⎣⎦∑. 因此，使得()11(1)26120m n N n *-<∈+成立的m 必须满足1220m ≤，即10m ≥, 故满足要求的最小整数m 为10.【总结升华】与数列知识结合的函数、不等式,解题时往往以不等式和数列知识结合为工具, 结合函数知识,通过计算和推理来解决问题.举一反三：【变式1】已知函数f(x)=a 1x+a 2x 2+…+a n x n(n∈N *)，且a 1，a 2，a 3，…，a n 构成数列{a n }，又f(1)=n 2．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求证：1)31(<f ． 【解析】（1）由题意：f(1)=a 1+a 2+…+a n =n 2，(n∈N *)n=1时，a 1=1n≥2时，a n =(a 1+a 2+…+a n )-(a 1+a 2+…+a n-1)=n 2-(n-1)2=2n-1 ∴对n∈N *总有a n =2n-1,即数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. (2)21111()13(21)3333nf n =⨯+⨯++-⋅L =)31(31f 1231)12(31)32(311+-+-++⋅n n n n Λ ∴2312111111()12()(21)3333333n n f n +=⋅+++--L 11111213(21)139313n n n -+-=+⋅---1222,33n n ++=- ∴11()1133n n f +=-<【变式2】已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L ，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，2112()1(1)3n na x x x --++≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+L ．【解析】 （Ⅰ）1321n n n a a a +=+Q ，112133n n a a +∴=+，11111(1)3n na a +∴-=-， 又1213n a -=，1{1}n a ∴-是以23为首项，13为公比的等比数列． ∴112121333n n n a --=⋅=，332n n n a ∴=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知3032nn na =>+， 2112()1(1)3n x x x --++2112(11)1(1)3n x x x =-+--++ 2111[(1)]1(1)nx x x a =--+++ 2112(1)1n a x x =-⋅+++211()1n n n a a a x=--++n a ≤， ∴原不等式成立．【另解】设2112()()1(1)3nf x x x x =--++， 则222222(1)()2(1)2()133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x -+--⋅+-'=--=+++ 0x >Q ，∴当23n x <时，()0f x '>；当23nx >时，()0f x '<， ∴当23n x =时，()f x 取得最大值21()2313n n n f a ==+．∴原不等式成立．由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有122222112112112()()()1(1)31(1)31(1)3n na a a x x x x x x x x x +++--+--++--++++++L L ≥221222()1(1)333nn nx x x =-+++-++L ． ∴令22220333n nx +++-=L ，则221(1)12221133()(1)13333(1)3n n nx n n n -=+++==--L ， ∴2212111111(1)133n n n n n n n a a a x n n n +++==>+++-+-L ≥．∴原不等式成立．类型五：解析几何在最值方面的综合应用例7．设A （0，0），B （4，0），C （t+4，4），D （t ，4）（t ∈R ）．记N （t ）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N （t ）的值域为（ ）A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}【解析】当t ≠0时，直线AD 的方程为4y x t=， 分别与直线y=1，y=2，y=3交于点1(,1)4t M ，2(,2)2t M 33(,3)4M t 。