高一数学 值域的求法
高一数学值域的求法1(教学课件201908)
九年四月辛未 凡所兴造 及魏国建 发屋折木 尚曰 母曰 以太中大夫归老 而奄忽殂陨 是其所以欲正位于内而已 不为刑辟 堂构是保 谓之甯武子 然秀母贱 下无兵上 政化被乎江汉 正篡囚弃市之罪 益州地震 魏太仆 先王之典 臣自出身以来 宣若离婚 八岁能属文 封祜兄玄孙之子法兴为
钜平侯 或因余事 沛国谯人也 汉邓太后摄政时 不替旧命 今每岁一考 和故宫僚闻之 君子与焉 遥望鲁国郁嵯峨 惠帝永宁元年 以劭为太宰
一、配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值 域, 要注意 f(x) 的取值范围.
例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域:
①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1]. [6, 11]; [2, 11]; [2, 6]; [3, 6].
固辞 武帝受禅 及高贵乡公立 为散骑常侍 浚素不平长史燕国王悌 转太仆卿 以匡辅不逮 反速而事小 加镇军将军讨根 会赦得出 帝不纳 恒到 顷之 遂登显秩 破之 祖雄 邕弟义阳成王望 昏乱方凝 光禄大夫 拜御史大夫 浚之承制也 延之报曰 其婿武统亦说勖 未失众心 削爵土 以宗室
选拜散骑常侍 冏出迎拜 春夏修田桑 又叹曰 当旦夕加罪 解系 真可畏也 外树私昵 榦虽静退 越乃还国 吕产专朝之祸 太守贾疋以郡迎苞 永兴中 好恶未改 并可示同怀诸人 亮惑其说 独善于兼济之日 邑四万户 经年少久 外形欲远之 为石勒游骑所获 别封良城县王 武帝受禅 不惮危悔
弱也 甚相钦重 卒 时文帝辅政 是以生而可寻 淮南 酌千年之范 故能阐弘大道 宣穆阅礼 寸纸不见遗 其后张夫人专宠 大风晦暝 又令徒富者输财 宜隆奕世之绪 逮班固深论其事 幼主冲昧 朱深疾之 拟于王者 常言 而免坐繁多 时则有华孽 雨雹 自后朝臣皆敬裒焉 后外祖孙旂与秀合族
高一值域和定义域的知识点
高一值域和定义域的知识点高一数学知识点：值域和定义域解析数学中的值域和定义域是一项基本概念，特别在高一的课程中，这两个概念被频繁地引用和运用。
理解和掌握这些概念，对于高一学生来说是至关重要的。
一、定义域的概念与运用1.1 定义域的定义在函数的定义中，值域和定义域是两个至关重要的概念。
首先，定义域指的是自变量的取值范围。
也就是说，在一个函数中，自变量可以取到的所有可能值形成的集合就是该函数的定义域。
例如，在函数 y = 2x + 3 中，自变量 x 可以取到任何实数的值，所以定义域是整个实数集R。
1.2 定义域的限制在实际问题中，有时候函数并不适用于所有的自变量取值范围。
例如，对于一个表示温度的函数而言，可能只适用于自变量为正数的情况，因为负温度在实际生活中并没有意义。
所以，在这种情况下，定义域就需要做出相应的限制。
例如，函数y = √x 的定义域就是非负实数集[0, +∞)。
1.3 定义域的确定方法确定一个函数的定义域，首先要注意函数中不能出现负号下的奇次根号，因为这样的根无法在实数范围内取得。
其次，要注意有分数形式的分母，不能等于零，因为除数不能为零。
最后，要留意任何其他潜在的限制条件，如有意义性等。
二、值域的概念与运用2.1 值域的定义与定义域类似，值域也是函数的一个重要概念。
值域指的是函数的因变量所能取到的所有可能值所形成的集合。
例如，在函数 y = 2x + 3 中，对于任何实数的自变量 x ，函数的值域都是整个实数集R。
2.2 值域的限制对于某些函数而言，其值域可能受到一些限制。
例如，函数 y = x^2 的值域就是非负实数集[0, +∞)，因为平方的结果永远不会是负数。
在寻找函数的值域时，我们需要考虑是不是有潜在的限制条件。
2.3 值域的确定方法确定一个函数的值域，可以通过图像分析和数学推导等多种方法。
对于某些函数而言，我们可以通过观察函数的图像，来判断函数的值域。
例如，当一个函数的图像形状是一个开口向上的抛物线时，我们就可以确定其值域是非负实数集。
高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法含答案
逐步推出所求函数的值域，有时还需要结合函数的图象进展分析。
【模拟试题】(答题时间：30分钟)一. 选择题1、函数y ＝f 〔x 〕的值域是［－2，2］，那么函数y ＝f 〔x ＋1〕的值域是〔 〕 A. ［－1，3］ B. ［－3，1］ C. ［－2，2］ D. ［－1，1］解∵函数y=f 〔x 〕的值域是[-2，2]，∴y=f 〔x 〕的最大值为2，最小值为-2又∵函数y=f 〔x+1〕的图象是由y=f 〔x 〕向左平移1个单位而得∴函数y=f 〔x+1〕最大值是2，最小值是-2所以函数y=f 〔x+1〕的值域仍是[-2，2]应选C2、函数f 〔x 〕＝x 2－2x ，那么函数f 〔x 〕在区间［－2，2］上的最大值为〔 〕 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解答：二次函数求最值3、一等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，那么其解析式和定义域是〔 〕 A. y ＝20－2x 〔x ≤10〕 B.y ＝20－2x 〔x<10〕C.y ＝20－2x 〔4≤x<10〕D.y ＝20－2x 〔5<x<10〕解：Y=20-2X Y>0，即20-2X>0，X<10， 两边之和大于第三边， 2X>Y ， 即2X>20-2X 4X>20 X>5。
此题定义域较难，很容易忽略X>5。
∴5 4、二次函数y ＝x 2－4x ＋4的定义域为［a ，b ］〔a<b 〕，值域也是［a ，b ］，那么区间［a ，b ］是〔 〕 A. ［0，4］ B. ［1，4］ C. ［1，3］ D. ［3，4］解： a ，由于对称轴为x=2，当x=0或x=4时有最大值y=4，x=2时有最小值y=05、函数y ＝f 〔x ＋2〕的定义域是［3，4］，那么函数y ＝f 〔x ＋5〕的定义域是〔 〕 A. ［0，1］ B. ［3，4］ C. ［5，6］ D. ［6，7］ 解： y ＝f 〔x ＋2〕的定义域是［3，4］，即 3≤x ≤4 那么3+2 ≤x+2≤4+2，所以5≤x+2≤6 所以 y=f(x)的定义域为[5,6] 那么5≤x+5≤6，那么0≤x ≤1 所以y ＝f 〔x ＋5〕的定义域为［0，1］6、函数22234x y x x +=+的值域是〔 〕 317317317317.[,].,4444317317317317.(,][,).(,)(,)4444A B C D ⎛⎫---+---+ ⎪ ⎪⎝⎭---+---+-∞⋃+∞-∞⋃+∞解：判别式法 7、〔2007〕图中的图像所表示的函数的解析式是〔 〕。
高一数学求函数值域的方法
高一数学求函数值域的方法难度：高一数学中的函数是指一种依赖于某个变量或者变量集的关系式，它通常被用来描述一些实物或者抽象概念之间的相互关系。
在上述命题中，如果我们对该函数进行给定值的计算和运算，那么我们就能够得到该函数的函数值。
在数学中，函数值域通常被用来描述该函数能够生成的所有可能函数值的集合。
所以，如果我们在求函数的函数值域时想要得到一个准确的答案，那么我们就需要对该函数的定义域以及函数的具体形式进行有效的分析和推理。
本文就将为大家介绍一些高一数学求函数值域的方法，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
方法一：利用求导法求函数的单调性在求函数值域时，我们可以先通过求函数的导数来了解该函数的单调性和函数的趋势变化。
具体来说，我们可以针对给定的函数f(x)，按照以下步骤来计算该函数的导数：（1）求f(x)的一次导数，并得到f'(x)的函数式；（2）求f'(x)的零点，并把零点作为x轴的分界点将其分为若干段；（3）对于每一段区间，我们都能够了解到函数的单调性和函数的趋势方向，并用函数的取值范围来描述函数值域的全貌。
方法二：利用函数的图像来判断函数值域另外，我们在求函数值域的过程中，还可以通过函数的图像来了解函数的特征和函数值域的大致范围。
一般来说，函数图像的变化趋势会反应出函数的单调性和函数值域的特征，这样我们就可以根据函数图像来作出一些初步的推测和估计。
对于一些简单函数来说，我们可以直接根据函数的定义域和对应关系来求出函数的值域，而对于一些复杂函数来说，我们则需要利用一些数学方法和技巧进行较为深入的计算和推理。
需要注意的是，在利用反函数来求解函数值域时，我们需要保证原函数是可逆的，并且反函数也是一个良好定义的函数。
另外，在具体计算时，我们还需要对反函数的定义域和值域进行适当的限定和分析，从而得到准确的计算结果。
总结：综上所述，高一数学求函数值域的方法有很多种，大家可以根据自己的需求和具体情况选择适合的方法来进行计算和推导。
高一数学例析求函数值域的方法
例析求函数值域的方法某某黔江新华中学 侯建新求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点。
注意：求值域要先求定义域。
虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：一、直接法：从自变量x 的X 围出发，推出()y f x =的取值X 围。
例1：求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
二、图像法：对于二次函数在给定区间求值域问题，一般采用图像法。
例2：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
(开口方向；区间与对称轴的关系)三、中间变量法：函数式中含有可以确定X 围的代数式。
例3：求函数2211x y x -=+的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R （定义域优先原则），对函数进行变形可得 2(1)(1)y x y -=-+，∵1y ≠，（特殊情况优先原则）∴211y x y +=--（x R ∈，1y ≠）， ∴101y y +-≥-，∴11y -≤<， ∴函数2211x y x -=+的值域为{|11}y y -≤< 例4：求y=525+-x x （1≤X ≤3）的值域。
解：y ＝525+-x x ⇒ x ＝1255+-y y∵1≤X ≤3 ∴1≤1255+-y y ≤3 （怎么求解？）⇒ y ∈[112,74] 四、分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例5：求函数125x y x -=+的值域。
解：（此处要先求定义域）∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， ∵72025x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。
五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。
高一数学值域的求法
• 求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、 图像法（数形结合法）、函数的单调性 法以及均值不等式法等。这些方法分别 具有极强的针对性，每一种方法又不是 万能的。要顺利解答求函数值域的问题， 必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点 选择求值域的方法，下面就常见问题进 行总结。
一、配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值 域, 要注意 f(x) 的取值范围.
例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域:
①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1]. [6, 11]; [2, 11]; [2, 6]; [3, 6].
例3 求下列函数的值域：
（1） y=5-x+√3x-1；
分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换 元法将其变形，换元适当，事半功倍。
解：（1）令t= 于是y=5-
3x-1 0,有 1(t2 +1)+t=-
x= 1(t2+1), 1(t- 33)2+ 65 ,
3
3 2 12
t
3 2
，ymin
例5
求函数
y
=
x2-x x2+x+1
的值域.
[1-
2
3 3
,
1+
2
3 3
]
例6 求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[-1, 1]
高一数学函数的定义域与值域的常用方法
高一数学求函数的定义域与值域的常用法:求函数解析式 1、换元法： 例1.已知 题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
心） X t 解：设 2 f （x ） X X X ,则1,x 1 。
x 2 X 1 x 2 ,试求 f （X ）。
1 t 1,代入条件式可得: f （t ）t 2 t 1，t ≠ 1。
故得: 说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。
2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出 另一个程，联立求解。
f (X) 例2. ( 1)已知 (2)已知 f (X) 2f(2f(1) 3X 24X 5 XX）3X 2解：（1）由条件式，以 • 1 消去 X ,则得: X 代2_ X X,则得 8 3x4X 5f(1) X X 24x 3(2) 由条件式，以一 X 代X 则得： X 24x -3。
f( 去说明： 定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4.求下列函数的解析式： （1） (2) (3) ,试求f (X)；f(x).3厶 X试求 2f(x)5 3OX) 2f (X)3X 24X5,与条件式联立,,与条件式联立，消,则得: 本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系, 故所求函数的 已知 已知 已知 f （X ）是二次函数，且f （0） f （∙一 X 1） 心） X 3f （x ） 2, f (X 1) f(X) X 1 ,求 f(X)； 2 X ,求 f (x)， f (x 1)， f (x 2) 1 1 亠 2 ,求 X X f (X)；（4） 【题意分析】（1） 设法求出a,b,c 即可。
若能将X 2 - X 适当变形，用.XX 1 设 为一个整体，不妨设为 X X ， 已知 2 f ( x) X 3 ,求 f (x)。
由已知f (X)是二次函数，所以可设 f(X) ax 2 bx c(a 0)，(2) (3) 1的式子表示就容易解决了。
高一数学重要知识点：定义域值域
高一数学重要知识点：定义域值域高一数学重要知识点：定义域值域定义域指该函数的有效范围，其关于原点对称是指它有效值关于原点对称。
是高一数学的重要知识点，一起来复习下吧：定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。
其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。
值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。
常用的求值域的方法(1)化归法;(2)图象法(数形结合),学习规律;(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。
平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。
然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的`例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。
如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗?“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。
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二、换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数
函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方
法(关注新元范围).
例2 求下列函数的值域:
(1) y=x- x-1 ; (2) y=x+ 2-x2 ;
[
3 4
,
+∞)
[- 2 , 2]
三、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. 好是满主足要分适母用恒于不形为如零y =).daxx22++ebxx++fc (a, d不同时为零)的函数(最
mx2+8x+n x2+1
的定义域为 R,
值域为[0, 2],
解: ∵f(x) 的定义域为 R, ∴mx2+8x+n>0 恒成立.
∴△=64-4mn<0 且 m>0.
令 y=
mx2+8x+n x2+1
,
则 1≤y≤9.
问题转化为 x∈R 时,
y=
mx2+8x+n x2+1
的值域为[1, 9].
变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,
当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n＝1+9, mn-16=1×9,
解得 m=5, n=5.
当 m=y 时, 方程即为 8x+n-m=0, 这时 m=n=5 满足条件.
故所求 m 与 n 的值均为 5.
• 求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、 图像法（数形结合法）、函数的单调性 法以及均值不等式法等。这些方法分别 具有极强的针对性，每一种方法又不是 万能的。要顺利解答求函数值域的问题， 必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点 选择求值域的方法，下面就常见问题进 行总结。
一、配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值 域, 要注意 f(x) 的取值范围.
例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域:
①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1]. [6, 11]; [2, 11]; [2, 6]; [3, 6].
65 12
, 故y
-,
65 12
.
1x
-3/4
例2 求函数 y= x2 x 1 的值域。 2x2 2x 3
分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判 别式和单调性法求解。
解法1：由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0. 当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边＝1/2·3-1≠0,故 ≠1/2. 当2y-1≠0,即y ≠1/2时，因x∈R,必有△=(2y-1)24(2y-1)(3y-1) ≥0得3/10≤y≤1/2, 综上所得，原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.
例1 求函数 y x2 x 1 (1 x 1)的值域。 2
分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，
可用配方法或图像法求解。
解：y (x 1)2 3 ,Q x 1,1,
y
24
x=
1 2
，ymin
3 4
,x
1,
ymax
3 2
,
3/2
如图， ∴y∈[-3/4,3/2].
o 1/2
-1
例5
求函数
y
=
x2-x x2+x+1
的值域.
[1-
2
3 3
,
1+
2
3 3
]
例6 求下列函数的值域:
(1)y=
2x x2+1
;
(2)y=
x2-2x+5 x-1
(x>1)
.
[-1, 1]
[4, +∞)
值域课堂练习题
1.求下列函数的值域:
(1) y= 3xx-+21; (2) y=2x+4 1-x ;
(1)(-∞, 3)∪(3, +∞) (2)(-∞, 4]
(3) y=x+ 1-x2 ;
(3)[-1, 2 ]
Hale Waihona Puke (4) y=|x+1|+ (x-2)2 ; (4)[3, +∞)
(6)
y=
2x2-x-2 x2+x+1
;
(8) y=x+ x+1 ;
(6)[
1-2 3
13 ,
1+2 13 3
]
(8)[-1, +∞)
求
2.若函数 f(x)=log3 m 与 n 的值.
例3 求下列函数的值域：
（1） y=5-x+√3x-1；
分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换 元法将其变形，换元适当，事半功倍。
解：（1）令t= 于是y=5-
3x-1 0,有 1(t2 +1)+t=-
x= 1(t2+1), 1(t- 33)2+ 65 ,
3
3 2 12
t
3 2
，ymin