高中数学求函数值域的方法十三种审批稿

高中数学求函数值域的方法十三种TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、十三、一一映射法 十四、 多种方法综合运用一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。

【例1】求函数1y =的值域。

11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数x 1y =的值域。

【解析】∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-=ff，()11-f所以：=20=f，()()0∈3x，而()()3-f=1={}3,0,1-∈y注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为Rx∈，则函数的值域为{}1y。

y≥|-二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2=++的F x af x bf x c()()()函数的值域问题，均可使用配方法。

【例1】求函数225,[1,2]y x x x=-+∈-的值域。

【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【变式】已知，求函数的最值。

【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。

将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。

函数的最小值为，最大值为。

图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t （2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。

（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

图1图2图3①如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。

②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。

当时，函数取得最小值。

③如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。

当时，函数取得最小值综上讨论，g(t)=⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22mint t t t t x f (2)221(0)()1(01)22(1)t t g t t t t t ⎧+≤⎪=<<⎨⎪-+≥⎩(,0]t ∈-∞时，2()1g t t =+为减函数∴ 在[3,2]--上，2()1g t t =+也为减函数∴min ()(2)5g t g =-=， max ()(3)10g t g =-=【例3】 已知2()22f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值．【解析】由已知可求对称轴为1x =．（1）当1t >时，2min max ()()23()(1)2f x f t t t f x f t t ∴==-+=+=+，．（2）当11t t +≤≤，即01t ≤≤时，．根据对称性，若2121≤++t t 即102t ≤≤时，2max ()()23f x f t t t ==-+．若2121>++t t 即112t <≤时，2max ()(1)2f x f t t =+=+．（3）当11t +<即0t <时，2max ()()23f x f t t t ==-+．综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+->+=21,3221,2)(22maxt t t t t x f【例4】 (1) 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

【解析】(1)二次函数的对称轴方程为x a =-， 当1a 2-<即1a 2>-时，max f (x )f (2)4a 5==+；当1a 2-≥即1a 2≤-时，max f (x )f (1)2a 2=-=+。

综上所述：max12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2⎧-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩。

(2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-<a ，12>a即22≤≤-a ，2-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2-<a ；由图可知max ()(1)f x f =-（2）a ≤-22≤；由图可知max ()()2af x f = （3） 2>a 时；由图可知max ()(1)f x f =∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2,)1(a f a af a f y 最大；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2,122,42,)1(2a a a aa a y 最大 【例5】 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，求实数a 的值。

【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a 0>与a 0<两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。

若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。

具体解法为： （1）令2a 1f ()32a --=，得1a 2=- 此时抛物线开口向下，对称轴方程为x 2=-，且32,22⎡⎤-∉-⎢⎥⎣⎦，故12-不合题意；（2）令f (2)3=，得1a 2=此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故1a 2=符合题意；（3）若3f ()32-=，得2a 3=-此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故2a 3=-符合题意。

综上，1a 2=或2a 3=-【变式】 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

【解析】2()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈- （1）若0,()1,a f x ==，不符合题意。

（2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+由814a +=，得38a =（3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=-由14a -=，得3a =-综上知38a =或3a =-【例6】 已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。

【解法1】讨论对称轴中1与,,2m nm n +的位置关系。

①若，则max min()()3()()3f x f n nf x f m m ==⎧⎨==⎩解得②若12m nn +≤<，则max min()(1)3()()3f x f n f x f m m ==⎧⎨==⎩，无解 ③若12m nm +≤<，则max min()(1)3()()3f x f n f x f n m ==⎧⎨==⎩，无解④若，则max min()()3()()3f x f m nf x f n m ==⎧⎨==⎩，无解综上，4,0m n =-=【解法2】由211()(1)22f x x =--+，知113,,26n n ≤≤，则[,](,1]m n ⊆-∞，又∵在[,]m n 上当x 增大时)(x f 也增大所以max min()()3()()3f x f n nf x f m m ==⎧⎨==⎩ 解得4,0m n =-=评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ，n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。

【例7】 求函数35y x x =--的值域.【解法1】22)4(122)5)(3(253--+=--+-+-=x x x x x y显然]4,2[)4(12222∈--+=x y 故函数的值域是：]2,2[∈y【解法2】显然3≤x ≤5,2232sin ([0,])52cos 2x x πθθθ-=∈⇒-=,cos )2sin()4y πθθθ==+=+∈三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。

【例1】 求函数12++=x x y 的值域 【解析】利用恒等变形，得到：111++=x y ，容易观察知x ≠-1,y ≠1，得函数的值域为y ∈(-∞,1)∪(1, +∞)。

注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。

【例2】 求函数122+--=x x xx y 的值域。

【解析】观察分子、分母中均含有x x -2项，可利用部分分式法；则有43)21(11111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y 不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f从而)∞+⎢⎣⎡∈,43)(x f 注意：在本题中应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母。

所以 ⎝⎛⎥⎦⎤∈43,0)(x g 故)1,31⎢⎣⎡-∈y【变式】求下列函数的值域：(1) 231--=x x y (2) 1122+-=x x y .答案：（１）值域),(),(3131+∞⋃-∞∈y （２）值域y ∈[-1,1]四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

【例1】求函数1212x xy -=+的值域。

【解析】由1212x xy -=+解得121x y y -=+， ∵20x>，∴101y y ->+， ∴11y -<< ∴函数1212xxy -=+的值域为(1,1)y ∈-。

【例2】求函数3456x y x +=+值域。

【解析】由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：33(,)(,)55-∞∞【例3】 求函数11+-=x x e e y 的值域。

解答：先证明11+-=x x e e y 有反函数，为此，设21x x <且R x x ∈21,，0)1)(1(211112121221121<++-=+--+-=-x x x x x x x x e e e e e e e e y y 。