求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习29---三角函数的值域和最值
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习专题29 三角函数的值域和最值一、单项选择题1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－122．如果|x|≤π4，那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是( ) A.2－12 B ．－2＋12 C ．－1 D.1－223．(2021·湖北武汉联考)已知函数f(x)＝sin(π2x ＋π6)－2cos 2π4x －1，则f(x)在[0，2]上的最大值与最小值之和为( ) A ．－72 B ．－52 C ．0 D.124．(2020·贵阳市高三摸底)将函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上的最小值为( )A ．0B ．－12C ．－32 D ．－ 35．已知y ＝sinx ＋1sinx ，x ∈(0，π)．下列结论正确的是( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值6．将函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在[0，π2]上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.327．(2017·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.158．当0＜x ＜π4时，函数f(x)＝cos2xcosxsinx －sin2x 的最小值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 二、多项选择题 9．(2021·山东青岛二模)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y ＝A sinωt (A>0，ω>0)，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝3|cosx|＋|sinx|，则下列结论正确的是( )A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是周期函数C ．f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增D ．f(x)的最大值为210．设函数f(x)＝sinωx ＋3cosωx ，x ∈R ，其中ω>0，在曲线y ＝f(x)与直线y ＝3的所有交点中，相邻交点距离的最小值为π6，则( )A ．f(x)的最大值为1B ．ω＝2 C ．f(x)的图象的对称轴方程为x ＝kπ2＋π12，k ∈Z D ．f(x)的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12三、填空题与解答题11．(2017·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin 2x ＋3cosx －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．12．(2019·课标全国Ⅰ，理改编)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|的下述四个结论中正确的是________(填正确结论的序号)．①f(x)是偶函数； ②f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.13．(2020·广州市调研)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，α.当α＝π3时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则α的取值范围是________．14．(2020·湖北武汉调研)已知函数f(x)＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则(1)m ＝________．(2)对任意a ∈R ，f(x)在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________． 15．已知函数f(x)＝sin3x ＋3cos3x ，x ∈R . (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．16．函数y ＝1sin2x ＋2cos2x 的最小值是________．17．(2020·上海华师大二附中期中)已知函数y ＝sinθcosθ2＋sinθ＋cosθ. (1)设变量t ＝sinθ＋cosθ，试用t 表示y ＝f(t)，并写出t 的取值范围； (2)求函数y ＝f(t)的值域．参考答案1．答案 B解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.2．答案 D解析 f(x)＝－sin 2x ＋sinx ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx －122＋54，当sinx ＝－22时，有最小值，f(x)min ＝24－22＝1－22. 3．答案 A解析 f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6－2cos 2π4x －1 ＝32sin π2x ＋12cos π2x －cos π2x －2＝32sin π2x －12cos π2x －2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6－2.当x ∈[0，2]时，π2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－1.即f(x)在[0，2]上的最大值为－1，最小值为－52，二者之和为－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－72.4．答案 D解析 将函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，得函数y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12倍，纵坐标不变，得函数g(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π12的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3时，4x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π4，因此当4x －π12＝－π2，即x ＝－5π48时，g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上取得最小值－ 3.5．答案 B解析 令t ＝sinx ，t ∈(0，1]，则y ＝1＋1t ，t ∈(0，1]是一个减函数，则y 只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sinx ，得出sinx ＝1y －1，由sinx ∈(0，1]也可求出，故选B.6．答案 A解析 把函数f(x)＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位长度得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，∴π3＋φ＝k π.∵|φ|<π2，∴φ＝－π3.∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∴x ＝0时，f(x)min ＝－32.7．答案 A解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin(x ＋π3)，所以f(x)＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f(x)的最大值为65，故选A. 8．答案 D 解析 f(x)＝1－tan2x ＋tanx＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫tanx －122＋14， ∵0＜x ＜π4，∴0＜tanx ＜1.当tanx ＝12时，f(x)的最小值为4，故选D. 9．答案 ABD解析 本题考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法．函数f(x)的定义域为R ，因为f(－x)＝3|cos(－x)|＋|sin(－x)|＝3|cosx|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A 正确；因为f(x ＋π)＝3|cos(x ＋π)|＋|sin(x ＋π)|＝3|－cosx|＋|－sinx|＝3|cosx|＋|sinx|＝f(x)，所以π是f(x)的周期，故B 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数f(x)可化为f(x)＝3cosx ＋sinx ＝2(32cosx ＋12sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，此时f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调递减，故C 错误；由于π是函数f(x)的周期，故不妨取x ∈[0，π]研究其最值．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数f(x)可化为f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f(x)取得最大值2.当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f(x)＝－3cosx ＋sinx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sinx －32cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，得x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，2π3，所以当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f(x)取得最大值2，故当x ∈[0，π]时，f(x)取得最大值2，故D 正确．故选ABD. 10．答案 BCD解析 由题意可得f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2(12sin ωx ＋32cos ωx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，易知f(x)的最大值为2，A 错误；由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝3，可得sin (ωx ＋π3)＝32，得到ωx ＋π3＝2kπ＋π3或ωx ＋π3＝2k π＋2π3，k ∈Z ，令k ＝0，可得x 1＝0，x 2＝π3ω，由|x 1－x 2|＝π6可得π3ω＝π6，解得ω＝2，所以B 正确；f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝kπ2＋π12，k ∈Z ，C 正确；令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，令k ＝0，得到－5π12≤x ≤π12，D 正确．故选BCD. 11．答案 1解析 本题主要考查三角函数的最值．由题意可得f(x)＝－cos 2x ＋3cosx ＋14＝－(cosx －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cosx ∈[0，1]．∴当cosx ＝32时，f(x)max ＝1.12．答案 ①④解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当π2<x<π时，f(x)＝sinx ＋sinx ＝2sinx ，∴f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x|与y ＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确． 13．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析 若－π6≤x ≤π3，则－π3≤2x ≤2π3，－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，即f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.若－π6≤x ≤α，则－π3≤2x ≤2α，－π6≤2x ＋π6≤2α＋π6.∵当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，∴要使f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，∴π6≤α≤π2，即α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2. 14．答案 (1)0 (2)40或41解析 (1)f(x)＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin2x ＋1＋cos2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1， 因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，f(x)max ＝2＋m ＋1＝3，所以m ＝0.(2)由(1)得f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，T ＝2π2＝π，在区间[a ，a ＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41.15．答案 (1)T ＝2π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ3－5π18，2kπ3＋π18(k ∈Z )(2)f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最小值－3，此时，x ＝－2π9或π3 f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最大值2，此时x ＝π18解析 因为f(x)＝sin3x ＋3cos3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，所以函数f(x)的最小正周期为T ＝2π3.由2k π－π2≤3x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2kπ3－5π18≤x ≤2kπ3＋π18(k ∈Z )． 故函数f(x)的单调递增区间为[2kπ3－5π18，2kπ3＋π18](k ∈Z )． (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3，得3x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3，显然，当3x ＋π3＝－π3或3x ＋π3＝4π3，即x ＝－2π9或x ＝π3时，f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最小值－3；当3x ＋π3＝π2，即x ＝π18时，f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最大值2.16．答案 3＋2 2解析 y ＝1sin2x ＋2cos2x ＝sin2x ＋cos2x sin2x ＋2sin2x ＋2cos2x cos2x ＝3＋cos2x sin2x ＋2sin2xcos2x ≥3＋22， ∴y min ＝3＋2 2.17．答案 (1)y ＝t2－14＋2t [－2，2] (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，2＋24 解析 (1)∵t ＝sin θ＋cos θ，∴t ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴t ∈[－2，2]，t 2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ，∴sin θcos θ＝t2－12，∴y ＝f(t)＝sinθcosθ2＋sinθ＋cosθ＝t2－12（2＋t ）＝t2－14＋2t ，t ∈[－2，2]．(2)f(t)＝t2－14＋2t ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（t ＋2）2－4（t ＋2）＋3t ＋2 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（t ＋2）＋3t ＋2－4. ∵t ∈[－2，2]，∴t ＋2∈[2－2，2＋2]，则t ＋2＞0. ∵(t ＋2)＋3t ＋2≥2（t ＋2）·3t ＋2＝23，当且仅当t ＋2＝3t ＋2，即t ＋2＝3时取等号，∴函数f(t)的最小值为12×(23－4)＝3－2.当t ＝－2时，f(－2)＝2＋24，当t ＝2时，f(2)＝2－24，∴函数f(t)的最大值为2＋24.故函数y ＝f(t)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，2＋24.。
三角函数的定义域与值域题库(精)
专题三：三角函数的定义域与值域（习题库）一、选择题1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（）A、[﹣，]B、[，]C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）分析：由题意知，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴，解答（k∈Z）∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D．2、函数的定义域是（）A、.B、.C、D、.解答：由题意可得sinx﹣≥0⇒sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B．3、函数的定义域为（）A、 B、C、 D、解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+），∴，故选D．4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（）A、[1，]B、C、D、解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx===又∵∴∴则1≤f（x）≤故选A．5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（）A、[﹣1，1]B、[﹣，1]C、[﹣，﹣1]D、[﹣1，]解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣=sin2x+sinx﹣1=﹣∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣．sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B．6、函数值域是（）A、 B、C、 D、[﹣1，3]解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B7、函数的最大值是（）A、5B、6C、7D、8解答：∵==∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是78、若≤x≤，则的取值范围是（）A、[﹣2，2]B、C、D、解答：=2（sinx+cosx）=2sin（），∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1，则函数f（x）的取值范围是：．故选C．9、若，则函数y=的值域为（）A、 B、 C、 D、解答：函数y===因为，所以sin∈（0，）∈故选D10、函数，当f（x）取得最小值时，x的取值集合为（）A、 B、C、 D、解答：∵函数，∴当 sin（﹣）=﹣1时函数取到最小值，∴﹣=﹣+2kπ，k∈Z函数，∴x=﹣+4kπ，k∈Z，∴函数取得最小值时所对应x的取值集合:为{x|x═﹣+4kπ，k∈Z} 故选A．11、函数y=sin2x﹣sinx+1（x∈R）的值域是（）A、[，3]B、[1，2]C、[1，3]D、[，3]解答：令sinx=t，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，t∈[﹣1，1]，由二次函数性质，当t=时，y取得最小值．当t=﹣1时，y取得最大值3，∴y∈[，3] 故选A．12、已知函数，则f（x）的值域是（）A、[﹣1，1]B、C、D、解答：解：由题=，当 x∈[，]时，f（x）∈[﹣1，]；当 x∈[﹣，]时，f （x）∈[﹣1，]可求得其值域为．故选D．13、函数的值域为（）A、 B、 C、[﹣1，1] D、[﹣2，2]解答：=﹣sinxcosx+cos2x=cos2x ﹣sin2x=cos （2x+）∴函数的值域为[﹣1，1] 故选C ．14、若≥，则sinx 的取值范围为（ ） A 、 B 、 C 、∪D 、∪解答：∵≥，∴解得x ∈[，）∪（，] ∴sinx ∈故选B15、函数y=sin2x+2cosx 在区间[﹣，]上的值域为（ ）A 、[﹣，2]B 、[﹣，2）C 、[﹣，]D 、（﹣，] 解答：∵x ∈[﹣，] ∴cosx ∈[﹣，1]又∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx ﹣1）2+2 则y ∈[﹣，2] 故选A 二、填空题（共7小题） 16、已知，则m 的取值范围是 ．解答：∵=2（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∴﹣2≤≤2，∴m≥，或m≤﹣，故m的取值范围是（﹣∝，﹣]∪[，+∞）．17、函数在上的值域是___________．解答：因为，故故答案为：18、函数的值域为．解答：由题意是减函数，﹣1≤sinx≤1，从而有函数的值域为，故答案为19、（理）对于任意，不等式psin2x+cos4x≥2sin2x恒成立，则实数p的范围为．解答：∵psin2x+cos4x≥2sin2x ∴psin2x≥2sin2x﹣1﹣sin4x+2sin2x=4sin2x﹣sin4x﹣1∴p≥4﹣（sin2x+）而sin2x+≥2∴4﹣（sin2x+）的最大值为2则p≥2 故答案为：[2，+∞）20、函数的值域是．解答：令t=sinx+cosx=，t2=1+2sinxcosx∵∴x+∴从而有:f（x）==﹣2 在单调递增当t+1=2即t=1时，此时x=0或x=，函数有最小值当t+1=1+即t=时此时x=，函数有最大值2﹣2故答案为：[﹣2]21、函数的定义域为．解答：要使函数有意义，必须解得，故答案为：（0，）．三、解答题（共8小题）22.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin （cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。
三角函数10道大题(带答案)
三角函数10道大题(带答案)三角函数1.已知函数$f(x)=4\cos x\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sin(2x-\frac{\pi}{4})+2\cos2x-1,x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的最小正周期；Ⅱ）求$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上的最大值和最小值。
2.已知函数$f(x)=\tan(2x+\frac{\pi}{4}),x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的定义域与最小正周期；II）设$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，若$f(\alpha+\frac{\pi}{4})=2\cos2\alpha$，求$\alpha$的大小。
3.已知函数$f(x)=\frac{(sinx-cosx)\sin2x}{\sin x}$。
1）求$f(x)$的定义域及最小正周期；2）求$f(x)$的单调递减区间。
4.设函数$f(x)=\frac{2\pi\cos(2x+\frac{\pi}{4})+\sin2x}{24}$。
Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期；II）设函数$g(x)$对任意$x\in R$，有$g(x+\pi)=g(x)$，且当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$2\pi g(x)=1-f(x)$，求函数$g(x)$在$[-\pi,0]$上的解析式。
5.函数$f(x)=A\sin(\omega x-\frac{\pi}{6})+1(A>0,\omega>\frac{\pi}{6})$的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。
1）求函数$f(x)$的解析式；2）设$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$f(\alpha)=2$，求$\alpha$的值。
6.设$f(x)=4\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})\sin\omegax+\cos2\omega x$，其中$\omega>0$。
三角函数的最值习题精选精讲
三角函数的值域或最值常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。
（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。
（4）Y=d x c b x a ++sin sin （或y=dx bx a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1cos 1sin ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。
（5）y=d x c b x a ++cos sin （y=dx c bx a ++sin cos ）型，可化归为sin （x+ϕ）g （y ）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方法去处理上。
（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。
一、利用三角函数的有界性．求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为sin()y A x k ωϕ=++的形式．在化简过程中常常用到公式：22sin cos sin(),tan ,ba xb x x aab ϕϕϕ+=++=其中由及点(a,b)的位置确定. 例1 、(2000年高考)已知：2123sin cos 12sin y x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合． 解：∵2123sin cos 12sin y x x x =+⋅+1cos 2315sin 21sin(2)44264x x x π+=++=++，∴当sin(2)16x π+=时，max 157244y=+= ．此时，2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+． 所以y 的最大值为74，此时x 的集合为{|}6x x k k Z ππ=+∈，．例2、求函数1cos 3cos xy x-=+的值域．解： 1cos 3cos x y x -=+⇒(1)cos 2y x +=-⇒2cos 1x y=-+，由|cos |1x ≤得2||11y -≤+， |1|2y +≥即，解得31y y ≤-≥或，所以函数1cos 3cos xy x-=+的值域是3][1-∞-∞ （，，+）二、利用二次函数最值性质求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为2sin sin y x b x c a =++的形式．例3、求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域． 解：278c o s 2s i n y x x =--＝278cos 2(1)cos x x ---＝223,(cos 2)x --∵[,]63x ππ∈-，∴1cos [1]2x ∈，，∴3[1]2y ∈-，．例4、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值． 解：设sin cos x x t +=，[22]t ∈-，，则21sin cos 2x x t -=，所以()y f t =＝211,2(1)t ⋅-+([2,2])t ∈-，当1[22]t =-∈-，时，y 有最小值1-．三、利用均值不等式*利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式中的使用条件：一正、二定、三相等．例6、当0x π<<时，求sin 2cos xy x=+的最大值．解：设2223tan 0,(0),,23233x t t t x y t t π=><<=≤=⋅+则（当且仅当tan 32xt ==时取等号）。
三角函数求值域专题
三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
例1 ：求函数y sinx的值域。
cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。
33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。
三角函数最值与值域专题
三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。
例1：求函数xx y sin 21sin --=的值域。
解：由xx y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+，知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203y ⇒-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3y ∈-例2,若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，求a,b练习：1，求函数1cos 3cos xy x-=+的值域 3][1-∞-∞（，，+）2,函数x y sin =的定义域为[a ，b]，值域为]21,1[-，则b-a 的最大值和最小值之和为bA ．34πB ．π2C ．38π D ．π4类型二：x b x a y cos sin +=型。
此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=+=+求其最值（或值域）。
例1：求函数3sin 4cos ,(0,)2y x x x π=+∈的最值。
解：343sin 4cos 5sin(),cos ,sin 55(,),(3,5]2y x x x x y ϕϕϕπϕϕϕ=+=+==+∈+∈2,求函数)3sin()6sin(ππ++-=x x y （R x ∈）的最值。
解法:)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(πππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最大值为2，最小值为2-。
练习：1,函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是： （ c ） A 、215B 、216C 、7 D 、82,已知函数x x f 2sin )(=，)62cos()(π+=x x g ，直线x ＝t （t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。
（word完整版）高中三角函数最值问题难题
（word完整版）⾼中三⾓函数最值问题难题⾼中三⾓函数最值问题难题⼀、直接应⽤三⾓函数的定义及三⾓函数值的符号规律解题例1：求函数y ＝xx x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值分析：解决本题时要注意三⾓函数值的符号规律，分四个象限讨论。
解：（1）当x 在第⼀象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=（2）当x 在第⼆象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=----（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=--（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x=+++=----综上可得此函数的最⼤值为4，最⼩值为-2. ⼆、直接应⽤三⾓函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题例1：（2003北京春季⾼考试题）设M 和m 分别表⽰函数cos 13x -1y=的最⼤值和最⼩值，则M m +等于（）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2解析：由于cos y x =的最⼤值与最⼩值分别为1,-1,所以,函数cos 13x -1y=的最⼤值与最⼩值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（34-）=-2,选D.例2：求3sin 1sin 2x y x +=+的最值（值域）分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式⼦变形使出现12sin 3yx y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。
解：3sin 1sin 2x y x +=+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-12(3)sin 12sin 3yy x y x y --=-?=-。
三角函数最值问题(典型题型)
三角函数最值问题求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。
1、利用三角函数的单调性求最值例1：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-⋅-= ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈2,0πx 的最值 解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+=)42cos(2π+=x 45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知： 当442ππ=+x ， 即0=x 时 ，)42cos(π+x 取最大值22； 当ππ=+42x ，即83π=x 时，)42cos(π+x 取最小值-1； 故2)(,1)(min max -==x f x f方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如θθcos sin b a +的形式，再用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。
2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值例2：求1cos 2sin --=x x y 的最小值 解：(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得：y x y x -=-2cos sin ，y x y -=-+∴2)sin(12ϕ 即212)sin(y yx +-=-ϕ，故11212≤+-≤-y y ，解之得43≥y ， 故y 的最小值为43 方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。
(方法二)设),(),sin ,(cos 21M x x P ,则1cos 2sin --=x x y 表示单位圆上的动点P 与平面内定点M 连线的斜率，当斜率存在时，设过P 、M 两点的直线方程为)1(2-=-x k y ，由距离公式得1122=+-k k ，解之得43=k ，结合图形可知函数的最小值为43。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；（2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1yx yφ+=+由2|2||sin()|11y x y φ+=≤+22(2)1y y ⇒≤+，解得：3333y -≤≤，故值域是33[,]33-解法3：利用万能公式求解：由万能公式212sin ttx +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2213t y t=--则有2320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由24120y =-≥△，3333y ⇒-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。
解法4：利用重要不等式求解：由万能公式212sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2213ty t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时，22113(3)y t t t t==---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+，x Q Py O此时即有303y -≤<；如果t < 0，则223131()(3)2()(3)y t t tt=≤=-+---，此时有303y <≤。
综上：此函数的值域是33[,]33-。
例2.求函数2cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．解法1：（利用三角函数的有界性求解）原式可化为sin cos 2(0)y x x x π+=<<，得21sin()2y x ϕ++=，即22sin()1x yϕ+=+，故2211y≤+，解得3y ≥或3y ≤-（舍），所以y 的最小值为3．解法2：(从结构出发利用斜率公式，结合图像求解)2cos (0)sin xy x xπ-=<<表示的是点(0,2)A 与(sin ,cos )B x x -连线的斜率，其中点B 在左半圆221(0)a b a +=<上，由图像知，当AB 与半圆相切时，y 最小，此时3AB k =，所以y 的最小值为3．（四）换元法代数换元法代换：x x x x y cos sin cos sin ++=令：t t y t x x +-==+21,cos sin 2则再用配方. 例题：求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．解：设sin cos x x t +=(22)t -≤≤，则21sin cos 2t x x -⋅=，则21122y t t =+-，当2t =时，y 有最大值为122+．（五）降幂法型如)0(cos sin sin 2≠+⋅+=a c x x b x a y 型。
此类型可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整理为sin 2cos 2y A x B x =+型再利用辅助角公式求出最值。
例1：求函数)2474(cos sin 4sin 3cos 35)(22ππ≤<-+=x x x x x x f 的最值，并求取得最值时x 的值。
分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。
解：由降幂公式和倍角公式，得x xx x f 2sin 222cos 1322cos 135)(--++= 332sin 23cos 32+-=x x 33)62cos(4++=πx∵2474ππ≤<x ， ∴436232πππ≤+<x ，∴21)62cos(22-<+≤-πx ∴()f x 的最小值为2233-，此时247π=x ，()f x 无最大值。
例2. 已知函数2π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．分析：观察角，单角二次型，降次整理为sin cos a x b x +形式． 解：（Ⅰ）π()1cos 23cos 21sin 23cos 22f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+-=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 典型应用题例题：扇形AOB 的半径为1，中心角为60︒，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求出最大值．分析：引入变量AOP x ∠=，建立目标函数．解：连接OP ，设AOP x ∠=，则sin PS x =，cos OS x =，3cos sin 3RS x x =-．333(cos sin )sin sin(2)3366S x x x x π∴=-=+-， 03x π<<，所以当6x π=时，P 在圆弧中心位置，max 36S =． 点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键．（六）条件最值问题（不要忘了条件自身的约束）例1. 已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值． 分析：可化为二次函数求最值问题．AB ORS PQ解：（1）由已知得：1sin sin 3y x =-，sin [1,1]y ∈-，则2sin [,1]3x ∈-． 22111sin cos (sin )212y x x ∴-=--，当1sin 2x =时，2sin cos y x -有最小值1112-；当2sin 3x =-时，2sin cos y x -有最小值49．例2：已知αβαsin 2sin 2sin 322=+，求βα22sin sin +=y 的取值范围。
分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于sin α，sin β的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。
解：∵αβαsin 2sin 2sin 322=+，∴ααβsin sin 23sin 22+-= ∵1sin 02≤≤β ∴32sin 01sin sin 230sin sin 2322≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥+-ααααα解得∵21)1(sin 21sin sin 21sin sin 2222+--=+-=+=αααβαy∵32sin 0≤≤α。
∴sin α=0时，0min =y ； 32sin =α时，94max =y ∴94sin sin 022≤+≤βα。
例3 ：求函数x x y -+=1的最大值和最小值，并指出当x 分别为何值时取到最大值和最小值。
解：∵定义域为0≤x ≤1，可设x x 2cos =且20πθ≤≤θθ22sin cos 11=-=-x ，20πθ≤≤∴)4sin(2cos sin sin cos 22πθθθθθ+=+=+=y ∵20πθ≤≤，∴4344ππθπ≤+≤，∴1)4sin(22≤+≤πθ即21≤≤y ∴当44ππθ=+或434ππθ=+，即θ =0或2πθ=（此时x=1或x=0），y=1；当2πθ+，即4πθ=时，（此时21=x ），2=y ，当x=0或x=1时，y 有最小值1；当21=x 时，y 有最大值2。
评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。
【反馈演练】1．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于____－1_______． 2．已知函数()3sin f x x =，3()sin()2g x x π=-，直线m x =和它们分别交于M ，N ，则=max MN _________．3．当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是______4 _______． 4．函数sin cos 2xy x =+的最大值为_______，最小值为________. 5．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .6．已知函数11()(sin cos )|sin cos |22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是 .7．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等 于_________．32 8．（1）已知(0,)θπ∈，函数23sin 13sin y θθ=+的最大值是_______.（2）已知(0,)x π∈，函数2sin sin y x x=+的最小值是____3___. 9．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ_____________．10．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．2π123333- (1,1)- 22[,]22-10（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．解：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 22sin 24f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）因为π()2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π28f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π3πππ2sin 2cos 14244f ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为2，最小值为1-．解法二：作函数π()2sin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上由图象得函数()f x 在区的最大值为2，最小值为3π14f ⎛⎫=-⎪⎝⎭． yxO22-π8 3π8 5π8 3π47π89π811．若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a的值. 解：)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )4sin()2()4sin()4sin(222πππ++=+++=x a x a x因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1，则,3222+=+a所以,3±=a12．已知函数2()2sin sin 2f x x x =+．（1）若[0,2]x π∈．求使()f x 为正值的x 的集合； （2）若关于x 的方程2[()]()0f x f x a ++=在[0,]4π内有实根，求实数a 的取值范围.解：（1）∵()1cos2sin 2f x x x =-+12sin(2)4x π=+-()012sin(2)04f x x π∴>⇔+->2sin(2)42x π⇔->-5222444k x k πππππ⇔-+<-<+ 34k x k πππ⇔<<+ 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44x πππ∈⋃（2）当[0,]4x π∈时，2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴22sin(2)[,]322x π-∈-则()[0,2]f x ∈，∴2()()[0,6]f x f x +∈∵方程2[()]()0f x f x a ++=有实根，得)]()([2x f x f a +-= ∴[6,0]a ∈-【高考赏析】（1）（本小题满分13分）设函数2()3cos sin f x x xcos x ωωωα=++（其中0,R ωα>∈），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π。