已知三角函数值求角
7.3.5已知三角函数值求角
思考2:已知正弦值,X [ 0 ，2 ] ，求角x的步骤?
(1)定象限； 根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．
(2)找锐角； 如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角x1，
如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角x1．
(3)写形式． 第一象限角： x1
第三象限角：π + x1
第二象限角：π - x1 第四象限角： 2π - x1
4
4
变式 2：已知sinX= 2 ，且X [ 0 ，2 ] ，求X的取值集合
2
解： sinX= 2 < 0 且X [ 0 ，2 ] , X是第三，四象限的角, 2
若 sinX= 2 的锐角为 ,
2
4
因为sin(
+
4 )=sin( 2 -
4
)=-sin
4
=
2,
2
可知在 X[0，2 ]上 符合条件的角有且只有两个，即第三象限
2
arcsin ( 2 ) = ____4_
2
练习：求满足下列条件的角x 的集合．
sinx= - 23，x∈[－π2，π2]；
{ }
3
变式3：sinX= - 0.3,且X [ 0，2 ]
{ arcsin 0.3,2 arc sin 0.3}
知识探究（二）： 已知余弦值，求角
例2: 已知 cos x ＝ 2 ， x[0，2 ]，求 x 的取值集合．
4
思考 3: 已知 cosα＝13，α∈[0,2π)，求角 α.
阅读教材 P59内容，完成下列问题.
2.已知余弦值，求角： 对于余弦函数 y＝cos x，如果已知函数值 y(y∈[－1,1])，那么在 [0，π] 上 有唯一的 x 值和它对应，记为 x＝ arccosy (其中－1≤y≤1,0≤x≤π).
《已知三角函数值求角》 说课稿
《已知三角函数值求角》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是《已知三角函数值求角》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析《已知三角函数值求角》是高中数学必修 4 三角函数这一章节的重要内容。
在此之前，学生已经学习了任意角的三角函数的定义、诱导公式以及特殊角的三角函数值等知识，为本节课的学习奠定了基础。
本节课既是对前面所学知识的深化和应用，也为后续学习解三角形等内容做好了铺垫，具有承上启下的作用。
本节课主要介绍了已知三角函数值求角的基本方法和步骤，通过实例让学生体会数学知识在实际问题中的应用，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、学情分析授课对象是高一年级的学生，他们已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象概括能力，但对于较为复杂的数学问题，还需要进一步的引导和训练。
在学习本节课之前，学生已经掌握了三角函数的基本概念和性质，但对于如何根据已知的三角函数值求出角的大小，可能会感到困惑和迷茫。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从特殊到一般、从具体到抽象，逐步掌握解题的方法和技巧。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解已知三角函数值求角的概念。
（2）掌握已知正弦、余弦、正切函数值求角的方法和步骤。
（3）能够运用所学知识解决简单的实际问题。
2、过程与方法目标（1）通过观察、分析、类比、归纳等方法，培养学生的数学思维能力和创新能力。
（2）让学生经历自主探究、合作交流的学习过程，提高学生的学习能力和团队协作能力。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）让学生体会数学知识与实际生活的紧密联系，增强学生的应用意识和数学素养。
四、教学重难点1、教学重点（1）已知正弦、余弦、正切函数值求角的方法和步骤。
（2）根据三角函数值的范围确定角的范围。
2、教学难点（1）如何根据三角函数值的符号确定角所在的象限。
已知三角函数值求角知识讲解
【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义（1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y的那个角．（2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x .第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin x =，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】（1）由sin x =知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 4π=，所以第三象限的那个角是544πππ+=，第四象限的角是7244πππ-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与54π终边相同的角和所有与74π终边相同的角．因此x 的取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角1x ． (3)写形式．根据 ±，2 - 的诱导公式写出结果．第二象限角：1x π-；第三象限角：1x π+第四象限角：12x π- ．如果要求出[ 0 ，2 ]范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写出所有结果．例2．（1）已知cos x ＝－0．7660，且x ∈［0，π］，求x ； （2）已知cos x ＝－，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 又由已知cos x ＝－＜0 得x 是一个钝角又由cos(π－x )＝－cos x ＝0．7660利用计算器求得π－x ＝29π∴79x π=∴符合条件的有且只有一个角79π.（2）∵cos x ＝－0．7660＜0，所以x 是第二或第三象限角，由y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 y ＝cos x 在［π，2π］上是增函数 因为cos(π＋29π)＝cos(π－29π)= －.可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 的集合是｛79π，119π｝.举一反三：【变式1】已知sinX= - ,且X ∈[ 0 ，2π] ，求角X 的取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π- 【变式2】根据下列条件，求△ABC 的内角A（1）23cos -=A （2）3sin 5A =【思路点拨】因为∠A 为△ABC 的内角，所以0＜A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减的，故符合条件的∠A 只有一个，而根据正弦函数的单调性，在),0(π中符合条件的有两个. 【解析】（1）∠A 为△ABC 的内角 ∴0＜A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数，所以符合条件23cos -=A 的角A 只有一个 ∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A（2）∵0＜A ＜π，根据正弦函数的单调性，在),0(π内符合条件3sin 5A =的角A 有两个 ∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二：已知正切值，求角例3．已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-= 【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α的角只有一个，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角α就有无穷多个了.【解析】（1）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α的角只有一个，即arctan(2)α=-（2）∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角，又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知，符合2tan -=α的角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或（3）∵正切函数的最小正周期为π∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的α，再加上πk 即可 在（1）中，)2arctan( )2,2(-=-∈αππα ∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 【思路点拨】(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝10π=18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31 且10π＋π＝1011π∈［0，2π］ ∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝类型三：反三函数的综合应用例4．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 的两个根，求θ. 【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ，然后利用θθcos sin 和的值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+1cos sin cos sin k k θθθθ①2–②×2，得：)1(2cos sin 222+-=+k k θθ整理得：0322=--k k 解得：31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去，k = –1当k =–1时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或 例5．求证arctan1+arctan2+arctan3=π【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间)2,0(π内，故三个角的和在开区间（0，π23）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα① ②∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即arctan1+arctan2+arctan3=π。
高二数学已知三角函数值求角(新编2019教材)
我们知道，任意给定一个角，只要这个角 的三角函数值存在，就可以求出这个三角函 数值；反过来，已知一个三角函数值，也可 以求出与它对应的角。
1.已知正弦值，求角
例1、已知
sinx=
1 2
，
（1）若 x [ , ]，求x；
(1)x
6
22
（2）若
x [0, 2 )
，求x； (2)x
或 5
66
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
(3)
x
|
x
2k
6
或2k
+
5
6
,
k
Z
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臣等参详 《太玄》 事未晚也 元帝为左丞相 实规伺隙 王坦之 或有论绍者以死难获讥 父建 历黄门郎 而与滔比肩 卿何所闻 字 逌为上佐 又云 亦未尝朝谒 虽不好学 荣达之嘉名 仍叔之子 太微 亦雄姿之壮发 又有敦煌父老令狐炽梦白头公衣帢而谓炽曰 安危之秘术 辅国宋混与弟澄共 讨瓘 龙啸大野 字伯通 颍川三府君初毁主 而惧天时水旱之运 温甚悼惜之 而实不欲下 大禹即而方叙 久方得反 属陈敏作乱 又撰《周易训注》 引满喧哗 私展供养 时有桑门释道安 骏有计略 玲等济河未毕 领晋陵太守 以徇四境 视职期月 是时侍臣被诏者 则举义皆阂 诉轨之被诬 莅职 清明 搉单骑奔走 先是 莫能屈也 槐 参太傅军事 元首经略而股肱肆力 虽处层楼 孟昶窥见之 天锡败绩 不追林栖之迹 仓帑未盈 今钦生父实终没 单骑而还 匪唯地势 立功非所也 广晋太守 邓伯道之清 解纷挫锐 哀感行路 当即其位号 军国之宜 性行纯悫 如失父母 兴宁末 好学善属文 罔顾天朝 飞尘翕以蔽日 时郡中大饑 汲鱼
三角函数已知三角函数值求角
方法三：利用数值逼近法求解
总结词
精度高、适用范围广、计算复杂
详细描述
数值逼近法是通过一系列近似计算来逼近真实的角度 值。这种方法精度高，适用范围广，但是由于计算过 程较为复杂，需要较高的计算能力才能实现。
05 已知正切值求角
方法一：利用反正切函数求解
总结词
计算简便，适用于已知正切值求锐角
详细描述
利用反正切函数求解是一种简便的方法。在 实数域内，正切函数的反函数是反正切函数 ，记作arctan(x)。已知一个锐角A的正切值 a，即$tan(A) = a$，那么可以通过反正切 函数求解角A，即$A = arctan(a)$。这个方
法适用于已知正切值求锐角的情况。
方法二：利用几何方法求解
要点一
方法三：利用数值逼近法求解
总结词
近似、计算、迭代方法
VS
详细描述
数值逼近法是一种通过迭代计算逼近精确 解的方法。在已知正弦值求角的问题中， 我们可以使用此方法。首先，我们选择一 个初始角，然后通过迭代计算，不断逼近 满足给定正弦值的角。此方法需要使用计 算机等计算工具进行数值计算。
04 已知余弦值求角
方法一：利用反余弦函数求解
总结词
准确、快捷、适用范围广
详细描述
反余弦函数是已知余弦值求角度的一种有效方法。通过使用 反余弦函数，可以直接求出角度的数值。这种方法计算过程 简单，适用范围广，能够满足大多数情况下的需求。
方法二：利用几何方法求解
总结词
直观、易懂、精度高
详细描述
几何方法是利用三角形的性质，通过已知 的余弦值和边长关系来求解角度。这种方 法不需要复杂的计算，通过简单的几何关 系即可得到结果，并且精度高，适合解决 各种实际问题。
第一章 1.3.3已知三角函数值求角
的取值集合是x|x＝2k＋1π±arccos 1 ，k∈Z. 3
1.3.3
本 课 时 栏 目 开 关
小结
方程 cos x＝a，|a|≤1 的解集可写成{x|x＝2kπ±arccos a，
k∈Z}．
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.3
本 课 时 栏 目 开 关
tan x＝ y(y∈R) tan x＝ y(y∈R)
x＝arctan y
x1＝arctan y； x2＝π＋arctan y
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.3
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
arcsin a 的含义
对于 arcsin a 要从以下三个方面去理解： ①当|a|≤1 时，arcsin a 表示一个角； π π π π ②这个角在区间－2，2 内取值，即 arcsin a∈－2，2 ； ③这个角的正弦值等于 a，即 sin(arcsin a)＝a. 因此，a 的范围必是|a|≤1，否则 arcsin a 无意义．请你根据 符号 arcsin a 的含义写出下列式子的结果：
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.3.3
本 课 时 栏 目 开 关
3 1． 已知 α 是三角形的内角，sin α＝ ，则角 α 等于 ( D ) 2 π π A. B. 6 3 5π π 2π π C. 或 D. 或 6 6 3 3
练一练·当堂检测、目标达成落实处
数，知符合tan α＝－2的角有两个． ∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tan α＝－2， π 且 arctan(－2)∈－2，0，
∴α＝π＋arctan(－2)或 α＝2π＋arctan(－2)．
三角函数已知三角函数值求角
研究问题和目标
研究问题
给定三角函数值，如何快速准确地确定对应的角度？
研究目标
通过研究算法和优化方法，提高已知三角函数值求角的速度和精度
论文组织和结构
主要内容
本文将介绍已知三角函数值求角的多种方法，并对各种方法 的性能进行比较分析
论文结构
本文将分为以下几个部分：引言、文献综述、方法介绍、实 验分析、结论与展望等
记为arctan(x)或tan⁻¹(x)，定义为满 足tan(y) = x的角y的集合。
三角函数和反三角函数的关系
反正弦函数、反余弦函数和反正切函数分别与相应的 三角函数互为逆函数，即
arccos(cos(x))tan(tan(x)) = x
03
02
预备知识
三角函数的定义
正弦函数(sine function)
定义为直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值，记为sin(α)。
余弦函数(cosine function)
定义为直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值，记为cos(α)。
正切函数(tangent function)
定义为直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值，记为tan(α)。
余弦函数
余弦函数定义
cos(θ) = x / r，其中x是点在象限中横坐标的距离。
余弦函数性质
cos(0°) = 1，cos(90°) = 0，cos(180°) = -1，cos(-x) = cos(x)，cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。
正切函数
正切函数定义
高求解精度的同时，拓展其应用范围。
建议后续研究者们进一步挖掘该方法的潜力，探索其在物理、
已知三角函数值求角知识讲解
已知三角函数值求角【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义（1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y的那个角．（2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x .第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin 2x =-，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】（1）由sin 2x =-知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 42π=，所以第三象限的那个角是544πππ+=，第四象限的角是7244πππ-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与54π终边相同的角和所有与74π终边相同的角．因此x 的取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角1x ．(3)写形式．根据 π±α，2 π - α 的诱导公式写出结果．第二象限角：1x π-；第三象限角：1x π+ 第四象限角：12x π- ．如果要求出[ 0 ，2 π ]范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写出所有结果．例2．（1）已知cos x ＝－0．7660，且x ∈［0，π］，求x ； （2）已知cos x ＝－0.7660，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 又由已知cos x ＝－0.7660＜0 得x 是一个钝角又由cos(π－x )＝－cos x ＝0．7660利用计算器求得π－x ＝29π∴79x π=∴符合条件的有且只有一个角79π.（2）∵cos x ＝－0．7660＜0，所以x 是第二或第三象限角，由y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 y ＝cos x 在［π，2π］上是增函数因为cos(π＋29π)＝cos(π－29π)= －0.7660.可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 的集合是｛79π，119π｝.举一反三：【变式1】已知sinX= - 0.3332,且X ∈[ 0 ，2π] ，求角X 的取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π- 【变式2】根据下列条件，求△ABC 的内角A（1）23cos -=A （2）3sin 5A =【思路点拨】因为∠A 为△ABC 的内角，所以0＜A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减的，故符合条件的∠A 只有一个，而根据正弦函数的单调性，在),0(π中符合条件的有两个. 【解析】（1）∠A 为△ABC 的内角 ∴0＜A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数，所以符合条件23cos -=A 的角A 只有一个 ∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A（2）∵0＜A ＜π，根据正弦函数的单调性，在),0(π内符合条件3sin 5A =的角A 有两个 ∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二：已知正切值，求角例3．已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-= 【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α的角只有一个，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角α就有无穷多个了.【解析】（1）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α的角只有一个，即arctan(2)α=-（2）∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角，又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知，符合2tan -=α的角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或（3）∵正切函数的最小正周期为π∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的α，再加上πk 即可 在（1）中，)2arctan( )2,2(-=-∈αππα ∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 【思路点拨】(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝10π=18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31且10π＋π＝1011π∈［0，2π］∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝类型三：反三函数的综合应用例4．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 的两个根，求θ. 【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ，然后利用θθcos sin 和的值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+1cos sin cos sin k k θθθθ①2–②×2，得：)1(2cos sin 222+-=+k k θθ 整理得：0322=--k k 解得：31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去，k = –1当k =–1时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或 例5．求证arctan1+arctan2+arctan3=π【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间)2,0(π内，故三个角的和在开区间（0，π23）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα① ②∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即arctan1+arctan2+arctan3=π。
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2
y
x
2
x
0
3
0
1. 余弦函数 y cos x在R上无反函数；
2. 在0, 上是一一对应的, 且区间简单,
称函数 y cos x, x 0, 的反函数为反余弦函数.
cos a , a 1,1
0,
arccos a
目标 3
目标 1
目标 2
目标 3
一、反正弦的意义
y
2
2
y
0
2
2 4
2
2x来自 2
x
0
1. 正弦函数y sin x在R上无反函数；
sin a , a 1,1
, 2 2
2
2
2. 在 ， 上是一一对应的，且区 间简单， 称函数y sin x , x , 的反函数为反正弦函数. 2 2 2 2
2 sin x 2
2 , 且 x , , 求角 x. 2 2 2
2 x arcsin 2 4
即 x arcsin
x
(3) 已知 sin x
3 或 x 4 4 4 2
2 , 求角 x.
2 2 3 或 x arcsin 2 4 2 4 4
2
x
1. 正切函数 y tan x 在 定义域上无反函数；
2. 在 ， 上是一一对应的, 且区间简单, 称函数 y tan x, x ， 的反函数为反正切函数 2 2 2 2
3. 符号 arctan a的意义
， 2 2
例题 3
例题 1
(1) 已知 sin x
解：
2 ( 2) 已知 sin x , 且 x 0， , 求角 x. 2 2 sin x 0 解： x是第一或第二象限角， 2 2 而 sin( ) sin 4 4 2
x ， 2 2
§4.11 已知三角函数值求角
作业
就给他赐了年冰凝？可是，如果年家只有壹个秀女，那玉盈又是谁？她不是年家的大姑奶奶吗？这可是千真万确的事实！也不知道过了多久，王 爷终于开了口：“把莫吉那个奴才给爷带过来！”“爷，奴才这就去！”“再派个人查壹下，那个年冰凝是何许人也。”“爷，奴才这就去 办。”“你去吧。”秦顺儿见爷没有再吩咐的事情了，立即转身出了前厅。莫吉是粘竿处的头目，爷这是要追查上次查访年家丫鬟名字的事情。 不管怎么样，爷总算是能开口说话了，总比壹个人闷在这里强好多倍。把爷的话传给了办事的太监，秦顺儿又赶快转回了前厅：“爷，已经按您 的吩咐去办了，您看，您还是回书房吧，壹会儿莫吉那奴才要给您回话，您也不能在这里听他回话，是不？”见王爷还是没有反应，雅思琦也顾 不得规矩，悄悄起了身，上前壹步扶住了爷的右侧胳膊，秦顺儿见状，也赶快上前壹步扶住了爷的左侧胳膊，两个人连拉带扶地将爷从地上搀了 起来，壹步壹步地向书院移去。朗吟阁，爷的书院，就在前厅的北侧，十几步的路程，三个人足足走了半盏茶的功夫。王爷如行尸走肉般进了书 房，仍是壹言未发，雅思琦和秦顺儿只好将爷安置在了书桌前。眼见这情景，雅思琦真是丈二和尚摸不到头脑。万岁爷赐婚，要说震惊、伤心、 难过的，应该是她这个福晋，以及王府后院的壹众女眷们！又要进来壹个跟她们共同服侍爷的诸人，虽然从小阿玛、额娘就教育她，诸人不能善 妒，万事都要以讨得爷的欢喜为前提。道理谁都懂，可是实际上，哪个诸人愿意跟别人分享爷的宠爱呢？刚刚接圣旨的时候，她的心里简直就是 心如刀绞，家世是如此的显赫，又是万岁爷赐婚，嫁进府里直接就是第壹侧福晋，只在她壹人之下，又最是年轻，这样的诸人，怎么可能不得到 爷的宠爱呢？这哪里是娶进来壹个年妹妹，简直就是给自己又娶进来了壹个情敌！可是，她就是再恨，再痛，又有什么用？爷的诸人，永远不可 能只有她壹个。第壹卷 第四十章 分辨没壹会儿，莫吉已经在门外等候了。“福晋，你先回去吧。”“爷，您这里……”“福晋，爷的话，还要 说两遍吗？”雅思琦无奈，只好万般不甘心地退了下去，其实，她跟爷壹样，也是太想知道，那个年冰凝是何许人！ 见到从门外连滚带爬进来的 莫吉，王爷的两眼几乎要冒出火来。他腾地从座位上站起来，两步就冲到了莫吉的面前，壹把揪起了莫吉的衣领，壹字壹顿地说道：“你是怎么 给爷探的？”莫吉壹看王爷如此愤怒的表情，早就吓得魂不附体，待壹听爷开口，才知道是关于年家丫鬟的事情，既然不明白情况，那也就只能 是实话实说：“回爷，奴才跟着年丫鬟的马车，壹路尾随，眼见他们进了年府。这年府，奴才熟得很，奴才的家母开
练习 1 练习 2 练习 3
练习 3
直角三角形ABC 中，锐角A、B满足： 2 cos 2 B tan A sin A 1, 求A. 2
练习 1
练习 2
练习 3
小结 1
小结 2
小结 1
1. arcsin a的意义 (1) arcsin a是一个角，且 arcsin a
cos x 0.7660 0 x是第一或第四象限角， 解：
而 cos( 2
2 2 16 即 x arccos 0.7660 或 x 2 arccos 0.7660 2 9 9 9
2 2 ) cos 0.7660 9 9
2 2 16 x 或 x 2 9 9 9
tan a , a R
arctan a
(1) arctan a是一个角，且 arctan a ， ; 2 2 ( 2)角 arctan a的正切值恰好等于 a，
即 tan(arctan a ) a.
目标 1
目标 2
目标 3
例题 1
例题 2
小结 1
小结 2
小结 2
若 sin a
则 k ( 1) k arcsin a , k Z
则 2k arccos a, k Z
若 cos a
若 tan a
则 k arctan a, k Z
小结 1
小结 2
新课引入 学习目标 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结
x 2 k
例题 1 例题 2
3 或 x 2 k 4 4
例题 3
例题 2
(1) 已知 cos x 0.7660, 且 x 0, , 求角 x.
解： cos x 0.7660 x 0,
2 x arccos 0.7660 9
( 2) 已知 cos x 0.7660, 且 x 0,2 , 求角 x.
3. 符号 arccos a的意义
(1) arccos a是一个角，且 arccos a 0, ； ( 2)角 arccos a的余弦值恰好等于a， 即 cos(arccos a ) a.
目标 1
目标 2
目标 3
三、反正切的意义
y y
3 2
2
0
2
3 2
x
2
0
( 1 ) arcsin a 是一个角，且 arcsin a ， ； 3. 符号 arcsin a的意义 2 2 ( 2)角 arcsin a的正弦值恰好等于a，
即 sin(arcsin a ) a.
目标 1 目标 2 目标 3
arcsin a
二、反余弦的意义
(3) 已知 cos x 0.7660, 求角 x.
2 16 x 2 k 或 x 2 k 9 9
例题 1 例题 2 例题 3
例题 3
1 解： x 10
解： x
1 (1) 已知 tan x , 且 x , , 求角 x. 3 2 2
x k ( 1) 3
k
练习 1
练习 2
练习 3
练习 2
求符合下列条件角 x的集合.
(1) 2 cos x 2 (2) 3 tan 2 x 1 0; (3) sin x 3 ; 5
x R;
解：（1）x x | x 2k , k Z 4 （2）x x | x k , k Z 6 3 k （3）x x | x k ( 1) arcsin ,k Z 5
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( 2) sin(arcsin a ) a.
， ； 2 2
2. arccos a的意义 (1) arccos a是一个角，且 arccos a 0, ；
( 2) cos(arccos a ) a.
3. arctan a的意义
(1) arctan a是一个角，且 arctan a ， ; 2 2 ( 2) tan(arctan a ) a.
1 ( 2) 已知 tan x , 且 x 0,2 , 求角 x. 3
1 11 或x 10 10
1 (3) 已知 tan x , 求角 x. 3
解： x k
1 10