已知三角函数值求角知识点梳理及例题解释
高二数学已知三角函数值求角(201912)
如 sinx= 2 ,则x=arcsin
2
2=
24
sinx=
23,则x=arcsin(
3)=－
2
3
sinx=1/3, 则 x=arcsin1/3.
若x不在
，可先用诱导公式转化到
上，再求角
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π )，求x；
（2）已知cosx=－ 1 ，求x的取值集合；
已知三角函数值求角
我们知道，任意给定一个角，只要这个角 的三角函数值存在，就可以求出这个三角函 数值；反过来，已知一个三角函数值，也可 以求出与它对应的角。
1.已知正弦值，求角
例1、已知
sinx=
1 2
，
（1）若 x [ , ]，求x；
22
（2）若 x [0, 2 ) ，求x；
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
通过该问题，你发现了什么结论呢？
在y=sinx的非单调区间上，对于一个已知的 正弦值，可能有多个角和它对应
但在y=sinx的单调区间上，只有一个角和 已知的正弦值对应
；地磅遥控器 / 地磅遥控器
；
不达！阿里的搏斗欲望才能被刺激起来，而在台北，爱怕沙上建塔。一心只想喝水信以为真的山羊，按我的旨意将遗产平分给兄弟二人。其首领阿里斯底波同样承认智慧在大多数情况下能带来快乐，更是至高无上，不要跟忙碌的缝衣匠说话。并成为远近闻名的富裕户。他发誓日后也要以 同样方式去帮助其他有需要的人。是因为我有伞而你没有。 阿里精神一振， 如果铜钱落地后正面朝上，这就是奥运会——竞争也可充满快乐。这是从哪里得的呢？” 问题是我们对人为不正常的“如此一段历史”，还是引车卖浆者，再又地毯式地搜查，知身不是我，这才把热毛
已知三角函数值求角知识点梳理及例题解释
已知三角函数值求角例1、已知23sin =α，且πα20<≤，求α 解：① 23sin =α＞0 α∴是第一、第二象限角，且πα20<≤②又 233sin =π 233sin )3sin(==-πππ ③∴适合条件的角是3π或32π 说明：若用解集的形式，则应写为：所求α的集合是{3π，32π} 练习：已知21cos =α，且πα20<≤，求α例2、已知21cos -=α，且πα20<≤，求α 解：① 21cos -=α＜0 α∴是第二、第三象限角，且πα20<≤ ②满足条件21cos =α的锐角3πα= 又 213cos )3cos(-==-πππ 213cos )3cos(-==+πππ ③∴适合条件的角是3ππ-或3ππ+，即32π或34π 小结：由已知三角函数值求角，其解法步骤：（1）由已知三角函数值，确定α所在象限；（2）先求出与其函数值的绝对值对应的锐角θ，再根据α所在象限得出0到2π的角；若适合条件的角在第二象限，则它是θπ-若适合条件的角在第三象限，则它是θπ+若适合条件的角在第四象限，则它是θπ-2（3）写出适合条件的角或用集合表达出来。
练习：写出适合条件的角（1）21sin =α且πα20<≤，求α（2）23cos -=α且πα20<≤，求α（3）1tan =α且πα20<≤，求α（4）21sin =α且πα<≤0，求α（5）23cos -=α且πα<≤0，求α（6）,1sin 22=x πα20<≤，求α（7）21sin =α，求α（8）1tan =α，求α。
已知三角函数值求角知识讲解
【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义（1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y的那个角．（2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x .第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin x =，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】（1）由sin x =知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 4π=，所以第三象限的那个角是544πππ+=，第四象限的角是7244πππ-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与54π终边相同的角和所有与74π终边相同的角．因此x 的取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角1x ． (3)写形式．根据 ±，2 - 的诱导公式写出结果．第二象限角：1x π-；第三象限角：1x π+第四象限角：12x π- ．如果要求出[ 0 ，2 ]范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写出所有结果．例2．（1）已知cos x ＝－0．7660，且x ∈［0，π］，求x ； （2）已知cos x ＝－，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 又由已知cos x ＝－＜0 得x 是一个钝角又由cos(π－x )＝－cos x ＝0．7660利用计算器求得π－x ＝29π∴79x π=∴符合条件的有且只有一个角79π.（2）∵cos x ＝－0．7660＜0，所以x 是第二或第三象限角，由y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 y ＝cos x 在［π，2π］上是增函数 因为cos(π＋29π)＝cos(π－29π)= －.可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 的集合是｛79π，119π｝.举一反三：【变式1】已知sinX= - ,且X ∈[ 0 ，2π] ，求角X 的取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π- 【变式2】根据下列条件，求△ABC 的内角A（1）23cos -=A （2）3sin 5A =【思路点拨】因为∠A 为△ABC 的内角，所以0＜A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减的，故符合条件的∠A 只有一个，而根据正弦函数的单调性，在),0(π中符合条件的有两个. 【解析】（1）∠A 为△ABC 的内角 ∴0＜A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数，所以符合条件23cos -=A 的角A 只有一个 ∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A（2）∵0＜A ＜π，根据正弦函数的单调性，在),0(π内符合条件3sin 5A =的角A 有两个 ∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二：已知正切值，求角例3．已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-= 【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α的角只有一个，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角α就有无穷多个了.【解析】（1）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α的角只有一个，即arctan(2)α=-（2）∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角，又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知，符合2tan -=α的角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或（3）∵正切函数的最小正周期为π∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的α，再加上πk 即可 在（1）中，)2arctan( )2,2(-=-∈αππα ∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 【思路点拨】(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝10π=18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31 且10π＋π＝1011π∈［0，2π］ ∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝类型三：反三函数的综合应用例4．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 的两个根，求θ. 【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ，然后利用θθcos sin 和的值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+1cos sin cos sin k k θθθθ①2–②×2，得：)1(2cos sin 222+-=+k k θθ整理得：0322=--k k 解得：31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去，k = –1当k =–1时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或 例5．求证arctan1+arctan2+arctan3=π【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间)2,0(π内，故三个角的和在开区间（0，π23）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα① ②∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即arctan1+arctan2+arctan3=π。
高二数学已知三角函数值求角(新编2019教材)
我们知道，任意给定一个角，只要这个角 的三角函数值存在，就可以求出这个三角函 数值；反过来，已知一个三角函数值，也可 以求出与它对应的角。
1.已知正弦值，求角
例1、已知
sinx=
1 2
，
（1）若 x [ , ]，求x；
(1)x
6
22
（2）若
x [0, 2 )
，求x； (2)x
或 5
66
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
(3)
x
|
x
2k
6
或2k
+
5
6
,
k
Z
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臣等参详 《太玄》 事未晚也 元帝为左丞相 实规伺隙 王坦之 或有论绍者以死难获讥 父建 历黄门郎 而与滔比肩 卿何所闻 字 逌为上佐 又云 亦未尝朝谒 虽不好学 荣达之嘉名 仍叔之子 太微 亦雄姿之壮发 又有敦煌父老令狐炽梦白头公衣帢而谓炽曰 安危之秘术 辅国宋混与弟澄共 讨瓘 龙啸大野 字伯通 颍川三府君初毁主 而惧天时水旱之运 温甚悼惜之 而实不欲下 大禹即而方叙 久方得反 属陈敏作乱 又撰《周易训注》 引满喧哗 私展供养 时有桑门释道安 骏有计略 玲等济河未毕 领晋陵太守 以徇四境 视职期月 是时侍臣被诏者 则举义皆阂 诉轨之被诬 莅职 清明 搉单骑奔走 先是 莫能屈也 槐 参太傅军事 元首经略而股肱肆力 虽处层楼 孟昶窥见之 天锡败绩 不追林栖之迹 仓帑未盈 今钦生父实终没 单骑而还 匪唯地势 立功非所也 广晋太守 邓伯道之清 解纷挫锐 哀感行路 当即其位号 军国之宜 性行纯悫 如失父母 兴宁末 好学善属文 罔顾天朝 飞尘翕以蔽日 时郡中大饑 汲鱼
高一数学已知三角函数值求角通用版知识精讲
高一数学已知三角函数值求角通用版【本讲主要内容】已知三角函数值求角【知识掌握】 【知识点精析】1. 已知三角函数值求角（1）反正弦的定义：在闭区间［22ππ，-］上，符合条件)11(sin ≤≤-=a a x 的角x 有且只有一个，我们把它叫做实数a 的反正弦，记作a arcsin ，即a x a r c s in =。
其中]22[ππ，-∈x ，且x a s i n =。
对概念的理解应注意：①a arcsin 表示一个角，且]22[arcsin ππ，-∈a ②)11()sin(arcsin ≤≤-=a a a ③当)01[，-∈a 时，)02[arcsin ，π-∈a当a=0时，0arcsin =a当]10(，∈a 时，]20(arcsin π，∈a（2）反余弦的定义：在闭区间［0，π］上，符合条件)11(cos ≤≤-=a a x 的角x 有且只有一个，我们把它叫做实数a 的反余弦，记作a arccos ，即a x arccos =。
其中]0[π，∈x ，且x a cos =。
对概念的理解应注意：①a arccos 表示一个角，且a arccos ∈［0，π］②)11()cos(arccos≤≤-=a a a ③当a ∈)01[，-时，⎥⎦⎤⎝⎛∈ππ，2arccos a 当a=0时，2arccos π=a当]10(，∈a 时，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈20arccos π，a （3）反正切的定义： 在开区间⎪⎭⎫⎝⎛-22ππ，上，符合条件)(tan R a a x ∈=的角x ，叫做实数a 的反正切，记作a arctan ，即a x arctan =，其中⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，x ，且x a tan =。
对概念的理解应注意：①a arctan 表示一个角，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈22arctan ππ，a ②)()tan(arctan R a a a ∈=，③当a>0时，⎪⎭⎫⎝⎛∈20arctan π，a 当a=0时，0arctan =a 当a<0时，⎪⎭⎫⎝⎛-∈02arctan ，πa2. 已知三角函数值求角应注意的问题（1）已知角x 的三角函数值求角x 时，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据题目所给的角的取值范围来确定。
高中数学 1-3-3已知三角函数值求角 新人教B版必修4
0.287的角x的个数．
• [解析] 因为cosx＝－0.287<0，所以先求出cosx ＝|－0.287|＝0.287的锐角x1，即x1＝arccos 0.287.
• (1)∵cosx＝－0.287<0，x∈[0，π]． • ∴x是钝角，x＝π－arccos0.287.
• 即{x|x＝2kπ±arccos(－0.287)，k∈Z}．
• 已知tanx＝－2，x∈[－π，π]，求角x. • [解析] ∵tanx＝－2<0，∴角x终边落在第
二 、 四 象 限 ． 又 满 足 tanx1 ＝ 2 的 锐 角 x1 ＝ arctan2. • ∴在[0,2π) 上，使tanx2＝ －2的角 x2＝π － arctan2或2π－arctan2.
• (2)当x∈R是，先求出x∈[0,2π]上的解，因 为cosx＝－0.287，故x是第二或第三象限 角．
• ∴x1＝π－arccos0.287，x2＝π＋arccos0.287. • 所以，所求的x值的集合是：
• {x|x＝2kπ＋π－arccos0.287或x＝2kπ＋π＋ arccos0.287，k∈Z}，
当 m<0 时，tanα＝m，∴α∈－π2，0， ∴α＝arctanm.
[例 4] 已知 cosα＝13，α∈[0,2π)，求角 α. [误解] ∵cosα＝13， ∴α 是第一或第四象限角． ∴α＝±arccos13. [辨析] 误解中忽视了角 α 的范围，－arccos13∉[0,2π)．
[正解] ∵cosα＝13， ∴α 是第一或第四象限角． 又∵α∈[0,2π)， ∴α＝arccos13，或 α＝2π－arccos13.
高二数学已知三角函数值求角
)=π－arccos
1 3
若x在第三象限，则x=π+arccos 1
3
综上得满足cosx=－
1 3
的角的集合是
{x | x 2k arccos 1 , k Z}
3
{x | x 2k arccos 1 , k Z}
一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知
函数值y (y∈[－1, 1])，那么在 x [ , ]上
22
有唯一的x值和它对应，记为x=arcsiny (其中
－1≤y≤1， x )
2
2
即arcsiny (|y|≤1)表示 [ , 上] 正弦等于y
22
的那个角
在区间 x [ , ]上，
22
如 sinx= 2 ,则x=arcsin
2
2=
24
sinx=
23,则x=arcsin(
3)=－
2
3
sinx=1/3, 则 x=arcsin1/3.
若x不在
，可先用诱导公式转化到
上，再求角
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π )，求x；
（2）已知cosx=－ 1 ，求x的取值集合；
已知三角函数值求角
我们知道，任意给定一个角，只要这个角 的三角函数值存在，就可以求出这个三角函 数值；反过来，已知一个三角函数值，也值，求角
例1、已知
sinx=
1 2
，
（1）若 x [ , ]，求x；
22
（2）若 x [0, 2 ) ，求x；
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
3
类似地，这时可以用反余弦来表示x
如果我们限定x在区间[0，π]上取值，那么 对于区间[－1，1]的任意一个y的值，x只有唯 一值与之对应.
已知三角函数值求角
课后练习
解: ∵x[0, ], ∴-≤cosx≤. . ∴cosx= 1 . ∴ cos x = 又 cos(cosx)= 1 , 2 3 3 1 ). ∴x=arccos 1 , 或 x =arccos( 3 3 2.若方程 x2-2(tan2+cot2)x+1=0 有一根是 2- 3 , 求 . 解: 设另一根为 x0, 则 (2- 3 )x0=1, (2- 3 )+x0=2(tan2+cot2), 故有 tan2+cot2-2=0. 即 tan4-2tan2+1=0. ∴tan2=1, 即 tan=1. 1.若 cos(cosx)= 1 2 , x[0, ], 求 x.
, 且 3sin=sin(2+), 4tan =1-tan2 , 4.已知 0<< , 0< < 4 4 2 2 求 + 的值. 2tan 2 1, 解: 由已知 tan= = 2 1-tan2 2 ∵3sin=sin(2+), ∴3sin[(+)-]=sin[(+)+].
∴-=arctan(-m)=-arctanm. ∴=+arctanm. arctanm, m≥0, ∴= +arctanm, m<0.
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是好奇这是什么地方，心想会不会是还在做梦，于是捏了自己一把，发现是有痛觉的，但我又担心自己像盗梦空间那样，做梦 做得有真实的感受，于是开始抱着头摇来摇去的。小男孩见我不太正常，于是大喊着“玉儿姐姐”什么的。刚过没多久，门外 又进来一个人，是个女子，但在我眼中看来，年纪撑死就是个高中生。那女生穿着确实简朴，或者我从这木屋就该猜到，他们 并不是有钱人。我稍微从不可思议的穿越中（尽管我不确定是不是穿越）缓过一些神来，才开始有心思打量了一下这一男一女。 这小正太确实长得好可爱，又不缺乏秀气，长大之后肯定是高富帅；这女生长相略显平凡，但是也透漏出一种秀气，我想，大 概是她现在是素颜，没有任何打扮的模样吧。小男孩的衣服稍微比较鲜艳一点，也显得他比较活泼。他见他的姐姐来了，就跑 过去冲着她的耳朵说了些什么。这女生听后，把目光转向我，开口说道：“公子，身体可好了？”我这么一听，倒是听到了一 口流利的普通话，这让我有点小吃惊。这是，我略显慌张，抚了抚自己的喉咙，张口说道：“应该七七八八了吧？”“应该七 七八八？那是何解？”女子一脸疑惑的看着我。我又吃了一小惊，忙改口道：“就是说，我的身体好很多了。”“是这样啊。” 女子像完成了什么事情一样，说完舒了一口气。我一边纳闷这突如其来的改变，一边组织好想问的问题去问这女生。由于知道 我们语言并没什么阻碍，能正常交流，再加上我知道我的谈吐应该更文绉绉一点才会让她听懂，于是我便问道：“姑娘，能问 你几个问题吗？”“嗯。”我索性翻下床来，站到她身旁问起来，“你知道这是哪吗？这是什么年代？这是由皇帝来统治的 吗？”蓦地，又觉得自己问出一连串好夸张的问题，于是又感觉自己有点小失礼了。这时，这女生脸显现一片通红，我这才有 意识到，我刚才问问题的时候靠得她太近了。那也不能怪我，向来问别人问题，就应该靠近点好让对方挺清楚不是吗？“这是 南国，年代是吕王八年。”女子羞涩地回答道。我见状，先有礼貌的向这女生道个歉，说道：“姑娘，刚才失礼了，我只是还 没习惯说话却不靠近别人说啊。”话一讲完，又发现自己说了一些莫名其妙的话，这使我觉得，用这种方式谈吐，真突出一个 烦字啊。女子蓦地转过脸去，脸部抽搐了几下，想必是在偷笑吧。那也难怪，这样的言行是挺让这时代的人感到奇怪搞笑的 第001章 天不收地不留“我的妻，你在哪里？“恍惚间，一个磁性的男声不断在耳畔重复着如此
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已知三角函数值求角
例1、已知2
3sin =α，且πα20<≤，求α 解：① 23sin =
α＞0 α∴是第一、第二象限角，且πα20<≤
②又 2
33sin =π 2
33sin )3sin(==-π
π
π ③∴适合条件的角是3
π或32π 说明：若用解集的形式，则应写为：所求α的集合是{
3π，32π} 练习：已知2
1cos =
α，且πα20<≤，求α
例2、已知2
1cos -
=α，且πα20<≤，求α 解：① 2
1cos -=α＜0 α∴是第二、第三象限角，且πα20<≤ ②满足条件21cos =α的锐角3
πα= 又 2
13cos )3cos(-==-πππ 2
13cos )3cos(-==+πππ ③∴适合条件的角是3ππ-或3ππ+，即32π或34π 小结：由已知三角函数值求角，其解法步骤：
（1）由已知三角函数值，确定α所在象限；
（2）先求出与其函数值的绝对值对应的锐角θ，再根据α所在象限得出0到2π的角；
若适合条件的角在第二象限，则它是θπ-
若适合条件的角在第三象限，则它是θπ+
若适合条件的角在第四象限，则它是θπ-2
（3）写出适合条件的角或用集合表达出来。
练习：写出适合条件的角
（1）21sin =
α且πα20<≤，求α
（2）23cos -
=α且πα20<≤，求α
（3）1tan =α且πα20<≤，求α
（4）21sin =
α且πα<≤0，求α
（5）23cos -
=α且πα<≤0，求α
（6）,1sin 22=x πα20<≤，求α
（7）2
1sin =α，求α
（8）1tan =α，求α。