三角函数知识点总结及练习题

高中数学必修4三角函数知识点总结
一、角的概念和弧度制：
（1）在直角坐标系内讨论角：
注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0
Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或
与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合：
（3）区间角的表示：
①象限角：第一象限角： ；
第四象限角： ；
第一、三象限角： ；
②写出图中所表示的区间角： （4）由α的终边所在的象限， 来判断
2α所在的象限，来判断3
α
所在的象限 （5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；
任一角α的弧度数的绝对值r
l
=
||α，其中l 为以角α为圆心角时所对圆弧的长。

（6）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ； 练习：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（22
cm ） 二、任意角的三角函数：
（1）任意角的三角函数定义：
以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系
I ）在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （注意r>0）
练习：已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。

角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

II ）作单位元交角α的终边上点),(y x P ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （2）在图中画出 角α的正弦线、 余弦线、正切线；
练习：
（1）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_____ （sin tan ααα<<）
（2）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是______222,3
3x
k x k k Z π
πππ⎧⎫∣-<≤+
∈⎨⎬⎩
⎭
（3）特殊角的三角函数值：
三、同角三角函数的关系与诱导公式：
（1）同角三角函数的关系
平方关系__________________；商数关系_____________________ 练习；（1）已知53sin +-=
m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝____（12
5
-） （2）若11tan tan -=-αα，则
ααααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2
++ααα＝___（35-；5
13）； （3）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin
f 的值为______（－1）。

（4）若1(0,),sin cos 2
απαα∈+=，求tan α的值。

（2）诱导公式：
ααπ⇒+k 2： ， ， ； ααπ⇒+： ， ， ； αα⇒-： ， ， ； ααπ⇒-： ， ， ； ααπ
⇒-2： ， ， ； ααπ
⇒+2
： ， ， ； 诱导公式可用概括为：
2K π±α,-α,
2
π
±α,π±α,23π±α的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 α的三角
函数
（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：
①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所 在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。

②求任意角的三角函数值。

步骤：（右图）
③已知三角函数值求角：
注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个． 步骤： ①确定角α所在的象限；
②如函数值为正，先求出对应的锐角1α；如函数值为
负，先求出与其绝对值对应的锐角1α；
③根据角α所在的象限，得出π2~0间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是1απ-；如果在第三或第四象限，则它是1απ+或12απ-；
④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。

练习（1）m =αtan ，则=αsin ，=αcos ；=-)23sin(
απ。

（2）97cos tan()sin 2146
ππ
π+-+的值为________（2323-）； （3）已知5
4)540sin(-=+α
，则=-)270cos( α______，若α为第二象限角，则
=+-+-)
180tan()]360cos()180[sin(2
ααα
________。

（54-；1003-） 四、三角函数图像和性质
1．周期函数定义
例 求函数f(x)=3sin )3
5(π
+x k ()0≠k 的周期,并求最小的正整数k,使他的周期不大于1. 2．图像 练习
（1）函数sin(3)
6
y a b x π
=-+的最大值
23，最小值2
1
-，则=a __，=b ______（1
,1
2
a b ==或1b =-）；
(2)若3
sin )(x
x f π=，则
(1)(2)(3)(2003)
f f f f ++++＝___（0）； (3) 函数
)5
2sin(2)(π
π+=x x f ，若任意
R x ∈都有
)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为____（2）
3．三角函数的对称
)sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是__________，对称中心____________； )cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是_____________，对称中心__________； )tan(ϕω+=x y 的对称中心______. 练习（1）函数522y sin x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的奇偶性是______（偶函数）； （2）已知函数3
1f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（－5）；
4．图像的平移
对函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)＋k (A ＞0, ω＞0, ϕ≠0, k ≠0),其图象的基本变换有： (1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A 的变化引起的．A ＞1,伸长；A ＜1,缩短． (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长． (3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．ϕ＞0,左移；ϕ＜0，右移． (4)上下平移(纵向平移变换): 是由k 的变化引起的．k ＞0, 上移；k ＜0,下移 5.三角函数的图象
1.用五点法作)sin(ϕω+=x A y 的图象，这五点的坐标为 。

2.根据三角函数图象写表达式时，一般先求A 、ω，最后求ϕ，求ϕ时一般用法_____ 练习
（1）()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，||)2
π
ϕ<
的图象如图所示，则 ()f x ＝_________；
（2）函数2sin(2)14
y x π
=-
-的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？
(3) 要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2x y =图象向___平移____个单位（左；2
π
）；
课后习题
23题图2π9
Y X
-2
23
1）函数23y sin(x )π
=-+
的递减区间是____（51212[k ,k ](k Z )π
πππ-
+∈）
； 2）12
34x y log cos()π=+的递减区间是____（336644[k ,k ](k Z )π
πππ-+∈）
； 3）函数)2
2
,0,0)(sin()(π
ϕπ
ωϕω<
<-
>≠+=A x A x f 图象关于直线3
2π=x 对称，周期是π，则
A 、)21
,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[
,]123
ππ
上是减函数 C 、)0,12
5()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A （C ）； 4）函数y =－x ·cos x 的部分图象是( )
5）如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈记 水轮上的点P 到水面的距离为d 米（P 在水面下则d 为负数），则 d （米）与时间t （秒）之间满足关系式：
()()sin 0,0,2
2
d A t k A π
π
ωϕωϕ=++>>-
<<
，且当P 点
从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：(1)10A =；()2215πω=；()36
π
ϕ=；()45k =，则其中所有正确结论的序号是 (π）。