锐角三角函数知识点及试题(含答案).
专题：锐角三角函数的概念及性质(答案)有答案
初中数学.精品文档如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯专题：三角函数的概念及性质考点一正切与坡度1．正切的定义：在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝.2．坡度定义：如图，坡面的铅直高度和水平长度的比叫坡度，即坡角的正切值，坡度一般用i表示．即：i＝tanα＝h l.【例1】1．如图，点A(2，t)在第一象限，OA与x轴所夹锐角为α，tanα＝2，则t的值为(A)A．4B．3 C．2D．12．如图，河堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为(A)A．12米B．43米C．53米D．63米3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝23，AB＝32，则tan∠BCD的值为22．4．如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为 5 m．5．如图，已知矩形ABCD的两边AB：BC=4∶5，E是AB上的一点，沿CE将△EBC向上翻折，若点B恰好落在边AD的点F上，则tan∠DCF＝34.6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，如果AD＝8，AB＝10，BC＝9，则tan∠ADE的值为38．考点二正弦、余弦1．正弦的定义：在Rt△ABC(∠C＝90°)中，把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A.即sin A＝∠A的对边斜边.2．余弦的定义：在Rt△ABC(∠C＝90°)中把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A.即cos A＝∠A的邻边斜边.【例2】1．如图，点A为∠α边上一点，作AC⊥BC，CD⊥AB，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(C)A．BDBC B．BCAB C．ADAC D．CDAC2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为(B)A．12B．55C．1010D．2553．Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则cos A=55．4．如图，在矩形ABCD中DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cosα＝35，AB＝4，则AD的长为163.5．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的每个顶点都在网格的交点处，则sin A＝____35____.6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，点P是AB上一点，AP＝初中数学.精品文档2BP ，PQ ⊥BC 于点Q ，连接AQ ，则cos ∠AQC =277.7．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E . (1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠DBE 的值．解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∴sin A ＝BC AB ＝45.又∵BC ＝8，∴AB ＝10.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6. ∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，∴BE ＝6×82×5＝245.在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD ＝2455＝2425.考点三 特殊角三角函数值 1．特殊角30°、45°、60°的三角函数值：α 30° 45° 60° sin α 12 22 32 cos α 32 22 12 tan α3313【例3】1．计算sin 245°＋cos30°·tan60°，其结果是( A )A ．2B ．1C ．52D ．542．式子2cos30°－tan45°－1－tan60°2的值是( B ) A ．23－2 B ．0 C ．2 3 D ．23．在△ABC 中，若sin B ＋C 2＝32，则cos A ＝ 12.4．α为锐角，当11－tan α无意义时，则sin(α＋15°)＋cos(α－15°)的值为 3 .5．已知“和角正弦”公式：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，则sin75°＝ 2＋64．6．计算： (1)tan30°＋sin60°1－cos60°；解：原式＝33＋321－12＝536×2＝533.(2)()－12－2＋2cos60°－(－1)2018－|13－4|.解：原式＝4＋1－1－4＋13＝13.考点四 三角函数的性质1．锐角三角函数的性质：其中0°＜α＜90° (1)互余关系：若A +B =90º，则sin A cos B ，sin B cos A ， tan A ·tan B= ．(2)范围： ＜sin α＜ ， ＜cos α＜ ，tan α ； (3)增减：当0°＜α＜90°，sin α、tan α随着α的增大而 ， cos α 随着α 的增大而 ；(4)商数关系： ； (5)平方关系： ；【例4】1．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，则sin等于( A )A ．cosB ．sinC ．cos CD ．cos2．若tan x ·tan10°＝tan45°，则锐角x 等于( C ) A ．45° B ．10° C ．80° D ．35°3．如果α是锐角，cos α＝34，则sin(90°－α)＝ 34.( )初中数学.精品文档4．比较大小：sin 42° ＜ cos 42°、5．计算：sin46°·cos44°＋cos46°·sin44°＝ 1 6．若，则tan A 的值为 2 .7．观察下列各式：①sin30°＝12，cos60°＝12；②sin45°＝22，cos45°＝22；③sin60°＝32，cos30°＝32.(1)根据上述规律，计算：sin 2α＋sin 2(90°－α)＝ 11 ； (2)计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°.解：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.※课后练习1．如果cos α＝35，∠α＋∠β＝90°，那么cos β的值为( C )A ．25B ．35C ．45D ．342．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为( C ) A ．1∶2 B ．3∶2C ．1∶ 3D ．3∶13．已知sin α<12，那么锐角α的取值范围为( D )A ．60°<α<90°B ．0°<α<60°C ．30°<α<90°D ．0°<α<30°4．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( B ) A ．12B ．13C ．14D ．245．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕．若AE ＝3，则sin ∠BFD 的值为( A )A ．13B ．223C ．24D ．356．已知α，β为锐角，且sin(90°－α)＝13，sin β＝14，则cos 90°－βcos α的值为 34 ．7．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝2.5，AC ＝3，则tan B 的值是 34．8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，则tan ∠BPC ＝ 43.9．如图，在△ABC 中，AE ⊥BC 于点E ，F 为AB 边上一点，如果BF ＝2AF ，CF ＝10，sin ∠BCF ＝35，则AE 的值为 9 ．10．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cos A ＝35，BE ＝4，则tan ∠DBE 的值是 22 .( )11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD ，AE ，DF 为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α＝45°，坡长AB ＝62米，背水坡CD 的坡度i ＝1∶3(i 为DF 与FC 的比值)，求背水坡CD 的坡长．解：CD 的坡长为12米12．计算求值： (1)cos60°－22sin45°＋|－3tan30°| 原式＝12－22×22＋3×33＝12－12＋ 3 ＝ 3.(2)46sin 46tan ·sin4480cos 10sin 2原式＝1(3)cos 21°+cos 22°+…+cos 289°原式=4413．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos B ＝513，BC ＝26.求：(1)cos ∠DAC 的值； 解：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，cos B ＝AB BC ＝513，BC ＝26，∴AB ＝10，∴AC ＝BC 2－AB 2＝262－102＝24 .∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∴cos ∠DAC ＝cos ∠ACB ＝AC BC ＝1213.(2)线段AD 的长．解：过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E . ∵AD ＝DC ，∴AE ＝EC ＝12AC ＝12，在Rt △ADE 中，cos ∠DAE ＝AE AD ＝1213，∴AD ＝13.14．如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC . (1)求证：AC ＝BD ；解：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵tan B ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝ADAC，tan B ＝cos ∠DAC ， ∴AD BD ＝AD AC ， ∴AC ＝BD .(2)若sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．解：在Rt △ADC 中，由sin C ＝1213，可设AD ＝12k ，则AC ＝13k ，CD ＝5k ， 由(1)知，BD ＝AC ＝13k ，∴13k ＋5k ＝12，k ＝23，∴AD ＝12×23＝8.15．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，E 是AB 的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32， ∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴ACCD＝2， ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ，∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2 ＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝4 55.。
中考数学-锐角三角函数(解析版)
知识点一：锐角三角函数 1．三角函数定义 在 Rt△ABC 中，若∠C=90°
sin A A的对边 a
斜边
c
A的邻边
b
cos A
斜边
c
A的对边
a
tan A A的邻边 b
A的邻边
b
cot A A的对边 a
2.同角三角函数的关系
（1）平方关系： sin2 Acos2 A1
（1）三边之间的关系为 a2 b2 c2 （勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
2.其他有关公式
（1）
S
1 2
ab sin C
=
1 2
bc sin
A
=
1 2
ac sin
B
（2）Rt△面积公式：
S
1 2
ab
1 2
ch
（3）直角三角形外接圆的半径
R c 2
，内切圆半径
r abc 2
结论：直角三角形斜边上的高 h ab c
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母 i 表示，即 i h . l
见问题，这也是以后中考命题的趋势。 5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在 解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
初中数学锐角三角函数的知识点总复习附解析(1)
初中数学锐角三角函数的知识点总复习附解析(1)一、选择题1．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 为半径作弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则下列说法错误的是（ ）A ．60ABC ∠=︒B ．2ABE ADE S S ∆=VC ．若AB=4，则7BE =D ．21sin 14CBE ∠= 【答案】C【解析】【分析】 由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12CE=1，337 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=21EH BE =． 【详解】解：由作法得AE 垂直平分CD ，∴∠AED=90°，CE=DE ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=2DE ，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确；∵AB=2DE ，∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，CH=12CE=1，EH=3CH=3，在Rt△BEH中，BE=22(3)527+=，所以C选项的说法错误；sin∠CBE=3211427EHBE==，所以D选项的说法正确．故选C．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=23，那么AB的长是（）A．3 B．43C．5D．13【答案】A 【解析】根据锐角三角函数的性质，可知cosA=ACAB=23，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3.故选A.点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=A∠的邻边斜边，然后带入数值即可求解.3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABCV如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE∠的值是（）A．247B．73C．724D．13【答案】C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，解得x=254，故CE=8-254=74，∴tan∠CBE=724 CECB=.故选C.考点：锐角三角函数.4．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan D的值为（）A．3B．33C．23D．23【答案】D【解析】【分析】设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．【详解】设AC＝m，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2m，BC33，∴BD＝AB＝2m，DC＝3，∴tan∠ADC＝ACCD23m m+＝23故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )A．60海里B．45海里C．203海里D．303海里【答案】D【解析】【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．【详解】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=22303AB AP-=（海里）故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）A．3B．23C．32D．233【答案】A【解析】连接OC，∵OA=OC，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC•tan30°=3，故选A7．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()A．4 B．83C．6 D．43【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB=43，∴光盘的直径为83．故选：B．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.8．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，∠DOE＝120°，DE＝1，则BD＝（）A．33B．233C．63D．33【答案】B【解析】【分析】证明△OBE是等边三角形，然后解直角三角形即可．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，CD=BC．∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴OE=OD=OB．∵∠DOE=120°，∴∠BOE=60°，∴△OBE是等边三角形，∴∠DBC=60°．∵∠DEB=90°，∴BD=23 sin60DE=︒．故选B．【点睛】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则c aa b c b+++的值为（）A．12B．22C．1 D2【答案】C 【解析】【分析】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用3sin60︒=cos60°=12,可求13,,2DB c AD==把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【详解】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，∴13,,22 DB c AD c ==在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，∴2221324a c b c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即a 2+c 2=b 2+ac ， ∴()()2222222 1.c a c cb a ab a c ab bc b ac ab bc a b c b a b c b ac ab bc b ac ab bc b++++++++++====++++++++++ 故选C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．10．如图，Rt △AOB 中，∠AOB=90°，AO=3BO ，OB 在x 轴上，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2x的图象上，OA'交反比例函数y=k x 的图象于点C ，且OC=2CA'，则k 的值为（ ）A ．4B ．72C ．8D ．7【答案】C【解析】【详解】 解：设将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至Rt △A'OB'的旋转角为α，OB=a ，则OA=3a ， 由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C 的坐标为（2asinα，2acosα）， ∵点B'在反比例函数y=﹣2x 的图象上， ∴﹣asinα=﹣2acos α，得a 2sin αcosα=2，又∵点C 在反比例函数y=k x 的图象上， ∴2acos α=k 2asin α，得k=4a 2sinαcosα=8. 故选C.【点睛】 本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C 的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.11．如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（ ）A ．b=a+cB ．b=acC ．b 2=a 2+c 2D ．b=2a=2c【答案】A【解析】【分析】 利用解直角三角形知识.在边长为a 和b 两正方形上方的两直角三角形中由正切可得a b c b a c-=-，化简得b ＝a ＋c ，故选A. 【详解】请在此输入详解！12．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为60πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为（ ）A ．313B ．513C ．512D ．1213【答案】C【解析】【分析】先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式12S lr =可求出母线的长，最后利用三角函数即可求出答案.【详解】解：∵圆锥底面周长为2510ππ⨯=，且圆锥的侧面积为60π，∴圆锥的母线长为2601210ππ⨯=， ∴sin θ=512. 故选C.【点睛】 本题考查了圆锥和三角函数的相关知识.利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键.13．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=︒，70DAC ∠=︒，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（ ）．A ．2sin70︒B ．2cos70︒C ．2tan70︒D ．2tan 70︒【答案】B【解析】【分析】 直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB ，AD 的长，即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，∴cos60°=12AC AB =， 则AB=2AC ， ∴cos70°=AC AD， ∴AC=AD •cos70°，AD=cos70AC ︒，∴2cos70ACACABAD=︒=2cos70°．故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．14．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（）A．AF＝12 CFB．∠DCF＝∠DFCC．图中与△AEF相似的三角形共有5个D．tan∠CAD3【答案】D【解析】【分析】由AE=12AD=12BC，又AD∥BC，所以12AE AFBC FC==，故A正确，不符合题意；过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=12BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．【详解】解：A、∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC＝AFFC，∵AE＝12AD＝12BC，∴AFFC＝12，故A正确，不符合题意；B 、过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE ＝12BC ， ∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF ， ∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ， ∴DN ⊥CF ，∴DF ＝DC ，∴∠DCF ＝∠DFC ，故B 正确，不符合题意；C 、图中与△AEF 相似的三角形有△ACD ，△BAF ，△CBF ，△CAB ，△ABE 共有5个，故C 正确，不符合题意．D 、设AD ＝a ，AB ＝b 由△BAE ∽△ADC ，有b a ＝2a ． ∵tan ∠CAD ＝CD AD ＝b a ＝22，故D 错误，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．15．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ~ABC V V ，∵2DE BC =，∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =，∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF ==︒， ∴DF=3，故选：D ．【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．16．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=383= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积=2120(43)84332316360ππ⨯⨯-=-． 故选：C.【点睛】 本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．17．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23．则»BC 的长为( )A ．3πB ．23πC ．33πD ．33π 【答案】B【解析】 【分析】根据垂径定理得到3CE DE ==»»BC BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23∴3CE DE ==»»BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，∴OD=2sin 60DE =o ， ∴»BC的长=»BD 的长=60221803ππ⨯=， 故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.18．已知B 港口位于A 观测点北偏东45°方向，且其到A 观测点正北风向的距离BM 的长为102km ，一艘货轮从B 港口沿如图所示的BC 方向航行47km 到达C 处，测得C 处位于A 观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为（ ）km ．A ．3B ．3C ．3D ．3【答案】A【解析】【分析】【详解】 解：∵∠MAB=45°，BM=102，∴22BM MA +22(102)(102)+，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ，在Rt △ADB 中，∠BAD=∠MAC ﹣∠MAB=75°﹣45°=30°，tan ∠BAD=BD AD 3 ∴3，BD 2+AD 2=AB 2，即BD 2+3）2=202，∴BD=10，∴3，在Rt △BCD 中，BD 2+CD 2=BC 2，33，∴AC=AD ﹣333km ，答：此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为3km ．故选A ．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．19．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（ ）A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα 【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝a ，∵cot αAC BC=， ∴AC ＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.20．如图所示，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒ ，顶点,A B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x=-<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（ ）A 5B 5C 25D 10【答案】B【解析】【分析】过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S △BDO =52，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=5OB OA =，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ， 则∠BDO=∠ACO=90°，∵顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x =-<的图象上， ∴S △BDO =52，S △AOC =12， ∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，∴∠DBO=∠AOC ，∴△BDO ∽△OCA ， ∴251522BOD OAC S OB S OA ⎛⎫==÷= ⎪⎝⎭△△， ∴5OB OA= ∴tan ∠BAO=5OB OA =. 故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．。
锐角三角函数（含习题及答案）
锐角三角函数——正弦一、教学目标1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．2.能根据正弦概念正确进行计算3.经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力．二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．三、教学过程（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34º，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30º，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=35m，求AB根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即==可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90º，∠A=45º，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC 中，∠C=90º，由于∠A=45º，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2 = AC2+BC2 = 2BC2，AB =BC故===结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45º，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．认识正弦如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c．师：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sinA．板书：sinA＝= (举例说明：若a = 1，c = 3，则sinA=)注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56º、sin∠DEF；3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位．提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，求sinA和sinB的值.分析：可利用勾股定理分别求出两个三角形中未知的那一边长，再根据正弦的定义求解.解答按课本.锐角三角函数——余弦和正切一、教学目标1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．二、教学重点、难点重点：理解余弦、正切的概念难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算三、教学过程（一）复习引入1.口述正弦的定义2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，CD⊥AB于点D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A． B． C．D．（二）实践探索一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90o，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90o，∠B=∠B’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；即cosA ==类似地，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA =锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，BC=6，sinA =，求cosA和tanB的值．解：∵sinA =，∴AB == 6×= 10又AC === 8∴cosA ==，tanB ==30°、45°、60°角的三角函数值一、教学目标1.能推导并熟记30º、45º、60º角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．2.能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式二、教学重点、难点重点：熟记30º、45º、60º角的三角函数值，能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式难点：30º、45º、60º角的三角函数值的推导过程三、教学过程(一)复习引入还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin30º =，sin45º=你还能推导出sin60º的值及30º、45º、60º角的其它三角函数值吗？(二)实践探索让学生画30º、45º、60º的直角三角形，分别求sin30º、cos45º、tan60°归纳结果（三）教学互动例1、求下列各式的值：(1) cos260º+cos245º+sin30ºsin45º(2)+解：(1)原式 = ()2+()2+××=++= 1(2)原式 =+=+= −(1+)2−(1−)2=−3−2−3+2= −6说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值．易错点因没有记准特殊角的正弦余弦值，造成计算错例2、(1)如图(1), 在RtΔABC中，∠C = 90º，AB =，BC =，求∠A的度数．(2)如图(2)，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求α.解：(1)在图(1)中，∵sinA ===，∴∠A = −45º，(2)在图(2)中，∵tanα ===，∴α = 60º用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角一、教学目标1.让学生熟识计算器一些功能键的使用2.会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角二、教学重点、难点重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题难点：知道值求角的处理三、教学过程（一）复习引入通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以用计算器来求锐角的三角函数值．（二）实践探索1.用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）sin37º24′sin37°23′cos21º28′ cos38°12′tan52°tan36°20′ tan75°17′2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816.∠A＝；cosA＝0.8607，∠A＝；tanA＝0.1890，∠A=；tanA＝56.78，∠A＝．典型例题1．若把ΔABC中锐角A的两边AB、AC分别缩小为原来的，已知其中∠C = 90º，则锐角A的正弦，则sinA的变化情况为( )A．nsinA B．sinA C． D．保持原值不变答案：D说明：因为当一个锐角大小不变时，其正弦值是固定的，与∠A的两边大小无关，所以正确答案为D．2．已知ΔABC中，∠C = 90º，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c、且c = 3b，则cosA = ( )A． B． C．D．答案：C说明：因为cosA =，而c = 3b，所以cosA =，答案为C．3．a、b、c是ΔABC的三边，a、b、c满足等式(2b)2= 4(c+a)(c−a)，且有5a−3c = 0，求sinA+sinB的值．分析：用正弦的定义把正弦换为边的比，再由所给的边与边的关系即可求值．解：由(2b)2 = 4(c+a)(c−a)得b2 = c2−a2，∴c2 = a2+b2，∴ΔABC是直角三角形，且∠C = 90º；由5a−3c = 0，得=，即sinA =设a = 3k，则c = 5k，∴b == 4k，∴sinB ===∴sinA+sinB =+=．4．如图，∠POQ = 90º，边长为2 cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC = 30º；分别求点A、D到OP的距离．分析：由正方形的性质可证ΔABE≌ΔBCO≌ΔCDG，再由∠OBC = 30º，即可求出OC、CG、AE的长．解：过点A、D分别作AE⊥OP、DF⊥OP，DG⊥OG，垂足分别为E、F、G．在正方形ABCD中，∠ABC =∠BCD = 90º∵∠OBC = 30º，∴∠ABE =∠BCO = 60º同理可求∠CDG = 60º，又AB = BC = CD = 2 cm，∴RtΔABE≌RtΔBCO≌RtΔCDG∴CG = AE = AB•sin∠ABE = 2•=(cm)OC = BC•sin∠OBC = 2•= 1(cm)∴DF = OG = GC+OC = (+1)(cm)即点A到OP的距离为cm，点D到OP的距离为(+1)cm．习题精选选择题：1．如图，CD是RtΔABC斜边上的高，AC = 4，BC = 3，则cos∠BCD的值是( )A．B．C． D．答案：D说明：因为CD⊥AB，所以∠BCD+∠B = 90º；又∠A+∠B = 90º，所以∠BCD =∠A；由BC = 3，AC = 4，得AB === 5，∴cos ∠BCD = cosA ==，所以答案为D．2．如图，以平面直角坐标系的原点为圆心，以1为半径作圆，若点P是该圆在第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标是( )A．(cosα，1)B．(1，sinα)C．(sinα，cosα)D．(cosα，sinα)答案：D说明：如图，作PA⊥x轴于点A；由锐角三角函数定义知，cosα =，sinα =，所以OA = OPcosα = cosα，PA = OPsinα，所以点P的坐标为(cosα，sinα)，所以答案为D．3．如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，下列结论不一定成立的是( )A．AD = BC’B．∠EBD =∠EDBC．ΔABE与ΔBCD相似D．sin∠ABE =答案：C说明：因为ΔBC’D≌ΔBCD，所以BC’ = BC；又BC = AD，所以AD = BC’；因为AD//BC，所以∠EDB =∠CBD，而∠CBD =∠EBD，所以∠EDB =∠EBD，所以EB = ED；而sin∠ABE ==，所以A、B、D都是成立的，答案为C．4．如图，RtΔABC中，∠C = 90º，D为BC上一点，∠DAC = 30º，BD = 2，AB = 2，则AC的长是( )A． B．2 C．3D．答案：A说明：在RtΔACD中，因为∠CAD = 30º，设CD = x，因为tan∠DAC =，则AC =x，在RtΔABC中，由勾股定理得AB2= AC2+BC2= AC2+(CD+DB)2，即(2)2= (x)2+(x+2)2，∴x2+x−2 = 0，解得x1 = 1或x2 = −2(舍去)，即DC = 1，AC =，答案为A．5．在RtΔABC中，∠C = 90º，如果∠A = 30º，那么sinA+cosB的值等于( )A．1 B． C．D．答案：A说明：因为在RtΔABC中，∠C = 90º，∠A = 30º，所以∠B = 60º，所以sinA = sin30º =，cosB = cos60º =，故sinA+cosB =+= 1，所以答案为A．6．在矩形ABCD中，BC = 2，AE⊥BD于E，∠BAE = 30º，那么ΔECD的面积是( )A．2 B． C．D．答案：C说明：如图，由题意得，ΔABE与ΔBDC相似，∴∠CBD =∠BAE = 30º，∴CD = BC•tan∠CBD = 2•=，AB = CD =，BE = AB•sin30º =×=，EF = BE•sin30º =×=，∴SΔECD = SΔBCD−SΔEBC =BC•CD−BC•EF =×2×−×2×=，答案为C．7．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分(图中黄色部分)的面积为( )A． B．sinα C． D．cosα答案：C说明：如图，过点A作AN⊥CD于N，过点D作DM⊥BC于M，则AN = DM = 1，∠DCM =α，在RtΔDCM中，CD == ，所以S平行四边形ABCD = CD•AN =，答案为C．解答题：1．如果α是锐角，且cosα =，求sinα及tanα的值．分析：事实上，因为α为锐角，所以可构造一个RtΔABC，使∠C = 90º，∠A = α，则有AC = 4k，AB = 5k，由勾股定理得BC == 3k，从而可求sinα；还可直接用公式sinA =求解．解：构造RtΔABC，使∠A = α，∠C = 90º，如图，∵cosα = cosA =，∴可令AC = 4k，AB = 5k，∴BC == 3k，∴sinA ===，tanA ===，即sinα =，tanα =．2．若tan2x−(+1)tanx+= 0，求锐角x．分析：这是以tanx为未知数的一元二次方程，可先求出tanx，再求x．解：tan2x−(+1)tanx+= 0，(tanx−1)(tanx−) = 0，得tanx = 1或tanx =；当tanx = 1时，x = 45º；当tanx =时，x = 60º；∴x1 = 45º，x2 = 60º．。
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)
锐角三角函数我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，tan aA b=，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系． 一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1sin 2A =，BD ＝2，求BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==．在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以212BC =．所以BC ＝4． 二、平方关系 由定义知sin a A c =，cos b A c=， 所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=（sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方）．又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2，所以sin 2A +cos 2A =22c c=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算． 例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．解：由余角关系知sin56°=cos（90°-56°）=cos34°． 所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭． 三、相除关系 由定义中sin a A c =，cos bA c=， 得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==．利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单． 例3 已知α为锐角，tan α=2，求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值．解：因为sin tan 2cos ααα==，所以sin α=2cos α， 所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---．求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例4 如图1， 在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =125，那么sin B 等于（ ） (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为tan A =125=b a ，所以可设a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得c =13k ， 所以sin B =1312=c b ．应选(B)．五、等线段代换法例5 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D 边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ，所以C F=CB ， 又C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以C D ：C F=4：5，图1 图2在Rt△D C F 中，c os∠D C F=54=CF DC ． 六、等角代换法例6 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（ ） （A ）311 （B ）113 （C ）119 （D ）911分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E ，所以只需求出tan∠CA E ．根据条件可知△AC E∽△B DE，所以ED CE BD AC =，即CECE-=1163， 所以C E=311，在Rt△A E C 中，tan∠CA E=9113311==AC CE ．所以tan α=911．七、等比代换法例7 如图4， 在Rt△ABC 中，ACB =90，C D⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（ ）(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析：由三角形函数的定义知tan α=DCDB， 由Rt△C D B ∽Rt△ACB ， 所以43==AC BC DC DB ，所以tan α=43，选(A)． ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°．2．比较大小：cot30°_________cot22°．3．比较大小：sin25°___________cos25°．4．比较大小：tan52°___________cot52°．5．比较大小：tan48°____________cot41°．6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积；②在△ABC中，若∠C=90°，则c=αsinA成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为（）A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9（新疆中考题）（1）如图（1）、（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。
锐角三角函数(附答案)
教材过关二十八 锐角三角函数一、填空题1.在直角三角形中，斜边和一直角边的比是5∶3，最小角为α，则sin α=_______________,cos α=_________________,tan α=__________________. 答案：53 54 43 提示：假如两边长分别为5、3,则另一边为4,且3所对的角最小,由此可得答案. 2.在△ABC 中,若︱sinA-21︱+(23-cosB)2=0, 则∠C=___________________. 答案：120° 提示：由sinA=21,可得∠A=30°, 由cosB=23,得∠B=30°,则∠C=120°. 3.6tan 230°-3sin60°-2cos45°=__________________. 答案：21-2 提示：tan30°=33,sin60°=23,cos45°=22. 4.等腰三角形的两条边长分别是 4 cm ，9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是________________. 答案：92 提示：三角形三边只能为4,9,9.5.若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA-3=0，则∠A=__________________. 答案：45°提示：解这个一元二次方程,可得tanA 的值,但∠A 为锐角,所以只能取正值. 6.如图9-43,AB 、CD 是两栋楼，且AB=CD=30 m,两楼间距AC=24 m,当太阳光与水平线的夹角为30°时，AB 楼在CD 楼上的影子是m.（精确到0.1 m ）图9-43答案：16.2提示：画出图形,解直角三角形. 二、选择题7.在△ABC 中，∠C=90°,下列式子正确的是A.b=atanAB.b=csinAC.a=ccosBD.c=asinA 答案：C 提示：因为cosB=ca,所以a=ccosB. 8.在Rt △ABC 中,各边都扩大四倍，则锐角A 的各三角函数值 A.没有变化 B.分别扩大4倍 C.分别缩小到原来的41D.不能确定 答案：A提示：因为各边都扩大四倍,它们的比值不变,故三角函数值也不变. 9.在Rt △ABC 中, 2sin(α+20°)=3，则锐角α的度数是A.60°B.80°C.40°D.以上结论都不对 答案：C提示：2sin(α+20°)=3,得sin(α+20°)=23, 所以α+20°=60°,α=40°.10.在Rt △ABC 中, ∠C=90°,已知tanB=25，则cosA 等于 A.25 B.35 C.552 D.32答案：B 提示：∵tanB=25，a b =25，可令b=5,a=2,则c=3,cosA=35. 11.有一个角是30°的直角三角形，斜边为1 cm ，则斜边上的高为 A.41 cm B.21cmC.43 cm D.23 cm 答案：C 提示：直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半,求出两直角边再利用面积或射影定理. 三、解答题12.(2010四川泸洲中考)如图9-44，在一次实践活动中，小兵从A 地出发，沿北偏东45°方向行进了53千米到达B 地，然后再沿北偏西45°方向行进了5千米到达目的地点C.图9-44（1）求A 、C 两地之间的距离；（2）试确定目的地C 在点A 的什么方向？ 解：根据题意,可知∠ABC=90°,∵AB=53,BC=5, AC 2=AB 2+BC 2 =75+25 =100.∴AC=10千米.(2)在Rt △ABC 中,tan ∠BAC=AB BC =355=33, ∴∠BAC=30°.∴C 在点A 的北偏东15°.提示：根据方向角,先确定出△ABC 是直角三角形,可用勾股定理求AC,再利用三角函数求出CA.13.如图9-45，用测角仪测得铁塔顶点A 的仰角为30°，测角仪离铁塔中心线AB 的距离为40米，测角仪CD 高1.5米，求铁塔的高度.（精确到0.1米）图9-45答案：24.6米.提示：铁塔的高度AB=40tan30°+1.5≈24.6(米). 14.如图9-46，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高.图9-46解：在Rt △ABD 中, ∵tan ∠ADB=BDAB=1,∴BD=AB. 又在Rt △ABC 中,∵tanC=BC AB =33, ∴BC=30tan AB=3AB.又∵BC-BD=14,∴3AB-AB=14. ∴AB=7(3+1)(米).15.如图9-47，水面上有一浮标，在高于水面1米的地方观察，测得浮标顶的仰角30°，同时测得浮标在水中的倒影顶端俯角45°，观察时水面处于平静状态，求水面到浮标顶端的高度.（精确到0.1米）图9-47答案：3.7米.提示：过A 作AD ⊥BC 于D,则∠BAD=30°,∠DAC=45°. 设BD=x,则AD=xcot30°.又AD=DC 且BE=DC,即x+1=xcot30°. 求得x ≈2.73.∴BE=2.73+1≈3.7(米).16.如图9-48，在一次暖气管道的铺设工作中，工程是由A 点出发沿正西方向进行的，在A 点的南偏西60°的方向上有一所学校，学校占地是以B 点为中心方圆100米的圆形，当工程进行了200米时到达C 处，此时B 在C 的南偏西30°的方向上，请根据题中所提供的信息计算、分析一下，工程继续进行下去，是否会穿过学校？图9-48解：过B 作BD ⊥AC 于D,在Rt △BCD 中,∠BCD=60°,∵tan60°=CD BD ,∴CD=︒60tan BD. 同理,在Rt △BAD 中,AD=︒30tan BD，又∵AD-CD=200，∴3BD-33BD=200. ∴BD=1003>100.∴不会穿过学校.。
《锐角三角函数》知识点及练习3篇
《锐角三角函数》知识点及练习3篇知识框架知识概念1.Rt△ABC(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边2.特殊值的三角函数1.求出下图中sinD ，sinE 的值．2．把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ）A ．sinA ＝sinA ′B ．sinA ＝2sinA ′C ．2sinA ＝sinA ′D ．不能确定 3．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinB 的值是（ ）A ． 35B ． 45C ． 34D ． 434．如图，△ABC 中，AB=25，BC=7，CA=24．求sinA 的值．25247C BA5．计算：sin30°·sin 60°+sin45°6．如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角，在直线上取一点P ，连接AP 、PB ，使sin ∠APB=12，则满足条件的点P 的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．不存在7．如图，△ABC 中，∠A 是锐角，求证：1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅8．等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求sinA 、sinB ．lCBA （第7题图）85F E D1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b=3a，则tanA= ．2．在△ABC中，∠C＝90°，cosAc＝4，则a＝_______．3．如果a∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cosα的值是（）A．12B．2C．1D．4．如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为（2，3），则sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ _．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=AB=tan∠ACD的值为（）A．B． C D6．已知α是锐角，且cosα=34，求sinα、tanα的值．7．若α为锐角，试证明：sintancosααα=．8．如图，在Rt△ABC中，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，BC=a，AC=b（b＞a），若tan∠DCE=12，求ab的值．9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为CA上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB=，试求cosA与tanA的值．b aE DCBACBAD1．计算：（1）计算：()013sin 452007tan 30-+-(2) 先化简，再求值:()2221x xx x+-÷+1，其中，tan 60x = ．2．如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD 为10m ，眼高AB 为1.6m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（ ）A ．（8105）m B ．21.6m C ．．85⎫+⎪⎪⎝⎭m3．已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么CDAB等于（ ） A ．sin α B ．COS α C ．tan α D ．1tan α4．如图，⊙O 的半径为3，弦AB 的长为5．求cosA 的值．5．如图，∠C=90°，∠DBC=45°，AB=DB ，利用此图求tan22．5°的值．E D CBA 第2题图第3题图。
(完整版)初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)
( 1)2009
3
10. 计算：
2. 原式 = 2
3 3
2
3 1 1=0． 3
依据：①边的关系： a 2 b2 c2 ；②角的关系： A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。 ( 注意：
尽量避免使用中间数据和除法 ) 2、应用举例： (1) 仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
铅垂线
视线
仰角 俯角
水平线
h
i h:l
视线
α
l
(2) 坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 ( 坡比 ) 。用字母 i 表示，即 i 的形式，如 i 1:5 等。
80 .
3
BC CD BD 240 80=160. 答：这栋大楼的高为 160 米.
8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由 45°降为 30°，已知 原滑滑板 AB的长为 4 米，点 D、B、C在同一水平面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少米？ （2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地，像这 样改造是否可行？请说明理由． （参考数据： 2 1.141， 3 1.732 ， 6 2.449 ，以上结果均保留到小数点后两位． ）
线，∠ ABC=150°， BC的长是 8m，则乘电梯从点 B到点 C上升的高度 h
是（ B ）
CD
A． 8 3 m
3
B
．4 m
1
h
C． 4 3 m
D
．8 m
A
B
B
4. 河堤横断面如图所示，堤高 BC=5米，迎水坡 AB的坡比是 1: 3 （坡比是坡
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锐角三角函数
一.知识框架
二.知识概念
1.Rt △ABC 中
(1∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦,记作sinA =
∠A 的对边
斜边
(2∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦,记作cosA = ∠A 的邻边斜边
(3∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切,记作tanA =
∠A 的对边
∠A 的邻边
(4∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切,记作cota = ∠A 的邻边∠A 的对边
2.特殊值的三角函数:
锐角三角函数(1
基础扫描
1. 求出下图中sinD ,sinE 的值.
2.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′
C ′,那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为( .
A . sinA =sinA ′
B . sinA =2sinA ′
C . 2sinA =sinA ′
D . 不能确定
3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AB =5,AC =4,则sinB 的值是(
A . 35
B . 45
C . 34
D . 4
3
4. 如图,△ABC 中,AB=25,BC=7,CA=24.求sinA 的值.
25
24
7C B
A
5. 计算:sin30°·sin 60°+sin45°.
能力拓展
6. 如图,B 是线段AC 的中点,过点C 的直线l 与AC 成60°的角,在直线上取一点P ,连接AP 、PB ,使sin ∠APB=1
2,则满足条件的点P 的个数是(
A 1个
B 2个
C 3个
D 不存在
7. 如图,△ABC 中,∠A 是锐角,求证:1
sin 2
ABC S AB AC A ∆=
⋅⋅
8.等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,求sinA 、sinB .
l
C
B
A (第7题图
85
F E D
创新学习
9. 如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠BAC等于(
A.
B
C.
.
1
3
锐角三角函数(2
基础扫描
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,若b=3a,则tanA= .
2.在△ABC中,∠C=90°,cosA
,c=4,则a=_______.
3.如果a
∠是等腰直角三角形的一个锐角,则cosα的值是(
A.1
2
B.
2
C.1
4.如图,P是∠α的边OA上一点,且P点坐标为(2,3,则sinα=_______,cosα=_________,tanα=______ _.
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D
,若AC=
AB=,则tan
∠ACD的值为(
6.已知α是锐角,且cosα=
3
4
,求sinα、tanα的值.
能力拓展
7.若α为锐角,试证明:
sin
tan
cos
α
α
α
=.
8.如图,在Rt△ABC中,CD、CE分别为斜边AB上的高和中线,BC=a,AC=b(b>a,若tan∠DCE=1
2
,求
a
b
b a
E D
C
B
A
(第8题图
的值.
创新学习
9.如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,D 为CA 上一点,∠DBC=30°,DA=3,
试求cosA 与tanA 的值.
锐角三角函数(3
基础扫描
1. 已知sin α1
2
=,则锐角α= 度.
2. 若tan 1α=,则2cos α= .
3.
计算tan 60452cos30- 的结果是(
A .2 B
C .1 D
.1-
4. 如图,已知等腰梯形ABCD 中,A B ∥CD ,∠A=60°,AB=10,CD=3,则此梯形的周长为(
A . 25
B . 26
C . 27
D . 28.
5. 计算:
(1
计算:(0
13sin 452007tan 30--+-
(2 先化简,再求值:
(22
21x x x x +-÷+1,其中,tan 60x = .
D C B
A C
B A D
(3已知tanA=2.236,用计算器求锐角A (精确到1度.
能力拓展
6.如图,小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度,已知他与楼之间的水平距离BD 为10m ,眼高AB 为1.6m (即小明的眼睛距地面的距离,那么这栋楼的高是(
A .
(8
105m B .21.6m C .
.835⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭
m
7.如图,已知AB 是半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ,若∠DPB=α,那么CD
AB
等于(
A .sin α
B .COS α
C .tan α
D .
1
tan α
8.如图,⊙O 的半径为3,弦AB 的长为5.求cosA 的值.
创新学习
9.如图,∠C=90°,∠DBC=45°,AB=DB ,利用此图求tan22.5°的值.
E D
C
B
A 第6题图
第7题图。