第五章三角函数知识点及例题

第三章三角函数第一节任意角 知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z例1（1）若将时针拨快10分钟，则分针转了______度，时针转了________度。

（2）若角θ是第四象限角，则90°+θ是第_______象限角。

（3）已知角α的终边与50°角的终边关于原点对称，则角α的集合_______________.例2在0°-360°内，找出与下列角终边相同的角，并判定是第几象限角。

（1）640°；（2）-120°；（3）-950°12‘ （4）10000°； （5）-10000° 例3求终边与直线y=√3x 重合的角的集合。

例4已知α是第一象限角，求2α，α2，α3所在的象限。

例5如图，（1）终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合是________________________.(2)写出角的终边落在下列阴影区域内角的集合。

°1.（1）-60；-5（2）一（3）{α｜α=k ∙360°+230°,kϵz }2.(1) 640°与280°终边相同；四（2）-120°和240°终边相同；三(3)与129°48’终边相同，二(4)与280°终边相同，四(5)与80°终边相同，一3.{β｜β=n ∙180°+60°,n ∈z }4. 2α第一或第二象限或是终边在y 轴非负半轴上，α2第一或第三象限，α3第一或第二或第三象限5.（1）{α｜k ∙360°+150°<α<k ∙360°+225°,k ∈z } (2) {α｜k ∙180°+30°≤α≤k ∙180°+90°,k ∈z }第2节弧度制 知识点1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．2、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． 3、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 4、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例1将下列角度与弧度进行互化 （1）20°；（2）112°30’；（3）7π12例2 3π2−3是第几象限角？3,4,5分别是第几象限角？例3已知集合A={α｜2kπ≤α≤(2k +1)π,kϵz},B={α｜−4≤α≤4},则A ∩B=_____________例4扇形的周长为20cm,面积为25cm 2,求圆心角的弧度数。

例5已知一扇形的周长是10cm,求当扇形的圆心角是多少弧度时，此扇形面积最大？参考答案1.（1）π9（2）5π8（3）105°2.第二象限；3,4,5分别为二、三、四象限角。

3.{α｜−4≤α≤−π或0≤α≤π}4.圆心角的弧度数为25.当圆心角为2弧度时，扇形面积最大为254cm 2 第3节任意角的三角函数 知识点1、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，(tan 0yx xα=≠2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正．3、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．例1已知角α终边上一点P （2，-3），求角α的三个三角函数值。

例2已知角α终边落在直线y=3x 上，求角α的正弦、余弦、正切值。

例3已知角α的终边经过点（3a-9,a+2）,且cos α≤0，sin α>0，求实数a 的取值范围。

例4函数y=sin x ｜sin x ｜+cos x ｜cos x ｜+tan x ｜tan x ｜的值域是__________参考答案 1. sin α=−3√1313，cos α=2√1313，tan α=−322. 当角α的终边在第一象限时sin α=3√1010，cos α=√1010，tan α=3当角α的终边在第三象限时sin α=−3√1010，cos α=−√1010，tan α=33. α∈（−2,3]4. {-1,3}第4节同角三角函数的基本关系 知识点1、 角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．例1已知α是第四象限角，tan α=−2，求sin α，cos α。

例2（1）已知sin α=√55，则（sin α）4−（cos α）4的值为______________.（2）化简(1+(tan 15°)2)(cos 15°)2的值等于____________ (3)化简：√1−2sin 10°cos 10°cos 10°−√1−（sin 80°）2例3已知tan α=2，则(1)2sin α−3cos α4sin α−9cos α=______;(2)2sin 2α−3cos 2α4sin 2α−9cos 2α=_________; (3)4sin 2α−3sin αcos α−5cos 2α=__________.例4已知在ΔABC 中，sin A +cos B =15,(1)求sin A ∙cos A ;(2)判断ΔABC 是锐角三角形还是钝角三角形；（3）求tan A 的值。

参考答案 1. sin α=−2√55，cos α=√552. (1)−35（2）1（3）1 3. （1）-1（2）574. （1）sin A ∙cos A =−1225(2) ΔABC 是钝角三角形（3）tan A =−43第5节三角函数的诱导公式 知识点函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例1求值（1） cos 240°；(2)sin (−16π3)；（3）cos (−2040°)；（4）tan23π6例2（1）化简cos (θ+4π)∙cos 2(θ+π)∙sin 2(θ+3π)sin (θ−4π)∙sin (θ+5π)∙cos 2(−π+θ) (2)已知角α终边经过点P （-4,3），求cos （π2+α）∙sin （−π−α）cos （11π2−α）∙sin （9π2+α）的值。

例3（1）已知sin (45°+α)=513，则sin (135°−α)=___________; (2)已知cos (π6−α)=√33，求cos (5π6+α)−sin 2(α−π6)的值；（3）已知cos (α−75°)=−13，且α为第四象限角，求sin （105°+α）的值。

参考答案1.（1）-12（2）√32（3）-12（4）-√33 2.（1）-cos θ（2）=tan α=−34 3.（1）513(2)-2+√33（3）2√23第6节正弦函数、余弦函数的图像和性质 知识点sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭函数性 质例1求下列函数的周期（1）y=3cos x;(2)y=sin2x;(3)y=sin(x2−π6);(4)y=｜sin x｜例2设f(x)为定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)=-f(x),当2<x<3时，f(x)=x,求f(100.5)及f(105.5)的值。

例3设f(x)是定义域为R的奇函数，且满足T=4，已知：当0≤x≤1时，f(x)=2x+ x−1,求当xϵ[7,8]时的解析式。