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专题五 恒成立问题2013届高考数学主干知识整合精品PPT教学课件
专题五 │ 要点热点探究
(3)当 a<1 时，有 3>3a，此时函数 f(x)在[a,3a]上递减，在[3a,3]上递增，所以函
数 f(x)在[0,3]上的最大值是 f(a)或者是 f(3)． 由 f(a)－f(3)＝(a－3)2(4a－3)，
① 0<a≤34时，f(a)≤f(3)，
f3≤4， 若对∀x∈[0,3]有 f(x)≤4 恒成立，需要有0<a≤34，
解得
a∈1－2
9
3，34.
②34<a<1 时，f(a)>f(3)，
fa≤4， 若对∀x∈[0,3]有 f(x)≤4 恒成立，需要有34<a<1，
解得
a∈34，1.综上所述，a∈1－2
9
3，1.
专题五 │ 要点热点探究
► 探究点二 ∀x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤C 的问题，因为|f(x1)－
2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： (1)∀x∈D，f(x)>C；(2)∀x∈D，f(x)>g(x)； (3)∀x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤C； (4)∀x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤a|x1－x2|.
专题五│ 主干知识整合
3．不等式恒成立问题的处理方法 (1)转换求函数的最值 ①若不等式 A<f(x)在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上 A<f(x)min⇔f(x)的下界大 于 A. ②若不等式 B>f(x)在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上 B>f(x)max⇔f(x)的上界小 于 B. (2)分离参数法 ①将参数与变量分离，即化为 g(λ)≥f(x)(或 g(λ)≤f(x))恒成立的形式； ②求 f(x)在 x∈D 上的最大(或最小)值； ③解不等式 g(λ)≥f(x)max(或 g(λ)≤f(x)min)，得 λ 的取值范围． (3)转换成函数图象问题 ①若不等式 f(x)>g(x)在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 y＝f(x)和图象在函 数 y＝g(x)图象上方； ②若不等式 f(x)<g(x)在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 y＝f(x)和图象在函 数 y＝g(x)图象下方．
人教版高中数学2019-2020 必修一 第三章 恒成立问题(共17张PPT)
得p 0
p 8
1x
2
恒成立问题： 4.已知不等式x2 2ax 1 0对x [1,2]恒成立， 其中a 0，求实数a的范围.
记f ( x) x2 2ax 1 等价于[ f ( x)]min 0
恒成立问题：
5.若 lg(| x 3 | | x 7 |) a 0当x R恒 成 立 ， 求a的 范 围.
次型函数大于0恒成立的问题.
练习：
1.若x∈R，当1≤x≤3时，不等式px+1>2x 恒成立，求p的取值范围.
2.已知不等式x2+(t-4)x+(4-2t)>0对满足 t∈(-1,1)的所有t都成立，求x取值范围.
恒成立问题：
3.若不等式x2 xp 1 p 2x对x R恒成立， 求p的 范 围.
恒成立问题：
1.当x [1,2]时，ax 2 0恒成立，求a的范围.
形
12 x
12 x
记f ( x) ax 2
则
f f
(1) (2)
a2 2a
0 20
a 2
恒成立问题：
2.若 | p | 2, x2 xp 1 p 2x恒成立，求x的范围.
x
2
hxmin
h1
2， a
1 a
2
a
1．
恒成立问题：
定义在 R 上的增函数 y＝f(x)对任意 x，y∈R 都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求 f(0)； (2)求证：f(x)为奇函数； (3)若 f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0 对任意 x∈R 恒成立，求实数 k 的取值范围．
高二数学利用导数研究恒成立问题公开课优秀课件(经典、值得收藏)
即2 a
(5)对于x1 -1，1，x2 1，e，f ( x1)=g( x2 )求实数a 的取值范围
f ( x) g( x) 即-2，2 a, a e, 所以a不存在
恒成立问题
例3.函数f ( x) x3 ax2 4在（0，2）内单调递减， 则实数a的取值范围是_______
解析：因为f ( x)在(0,2)单调递减， 所以f ( x)=3x2 -2ax 0在(0,2)恒成立,
2 (2)若当x 0时，f (x) 0，求实数a 的取值范围
方法2： (2) f (x) x(ex 1 ax).令g(x) ex 1 ax,则g(x) ex a
若a 1，则当x 0，+时g(x) 0, g(x)为增函数，g(0)=0
故当x 0，+时，g(x) 0.
若a 1时，当x 0，ln a时，g(x) 0，g(x)为减函数，而g(0) 0 从而当x 0，ln a时，g(x) 0,即f (x) 0
所以，t(x)为增函数，而t(0)=0，故t(x) 0.
故g(x) 0, g(x)为0，+上的增函数。
a ex 1 a lim ex 1
x
x0 x
ex 1
(ex
lim = lim
x0 x
x0
1) (e0 x0
1)
(ex
1)
x0
1，所以a
1.
恒成立问题
例5.(2010新课标)设函数f (x) x(ex 1) ax2 (1)若a 1 ，求f (x)的单调区间；
恒成立问题
例2.设函数f ( x) x3-3x2 +2，g( x) x ln x+a
(1)对于x1 -1，1，x2 1，e，f ( x1) g( x2 )求实数a 的取值范围
高考数学(理科)一轮复习课件：专题四 函数、不等式中的恒成立问题
要使在[1，e]恒有 f(x)>0 恒成立，则必有f1>0， fe>0.
a－1>0， 则3a－e－ae>0.
a>1， 所以 e2
a>3e－1.
所以3ee－2 1<a<e＋e21.
③若a＋ a22＋4a≥e，即 a≥e＋e21时， f(x)在[1，e]为增函数，令 f(x)min＝f(1)＝a－1>0，得 a≥e＋e21. 综上所述，存在实数 a∈3ee－2 1，＋∞，使得 f(x)>0 恒成 立.
例 2：已知函数 f(x)＝3x42＋x 3，x∈[0,2]. (1)求 f(x)的值域； (2)设 a≠0，函数 g(x)＝13ax3－a2x，x∈[0,2].若对任意 x1∈ [0,2]，总存在 x2∈[0,2]，使 f(x1)－g(x2)＝0.求实数 a 的取值范围.
解：(1)方法一，对函数 f(x)求导， 得 f′(x)＝43·x12－＋x122. 令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－1. 当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(0,1)上单调递增； 当 x∈(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)在区间(1,2)上单调递减. 又 f(0)＝0，f(1)＝23，f(2)＝185， ∴当 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，23.
例 3：已知函数 f(x)＝aln x－x－ax＋2a(其中 a 为常数， a∈R).
(1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a>0 时，是否存在实数 a，使得当 x∈［1，e］时，不 等式 f(x)>0 恒成立？如果存在，求 a 的取值范围；如果不存在， 请说明理由(其中 e 是自然对数的底数，e＝2.71828…).
解得 a>ln 2－1.∴ln 2－1<a≤12；
恒成立问题课件
二、恒成立问题方法攻略二
例3.若不等式x2 -2mx+2m+1>0 对于所 有实数x都成立，求m的取值范围.
y
0
0 x
变式1.若不等式x2 -2mx+2m+1>0 对于 所有实数0≤x≤2都成立，求m的取值范围.
和例题的 区别？
m 1 or m 0 f (0) 0 f (1) 0
备选练习
1. 对于0≤p≤4的一切实数，不等式 x2+px>4x+p -3 恒成立，求x的取值范围.
更主换元f(p)=p(x-1)+x2+3，p∈[0,4]有：
f (1) 0 f ( p) 0恒成立 f (4) 0
2. 已知函数 f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)，在点(1，f(1))处的切 线方程为 y＋2＝0. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值 x1，x2，都有|f(x1) －f(x2)|≤c，求实数 c 的最小值．
Hale Waihona Puke 、恒成立问题方法攻略一例1 已知函数 在区间 0, 2 上的值 不小于6，求实数a的取值范围
怎么求解？ f(x) ≥6在区间 上恒成立 即： 1 a
1 a f ( x) x x
参数分离法
x
x
6
直接求函数f(x)的最大值 大于等于6
解：
参数分离法
直接求最值
1 a x2 a 1, f '( x) 0, f(x)递增 f ( x) min f (0) f '( x) 1
（2）求所有实数a，使得e 1 f ( x) e 对 x [1, e] 恒成立 。注：e是自然对数的底数。
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
yf(x ) a x b (a 0 )，若 y f (x) 在 [ m , n ] 内恒有 f (x) 0 ，则根据函数的
图像（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）
a f
0 (m)
0
或ⅱ）
a f
0 (n)
0
亦可合并成
f f
(m) 0 (n) 0
.
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（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f(x)a2x b xc(a0)，f (x) 0
在区间 [ , ] 上恒成立问题：
（1）当 a0 时，f(x)0在 x [,]上恒成立
2ba或 2ba或 2ba，
的范围.
解：
f fБайду номын сангаас
(1) 0 (2) 0
∴ m4 3
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（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型1：设 f(x)a2x b xc(a0)，f (x) 0 在全集 R 上恒成立问题：
（1）f(x)0在 xR上恒成立 a0且 0 （2）f(x)0在 xR上恒成立 a0且 0
1.函函数数性性质质法法
如图所示.同理，若在 [ m , n ] 内恒有 f (x) 0
则有
f f
(m) 0 (n) 0
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（1）恒成立问题与一次函数联系
【例1】 如果当自变量满足 1x2时，函数
图像（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）
a f
0 (m)
0
或ⅱ）
a f
0 (n)
0
亦可合并成
f f
(m) 0 (n) 0
.
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（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f(x)a2x b xc(a0)，f (x) 0
在区间 [ , ] 上恒成立问题：
（1）当 a0 时，f(x)0在 x [,]上恒成立
2ba或 2ba或 2ba，
的范围.
解：
f fБайду номын сангаас
(1) 0 (2) 0
∴ m4 3
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（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型1：设 f(x)a2x b xc(a0)，f (x) 0 在全集 R 上恒成立问题：
（1）f(x)0在 xR上恒成立 a0且 0 （2）f(x)0在 xR上恒成立 a0且 0
1.函函数数性性质质法法
如图所示.同理，若在 [ m , n ] 内恒有 f (x) 0
则有
f f
(m) 0 (n) 0
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（1）恒成立问题与一次函数联系
【例1】 如果当自变量满足 1x2时，函数
(高一用)函数中的恒成立存在性问题精品PPT课件
前一段时间和一位朋友聊天。他问我：“听说你这几年做投资，收益怎么？”我说：“这不才刚刚开始吗。”他一脸疑惑，问我：“这做投资就像做生意，你得定期盘盘库，明白自己到底是赚了，还是赔了。”
我回答说：“好像没这么简单，除非我从牌桌上下来，从此不再投资，才能真正算清是赚还是赔。”
我有个朋友，儿子几年前考取一所名牌大学。几天前路遇，见他愁眉不展，问他何故？他说：“孩子大学毕业后，已经在家里呆了大半年了。出去参加了几次招聘，大都是私营企业，工资太低，不怎么稳定，所以现在一直待在家里。”
请问，你怎么选择？真实情况是，好多人嘴上会说选A,但最终大都会选B。因为人们都认为自己是聪明人，当然选B，只有傻子才会选A。
谁愿意等那么长的时间？世界变化如此之快，到头来不知道会变成什么样子，这是大多数人内心的真实想法。似乎快速获取、及时行乐是人们的天性，人们的很多心理状态是由几万年基因的进化决定的。
迪士尼乐园，与我们成年人而言，它是一个守护了我们童年的港湾。 在这里的所有伙伴，不论男女老少，都能卸下自己的伪装和枷锁，尽情的享受一个美好的虚幻童话世界。
在这里，不会有人催你长大。 这里有关于梦想幻想的一切，你忘记烦恼，只为把快乐投入其中。
这是一个能让你变回孩子的地方，可以没有顾虑做回真实的自己。 这里虽然可爱却并不幼稚，你会惊叹于华特迪士尼的设计和想象力。 这里充满着无数的童年的回忆，有很多张笑脸，有很多意想不到的创意。 在这里我们得到的幸福不是痛苦或者失去头脑后的自我陶醉，而是我们人格完整的最好证明。
偶尔来给自己一点喘息的余地和放松的空间吧，只为回归纯粹。 于是，我选择了一个周五的傍晚，住进了“花筑”民宿，来到了位于迪士尼周边2km的小镇。
算是给自己放一个小假，只为圆一场童话梦。 穿梭回到童年，就为简单、不知所谓的快乐一番。
我回答说：“好像没这么简单，除非我从牌桌上下来，从此不再投资，才能真正算清是赚还是赔。”
我有个朋友，儿子几年前考取一所名牌大学。几天前路遇，见他愁眉不展，问他何故？他说：“孩子大学毕业后，已经在家里呆了大半年了。出去参加了几次招聘，大都是私营企业，工资太低，不怎么稳定，所以现在一直待在家里。”
请问，你怎么选择？真实情况是，好多人嘴上会说选A,但最终大都会选B。因为人们都认为自己是聪明人，当然选B，只有傻子才会选A。
谁愿意等那么长的时间？世界变化如此之快，到头来不知道会变成什么样子，这是大多数人内心的真实想法。似乎快速获取、及时行乐是人们的天性，人们的很多心理状态是由几万年基因的进化决定的。
迪士尼乐园，与我们成年人而言，它是一个守护了我们童年的港湾。 在这里的所有伙伴，不论男女老少，都能卸下自己的伪装和枷锁，尽情的享受一个美好的虚幻童话世界。
在这里，不会有人催你长大。 这里有关于梦想幻想的一切，你忘记烦恼，只为把快乐投入其中。
这是一个能让你变回孩子的地方，可以没有顾虑做回真实的自己。 这里虽然可爱却并不幼稚，你会惊叹于华特迪士尼的设计和想象力。 这里充满着无数的童年的回忆，有很多张笑脸，有很多意想不到的创意。 在这里我们得到的幸福不是痛苦或者失去头脑后的自我陶醉，而是我们人格完整的最好证明。
偶尔来给自己一点喘息的余地和放松的空间吧，只为回归纯粹。 于是，我选择了一个周五的傍晚，住进了“花筑”民宿，来到了位于迪士尼周边2km的小镇。
算是给自己放一个小假，只为圆一场童话梦。 穿梭回到童年，就为简单、不知所谓的快乐一番。
高一上学期专题5--函数的恒成立问题
高一上学期专题5 函数的恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量别离型；⑤数形结合型. 现在我们一起来探讨其中一些典型的问题. 策略一、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,那么f ：(4,3,2,1) → ( )A.10B.7C.-1D.0 例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π- 对称，那么a=〔 〕.A .1B .-1C .2D . -2.策略二、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),假设y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，那么根据函数的图象〔线段〕〔如下列图〕 可得上述结论等价于ⅰ〕⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或 ⅱ〕⎩⎨⎧><0)(0n f a 可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，假设在[m,n]内恒有f(x)<0，那么有⎨⎧<0)(m f例3a,x 的取值范围.策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 f(x)>0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>00a ；f(x)<0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆<0a . 假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.例4． 假设函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.例5.函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 变式1：假设[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 变式2：假设[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.策略四、变量别离型——别离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：假设对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，那么g(a)<f(x)min ;假设对于x 取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，那么g(a)>f(x)max .(其中f(x)max 和f(x)min 分别为f(x)的最大值和最小值例6.三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.例7. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，假设12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .策略五、数形结合——直观求解例8. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围. 解不等式恒成立的四种方法 1 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。
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.
延伸拓展 若存在a使得ａ≥f(x)的充要条件： ___a___f_(x_)_m_in__; 若存在a使得ａ≤f(x) 充要条件是：___a___f_(x_)_m_ax___。
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四、恒成立问题直接转化为函数最值问题
从例 2 可以看出解决恒成立的不等式 问题，还可以考虑如下方法：
直接转化为求原函数的最值
.
一、一次函数型
１、f(x)=ax+b,x[α,β]，根据函数的图象（线段）得 ：
f(x)>0恒成立＜ ＞
f()>0 f()>0
f(x)<0恒成立＜ ＞ y
f()<0 ()<0
α
o
βx
.
典例导悟一
若不等式 2 x 1> m x2 1 对一切 m2, 2 都成立，求实数 x 的取值范围。
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
f (x) 0 恒成立 f (x)min 0 ， f (x) 0 恒成立 f (x)max 0
.
五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题
【理论阐释】
若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等 号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的 问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条 件，就能解决问题。
若不等式 f xgx 在区间D上恒成立，则等价于
在区间D上函数 y f x 的图象在函数 y g x图象
的上方（若是小于则在下方）
.
课堂小结
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问
题，分类讨论。
3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图
R
{x|x1<x<x2}
.
方法一：判别式法
【理论阐释】
若二次函数 y ax2 bx c (a 0, x R) 的函数值大于 0 恒成
立，则有
a 0 0
，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还
可以
利用韦达定理以及二次函数的图象求解。
.
例1、已知二次函数f(x)ax2ax1,
且对于任意的xR, f(x)0恒成立
【理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量
的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒 等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可 将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≥_[f_(x_)_]_m_ax___; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≤__[f_(_x_)]_m_in__。
(2)当a
0时，需满足
a
0 a2
4a
0
解得:0 a 4
综上：0 a 4.
变式2、已知f(x)ax2ax2,
且对于任意的xR, f(x)1恒成立
求a的取值范围
解：Q f ( x) ax2 ax 2，对x R都有f ( x) 1恒成立
即f ( x) 1 0，令g( x) f ( x) 1 ax2 ax 1 0 即g( x)对x R都有g( x) 0恒成立 (1)当a 0时，g( x) 1 0对x R恒成立；
由题意得 f(： 2)0
a1
-2
2
法二： ax3在x[2,2]上恒成立
设g(x)x3
g(x)x3在 [2,2]上.的最g(小 2)值 1为 a1
二、二次函数型
.
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的 解集与二次函数、二次方程的关系
{x|x<x1或x>x2} {x|x≠-b/2a}
求a的取值范围
解：依题意知：
(1)当a 0时，f ( x) 1 0对x R恒成立；
(2)当a
0时，需满足
a
0 a2
4a
0
解得:0 a 4
综上：0 a 4.
变式1、已知二次函数f(x)ax2ax1, 且对于任意的xR, f(x)0恒成立 求a的取值范围
解：依题意知：
(1)当a 0时，f ( x) 1 0对x R恒成立；
n
思路3、通过数形结合，化归到 x2 12ax作图解决 ，即 y x2 1 图像在y 2ax 的上方
.
概括方法
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： （1）一次函数型； （2）二次函数型； （3）变量分离型； （4）直接转化为函数的最值求解； （5）根据函数的图象求解； 下面分别举例示之。
恒成立问题常见类型及解法
.
问题引领
已知不等式 x22a x10对 x[1,2]
恒成立求正实数 a的取值范围．
思路1、通过化归最值，直接求函数 f(x)x22ax1
的最小值解决，即 fmin(x)0
x2 1 1 1
思路 2、通过分离变量，转化到
a
2x
(x ) 2x
解决，即
a
(
x2 1 2x )mi
(2)当a
0时，需满足
a
0 a2
4a
0
解得:0 a 4
综上：0 a 4.
变式3、已知f(x)ax2ax1, 且对于存在一个xR,使得f(x)2 成立，求a的取值范围
变式4、已知f(x)ax2(a2)x1, g(x)=2x且对于任意的xR,f(x)g(x) 恒成立,求a的取值范围
三、分离参数型（转化为求新函数最值）
象的关系再处理。
4、通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒 成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。
.
.
一次函数 y f (m)在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
2
2
.
例 2 ：已 x3知 a0在 x [ 2,2]上恒成 a的立 取， 值
解： f(x) 设 x3a
延伸拓展 若存在a使得ａ≥f(x)的充要条件： ___a___f_(x_)_m_in__; 若存在a使得ａ≤f(x) 充要条件是：___a___f_(x_)_m_ax___。
.
四、恒成立问题直接转化为函数最值问题
从例 2 可以看出解决恒成立的不等式 问题，还可以考虑如下方法：
直接转化为求原函数的最值
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一、一次函数型
１、f(x)=ax+b,x[α,β]，根据函数的图象（线段）得 ：
f(x)>0恒成立＜ ＞
f()>0 f()>0
f(x)<0恒成立＜ ＞ y
f()<0 ()<0
α
o
βx
.
典例导悟一
若不等式 2 x 1> m x2 1 对一切 m2, 2 都成立，求实数 x 的取值范围。
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
f (x) 0 恒成立 f (x)min 0 ， f (x) 0 恒成立 f (x)max 0
.
五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题
【理论阐释】
若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等 号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的 问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条 件，就能解决问题。
若不等式 f xgx 在区间D上恒成立，则等价于
在区间D上函数 y f x 的图象在函数 y g x图象
的上方（若是小于则在下方）
.
课堂小结
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问
题，分类讨论。
3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图
R
{x|x1<x<x2}
.
方法一：判别式法
【理论阐释】
若二次函数 y ax2 bx c (a 0, x R) 的函数值大于 0 恒成
立，则有
a 0 0
，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还
可以
利用韦达定理以及二次函数的图象求解。
.
例1、已知二次函数f(x)ax2ax1,
且对于任意的xR, f(x)0恒成立
【理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量
的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒 等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可 将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≥_[f_(x_)_]_m_ax___; ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：__ａ__≤__[f_(_x_)]_m_in__。
(2)当a
0时，需满足
a
0 a2
4a
0
解得:0 a 4
综上：0 a 4.
变式2、已知f(x)ax2ax2,
且对于任意的xR, f(x)1恒成立
求a的取值范围
解：Q f ( x) ax2 ax 2，对x R都有f ( x) 1恒成立
即f ( x) 1 0，令g( x) f ( x) 1 ax2 ax 1 0 即g( x)对x R都有g( x) 0恒成立 (1)当a 0时，g( x) 1 0对x R恒成立；
由题意得 f(： 2)0
a1
-2
2
法二： ax3在x[2,2]上恒成立
设g(x)x3
g(x)x3在 [2,2]上.的最g(小 2)值 1为 a1
二、二次函数型
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一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的 解集与二次函数、二次方程的关系
{x|x<x1或x>x2} {x|x≠-b/2a}
求a的取值范围
解：依题意知：
(1)当a 0时，f ( x) 1 0对x R恒成立；
(2)当a
0时，需满足
a
0 a2
4a
0
解得:0 a 4
综上：0 a 4.
变式1、已知二次函数f(x)ax2ax1, 且对于任意的xR, f(x)0恒成立 求a的取值范围
解：依题意知：
(1)当a 0时，f ( x) 1 0对x R恒成立；
n
思路3、通过数形结合，化归到 x2 12ax作图解决 ，即 y x2 1 图像在y 2ax 的上方
.
概括方法
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： （1）一次函数型； （2）二次函数型； （3）变量分离型； （4）直接转化为函数的最值求解； （5）根据函数的图象求解； 下面分别举例示之。
恒成立问题常见类型及解法
.
问题引领
已知不等式 x22a x10对 x[1,2]
恒成立求正实数 a的取值范围．
思路1、通过化归最值，直接求函数 f(x)x22ax1
的最小值解决，即 fmin(x)0
x2 1 1 1
思路 2、通过分离变量，转化到
a
2x
(x ) 2x
解决，即
a
(
x2 1 2x )mi
(2)当a
0时，需满足
a
0 a2
4a
0
解得:0 a 4
综上：0 a 4.
变式3、已知f(x)ax2ax1, 且对于存在一个xR,使得f(x)2 成立，求a的取值范围
变式4、已知f(x)ax2(a2)x1, g(x)=2x且对于任意的xR,f(x)g(x) 恒成立,求a的取值范围
三、分离参数型（转化为求新函数最值）
象的关系再处理。
4、通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒 成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。
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一次函数 y f (m)在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
2
2
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例 2 ：已 x3知 a0在 x [ 2,2]上恒成 a的立 取， 值
解： f(x) 设 x3a