量纲分析简介
基本数学模型-量纲分析
本解系为 ys ( ys1, ys2 , , ysm )T , s 1, 2, , m r
则 m
s q j ysj , s 1,
j 1
,mr
为
m
r个相互独
Edgar Buckingham （1867－1940）
立的无量纲量，且 F (1, 2, , mr ) 0 美国物理学家
4
单摆运动
,qm) 0 与原定律等
价，则称i1该定律与单位选取无关
3
Buckingham 定理
• 设有 m 个物理量 q1, q2, , qm，
n
[qi ]
X aij i
,
j
1,
, m,
i 1
f (q1, q2, , qm ) 0 是与量纲单位选取无关
的物理定律。量纲矩阵 A (aij )nm 的 秩为 r ，齐次线性方程组Ay 0 的基
• 量纲分析：利用量纲齐次原则寻求物理量 Joseph Fourier
之间的关系
（1768－1830）
法国数学家、物理学家
1
国际单位制
• 基本量纲与基本单位
长度 质量 时间 温度 电流 物质的量 发光强度
LM
T
I
N
J
米 千克 秒 开尔文 安培 摩尔 坎德拉
• 导出量纲
• 加速度 [a] LT 2 力 [ f ] LMT 2
• 一小球系在线的一端，稍偏离平衡位 置后小球在重力作用下做往复摆动， 忽略阻力，求摆动周期的表达式
• 物理量及其关系
• 质量 m 、线长 l 、重力加速度 g 、周期 t
t mx1l x2 g x3 m y1l y2 g ty3 y4
L y2 y3 0 M y1 0
3.1量纲分析法
x K
dy ry 1 y dt
rt , t 时间无量纲化
dy y 1 y d
简化后的模型不含参数！便于理论分析和数值求解。
例2：简化三次方程
az bz cz d 0, a 0
3 2
b b 令x z (z与 a 具有相同的量纲！ ) 3a
3
未定
Fr 3
对方程组Ay=0选择符合要求的基础解系
3.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟
通过航船模型确定原型船所受阻力 3 3 , 3 ) f l ( 2 f l g ( 2 , 3 ) 1 1 g1 1 可得原 已知模 s v s v 1 1 型船所 型船所 , , 2 3 2 2 3 2 l 受阻力 g1l1 l 受阻力 gl 1
s qj
j 1
m
ysj
1 fg 1l 3 1 2 l s 2 1 1 2 2 g l v 3
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价 为得到阻力 f 的显式表达式
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
v v w
3
w
k Aa
3.4: 思路与步骤
专业分析软件
一. 层次分析法简介
层次分析法(AHP: Analytic Hierarchy Process) 是美国著名的运筹学家T.L.Saaty等人于20世纪70年代提出的一 种决策方法。其主要特点是按照思维、心理的规律把决策过程层 次化、数量化，合理地将定性问题定量化处理。
量纲分析法与无量纲化
例3：简化非线性参数方程
A(ax b)1 / 3 kx c
ax b u3
A, a, b, k , c
bk a
5个参数
Au u c
k a 3
u v u->v 无量纲化
d c bk a
Aa ad v v 2 k k 3
3
Aa ad ,w k k 3 ac bk Aa
v v w
3
w
k Aa
作业
P60 2，4
•利用无量纲化思想将下面的数学模型参数数量减到最少 （a~e均为正参数）：
dx x [( a e ) by ] dt dy y[(c e) dx] dt
基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 • 方法的普适性 • 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定
3.3 无量纲化方法
无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可以 减少参数，简化某些数学问题。
例1：简化常微分方程
y
dx x rx 1 r,K为正参数 dt K
x->y 变量无量纲化
x具有量纲，且 与 K 量纲相同 t具有量纲，且 与 1/r 量纲相同
x K
dy ry 1 y dt
rt , t 时间无量纲化
dy y 1 y d
简化后的模型不含参数！便于理论分析和数值求解。
m1m2 f G 2 r
动力学中 基本量纲 M, L, T 导出量纲
量纲齐次原则
描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲
dim量纲
标题：Dim量纲分析与系统的科学解释一、引言在系统分析中，对量纲（Dimension）的分析是非常重要的一环。
量纲，又称尺度和因次，描述的是物理量与基本物理量之间的比例关系。
通过对系统中的物理量进行量纲分析，可以帮助我们更好地理解系统的本质，为系统的设计和优化提供依据。
二、Dim量纲的定义和分类物理量是由其大小和用来度量的标准（单位）所组成的。
单位是用来定义物理量的属性，而量纲则揭示了这些属性之间的关系。
例如，长度可以用米、厘米、毫米等来度量，而时间可以用秒、毫秒、微秒等来度量。
这些度量标准之间存在一定的比例关系，这就是量纲。
在物理学中，常见的量纲有长度、时间、质量、力、能量等。
这些量纲可以组合在一起，形成复合的量纲。
例如，速度可以用长度除以时间得到，即长度/时间。
量纲就是这个物理量的度量标准之间的关系，它们可以是单独的单位，也可以是两个单位的乘积。
三、Dim量纲分析的应用在系统分析中，对物理量的量纲进行分析，可以帮助我们识别出系统中的潜在问题，为系统的优化提供依据。
例如，如果系统中的某个物理量的量纲与其他物理量的量纲不匹配，那么这个系统可能存在稳定性问题。
通过量纲分析，我们可以找到问题的根源，并采取相应的措施来解决问题。
此外，量纲分析还可以用于验证系统的正确性。
在系统设计完成后，可以通过量纲分析来验证系统是否符合预期的设计要求。
如果系统中的某个物理量的量纲与预期不符，那么就需要对系统进行修正或优化。
四、结论通过对Dim量纲的分析，我们可以更好地理解系统的本质，为系统的设计和优化提供依据。
通过识别系统中的潜在问题，我们可以采取相应的措施来解决问题。
此外，量纲分析还可以用于验证系统的正确性，确保系统能够达到预期的设计要求。
因此，对Dim量纲的分析在系统分析中具有重要意义。
量纲分析法
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
定理是量纲分析更为普遍的原理，由美国物理学家布金汉提出：
若某一物理过程包含n个物理量，即 f(q1,q2,..q.n),0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2g3
l
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t][m ]1[l]2[g]3
m
(4)以基本量纲表示 T M 1 L 2L 2 3 T M 1 L 2 3 T 2 3 mg
(5)根据量纲和谐原理
1 0 2 3 0 2 3 1
意义
(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性：
凡有量纲的物理量，都有单位，同一物理量，因选取的度
量单位不同，数值也不同，运动方程式的计算结果会受人主
观选取单位的影响；
(2)不受运动规律的影响：
无量纲量是常数，数值大小与度量单位无关，也不受运动
规律的影响；
(3)可进行超越函数运算：
由于有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、三
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3
y 4
0
y2
0
y 1 2 y 4 0
y 12 ,y20 ,y3 1 ,y4 1
第一节-量纲分析方法
第一节量纲分析方法量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。
利用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关系。
1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。
概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。
它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。
在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。
按照国家标准（GB3101—93），物理量•的量纲记为dim•，国际物理学界沿用的习惯记为[•]。
实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本量纲。
系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统与工程系统两大类。
工程系统的基本单位：质量、长度、时间、力。
绝对系统的基本单位：质量、长度、时间。
绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L 、M 、T 、θ表示其量纲。
其他可由基本量纲推导出的量纲称为导出量纲。
但在工程系统中，除了长度L 、质量M 、时间T 及温度θ等基本量纲外，也将力定义为基本量纲，而以符号F 表示其量纲。
此外在探讨热量 (heat)时，热量亦被定义为基本量纲，而以H 表示。
而其他的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如：速度v = ds/dt 量纲：[]V =1LT - 加速度a = dv/dt 量纲：2[]a LT -= 力F = ma 量纲：22[][][]F M LT MLT --==压强P = F/S 量纲： 22[]P MLTL --= 21MT L --= 实际中，也有些量是无量纲的，比如,e π等，此时记为[][]1e π==。
量纲分析法
f (q1, q2 ,, qm ) 0
rank A = r
Ay = 0 有m-r个基本解
(g,l, , v, s, f ) 0
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1/ 2,1/ 2,0, 1, 0, 0)T
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f (t, m, l, g ) 0
t m l g y1 y2 y3 y4 y1~y4 为待定常数, Δ为无量纲量
[t] L0M 0T 1 [m] L0M 1T 0 [l] L1M 0T 0 [g] L1M 0T 2
航船阻力模型的意义
以我们上面得出的最后模型为例：
在设计制造舰船、飞机、汽车等产品时，研究人员需要先制 作出非常逼真的仿真实物模型，然后对实物模型进行阻力、 运动特征实验，以此来验证设计是否合理。
f模
s模
v
2 模
模
(
1
,
2
)
如果我们能使模型船的 中两个数据与真实船
f实 s实v实2 实 ( 1 , 2 ) 相同，则得到：
t m l g 1 2 3 (1)
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量 (1)的量纲表达式
[t] [m]1 [l]2 [g]3
T M L T 1 2 3 23
1 0 2 3 0
2 3
1
1 0 2 1/ 2 3 1/ 2
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M,
[v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
量纲分析简介(续1)
清．② 量纲式并非单位表达式，单位表达 式 是 量
第１期
梁灿彬，等：量纲分析简介（续 １）
有 书 云 ：“导 出 量 的 单 位 与 基 本 单 位 的 幂 次 乘
积成正比，略去比例系数后的等式称为该导出量的 量纲式．”
述评 ① 量纲与量纲式是两个概念，应该分
情况．假定问题涉及两个同族单位制（分别称为“旧
制
”和
“新
制
”），人
们
当
獉獉
然关心
任
一
物
理
量
类
槇Ａ
在
旧、新两制的单位的比值，即 Ａ＾ 旧 ，于 是 就 把 这 一 比 值 Ａ＾ 新
质）．”
成若干个族，两个单位制如果满足以下条件就称为
述评 ① “属性”多了，量纲代表哪方面的属 同族的：① 基本量类选得相同；② 所有导出单位的 性？这句话未给出量纲的定义．② 功和力矩是两个 獉终极獉定义方程在两制中相同．于是任意两个同族的
非常不同的物理量类，但在国际制中却有相同量纲． 单位制的唯一差别就是基本单位选得不尽相同．例
应用数学所，北京
； １００１９０ ３． 埃尔朗根－纽伦堡大学，德国）
【 】 ＤＯＩ １０．１６８５４ ／ ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．１７０２６２－ １
４ 量纲
的等式，而 量 纲 式 是 函 数 关 系 式，各 有 用 处，详
见后．
獉
下面用对话方式详细介绍量纲的准确定义．
４．１ 量纲的明确定义
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1
• 单位与量纲
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2
• 单位与量纲
量纲：物理量的种类属性。
单位：与某个物理量具 有相同量纲、 用以度量该物理量的标 准量。
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3
• 有量纲量与无量纲量
有量纲量：量值取决于单位的量。 无量纲量：量值与单位无关的量。 量纲相同的两个量之比是无量纲量。
有关的物理量:T , m, g,l,最大
基本量: 长度, 质量,时间
可构造2个无量纲量:
最大和
T lg
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• 例：单摆
T lg
f (最大) T
f (最大 )
l g
小摆角情况： f (最大 ) f (0)
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15
• 例：无重力下球形液滴的振动周期
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• 基本量与导出量
基本量：一组物理量， 每个的量纲都
不能表示为其余各量的 量纲的组合。
导出量：量纲由基本量导出。
国际单位制的基本量：
长度, 质量,时间,电流强度, 热力学温度, 发光强度, 物质的量。
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5
• 基本量与导出量
任何一个物理量的量纲都可以 用基本量的量纲式表示，并且 这种表示是唯一确定的。
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0
i 1
非平凡解： Ci不全 , K
i1
N个变量Ci , K个线性无关方程
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• 无量纲量的构造
N
Ci • j,i 0; j 1, , K
i1
根据线性方程组的矩阵理论，
此方程组有N K个独立的 非平凡解，故可构造N K个 独立的无量纲量。
A Bk k
k
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6
• 量纲分析的实质
量纲分析的实质： 1）只有同类量才能比较大小； 2）物理规律与度量单位无关。
物理规律的数学方程应 当 只用无量纲量来表示。
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7
• 无量纲量的构造
问题涉及N个量{Ai ;i 1, , N}, 基本量的数目为K， 选取{Bj ; j 1, , K}为基本量。
16
• 例：无重力下球形液滴的振动周期
振动周期T 半径R
表面张力系数 密度
4 3 1个无量纲量
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• 例：无重力下球形液滴的振动周期
振动周期T
半径R
表面张力系数 密度
T
常数
T0 (R, , )
T0 (R, , )
R3
1/ 2
1/ 2
R 1/ 2 3/ 2
T 1/ 2 R 1/ 2 3/ 2
K
Ai Bj ;i j,i 1, , N
j 1
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8
• 无量纲量的构造
N
Ai Ci N K
Bj
j ,i
Ci
i 1
i1 j1
K
N
B Ci j ,i j i1
j 1
无量纲
N
Ci
j ,i
0
i 1
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9
• 无量纲量的构造
无量纲
N
Ci j,i
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11
• 定理
定理：若现象涉及N个物理量， 问题的基本量的数目是K个，则可 构造N K个无量纲量，该现象的 规律由这N K个无量纲量之间 的函数关系表示。
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12
• 例：单摆
l
最大
mg 单摆周期 T T (m, g, l,最大 )
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13
• 例：单摆