2018版高中数学必修三教师用书：第1章 1-4 算法案例 含解析 精品

1.4 算法案例1．通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献．(重点)2．能综合运用所学的算法知识，解决实际问题，会用自然语言、流程图和伪代码表达问题的算法过程．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 “韩信点兵—孙子问题”的算法阅读教材P 26～P 27“案例2”以上内容，完成下列问题．1．问题名称：人们将“韩信点兵——孙子问题”这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理”或“中国剩余定理”．2．问题解法：“孙子问题”相当于求关于x ，y ，z 的不定方程组⎩⎨⎧m ＝3x ＋2，m ＝5y ＋3，m ＝7z ＋2的正整数解．不定方程5x ＋2y ＝12的正整数解为________． 【解析】 方程变形为y ＝6－52x (x ＞0)． ∴0＜x ＜125，又∵x ∈N *，∴x ＝1,2. 当x ＝1时，y ＝6－52＝72不是整数； 当x ＝2时，y ＝6－52×2＝1.【答案】 ⎩⎨⎧x ＝2y ＝1教材整理2 辗转相除与更相减损阅读教材P 27“案例2”～P 29的内容，完成下列问题． 1．辗转相除法求两个正整数a ，b 的最大公约数的步骤是： (1)计算出a ÷b 的余数r ，若r ＝0，则b 即为a ，b 的最大公约数； (2)若r ≠0，则把前面的除数b 作为新的被除数，把余数r 作为新的除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为a ，b 的最大公约数．2．更相减损术求两个正整数的最大公约数的步骤：第一步 任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步 以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．3．两个常用函数：(1)Mod(a ，b )表示a 除以b 所得的余数． (2)Int(x )表示不超过x 的最大整数．填空：【导学号：11032022】(1)Mod(8,3)＝________.【解析】 Mod(8,3)表示8除以3所得的余数． ∵8＝2×3＋2，∴Mod(8,3)＝2. 【答案】 2(2)两个整数490和910的最大公约数是________． 【解析】 490＝72×2×5,910＝13×7×2×5， ∴最大公约数为7×2×5＝70. 【答案】 70教材整理3 用二分法求方程近似解阅读教材P 30～P 31“练习”以上部分，并完成下列问题．求方程f(x)＝0在区间[a，b]上的近似解的步骤：S1取[a，b]的中点x0＝12(a＋b)，将区间一分为二；S2若f(x0)＝0，则x0就是方程的根，否则判断根x*在x0的左侧还是右侧：若f(a)f(x0)>0，则x*∈(x0，b)，以x0代替a；若f(a)f(x0)<0，则x*∈(a，x0)，以x0代替b；S3若|a－b|<c，计算终止，此时x*≈x0，否则转S1.判断正误：(1)用二分法求方程的近似解，应先判断方程在给定区间上是否有解．()(2)二分法求方程近似解的过程是一个多次重复的过程，故可用循环结构处理．()(3)用二分法求方程近似解时，需要对中点(端点)处的函数值的符号进行判断，故实现算法需用选择结构，即用条件语句进行选择．()【解析】(1)√，(2)√，(3)√.由二分法求方程近似解的步骤可知(1)(2)(3)都正确．【答案】(1)√(2)√(3)√[小组合作型]17整除，最大的能被19整除，求满足要求的一组3个连续的自然数，画出流程图，并用伪代码表示算法．【精彩点拨】读题，理解题意→转化为求不定方程组的解→画流程图→写伪代码【自主解答】流程图如图所示．伪代码如下：m←2While Mod(m,15)≠0 Or Mod(m ＋1,17)≠0 OrMod(m ＋2,19)≠0 m ←m ＋1End WhilePrint m ，m ＋1，m ＋2解决此类问题的方法就是从m ＝2开始，对每一个正整数逐一检验，当m 满足所有的已知条件时，则结束循环，输出m .[再练一题]1．如图1-4-1所示的流程图，输出的结果是________．图1-4-1【解析】m＝10时，不满足条件，则m←10＋7.m＝17时，Mod(m,3)＝2且Mod(m,5)＝2成立，故输出17.【答案】17设计用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数的算法，并画出流程图，写出伪代码．【精彩点拨】根据辗转相除法的步骤设计算法，然后画出流程图，写出伪代码．【自主解答】算法如下：S1a←8 251；S2b←6 105；S3如果Mod(a，b)≠0，那么转S4，否则转S7；S4r←Mod(a，b)；S5a←b；S6b←r，转S3；S7输出b.流程图与伪代码：a ←8 251b←6 105While Mod (a，b )≠0 r ←Mod (a ，b )a ←b b ←r End While Print b辗转相除法是一个多次循环的过程，当大数被小数除尽时，结束除法运算，此时较小的数就是两个整数的最大公约数.[再练一题]2．求324,243,270的最大公约数.【导学号：11032023】【解】 324＝243×1＋81,243＝81×3，所以324与243的最大公约数为81，又270＝81×3＋27,81＝27×3，故81与270的最大公约数为27，综上可知，324,243,270这三个数的最大公约数为27.[探究共研型]探究1 要用到怎样的结构？【提示】 算法的设计思想是：如果估计出方程f (x )＝0在某个区间[a ，b ]内有一个根x 0，则就可以用二分法求得符合误差限制要求的近似解．由于二分法求解是一个多次循环的过程，因此在算法的设计中要用到循环结构，从而必含有条件结构．探究2 用二分法求方程log 2x ＝3－x 在区间[a ，b ]内的一个近似解(误差不超过0.001)时，利用循环语句“Do …End Do ”编写伪代码，其循环的终止条件是什么？【提示】 由二分法的求解过程知终止条件是|a －b |＜0.001.设计用二分法求方程x 3－2＝0在区间[1,2]内的近似解(误差不超过0.005)的流程图，写出伪代码．【精彩点拨】 先回忆用二分法求近似解的步骤，然后由步骤画出流程图，最后写出算法的伪代码．【自主解答】 流程图如图：伪代码如下：a←1b ←2c ←0.005Do x 0←(a ＋b )/2 f (a )←a 3－2f (x 0)←x 30－2If f (x 0)＝0 Then Exit DoIf f (a )×f (x 0)<0 Thenb ←x 0 Elsea ←x 0 End IfUntil |a －b |<c End Do Print x 0用二分法求方程的近似解就是逐步把“解”所在的区间缩短，直到近似解或方程的解所在的区间的长度小于误差为止.因此求方程的近似解时，一定要给出精确度.[再练一题]3．流程图1-4-2表示的算法的功能是________．图1-4-2【解析】 由流程图知，该算法的功能是用二分法求方程x 2－3x ＋1＝0在区间[0,1]内的近似解，误差不超过0.001.【答案】 用二分法求方程x 2－3x ＋1＝0在区间[0,1]内的一个近似解(误差不超过0.001)1．Int ⎝ ⎛⎭⎪⎫212＋Mod(80,3)的值为________.【导学号：11032024】【解析】 ∵Int ⎝ ⎛⎭⎪⎫212＝10,80＝26×3＋2，Mod(80,3)＝2，∴Int ⎝ ⎛⎭⎪⎫212＋Mod(80,3)＝12.【答案】 122．已知一个班的学生人数在30至56之间，现按3人一排，多出1人；按5人一排，多出3人；按7人一排，多出1人，则该班人数为________．【解析】 设此班有m 人，问题转化为解关于x 、y 、z 的不定方程组⎩⎨⎧3x ＋1＝m ，5y ＋3＝m ，7z ＋1＝m ，又m ∈(30,56)， 故m 的值为43. 【答案】 433．图1-4-3表示的流程图，输出的结果是________．图1-4-3【解析】 第一次执行循环体：r ＝34，a ＝119，b ＝34，第二次执行循环体：r ＝17，a ＝34，b ＝17.第三次执行循环体：r ＝0，a ＝17，b ＝0，输出b ＝0.【答案】 04．给出下面的说法：①若f (a )f (b )<0(a ≠b )，则方程f (x )＝0在区间(a ，b )上一定有根； ②若f (a )f (b )>0(a ≠b )，则方程f (x )＝0在区间(a ，b )上一定没有根； ③连续不间断的函数y ＝f (x )，若f (a )f (b )<0(a ≠b )，则方程f (x )＝0在区间(a ，b )上只有一个根．其中不正确的说法有________个．【解析】 ①的反例： f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≤0，－x －1，x >0，区间：(－1,1)． ②的反例：图象为区间：(－1,2)．③若y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调，则f (x )＝0在区间(a ，b )上只有一个根，否则，可能有2个以上的根．【答案】 35．设计求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小正整数的算法流程图，并写出伪代码．【解】 流程图如下：伪代码如下：n ←1While Mod (n ，6)≠4 Or Mod (n ，10)≠8 OrMod (n ，9)≠4n ←n ＋1End While Print n。