2011年高考广东数学(理科)模拟试题
Ａ
Ｂ 号
ｃ ．
Ｄ ．
６ 已 知 函 数 ｇ ＝ ． （ ２，且 有 ｇｎ ６＝ ，若 ａ ０且 ） （ ）２ （ ＞ ｂ０ ＞ ，则 的 最 大 值 为 （
４ ～
第 二部 分 非选择 题 （ １ ０分） 共 ０
二 、填 空 题 ： （ 大 题 共 ６小 题 ， 其 中 １ — ４ 本 １ １ 题 为必做题 ． ５ １ １ 、 ６题 为 选 做 题 ，任 选 一 题 完 成 ． 每
Ｉ已知集合 Ａ 卜１ ， Ｂ－ｘｌ ｘ ｌ，若 Ａｎ ． ＝ ，Ⅱ －｛ ０ ＜ ０ ｝， ＜ Ｊ
日≠Ｄ，则 实 数 ａ的取 值 范 围是 （
Ａ．（ ，） 一 ０ Ｂ （ ，） ．０１
）
Ｄ １ ＊） ．（ ， ＋
Ａ．
Ｃ １ ．｛｝
２ 若 （ ＋ ａ）＝ — ｉ ． １２ ／ｉｌ ｂ，其 中 ０ 、ｂ∈Ｒ，ｉ 虚 数 单 是
Ｄ．２ ｙ＝ ｘ￣ ０
１． ０ 已知 凸函数的性质定理 ：若函数ｆ ｘ 在 区间 “ （）
Ｄ 上 是 凸 函 数 ，则 对 于 区 问 Ｄ 内 的 任 意 ： ， … ，
有： ［ｘ） Ｌ ｆ （
，
） ． ｆｘ） ＋． （ 】 ・
，
） ”苦 函
俯 视 图
数 ｙ ｓ ｘ 区 间 （，）上 是 凸 函数 ，则在 ＆Ａ Ｃ中 ， ＝ｉ 在 ｎ ０ｒ ７ Ｂ
２ １ 年高考广东数学 （ ０１ 理科 ）模拟试题
■刘会 金 陈 兴 旺
本 卷 分 选 择 题 和 非 选 择 题 两 部 分 ， 满 分 １ Ｏ分 ． ５ 考 试 用 时 间 １ Ｏ分 钟 ． ２
②若 Ｏ外一条直线 ｚ Ｏ内一条直线平行 ， ｌ ｔ ｔ 与 ｔ 则 ／； Ｉ ｏ （＞ 设 ｎｆ ｌ ｌ ，若 内有一条直线垂 直于 ｌ ｊ ＝ ， ＿ 卢；
｝
ｃ．
位 ，则 ｌ＋ ｉｌ （ ａｂ ＝
Ａ．
）
Ｃ． ２ … Ｄ ５
Ｂ．Ｖ
３ 已 知 ｆ 是 等 差 数 列 ，ａｏ１ ，其 前 １ 项 和 Ｓ ． ％｝ ｌ ０ ＝ Ｏ －
７ ，则其公差 ｄ （ ０ ：
Ａ．一 ２ Ｂ
．
）
ｃ
．
９ ．已 知 双
一１ 丁
）
Ｄ．４
７ 设 Ｏ和 是两个不重合的平面 ，给出下列命题 ： ． ｌ
① 若 Ｏ 内两 条 相 交 直 线 分 别 平 行 于 内 的 两 条 Ｌ
直 线 ，则 ｄ ；
小题 ５ ，共 ３ ，将正确答 案填在答卷相应 的位 分 Ｏ分
置上 ） （ ）必 做 题 ：９ １ 一 － ３题 是 必做 题 ，每 道 试 题 考 生
二
ｆ ）求一个试验组为甲类组的概率 ； Ｉ
（ ） 观 察 ３个 试 验 组 ，用 ｆ表 示 这 ３个 试 验 组 １ Ｉ
．
１． ＡＡ Ｃ 的 对 边 分 别 为 ０ ｂ ｃ且 ａ ｌ ２若 Ｂ 、 、 ＝，
Ｂ ４ 。 ｓ＾ｃ２ ＝ ５ △Ｂ ，则 ６ ＝ ＝
中甲类组的个数 ，求 的分布列和数学期望． ２ ．（ ０ 本小题满分 １ ２分）
１ ． （一 ＝ｏａ ＋￣ …＋ｓ ，且 ａ ５ ，贝 ３ 若 ａ＋ ｌ ａ ＋ ａＸ ｘ ￣６ ４ ＝
ｃ ０ｌ ＋啦 ＋ … ＋￡
— —
・
已知定点Ｅ一 ， ， ， ， （１ ） ｏ 动点 Ａ满足 ＩＥ ４线 ０ １ ） ，
（ ） 的
段Ａ Ｆ的垂 直平 分 线 交 Ａ
３９
都必 须 作 答 ．
Ｂ有 效 的 多 ，就 称 该 试 验 组 为 甲类 组 ． 每 只小 白 鼠 设
＾ １
１． １ 已知向量ａ （， ｂ Ｘ－ ）若 ａ ｂ则Ⅱ ６ － １ ），＝（￣４ ２ ／ ， ・等 ／
于
． — —
服用Ａ有效的概率为争 ，服用 Ｂ有效的概率为下 １．
１
Ｄ３ －
曲 薯 鲁＝ 线 ０ １ Ⅱ ‘ 一
（＞ ，＞ ） 与 抛 ａ ０ｂ ０ 物 线 ＝ ｘ有 一 ８
第 ８题 图
４ 若 一 个 正 三 棱 柱 的 三 视 图 如 图 所 示 ，则 这 个 ． 正 三棱 柱 的 表 面积 为 （
Ａ． ８ ／ １ 、丁
）
Ｂ． ５ １ Ｖ丁
ｓ Ａ ｓ Ｂ ｓ Ｃ的 最 大值 是 （ ｉ ＋ｉ ＋ｉ ｎ ｎ ｎ ）
５ 已知条件Ｐ ｌ ｌ『２ 条件 ｑ ＜ ， ． ： — ＞， ： ａ 且 是 ｘ
的充分不必要条件 ， 。 则 的取值范围是 （ ）
Ａ （ ∞， １ Ｂ （ 。， １ Ｃ （ ，∞） Ｄ．３＋ ｅ ． 一 一 ） ． 一 。 ］ ． ３＋ － ［，ｏ ）
＠ 直线 ｌ ｏ的充要 条件是 Ｚ Ｏ内的两 条直线垂 直． ＿ｌ ｌ ＿ 与 ｔ 上 面 的 命 题 中 ，真 命 题 的 序 号 是 （ ）
第 一部 分 选择 题 （ ４ 共 ０分）
一
、
选 择 题 ：本 大 题 共 １ ０小 题 ，每 小 题 ５分 ，
Ａ ①② Ｂ ②③ ． ．
（） 点 的 轨迹 Ｃ ） １求 方程 ； Ｙ
Ｙ
１． ４ 已知正 实数 ｘ ， 足 ｘ＝， ｙ满 ｙｌ 则（ 最小值为
．
个公共的焦点 ， ，且两曲线 的一 个交 点为 Ｐ ，若 ＩＦＪ Ｐ
＝
Ｃ ２＋ 、 ． ４８ ／
Ｄ ２＋６ ． ４ １
５ ，则 双 曲线 的 渐 近 线 方 程 为 （
）
工
正 视 图
— —２
侧 视 图
Ａ ± ／ ｙ ０ ． 、丁 ＝
Ｃ．ｘ ｙ＝ ￣２ ０
Ｂ 、 丁 ｙ ０ ． ／ ±＝
Ｃ ①②③ ．
Ｄ ②③④ ．
满分 ５ Ｏ分 。 每 小 题 给 出 的 四个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 在 符 合题 目要 求 的
８ 定 义 一 种 运 算 Ｓ ａ ，运 算 原 理 如 下 框 图 所 ． ＝ ￣ｂ
示 ， 则 式 子 ｃｓ５ Ｏｓ ｌ。 ｓ ４ 。 ｃｓ５ 的 值 为 ｏ４ 。 ｉ ５ ＋ｉ ５ ⑧ ｏ ｌ。 ｎ ｎ
2011年高考数学模拟试题(理科)
，
３正 项 数 列 ｛ｎ 前 ｎ项 和 为 Ｊ ，。ｌ ． ａ｝ 的 ｓ０ ， ＝
口（ ） ：
． １， ｓ １若数列１＋｝ ＝ ％ｌ 是等比数列 ， 则其公 比 数ｙｆｘ的 图象 （ ） ＝（）
Ａ关 于 原点对 称 ．
Ｉ２ １ ０ １ ０，４ ）
ｌｏ ６
（３ ）２ ．
（３ 题 ～第 （ １题 为 必考 题 ， １） ２） 每个 试 题考 生 都 必 须 作 答 ， （２ 题 ～第 （４ 题 为 选 考 第 ２） ２） 题 ， 生根据 要求 作答 。 考
Ｄ ） 图象 由 ｙ ２ｉ２ 的 ＝ ｓ ｘ的图象 向右 平 ｎ 移 个 单位 得到
三、 解答 题 ： 本大题 共 ６小题 ， ７ 共 ０分 。
解答应 写出文字说 明 ， 明过程或演 算步骤。 证 ｌ ．本小题 满分 ２分 ） ７（ １ 等差数 列｛ 前 ｎ ％｝
，
１． 已知—个球与—个正三陵柱的各个面都 项和为．， ｓ Ｓ ２ ， １ ｓ 罢 ＝１，＋ｓ １ ３ ＝ 相切，幅 贝 陵住的底面边长是侧棱长的（ ） ，
Ｄ３
５已 知 ｂ 为 正 实 数 ， 足 ａ ｂ ａ ， ． ，均 满 ＋ ＝ ｂ 则
使 ４ ＋ ≥ｍ恒 成立 的ｍ 的取值 范 围是 （ ） ａｂ
Ａ （ 。，】 ． 。３ 一 Ｂ （ ６ ．一∞，］ Ｄ． 。，０ （ 。１Ｊ 一 Ｃ（ ∞，］ ． 一 ９
、
选择题 ： 本大 题 共 １ ２小 题 ， 小题 ５ 每
模拟试题 ： ≯ Ｍ ＮＳ ≯ Ｏ ＩＨＴ １Ｉ墓
◇ 姜伟 鸿 本 试 题 分 为 第 １卷 （ 择 题 ） 第 Ⅱ卷 选 和 （ 选择 题 ） 非 两部 分 ， 分 １ ０分 。 考 试 时 间 满 ５
2011年广东省高考理科数学模拟试题(四)答案
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（四）答案一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.1.选 D ．提示：因为{}|14U C B x x =-≤≤，所以()U AC B ={}|13x x -≤≤.2.选 D ．提示：画出约束条件表示的平面区域,平行移动直线01:3l y x =至点(-２,２)处取得最小值.3.选 Ａ．提示：使得二次函数2()3f x x ax =--的对称轴42ax =≥即可. 4.选 Ｃ．提示：由317S a =得2311117s a qa q a a =++=,解得q =23-或.5.选 Ｃ．提示：由//a b 有12(2)0m ⨯-⨯-=,故得4m =-,在求得b =6.选 Ｂ．提示：'tan (1)1f α==. 7.选 Ａ．提示： ①若“p 且q ”为假命题，p 、q 可能有一个为真命题.②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题应为“若2x <或3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“sin 2A >”的必要非充分条件. 8.选 D ．提示：其它的都需要拉伸变换才行.二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 1-.提示:利用基本不等式即可.10. ６.提示:用三角形面积公式: 1sin 62s BA BC B =⋅⋅=.11. 223144x y -=. 提示:直接用点到直线的距离公式.12. 3i s s +=,1+=i i （顺序不能颠倒）. 提示:试着按照程序去运行就可以了.13.3a .提示:把棱长为a 的空间正四面体ABCD 以Ｐ为顶点分割成４个地面相等的小四面体,然后用体积公示计算其和为定值.14．165 . 提示:用直角三角形的面积射影定理. 15． 85.提示:因为曲线是半径为１的圆.先求出圆心到直线的距离为 35,然后由弦长l =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. （本小题满分12分）(本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力) （Ⅰ）∵()4sin()cos f x x x π=-4sin cos x x =2sin 2x =， ………3分22T ππ== …………………5分 ∴函数()f x 的最小正周期为π .…………………6分（Ⅱ）由2()43f πθ+=， ∴22sin 2()43πθ+=, …………………7分化简可得1cos 23θ=, ………………9分则2112sin 3θ-=, ∴21sin 3θ=…………………10分 由(0,)θπ∈,∴sin 0θ>,故sin 3θ=…………………12分 17. （本小题满分12分）（本小题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：⑴、记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==， 即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．………………………4分 ⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，………………………6分所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．8分 ⑶、随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===． …………………………………10分所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==，ξ的分布列是：18. （本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解:（Ⅰ）连接1D O ，如图，∵O 、M 分别是BD 、11B D 的中点，11BD D B 是矩形，∴四边形1D OBM 是平行四边形， ∴1//D O BM ． ………2分 ∵1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ．………… 4分 （Ⅱ）连接1OB ，∵正方形ABCD 的边长为2，1BB ， ∴11B D =12OB =，12D O =，则2221111OB DO B D +=， ∴11OB DO ⊥． ……………6分 ∵在长方体1111ABCD A BC D -中，AC BD ⊥，1AC D D ⊥，……… 12分∴AC ⊥平面11BDD B ， 又1D O ⊂平面11BDD B ， ∴1AC D O ⊥， 又1ACOB O =，∴1D O ⊥平面1ABC ． ………………………………8分（Ⅲ）在平面1ABB 中过点B 作1BE AB ⊥于E ， 连结EC ，∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，又1AB ⊂平面1ABB ， ……………………………9分 ∴1CB AB ⊥，又1BE AB ⊥，且CBBE B =，∴1AB ⊥平面EBC ，而EC ⊂平面EBC ， …………………10分 ∴1AB EC ⊥．∴BEC ∠是二面角1B AB C --的平面角． …………………12分在Rt BEC ∆中，BE =，2BC =∴tan BEC ∠=60BEC ∠=，∴二面角1B AB C --的大小为60． …………………………14分解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接1D O ，则点(1,1,0)O 、1D ，∴1(1,1OD =--又点(2,2,0)B ，(1,1M ，∴(1,1BM =-- ∴1OD BM =， 且1OD 与BM 不共线， ∴1//OD BM ．又1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ． ……………………………4分（Ⅱ）∵11(1,1(1,10OD OB ⋅=--⋅=，1(1,1(2,2,0)0OD AC ⋅=--⋅-=∴11OD OB ⊥，1OD AC ⊥， 即11OD OB ⊥，1OD AC ⊥， 又1OB AC O =，∴1D O ⊥平面1ABC ． …………………………8分 （Ⅲ）∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，∴(2,0,0)BC =-为平面1ABB 的法向量．∵11OD OB ⊥，1OD AC ⊥，∴1(1,1OD =--为平面1ABC 的法向量．∴11cos ,2BC OD <>=， ∴BC 与1OD 的夹角为60，即二面角1B AB C --的大小为60．………………14分（Ⅲ）（法三）设二面角1B AB C --的大小为α，1AB C ∆在平面1AB B 内的射影就是1AB B ∆，根据射影面积公式可得11cos AB B AB CS S α∆∆=，1112AB B S AB B B ∆=⋅⋅=1112AB C S AC B O ∆=⋅⋅=∴111cos 2AB B AB CS S α∆∆===， ∴二面角1B AB C --的大小为60 …………14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查应用题型、函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设商品降价x 万元， 则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ，………………1分 则依题意有2()(309)(432)f x x kx =--+2(21)(432)x kx =-+， ………………4分又由已知条件，2242k=·， 于是有6k =， ……5分所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，．…………7分（2）根据（1），我们有2()18252432f x x x '=-+-18(2)(12)x x =---．………9分…………12分故12x =时，()f x 达到极大值． 因为(0)9072f =，(12)11264f =，所以定价为301218-=万元能使一个星期的商品销售利润最大． …………14分 20. （本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）由椭圆的方程知1a =，∴点(0,)B b ，(1,0)C ，设F 的坐标为(,0)c -， ………………1分∵FC 是P 的直径，∴FB BC ⊥∵,BC BF b k b k c=-= ∴1bb c-⋅=- --------------------2分 ∴221b c c ==-，210c c +-= --------------------------------------3分解得c =--------------------------------------5分∴椭圆的离心率c e a ==分（2）∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为12cx -=--------① -----------7分∵BC 的中点为1(,)22b ，BC k b =- ∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=------② ---------9分由①②得21,22c b cx y b--==， 即21,22c b c m n b--== -----11分 ∵P (,)m n 在直线0x y +=上，∴ 21022c b c b--+=⇒(1)()0b b c +-=∵10b +>∴b c = ------------------13分由221b c =-得212b =∴椭圆的方程为2221x y +=. -------------------14分21. （本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：⑴(1)3,(2)6f f == -----------------2分当1x =时，y 取值为1，2，3，…，2n 共有2n 个格点当2x =时，y 取值为1，2，3，…，n 共有n 个格点∴()23f n n n n =+= -----------------4分 ⑵()(1)9(1)22n n nf n f n n n T ++==119(1)(2)229(1)22n n n nn n T n n n T n +++++⇒==+ -------------5分当1,2n =时，1n n T T +≥当3n ≥时，122n n n n T T ++<⇒< ------------------6分 ∴1n =时，19T =2,3n =时，23272T T ==4n ≥时，3n T T <∴{}n T 中的最大值为23272T T ==. ------------------8分要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立， 只需272m ≤ ∴272m ≥ -------------------9分 ⑶()3228f n n n n b ===8(18)8(81)187n n n S -⇒==--. ---------------10分 将n S 代入16111<-+++n n n n tb S tb S ， 化简得，888177812877n n t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<⎛⎫-- ⎪⎝⎭（﹡）-------------------11分若1t =时 8817781277nn -<-，81577n<即，显然1n =-------------------12分若1t >时 818077n t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭ （﹡）式化简为815877n t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭不可能成立 --------------13分综上，存在正整数1,1n t == 使16111<-+++n n nn tb S tb S 成立. - --------------14分。
2011年广东省高考理科数学模拟试题(三)
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（三）本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若将复数ii-+11表示为a + bi （a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a + b =A ．0B ．1C ．－1D ．22．已知p ：14x +≤，q ：256x x <-，则p 是q 成立的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 A ．4B ．41 C ．－4D ．－144．已知()xf x a b =+的图象如图所示，则()3f =A ．2B 3C ．3D ．3或3-5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是A ．若βα//，α⊂l ,则β//lB ．若βα//，α⊥l ,则β⊥lC ．若α//l ，α⊂m ,则m l //D ．若βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,则β⊥m6．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有Ａ．36种 B ．12种 C ．18种 D ．48种 7．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=A ．2C ．D ．48．已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为A ．14 B ． 58 C ．38 D ．12二、填空题：本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～15题是选做题，每小题5分，满分30分．9．52)1)(1(x x -+展开式中x 3的系数为_________．10．两曲线x x y y x 2,02-==-所围成的图形的面积是_________．11．以点)5,0(A 为圆心、双曲线191622=-y x 的渐近线为切线的圆的标准方程是_________．12．已知函数)8(,)0)(3()0(2)(-⎩⎨⎧≤+>=f x x f x x f x 则=_________．13．已知3444815=，…若=（,a t 均为正实数），则类比以上等式，可推测,a t 的值，a t += ．▲选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选的只计算前两题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．15．(几何证明选讲选做题）点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，则圆O 的面积等于_____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本小题满分12分）已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数()f x a b =⋅，2)(→-=b x g ． （Ⅰ）求函数)(x g 的最小正周期；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．17．（本小题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510，由此得到样本的频率分布直方图，如右图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．18．（本小题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC2,CA CB CD BD AB AD ======(1) 求证：AO ⊥平面BCD ；(2) 求异面直线AB 与CD 所成角余弦的大小； (3) 求点E 到平面ACD 的距离． 19．（本小题满分14分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 若椭圆的离心率2e =，求P 的方程； （2）若P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．20．（本小题满分14分）已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=-，（其中实数y 和x 不同时为零），当||2x <时，有a b ⊥，当||2x ≥时，//a b ．(1) 求函数式()y f x =；（2）求函数()f x 的单调递减区间； （3）若对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，并且满足n a S n n +=22，0>n a （n ∈N*）. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{n a }的通项公式，并加以证明； （Ⅲ）设0>x ，0>y ，且1=+y x ， 证明：11+++y a x a n n ≤)2(2+n .CE。
2011年广东一模理科数学试题
试卷类型:A2011年普通高等学校招生全国统一考试密卷数 学 （理 科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合}{220A x x x =-≤，}{11B x x =-<<, 则A B =A ．}{01x x ≤<B ．}{10x x -<≤ C ．}{11x x -<< D ．}{12x x -<≤ 2. 若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．23. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为A B C ．5 D ．13 4. 函数ln xy x=在区间()1,+∞上 A ．是减函数 B ．是增函数 C ．有极小值 D ．有极大值 5. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为. A ．2 B ．3 C ．4 D ．56. “a b >” 是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的A ．充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, A ．96 B ．114C ．128D ．136DNMD 1C 1B 1A 1DCBA图3(度)150140110100 图1 8. 如图2所示,已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2, 长 为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积为 A ．4π B ．2π C ．π D ．2π图2 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图3所示, 若月均用电量在 区间[)110,120上共有150户, 则月均用电量在区间[)120,150上的居民共有 户.10. 以抛物线2:8C y x =上的一点A 为圆心作圆，若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点， 那么该圆的方程为 .11. 已知数列{}n a 是等差数列, 若468212a a a ++=, 则该数列前11项的和为 . 12. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知3,,3c C π== 2a b =,则b 的值为 .13. 某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师最多是 名.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. (几何证明选讲选做题) 如图4, CD 是圆O 的切线, 切点为C ,点A 、B 在圆O 上，1,30BC BCD ︒=∠=，则圆O 的面积为 . 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，若过点()1,0且与 极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = .图4 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ). (1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值; (2) 若θ为锐角，且8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值.17.（本小题满分12分）某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润 （单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2. 若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元.表1 表2 (1) 求,a b 的值；(2) 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.18.（本小题满分14分）DC 1A 1B 1CBA如图5，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点, 12A A AB ==.(1) 求证：1//AB 平面1BC D ；(2) 若四棱锥11-B AAC D 的体积为3, 求二面角1--C BC D 的正切值.图519.（本小题满分14分）已知直线2y =-上有一个动点Q ,过点Q 作直线1l 垂直于x 轴,动点P 在1l 上,且满足 OP OQ ⊥(O 为坐标原点),记点P 的轨迹为C . (1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线2l 是曲线C 的一条切线, 当点()0,2到直线2l 的距离最短时,求直线2l 的方程.20.（本小题满分14分）已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1) 求函数()f x 的表达式；(2) 求函数()g x 的单调区间；(3) 研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.21.（本小题满分14分）已知函数y =()f x 的定义域为R , 且对于任意12,x x ∈R ,存在正实数L ,使得 ()()1212f x f x L x x -≤-都成立. (1) 若()f x =求L 的取值范围；(2) 当01L <<时，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，1,2,n = .① 证明：112111nk k k a a a a L+=-≤--∑； ② 令()121,2,3,k k a a a A k k ++== ，证明：112111nk k k A A a a L +=-≤--∑.2011年普通高等学校招生全国统一考试密卷数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 说明：第10小题写对一个答案给3分.9. 325 10. ()(2219x y -+±= 11. 33 12. 13. 1014.π 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 1分2222x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 2分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 3分∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x 取得最大值, …… 5分(2)解法1:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 6分 ∴1cos 23θ=. …… 7分 ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==…… 8分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 9分∴22tan 1tan θθ=-. …… 10分2tan 0θθ+=.∴)(1tan 0θθ-=.∴tan θ=或tan θ=不合题意,舍去) …… 11分∴tan 2θ=. …… 12分解法2: ∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …… 7分 ∴212cos 13θ-=. …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<,∴cos θ=. …… 9分∴sin 3θ==. …… 10分∴sin tan cos 2θθθ==. …… 12分解法3:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …… 7分 ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 23θ==…… 8分 ∴sin tan cos θθθ=…… 9分 22sin cos 2cos θθθ= …… 10分sin 21cos 2θθ=+=…… 12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查数学期望、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：设1件产品的利润为随机变量ξ，依题意得ξ的分布列为：GFEODC 1A 1B 1CBA…… 2分 ∴ 60.6540.1 4.9E a b ξ=⨯++⨯-=,即50.9a b -=. …… 3分 ∵ 0.60.20.11a b ++++=, 即0.3a b +=, …… 4分 解得0.2,0.1a b ==.∴0.2,0.1a b == . …… 6分 (2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都 是一等品或2件一等品，1件二等品. …… 8分故所求的概率P =30.6+C 2230.60.2⨯⨯0.432=. …… 12分18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明: 连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1ABC 的中位线,∴ 1//OD AB . …… 2分 ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . …… 4分 (2)解: 依题意知，12AB BB ==，∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =.作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ……6分 设BC a =，在Rt △ABC中，AC =AB BC BE AC ==∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+126=a =. …… 8分依题意得，3a =，即3BC =. …… 9分 (以下求二面角1--C BC D 的正切值提供两种解法)解法1:∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ， ∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点F ，连接DF ，则DF //AB ,且112DF AB ==. ∴DF ⊥平面11BB C C .作1FG BC ⊥，垂足为G ，连接DG ， 由于1DF BC ⊥，且DF FG F = ， ∴1BC ⊥平面DFG . ∵DG ⊂平面DFG , ∴1BC ⊥DG .∴DGF ∠为二面角1--C BC D 的平面角. …… 12分 由Rt △BGF ～Rt △1BCC ,得11GF BFCC BC =,得113213BF CC GF BC ⨯=== ,在Rt △DFG 中, tan DF DGF GF ∠=3=.∴二面角1--C BC D的正切值为3. …… 14分 解法2: ∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .以点1B 为坐标原点,分别以11B C ,1B B ,11B A y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系1B xyz -. 则()0,2,0B ,()13,0,0C ,()0,2,2A ,3,2,12D ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴()13,2,0BC =- ,3,0,12BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面1BC D 的法向量为n (),,x y z =,由n 10BC = 及n 0BD = ,得320,30.2x y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令2x =,得3,3y z ==-.故平面1BC D 的一个法向量为n ()2,3,3=-, …… 11分又平面1BC C 的一个法向量为()0,0,2AB =-,∴cos 〈n ,AB 〉= ⋅n AB n AB200323⨯+⨯+-⨯-==. …… 12分 ∴sin 〈n ,AB 〉==. …… 13分 ∴tan 〈n ,AB 〉= 3.∴二面角1--C BC D 的正切值为3. …… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1) 解:设点P 的坐标为(),x y ,则点Q 的坐标为(),2x -. ∵OP OQ ⊥,∴1OP OQ k k =- .当0x ≠时,得21y x x-=-,化简得22x y =. …… 2分 当0x =时, P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故0x ≠.∴曲线C 的方程为22x y =()0x ≠. …… 4分 (2) 解法1:∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴直线2l 的斜率存在.设直线2l 的方程为y kx b =+, …… 5分 由2,2,y kx b x y =+⎧⎨=⎩ 得2220x kx b --=. ∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴2480k b ∆=+=,即22k b =-. …… 6分点()0,2到直线2l的距离d =212=…… 7分12⎫= …… 8分12≥⨯…… 9分=…… 10分=，即k =.此时1b =-. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 解法2：由22x y =，得'y x =， …… 5分 ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中21112y x =，则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得211102x x y x --=. …… 6分 点()0,2到直线2l的距离d =212=…… 7分12⎫= …… 8分12≥⨯ …… 9分=…… 10分=，即1x =. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 解法3：由22x y =，得'y x =， …… 5分 ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中211102y x =>， 则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得110x x y y --=. …… 6分 点()0,2到直线2l的距离d ==…… 7分12⎫=+…… 8分12≥⨯…… 9分=…… 10分=11y =时，等号成立,此时1x =. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解：∵()00f =，∴0c =. …… 1分 ∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =. …… 2分 又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立， ∴0a >,且∆()210b =-≤． ∵()210b -≥， ∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+． …… 4分(2) 解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩…… 5分① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增； …… 6分 若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．…… 7分 ② 当1x λ<时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<， 则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减． …… 8分 综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； …… 9分当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭． …… 10分(3)解：① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增， 又()()010,1210g g λ=-<=-->，故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …… 11分 ② 当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()121g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥， 此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； …… 12分 （ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 13分 综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 证明：对任意12,x x ∈R ，有 ()()12f x f x -=-==. …… 2分由()()1212f x f x L x x -≤-,12L x x ≤-.当12x x ≠时,得L ≥.12,x x >>且1212x x x x +≥+，12121x x x x +<≤+. …… 4分∴要使()()1212f x f x L x x -≤-对任意12,x x ∈R 都成立,只要1L ≥. 当12x x =时, ()()1212f x f x L x x -≤-恒成立.∴L 的取值范围是[)1,+∞. …… 5分 (2) 证明：①∵()1n n a f a +=，1,2,n = ,故当2n ≥时，()()111n n n n n n a a f a f a L a a +---=-≤-()()21212112n n n n n L f a f a L a a L a a -----=-≤-≤≤- . …… 6分∴112233411nkk n n k aa a a a a a a a a ++=-=-+-+-++-∑()21121n L L La a -≤++++- …… 7分 1211nL a a L-=--. …… 8分 ∵01L <<, ∴112111nk k k a a a a L+=-≤--∑(当1n =时,不等式也成立). …… 9分 ②∵12kk a a a A k++=,∴1212111k k k k a a a a a a A A k k ++++++++-=-+ ()()12111k k a a a ka k k +=+++-+()()()()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +=-+-+-++-+()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +≤-+-+-++-+ . …… 11分 ∴1122311nkk n n k AA A A A A A A ++=-=-+-++-∑ ()()122311111121223123341a a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫≤-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯+⨯⨯+⎝⎭⎝⎭()()34111113344511n n a a n a a n n n n +⎛⎫+-+++++-⨯ ⎪ ⎪⨯⨯++⎝⎭ 1223112111111n n n a a a a a a n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤12231n n a a a a a a +-+-++- 1211a a L≤--. ……14分。
2011年广东省高考理科数学模拟试题(四)
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（四）注意事项：1. 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将第I 卷答案的序号填涂在答题卡上，第II 卷答案填写在答卷的相应位置上；2. 本试卷共4页，21小题， 满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷 （选择题， 共40分）一、选择题(本大题共8题,每小题5分,共40分. 在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)1. 已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U AC B = （ ）A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤2. 设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则3z x y =-的最小值（ ）A ．2- B ．4- C ．6- D ．8-3. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是（ ）A. 8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥- 4. 已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为( )A. 2 B. 3 C. 23-或 D. 23或 5. 已知平面向量()1,2a =, ()2,b m =-, 且//a b , 则b =( )A.B.C.D. 26. 曲线3123y x =-在点（5(1,)3-处切线的倾斜角为（ ） A . 6π B. 4π C. 34π D . 56π7. 给出如下三个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题； ②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“sin 2A >”的充要条件. 其中不正确的命题的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 0 8. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数. 给出下列函数： ①x x x f cos sin )(+=； ②)cos (sin 2)(x x x f +=；③x x f sin )(=；④2sin 2)(+=x x f .其中“互为生成”函数的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④第Ⅱ卷 (非选择题， 共110分)二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9. 已知0x >，则43x x--的最大值为 ． 10. 在ABC ∆中，3B π=，且43BA BC ⋅=则ABC ∆的面积是____________.11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．12. 右面是计算3331021+++ 的程序框图，图中的①、②分别 是 和_____________.13. 设P 是边长为a 的正ABC ∆内的一点，P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，则123h h h ++=；类比到空间，设P 是棱长为a 的空间正四面体A B C D 内的一点，则P 点到四个面的距离之和1234h h h h +++= .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中的一题，两题全答的，只计算前一题的得分.14.（几何证明选讲选做题）如图，已知Rt ABC ∆的两条直角边AC ,BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ， 则BD ＝ cm .15. （坐标系与参数方程选做题）直线3470x y +-=截曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）的弦长为_____ ______.三、解答题(本大题共6小题, 共80分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．（本小题满分12分）已知函数()4sin()cos f x x x π=-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若(0,)θπ∈,2()43f πθ+=,求sin θ的值. 17．（本小题满分12分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到AB C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． ⑴、求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； ⑵、求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；⑶、设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．18．（本小题满分14分）如图所示的长方体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，1BB M 是线段11B D 的中点．（Ⅰ）求证：//BM 平面1D AC ；（Ⅱ）求证：1D O ⊥平面1ABC ； （Ⅲ）求二面角1B AB C --的大小．19．（本小题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：万元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？20．（本小题满分14分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 若FC 是P 的直径，求椭圆的离心率；（2）若P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．21．（本小题满分14分）设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为n D ，记n D 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为))((*N n n f ∈. （1）求)2(),1(f f 的值及)(n f 的表达式；（2）记()(1)2n nf n f n T ⋅+=，试比较1n n T T +与的大小；若对于一切的正整数n ，总有m T n ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设n S 为数列{}n b 的前n 项的和，其中)(2n f n b =，问是否存在正整数t n ,，使16111<-+++n n n n tb S tb S 成立？若存在，求出正整数t n ,；若不存在，说明理由.第18题图。
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学
19．（本小题满分14分）已知直线与椭圆相交于、两点，是线段上的一点，，且点M 在直线上，（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程. 20．（本小题满分14分）已知函数. （I ）当的单调区间；（II ）若函数的最小值；…（III ）若求证：.21．（本小题满分14分）设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数x,y 有：且．⑴、一个各项均为正数的数列满足:其中为数列的前n 项和,求数列的通项公式；．⑵、在⑴的条件下，是否存在正数M 使下列不等式：对一切成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由．．10x y +-=22221(0)x y a b a b+=>>A BM AB AM BM =-1:2l y x=2c e a ∴==l 221x y +=2212x y +=()(2)(1)2ln f x a x x =---1,()a f x =时求[)2,+∞单调增区间为1()(0,),2f x a 在上无零点求24ln 2.a -则的最小值为,0m n <<m nm nm 2ln ln <--()f x ()0,+∞()()()f xy f x f y =+1()12f =-{}n a ()()(1)1n n n f s f a f a =++-n S {}n a {}n a n a n ∴=1212221(21)(21)(21)n n n aa a M n a a a ⋅≥+---*n N ∈∴03M <≤（第20题）19．（本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()ln 1af x x x=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；（2）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．(1)综上可知，当a ≤0时，函数()f x 在区间(]0,e 上无最小值； 当0a e <<时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln a ；当a e ≥时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ae．(2) 故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直．20．（本小题满分14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；（II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程． (1)当且仅当22b =S 取到最大值1． (2) 2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+，或2622y x =-- 21．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，都有0n a >，33312n n S a a a =+++．（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）证明：21221n n nn n n a a a +-+≥．(1) 22a =． (2) n a n =．。
《2011年高考广东卷理科数学试题及答案含答案》
试卷类型：A20XX 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求做大的答案无效。
4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、考生必须保持答题卡得整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程y bx a =+中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。
N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b •+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷二(广东.理)含详解
绝密★启用前 试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷二)数 学(理科)命题 高贵彩（珠海市二中）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．巳知集合221(1){,,,}i N i i i i+=，i 是虚数单位，设Z 为整数集，则集合N Z 中的元素个数是A ．3个B ．２个C ．１个D ．0个2.给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；③图象向右平移π3个单位； ④图象向左平移π3个单位；⑤图象向右平移2π3个单位； ⑥图象向左平移2π3个单位.用上述变换中的两种变换，将函数sin y x =的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋π3)的图象，那么不同的方式共有 A ．8B ．4C ．2D ．13.直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切4.已知函数31()()log 5xf x x =-，若0x 是函数()y f x =的零点，且100x x <<，则1()f xA ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0（第5题）A'5.在右图的算法中，如果输入A=138，B=22，则输出的结果是A ．138B ．4C ．2D ．06．已知321,,a a a 为一等差数列，321,,b b b 为一等比数列， 且这6个数都为实数，则下面四个结论： ①21a a <与32a a >可能同时成立； ②21b b <与32b b >可能同时成立； ③若021<+a a ，则032<+a a ； ④若021<⋅b b ，则032<⋅b b其中正确的是 A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③ 7．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线A ．不存在B ．有1条C ．有2条 D ．有无数条 （第7题）8.用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设2()max{f x x =1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是 A ．3512 B ．5924 C ．578D ．9112二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分 （一）必做题(9～13题)9.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形， 俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为__________ 10.在二项式101)x的展开式的所有项中，其中有 项是有理项． 11.在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+B CA C ，则=+222c b a ▲ ． 12.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲线22221(0)x y a b a b-=>、的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则双曲线的离心率为 .(第9题)13.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之 间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是__ __.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图所示，过圆C 外一点P 做一条直线 与圆C 交于A B ，两点，2BA AP =，PT 与圆C 相切于T 点.已知圆C 的半径为2，30CAB ∠=,则PT =_____. （第14题） 15．（坐标系与参数方程选做题）曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与曲线22cos 0r r q -=的直角坐标方程分别为 与 ，两条曲线的交点个数为 个. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分l4分）A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，),0(,OP AOP +=<<=∠πθθ四边形OAQP 的面积为S⑴求S OQ OA +⋅的最大值及此时θ的值0θ；⑵设点,54,53(α=∠-AOB B 在⑴的条件下求)cos(0θα+．17．（本小题满分12分）庐山是我国四大名山之一，从石门涧可徒步攀登至山顶主景区，沿途风景秀丽，右图是从 石门涧上山的旅游示意图，若游客在每一分支处选择哪一条路上山是等可能的（认定游客 是始终沿上山路线，不往下走，例到G 后不会往E 方向走）． （l ）茌游客已到达A 处的前提下，求经过点F 的概率； （2）在旺季七月份，每天约有1200名游客需由石门涧登山，石门涧景区决定在C 、F 、G 处设售水点，若每位游客在 到达C 、F 、G 处条件下买水的概率分别为12、23、45， 则景区每天至少供应多少瓶水是合理的？x18．(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，底面ABCD 为直角梯形，090CDABAD ∠=∠=，2AB =，1CD =，AD = M N 、分别为PD PB 、的中点，平面MCN 与PA 的交点为Q （Ⅰ）求PQ 的长度；（Ⅱ）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小； （Ⅲ）求四棱锥A MCNQ -的体积.19.（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 过点(2,1)M ，两个焦点分别为(，O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A B 、，（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）试问直线MA MB 、的斜率之和是否为定值，若为定值，求出以线段AB 为直径且过点M 的圆的方程；若不存在，说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数21()21ln(1)2f x mx x x =-+++（Ⅰ）当0m >时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当1m ≥时，曲线:()C y f x =在点(0,1)P 处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求m 的取值的集合M .21.(本小题满分14分)已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==.（ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列； （ⅱ）若数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求1a 应满足的条件.2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷二)数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．B ．【解析】由题设知{,1,,2}N i i =--，故选B2．C ．【解析】两种变换途径：32sin sin sin 323x y x y x y πππ⎛⎫⎛⎫=−−−→=+−−−−−→=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭左移横坐标变为倍或232sin sin sin 223x x y x y y ππ⎛⎫=−−−−−→=−−−→=+ ⎪⎝⎭左移横坐标变为倍，故选C3．D ．【解析】由题设知圆心到直线的距离d =而()()2222a b a b +≤+，得d ≤r =-1，-1），故选D4．A ．【解析】由指数函数与对数函数的性质知31()()log 5xf x x =-为减函数，于是有：10()()0f x f x >=，故选A5．C ．【解析】由题设知此算法是辗转相除法求最大公约数，而138222=（，），故选C6．B ．【解析】由等差数列知21232()(),a a a a d --=-3212()2a a a a d d +=++（为公差），故①③均不正确，由等比数列q （为公比）知231b b q =知④正确，当10,0b q ><时②正确，故选B7．D ．【解析】由题设知平面11ADD A 与平面1D EF 有公共点1D ，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l ，在平面11ADD A 内与l 平行的线有无数条，且它们都不在平面1D EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与面1D EF 平行，故选D8．A ．【解析】由题设知：142(1)()(1)x f x x x <≤=>⎪⎩，3211442213221133135||12S x x x =+=+=⎰⎰，故选A 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．3π2．【解析】由题设知：该几何体是底面直径为1，高为1的圆柱体， ()21232112S πππ=+⨯⨯= 10．4．【解析】由题设知：()205310111010rrrr r r xT CC x--+==，而20513372rr r --=-+，只有当r 除以3余数为1时其对应项才为有理项，故1,4,7,10r =共4项.11．3．【解析】由题设知：111tan tan tan A B C +=,即cos cos cos sin sin sin A B CA B C +=,由正弦定理与余弦定理得222222222,222b c a a c b a b c abc abc abc +-+-+-+=即2223a b c += 121．【解析】由题设知：,TF p =设双曲线的半焦距,c 另一个焦点为'F ,则2pc =,2',TF c FF ==由'TFF ∆为Rt ∆知'TF =, '1'c FF e a TF TF ====-13，2．【解析】如图1，直线与两轴的交点分别为(0,N M ，设(,)P x y 为直线上任意一点，作PQ x ⊥轴于,Q 于是有2PQ QM =，所以d OQ QP OQ QM OM =+≥+≥，即当P 与M 重合时，min d OM ==如图2，设F 为圆上任意一点，过P F 、分别作x y 、轴的垂线交于点Q ，延长FQ 交直线于点'Q ，将F 看作定点，由问题1知P F 与的最小“折线距离”为'FQ ，设F 的纵坐标为m ，则min min ''22m m d FQ FQ +===，，显然只需要考虑[0,1]m ∈，设2sin ([0,])m πθθ=∈，)'2FQ θϕ+=，其中29,3PT PA PB PT ===15．2222(1)1,(1)1x y x y +-=-+= ,2．【解析】由题设知：消参得22(1)1x y +-=化直角坐标为2220x y x +-=,即22(1)1x y -+=;,且011112=-<+=,两圆相交,故有2个公共点.三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
2011年广东省高考数学试卷(理科)及答案
2011年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i2．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y 为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．04．（5分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数5．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．36．（5分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．188．（5分）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c ∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。
满分30分）9．（5分）不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0的解集是．10．（5分）x（x﹣）7的展开式中，x4的系数是．11．（5分）等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1=1，a k+a4=0，则k=．12．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+1在x=处取得极小值．13．（5分）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm．14．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为．15．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=．三、解答题（共1小题，满分12分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．17．（13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．18．（13分）如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．19．（14分）设圆C与两圆（x+）2+y2=4，（x﹣）2+y2=4中的一个内切，另一个外切．（1）求C的圆心轨迹L的方程；（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．20．（14分）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，a n≤+1．21．（14分）在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=x2．实数p，q满足p2﹣4q≥0，x1，x2是方程x2﹣px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．（1）过点，A（p0，p02）（p0≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=；（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2﹣4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|⇔φ（a，b）=．（3）设D={（x，y）|y≤x﹣1，y≥（x+1）2﹣}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值（记为φmin）和最大值（记为φmax）2011年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•广东）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中（1+i）Z=2，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．【解答】解：设Z=x+yi则（1+i）Z=（1+i）（x+yi）=x﹣y+（x+y）i=2即解得x=1，y=﹣1故Z=1﹣i故选B2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】据观察发现，两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个，两集合交集的元素就有几个．【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±，分别把x=±代入②，解得y=±，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（﹣，﹣），则A∩B的元素个数为2个．故选C3．（5分）（2011•广东）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0【分析】利用向量共线的充要条件将用表示；垂直的充要条件得到；将的值代入，利用向量的分配律求出值．【解答】解：∵∴存在λ使∵∴=0∴=2=0故选D4．（5分）（2011•广东）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【分析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选A5．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故选：C．6．（5分）（2011•广东）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．【解答】解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×=则甲获得冠军的概率为故选D7．（5分）（2011•广东）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．18【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选B．8．（5分）（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．【解答】解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．故选A．二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。
2011年高考广东数学(理科)模拟试题
2011年高考广东数学(理科)模拟试题本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分.考试用时间120分钟. 第一部分选择题(共40分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={-1,0,a},B={x02，条件q:x A．（-∞,-1） B. （-∞,-1] C. （3,+∞） D. [3,+∞）6．已知函数g(x)=2x，且有g(a)g(b)=2，若a>0且b>0，则ab的最大值为（）A．B．C. 2 D． 47. 设和是两个不重合的平面，给出下列命题：①若内两条相交直线分别平行于内的两条直线，则//；②若外一条直线l与内一条直线平行，则l//；③设∩=l，若内有一条直线垂直于l，⊥；④直线l⊥的充要条件是l与内的两条直线垂直．上面的命题中，真命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①②③D. ②③④8．定义一种运算S=ab，运算原理如下框图所示，则式子cos45°sin15°+sin45°cos15°的值为（）9．已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若PF=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=010．已知凸函数的性质定理：“若函数f（x）在区间Ｄ上是凸函数，则对于区间Ｄ内的任意x1,x2,…,xn，有：[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f（）”．若函数y=sinx在区间(0,)上是凸函数，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（）A．B．C．D．第二部分非选择题(共100分)二、填空题：(本大题共6小题，其中11-14题为必做题. 15、16题为选做题，任选一题完成．每小题5分，共30分，将正确答案填在答卷相应的位置上）（一）必做题：9-13题是必做题，每道试题考生都必须作答．11．已知向量=(1,2),=(x,-4)若//,则•等于.12．若△ABC的对边分别为a、b、c且a=1，∠B=45°，=2，则b= .13．若(x-a)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，且a5=56，则a0+a1+a2+…+a8=．14．已知正实数x,y满足xy=1,则(+y)(+x)的最小值为.（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只选做一题，两题全答的，只计算第14题的得分．15．（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为sin(+)=，则点A(2,)到这条直线的距离为.16．（几何证明选讲选做题）如图：已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2. AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）已知=(1,sinx-1),=（sinx+sinxcosx,sinx）,f（x）=•.(x∈R)求：（1）函数f（x）的最大值和最小正周期；（2）函数f（x）的单调递增区间．18．（本小题12分）如图3，已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC,AC⊥BC,点D是A1B1中点.(1)求证：平面AC1D⊥平面A1ABB1;(2)若AC1与平面A1ABB1所成角的正弦值为，求二面角D-AC1-A1的余弦值.19．（本小题12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为，服用B有效的概率为．(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；(Ⅱ) 观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知定点E(-1,0)，F(1,0)，动点A满足AE=4，线段AF的垂直平分线交AE于点M．（1）求点M的轨迹C1的方程；（2）抛物线C2：y2=4x与C1在第一象限交于点P，直线PF交抛物线于另一个点Q，求抛物线的POQ 弧上的点R到直线PQ的距离的最大值．21．（本题满分13分）设数列{an}是首项为a1(a1>0)，公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，且,,成等差数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn=的前n项和为Tn，求Tn.22．（本题满分14分）已知三次函数f （x）=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R).（Ⅰ）若函数f （x）过点(-1，2)且在点(1，f （1）) 处的切线方程为y+2=0，求函数f （x）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1,x2都有f （x1）-f （x2）≤t，求实数的最小值；（Ⅲ）当-1≤x≤1时，f ′（x）≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f （x）的表达式.2011年高考广东数学（理科）仿真试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题（每小题5分，共25分，15、16题为选做题）11. -10;12. 5;13. 28;14. 4;15. ;16. .三、解答题17．（本小题满分12分）解：（1）f（x）=•=sinx+sinxcosx+sin2x-sinx …………2分=sin(2x-)+，…………4分∴x=k+(k∈Z)时，f（x）取得最大值，…………6分最小正周期为. …………8分（2）当2k-≤2x-≤2k+,k∈Z…10分即k-≤x≤k+,k∈Z时函数为增函数， (11)分∴原函数的递增区间是[k-,k+](k∈Z) (12)分18. （1）据题意A1C1=B1C1，且D为A1B1中点，∴C1D⊥A1B1，又BB1⊥面A1B1C1，C1D 面A1B1C1，∴BB1⊥C1D, ∴C1D⊥面A1ABB1. …………2分又C1D 面AC1D，∴面AC1D⊥平面A1ABB1．……………4分（2）由（1）知C1D⊥面A1ABB1,∴∠C1AD为AC1与平面A1ABB1所成的角． (6)分设AC=CB=1,AA1=x,则AC1=,C1D=，sin∠C1AD===,∴x=2.…………8分又因为AC、CB、CC1两两互相垂直，所以可建立如图所示的坐标系：取面A1C1A的法向量为==(0,1,0)，设面ADC1的法向量为=(x,y,z)，又C1(0,0,2),A(1,0,0),D(,,2),∴=(1,0,-2),=(,,0),•=0, ∴x-2z=0．•=0 ,∴x+y=0 , 取z=1,则x=2,y=-2, ∴=(2,-2,1)．cos〈，〉=＝＝－.………11分又D在面A1AC1上的射影为A1C1的中点，故二面角D-AC1-A1为锐角，设为，所以cos= .…………………12分19.(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只”, i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只”, i=0,1,2, …………………2分依题意有: P(A1)=2××=,P(A2)=×=.P（B0）=×=,P(B1)=2××=,……4分所求概率为:P=P(B0•A1)+P(B0•A2)+P(B1•A2) =×+×+×=．………………6分(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,).P(ξ=0)=()3=,P(ξ=1)=C31××()2=,P(ξ=2)=C32×()2×=,P(ξ=3)=()3=．…………………10分ξ的分布列为:数学期望: Eξ=3×=.……………………12分20. （1）依题意有ME+MF＝ME+MA＝AE＝4>EF ＝2，∴点M的轨迹是以E，F为焦点的椭圆． (3)分∵2a=4,2c=2，∴a=2,b=，故所求点M的轨迹方程是+=1.………6分（2）联立方程y2=4x，+=13x2+16x-12=0，解得x=或x=-6（舍去）．将x=代入抛物线方程得y=，∴点P的坐标为P(,)．……………8分∴kPF=-2，于是可得PQ所在直线的方程为：2x+y-2=0．………………………………9分设PQ的平行线方程为：2x+y+t=0，由y2=4x，2x+y+t=024x2+4(-t)x+t2=0．令△=16(t-1)2-96t2=0t=．………11分∵R到PQ的最大距离即为直线2x+y+=0与PQ之间的距离，故所求为d==．………………………………13分21．（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵S1=a1，S2=a1+a2=2a1+2， (2)分由,,成等差数列得，2=+，即2=+，解得a1=1，故an=2n-1．…………………4分（Ⅱ）bn===(2n-1)()n，……………5分法1：Tn=1×()1+3×()2+5×()3+…+(2n-1)×()n………………………………①①×，得Tn=1×()2+3×()3+5×()4+…+(2n-3)×()n+(2n-1)×()n+1………………………………②①-②，得Tn=+2×()2+2×()3+…+2×()n-(2n-1)×()n+1=2×--(2n-1)×()n+1=--，………………………………10分∴Tn=3--=3-．………………12分法2：bn===n•-，设Fn=，记f（x）=(kxk-1)，则f（x）=(xk)′=(xk)′=()′=，∴Fn=4-(n+2)()n-1， (10)分故Ｔn=Fn-=4-(n+2)•-1+=3-．……………………12分22．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵函数f（x）过点(-1,2)，∴f（-1）=-a+b-c=2，………………………………①又f（x）=3ax2+2bx+c，函数f（x）在点(1, f（1）)处的切线方程为y+2=0，∴ f （1）=-2, f （1）=0, ∴a+b+c=-2,3a+2b+c=0. ………………②由①和②解得a=1，b=0，c=-3，故f（x）=x3-3x．……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）f ′（x）=3x2-3，令f ′（x）=0，解得x=±1，∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，∴在区间[-3,2]上fmax（x）=2，fmin（x）=-18，∴对于区间[-3,2]上任意两个自变量的值x1，x2，f（x1）-f（x2）≤20，∴t≥20，从而t的最小值为20．……………8分（Ⅲ）∵ f ′（x）＝3ax2+2bx+c，则f ′（0）=c,f ′（-1）=3a-2b+cf ′（1）=3a+2b+c,,可得6a=f ′（-1）+f ′（1）-2f ′（0）．∵当-1≤x≤1时，f ′（x）≤1，∴f ′（-1）≤1，f ′（0）≤1，f ′（1）≤1，∴6a=f ′（-1）+f ′（1）-2f ′（0）≤f ′（-1）+f ′（1）+2f ′（0）≤4，∴a≤，故a的最大值为．当a=时，f ′（0）=c=1,f ′（-1）=2-2b+c=1,f ′（1）=2+2b+c=1,解得b=0，c=-1，∴a取得最大值时f（x）=x3-x． (14)分（作者单位：刘会金：光明新区教育科学研究管理中心；陈兴旺：光明新区高级中学）责任编校徐国坚注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。