面积等分线)练习
中考数学解题方法及提分突破训练：面积法专题(含解析)
，那么点B′的坐标是（）A. (-2,3)B.(2，-3)C.(3，-2)或(-2,3)D.(-2,3)或(2，-3)3．（2012 呼和浩特）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为cm．Array4.（2012•潍坊）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状二名词释义平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。
运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。
面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
面积问题主要涉及以下两部分内容：（一）怎样证明面积相等。
以下是常用的理论依据1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
16.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的417.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的48.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
（二）用面积法解几何问题（常用的解题思路）1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
幼儿大班数学等分练习
等分在生活中的实际应用
食物分配
在生活中，等分概念常用 于食物分配，如将蛋糕分 成相等的部分给家人或朋 友。
物品分配
在分发物品时，等分可以 帮助确保每个部分都相等， 如平分礼物或分配任务。
测量和评估
在测量长度、面积、体积 等时，等分可以帮助我们 更准确地评估和比较不同 部分的大小和数量。
详细描述
教师可以准备一些数字卡片，如2、4、6、8等偶数，让幼儿将它们进行等分。通过数字的等分，幼儿可以进一步 理解等分的概念，并培养他们的数学思维能力。
04 幼儿大班数学等分练习的益处
CHAPTER
提高幼儿的逻辑思维
逻辑思维是数学学习的基础，通过等分练习，幼儿可以更好地理解分数的概念，从 而提升逻辑思维能力。
02 幼儿大班数学等分练习方法
CHAPTER
实物等分练习
实物等分练习是指利用实物进行等分练习，如将苹果、糖果等分成相等的部分。 这种方法可以帮助幼儿直观地理解等分的概念，提高他们的空间感知能力。
具体操作：准备一些实物，如苹果、糖果等，将它们分成相等的部分，让幼儿观 察并理解每部分是相等的。
图形等分练习
等分练习需要幼儿对整体和部分的关系进行思考，有助于培养他们的空间感和整体 思维。
在等分的过程中，幼儿需要按照一定的规则和顺序进行操作，这有助于培养他们的 规则意识和顺序思维。
增强幼儿的数学兴趣
等分练习通过有趣的游戏和活 动，让幼儿在玩中学，激发他 们对数学的兴趣和好奇心。
通过亲手操作和实践，幼儿可 以更好地理解数学的概念和原 理，从而增强他们的学习兴趣。
等分练习可以与其他数学活动 相结合，如拼图、折纸等，让 幼儿在多样化的学习方式中感 受数学的魅力。
小学数学几何 直线型面积的计算 完整版题型训练+详细答案
直线形面积的计算例题讲解：板块一：基础题型：1．如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC= 15（厘米），且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米？解析：四边形ABCD的面积是（12+15）×8÷2=108（平方厘米），108÷3=36（平方厘米）。
CF=36×2÷8=9(厘米)，FB=15-9=6(厘米)，AE=36×2÷12=6（厘米），EB=8-6=2（厘米）。
阴影三角形DEF的面积是36-2×6÷2=30（平方厘米）2．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图所示（单位：平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？解析：40×15÷30=20（平方米）3．如图，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍，三角形DEC的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？解析：三角形ADC的面积是3×3=9（平方厘米），三角形ABC的面积是3×9=27（平方厘米）4．如图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍，三角形ABC的面积为36平方厘水．三角形BDE的面积是多少平方厘米？解析：三角形BAE的面积是36÷3×2=24（平方厘米），三角形BDE的面积24÷3×2=16（平方厘米）5．如图所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近日点的四等分点，三角形AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？解析：（1）三角形AED的面积是20×3=60（平方厘米）（2）三角形DEC的面积是20+60=80（平方厘米），三角形DEC的面积是平行四边形DECF 的面积的一半，也是平行四边形ABCD的面积的一半，所以平行四边形DECF的面积是80×2=160（平方厘米）6．如图，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC的面积为多少？解析：根据一半模型可知，三角形AOD的面积和三角形BOC的面积是平行四边形ABCD 的面积的一半，所以三角形BOC的面积是36÷2-8=107．如图，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？解析：链接BD ，可知三角形ABD 的面积和三角形BDC 都是96÷2=48（平方厘米），三角形ABE 的面积是48×32=32（平方厘米）。
五年级上册数学试题-6《多边形的面积》专项培优 人教新课标含答案
《多边形的面积》专项培优专项一运用等分法巧求面积例1如图是两个完全一样的等腰直角三角形，图①中正方形的面积是40平方分米，则图②中正方形的面积是多少平方分米？分析等分法，就是将整个图形平均分成若干份，再看所求图形的面积占多少份，从而求出所要求的图形面积。
本题中，根据图①中正方形的面积与大等腰直角三角形的面积关系，可求出大等腰直角三角形的面积；然后根据图②中正方形的面积与大等腰直角三角形的面积关系，求出图②中正方形的面积。
解答如图，运用等分法把图①平均分成9份，正方形的面积相当于这样的4份；把图②平均分成4份，正方形的面积相当于这样的2份。
等腰直角三角形的面积为40÷4×9＝90（平方分米），图②中正方形的面积为90÷2＝45（平方分米）。
反馈练习1.如图，七巧板拼成的正方形边长是20厘米，求图中阴影部分的面积2.如图，在一个面积是36平方分米的大正方形中，有两个带阴影的小正方形。
求阴影部分的面积和。
3.如图，将等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEC重叠在一起，阴影部分是一个正方形。
已知三角形ABC的面积是72平方厘米，求三角形DEC的面积。
专项二运用等积变换巧求面积例2如图，已知长方形ABCD的面积是1200平方厘米，阴影部分的面积是750平方厘米，求四边形EFGO的面积。
分析根据图形特点，由面积与面积之间的相等关系，进行一些转化，从而使间题得到简便解决。
本题根据题目中图形之间面积相等的关系可以将上图中的阴影部分三角形ABE移至三角形DFE中，从而求出四边形EFGO的面积。
解答在长方形ABCD中，三角形ABF与三角形DBF同底（即BF的长）、等高（即长方形的宽），所以三角形ABF与三角形DBF的面积相等。
若从这两个三角形中同时减去三角形BEF则剩下的图形面积相等，即：三角形ABE与三角形DFE 的面积相等。
这样阴影部分的面积就等于四边形EFCO加上三角形ACD的面积，要求四边形EFGO的面积，只要用阴影部分的面积减去三角形ACD的面积，列式为750－1200÷2＝150（平方厘米）。
三角形中线等分面积专题
AB 到点 F ，使
让学生灵活运用所 获得的结论， 解决问 题，考查学生对结论 的理解。 增强学生把新知识 转化旧知识的能力。 从不同角度识别图 形的能力。 加强交流学习其他 同学思维上的优势。
BF AB ，连接 FD , EF ，得到 DEF （如图
4）．若阴影部分的面积为 S3 ，则 S3 =
,
教学 重点与难点
设计思路
教与学的方法
重点： 结论的推导和灵活运用
难点： 从复杂图形中找出含有中线的三角形这一基本图形
.
从学生学过的三角形面积入手，自己动手推导出三个结论，然后利用结论
推导三角形中重要的重心图的结论，最后联系中考
.对于四边形的面积问题
转化为三角形面积问题 .在课的结尾联系生活实际，让孩子打开思路 ,应用所
（用含 a 的代数式表示） ．
学生画图，求面积。 五 拓展与应用
如图 5，已知四边形 ABCD 的面积是 a ， E、 F、
G面积？
转化思想方法的应 用。 让学生灵活运用所 获得的结论， 解决问 题，考查学生对结论 的理解。 学生把新知识转化 旧知识的能力。 从不同角度识别图 形的能力。
E
A
A
B
C
D
结论：若底相等，则面积之比等于高之比
B
HFC
D
3.已知 S ABD 30, S ACD 12 ,问：线段 BD 与线
段 CD 的比值是多少？得出什么结论？
A
B
C D
学生动手画出
ABC , ECD 的高，
写出证明过程， 并能得 出结论，小组合作， 互 相检查书写规范与否。 学生到前面讲解
A
线等分三角形的面积 , 即如图 1 ，已知 AD 为 ABC 的 BC 边上的中线 ,则 S ABD S ADC
[说明]多边形面积二等分问题
![[说明]多边形面积二等分问题](https://img.taocdn.com/s3/m/1bef354a3a3567ec102de2bd960590c69ec3d8ed.png)
多边形面积二等分问题在初中阶段平面几何中，图形的等分问题比较多，常见的有以下几种:等分线段，等分角，等分圆，多边形面积二等分等。
线段和角的二等分比较简单，任意等分就稍显复杂；特别是角的任意等分，著名的“尺规作图不能问题”中就有角的三等分问题。
现在据说有人发明了一种工具叫做弧金规，这种工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），还能作一个正方形与已知圆的面积相等，即化圆为方问题；这样一来“尺规作图不能问题”中的三个就被其解决掉了两个，只还剩一个“立方倍积”了。
非但如此，这种工具还能在圆弧上取黄金分割点及在任意曲线上任意取段；也就是说能任意等分圆周及任意曲线。
这项发明可以说是意义重大，但是，这种工具毕竟现在没有推广、普及，而且其操作也肯定不如传统中的直尺和圆规操作简单，再说了，使用这种工具作图是否属于尺规作图还有待于进一步论证；所以，本文还是想从传统的尺规作图的角度来论述一下初中数学中常见的有关几何图形特别是多边形的面积二等分问题。
无论是什么样的多边形，都可以用一条直线把它分成两部分；由于直线相对于多边形的方向与位置不同，被分出来的两部分面积可能相等，也可能不相等。
但无论直线开始时如何放置，只要放置好以后我们让它沿着与直线垂直的方向来回平移，在直线扫过整个多边形的过程中，总有一个位置是使被分出来的两部分面积相等，因此，对于任意多边形，都应该存在无数条直线能把它分成面积相等的两部分；或者换句话说，过多边形任意边上的任意一点也都应该存在一条直线能把多边形分成面积相等的两部分。
先说三角形的面积二等分问题。
对于三角形来说，由于等底等高的三角形面积相等，所以，三角形任意一边上的中线都可以把它分成面积相等的两部分，这个问题比较简单；下面说一下过任意边上的任意一点作直线平分三角形的问题。
如图，已知P 为△ABC 的边BC 上的任意一点，求作直线PQ,把△ABC 分成面积相等的两部分。
作法：1.连接AP ；2，取BC 的中点D ，作D Q ∥AP ，交AC 于点Q;3,作直线PQ ，如图0.则直线PQ 就是所求作的直线。
等分法巧求图形面积
例 5 如下图所示，正方形 ABCD 中套着一个长方形 EFGH， 长方形的面积是 48 平方厘米，长方形的四个顶点 E、F、 G、H 恰好分别把正方形四条边都分成两段，其中长的一 段是短的一段的 2 倍。求阴影部分的面积。
将正方形 ABCD 等分成 18 个小三角形，其中空白 部分（即长方形 EFGH）占8 份，阴影部分占 10 份（见图）。 因此，阴影部分的面积为 48÷8×10＝60（平 方厘米）。 答：阴影部分的面积是 60 平方厘米。
例 3 一个长方形（见下图）被两条直线分成 4 个长方形， 其中 3 个长方形的面积分别是 20 平方厘米、25 平方厘米和 30 平方厘米。求另一个长方形（图中阴影部分）的面积。
将大长方形进行等分（见图）大长方形右边部 分上面是 20 平方厘米，下面是 30 平方厘米， 20﹕30=2﹕3，所以大长方形可按虚线等分成 5 份。同样，长方形的左边部分按虚线也被等分 成 5份。左边部分上面是 25 平方厘米，每份是 25÷2=12.5（平方厘米），因此，阴影部分的 面积为 12.5×3＝37.5（平方厘米）。
1．如下图所示，一个正方形中套着一个长方形，已知正方形的边 长是 20 分米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边都分成 两段，其中长的一段是短的一段的 3 倍。这个长方形的面积是多少 平方分米？ 2．将边长 3 厘米的正方形的四条边分别向两端各延长一倍，连接 8 个端点得到一个八边形（见下图），求阴影部分的面积。 3．将等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△DEC 按下图重叠在一起，阴影部分是 一个正方形。已知△ABC 的面积是 36 平方厘米，求△DEC 的面积。
例 4 如下图所示，长方形 ABCD 的长是 10 厘米，宽是 6 厘 米，E、F 分别是 AB 和 AD 的中点。求阴影部分的面积。
三角形中线等分面积的应用
第5讲例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。
因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。
解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=ab －4×12ab =32ab。
例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．图1图2图4F 图5图3应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。
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如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．
(1)三角形有____________条面积等分线，平行四边形有____________条面积等分线；
(2)如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；
(3)如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．
答案：
解：(1)根据“面积等分线”的定义知，一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线，所以三角形有3条面积等分线；平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线、平行四边形的中位线所在的直线也是平行四边形的面积等分线，所以平行四边形有2+2=4条面积等分线；
(2)如图①所示：正方形BF的中垂线交CD于点E，连接AE，AE即为这个图形的一条面积等分线；
(3)如图②所示．能，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴有S△ABC=S△AEC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
∵S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．
解析：
分析：(1)读懂面积等分线的定义，不难得出：一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线；平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线；
(2)由(1)知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；
(3)能．过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．根据“△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等”推知S△ABC=S△AEC；然后由“割补法”可以求得S四边形
ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．
点评：本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力，以及运用三角形、
等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想．。