2018-2019学年浙江省温州市普通高中高一下学期期末(A卷)数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省温州市普通高中高一下学期期末（A卷）数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合A {|3},B {|31}x x x x =≥-=-<<，则(A B)U C ⋃=（ ） A ．{|1}x x ≥ B ．{|3}x x <-C ．{|3}x x ≤-D ．{|13}x x x ≥<-或【答案】B【解析】先求出{|3}A B x x ⋃=≥-，由此能求出()U A B U ð． 【详解】∵全集U =R ，集合A {|3},B {|31}x x x x =≥-=-<<，∴{|3}A B x x ⋃=≥-，∴(){|3}U A B x x ⋃=<-ð． 故选B ． 【点睛】本题主要考查集合、并集、补集的运算等基本知识，体现运算能力、逻辑推理等数学核心素养．2．若实数x ，y 满足211x y y x -≥⎧⎨≥+⎩，则z ＝x +y 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案. 【详解】由实数x ，y 满足211x y y x -≥⎧⎨≥+⎩作出可行域，如图：联立211x y y x -=⎧⎨=+⎩，解得()2,3A ，化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值为5. 故选：D. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题.3．有一个内角为120°的三角形的三边长分别是m ，m +1，m +2，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．52【答案】B【解析】由已知利用余弦定理可得2230m m --=，解方程可得m 的值. 【详解】在三角形中，由余弦定理得：()()()22212cos12021m m m m m ︒++-+=+，化简可得：2230m m --=，解得32m =或1m =-（舍）. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题. 4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S n ＝a n +1﹣1（n ∈N ），则首项a 1为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】等比数列{}n a 的公比设为q ，分别令1,2n =，结合等比数列的定义和通项公式，解方程可得所求首项. 【详解】等比数列{}n a 的公比设为q ，由121n n S a +=-，令1,2n =，可得112221S a a ==-，()12321a a a +=-， 两式相减可得233a a =，即3q =，又21a a q =⋅ 所以11a =. 故选：A. 【点睛】本题考查数列的递推式的运用，等比数列的定义和通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．如果直线l 过点（2，1），且在y 轴上的截距的取值范围为（﹣1，2），那么l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．（12-，1） B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，12-）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】A【解析】利用直线的斜率公式，求出当直线l 经过点()0,1-时，直线l 经过点()0,2时的斜率，即可得到结论. 【详解】设要求直线l 的斜率为k ，当直线l 经过点()0,1-时，斜率为11120+=-， 当直线l 经过点()0,2时，斜率为121202-=--， 故所求直线l 的斜率为112k -<<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 6．函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可． 【详解】 函数是奇函数，排除选项A ，C ； 当时，，对应点在x 轴下方，排除B ；故选：D ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．7．已知,αβ均为锐角,()5cos 13αβ+=-,π3sin ,35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭则πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=A ．3365B ．6365 C ．3365-D ．6365-【答案】A【解析】因为π02β<<,所以ππ5π336β<+<,又π33πsin sin 3523β⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭,所以ππ5π236β<+<,则π4cos 35β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭;因为π02α<<且π02β<<,所以0αβπ<+<,又()5cos 13αβ+=-,所以()12sin 13αβ+=;则πππcos cos 632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=πsin 3α⎛⎫-- ⎪⎝⎭=()πsin 3αββ⎡⎤⎛⎫-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=()()ππsin cos cos sin 33βαββαβ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=354123351351365⎛⎫⎛⎫⨯---⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;故选A.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”； （3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.8．已知函数()()212log 4f x ax=-在区间（1，2）上是增函数，则实数a 的取值范围A ．（0，+∞）B ．（0，1）C ．（0，1]D ．（﹣1，0）【答案】C【解析】由题意可得()24t x ax =-在()1,2上为减函数，列出不等式组，由此解得a 的范围. 【详解】∵函数()()212log 4f x ax=-在区间()1,2上是增函数，∴函数()24t x ax =-在()1,2上为减函数，其对称轴为0x =，∴可得0440a a >⎧⎨-≥⎩，解得01a <≤.故选：C. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题.9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且6cos 2cos 5a C c A b ⋅+⋅=，则()tan A C -的最大值为（ ）A B ．1C ．D 【答案】D【解析】根据正弦定理将已知等式化简得tan 3tan A C =，再根据差角正切公式以及基本不等式可得结论. 【详解】由正弦定理以及6cos 2cos 5a C c A b ⋅+⋅=，可得6sin cos 2sin cos 5sin A C C A B ⋅+⋅=，在ABC ∆中，()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+代入上式中整理得，6sin cos 2sin cos 5sin cos 5cos sin A C C A A C A C ⋅+⋅=+，即sin cos 3cos sin A C A C ⋅=，即tan 3tan A C =，且tan 0C >， 所以()2tan tan 2tan tan 1tan tan 13tan A C CA C A C C--==++2133tantanCC=≤=+，当且仅当tan C=，即6Cπ=时取等号.故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.10．已知函数f：R+→R+满足：对任意三个正数x，y，z，均有f（3xyzxy yz zx++）3f x f y f z++=（）（）（）.设a，b，c是互不相等的三个正数，则下列结论正确的是（）A．若a，b，c是等差数列，则f（a），f（b），f（c）一定是等差数列B．若a，b，c是等差数列，则f（1a），f（1b），f（1c）一定是等差数列C．若a，b，c是等比数列，则f（a），f（b），f（c）一定是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则f（1a），f（1b），f（1c）一定是等比数列【答案】B【解析】令1xa=，1yb=，1zc=，若,,a b c是等差数列，计算得1112f f fa c b⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进而可得结论.【详解】由题意，()()()33f x f y f zxyzfxy yz zx++⎛⎫=⎪++⎝⎭，令1xa=，1yb=，1zc=，若,,a b c是等差数列，则2a c b+=所以311131333111abcf f f f f fa cb a bc bab bc ca⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++===⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪++⎝⎭，即1112f f fa c b⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故1fa⎛⎫⎪⎝⎭，1fb⎛⎫⎪⎝⎭，1fc⎛⎫⎪⎝⎭成等差数列.若,,a b c是等比数列，()f a，()f b，()f c与1fa⎛⎫⎪⎝⎭，1fb⎛⎫⎪⎝⎭，1fc⎛⎫⎪⎝⎭既不能成等差数列又不等成等比数列.故选：B. 【点睛】本题考查抽象函数的解析式，等差数列的等差中项的性质，属于中档题.二、填空题11．已知3a ＝2，则32a ＝____，log 318﹣a ＝_____ 【答案】4 2.【解析】由已知结合指数式的运算性质求解23a ，把32a =化为对数式得到a ，代入3log 18a -，再由对数的运算性质求解.【详解】∵32a =，∴()2223324a a===，由32a =，得3log 2a =，∴3333318log 18log 18log 2log log 922a ⎛⎫-=-=== ⎪⎝⎭. 故答案为：4，2. 【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查对数的运算性质，属于基础题.12．已知等差数列{a n }的公差为d ，且d ≠0，其前n 项和为S n ，若满足a 1，a 2，a 5成等比数列，且S 3＝9，则d ＝_____，S n ＝_____. 【答案】2 n 2.【解析】由已知列关于首项与公差的方程组，求解可得首项与公差，再由等差数列的前n 项和求解.【详解】由题意，有22151239a a a a a a ⎧=⋅⎨++=⎩，即()()211114339a d a a d a d ⎧+=⋅+⎪⎨+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()2122n n n S n n -=+⨯=.故答案为：2，2n . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和，考查等比数列的性质，属于基础题.13．已知cosθ35=-，θ∈（π，2π），则sinθ＝_____，tan 2θ=_____. 【答案】45-﹣2. 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得式子的值. 【详解】由3cos 5θ=-，(),2θ∈ππ，知3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4sin 5θ==-，311cos 5tan 242sin 5θθθ+-===--. 故答案为：45-，2-.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题.14．若直线l 1：y ＝kx +1与直线l 2关于点（2，3）对称，则直线l 2恒过定点_____，l 1与l 2的距离的最大值是_____. 【答案】（4，5）.【解析】根据1l 所过定点与2l 所过定点关于()2,3对称可得，1l 与2l 的距离的最大值就是两定点之间的距离. 【详解】∵直线1l ：1y kx =+经过定点()0,1，又两直线关于点()2,3对称，则两直线经过的定点也关于点()2,3对称 ∴直线2l 恒过定点()4,5，∴1l 与2l=故答案为：()4,5，【点睛】本题考查了过两条直线交点的直线系方程，属于基础题.15．设y ＝f （x ）是定义域为R 的偶函数，且它的图象关于点（2，0）对称，若当x ∈（0，2）时，f （x ）＝x 2，则f （19）＝_____ 【答案】﹣1.【解析】根据题意，由函数的奇偶性与对称性分析可得()()4f x f x +=，即函数()f x是周期为4的周期函数，据此可得()()()()1934431f f f f =+⨯==-，再由函数的解析式计算即可. 【详解】根据题意，()y f x =是定义域为R 的偶函数，则()()f x f x -=， 又由()y f x =得图象关于点()2,0对称，则()()4f x f x -=+， 所以()()4f x f x +=，即函数()y f x =是周期为4的周期函数， 所以()()()()1934431f f f f =+⨯==-， 又当()0,2x ∈时，()2f x x =，则()11f =，所以()()1911f f =-=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题.16．已知a r ，b r为单位向量，且a b ⋅=r r ，若向量c r 满足()()20c a c a -⋅-=r r r r ，则c b λ-r r()λ∈R 的最小值为_____.【答案】14. 【解析】由题意设()1,0a =r，12b ⎫⎪⎪⎝⎭=r ，(),c x y =r ，由()()20c a c a -⋅-=r r r r 得出223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，它表示圆C，由1,2c b x y λλ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭r r ，利用向量的模的几何意义从而得到最小值. 【详解】由题意设()1,0a =r，12b ⎫⎪⎪⎝⎭=r ，(),c x y =r ， 因()()20c a c a -⋅-=r r r r ，即()()2120x x y --+=，所以223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，它表示圆心为3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径12r =的圆，又1,2c b x y λλ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭r r ，所以c b λ-=r r22122x y λ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示圆C 上的点(),x y与点1,22D λλ⎛⎫⎪⎪⎝⎭的距离的平方，由222223199902241616CD λλλ⎫⎛⎛⎫=-+-=-+=+≥⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以34CD ≥，故c b λ-r r 的最小值为311424-=.故答案为：14.【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了圆的方程与应用问题，属于中档题. 17．已知x ，y ＝R +，且满足x 12x++2y 1y +=6，若xy 的最大值与最小值分别为M 和m ，M +m ＝_____. 【答案】134【解析】设xy t =，则1xyt =，可得1162222xy y x x y x y x y t t t ⎛⎫=+++⋅=+++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式得到关于t 的一元二次方程解方程可得t 的最大值和最小值，进而得到结论. 【详解】∵x ，y ＝R +，设xy t =，则1xyt=， ∴11116222222xy y x x y x y x y x y x y t t t⎛⎫=+++=+++⋅=+++ ⎪⎝⎭ ∴12t ＝（2t +2）x +（4t +1）y≥∴18t ≥（t +1）（4t +1）＝4t 2+5t +1，∴4t 2﹣13t +1≤0，t ≤≤， ∵xy 的最大值与最小值分别为M 和m ，∴M 138+=，m = ∴M +m 134=. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，考查了转化思想和运算推理能力，属于中档题.三、解答题18．已知直线l 1：ax ﹣y ﹣2＝0与直线l 2：（3﹣2a ）x +y ﹣l ＝0（a ∈R ）. （1）若l 1与l 2互相垂直，求a 的值：（2）若l 1与l 2相交且交点在第三象限，求a 的取值范围. 【答案】（1）a 12=，或a ＝1（2）a ＞3 【解析】（1）由题意利用两条直线互相垂直的性质，求得a 的值；（2）联立方程组求出两条直线的交点坐标，再根据交点在第三象限，求出a 的取值范围. 【详解】（1）∵直线l 1：ax ﹣y ﹣2＝0与直线l 2：（3﹣2a ）x +y ﹣l ＝0，l 1与l 2互相垂直， ∴a •（3﹣2a ）+（﹣1）•1＝0，求得a 12=，或a ＝1. （2）若l 1与l 2相交且交点在第三象限，联立方程组203210ax y a x y --=⎧⎨-+-=⎩（），∵l 1与l 2相交，故a ≠3，求得方程组的解为33563x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，∴3035603a a a⎧⎪⎪-⎨-⎪⎪-⎩＜＜，求得a ＞3.【点睛】本题主要考查两条直线互相垂直的性质，求两条直线的交点坐标，属于基础题.19．在正△ABC 中，AB ＝2，BP tBC =u u u r u u u r（t ∈R ）.（1）试用AB u u u r ，AC u u u r 表示AP u u u r：（2）当PA u u u r •PC uuur 取得最小值时，求t 的值.【答案】（1）1AP t AB t AC =-+u u u r u u u r u u u r （）（2）34t =【解析】（1）根据BP tBC =u u u r u u u r即可得出()AP AB t AC AB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而解得()1AP t AB t AC =-+u u u r u u u r u u u r ；（2）由（1）得()1PA t AB t AC =--u u u r u u u r u u u r ，根据PC PA AC =+u u u r u u u r u u u r得()()11PA t AB t AC =-+-u u u r u u u r u u u r ，从而进行数量积的运算得出PA PC ⋅u u u r u u u r，配方即可得出当3t 4=时，PA PC ⋅u u u r u u u r 取最小值. 【详解】（1）∵BP tBC =u u u r u u u r；∴AP AB t AC AB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r（）； ∴1AP t AB t AC =-+u u u r u u u ru u u r（）；（2）∵△ABC 是正三角形，且AB ＝2；∴1602222AB AC AB AC cos ⋅=︒=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r ；∵1PA t AB t AC =--u u u r u u u r u u u r （）；∴11PC PA AC t AB t AC =+=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（）（）；∴()()()()()22211111PA PC t AB t t AC t t t t AB AC⎡⎤⋅=---+----⋅⎣⎦u u u r u u u r uu u r u u u r u u u r u u u r 2231462444t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭∴3t 4=时，PA PC ⋅u u u r u u u r 取最小值.【点睛】本题考查向量减法、加法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量的数量积运算及计算公式，配方法解决二次函数问题的方法，属于基础题.20．已知函数f （x ）＝2cosx ﹣cosx ）. （1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递减区间： （2）将f （x ）的图象向左平移6π个单位后得到函数g （x ）的图象，若方程g （x ）＝m 在区间[0，2π]上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）函数的最小正周期为π;函数的减区间为[kπ3π+，kπ56π+]，k ∈Z （2）m ∈[﹣2，1]【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论；（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得()g x 的范围，进而可得m 的范围. 【详解】（1）函数f （x ）＝2cosx sinx ﹣cosx ）=2x ﹣（1+cos 2x ）＝2sin （2x 6π-）﹣1，故函数的最小正周期为22π=π. 令2kπ2π+≤2x 6π-≤2kπ32π+，求得kπ3π+≤x ≤kπ56π+，可得函数的减区间为[kπ3π+，kπ56π+]，k ∈Z .（2）将f （x ）的图象向左平移6π个单位后，得到函数g （x ）＝2sin （2x 36ππ+-）﹣1＝2sin （2x 6π+）﹣1的图象. 在区间[0，2π]上，2x 6π+∈[6π，76π]，sin （2x 6π+）∈[12-，1]，f （x ）∈[﹣2，1]. 若方程g （x ）＝m 在区间[0，2π]上有解，则m ∈[﹣2，1].【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.21．已知数列{a n }中，a 1＝1且a n ﹣a n ﹣1＝3×（12-）n ﹣2（n ≥2，n ∈N ）. （1）求数列{a n }的通项公式：（2）若对任意的n ∈N ，不等式1≤ma n ≤5恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）a n ＝3﹣2×（12-）n ﹣1（2）{m |1≤m 54≤} 【解析】（1）由已知，根据递推公式可得21132n n n a a --⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，312132n n n a a ---⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，……，021132a a ⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所有式子累加可得n a ； （2）在（1）得出n a 的基础之上解不等式可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）由已知，根据递推公式可得a n ﹣a n ﹣1＝3×（12-）n ﹣2，a n ﹣1﹣a n ﹣2＝3×（12-）n ﹣3，…，a 2﹣a 1＝3×（12-）0， 由累加法得，当n ≥2时，a n ﹣a 1＝3×（12-）0+3×（12-）1+…+3×（12-）n ﹣2， 代入a 1＝1得，n ≥2时，a n ＝111312112n -⨯--+=--（（））（）1+2×（1﹣（12-）n ﹣1），又a 1＝1也满足上式，故a n ＝3﹣2×（12-）n ﹣1.（2）由1≤ma n ≤5，得1≤ma n ＝m （3﹣2（12-）n ﹣1）≤5.因为3﹣2（12-）n ﹣1＞0，所以111511323222n n m --≤≤----（）（）， 当n 为奇数时，3﹣2（12-）n ﹣1∈[1，3）；当n 为偶数时，3﹣2（12-）n ﹣1∈（3，4]，所以3﹣2（12-）n ﹣1最大值为4，最小值为1.对于任意的正整数n 都有111511323222n n m --≤≤----（）（）成立， 所以1≤m 54≤.即所求实数m 的取值范围是{m |1≤m 54≤}.【点睛】本题主要考查数列的递推公式知识和不等式的相关知识，式子繁琐，易错，属于中档题. 22．定义在R 上的函数f （x ）＝|x 2﹣ax |（a ∈R ），设g （x ）＝f （x +l ）﹣f （x ）. （1）若y ＝g （x ）为奇函数，求a 的值： （2）设h （x ）gx x=（），x ∈（0，+∞） ①若a ≤0，证明：h （x ）＞2：②若h （x ）的最小值为﹣1，求a 的取值范围. 【答案】（1）a ＝1（2）①证明见解析②（1，+∞）【解析】（1）根据函数()g x 是定义在R 上的奇函数，令()00g =，即可求出a 的值； （2）①先去绝对值，再把()h x 分离常数即可证明()2h x >；②根据()h x 的最小值为1-，分(]0,1a ∈和()1,a ∈+∞两种情况讨论即可得出a 的取值范围. 【详解】（1）∵g （x ）＝|（x +1）2﹣a （x +1）|﹣|x 2﹣ax |， 一方面，由g （0）＝0，得|1﹣a |＝0，a ＝1，另一方面，当a ＝1时，g （x ）＝|（x +1）2﹣a （x +1）|﹣|x 2﹣x |＝|x 2+x |﹣|x 2﹣x |， 所以，g （﹣x ）＝|x 2﹣x |﹣|x 2+x |＝﹣g （x ），即g （x ）是奇函数. 综上可知a ＝1.（2）（i ）∵a ≤0，x ＞0，x +1＞0，所以h （x ）2211x a x x axx+-+--=（）（） 21x a x +-==21ax-+， ∵1﹣a ＞0，x ＞0， ∴h （x ）＞2.（ii ）由（i ）知，a ＞0， 情形1：a ∈（0，1]，此时当x ∈（a ，+∞）时，有2211x a x x axh x x +-+-+==（）（）（）210a x -+＞， 当x ∈（0，a ]时，有h （x ）2221122110x a x x ax x a x x x+-++-+-+==（）（）（）＞，由上可知此时h （x ）＞0不合题意. 情形2：a ∈（1，+∞）时，当x ∈（0，a ﹣1）时，有h （x ）2211121x a x x ax a x x-++++--==-+-（）（）＞，当x ∈[a ﹣1，a ）时，有h （x ）22211221112211x a x x ax x a x a a x a x x x +-++-+-+--===-+-≥-（）（）（）（）当x ∈[a ，+∞）时，有h （x ）221111210x a x x ax a x x a+-+-+-==+≥+（）（）＞，从而可知此时h （x ）的最小值是﹣1， 综上所述，所求a 的取值范围为（1，+∞）.【点睛】本题考查函数奇偶性的定义求参数的值，考查去绝对值方法和分类讨论的数学思想，属于中档题.。
2018-2019学年浙江“七彩阳光”新高考研究联盟高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江“七彩阳光”新高考研究联盟高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．化简：AB DC CB --=（ ） A ．AD B ．AC C ．DA D ．DB【答案】A 【解析】【详解】AB DC CB AB BC CD AD --=++=.故选：A ． 【点睛】考查向量数乘和加法的几何意义，向量加法的运算．2．等差数列{}n a 前n 项的和为n S ，若1264=+a a ，则9S 的值是（ ） A ．36 B ．48C ．54D ．64【答案】C【解析】由等差数列{a n }的性质可得：a 4+a 6=12=a 1+a 9，再利用求和公式即可得出． 【详解】由等差数列{a n }的性质可得：a 4+a 6=12=a 1+a 9， 则S 9==9×=54． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．向量，若，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值． 【详解】 向量=（-4，5），=（λ，1），则-=（-4-λ，4）， 又（-）∥，所以-4-λ-4λ=0， 解得λ=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题． 4．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x ，则（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是偶函数 D ．()()fx g x ⋅是偶函数【答案】D【解析】逐个选项去判断是否是奇函数或者偶函数。
【详解】A ．若f （x ）=x ，g （x ）=2，满足条件，则f （x ）+g （x ）不是奇函数，故A 错误，B ．|f （-x ）|g （-x ）=|-f （x ）|g （x ）=|f （x ）|g （x ）是偶函数，故B 错误，C ．f （-x ）•g （-x ）=-f （x ）•g （x ），则函数是奇函数，故C 错误，D ．f （|-x|）•g （-x ）=f （|x|）•g （x ），则f （|x|）•g （x ）是偶函数，故D 正确 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，结合函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键． 5．函数()25()log 2f x x x =-的单调递增区间是（ ） A ．()1,+∞ B ．()2,+∞ C ．(),1-∞ D ．(),0-∞【答案】B【解析】先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y=log 3（x 2-2x ）的单调递增区间 【详解】函数y=log 5（x 2-2x ）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞）， 令t=x 2-2x ，则y=log 5t ，∵y=log 5t 为增函数，t=x 2-2x 在（-∞，0）上为减函数，在（2，+∞）为增函数， ∴函数y=log 5（x 2-2x ）的单调递增区间为（2，+∞）， 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键． 6．函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用复合函数求定义域的方法求出函数的定义域． 【详解】令x+（k ∈Z ）， 解得：x（k ∈Z ），故函数的定义域为{x|x ，k ∈Z}故选：A ． 【点睛】本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为1sin sin sin 2S A B C =，则ABC ∆外接圆半径的大小是（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】由三角形的面积公式得出ab=sinAsinB ，再由正弦定理得出=，设=t ，得出t=，求得t 的值，即可得出△ABC 外接圆半径R 的值．【详解】△ABC 中，面积为S=sinAsinBsinC ， 即absinC=sinAsinBsinC ， ∴ab=sinAsinB ； ∴=；由正弦定理得=，∴=；设=t ，则t ＞0，∴t=，解得t=1；设△ABC 外接圆半径为R ，则2R=1，解得R=． 故选：B ． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和正弦定理的应用问题，是基础题． 8．将函数x y 2sin =的图象经过何种变换可得到1sin cos 2y x x =+的图象（ ） A ．向右平移2π个单位长度 B ．向左平移2π个单位长度 C ．向右平移4π个单位长度D ．向左平移4π个单位长度【答案】D【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin （ωx+ϕ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】∵函数y=sin 2x==-cos2x+=sin （2x-）+，函数y=sinxcosx+=sin2x+，故将函数y=sin 2x 的图象向左平移个单位长度可得函数y=sinxcosx+=sin2x+的图象， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin （ωx+ϕ）的图象变换规律，属于基础题．9．已知a ，b 是两个单位向量，与a ，b共面的向量c 满足2()0c a b c a b -+⋅+⋅=，则c的最大值为（）A．22B．2 C D．1【答案】C【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得：由-（）•+=0得：（）•（-）=0，即（）⊥（-），设=，=，=，则=，-=，则点C在以AB为直径的圆O上运动，由图知：当DC⊥AB 时，|DC|≥|DC′|，由三角函数求最值问题得：设∠ADC=θ，则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=sin（），所以当时，|DC|取最大值，得解．【详解】由-（）•+=0得：（）•（-）=0，即（）⊥（-），设=，=，=，则=，-=，则点C在以AB为直径的圆O上运动，由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，设∠ADC=θ，则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=sin（），所以当时，|DC|取最大值，故选：C．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及三角函数求最值问题，属中档题．10．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点（不同于三点）,则周长的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据对称性将边BC，边AC转移，再根据三角形三边在一直线时周长最小的思路即可解答．【详解】作点C关于线段OQ，OP的对称点C1，C2．连接CC1，CC2．则C△ABC=C1B+BA+AC2≥C1C2．又∵C1C2=而∠C1OC2=∠C1OQ+∠QOC+∠COP+∠POC2=2（∠QOC+∠POC）=2∠QOP=150°∴==．∴△ABC的周长的最小值为．故选：B．【点睛】本题主要考查数形结合，余弦定理的运用，解题关键是：三边转成一线时三角形周长最小．二、填空题11．已知数列{}n a 的首项111,(1,2,3,...)1n n na a a n a +===+，则4a =______；猜想其通项公式是n a =______． 【答案】14 1n【解析】数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=（n=1，2，3，…），代入a 2==，同理可得：a 3，a 4．即可猜想其通项公式是a n ． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=（n=1，2，3，…），∴a 2==，同理可得：a 3=，a 4=．猜想其通项公式是a n =．故答案为：，．【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、猜想能力，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题． 12．设函数，则______，若，则______．【答案】【解析】根据题意，由函数的解析式可得f （）=log 2=，进而可得f （f （））=f （），计算可得答案；对于f （a ）=-27，分a ＜1与a≥1两种情况讨论，求出a 的值，综合即可得答案． 【详解】根据题意，函数f （x ）=，则f （）=log 2=，则f （f （））=f （）=（）3=，对于f（a）=-27，当a＜1时，f（a）=a3=-27，解可得a=-3，符合题意，当a≥1时，f（a）=log2a=-27，解可得a=＜1，不符合题意；则a=-3；故答案为：，-3【点睛】本题考查分段函数的应用，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．13．已知正方形的边长为2，点分别是边的中点，则______；______．【答案】【解析】由平面向量的线性运算及平面向量的数量积运算得：由正方形ABCD的边长为2，点M，N分别是边BC，CD的中点，则==（），又因为=x+y，所以x=-，y=，所以xy=，=（）•（）=（）•（）=2--=-1，得解．【详解】由正方形ABCD的边长为2，点M，N分别是边BC，CD的中点，则==（），又因为=x+y，所以x=-，y=，所以xy=，=（）•（）=（）•（）=2--=-1，故答案为：,-1．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量的数量积运算，属中档题．14．如图，在中，，内角的平分线的长为7，且，则_____；的长是______．【答案】15【解析】由已知利用诱导公式可求cos∠CAB=，利用角平分线的性质及二倍角的余弦函数公式可求cos∠CAD的值，利用同角三角函数基本关系式进而可求sin∠DAB，cosB的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin∠ADB的值，在△ADB中，由正弦定理即可求得AB的值．【详解】∵∠C=90°，内角A的平分线AD的长为7，则sinB=sin（-A）=，∴cosA=，可得：2cos2-1=，解得：cos=，∴cos∠CAD=，∴cos∠DAB=，sin∠DAB==，又∵cosB==，∴sin∠ADB=sin（∠B+∠DAB）=sin∠Bcos∠DAB+cos∠Bsin∠DAB=+=，∴在△ADB中，由正弦定理，可得：，解得：AB=15．故答案为：，15．【点睛】本题主要考查了诱导公式，角平分线的性质及二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．15．已知向量，的夹角为，，则的模长是______．【答案】【解析】由平面向量模的运算及数量积的运算得：由向量，的夹角为，=（-3，4），=-10，得=||||cos=-10，即||==2，得解．【详解】由向量，的夹角为，=（-3，4），=-10，得=||||cos=-10，即||==2，故答案为：2．【点睛】本题考查了平面向量模的运算及数量积的运算，属中档题．16．实数满足，则的取值范围是______．【答案】【解析】由条件可得x=，代入x+cosy化为关于cosy的二次函数，结合二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到所求范围．【详解】由2x+cos2y=1，得x=，则x+cosy==．∵cosy∈[-1，1]，∴当cosy=时，x+cosy有最大值为；当cosy=-1时，x+cosy有最小值-1．∴x+cosy的取值范围是[-1，]．故答案为：[-1，]． 【点睛】本题考查余弦函数的值域和二次函数在闭区间上的最值求法，考查变形能力和运算能力，属于中档题．17．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且[0,4],12019i a i ∈剟，设函数()3sin 42x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12342019()()()()()0f a f a f a f a f a ++++⋅⋅⋅+=，则=++++2019321a a a a ______．【答案】4038【解析】由题目得知12342019()()()()()0f a f a f a f a f a ++++⋅⋅⋅+=，而()3cos4f x x π=-是周期函数，关于(2,0)中心对称，所以猜120194a a +=.【详解】设{}n a 的公差为d,12342019()()()()()f a f a f a f a f a ++++⋅⋅⋅+= 12320192sin423(cos cos cos cos )44442sin 42da a a a d ππππππ⋅-++⋅⋅⋅+∙⋅ = 1220193(2sin cos 2sin cos 2sin cos )4244244242sin 42d d d a a a d πππππππ-⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=1122201920193[sin()sin()sin()sin()sin()sin()]2222222sin 42d d d dd d a a a a a a d π---++--++---++⋅= 120193[sin()sin()]222sin 42d d a a d π---++⋅= 12019201932sin()cos()42422sin 42a ad d πππ+-⋅⋅∙⋅⋅=0 （因为1sin()sin()22i i d d a a ++=-），又因为0≠d 所以12019cos()42a a π+⋅=0 而[0,4]i a ∈，又因为0≠d ，所以12019(0,8)a a +∈，12019(0,)42a a ππ+⋅∈ 所以12019422a a ππ+⋅=，即120194a a +=.根据等差数列求和公式=++++2019321a a a a 4038. 【点睛】本题考查了三角函数的积化和差公式，和处理三角函数和的一些技巧,还有等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于有难度题．三、解答题 18．已知，且为第二象限角．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用诱导公式，二倍角公式即可计算得解；（Ⅱ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α的值，根据同角三角函数基本关系式可求tan2α的值，根据两角和的正切函数公式即可计算得解． 【详解】 （Ⅰ）由已知，得，∴．（Ⅱ）∵，得，∴．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 19．已知向量，，，设函数，且的最小正周期是．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在上的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先利用向量的数量积求出函数的关系表达式，进一步把函数的关系式转换为正弦型函数，进一步确定结果．（Ⅱ）利用整体思想求出函数的单调区间．【详解】（Ⅰ）向量，，ω＞0，设函数，所以：，=，所以：，ω=2．（Ⅱ）令：，解得，k∈Z，当k=0时，；当k=1时，，所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间是，．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．20．设函数．（Ⅰ）当时，解不等式：；（Ⅱ）当时，存在最小值，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】设（t＞0），则y=t2-2a t-a．（Ⅰ）当a=2时，把f（x）＞30转化为t2-4t-32＞0，求解t的范围，进一步求解指数不等式可得原不等式的解集．（Ⅱ）当x∈（-1，1）时，必有对称轴，即0＜a＜2，由最小值为-2可得4a=8-4a，即4a-1=2-a，分别作函数y=4x-1，y=2-x的图象，数形结合得答案．【详解】设2x=t（t＞0），则，（Ⅰ）当时，，即或∵t＞0，∴2x＞8，即x＞3，∴不等式的解集是：{x|x＞3}．（Ⅱ）当时，必有对称轴，即0＜＜2，最小值为，化简得，由于关于的函数单调递增，故最多有一个实根。
浙江省温州市2020-2021学年高一上学期期末数学试题(A卷)
数学试题(A卷)
满分150分，时间120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
2.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）
13.已知 ， 则 ___________ .
【答案】1
14.当 =___________时，函数 区间 上单调(写出一个值即可).
【答案】 （集合 或 中的任何一个值都行）
15.某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比.经测算，若在距离码头10 处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元.那么两项费用之和的最小值是___________万元.
A. B. C. D.
【答案】BC
10.已知 ，且 ，则下列正确的有（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
11.在同一直角坐标系中，函数 ， 的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
12.已知实数a，b满足0<2a<b<3- ，则下列不等关系一定成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
20.用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合 ，其函数图像如图所示，其中V为中心室体积(一般成年人的中心室体积近似为600)， 为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合 ，其中c为停药时的人体血药浓度.
2018-2019学年浙江省温州九校联盟高一第一学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省温州九校联盟高一第一学期期末数学试题一、单选题1．（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用诱导公式，化简所求的表达式，由此求得正确选项.【详解】根据诱导公式得.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查特殊角的三角函数值.属于基础题.2．下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对四个选项逐一分析，从而得出正确选项.【详解】对于A选项，，故函数为偶函数.对于C选项，，故为奇函数.对于D选项，正切函数是奇函数，排除A,C,D三个选项，则B选项符合题意.对于B选项由，解得，定义域不关于原点对称，即不是奇函数也不是偶函数.故选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性的定义以及函数奇偶性的判断，属于基础题.3．将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】的图象沿轴向右平移个单位，即，化简后求得的表达式.【详解】依题意的图象沿轴向右平移个单位，得到，即，故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，属于基础题.变换过程中要注意的系数的影响. 4．已知点，，向量，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求得的坐标，然后利用减法求得的坐标.【详解】依题意，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.5．若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据正切值判断所在的象限，然后对逐一分析，得出正确选项.【详解】由于，故为第二或者第四象限角.为第二象限时，.当为第四象限时，.故A,B选项错误，C选项正确.不妨设，，，故D选项错误.综上所述，本题选C.【点睛】本小题主要考查三角函数在各个象限的正负，考查二倍角公式，属于基础题.6．已知向量，，为实数，则的最小值是（）A．1 B．C．D．【答案】B【解析】先求得的坐标，利用模的运算列出表达式，用二次函数求最值的方法求得最小值.【详解】依题意，故，当时，取得最小值为.故选B.【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，考查向量模的坐标表示，考查二次函数最值的求法，属于中档题.7．若是函数的零点，则在以下哪个区间（）A．B．C．D．【答案】C【解析】计算的值，利用零点的存在性定理判断所在的区间.【详解】由于，，根据零点的存在性定理可知，在区间，故选C.【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的应用，考查函数零点区间的判断，属于基础题. 8．已知为常数，函数在区间上的最大值为2，则的值为（）A．-1或B．或C．1或D．1或【答案】A【解析】注意到为上的增函数，按，两类，求得的最大值并由此列方程，解方程求得的值.【详解】令，为上的增函数.当，即时，，，舍去.当，即时，由于单调递增，故函数的最值在端点处取得..若，解得.当时，符合题意.当时，不符合题意.当，解得.当时，，不符合题意.当时，符合题意.故或.所以选A.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查含有绝对值的函数的最值有关的问题，考查分类讨论的数学思想方法.由于函数是含有绝对值的，对于绝对值内的函数的符号就是解题的关键.而绝对值内的函数是单调递增函数，加了绝对值后，最大值会在区间的端点取得，由此分类讨论求得的的值.9．在中，，若，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用向量数量积模的表示化简，利用余弦定理求得的表达式，求得的最小值，由此求得的最大值.【详解】由得，故为钝角，且，.由余弦定理得，即，所以的最大值为，故选B.【点睛】本小题主要考查向量数量积的表示，考查余弦定理的应用，考查利用基本不等式求最小值，考查余弦函数的性质，综合性较强，属于中档题.向量在本题中是一个工具的作用，由此得到三角形的边角关系.要求角的最大值，则要求得其余弦值的最小值，利用基本不等式可以求得这个最小值.10．已知函数是偶函数，且，若，，则下列说法错误的是（）A．函数的最小正周期是10B．对任意的，都有C．函数的图像关于直线对称D．函数的图像关于中心对称【答案】A【解析】根据的为偶函数以及，可得到函数是周期为的周期函数，假设出符合题意的函数.对四个选项逐一分析，由此得出说法错误的选项.【详解】由于是偶函数，且，所以函数是周期为的周期函数，不妨设.对于选项，由于，所以函数的最小正周期为，故A选项说法错误.对于B选项，函数，由于是的周期，故是的周期，故，故B选项说法正确.对于C选项，由于，结合前面分析可知，故C选项判断正确.对于D选项.，，故函数关于对称，D选项说法正确.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查函数的周期性等知识，属于中档题.二、填空题11．已知向量，，则______；与的夹角为______.【答案】【解析】利用数量积的坐标运算取得，利用夹角公式求得两个向量夹角的余弦值，由此求得两个限量的夹角.【详解】依题意，而，所以，所以两个向量的夹角为.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量的夹角公式，属于基础题.12．已知，且，则______；______.【答案】【解析】先求得的范围，然后利用同角三角函数关系求得的值，利用，展开后求得的值.【详解】由得，所以..【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题. 13．已知函数，则的最小正周期是______；的对称中心是______.【答案】，【解析】根据取得函数的最小正周期，利用求得的对称中心.【详解】依题意的，即函数的最小正周期为.令，解得，所以函数的对称中心是.【点睛】本小题主要考查三角函数的最小正周期，考查三角函数零点的求法，属于基础题.对于函数以及函数，最小正周期的计算公式为.对于，最小正周期的计算公式为.对称中心的求法是类比的对称中心来求解.14．已知二次函数的两个零点为1和，则______；若，则的取值范围是______.【答案】-3【解析】利用求得，进而求得另一个零点.解一元二次不等式求得的取值范围.【详解】依题意可知，即，，所以另一个零点为即.由得，即，解得.【点睛】本小题主要考查二次函数零点问题，考查十字相乘法，考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.已知二次函数的一个零点，可以将零点代入函数的表达式，求出里面未知参数的值，从而求得另一个零点.解一元二次不等式主要步骤是先求零点，然后根据开口方向写出不等式的解集.15．已知对数函数的图像过点，则不等式的解集为______. 【答案】【解析】设，利用点求得的值，利用对数运算化简不等式后求得不等式的解集.【详解】设，代入点得，故，即.故原不等式可化为，即，解得，故不等式的解集为.【点睛】本小题主要考查对数函数解析式的求法，考查对数不等式的解法，属于中档题.16．函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是______.【答案】【解析】画出函数的图像，根据图像与有三个不同的交点，判断出的位置，由此求得的取值范围.【详解】画出函数的图像如下图所示，由图可知，由于，关于，即.所以.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查指数函数和三角函数图像的画法，考查三角函数的对称性，属于中档题.17．如图，已知正方形的边长为1，点，分别为边，上动点，则的取值范围是_______.【答案】【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设出两点的坐标，利用坐标表示，由此求得的取值范围.【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，设故.由于，故当时，取得最大值为.令，则，由于关于的一元二次方程有解，故，即，而，故.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标表示，考查最大最小值的求法，考查分析和截距问题的能力，属于难题.三、解答题18．已知，（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（I）当是，解一元二次不等式求得，解对数不等式求得，求得在求得.（II）构造函数，根据是集合的子集，可知，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，由得：则所以（Ⅱ）若，则当时，恒成立令则所以.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集和交集的概念，考查子集的概念，属于中档题.19．已知向量，.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（I）将两边平方后，利用辅助角公式，化简合并，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.（II）利用求得的值，进而求得的值，利用两角和的正弦公式，求得的值.【详解】解：（Ⅰ）则∴（Ⅱ）若由得则∴【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查三角函数辅助角公式，考查两角和的正弦公式，属于中档题.20．已知函数为偶函数（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）是否存在实数，使得当时，函数的值域为？若存在请求出实数，的值，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）不存在【解析】（I）利用偶函数的定义，通过列方程，由此求得的值.（II）由（I）求得的解析式，并判断出函数在上为增函数，根据函数的值域列方程组，求得的值，由此判断出不存在符合题意的的值.【详解】解：（Ⅰ）函数为偶函数，∴，∴（Ⅱ），∴在上是增函数若的值域为则解得又∵，所以不存在满足要求的实数，【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性以及函数的值域，属于中档题. 21．已知函数.（Ⅰ）当时，求的值域；（Ⅱ）若方程有解，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】（I）当时，利用降次公式化简，然后利用换元法将函数转化为二次函数，结合二次函数的知识求得的值域.（II）解法一：同（I）将函数转化为二次函数的形式.对分成三类，讨论函数的是否有解，由此求得的取值范围.解法二：化简的表达式，换元后分离常数，再由此求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，令，令，则，所以的值域为（Ⅱ）法一：令，令，①当，即时，，解得②，即时，，无解③当，即时，，解得综上所述或法二：令，当，不合题意，∴∴，∵在，递减∴或∴或【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查利用换元法转化函数，考查二次函数求最值，考查方程有解的问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想，属于难题.解决含有参数的方程有解问题，可以考虑分离常数法将参数分离出来，然后根据表达式的范围，求得参数的范围.22．已知函数在上是减函数，在上是增函数.若函数，利用上述性质（Ⅰ）当时，求的单调递增区间（只需判定单调区间，不需要证明）；（Ⅱ）设在区间上最大值为，求的解析式；（Ⅲ）若方程恰有四解，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（I）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间.（II）对分成三种情况，结合函数的解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式.（III）分成两种情况，去掉的绝对值，根据解的个数，求得的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，（Ⅱ）∵①当时，，②当时，，，③当时，，，，当，即时，当，即时，综上所述（Ⅲ）时，方程为，且；所以对任意实数，方程有且只有两正解时，方程为或所以时，恰有四解【点睛】本小题主要考查含有绝对值函数的单调性的判断，考查含有绝对值函数的最值的求法，考查含有绝对值的方程的求解策略，考查分类讨论的数学思想，考查化归与转化的数学思想方法.属于难题.对于含有绝对值的函数，主要是对自变量分类，去绝对值，将函数转化为分段函数来求解.。
浙江省温州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(A卷)含答案
2023学年第二学期温州市高一期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()()2,1,,1a b t ==-，若a ∥b，则t =（）A.2B.12C.2- D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】因为()()2,1,,1a b t ==-，若a∥b，则()211t ⨯-=⨯，即2t =-.故选：C.2.设m 是一条直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A.若αβ⊥，m α⊥，则//m βB.若αβ⊥，//m α，则m β⊥C.若//αβ，m α⊥，则m β⊥D.若//αβ，//m α，则//m β【答案】C 【解析】【分析】对于选项A ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项B ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项C ：根据面面平行的性质定理判断即可；对于选项D ：根据线面的位置关系判断即可.【详解】对于选项A ：若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，故A 不正确；对于选项B ：若αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或m β⊥，故B 不正确；对于选项C ：若//αβ，m α⊥，根据面面平行的性质定理可得m β⊥，故C 正确；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理.属于较易题.3.复数024i 1i2=+（）A.11i 22-- B.11i 22-+ C.11i 22- D.11i 22+【答案】C 【解析】【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可.【详解】()()2024i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 222z --=====-+++-.故选：C.4.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB 进行测量，AB 与地面垂直，从地面C 点看塔顶A 的仰角β为60︒，沿直线BC 前行20米到点D 此时看塔顶A 的仰角α为30︒，根据以上数据可得古塔AB 的高为（）米.A. B.20 C.10D.【答案】A 【解析】【分析】根据直角三角形三角关系可得3BC h =，BD =，根据题意列式求解即可.【详解】设古塔AB 的高为h 米，在Rt ABC △中，可得60tan 3h BC ︒==；在Rt △ABD 中，可得tan 30hBD ==︒；由题意可知：CD BD BC =-，即203h =-，解得h =，所以古塔AB 的高为米.故选：A.5.数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x 的40%分位数为2.5，则x 可以是（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】按照百分位数计算公式，逐项计算即可求解.【详解】对于A ，因为1040%4⨯=，所以若2x =，则1，1，2，2，3，3，5，5，7，7的40%分位数为232.52+=，故A 正确；对于B ，因为1040%4⨯=，所以若3x =，则1，1，2，3，3，3，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故B 错误；对于C ，因为1040%4⨯=，所以若4x =，则1，1，2，3，3，4，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故C 错误；对于D ，因为1040%4⨯=，所以若5x =，则1，1，2，3，3，5，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故D 错误.故选：A.6.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，)2224a c b S +-=，若1c =，则ABC 面积的取值范围是（）A.,84⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B.,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,42⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.,8⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得π3B=，利用正弦定理结合三角恒等变换可得112tanaC⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，代入面积公式结合角C的范围运算求解.)2224a cb S+-=，则12cos4sin2ac B ac B=⨯，整理可得tan B=，且π0,2B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知π3B=，由题意可得：π22ππ32CC⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C<<，由正弦定理sin sina cA C=可得()31cos sinsinsin1221sin sin sin2tanC CB Cc AaC C C C+⎛⎫+====+⎪⎪⎝⎭，则ABC面积111sin111222tan28tanS ac BC C⎛⎫⎫==⨯+⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ππ62C<<，则tan3C>，可得01tan C<<，所以ABC面积1,8tan84SC⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.7.已知样本数据129,,,x x x⋅⋅⋅的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据10x，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）A.18.2B.19.6C.19.8D.21.7【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差公式整理可得9921181,837i ii ix x====∑∑，由新样本数据的平均数可得1019x=，结合方差公式运算求解即可.【详解】由题意可知：()9992221111119,99912999i i i i i i x x x ===⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑∑，可得9921181,837ii i i xx ====∑∑，且()9101011181101010i i x x x =⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∑，解得1019x =，所以新样本数据的方差为()1010922222210111111101010101019.8101010i i i i i i x x x x ===⎛⎫⎛⎫-=-⨯=+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.故选：C.8.已知平面向量,,a b c 满足12,2a c a b a b a b λ==⋅=-≥- 对任意实数λ恒成立．若对每一个确定的c ，对任意实数m ，n ，c ma c nb -+- 有最小值t ．当c变化时，t 的值域为[],x y ，则x y +=（）A.2+B.C.2+D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合向量的几何意义分析可知2b =，进而分析可知,MC NC 的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB 的垂线长，设COA θ∠=，分π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦两种情况讨论，结合三角函数运算求解即可.【详解】设,,OA a OB b OC c === ，OP b =uu u r rλ，可知P OB ∈，则a b OA OP PA -=-=uu r uu u r uu r r r λ，可知PA 的最小值即为点A 到直线OB 的距离，若12a b a b λ-≥-对任意实数λ恒成立，可知当点P 为线段OB 的中点，且AP OB ⊥，即a 在b方向上的投影向量为12b r ，则2122a b b ⋅==r r r ，可得2b = ，即2OB OA BA ===，可知OAB 为等边三角形，可设,OM ma ON nb ==uuu r uuur r r ，则,c ma MC c nb NC -=-= ，可知,MC NC的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB的垂线长，设COA θ∠=，根据对称性只需分析[]0,πθ∈即可，若π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得min minπ2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin sin 2sin 3θθθθθθ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π,333θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin ,132θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即2t ⎤∈⎦；若π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则min min π2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin 3sin 6θθθθθθ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π,666θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin ,132θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即t ∈；综上所述：t ∈，即x y ==x y +=故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是把向量的模长转化为两点间距离，结合几何性质分析求解，这样可以省去烦琐的运算.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足1z =，则下列结论正确．．的是（）A.1z z ⋅= B.1z z+∈R C.1z -的最大值为2 D.21z =【答案】ABC 【解析】【分析】根据共轭复数及乘法计算判断A,B 选项，应用特殊值法判断D 选项，结合模长公式判断C 选项.【详解】设i z =,所以22i 1z ==-,D 选项错误；112z z -≤+=,C 选项正确；设i z a b =+,因为1,z =所以221,1a b =+=，所以()()22222·i i i =1z z a b a b a b a b =+-=-+=,A 选项正确；1·i+i=2R z z z z z z a b a b a z z+=+=+=+-∈,B 选项正确.故选：ABC.10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F 分别为棱11B C ，AD （含端点）上的动点，记过C ，E ，F 三点的平面为α，记1d 为点B 到平面α的距离，2d 为点1D 到平面α的距离，则满足条件（）的α是不唯一的．A.12d d +=B.12d d +=C.122d d -=D.122d d +=【答案】AC 【解析】【分析】设1,C E x DF y ==，结合解三角形知识求得CEF △的面积S =，利用等体积法求得1d =2d =.根据题意结合选项逐一分析判断即可.【详解】设1,C E x DF y ==，则[],0,1x y ∈，可得CE CF EF ===在CEF △中，由余弦定理可得222cos 2CE CF EF ECF CE CF+-∠==⋅且()0,πECF ∠∈，则sin ECF ∠==，所以CEF △的面积1sin 2S CE CF ECF =⋅⋅∠=，设平面α与直线11A D 的交点为G ，连接,GF GE ，可知1D G x y =+，因为平面11ADD A ∥平面11BCC B ，且平面α 平面11ADD A GF =，平面α 平面11BCC B CE =，可得GF ∥CE ，同理可得：GE ∥CF ，可知四边形CEGF 为平行四边形，则GEF CEF S S S ==△△，对于三棱锥B CEF -可知：B CEF E BCF V V --=，则1111111332S d ⋅=⨯⨯⨯⨯，解得112d S ==；对于三棱锥1D GEF -可知：11D GEF F D EG V V --=，则()211111332S d x y ⋅=⨯⨯⨯⨯+，解得22x y d S +==；对于选项A：若12d d +==+=，显然01x y =⎧⎨=⎩和1x y =⎧⎨=⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故A 正确；对于选项B：若12d d ==+=，整理可得()()()222110x y x y -+-+-=，解得1x y ==，所以平面α是唯一的，故B 错误；对于选项C：若122d d -+-===，显然02x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩和20x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故C 正确；对于选项D：若122d d +===，整理可得()()()22221210x y x y -+-+-=，解得12x y ==，所以平面α是唯一的，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：将平面α延展为平面CEGF ，分析可知CEGF 为平行四边形，进而可利用等体积法求12,d d .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上12.已知2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则实数p 的值为_______．【答案】12【解析】【分析】根据题意分析可知2i 3--也是方程220x px q ++=的一个根，利用韦达定理运算求解即可.【详解】因为2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则2i 3--也是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，由韦达定理可得()()2i 32i 362p-+--=-=-，解得12p =.故答案为：12.13.设样本空间{}1,2,3,4Ω=含有等可能的样本点，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则()()()()123123P A A A P A P A P A =_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意利用列举法求()()()()123123,,,P A P A P A P A A A ，代入即可得结果.【详解】因为样本空间{}1,2,3,4Ω=，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则{}1231A A A =，可知()()()()()1231234,2,1n n A n A n A n A A A Ω=====，则()()()()()()()()()()()()1231231231231111,,,2224n A n A n A n A A A P A P A P A P A A A n n n n ========ΩΩΩΩ，所以()()()()123123142111222P A A A P A P A P A ==⨯⨯.故答案为：2.14.与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足6AB BC CD DA ====，8BD =，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为________．【答案】4【解析】【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析运算即可.【详解】设棱切球的球心为O ，与棱,,,,,AB BC CD DA AC BD 分别切于点,,,,,E F G H I J ，可知,,,AH AI AE BE BF BJ CI CF CG DH DG DJ ========，由题意可得：6668AH DH AE BE AH BE BF CF BE CF BJ DJ BE DH +=⎧⎪+=+=⎪⎨+=+=⎪⎪+=+=⎩，解得42BE DH AH CF ==⎧⎨==⎩，所以4AC AI CI AH CF =+=+=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．（1）求该圆台的体积；（2）求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．【答案】（1）14π3（25【解析】【分析】（1）根据题意利用台体的体积公式运算求解；（2）借助于轴截面，分析可知该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，结合题中数据分析求解.【小问1详解】由题意可知：该圆台的体积(114ππ4ππ4π233V =++⨯⨯=.【小问2详解】借助于轴截面，如图所示，其中21,O O 分别为上、下底面圆的圆心，则21O O 与上、下底面均垂直，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，可知CE ∥21O O ，则CE 与上、下底面均垂直，则该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，由题意可知：212CE O O ==，1BE =，可得BC ==，则cos 5BE CBE BC ∠==，所以该圆台母线与下底面所成角的余弦值为5.16.已知,a b是单位向量，满足2a b -= a 与b 夹角为θ．（1）求θ；（2）若平面向量c 在a 上的投影向量为,1a b c ⋅=，求c ．【答案】（1）2π3θ=（2）2c =【解析】【分析】（1）由题意可知1==a b r r ，cos a b θ⋅=r r ，由2a b -= 结合数量积的运算可得1cos 2θ=-，即可得结果；（2）设,,c xa yb x y =+∈R rr r，结合题意列式解得2x y ==，结合模长与数量积的运算律分析求解.【小问1详解】因为1==a b r r ，则cos cos a b a b θθ⋅==，若2a b -= ，则222244a b a a b b -=-⋅+，即714cos 4=-+θ，可得1cos 2θ=-，且[]0,πθ∈，所以2π3θ=.【小问2详解】由（1）可知：1==a b r r ，12a b ⋅=-r r ，由题意可设,,c xa yb x y =+∈R r r r，因为平面向量c 在a 上的投影向量为a，则21a c a ⋅==r r r ，由题意可得：22a c xa yab bc xa b yb⎧⋅=+⋅⎪⎨⋅=⋅⋅+⎪⎩ ，可得112112x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2x y ==，则()2a c b =+ ，可得()()2224241114c a a b b =+⋅+=-+= ，所以2c =.17.如图，ABC 绕边BC 旋转得到DBC △，其中2AC BC ==，,AC BC AE ⊥⊥平面ABC ，DE ∥AC．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若二面角B DE C --的平面角为60︒，求锐二面角D CB A --平面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）3【解析】【分析】（1）根据题意可得,BCAC BC CD ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，可得CF =结合（1）分析可知锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，运算求解即可.【小问1详解】由题意可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .【小问2详解】过C 作CF DE ⊥，垂足为F ，连接BF ，即CF EF ⊥，因为BC ⊥平面ACD ，EF ⊂平面ACD ，则BC EF ⊥，且CF BC C = ，,CF BC ⊂平面BCF ，则EF ⊥平面BCF ，由BF ⊂平面BCF ，可得EF BF ⊥，可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，且2BC =，可得23CF =，由（1）可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，则锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，且DE ∥AC ，可知ACD CDF ∠=∠，可得233sin sin 23CF ACD CDF CD ∠=∠==，所以锐二面角D CB A --平面角的正弦值为33.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，过ABC 内一点M 的直线l 与直线AB 交于D ，记BA 与DM夹角为θ.（1）已知cos sin c a B b A -=，（i ）求角A ﹔（ii ）M 为ABC 的重心，1,30b c θ===︒，求AD；（2）请用向量方法．．．．探究θ与ABC 的边和角之间的等量关系.【答案】（1）（i ）45︒；（ii ）6226+（2）cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++【解析】【分析】（1）（i ）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（ii ）由1()3AM AB AC =+ 及数量积模的运算求得2cos 32AAM =，根据正弦定理结合三角恒等变换得AD211sin cos 3222A A ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，将45A =o 代入求值即可；（2）由BA BC CA =+，结合数量积可得DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，再运用数量积定义可分别求出DE BA ⋅ 、DE BC ⋅、DE CA ⋅ ，代入整理即可.【小问1详解】（i ）因为cos sin c a B b A -=，由正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A -=，即()sin sin cos sin sin A B A B B A +-=，所以cos sin sin sin A B B A =，又0180B << ，所以sin 0B >，所以cos sin A A =，所以tan 1A =，又0180A << ，所以45A =o .（ii ）由题意1,30b c θ===︒，因为M 为ABC 的重心，所以1()3AM AB AC =+，所以12cos 332A AM AM AB AC ==+=== ，在ADM △中，由正弦定理知AD AM θ=∠，所以sin AM AD AMD θ=⨯∠，显然ABC 为等腰三角形，则AM 平分BAC ∠，所以sin 302sin 301222AM A A AD AD AM ⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭441cos sin 30cos sin cos 322322222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222112sin cos cos sin cos 322223222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=⨯+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2321216223222226⎛⎫++=⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】直线l 与ABC 的边AC 相交于点E ，如图所示，因为BA BC CA =+，所以()DE BA DE BC CA ⋅=⋅+ ，即DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，又因为||||cos ||cos DE BA DE BA EDA c DE θ⋅=∠=，||||cos()||cos()DE BC DE BC B a DE B θθ⋅=-=-，||||cos()||cos()DE CA DE CA A b DE A θθ⋅=+=+，所以||cos ||cos()||cos()c DE a DE B b DE A θθθ=-++，即cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++.19.给定两组数据()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅与()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅，称()1,niii X A B x y==-∑为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n 个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为()1,2,,I n =⋅⋅⋅．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n 个古董的价值从高到低依次进行重新排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，其中i x 为该专家给真实价值排第i 位古董的位次编号，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅，那么A 与I 的差异量()1,nii X A I x i ==-∑可以有效反映一个专家的水平，该差异量(),X A I 越小说明专家的鉴宝能力越强．（1）当3n =时，求(),X A I 的所有可能取值；（2）当5n =时，求(),4X A I =的概率；（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I 的差异量为a ，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量是否可能为6a +？请说明理由．【答案】（1）0，2，4（2）18（3）不可能，理由见详解【解析】【分析】（1）利用列举法求A 的所有可能性结果，结合(),X A I 的定义运算求解；（2）分析可知样本容量()Ω120n =，且(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解；（3）由题意可得：1n ii x i a =-=∑，14niii x y=-=∑，结合绝对值不等式的运算求解.【小问1详解】若3n =时，则()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1A =，且()1,2,3I =，可得(),0,2,2,4,4,4X A I =，所以(),X A I 的所有可能取值为0，2，4.【小问2详解】设“(),4X A I =”为事件M ，样本空间为Ω，因为5n =，可知A 共有54321120⨯⨯⨯⨯=个，即样本容量()Ω120n =，显然若对调两个位置的序号之差大于2，则(),4X A I >，可知(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，若调整两次两个连续序号：则有()(){}()(){}()(){}1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5，共有3种可能；若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5，共3组，由（1）可知：每组均有3种可能满足(),4X A I =，可得共有3412⨯=种可能；综上所述：()31215n M =+=.所以()()()151Ω1208n M P B N ===.【小问3详解】不可能，理由如下：设专家甲的排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅；专家乙的排序为12,,,⋅⋅⋅n y y y ，记()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅；由题意可得：()1,n ii X A I x i a ==-=∑，()1,4niii X A B x y==-=∑，因为()()i i i i i i i i i i y i y x x i y x x i x i x y -=-+-≤-+-=-+-，结合i 的任意性可得11146nnniiiii i i y i x i x ya a ===-≤-+-=+<+∑∑∑，所以专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量不可能为6a +.【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论；2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明.。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）如图是一个正四棱锥.它的俯视图是（）A.B.C.D.2.（单选题.4分）已知点（1.a）（a＞0）到直线l：x+y-2=0的距离为1.则a的值为（）A. √2B. 2−√2C. √2−1D. √2+13.（单选题.4分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中.直线AB1与BC1所成角为（）A.30°B.45°C.60°4.（单选题.4分）在直角梯形ABCD中.AB || CD.AB⊥BC.AB=5.BC=4.CD=2.则梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积为（）A.52πB. 1163πC. 1003πD. (28+4√10)3π5.（单选题.4分）已知直线倾斜角的范围是α∈[π3，π2)∪(π2，2π3] .则此直线的斜率的取值范围是（）A. [−√3，√3]B. (−∞，−√3]∪[√3，+∞)C. [−√33，√33]D. (−∞，−√33]∪[√33，+∞)6.（单选题.4分）正三角形ABC的边长为2cm.如图.△A'B'C'为其水平放置的直观图.则△A'B'C'的周长为（）A.8cmB.6cmC. (2+√6) cmD. (2+2√3) cm7.（单选题.4分）一个几何体的三视图如图所示.则该几何体的外接球的体积为（）A.24πC.8 √6 πD. √6 π8.（单选题.4分）已知m.n 表示两条不同的直线.α.β.γ表示三个不同的平面.给出下列四个命题： ① α∩β=m .n⊂α.n⊥m .则α⊥β； ② α⊥β.α∩γ=m .β∩γ=n .则m⊥n ； ③ α⊥β.α⊥γ.β∩γ=m .则m⊥α； ④ m⊥α.n⊥β.m⊥n .则α⊥β 其中正确命题的序号为（ ） A. ① ② B. ② ③ C. ③ ④ D. ② ④9.（单选题.4分）若实数x.y 满足不等式组 {y ≥0x +y ≤3x −y ≥−1 .则z=2|x|-y 的最小值是（ ）A.-1B.0C.1D.210.（单选题.4分）已知圆Γ1与Γ2交于两点.其中一交点的坐标为（3.4）.两圆的半径之积为9.x 轴与直线y=mx （m ＞0）都与两圆相切.则实数m=（ ） A. 158 B. 74 C.2√35 D. 3511.（填空题.6分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形.则该圆柱的表面积为___ .体积为___ ．12.（填空题.6分）若直线y=kx+1-2k 与曲线 y =√1−x 2 有交点.则实数k 的最大值为___ .最小值为___ ．13.（填空题.6分）若过点（1.1）的直线l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长最短.则直线l 的方程是___ .此时的弦长为___ ．14.（填空题.6分）已知点P（2.1）和圆C：x2+y2+ax-2y+2=0.若点P在圆C上.则实数a=___ ；若点P在圆C外.则实数a的取值范围为 ___ ．.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ. 15.（填空题.4分）异面直线a.b所成角为π3若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．16.（填空题.4分）在棱长均为2的三棱锥A-BCD中.E、F分别AB、BC上的中点.P为棱BD上的动点.则△PEF周长的最小值为___ ．17.（填空题.4分）在三棱锥P-ABC中.AB⊥BC.PA=PB=2. PC=AB=BC=2√2 .作BD⊥PC交PC于D.则BD与平面PAB所成角的正弦值是___ ．18.（问答题.14分）正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等.E为PC中点．（1）求证：PA || 平面BDE；（2）求异面直线PA与DE所成角的余弦值．19.（问答题.15分）已知圆C：（x-2）2+（y-3）2=2．（1）过原点O的直线l被圆C所截得的弦长为2.求直线l的方程；（2）过圆C外的一点P向圆C引切线PA.A为切点.O为坐标原点.若|PA|=|OP|.求使|PA|最短时的点P坐标．20.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD中.PA⊥底面ABCD.AD⊥AB.AB ||DC.AD=DC=AP=2.AB=1.点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．21.（问答题.15分）如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.M是AB的中点.E在CC1上.且CE=2C1E．（1）求证：AC1⊥平面A1BD；（2）在线段DD1上存在一点P.DP=λD1P.若PB1 || 平面DME.求实数λ的值．22.（问答题.15分）已知点A（1.0）.B（4.0）.曲线C上任意一点P满足|PB|=2|PA|．（1）求曲线C的方程；（2）设点D（3.0）.问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E.F.无论直线l如何运动.x轴都平分∠EDF.若存在.求出Q点坐标.若不存在.请说明理由．2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）如图是一个正四棱锥.它的俯视图是（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：该几何体直观图为一个正四棱锥.所以其俯视图轮廓为正方形.并且能够看到其四个侧棱.构成正方形的对角线.只有D选项符合．【解答】：解：该几何体直观图为一个正四棱锥.所以其俯视图轮廓为正方形.并且能够看到其四个侧棱.构成正方形的对角线.故选：D．【点评】：本题考查了由正四棱锥的直观图得到其俯视图.属于基础题．2.（单选题.4分）已知点（1.a）（a＞0）到直线l：x+y-2=0的距离为1.则a的值为（）A. √2B. 2−√2C. √2−1D. √2+1【正确答案】：D【解析】：利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】：解：点（1.a）（a＞0）到直线l：x+y-2=0的距离为1.=1.解得a=1+ √2∴ |1+a−2|√2故选：D．【点评】：本题考查了点到直线的距离公式.考查了推理能力.属于基础题．3.（单选题.4分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中.直线AB1与BC1所成角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【正确答案】：C【解析】：由AB1 || DC1.知∠DC1B是直线AB1与BC1所成角.由此能求出直线AB1与BC1所成角．【解答】：解：∵AB1 || DC1.∴∠DC1B是直线AB1与BC1所成角.∵△BDC1是等边三角形.∴直线AB1与BC1所成角60°．故选：C．【点评】：本题考查异面直线所成角的大小的求法.是基础题.解题时要注意空间思维能力的培养．4.（单选题.4分）在直角梯形ABCD中.AB || CD.AB⊥BC.AB=5.BC=4.CD=2.则梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积为（）A.52ππB. 1163πC. 1003πD. (28+4√10)3【正确答案】：A【解析】：梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体是圆台.圆台的高h=BC=4.上底面圆半径r=CD=2.下底面圆半径R=AB=5.由此能求出梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积．【解答】：解：梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体是圆台.圆台的高h=BC=4.上底面圆半径r=CD=2.下底面圆半径R=AB=5.∴梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积：V= 1πh（R2+Rr+r2）3π×4×（25+10+4）= 13=52π．故选：A．【点评】：本题考查旋转体的体积的求法.考查圆台的体积公式等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是中档题．5.（单选题.4分）已知直线倾斜角的范围是α∈[π3，π2)∪(π2，2π3] .则此直线的斜率的取值范围是（）A. [−√3，√3]B. (−∞，−√3]∪[√3，+∞)C. [−√33，√33]D. (−∞，−√33]∪[√33，+∞)【正确答案】：B【解析】：根据题意.由直线的斜率与倾斜角的关系k=tanα.结合正切函数的性质分析可得答案．【解答】：解：根据题意.直线倾斜角的范围是α∈[π3，π2)∪(π2，2π3] .其斜率k=tanα.则k≤- √3或k≥ √3 .即k的取值范围为（-∞.- √3）∪（√3 .+∞）；故选：B．【点评】：本题考查直线的倾斜角与斜率的关系.注意直线斜率的计算公式.属于基础题．6.（单选题.4分）正三角形ABC的边长为2cm.如图.△A'B'C'为其水平放置的直观图.则△A'B'C'的周长为（）A.8cmB.6cmC. (2+√6) cmD. (2+2√3) cm【正确答案】：C【解析】：根据平面图形的直观图画法.利用余弦定理求出B′C′和A′C′.再计算△A'B'C'的周长．【解答】：解：正△ABC 的边长为2cm.则它的直观图△A'B'C'中.A′B′=2.O′C′= 12 •2•sin60°= √32； ∴B′C′2=O′B′2+O′C′2-2O′B′•O′C′•cos45°=1+ 34 -2×1× √32 × √22 = 7−2√64 = (√6−12)2 . ∴B′C′= √6−12； 又A′C′2=O′A′2+O′C′2-2O′A′•O′C′•cos135°=1+34-2×1× √32 ×（- √22 ）= 7+2√64 = (√6+12)2. ∴A′C′=√6+12； ∴△A'B'C'的周长为2+ √6−12 + √6+12=（2+ √6 ）（cm ）． 故选：C ．【点评】：本题考查了平面图形的直观图画法与应用问题.也考查了余弦定理的应用问题.是基础题．7.（单选题.4分）一个几何体的三视图如图所示.则该几何体的外接球的体积为（ ）A.24πB.6πC.8 √6 πD. √6 π【正确答案】：D【解析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥.求出其外接球的半径.代入球的体积公式.可得答案．【解答】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥. 其四个顶点是以俯视图为底面.以1为高的三棱锥的四个顶点.如图是长方体的一部分. 故其外接球.相当于一个长2.宽1.高1的长方体的外接球.故外接球的半径R 12×√12+22+12 = √62 .故球的体积V= 43π×(√62)3= √6π.故选：D．【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积.解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.（单选题.4分）已知m.n表示两条不同的直线.α.β.γ表示三个不同的平面.给出下列四个命题：① α∩β=m.n⊂α.n⊥m.则α⊥β；② α⊥β.α∩γ=m.β∩γ=n.则m⊥n；③ α⊥β.α⊥γ.β∩γ=m.则m⊥α；④ m⊥α.n⊥β.m⊥n.则α⊥β其中正确命题的序号为（）A. ① ②B. ② ③C. ③ ④D. ② ④【正确答案】：C【解析】：根据空间线面关系的定义及几何特征.逐一分析给定四个命题的真假.可得答案．【解答】：解：① α∩β=m.n⊂α.n⊥m.则n⊥β不一定成立.进而α⊥β不一定成立.故错误；② 令α.β.γ为底面为直角三角形的三棱柱的三个侧面.且α⊥β.α∩γ=m.β∩γ=n.则m || n.即m⊥n不一定成立.故错误；③ α⊥β.α⊥γ.β∩γ=m.则m⊥α.故正确；④ 若m⊥α.m⊥n.则n || α.或n⊂α.又由n⊥β.则α⊥β.故正确；故选：C．【点评】：本题考查的知识点是空间线面关系.命题的真假判断与应用.难度中档．9.（单选题.4分）若实数x.y 满足不等式组 {y ≥0x +y ≤3x −y ≥−1.则z=2|x|-y 的最小值是（ ） A.-1B.0C.1D.2【正确答案】：A【解析】：画出可行域.求出A.B 、C 坐标.利用角点法求解即可．【解答】：解：画出实数x.y 满足不等式组 {y ≥0x +y ≤3x −y ≥−1的可行域如图所示. 可得B （1.2）A （-1.0）.C （3.0）.D （0.1）当目标函数z=2|x|-y 经过点D （0.1）时.z 的值为-1.故选：A ．【点评】：本题考查线性规划的简单应用.角点法求法具体目标函数的最值的求法的应用.考查数形结合思想以及计算能力．10.（单选题.4分）已知圆Γ1与Γ2交于两点.其中一交点的坐标为（3.4）.两圆的半径之积为9.x 轴与直线y=mx （m ＞0）都与两圆相切.则实数m=（ ）A. 158B. 74C. 2√35D. 35【正确答案】：A【解析】：设直线y=tx.设两圆与x 轴的切点分别为x 1.x 2.由题意得到 (3−x 1)2+(4−tx 1)2=(tx 1)2 .(3−x 2)2+(4−tx 2)2=(tx 2)2 . |tx 1|•|tx 2|=|x 1x 2|t 2=9 .进一步得到x 1.x 2是方程（3-x ）2+（4-tx ）2=（tx ）2的两根.求得t 值.从而求出m 的值．【解答】：解：∵两切线均过原点.∴连心线所在直线经过原点.该直线设为y=tx.设两圆与x 轴的切点分别为x 1.x 2.则两圆方程分别为： {(x −x 1)2+(y −tx 1)2=(tx 1)2(x −x 2)2+(y −tx 2)2=(tx 2)2. ∵圆Γ1与Γ2交点的坐标为P （3.4）.∴P （3.4）在两圆上．∴ (3−x 1)2+(4−tx 1)2=(tx 1)2 ① .(3−x 2)2+(4−tx 2)2=(tx 2)2 ② .又两圆半径之积为9.∴ |tx 1|•|tx 2|=|x 1x 2|t 2=9 ③ .联立 ① ② ③ .可得x 1.x 2是方程（3-x ）2+（4-tx ）2=（tx ）2的两根.化简得x 2-（6+8t ）x+25=0.即x 1x 2=25．代入 ③ .得 t 2=925 .即t= 35 ．由于所求直线的倾斜角是连心线所在直线倾斜角的两倍.即m= 2t 1−t 2 ．∴m= 158 ．故选：A ．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系.考查推理论证能力、运算求解能力.考查化归与转化思想、函数与方程思想.是中档题．11.（填空题.6分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形.则该圆柱的表面积为___ .体积为___ ．【正确答案】：[1]6π; [2]2π【解析】：利用圆柱的截面是面积为4的正方形.求出圆柱的底面直径与高.然后求解圆柱的表面积．【解答】：解：设圆柱的底面直径为2R.则高为2R.圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形.∴4R2=4.解得R=1.∴该圆柱的表面积S=π×12×2+2×π×1×2=6π.体积V=π×12×2=2π．故答案为：6π.2π．【点评】：本题考查圆柱的表面积、体积的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．12.（填空题.6分）若直线y=kx+1-2k与曲线y=√1−x2有交点.则实数k的最大值为___ .最小值为___ ．【正确答案】：[1]1; [2]0【解析】：直线y=kx+1-2k.即y=k（x-2）+1经过定点P（2.1）．曲线y=√1−x2表示圆x2+y2=1的上半部分.A（1.0）.B（0.1）．∵直线y=kx+1-2k与曲线y=√1−x2有交点.利用斜率的意义即可得出．实数k的最大值为k PA.最小值为k PB．【解答】：解：直线y=kx+1-2k.即y=k（x-2）+1经过定点P（2.1）．曲线y=√1−x2表示圆x2+y2=1的上半部分.A（1.0）.B（0.1）．∵直线y=kx+1-2k与曲线y=√1−x2有交点.=1.最小值为k PB=0．则实数k的最大值为k PA= 1−02−1故答案为：1.0．【点评】：本题考查了直线与圆的方程、斜率的几何意义、数形结合方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．13.（填空题.6分）若过点（1.1）的直线l被圆x2+y2=4截得的弦长最短.则直线l的方程是___ .此时的弦长为___ ．【正确答案】：[1]x+y=2; [2] 2√2 【解析】：联立直线与圆后韦达定理求解弦长.求出k 值即可． 【解答】：解：直线I 的方程为y-1=k （x-1）.与圆联立可得出两点M.N.即x 2+（kx-k+1）2=4.韦达定理求解得 x 1+x 2=2k 2−2k k 2+1 . x 1•x 2=k 2−2k−3k 2+1 .MN= √k 2+1√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √43k 2+2k+3k 2+1 = 2√(k+1)2k 2+1+2 .当k=-1时.MN 最短.直线I 为x+y=2.弦长为 2√2 .故填：x+y=2； 2√2 ．【点评】：本题主要考查韦达定理的运用.以及两点间距离公式.属于中档题．14.（填空题.6分）已知点P （2.1）和圆C ：x 2+y 2+ax-2y+2=0.若点P 在圆C 上.则实数a=___ ；若点P 在圆C 外.则实数a 的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1]- 52 ; [2]-2＞a - 52 或a ＞2【解析】：根据点与圆的直角坐标关系求解即可．【解答】：解： ① P 在圆C 上.将P 点代入圆的方程.即22+12+a•2-2+2=0.解得a=- 52 .代入圆检验成立.② P 在圆C 外.则22+12+a•2-2+20.解得a - 52 .圆的方程为 (x +a 2)2+(y −1)2=a 24−1 . ∴ a 24−1＞0 .解得a ＞2或a ＜-2.∴-2＞a - 52或a ＞2.故答案为:- 52 ；-2＞a - 52 或a ＞2．【点评】：本题主要考查点与圆的直角坐标关系.熟知点在圆上和圆外的关系是解决本题的关键．15.（填空题.4分）异面直线a.b 所成角为 π3 .过空间一点O 的直线l 与直线a.b 所成角均为θ.若这样的直线l 有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（ π6 . π3 ）【解析】：由最小角定理可得：θ的取值范围为 π6 ＜θ＜π3 .得解．【解答】：解：由最小角定理可得：异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为：π6＜θ ＜π3.故答案为：（π6 . π3）．【点评】：本题考查了最小角定理.属简单题．16.（填空题.4分）在棱长均为2的三棱锥A-BCD中.E、F分别AB、BC上的中点.P为棱BD 上的动点.则△PEF周长的最小值为___ ．【正确答案】：[1]1+ √3【解析】：首先把空间图形转换为平面图形.进一步利用余弦定理的应用求出三角形的边长.最后求出三角形周长的最小值．【解答】：解：棱长均为2的三棱锥A-BCD中.E、F分别AB、BC上的中点.首先把三棱锥转换为平面图形.即转换为平面图形在平面展开图.棱长均为2的三棱锥A-BCD中.EF分别为AB.BC的中点（中位线定理）得EF=1.因为所求周长最小为PE+PF+EF的值.所以要求PE+PF的值最小故EF2=BE2+BF2-2BE•BF•cos120°.由于BE=BF=1.解得EF= √3 .由于E、F分别为AB.BC的中点（中位线定理）得EF=1.所以△PEF周长的最小值1+ √3．故答案为：1+ √3【点评】：本题考查的知识要点：空间图形和平面图形之间的转换.解三角形的应用.余弦定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（填空题.4分）在三棱锥P-ABC中.AB⊥BC.PA=PB=2. PC=AB=BC=2√2 .作BD⊥PC交PC于D.则BD与平面PAB所成角的正弦值是___ ．【正确答案】：[1] √2114【解析】：取AB中点E.AC中点F.连接EF.PE.AF. AP=PB=2，AB=2√2 .可得cos ∠PAC=−PC2+AP2+AC22AP•AC = 34．PF= √AP2+AF2−2AP•AFcos∠PAC = √2 .求得点C到面ABP的距离.即可得点D到面ABP的距离.即可得BD与平面PAB所成角的正弦值．【解答】：解：如图.取AB中点E.AC中点F.连接EF.PE.AF.∵ AP=PB=2，AB=2√2 .∴PE= √2．∵AB⊥BC.AB=BC=2 √2 .∴AC=4.在△APC中.余弦定理可得cos ∠PAC=−PC 2+AP2+AC22AP•AC= 34．在△APF中.余弦定理可得PF= √AP2+AF2−2AP•AFcos∠PAC = √2 . 在△PEF中.PE=PF=EF= √2．且AB⊥面PEF.过F作FO⊥EP.易得FO⊥面ABP.且FO= √62.∴点C到面ABP的距离为√6 .∵ S△△PBC=12×2×√8−1=√7．∴ 1 2×PC×BD=√7 .∴ BD=√142.PD= √22.∴PD：PC=1：4.∴点D到面ABP的距离为√64．故BD与平面PAB√64√142= √2114.故答案为：√2114．【点评】：本题考查考查空间中线线、线面间的位置关系.考查几何法求线面角.属于难题．18.（问答题.14分）正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等.E为PC中点．（1）求证：PA || 平面BDE；（2）求异面直线PA与DE所成角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）由线面平行的判定定理得：OE || PA.又OE⊂面EBD.故AP || 面BDE. （2）由异面直线所成角的求法得：∠DEO为异面直线PA与DE所成的角.设AB=2.则EO=1.OD= √2 .DE= √3 .则cos∠DEO= OEDE =√3= √33.得解．【解答】：解：（1）连接AC. 设AC.BD的交点为O.连接OE.因为OE || PA.PA⊄面EBD.又OE⊂面EBD.故AP || 面BDE.（2）由（1）可得：∠DEO为异面直线PA与DE所成的角. 设AB=2.则EO=1.OD= √2 .DE= √3 .由勾股定理可得：△ODE为直角三角形.则cos∠DEO= OEDE = 1√3= √33.故异面直线PA与DE所成角的余弦值为√33．【点评】：本题考查了线面平行的判定定理及异面直线所成角的求法.属中档题．19.（问答题.15分）已知圆C：（x-2）2+（y-3）2=2．（1）过原点O的直线l被圆C所截得的弦长为2.求直线l的方程；（2）过圆C外的一点P向圆C引切线PA.A为切点.O为坐标原点.若|PA|=|OP|.求使|PA|最短时的点P坐标．【正确答案】：【解析】：（1）由题意设出直线方程.利用垂径定理列式求解；（2）由两点间距离公式及切线长公式.可由|PA|=|PO|得到.化简可得x= 114−32y .则|PA|=|PO|=√x2+y2 = √(114−32y)2+y2 .然后利用配方法求解．【解答】：（1）原点O在圆C：（x-2）2+（y-3）2=2外.可得直线l的斜率存在. 设直线方程为y=kx.即kx-y=0．由直线l被圆C所截得的弦长为2.得圆心（2.3）到直线的距离为1．由 |2k−3|√k 2+1=1 .解得k= 6±2√33 ． ∴直线l 的方程为y= 6−2√33x 或y= 6+2√33x ； （2）由圆的切线长公式可得|PA|2=|PC|2-R 2=（x-2）2+（y-3）2-2.由|PA|=|PO|得.（x-2）2+（y-3）2-2=x 2+y 2.即4x+6y-11=0.即x= 114−32y .此时|PA|=|PO|= √x 2+y 2 = √(114−32y)2+y 2 = 12√13(y −3326)2+12113 . ∴当y= 3326 .即P （ 1113 . 3326 ）时.|PA|最短．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系.考查分析解决问题的能力.考查计算能力.考查数学转化思想方法.属于中档题．20.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.PA⊥底面ABCD.AD⊥AB .AB ||DC.AD=DC=AP=2.AB=1.点E 为棱PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）取PD 中点M.连接EM.AM ．由已知得四边形ABEM 为平行四边形.由此能证明BE⊥CD ．（Ⅱ）连接BM.由已知条件推导出∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角.由此能求出直线BE 与平面PBD 所成的角的正弦值．【解答】：（Ⅰ）证明：如图.取PD 中点M.连接EM.AM ．由于E.M 分别为PC.PD 的中点.故EM || DC.且EM= 12DC .又由已知.可得EM || AB.且EM=AB.故四边形ABEM 为平行四边形.所以BE || AM ．因为PA⊥底面ABCD.故PA⊥CD .而CD⊥DA .从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD.于是CD⊥AM .又BE || AM.所以BE⊥CD ．…（6分）（Ⅱ）解：连接BM.由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD.得CD⊥PD .而EM || CD.故PD⊥EM ．又因为AD=AP.M 为PD 的中点.故PD⊥AM .可得PD⊥BE .所以PD⊥平面BEM.故平面BEM⊥平面PBD ．所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM.而BE⊥EM .可得∠EBM 为锐角.故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．…（9分）依题意.有PD=2 √2 .而M 为PD 中点.可得AM= √2 .进而BE= √2 ．故在直角三角形BEM 中.tan∠EBM= EM BE =AB BE =√2=√22 . 所以直线BE 与平面PBD√2√2+4 = √33 ．…（12分）【点评】：本题考查异面直线垂直的证明.考查直线与平面所成角的正切值的求法.解题时要认真审题.注意空间思维能力的培养．21.（问答题.15分）如图.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.M 是AB 的中点.E 在CC 1上.且CE=2C 1E ．（1）求证：AC 1⊥平面A 1BD ；（2）在线段DD 1上存在一点P.DP=λD 1P.若PB 1 || 平面DME.求实数λ的值．【正确答案】：【解析】：（1）以D 为原点.分别以DA.DC.DD 所在直线为x.y.z 轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能证明AC 1⊥平面A 1BD ．（2）设DP=t （0≤t≤6）.求出平面DME 的法向量.利用向量法能求出λ的值．【解答】：证明：（1）以D 为原点.分别以DA.DC.DD 所在直线为x.y.z 轴.建立空间直角坐标系.设AB=6.则A （6.0.0）.C 1（0.6.6）.A 1（6.0.6）.B （6.6.0）.D （0.0.0）.AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-6.6.6）. DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6.0.6）. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6.6.0）.AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴AC 1⊥DA 1.AC 1⊥DB .∵DA 1∩DB=D .∴AC 1⊥平面A 1BD ．解：（2）在线段DD 1上存在一点P.DP=λD 1P.设DP=t （0≤t≤6）.则P （0.0.t ）.B 1（6.6.6）.M （6.3.0）.E （0.6.4）.PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6.6.6-t ）. DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6.3.0）. DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.6.4）.设平面DME 的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6x +3y =0n ⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =6y +4z =0.取x=1.得 n ⃗ =（1.-2.3）. ∵PB 1 || 平面DME.∴ PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n⃗ =6-12+18-3t=0.解得t=4. ∴λ=2．【点评】：本题考查线面垂直的证明.考查实数值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．22.（问答题.15分）已知点A （1.0）.B （4.0）.曲线C 上任意一点P 满足|PB|=2|PA|．（1）求曲线C 的方程；（2）设点D （3.0）.问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E.F.无论直线l 如何运动.x 轴都平分∠EDF .若存在.求出Q 点坐标.若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设P （x.y ）.由|PB|=2|PA|．可得 √(x −4)2+y 2 =2 √(x −1)2+y 2 .化简即可得出．（2）设存在定点Q 满足条件.设直线l 的方程为y=kx+b ．设E （x 1.y 1）.F （x 2.y 2）．直线l 的方程与圆的方程联立化为：（1+k 2）x 2+2kbx+b 2-4=0.由无论直线l 如何运动.x 轴都平分∠EDF .可得k DE +k DF =0.可得 y 1x 1−3 + y 2x 2−3=0．（kx 1+b ）（x 2-3）+（kx 2+b ）（x 1-3）=0.利用根与系数的关系代入即可得出．直线的斜率不存在直线过定点Q 时.满足题意．【解答】：解：（1）设P （x.y ）.∵|PB|=2|PA|．∴ √(x −4)2+y 2 =2 √(x −1)2+y 2 .化为：x 2+y 2=4．（2） ① 设存在定点Q 满足条件.设直线l 的方程为y=kx+b ．设E （x 1.y 1）.F （x 2.y 2）．联立 {y =kx +b x 2+y 2=4. 化为：x 2+（kx+b ）2=4.∴（1+k 2）x 2+2kbx+b 2-4=0.△＞0．∴x 1+x 2=- 2kb 1+k 2 .x 1x 2= b 2−41+k 2 .无论直线l 如何运动.x 轴都平分∠EDF .则k DE +k DF =0.∴ y 1x 1−3+ y 2x 2−3 =0． ∴（kx 1+b ）（x 2-3）+（kx 2+b ）（x 1-3）=0.∴2kx 1x 2+（b-3k ）（x 1+x 2）-6b=0.∴2k• b 2−41+k 2 -（b-3k ） 2kb 1+k 2 -6b=0. 化为：4k+3b=0．∴k=- 34 b ．∴y=b （- 34 x+1）.可得直线经过定点（ 43 .0）．② 如果斜率不存在时.直线过定点Q 时.满足题意．∴存在过定点Q （ 43 .0）的直线l 与曲线C 相交于不同两点E.F.无论直线l 如何运动.x 轴都平分∠EDF ．【点评】：本题考查了圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、斜率计算公式、直线经过定点问题.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．。
郑州市2018-2019学年下学期期末考试高一数学(解析版)
2018-2019学年下期期末考试高一数学试题卷一、选择题1. AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = A. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. sin 140°cos 10°+cos 40°sin 350°= A.12 B. −12 C.√32D.−√323. 某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样从815人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率A. 不全相等B. 均不相等C. 都相等，且为6163D. 都相等，且为1274. 第十一届全国少数民族传统体育运动会将于2019年9月8日至16日在郑州举行，如下图所示的茎叶图是两位选手在运动会前期选拔赛中的比赛得分，则下列说法正确的是 A. 甲的平均数大于乙的平均数 B. 甲的中位数大于乙的中位数 C. 甲的方差大于乙的方差 D. 甲的极差小于乙的极差5.要得到函数y =2√3cos 2x +sin2x −√3的图像，只需将函数y =2sin2x 的图像A. 向左平移π3个单位 B. 向右平移π3个单位 C. 向左平移π6个单位 D. 向右平移π6个单位6. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+1102的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是A. i >102B. i ≤102C. i >100D. i ≤1007. 如图所示，在∆ABC 内随机选取一点P ，则∆PBC 的面积不超过四边形ABPC 的面积的概率是 A. 12 B. 14 C. 13 D. 348. 若sin (π6−α)=13，则cos (2π3+2α)=_____A. 13B. −13C. 79D. −799.已知边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD =60°，点E 满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 （ ） A.−13 B. −12 C. −14 D. −1610.已知α，β∈(0，π2)，cos α=17，cos (α+β)=−1114，则β=PA. π6B.5π12C. π4D. π311.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗ ，CF⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF 与AC 交于点G ，设AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λGC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ= A.97B. 74C. 72D.9212. 设f (x )=asin2x +bcos2x ，ab ≠0，若f (x )≤|f (π6)|对任意x ∈R 成立，则下列命题中正确的命题个数是⑴ f (11π12)=0； ⑵ |f (7π10)|<|f (π5)|；⑶ f(x)不具有奇偶性；⑷ f(x)的单调增区间是[kπ+π6 ,kπ+2π3](k ∈Z )；⑸ 可能存在经过点的直线与函数的图像不相交。
2018-2019学年人教A版高中数学必修二：空间几何体的表面积和体积(知识讲解+例题演练)
空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】03a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。
浙江省温州市高一数学下册期中检测题【精选】
温州市八校联考高一数学试题命题：温州中学 张良兵、赵大藏 审题：瑞安中学 陈绍淡、潘贤冲本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，把答案填在答题卷的相应位置上.1．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==3,23,22,21,4tan N x x M π，则=N M （ ） A ．M B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧22C ．∅D ．{}02．已知函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，则ϕ的取值可以为 （ ）A ．2π-B ．πC ．3π D ．0 3．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 且B ac c a b cos 2222++=，则=∠B （ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π 4．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,点D 为BC 边的中点，则=⋅（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．为了得到函数x x y 2cos 2sin +=的图像，可以将函数x y 2sin 2=的图像（ ） A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位 D ．向左平移8π个单位 6．已知ABC ∆，角A ,B ,C 所对应的边分别为c b a ,,，且sin sin cos cos A B A B +=+，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形7．已知b a ,是单位向量，0=⋅，若向量c 1=+-，则-的取值范围是（ ）A ．[]12,12+-B ．[]12,1+C ．[]2,0D ．[]15,15+- 8．已知函数)(x f 在R 上满足0)()(=+-x f x f ，且0>x 时,)sin 2sin (21)(αα+++=x x x f )232(sin 23παπα≤≤-+对任意的R x ∈，都有)()33(x f x f ≤-恒成立，则实数α的取值范围为（ ）A ．[]π,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,3ππC ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,3ππ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置上.9．函数)10)(32(log )(≠>-=a a x x f a 且的定义域为 ，图像过的定点为 ．10．已知向量)cos ,(sin x x a = ，)3,1(=b ，若// 且,方向相同，则= ；若函数x f ⋅=)(的图像关于直线)0(πϕϕ<<=x 对称，则=ϕ ．11．若,10sin 3cos -=+αα则αtan = ,α2sin = ．12．已知)2s in(3)2c os (3)(x x x f ++-=ππ，则)(x f 的最小正周期为 ，)(x f 的最大值为 ．13．已知函数⎩⎨⎧≥--<+=)0(1)0(1)(x x x x x f ，则不等式1)()1(≤++x f x x 的解集是 ． 14．已知△ABC 中， 4,3,90===∠BC AC C ,一直线分△ABC 为面积相等的两个部分，且夹在AB 、BC之间的线段为MN ，则MN 长度的最小值为 ．15．已知2)2(log )(2222-+++=a x a x x f 有唯一零点，则实数a 的值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为54cos ,4,,,=π=B A c b a ． （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）若5,22==b a ，求ABC ∆的面积．17．（本题满分15分）在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,,设向量 )2,cos 2(b c C -=,)1,2(a =,且n m ⊥. （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若2=a ,求ABC ∆的周长l 的取值范围.18．（本题满分15分）已知函数1)6cos(sin 4sin 4)(2-π++=x x x x f ． （Ⅰ）当π≤≤x 0时，求方程1)(=x f 的解；（Ⅱ）若函数)()3(21)12(21)(R x x f x f x g ∈+++=ππ，试判断函数)(x g 的奇偶性，并求)(x g 的的值域．19．（本题满分15分）对于函数)(x f ，若存在给定的实数对),(b a ，对定义域中的任意实数x ，都有b x a f x a f =-⋅+)()(成立，则称函数)(x f 为“Ψ函数”．（Ⅰ）函数xe xf =)(是“Ψ函数”，求出所有实数对()b a ,满足的关系式，并写出两个实数对； （Ⅱ）判断函数x x f sin )(=是否为“Ψ函数”，并说明理由．20．（本题满分15分）已知函数x xa x xx f -+⋅++-=1111)(（R ∈a ）.（Ⅰ）当1-=a 时,判断()f x 在区间)1,1(-上的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若0>a 时，对于区间]21,21[-上任意取的三个实数m ,n ,p ，都存在以)(m f ,)(n f ,)(p f 为边长的三角形，试求实数a 的取值范围．温州市2015学年第二学期八校联考高一数学参考答案一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分二.填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.),23(+∞ （或⎭⎬⎫⎩⎨⎧>23x x 或23>x ）；)0,2( 10.)23,21( ；6πϕ= 11.3 ；53 12.π2 ；32 13.[)+∞-,3 14. 2 15. 1三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（Ⅰ）53sin ,054cos =∴>=B B …………………………2分)4cos()]4(cos[cos B B C +-=+-=πππ …………………………4分 10254225322)sin 4sin cos 4(cos -=⋅-⋅=--=B B ππ……………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知道1027sin =C …………………………10分 5,22==b a557102752221sin 21=⋅⋅⋅==∴∆C ab S ABC …………………………14分 17.（Ⅰ）0=⋅⇒⊥ 02cos 22=-+⋅b c C a …………………………2分 由正弦定理得：0sin sin 21cos sin =-+B C C A C A C A C A C A B sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π代入上式………5分 21cos sin 21sin cos =∴=A C C A 3π=∴A …………………………7分 （Ⅱ）由正弦定理：Aa C c Bb sin sin sin == 得：)3sin(34)](sin[34sin 34,sin 34ππ+=+-===B B A C c B b …11分 )3sin(34sin 342π+++=++=∴B B c b a l)6sin(42)cos 21sin 23(42)cos 23sin 21(sin 342π++=++=+++=B B B B B B …………13分320π<<B 6566πππ<+<∴B 1)6sin(21≤+<∴πB (]6,4∈∴l ……………………………………………………15分18.（Ⅰ）1)sin 21cos 23(sin 4sin 41)6cos(sin 4sin 4)(22--+=-++=x x x x x x x x f π……………………………………………………2分 )62sin(22cos 2sin 31sin 2cos sin 32sin 422π-=-=--+=x x x x x x x21)62sin(1)62sin(2=-∴=-∴ππx x …………………………4分 )(6526262Z k k k x ∈++=-∴πππππ或 …………………………6分 π≤≤x 0 26ππ==∴x x 或 ……………………………………………8分 （Ⅱ）x x x f x f x g 2cos 2sin )3(21)12(21)(+=+++=ππ )(2cos 2sin )(2cos )(2sin )(x g x x x x x g =+=-+-=-)(x g ∴为偶函数 …………………………………………………11分 x x x x x x g 4sin 12cos 2sin 212cos 2sin )(+=+=+=)(x g ∴的值域为[]2,1……………………………………………………………15分19.（Ⅰ）函数x e x f =)(是一个“Ψ函数”由b x a f x a f =-⋅+)()(得：b e ex a x a =-+ b e a =∴2 （或b a ln 21=）…………………………………………………4分 如：),1(),1,0(2e 等………………………………………………………6分（Ⅱ）x x f sin )(=不是“Ψ函数” …………………………………………………7分 若函数x x f sin )(=是 “Ψ函数”则b x a x a =-+)sin()sin( 恒成立………………………………………………8分 由b x a x a x a x a =-+)sin cos cos )(sin sin cos cos (sin 恒成立得b x a x a =-2222sin cos cos sin ………………………10分b x a x a =--)cos 1(cos cos sin 2222b a x =-22cos cos即b a x +=22cos cos∵R ∈x 则]1,0[cos 2∈x而b a +2cos 为常数，这不可能∴函数x x f sin )(=不是 “Ψ函数” …………………………………………15分 另法：（其它方法酌情给分）即)sin (cos sin cos cos sin 222222x x b x a x a +=-0sin )(cos cos )(sin 2222=+--∴x b a x b a 恒成立⎪⎩⎪⎨⎧-==∴ba b a 22cos sin 若0=b ，则0cos sin ==a a ，不可能若0≠b ，则1tan 2-=a ，不可能∴函数x x f sin )(=不是 “Ψ函数”20.（Ⅰ）1-=a 时，x xx xx f -+-+-=1111)(为偶函数……………………………1分只讨论10<≤x 时的单调情况令x xt +-=11 )10(≤<t ， 11211-+=+-=x x x t 在[)1,0∈x 上单调递减 tt y 1-=在(]1,0∈t 上单调递增 ∴函数)(x f 在[)1,0上单调递减……………………………………………3分∵函数)(x f 为偶函数 ∴)(x f 在(]0,1-上单调递增……………4分（Ⅱ）令x xt +-=11，由2121≤≤-x 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=1,31112x t )131(≤≤+=∴t t a t y 由题意得：在区间]1,31[上，恒有max min 2y y >. …………………………6分①当910≤<a 时，t a t y +=在]1,31[上单调递增， 313,1min max +=+=a y a y 由max min 2y y >,得151>a ， 从而91151≤<a . …………………………………………………………………8分 ②当3191≤<a 时，t a t y +=在],31[a 上单调递减，在]1,[a 上单调递增， 1}1,313max{,2max min +=++==∴a a a y a y ， 由max min 2y y >得347347+<<-a ，从而3191≤<a ；………………10分 ③当131<<a 时，t a t y +=在],31[a 上单调递减，在]1,[a 上单调递增， 313}1,313max{,2max min +=++==∴a a a y a y ， 由max min 2y y >得93479347+<<-a ，从而131<<a ； …………………12分 ④当1≥a 时，t a t y +=在]1,31[上单调递减， 313,1max min +=+=a y a y 由max min 2y y >得35<a ，从而351<≤a ；……………………………………………14分综上，35151<<a . …………………………………………………………………15分。
浙江省温州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(A卷)
浙江省温州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）一、单选题1．已知向量()()2,1,,1a b t ==-r r ，若a r ∥b r，则t =（ ） A ．2B ．12C ．2-D ．32．设m 是一条直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊥，则//m β B ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥ C ．若//αβ，m α⊥，则m β⊥ D ．若//αβ，//m α，则//m β3．复数024i 1i 2=+（ ）A ．11i 22--B ．11i 22-+C ．11i 22-D ．11i 22+4．如图，某校数学兴趣小组对古塔AB 进行测量，AB 与地面垂直，从地面C 点看塔顶A 的仰角β为60︒，沿直线BC 前行20米到点D 此时看塔顶A 的仰角α为30︒，根据以上数据可得古塔AB 的高为（ ）米.A ．B ．20C ．10D ．5．数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x 的40%分位数为2.5，则x 可以是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，)2224a c b S +-=，若1c =，则ABC V 面积的取值范围是（ ）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭7．已知样本数据129,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据10x ，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（ ） A ．18.2B ．19.6C ．19.8D ．21.78．已知平面向量,,a b c r r r满足12,2a c ab a b a b λ==⋅=-≥-r r r r r r r r 对任意实数λ恒成立．若对每一个确定的c r ，对任意实数m ，n ，c ma c nb -+-r r r r 有最小值t ．当c r变化时，t 的值域为[],x y ，则x y +=（ ）A ．2B ．C ．2+D ．二、多选题9．已知复数z 满足1z =，则下列结论正确．．的是（ ） A ．1z z ⋅=B ．1z z+∈RC ．1z -的最大值为2D ．21z =10．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）A ．图（1）的平均数=中位数=众数B ．图（2）的平均数<众数<中位数C ．图（2）的众数<中位数<平均数D ．图（3）的平均数<中位数<众数11．正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F 分别为棱11B C ，AD （含端点）上的动点，记过C ，E ，F 三点的平面为α，记1d 为点B 到平面α的距离，2d 为点1D 到平面α的距离，则满足条件（ ）的α是不唯一的．A ．12d d +=B ．12d d +C．12d d -=D．122d d +=三、填空题12．已知2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则实数p 的值为． 13．设样本空间{}1,2,3,4Ω=含有等可能的样本点，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则()()()()123123P A A A P A P A P A =．14．与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足6AB BC CD DA ====， 8BD =，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为．四、解答题15．已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2． (1)求该圆台的体积；(2)求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．16．已知,a b rr是单位向量，满足2a b -r r a r 与b r 夹角为θ．(1)求θ；(2)若平面向量c r 在a r 上的投影向量为,1a b c ⋅=r r r，求c r ．17．如图，ABC V 绕边BC 旋转得到DBC △，其中2AC BC ==，,AC BC AE ⊥⊥平面ABC ，DE ∥AC ．(1)证明：BC ⊥平面ACD ；(2)若二面角B DE C --的平面角为60︒，求锐二面角D CB A --平面角的正弦值． 18．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，过ABC V 内一点M 的直线l 与直线AB 交于D ，记BA u u u r 与DM u u u ur 夹角为θ.(1)已知cos sin c a B b A -=， （i ）求角A ﹔（ii ）M 为ABC V 的重心，1,30b c θ===︒，求AD u u u r；(2)请用向量方法．．．．探究θ与ABC V 的边和角之间的等量关系. 19．给定两组数据()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅与()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅，称()1,ni i i X A B x y ==-∑为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n 个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为()1,2,,I n =⋅⋅⋅．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n 个古董的价值从高到低依次进行重新排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，其中i x 为该专家给真实价值排第i 位古董的位次编号，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅，那么A 与I 的差异量()1,ni i X A I x i ==-∑可以有效反映一个专家的水平，该差异量(),X A I 越小说明专家的鉴宝能力越强． (1)当3n =时，求(),X A I 的所有可能取值； (2)当5n =时，求(),4X A I =的概率；(3)现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I 的差异量为a ，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量是否可能为6a +？请说明理由．。
浙江省温州市重点名校2018-2019学年高一下学期期末学业水平测试数学试题含解析
浙江省温州市重点名校2018-2019学年高一下学期期末学业水平测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知2παπ<<，且sin α=，则tan2α=（ ） A ．43- B ．43 C ．12- D ．12【答案】A【解析】【分析】根据2παπ<<，sin α，利用平方关系得到cos α，再利用商数关系得到tan α，最后用两和的正切求解.【详解】因为2παπ<<，sin α，所以cos α==， 所以sin 1tan cos 2ααα==-， 所以22tan 4tan 21tan 3ααα==--． 故选：A【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式和两角和的正切公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 2．已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系（ ）A ．一定是异面B ．一定是相交C ．不可能平行D ．不可能垂直【答案】C【解析】【分析】由平行公理，若//c b ，因为//c a ，所以//a b ，与a 、b 是两条异面直线矛盾，异面和相交均有可能．【详解】 a 、b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 异面和相交均有可能，但不会平行．因为若//c b ，因为//c a ，由平行公理得//a b ，与a 、b 是两条异面直线矛盾．故选C ．【点睛】本题主要考查空间的两条直线的位置关系的判断、平行公理等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题. 3．如果全集*{|5}U x N x =∈<，{1,2}M =，则U M =（ ）A ．∅B ．{1,2}C ．{3,4}D ．{0,3,4}【答案】C【解析】【分析】 首先确定集合U ，然后求解补集即可.【详解】由题意可得：{}1,2,3,4U =，结合补集的定义可知{}3,4U M =. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．要得到函数(233)y sin x π=-的图象，只需将函数23y sin x =的图象（ ）A ．向左平移9π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移9π个单位 D ．向右平移3π个单位 【答案】C【解析】【分析】考查三角函数图象平移，记得将变量x 前面系数提取.【详解】()2332sin 3()9y sin x x ππ=-=-，所以只需将23y sin x =向右平移9π个单位. 所以选择C【点睛】易错题，一定要将ω提出，否则容易错选D.5．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 8＝（ ） A ．36B ．42C ．48D ．60【答案】C【解析】【分析】设出等差数列的公差d ，根据a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，利用等比数列的性质和等差数列的前n 项和的公式化简得到关于等差数列首项和公差方程组，求出方程组的解集即可得到首项和公差，然后再利用等差数列的前n 项和的公式求出S 8即可【详解】设公差为d （d≠0），则有21111()(5)(2)32332a d a d a d a d ⎧++=+⎪⎨⋅+⋅=⎪⎩， 化简得：()11201d a d a d ⎧+=⎨+=⎩， 因为d≠0，解得a 1＝-1，d ＝2，则S 8＝-8872⨯+⨯2＝1． 故选：C ．【点评】此题考查运用等差数列的前n 项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，意在考查公式运用，是基础题．6．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（ ） A ．360sin nn π︒B ．360cos nn π︒C ．180cos nn π︒D ．90cos nnπ︒【答案】C【解析】【分析】设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：180180sin cos n n n nπ⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180sinn n nπ⨯=，问题得解. 【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得： 221360sin 2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360sin 2n nπ≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯⨯=，即：180180sin cos n n n nπ⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2213602sin 22r n r n π≈⨯⨯，整理得：13601802sin sin 22n n n nπ≈⨯⨯=⨯此时2180sin n n nπ⨯= 所以2180sin 180cos nn n n nππ==⨯故选C【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．7．已知0a b +<，且0b >，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是（ ）A ．b a b a -<<<-B ．b a a b -<<-<C ．a b a b <-<-<D ．a b b a <-<<-【答案】D【解析】【分析】直接用作差法比较它们的大小得解.【详解】 ()()0,a b a b a b --=-+>∴->；()20,b b b b b --=>∴>-；()0,b a a b b a --=-+>∴->.故a b b a <-<<-.故选：D【点睛】本题主要考查了作差法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 8．两数1，25的等差中项为（ ）A ．1B ．13C ．5D ．5- 【答案】B 【解析】【分析】直接利用等差中项的公式求解.【详解】由题得两数1，25的等差中项为125132+=.故选：B【点睛】本题主要考查等差中项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．若//l m ，m α⊂，则//l αD ．若//l α，m α⊂，则//l m【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.【详解】 A 选项：由线面垂直的性质定理可知A 正确；B 选项：由线面垂直判定定理知，l 需垂直于α内两条相交直线才能说明l α⊥，B 错误；C 选项：若l α⊂，则平行关系不成立，C 错误；D 选项：,l m 的位置关系可能是平行或异面，D 错误.故选：A【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.10．直线0x k +=的倾斜角是（ ）A ．6π-B ．6πC ．3πD ．56π 【答案】D【解析】【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角.【详解】由题得直线的斜率5tan36ααπ==∴=. 故选：D【点睛】本题主要考查直线的斜率和倾斜角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11．设有直线,m n 和平面,αβ，则下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，l ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α【答案】D【解析】【分析】 在A 中，m 与n 相交、平行或异面；在B 中，α与β相交或平行；在C 中，m ⊥β或m ∥β或m 与β相交；在D 中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m ∥α．【详解】由直线m 、n ，和平面α、β，知：对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β或α与β相交，故B 错误； 对于中，若α⊥β，α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β或m ∥β或m 与β相交，故C 错误； 对于D ，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m ∥α，故D 正确． 故选D ．【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．12．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，则10S =（ ）A ．11212-B ．11210-C ．10212-D ．1028-【答案】A【解析】【分析】由给出的递推式变形，构造出新的等比数列，由等比数列的通项公式求出n a 的表达式，再利用等比数列的求和公式求解即可.【详解】解：解：在数列{}n a 中，由121n n a a +=+，得()1121n n a a ++=+， 111,120a a =∴+=≠，1121n n a a ++∴=+， 则数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列，11222,21n n n n n a a -∴+=⋅==-.()1011102121021212S -=-=--，故选：A.【点睛】本题考查了数列的递推式，考查了等比关系的确定以及等比数列的求和公式，属中档题.二、填空题：本题共4小题13．设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为 .【答案】3【解析】【分析】【详解】分别取AC 、BC 的中点D 、E,230OA OB OC ++=,2()OA OC OB OC ∴+=-+,即24OD OE =-,O ∴是DE 的一个三等分点,3ABC AOCS S ∆∴=, 故答案为:3.14．若实数a ，b满足12a b +=，则ab 的最小值为________．【答案】【解析】【分析】=12a b +，由不等式的性质变形可得． 【详解】∵正实数a ，b满足12a b +=∴12a b +∴当且仅当1a =2b即故答案为．【点睛】本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属基础题．15．观察下列式子：1311111151,12,1222342382+≥+++>++++>你可归纳出的不等式是___________ 【答案】111212322n n +++++≥ 【解析】【分析】 观察三个已知式子的左边和右边，第1个不等式左边12可改写成112；第2个不等式左边的14可改写成212，右边的2可改写成42；第3个不等式的左边18可改写成312；据此可发现第n 个不等式的规律. 【详解】 观察三个已知式子的左边和右边，第1个式子可改写为：113122+≥， 第2个式子可改写为：2111412322+++≥， 第3个式子可改写为：3111512322++++≥， 所以可归纳出第n 个不等式是：111212322n n +++++≥. 故答案为：111212322n n +++++≥. 【点睛】本题考查归纳推理，考查学生分析、解决问题的能力，属于基础题． 16．设1e ，2e 为单位向量，其中122a e e =+，2b e =，且a 在b 方向上的射影数量为2，则1e 与2e 的夹角是___．【答案】3π 【解析】【分析】利用a 在b 方向上的射影数量为2可得：2a b b =⋅，即可整理得：1212e e ⋅=， 问题得解.【详解】因为a 在b 方向上的射影数量为2， 所以2a b b =⋅，整理得：()2122222e e e e +⋅= 又1e ，2e 为单位向量，所以1212e e ⋅=. 设1e 与2e 的夹角θ，则12121cos 2e e e e θ⋅==⋅ 所以1e 与2e 的夹角是3π 【点睛】 本题主要考查了向量射影的概念及方程思想，还考查了平面向量夹角公式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。