Gold序列与m序列仿真应用

1. 绪论m 序列具有优良的双值自相关特性，但互相关特性不是很好。

作为CDMA 通信地址码时，由于互相关特性不理想，使得系统内多址干扰影响增大，且可用地址码数量较少。

在某些应用场合，利用狭义伪随机序列复合而成复合序列更为有利。

这是因为通过适当方法构造的复合序列具有某些特殊性质。

Gold 序列就是一种复合序列，而且具有良好的自相关与互相关特性，地址码数量远大于m 序列，且易于实现、结构简单，在工程上得到广泛应用。

表1是m 序列和Gold 序列的主要性能比较，表中max ϕ为m 序列的自相关峰值，(0)s ϕ为自相关主峰；()t n 为Gold 序列的互相关峰值，(0)g ϕ为其自相关主峰。

从表1中可以看出：当级数n 一定时，Gold 序列中可用序列个数明显多于m 序列数，且Gold 序列的互相关峰值和主瓣与旁瓣之比都比m 序列小得多，这一特性在实现码分多址时非常有用。

表1. m 序列和Gold 序列性能比较在引入Gold 序列概念之前先介绍一下m 序列优选对。

m 序列优选对，是指在m 序列集中，其互相关函数绝对值的最大值(称为峰值互相关函数)max ()R τ最接近或达到互相关值下限(最小值)的一对m 序列。

设{a i }是对应于r 次本原多项式F 1(x )所产生的m 序列， {b i } 是另一r 次本原多项式F 2(x )产生的m 序列，峰值互相关函数满足12max2221()214r ab r r R τr ++⎧+⎪≤⎨⎪+⎩为奇数为偶数但不是的整倍数（1）则m 序列{a i }与{b i }构成m 序列优选对。

例如：6r =的本原多项式61()1F x x x =++与6522()1F x x x x x =++++所产生的m 序列{}i a 与{}i b ，其峰值互相关函数26222max ()17212117r ab R τ++=≤+=+=。

满足式（1），故{}i a 与{}i b 构成m 序列优选对。

而本原多项式65323()1F x x x x x =++++所产生的m 序列{}i c ，与m 序列{}i a 的峰值互相关函数max ()2317ac R τ=>，不满足上式，故{}i a 与{}i c 不是m 序列优选对。

2. Gold 序列1967年，R·Gold 指出：“给定移位寄存器级数r 时，总可找到一对互相关函数值是最小的码序列，采用移位相加方法构成新码组，其互相关旁瓣都很小，且自相关函数和互相关函数均有界”。

这样生成的序列称为Gold 码（Gold 序列）。

Gold 序列是m 序列的复合序列，由两个码长相等、码时钟速率相同的m 序列优选对的模2和序列构成。

每改变两个m 序列相对位移就可得到一个新的Gold 序列。

当相对位移1，2，…，2r -1个比特时，就可得到一族2r -1个Gold 序列，加上原来的两个m 序列，共有2r +1个Gold 序列，即21r r G =+ （2） 产生Gold 序列的移位寄存器结构有两种形式。

一种是乘积型，将m 序列优选对的特征多项式乘积作为新的特征多项式，根据此2r 次特征多项式构成新的线性移位寄存器，参见图（1），图中特征多项式为652()1G x x x x x =++++，6()1F x x x =++，其乘积多项式为12118653()()1F x G x x x x x x x =++++++。

另一种结构是模2和型，直接求两m 序列优选对输出序列的模2和序列，参见图（2）。

图1. 码长2为N=63的乘积型Gold 码发生器图2. 码长2为N=63的模2和型Gold 码发生器理论上可以证明，这两种结构是完全等效的。

它们产生的Gold 序列周期都是N=2r -1。

可以证明：复码的周期是组成复码的子码周期的最小公倍数。

由于组成复码Gold 序列的子码的周期都是N=2r -1，故Gold 序列的周期是N=2r -1。

由m 序列优选对模2和产生的Gold 序列族中2r -1个序列不再是m 序列，不再具有m 序列的特性。

任意两序列之间的互相关函数满足12max2221()214r ab r r R τr ++⎧+⎪≤⎨⎪+⎩为奇数为偶数但不是的整倍数（3）由于Gold 序列的这一特性，使得码族中任一码序列都可作为地址码，这样采用Gold 码族作地址码，其地址数大大超过了用m 序列作地址码的数量，所以Gold 序列在多址技术中得到了广泛的应用。

表2. Gold 序列的三值互相关函数特性Gold 码序列具有三值互相关函数的特性：当r 为奇数时，码族中约有50%的码序列有很低的互相关函数值(-1)（非归一化）；当r 为偶数但不是4的整倍数时，码族中约有75%的码序列有很低的互相关函数值(-1) （非归一化）。

其三值互相关函数特性见表（2）。

Gold 序列自相关函数值的旁瓣取三值，互相关函数值也取三值，只是出现的位置不同。

Gold 码族同族（周期长度相同的序列）内互相关函数取值已有理论结果，但不同族之间互相关函数的取值尚无理论结果。

不同Gold 码族之间的互相关函数取值已不是三值而是多值，且互相关值已大大超过同族内的互相关值。

3. m 序列优选对的寻找前面在介绍Gold 码序列的构造时已指出，Gold 序列可由m 序列的优选对来构成，即要想构造出或求出Gold 码序列，首先要找到m 序列的优选对。

下面介绍一种寻找m 序列优选对的方法。

3.1优选对寻找方法1若a 是2r 阶有限域GF(2)的一个本原元，f 1(x )与f t (x )是2r 阶有限域GF(2)上的r 次本原多项式，a 是f 1(x )的首根，取122221214r r r t r ++⎧+⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数，但不是的倍数 （4）使a t 为r 次本原多项式f t (x )的一个根，则以r 次本原多项式f 1(x )与f t (x )为特征多项式的m 序列就构成m 序列优选对。

例：对于r ＝7，N=2r -1=127，设a 是27阶有限域GF(2)的一个本原元，以a 为首根的本原多项式为731()1f x x x =++(附录1 r ＝7 1 211E) 由式（4）可求出17122212117r t ++=+=+=则以a 17为根的本原多项式f t (x )所产生的m 序列和f 1(x )所产生的m 序列构成m 序列优选对。

a 17是本原多项式f t (x )的一个根，但可能不是首根。

根据有限域的理论：若a t 是r 次不可约多项式f t (x )的一个根，那么121222,,,r ttta aa- 是f t (x ) 其余的r -1个根。

在计算时，需要注意由于a是2r 阶有限域的本原元，则有211r a-=。

据此，可以求出以a 17为根的本原多项式f t (x )的所有根：按幂次大小排列为91718346872,,,,,a a a a a a ，其中a 9为()t f x 的首根。

由附录1得75432()1t f x x x x x x x =++++++(附录1：r ＝7 9 277 E)上面介绍的方法有一个最大的局限，这就是该方法只能求出附录1中第一个多项式对应的m 序列优选对，事实上求解m 序列优选对的方法很多，下面再介绍一种。

3.2 优选对寻找方法2若a 是2r 阶有限域GF(2)的一个本原元，1()f x 与()t f x 是2r 阶有限域GF(2)上的r 次本原多项式，a k 是1()f x 的首根，t 按照式(4) 取值，令kt 的共轭类首元[kt ]r 为r 次本原多项式()t f x 首根的幂指数，即它的首根为[]rkt a，则以本原多项式()t f x 和1()f x 为特征多项式的m 序列构成m 序列优选对。

下面介绍kt 的共轭类首元的求法。

对于任意的正整数kt ，模N （21r =-）运算后，可用 r 位二进制数来表示为12310r r r ννννν---将其循环移位得到的一组（r 个）二进制数12310012311012223101r r r r r r r r r r r νννννννννννννννννννν-----------称为kt 的共轭类，而其中最小者称为kt 的共轭类首元，用符号[]r kt 来表示。

例：对于r =7，N =2r -1=127 ，设a 是27阶有限域GF(2)的一个本原元，设k ＝1，以a k ＝a 作为首根的本原多项式为731()1f x x x =++ (附录1： r ＝7 1 211 E) 由式(4)得17122212117r t ++=+=+=11717kt =⨯=的共轭类为0010001，1001000，0100100，0010010， 0001001，1000100，0100010共轭类首元7[][117]9r kt =⨯=，以a 9为首根的()t f x 为75432()1t f t x x x x x x =++++++4. 平衡Gold 序列及其产生方法4.1 平衡Gold 码Gold 码就其平衡性来讲，可以分为平衡码和非平衡码。

平衡码序列中一周期内1码元和0码元的个数之差为1，非平衡码中1码元和0码元的个数之差多于1。

平衡Gold 码和非平衡Gold 码的数量关系如下表所示。

表3.r 为奇数时的平衡Gold 码和非平衡Gold 码数量表表4.r 为偶数时的平衡Gold 码和非平衡Gold 码数量表例如，9r =的Gold 序列族，平衡码序列的数量为257个（包括2个m 序列），非平衡码序列的数量为256个。

在扩频通信中，扩频码平衡性(序列中0与1的均匀性)影响系统质量，平衡码具有更好的频谱特性。

在DS-SS 系统中，码的平衡性与载波抑制度有密切关系。

码不平衡时直接序列系统的载波泄漏增大，从而破坏扩频通信系统的保密性、抗干扰与抗侦破能力。

下表给出9~18级Gold 码对载波抑制度的影响，从表中可以看出：平衡码使载波抑制性能下降一半(分贝数)，增加码长对载波抑制性能改善不是十分明显。

因此在DS-SS 系统中选用Gold码作扩频码时，应选用平衡Gold 码。

表5. 码的平衡性对载波抑制的影响4.2平衡Gold 码的产生方法为了寻找平衡码，R·Gold 给出特征相位描述：每一个最大长度序列都具有特征相位（序列的初始状态），当序列处于特征相位时，具有每隔一位抽样与原序列一样的特性。

这就是序列处于特征相位的特性。

设序列{}i a 的特征多项式()a f x 是一个r 次本原多项式，其特征相位由()/()a a g x f x 之比来确定。

其中()a g x 是生成函数，其次数等于或小于r ，求取算法[][]d ()d ()d ()()4d a a a a xf x r xg x xf x f x r x ⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数但不是的倍数（5）特征相位多项式定义为()()()a a g x G x f x =（6） 例：对于本原多项式3()1a f x x x =++，根据式（5），得()3d 1()1(mod 2)d a x x x g x x⎡⎤++⎣⎦==根据式(6)得特征相位多项式为3()11()()()1a a a g x G x f x f x x x===++ 长除得24789()1G x x x x x x x =+++++++因而得特征相位为111(r =3)。