2017-2018学年上海市黄浦区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市黄浦区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1. 已知函数f （x ）=sin （x -π2）（x ∈R ），下面结论错误的是（ ） A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数f(x)在区间[0,π2]上是增函数C. 函数f(x)的图象关于y 轴对称D. 函数f(x)的图象关于点(π,0)对称2. 已知等比数列{a n }的前三项依次为x ，2x +2，3x +3，a m =-814，则m 的值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 73. 对于某个与正整数n 有关的命题P ，若n =k （k ∈N *）时命题P 成立可以推得n =k +1时命题P 成立，则下列命题中必为真命题的是（ ）A. 若n =m +2(m ∈N ∗)时命题P 不成立，则n =2m 时命题P 不成立B. 若n =2m(m ∈N ∗)时命题P 不成立，则n =m +2时命题P 不成立C. 若n =2m (m ∈N ∗)时命题P 不成立，则n =2m 时命题P 不成立D. 若n =2m(m ∈N ∗)时命题P 不成立，则n =2m 时命题P 不成立4. 已知f （x ）=x sinx ，若f （sinα）＜f （sinβ），则一定有（ ）A. cos2α>cos2βB. cos2α<cos2βC. sinα>sinβD. sinα<sinβ二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 函数y =tan2x 的最小正周期______．6. 函数y =arccos （x +2）的定义域是______．7. 与-600°终边相同的最小正角的弧度数是______．8. 已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的半径是______．9. 已知数列{a n }的前4项为1，-14，19，-116，则数列{a n }的一个通项公式为______．10. 若sinα+cosα=23，则（sinα-cosα）2=______．11. 已知tan x =2，则sinxcosx 3cos 2x+sin 2x+1的值为______．12. 把函数y =sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动π3个单位长度，得到函数y =g （x ）的图象，则g （x ）=______．13. 已知a n =22n 2−kn （n ∈N *），则下列命题：①当k =4时，数列{a n }是递增数列：②当k =5时，数列{a n }是递增数列：③当k =6，数列{a n }是递增数列．其中正确命题的序号是______．（请把所有正确命题的序号都填上）14. 已知f （x ）=cos x ，若f （α+π3）=17，α∈（0，π），则f （α）的值为______．15. 如图，摩天轮的半径为40m ，O 点距地面的高度为50m ，摩天轮作匀速转动，每12分钟转一圈，摩天轮上P 点的起始位置在最低处，那么在t 分钟时，P 点距地面的高度h =______（m ）．16.数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+2-a n=3+cos（nπ）（n∈N*），若数列{a n}的前n项和为S n，则S100=______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知cosα=-3，α∈（π，2π）．5（1）求sin2α的值：（2）若角β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边经过点（3，-1），求tan（α-β）的值．18.已知函数f（x）=√3sin2x+sin x cosx，x∈[π，π]．2（1）求函数f（x）的零点；（2）求函数f（x）的单调递减区间．19.已如等比数列{a n}满足：a2=1，a4-2a3=3，且a5＞0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的前n项和为S n，求满足10S5＜S n＜1000S5的n的值．20.某公园拟利用废地建设两块三角形花圃ABD与BCD．如图所示，其中AD=100米，AB=300米，DC=CB，且∠DCB=90°．（1）若∠ADB=60°，求∠BAD的大小（精到0.1°）；（2）当∠BAD为何值时，两块花圃的总面积最大？并求出此最大值（精确到1平方米）．21.已知数列{a n}的各项均为正数，S n是数列{a n}的前n项和，记T n=S n+1-S1，R n=S n+2-S2．（1）若{a n}是等差数列，且a3=10-a1，a10=10+a5，求T n；（2）若S1=1，R1=7，且对任意n∈N*，S n，T n，R n成等差数列，求数列{a n}的通项公式；（3）证明：“对任意n∈N*，S n，T n，R n成等比数列”的充分必要条件是“对任意的m∈N*，数列a1，a2，…，a m+2成等比数列”．答案和解析1.【答案】D【解析】解：f（x）=sin（x-）=-cosx，则函数的周期是2π，故A正确，f（x）在区间[0，]上是增函数，故B正确，f（x）为偶函数，函数的图象关于直线x=0对称，故C正确，函数f（x）为偶函数，函数的图象关于直线x=0对称，故D错误，故错误的命题是D，故选：D．将三角函数进行化简，利用三角函数的图象和性质分别进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用诱导公式将三角函数进行化简是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵等比数列{a n}的前三项依次为x，2x+2，3x+3，∴（2x+2）2=x（3x+3），解得x=-1（舍）或x=-4，∴等比数列{a n}的前三项依次为-4，-6，-9，∴a1=-4，q==，∴，∵a m=-，∴=-，解得m=5．故选：B．由等比数列的性质得（2x+2）2=x（3x+3），解得x=-4，从而等比数列{a n}的前三项依次为-4，-6，-9，进而，由此能求出m．本题考查实数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.【答案】C【解析】解：某个与正整数n有关的命题P，若n=k（k∈N*）时命题P成立可以推得n=k+1时命题P成立，可得n=k+1时命题P不成立，可得n=k时，命题P也不成立．若n=m+2（m∈N*）时命题P不成立，则n=m+1时命题P不成立，可得n=2m时命题P可能成立，故A正确；若n=2m（m∈N*）时命题P不成立，则n=2m-1时命题P不成立，可得n=m+2时命题P可能成立，故B错误；若n=2m（m∈N*）时命题P不成立，则n=2m-1时，命题P不成立，可得n=2m时命题P不成立，结论正确，故C正确；若n=2m（m∈N*）时命题P不成立，则n=2m-1时命题P不成立，可得n=2m时命题P成立，结论错误，故D错误．故选：C ．由题意可得n=k+1时命题P不成立，可得n=k时，命题P也不成立．对选项一一分析，结合奇数和偶数的概念，即可得到正确结论．本题考查命题的真假判断，注意结合原命题与其逆否命题等价，考查推理能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，f（x）=xsinx，则f（-x）=（-x）sin（-x）=xsinx=f（x），则函数f（x）为偶函数，f（x）=xsinx，f′（x）=sinx+xcosx，在（0，1）上，f′（x）＞0，则函数f（x）在（0，1）上为增函数，若f（sinα）＜f（sinβ），则有|sinα|＜|sinβ|，即sin2α＜sin2β，变形可得：1-2sin2α＞1-2sin2β，即cos2α＞cos2β故选：A．根据题意，由函数的解析式可得f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，求出其导数，分析可得f（x）在（0，1）上为增函数；据此f（sinα）＜f（sinβ）可以转化为|sinα|＜|sinβ|，变形可得1-2sin2α＞1-2sin2β，即cos2α＞cos2β，分析可得答案．本题考查函数的单调性奇偶性的判断，涉及利用导数分析函数的单调性，属于综合题．5.【答案】π2【解析】解：函数y=tan2x的最小正周期为，故答案为：．根据函数y=tanωx的周期为，求出函数y=tan2x的最小正周期．本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题．6.【答案】[-3，-1]【解析】解：根据反余弦函数的定义域知，令-1≤x+2≤1，解得-3≤x≤-1，∴函数y=arccos（x+2）的定义域是[-3，-1]．故答案为：[-3，-1]．根据反余弦函数的定义域，列不等式求得x的取值范围即可．本题考查了反余弦函数的定义域应用问题，是基础题．7.【答案】2π3【解析】解：-600°=-720°+120°，与-600°终边相同的最小正角为120°，120°=，故答案为：．由-600°=-720°+120°，得到终边相同的角求出弧度，可得结果．本题考查终边相同的角的定义和表示方法，角度与弧度的互化，是解题的关键．8.【答案】2【解析】解：设扇形的半径是R，∵扇形的圆心角为，面积为，∴由扇形面积公式得：=，解得R=2，∴扇形的半径是2．故答案为：2．设扇形的半径是R，由扇形面积公式得：=，由此能求出扇形的半径．本题考查扇形的半径的求法，考查扇形的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】a n=（-1）n+1×1n2【解析】解：根据题意，数列{a n}的前4项为1，-，，-，则a1=（-1）1+1×=1，a2=（-1）2+1×=-，a3=（-1）3+1×=，a4=（-1）4+1×=-，以此类推可得：a n=（-1）n+1×，故答案为：a n=（-1）n+1×．根据题意，由数列的前4项分析可得数列的变化规律，进而归纳可得答案．本题考查数列的表示法，涉及归纳推理的应用，属于基础题．10.【答案】149【解析】解：∵sinα+cosα=，∴，则2sinαcosα=．∴（sinα-cosα）2=sin2α+cos2α-2sinαcosα=1+．故答案为：．把已知等式两边平方求得2sinαcosα，展开两数差的平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．11.【答案】16【解析】解：∵tanx=2，∴===．故答案为：．利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．12.【答案】sin（2x+2π）3【解析】解：把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的倍（纵坐标不变），可得y=sin2x的图象；再把所得图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数y=g（x）=sin（2x+）的图象，故g（x）的解析式为g（x）=sin（2x+），故答案为：sin（2x+）．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．13.【答案】①②【解析】解：a n=2（n∈N*），①当k=4时，a n=2，由f（n）=2n2-4n=2（n-1）2-2，可得n≥1，n∈N，f（n）递增，y=2x在R上递增，则数列{a n}是递增数列：②当k=5时，a n=2，由f（n）=2n2-5n=2（n-）2-，可得n≥2，n∈N，f（n）递增，且f（1）=f（）＜f（2），y=2x在R上递增，则数列{a n}是递增数列：③当k=6，a n=2，由f（n）=2n2-6n=2（n-）2-，可得n≥2，n∈N，f（n）递增，又f（1）=f（2），则数列{a n}不是递增数列．故答案为：①②．由复合函数的单调性：同增异减，以及二次函数的单调性和指数函数的单调性，对①②③讨论，即可得到所求结论．本题考查数列的单调性的判断，注意运用复合函数和二次函数的单调性，考查判断能力，属于基础题．14.【答案】1314【解析】解：∵f（x）=cosx，若f（α+）=cos（α+）=，α∈（0，π），∴sin（α+）==，则f（α）=cosα=cos[（α+）-]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=+=，故答案为：．由题意利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式，求得f（α）=cosα=cos[（α+）-]的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．15.【答案】50-40cosπt6【解析】解：设在t分钟时，P点距地面的高度h=50-40cos（ωx+φ），∵摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮作匀速转动，每12分钟转一圈，∴=12，ω=．且振幅为40m，摩天轮上P点的起始位置在最低处，φ=0，h=50-40=10m，由题意可得，在t分钟时，P点距地面的高度h=50-40cos t，单位m，故答案为：50-40cos t．设在t分钟时，P点距地面的高度h=50-40cos（ωx+φ），根据题意求得ω，和φ的值，可得h的解析式．本题主要考查函数y=Acos（ωx+φ）中，各量的几何意义，属于中档题．16.【答案】7500【解析】解：a1=1，a2=2，且a n+2-a n=3+cos（nπ）（n∈N*），当n为奇数时，a n+2-a n=3-1=2，即有奇数项为首项为1，公差为2的等差数列；当n 为偶数时，a n+2-a n =3+1=4，即有偶数项为首项为2，公差为4的等差数列；则S 100=（a 1+a 3+…+a 99）+（a 2+a 4+…+a 100）=50×1+×50×49×2+50×2+×50×49×4=7500．故答案为：7500．讨论n 为奇数和n 为偶数时，可得奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，偶数项为首项为2，公差为4的等差数列，运用数列的求和：分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的求和：分组求和，考查等差数列的定义和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵cosα=-35，α∈（π，2π），∴sinα=−√1−sin 2α=−45，∴sin2α=2sinαcosα=2×(−34)×(−45)=2425；（2）由题意，tanβ=−13，由（1）知，tanα=sinαcosα=43，则tan （α-β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ=43+131−43×13=3．【解析】（1）由已知求得sinα，再由倍角公式可得sin2α的值；（2）利用任意角的三角函数定义求得tanβ，再由两角差的正切求解tan （α-β）的值．本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，是基础题．18.【答案】解：f （x ）=√3sin 2x +sin x cosx=√3⋅1−cos2x 2+12sin2x =12sin2x −√32cos2x +√32=sin(2x −π3)+√32． （1）由f （x ）=0，得sin （2x -π3）+√32=0， 得sin （2x -π3）=-√32， ∵x ∈[π2，π]，∴2x -π3∈[2π3，5π3]． ∴2x −π3=4π3或2x −π3=5π3，则x =5π6或x =π；（2）由π2+2kπ≤2x −π3≤3π2+2kπ， 得5π12+kπ≤x ≤11π12+kπ，k ∈Z ． ∵x ∈[π2，π]，∴函数f （x ）的单调递减区间为[π2，11π12]．【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．（1）直接由f （x ）=0求解函数的零点；（2）由复合函数的单调性求解．本题考查y=Asin （ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．19.【答案】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2=1，a 4-2a 3=3，且a 5＞0． ∴a 1q =1，a 1q 3−2a 1q 2=3，a 1＞0．∴a 1=13，q =3．∴a n =13×3n−1=3n -2．（2）S n =13(3n −1)3−1=16（3n -1）．10S 5＜S n ＜1000S 5，即10×16×(35−1)＜16（3n -1）＜1000×16×(35−1)．即2421＜3n ＜242001，解得n =8，9，10，11．【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2=1，a 4-2a 3=3，且a 5＞0．可得a 1q=1，=3，a1＞0．解出即可得出．（2）S n=（3n-1）．由10S5＜S n＜1000S5，可得：2421＜3n＜242001，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）在△ABD中，由已知AD=100，AB=300，∠ADB=60°，利用余弦定理可得：AB2=AD2+BD2-2AD•BD•cos60°，∴90000=10000+BD2−200BD×12，即BD2-100BD-80000=0，解得：BD≈337.23（负值舍掉）．由正弦定理可得：337.23sinA =300sin60∘，∴sin A=337.23×√32300≈0.973．∵BD＞AB，∴∠BAD≈103.2°；（2）BD2=10000+90000-2×100×300cos A=100000-60000cos A，则BC2=100000−60000cosA2=50000−30000cosA，∴S=12×100×300sinA+12(50000−30000cosA)=1500（sin A-cos A）+25000=1500√2sin(A−π4)+25000．∴当A−π4=π2，即A=3π4时，两块花圃的总面积最大，最大值为46213平方米．【解析】（1）在△ABD中，由已知利用余弦定理可得BD，再由正弦定理求解∠BAD；（2）利用余弦定理把BD用含有A的三角函数表示，求解直角三角形可得BC，由两三角形面积和写出四边形面积，由辅助角公式化积，则答案可求．本题考查三角形中的几何计算，考查三角形的解法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．21.【答案】（1）解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=10-a1，a10=10+a5，∴2a1+2d=10，5d=10，联立解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n-1）=2n+1．∴S n=n(3+2n+1)2=n2+2n，∴T n=S n+1-S1=（n+1）2+2（n+1）-3=n2+4n．（2）当n=1时，可得T1=a2=4，从而S2=5由2T n=S n+R n，可得2S n+1-2S1=S n+S n+2-S2．∴a n+2=a n+1+3，∵a 2=a 1+3∴对任意n ∈N *，都有a n +2=a n +1+3，∴数列{a n }为等差数列．故得数列{a n }的通项公式为a n =3n -2；（3）证明：充分性：对任意的m ∈N *，数列a 1，a 2，…，a m +2成等比数列”．可设数列a 1，a 2，…，a m +2的公比为q ，由题意a 1＞0，q ＞0，于是S n =a 1+a 2+…+a n ＞0，T n =a 2+…+a n +1=qS nR n =a 3+…+a n +2=q 2S n从而T n S n =R n T n =q ＞0，“对任意n ∈N *，S n ，T n ，R n 成等比数列”．必要性：由对任意n ∈N *，S n ，T n ，R n 成等比数列”则数列a 1，a 2，…，a m +2成等比数列”． 利用数学归纳法证明：①当n =1时，可得S 1，T 1，R 1成等比数列，则数列a 1，a 2，a 3等比数列；命题成立； ②同理，当n =k 时，命题成立；数列a 1，a 2，…，a k +2成等比数列”．设公比为q ． 则当n =k +1时，可得T n+1S n+1=R n+1T n+1=a 2+a 3+⋯…+a k+2a 1+a 2+⋯⋯+a k+1=a 3+a 4+⋯…+a k+3a 2+a 3+⋯⋯+a k+2； 可得：q(a 1+a 2+⋯…+a k+1)a 1+a 2+⋯⋯+a k+1=q(a 2+a 3+⋯…+a k+1)+a k+3(a 2+a 3+⋯⋯+a k+1)+a k+2， ∴a k+3a k+2=q ．故得数列a 1，a 2，…，a k +2成等比数列”．综上，由①②可证明：对任意n ∈N *，S n ，T n ，R n 成等比数列”，则数列a 1，a 2，…，a m +2成等比数列”．故得：“对任意n ∈N *，S n ，T n ，R n 成等比数列”的充分必要条件是“对任意的m ∈N *，数列a 1，a 2，…，a m +2成等比数列”．【解析】（1）根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3=10-a 1，a 10=10+a 5，可得2a 1+2d=10，5d=10，求解通项a n 和S n =，可得T n =（2）由S n ，T n ，R n 成等差数列，可得S n ，2T n =S n +R n ，把T n ，R n 带入化简可得数列{a n }的通项公式；（3）结合等比的性质，分别证明充分性和必要性即可．数列的通项a n 或前n 项和S n 中的n 通常是对任意n ∈N 成立，因此可将其中的n 换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．会利用定义证明命题．属于难题．。
2017黄浦高一下数学期末试卷(含答案)
2017黄浦区高一下数学期末试卷一、填空题（本大题满分36分）1．计算：1arccos 2= ． 2．若把570-︒写成2(,02)k k πααπ+∈≤<Z 的形式，则α= ．3．如图，已知扇形OAB 和11OA B ，1A 为OA 的中点．若扇形11OA B 的面积为1，则扇形OAB 的面积为 ．4．已知22ππα-<<，若tan 1α=-，则α= ．5．若cos 4m πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (用m 表示)． 6．若函数()x f x a =(0a >，且1a ≠)的反函数的图像过点(2,1)-，则a = ．7．方程|1|24x -=的解为 ．8．函数()tan cot f x x x =+的最小正周期为 ．9．某货船在O 处看灯塔M 在北偏东30︒方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达B 处，看到灯塔在北偏东75︒方向，此时货船到灯塔的距离为 海里．10．函数()f x x =的最大值为 ．11．若三边长分别为3，5，a 的三角形是锐角三角形，则a 的取值范围为 ．12．已知数列{}()n a n *∈N ，其前n 项和为n S ，若2cos 5n n a π=，则在1S ，2S ，…，100S 中，满足0(1100,)m S m m *=≤≤∈N 的m 的个数为 ．二、选择题（本大题满分16分）13．函数()k f x x =(k 为常数，k ∈Q )，下列函数图像中，不是函数()y f x =的图像的是（ ）．A ．B ．C ．D ．14．“1b <”是“函数2()2f x x bx =-，[1,)x ∈+∞有反函数”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(,)2k k πθθπ≠+∈Z ，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（ ）． A ．(cos ,sin )θθ- B ．(cos ,sin )θθ- C ．(sin ,cos )θθ- D ．(sin ,cos )θθ-16．若关于x 的方程|(||)|f x a =，当0a >时总有4个解，则()f x 可以是（ ）．A ．21x -B ．11x - C ．22x - D ．2log 2x -三、解答题（本大题满分48分） 17．（4+4）（1）求cos 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间； （2）求2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(,0]x π∈-的单调递减区间．18．（本题满分8分）已知函数2()sin 22sin 16f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，若()sin(2)f x A x ϕ=+，且0A ≥，02ϕπ≤<，求满足条件的A ，ϕ．19．（4+6）已知数列{}()n a n *∈N ，29a =-．（1）若数列{}n a 是等比数列，且513a =-，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是等差数列，且61a =-，数列{}nb 满足2n a n b =，当121()m b b b m *=∈N 时，求m 的值．20．（4+6）已知函数2()log ()f x x m =-，其中m ∈R ．（1）若()f x 在区间(2,3)内有一个零点，求m 的取值范围； （2）若()f x 在区间[1,](1)t t >上的最大值与最小值之差为2，且()0f t >，求m 的取值范围．21．（6+6）定理：若函数()y f x =的图像关于直线x a =对称，且方程()0f x =有n 个根，则这n 个根之和为()na n *∈N ．利用上述定理，求解下列问题：（1）已知函数()sin 21g x x =+，5,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设函数()y g x =的图像关于直线x a =对称，求a 的值及方程()0g x =的所有根之和；（2）若关于x 的方程42222cos 0x x x x m -++--=在实数集上有唯一的解，求m 的值．参考答案1．3π 2．56π 3．4 4．4-π 5．m - 6．12 7．3x =或1x =- 8．π 9．11． 12．20；2cos 5n n a π=周期为5，且50S =，m 的个数为100520÷=。
2016-2017学年上海市黄浦区高一下学期期末数学试卷(答案+解析)
上海市黄浦区2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）计算：arccos 12= ．2．（3分）若把﹣570°写成2k π+α（k ∈Z ，0≤α＜2π）的形式，则α= ．3．（3分）如图，已知扇形OAB 和OA 1B 1，A 1为OA 的中点，若扇形OA 1B 1的面积为1，则扇形OAB 的面积为 ．4．（3分）已知﹣π2＜α＜π2，若tan α=﹣1，则α= ．5．（3分）若cos （π4﹣θ）=m ，则cos （3π4+θ）= （用m 表示）．6．（3分）若函数f （x ）=a x （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a = ． 7．（3分）方程2|x ﹣1|=4的解为 ．8．（3分）函数f （x ）=tan x +cot x 的最小正周期为 ．9．（3分）某货船在O 处看灯塔M 在北偏东30°方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达B 处，看到灯塔M 在北偏东75°方向，此时货船到灯塔M 的距离为 海里．10．（3分）函数f （x ）=x +√1−x 2的最大值为 ，最小值为 ．11．（3分）若三边长分别为3，5，a 的三角形是锐角三角形，则a 的取值范围为 ． 12．（3分）已知数列{a n }（n ∈N *），其前n 项和为S n ，若a n =cos 2nπ5，则在S 1，S 2，…，S 100中，满足S m =0（1≤m ≤100，m ∈N *）的m 的个数为 ． 二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知函数f （x ）=x k （k 为常数，k ∈Q ），在下列函数图象中，不是函数y =f （x ）的图象是（ ）A．B．C．D．14．（4分）“b＜1”是“函数f（x）=x2﹣2bx，x∈[1，+∞）有反函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A为单位圆上一点，以x轴为始边，OA为终边的角为θ（θ≠kπ+π2，k∈Z），若将OA绕O点顺时针旋转3π2至OB，则点B的坐标为（）A．（﹣cosθ，sinθ）B．（cosθ，﹣sinθ）C．（﹣sinθ，cosθ）D．（sinθ，﹣cosθ）16．（4分）若关于x的方程|f（|x|）|=a，当a＞0时总有4个解，则f（x）可以是（）A．x2﹣1 B．1x−1C．2x﹣2 D．log2x﹣2三、解答题（共5小题，满分48分）17．（8分）（1）求函数y=cos（x﹣π12）的单调递增区间；（2）求函数y=2sin（2x+π6）．x∈（﹣π，0]的单调递减区间．18．（8分）已知函数f（x）=sin（π6﹣2x）﹣2sin2x+1，若f（x）=A sin（2x+φ），且A≥0，0≤φ＜2π，求满足条件的A，φ．19．（10分）已知数列{a n}（n∈N*），a2=﹣9．（1）若数列{a n}是等比数列，且a5=﹣1，求数列{a n}的通项公式；3（2）若数列{a n}是等差数列，且a6=﹣1，数列{b n}满足b n=2a n，当b1b2…b m=1（m∈N*）时，求m的值．20．（10分）已知函数f（x）=log2（x﹣m），其中m∈R．（1）若函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，求m的取值范围；（2）若函数f（x）在区间[1，t]（t＞1）上的最大值与最小值之差为2，且f（t）＞0，求m 的取值范围．21．（12分）定理：若函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，且方程f（x）=0有n个根，则这n个根之和为na（n∈N*）．利用上述定理，求解下列问题：（1）已知函数g（x）=sin2x+1，x∈[﹣5π，4π]，设函数y=g（x）的图象关于直线x=a对称，2求a的值及方程g（x）=0的所有根之和；（2）若关于x的方程2x4+2x+2﹣x﹣cos x﹣m2=0在实数集上有唯一的解，求m的值．【参考答案】一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1． π3【解析】arccos 12=π3． 故答案为π3． 2．5π6【解析】﹣570°=﹣19π6=﹣4π+5π6．故答案为5π6． 3． 4【解析】设∠AOB =α，∵扇形OA 1B 1的面积为1，即：1=12OA 12α，∴解得：OA 12α=2，∵A 1为OA 的中点，OA =2OA 1，∴在扇形OAB 中，S 扇形OAB =12OA 2α=12×（2OA 1）2α=2OA 12α=2×2=4．故答案为4． 4． ﹣π4【解析】∵函数y =tan x 在（﹣π2，π2）上单调递增，且﹣π2＜α＜π2，若tan α=﹣1，则α=﹣π4，故答案为﹣π4． 5． ﹣m【解析】cos （π4﹣θ）=m ，则cos （3π4+θ）=cos[π﹣（π4﹣θ）]=﹣cos （π4﹣θ）=﹣m ， 故答案为﹣m ． 6． 12【解析】若函数f （x ）=a x （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1）， 则原函数的图象过点（﹣1，2）， ∴2=a ﹣1，a =12．故答案为12．7．x=3或x=﹣1【解析】∵方程2|x﹣1|=4，∴|x﹣1|=2，∴x﹣1=2或x﹣1=﹣2，解得x=3或x=﹣1．故答案为x=3或x=﹣1．8．π【解析】函数f（x）=tan x+cot x=sinxcosx +cosxsinx=2sin2x，因为y=sin2x的周期为：π．所以函数f（x）=tan x+cot x的最小正周期为：π．故答案为π．9．6√2【解析】由题意画出图形为：因为∠MBE=75°，∠BAM=30°，所以∠AMB=45°，又由于某船以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B，所以AB=18×4060=12（海里）．在△AMB中，利用正弦定理得：ABsin45°=BMsin30°，所以BM=6√2；故答案为6√2．10．√2；﹣1【解析】∵函数f（x）=x+√1−x2，设x=cosθ∈[﹣1，1]，则sinθ=√1−x2，θ∈[0 π]，∴f（x）=g（θ）=cosθ+sinθ=√2sin（θ+π4），θ+π4∈[π4，5π4]，故当θ+π4=π2时，函数f （x ）=g （θ）取得最大值为√2，当θ+π4=5π4时，函数f （x ）=g （θ）取得最小值为﹣1， 故答案为√2；﹣1． 11． （4，√34）【解析】由三边长分别为3，5，a 的三角形是锐角三角形， 若5是最大边，则cos α=32+a 2−522×3a＞0，解得a ＞4． 若a 是最大边，则cos β=32+52−a 22×3×5＞0，解得a ＜√34．综上可得：a 的取值范围为（4，√34）． 故答案为（4，√34）． 12． 20 【解析】a n =cos2nπ5，可得周期T =2π2π5=5，S 5=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=cos 2π5+cos 4π5+cos 6π5+cos 8π5+cos10π5=cos 2π5﹣cos π5﹣cos π5+cos 2π5+1=﹣2（cos 3π5+cos π5）+1 =1﹣4cos 2π5cos π5=1+−4cos2π5(2sin π5cos π5)2sinπ5=1+−4sin2π5cos 2π52sinπ5=1+−2sin4π52sin4π5=1﹣1=0，则满足S m =0（1≤m ≤100，m ∈N *）的m 的个数为 100÷5=20． 故答案为20．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．C【解析】函数f （x ）=x k （k 为常数，k ∈Q ）为幂函数，图象不过第四象限， 所以C 中函数图象，不是函数y =f （x ）的图象． 故选C ． 14．A【解析】函数f （x ）=x 2﹣2bx ，x ∈[1，+∞）有反函数， 则函数f （x ）=x 2﹣2bx ，x ∈[1，+∞）上具有单调性， ∴b ≤1．∴“b ＜1”是“函数f （x ）=x 2﹣2bx ，x ∈[1，+∞）有反函数”的充分不必要条件． 故选A ． 15．C【解析】A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为θ（θ≠k π+π2，k ∈Z ），若将OA 绕O 点顺时针旋转3π2至OB ，则点B 的横坐标为cos （﹣3π2+θ）=﹣sin θ，点B 的纵坐标为sin （﹣3π2+θ）=cos θ，故点B 的坐标为（﹣sin θ，cos θ），故选C ． 16．D【解析】对于A ，f （x ）=x 2﹣1，∴f （|x |）=x 2﹣1，∴|f （|x |）|=|x 2﹣1|={1−x 2，−1≤x ≤1x 2−1，x ＜−1或x ＞1；方程|f （|x |）|=a ，当1＞a ＞0时有4个解，当a =1时有3个解，当a ＞1时有2个解，∴A 不满足题意； 对于B ，f （x ）=1x−1，∴f （|x |）=1|x|−1，∴|f （|x |）|=|1|x|−1|={1|x|−1，|x|＞111−|x|，|x|＜1；方程|f （|x |）|=a ，当1＞a ＞0时有2个解，当a =1时无解，当a ＞1时有2个解，∴B 不满足题意； 对于C ，f （x ）=2x ﹣2，∴f （|x |）=2|x |﹣2， ∴|f （|x |）|=|2|x |﹣2|={2−2|x|，|x|≤12|x|−2，|x|＞1； 方程|f （|x |）|=a ，当1＞a ＞0时有4个解，当a =1时有3个解，当a ＞1时有2个解，∴C 不满足题意； 对于D ，f （x ）=log 2x ﹣2，∴f （|x |）=log 2|x |﹣2，∴|f （|x |）|=|log 2|x |﹣2|={2−log 2|x|，0＜|x|≤4log 2|x|−2，|x|＞4；方程|f （|x |）|=a ，当a ＞0时恒有4个解，∴D 满足题意． 故选D ．三、解答题（共5小题，满分48分） 17．解：（1）由﹣π+2k π≤x −π12≤2k π，可得﹣11π12+2k π≤x ≤2k π+π12，k ∈Z ，函数y =cos （x ﹣π12）的单调递增区间：[﹣11π12+2k π，2k π+π12]，k ∈Z ． （2）因为π2+2k π≤2x +π6≤2k π+3π2，k ∈Z ；可得π6+k π≤x ≤k π+2π3，k ∈Z ．k =﹣1时，−5π6≤x ≤−π3．函数y =2sin （2x +π6）．x ∈（﹣π，0]的单调递减区间：[−5π6，−π3]．18．解：∵函数f （x ）=sin （π6﹣2x ）﹣2sin 2x +1=12cos2x ﹣√32sin2x +cos2x =32cos2x ﹣√32sin2x =√3（√32cos2x ﹣12sin2x ）=√3sin （π3﹣2x ）=﹣√3sin （2x ﹣π3）=√3sin （2x ﹣π3+π）=√3sin （2x +2π3）=A sin （2x +φ），∴φ=2π3，A =√3．19．解：（1）数列{a n }是公比为q 的等比数列， a 2=﹣9，a 5=﹣13，可得a 1q =﹣9，a 1q 4=﹣13，解得q =13，a 1=﹣27，可得a n =a 1q n ﹣1=﹣（13）n ﹣4，（n ∈N *）； （2）数列{a n }是公差为d 的等差数列， a 2=﹣9，a 6=﹣1，可得a 1+d =﹣9，a 1+5d =﹣1， 解得a 1=﹣11，d =2， 则a n =a 1+（n ﹣1）d =2n ﹣13， b n =2a n =22n﹣13，b 1b 2…b m =1，可得212m(2m−24)=1， 可得m （m ﹣12）=0，解得m =12（0舍去）．20．解：（1）由log 2（x ﹣m ）=0，得m =x ﹣1， 由2＜x ＜3得：1＜x ﹣1＜2， 故m 的范围是（1，2）；（2）f （x ）在[1，t ]（t ＞1）递增， ∴f （t ）﹣f （1）=2，∴log 2（t ﹣m ）﹣log 2（1﹣m ）=2， ∴log 2t−m1−m =log 24， ∴t =4﹣3m ，由f （t ）＞0，得t ＞m +1， ∴4﹣3m ＞m +1， 解得：m ＜34．21．解：（1）∵g （x ）在[﹣5π2，4π]上的图象关于直线x =a 对称， ∴a =−5π2+4π2=3π4，令g （x ）=0得sin2x =﹣1，2x =﹣π2+2k π，即x =﹣π4+k π，k ∈Z ． ∴g （x ）在[﹣5π2，4π]上有7个零点， ∴方程g （x ）=0的所以根之和为7×3π4=21π4．（2）令h （x ）=2x 4+2x +2﹣x ﹣cos x ﹣m 2，则h （﹣x ）=2x 4+2﹣x +2x ﹣cos x ﹣m 2=h （x ）， ∴h （x ）是偶函数，∴h （x ）的图象关于y 轴对称，即关于直线x =0对称， ∵h （x ）=0只有1解，∴h （x ）=0的唯一解为x =0，即h （0）=0， ∴0+1+1﹣1﹣m 2=0，解得m =±1．。
XXX2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
XXX2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析2017-2018学年XXX高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知sinα=1/2，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A。
-1/2 B。
-2 C。
1/2 D。
22.某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查。
这种抽样方法是（）A。
简单随机抽样法 B。
抽签法 C。
随机数表法 D。
分层抽样法3.已知变量x，y满足约束条件x+y=1，则z=x+2y的最小值为（）A。
3 B。
1 C。
-5 D。
-64.为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三.1班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（）A。
2 B。
3 C。
4 D。
55.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A。
105 B。
16 C。
15 D。
16.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A。
1/2 B。
1/4 C。
3/4 D。
1/37.为了得到函数y=sin（2x-π/2）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A。
向右平移π/4个单位长度 B。
向右平移π/2个单位长度 C。
向左平移π/4个单位长度 D。
向左平移π/2个单位长度8.a11 B。
0<q<1 C。
q<0 D。
q<19.函数y=|x-2|+|x+1|的图象大致为（）A。
图略 B。
图略 C。
图略 D。
图略10.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得AP/BP=CP/DP的点P的坐标为（）A。
【优质文档】2017-2018年度高一年级期末综合检测(含参考答案)
⊥底面 ABC，垂足为 H，则点 H在 ( ).
A．直线 AC上 B ．直线 AB上
C．直线 BC上 D ．△ ABC内部
12. 已知 ab
0
,
点
P(a,b)
是圆
2
x
2
y
2
r 内一点 , 直线 m是以
点 P 为中点的弦所在的直线 , 直线 L 的方程是 ax by r 2 , 则下列结论正确的是 ( ).
1 D .m
2
3. 如图，矩形 O′ A′B′ C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
O′ A′＝ 6 cm， C′D′＝ 2 cm，则原图形是 ( ).
A．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．梯形
4. 已知 A 2, 3 ， B 3, 2 ，直线 l 过定点 P 1,1 ，且与线段 AB 相交，
C． 3x 6y 5 0
D
． x 3或3x 4 y 15 0
8. 三视图如图所示的几何体的表面积是 (
)．
A．2＋ 2 B ．1＋ 2 C ．2＋ 3 D ．1＋ 3
9. 设 x0 是方程 ln x＋ x＝ 4 的解，则 x0 属于区间 ( ).A． (0 ，1)B ． (1 ，2)C
． (2 ， 3)
C．若 l ∥ β ，则 α∥ β D ．若 α ∥ β，则 l ∥ m
6. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的
主视图与左视图分别如右图所示，则该几何
体的俯视图为 ( ).
7. 一条直线经过点
M ( 3,
3)
,
被圆
2
x
2
y
25 截得的弦长等于 8, 这条直线的方
2
程为 ( ).
黄浦统考高一期末(2018.06)
黄浦区统考高一期末数学试卷2018.06一. 填空题1. 函数tan2y x =的最小正周期为2. 函数arccos(2)y x =+的定义域是3. 与600︒-终边相同的最小正角的弧度数是4. 已知扇形的圆心角为6π，面积为3π，则扇形的半径是 5. 已知数列{}n a 的前4项为1、14-、19、116-，则数列{}n a 的一个通项公式为 6. 若2sin cos 3αα+=，则2(sin cos )αα-= 7. 已知tan 2x =，则22sin cos 3cos sin 1x x x x ++的值为 8. 把函数sin y x =的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再把所得图像 上所有点向左平行移动3π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则()g x = 9. 已知222n kn n a -=()n ∈*N ，则下列命题：① 当4k =时，数列{}n a 是递增数列；② 当 5k =时，数列{}n a 是递增数列；③ 当6k =时，数列{}n a 是递增数列. 其中正确命题的 序号是 （请把所有正确命题的序号都填上）10. 已知()cos f x x =，若1()37f πα+=，(0,)απ∈，则()f α= 11. 如图，摩天轮的半径为40m ，O 点距地面的高度为50m ，摩天轮作匀速转动，每12分钟转一圈，摩天轮上P 点的起始位置在最低处，那么在t 分钟时，P 点距地面的高度h =()m12. 数列{}n a 满足11a =，22a =，23cos()n n a a n π+-=+()n ∈*N ，若数列{}n a 前n 项和为n S ，则100S =二. 选择题13. 已知函数()sin()2f x x π=-()x ∈R ，下列结论错误的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为2πB. 函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数 C. 函数()f x 的图像关于y 轴对称 D. 函数()f x 的图像关于点(,0)π对称14. 已知等比数列{}n a 的前三项依次为x 、22x +、33x +，若814m a =-，则m =（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 715. 对于某个与正整数n 有关的命题P ，若n k =()k ∈*N 时命题P 成立可以推得1n k =+ 时命题P 成立，则下列命题中必为真命题的是（ ）A. 若2n m =+()m ∈*N 时命题P 不成立，则2n m =时命题P 不成立B. 若2n m =()m ∈*N 时命题P 不成立，则2n m =+时命题P 不成立C. 若2m n =()m ∈*N 时命题P 不成立，则2n m =时命题P 不成立D. 若2n m =()m ∈*N 时命题P 不成立，则2m n =时命题P 不成立16. 已知()sin f x x x =，若(sin )(sin )f f αβ<，则一定有（ ）A. cos2cos2αβ>B. cos2cos2αβ<C. sin sin αβ>D. sin sin αβ<三. 解答题17. 已知3cos 5α=-，(,2)αππ∈.（1）求sin2α的值；（2）若角β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，且终边经过点(3,1)-，求tan()αβ-的值.18. 已知函数2()sin cos f x x x x =+，[,]2x ππ∈. （1）求函数()f x 的零点；（2）求函数()f x 的单调递减区间.19. 已知等比数列{}n a 满足：21a =，4323a a -=，且50a >.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求满足55101000n S S S <<的n 的值.20. 某公园拟利用废地建设两块三角形花圃ABD 与BCD ，如图，100AD =米，300AB =米，DC CB =，且90DCB ︒∠=.（1）若60ADB ︒∠=，求∠BAD 的大小（精确到0.1°）；（2）当∠BAD 为何值时，两块花圃的总面积最大？并求出此最大值（精确到1平方米）.21. 已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，记11n n T S S +=-，22n n R S S +=-.（1）若数列{}n a 为等差数列，且3110a a =-，10510a a =+，求n T ；（2）若11S =，17R =，且对任意n ∈*N ，n S 、n T 、n R 成等差数列，求{}n a 的通项公式；（3）证明：“对任意n ∈*N ，n S 、n T 、n R 成等比数列”的充要条件是“对任意m ∈*N ，数列1a 、2a 、…、2m a +成等比数列”.参考答案一. 填空题 1. 2π 2. [3,1]-- 3. 23π 4. 2 5. 12(1)n n a n +-=()n ∈*N 6. 149 7. 16 8. 2()sin(2)3g x x π=+ 9. ①② 10. 1314 11. 5040cos6t π- 12. 7500二. 选择题 13. D 14. B 15. C 16. A三. 解答题17.（1）2425；（2）3. 18.（1）x π=或56x π=；（2）11[,]212ππ. 19.（1）23n n a -=；（2）8,9,10,11n =.20.（1）103.2︒；（2）34BAD π∠=，面积最大，为46213平方米. 21.（1）24n T n n =+，n ∈*N ；（2）32n a n =-；（3）略.。
2017-2018学年上海市杨浦区高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)
2017-2018学年上海市杨浦区高一第二学期期末数学试卷一、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1．半径为2，圆心角为π4的扇形的面积为 ．2．已知P （4，﹣3）是角α终边上一点，则sin α＝ ． 3．若cos （π2−α）＝cos α，则tan α＝ ．4．函数y ＝tan x 的定义域为 ．5．若△ABC 的三边长为2，3，4，则△ABC 的最大角的余弦值为 ． 6．函数y =−√1−x ，（x ≤1）的反函数为 ． 7．设log 23＝a ，则log 64＝ ． 8．设α∈[π2，π]，sin α=45，则cosα2=9．方程sin x =13，x ∈[−π2，π]的解为10．设f （x ）＝2sin （ωx −2π3），x ∈R ，实数x 1，x 2满足：对于任意x ∈R ，不等式f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）都成立，若|x 1﹣x 2|的最小值为2π3，则正实数ω＝二、选择题（本大题共4小题，每题4分，共16分） 11．设θ∈R ，“sin θ＝0”是“sin2θ＝0”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件12．下列函数是奇函数，且值域为实数集R 的是（ ） A ．y ＝lgxB ．y ＝lg |x |C ．y ＝tan2xD ．y ＝3sin2x13．已知cos θ2=45，且sin θ＜0，则tan θ的值为（ ） A ．−2425B ．±247C ．−247D ．24714．函数y ＝2sin x 的图象经由下列变换可以得到函数y ＝2sin （2x +π3）的图象的是（ ） A ．先将图象向左平移π3，再将图象上每一点的横坐标变为原来的一半B ．先将图象上每一点的横坐标变为原来的一半，再将所得图象向左平移π3C ．先将图象向左平移π3，再将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍D ．先将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移π3三、解答题（本大题满分44分）15．解方程：log 2（x 2+x ）＝log 2（x +1）+2． 16．已知α∈（3π4，π），tan α+cot α=−103． （1）求tan α的值； （2）化简并求sinα+sin(π2−α)sin(π−α)−cosα的值．17．已知函数f （x ）＝sin2x +2cos 2x ﹣1，x ∈R ，其中集合D 为函数的定义域． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）用五点法作出函数f （x ）一个周期内的图象．18．某小区规划时，计划在周边建造一片扇形绿地，如图所示已知扇形绿地的半径为50米，圆心角∠AOB =π3．从绿地的圆弧边界上不同于A ，B 的一点P 处出发铺设两条道路PO 与PC （均为直线段），其中PC 平行于绿地的边界OB ．记∠POC ＝θ（其中0＜θ＜π3）． （1）当θ=π4时，求所需铺设的道路长：（2）若规划中，绿地边界的OC 段也需铺设道路，且道路的铺设费用均为每米100元，当θ变化时，求铺路所需费用的最大值（精确到1元）．19．设f （x ）＝lg （3−xa+x），其中常数a ∈R ，a ≠﹣3．（1）当a ＝0时，求不等式f （x ）＞0的解；（2）若函数f （x ）的图象关于原点对称，求实数a 的值：（3）当a ＝0时，求f （x ）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差．2017-2018学年上海市杨浦区高一第二学期期末数学试卷参考答案一、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1．半径为2，圆心角为π4的扇形的面积为π2．【分析】设扇形的圆心角大小为α（rad ），半径为r ，则扇形的面积为S =12r 2α，由此得解． 解：∵r ＝2，α=π4， ∴SS =12r 2α=12×22×π4=π2．故答案为：π2．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题． 2．已知P （4，﹣3）是角α终边上一点，则sin α＝ −35 ．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin α的值．解：∵P （4，﹣3）是角α终边上一点，则x ＝4，y ＝﹣3，r ＝|OP |=√16+9=5，∴sin α=y r=−35=−35，故答案为：−35．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 3．若cos （π2−α）＝cos α，则tan α＝ 1 ．【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可． 解：cos （π2−α）＝cos α，可得sin α＝cos α， 所以tan α＝1． 故答案为：1．【点评】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力． 4．函数y ＝tan x 的定义域为 {x |x ≠k π+π2，k ∈Z } ． 【分析】根据正切函数y ＝tan x 的定义，写出定义域即可．解：根据正切函数y ＝tan x 的定义知， 其定义域为：{x |x ≠k π+π2，k ∈Z }． 故答案为：{x|x ≠kπ+π2，k ∈Z}．【点评】本题考查了正切函数的定义与应用问题，是基础题．5．若△ABC 的三边长为2，3，4，则△ABC 的最大角的余弦值为 −14．【分析】直接利用三角形的三边关系式和余弦定理求出结果． 解：根据大边对大角得到： 设a ＝2，b ＝3，c ＝4，所以：cos C =a 2+b 2−c 22ab =−14．故答案为：−14． 【点评】本题考查的知识要点：三角形的三边关系式及余弦定理的应用． 6．函数y =−√1−x ，（x ≤1）的反函数为 y ＝1﹣x 2（x ≤0） ． 【分析】根据反函数的定义即可求出． 解：y =−√1−x ，（x ≤1）， 则y 2＝1﹣x ， ∴x ＝1﹣y 2，y ≤0，∴函数y =−√1−x ，（x ≤1）的反函数为y ＝1﹣x 2，（x ≤0）， 故答案为：y ＝1﹣x 2，（x ≤0）【点评】本题考查了反函数的定义，属于基础题 7．设log 23＝a ，则log 64＝21+a．【分析】利用对数的运算性质、换底公式即可得出． 解：∵log 23＝a ，∴log 64=2lg2lg2+lg3=21+lg3lg2=21+log 23=21+a ．故答案为：21+a．【点评】本题考查了对数的运算性质、换底公式，考查了计算能力，属于基础题． 8．设α∈[π2，π]，sin α=45，则cosα2=√55【分析】由已知求得cos α，再由二倍角的余弦求解cos α2．解：∵α∈[π2，π]，sin α=45，∴cos α=−√1−sin 2α=−35， 由cos α=2cos 2α2−1， 得cos 2α2=1+cosα2=15， ∵α∈[π2，π]，∴α2∈[π4，π2]，∴cosα2=−√55（舍），或cos α2=√55． 故答案为：√55． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．9．方程sin x =13，x ∈[−π2，π]的解为 x ＝arcsin 13或x ＝π﹣arcsin 13【分析】利用反三角函数的定义、三角函数的单调性与求值即可得出． 解：∵方程sin x =13，x ∈[−π2，π]， ∴x ＝arcsin 13或x ＝π﹣arcsin 13．故答案为：arcsin 13或x ＝π﹣arcsin 13．【点评】本题考查了反三角函数的定义、三角函数的单调性与求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．设f （x ）＝2sin （ωx −2π3），x ∈R ，实数x 1，x 2满足：对于任意x ∈R ，不等式f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）都成立，若|x 1﹣x 2|的最小值为2π3，则正实数ω＝32【分析】由题意，对于任意x ∈R ，不等式f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）都成立，可令f （x 1）是最低点的值，那么f （x 2）时最高点的值，|x 1﹣x 2|的最小值为2π3，即12T =2π3，可得T ，即可求解ω．解：由题意，对于任意x ∈R ，不等式f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）都成立， 可令f （x 1）是最低点的值，那么f （x 2）时最高点的值，由|x 1﹣x 2|的最小值为2π3，即12T =2π3，可得T =4π3， 那么：ω=2π×34π， ∴ω=32． 故答案为：32．【点评】本题考查三角函数的图象及性质的应用．属于基础题． 二、选择题（本大题共4小题，每题4分，共16分） 11．设θ∈R ，“sin θ＝0”是“sin2θ＝0”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件【分析】由sin θ＝0求得sin2θ＝0，由sin2θ＝0求得sin θ＝0或±1，再结合充分必要条件的判定方法判断．解：由sin θ＝0，得θ＝k π，k ∈Z ，则2θ＝2k π，k ∈Z ， ∴sin2θ＝0；由sin2θ＝0，得2θ＝k π，k ∈Z ，则θ=kπ2，k ∈Z ， ∴sin θ＝0或±1．∴“sin θ＝0”是“sin2θ＝0”的充分非必要条件． 故选：A ．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查充分必要条件的判定方法，是基础题． 12．下列函数是奇函数，且值域为实数集R 的是（ ） A ．y ＝lgxB ．y ＝lg |x |C ．y ＝tan2xD ．y ＝3sin2x【分析】根据函数奇偶性和值域的性质分别进行判断即可．解：A ．y ＝lgx 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数，不满足条件．B ．y ＝lg |x |是偶函数，不满足条件．C ．y ＝tan2x 是奇函数，且函数的值域是R ，满足条件．D ．y ＝3sin2x 是奇函数，函数的值域是[﹣3，3]，不满足条件． 故选：C ．【点评】本题主要考查函数奇偶性和值域性质的判断，结合常见函数的进行和值域的性质是解决本题的关键．13．已知cos θ2=45，且sin θ＜0，则tan θ的值为（ ）A ．−2425B ．±247C ．−247D ．247【分析】利用二倍角公式求得cos θ，再根据同角三角函数的基本关系求得sin θ，从而求得tan θ的值．解：已知cos θ2=45，且sin θ＜0，∴cos θ＝2cos 2θ2−1＝2×(45)2−1=725，故sin θ=−√1−cos 2θ=−2425，∴tan θ=sinθcosθ=−247， 故选：C ．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题． 14．函数y ＝2sin x 的图象经由下列变换可以得到函数y ＝2sin （2x +π3）的图象的是（ ） A ．先将图象向左平移π3，再将图象上每一点的横坐标变为原来的一半B ．先将图象上每一点的横坐标变为原来的一半，再将所得图象向左平移π3C ．先将图象向左平移π3，再将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍D ．先将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移π3【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 解：先将函数y ＝2sin x 的图象向左平移π3，可得函数y ＝2sin （x +π3）的图象，再将图象上每一点的横坐标变为原来的一半，可得函数y ＝2sin （2x +π3）的图象， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，属于基础题． 三、解答题（本大题满分44分）15．解方程：log 2（x 2+x ）＝log 2（x +1）+2．【分析】运用对数的运算性质可得log 2（x 2+x ）＝log 2（4x +4），可得x 2+x ＝4x +4，求得方程的根，检验对数的真数是否大于0，即可得到所求解．解：log 2（x 2+x ）＝log 2（x +1）+2， 即为log 2（x 2+x ）＝log 2（4x +4）， 可得x 2+x ＝4x +4， 即x 2﹣3x ﹣4＝0， 解得x ＝4或x ＝﹣1，当x ＝4时，满足x +1＞0，x 2+x ＞0成立； 当x ＝﹣1时，x +1＝0不成立． 则原方程的解为x ＝4．【点评】本题考查对数方程的解法，注意转化思想和检验，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 16．已知α∈（3π4，π），tan α+cot α=−103． （1）求tan α的值； （2）化简并求sinα+sin(π2−α)sin(π−α)−cosα的值．【分析】（1）化余切为正切，求解关于tan α的方程得答案； （2）利用诱导公式变形，化弦为切求解． 解：（1）由tan α+cot α=−103，得tan α+1tanα+103=0， ∴3tan 2α+10tan α+3＝0， 解得：tan α＝3或tan α=−13． ∵α∈（3π4，π），∴tan α=−13；（2）sinα+sin(π2−α)sin(π−α)−cosα=sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=−13+1−13−1=−12．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．17．已知函数f （x ）＝sin2x +2cos 2x ﹣1，x ∈R ，其中集合D 为函数的定义域． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）用五点法作出函数f （x ）一个周期内的图象．【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求解最小正周期；（2）列表，作图即可．解：（1）函数f（x）＝sin2x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x=√2sin（2x+π4）．∴函数f（x）的最小正周期T=2π2=π；（2）由（1）可知f（x）=√2sin（2x+π4）．五点列表，x−π8π83π85π87π82x+π40π2π3π22πy0√20−√20作图：【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．18．某小区规划时，计划在周边建造一片扇形绿地，如图所示已知扇形绿地的半径为50米，圆心角∠AOB=π3．从绿地的圆弧边界上不同于A，B的一点P处出发铺设两条道路PO与PC（均为直线段），其中PC平行于绿地的边界OB．记∠POC＝θ（其中0＜θ＜π3）．（1）当θ=π4时，求所需铺设的道路长：（2）若规划中，绿地边界的OC段也需铺设道路，且道路的铺设费用均为每米100元，当θ变化时，求铺路所需费用的最大值（精确到1元）．【分析】（1）在△POC 中，运用正弦定理即可得到所求道路长；（2）在△POC 中，运用正弦定理求得PC ，OC ，由条件可得铺路所需费用为f （θ）＝100[50+100√33sin θ+100√33sin （π3−θ）]，运用两角和差正弦公式和正弦函数的值域，可得所求最大值．解：（1）在△POC 中，θ=π4，∠CPO =π3−π4=π12， 则∠PCO ＝π−π3=2π3， 由正弦定理可得OP sin2π3=PC sinπ4， 可得PC =50×√22√32=50√63， 所需铺设的道路长为50+50√63m ，（2）在△POC 中，可得OPsin2π3=PC sinθ=OCsin(π3−θ)=100√33，0＜θ＜π3，可得PC =100√33sin θ，OC =100√33sin （π3−θ），则铺路所需费用为f （θ）＝100[50+100√33sin θ+100√33sin （π3−θ）]＝5000+10000√33（sin θ+√32cos θ−12sin θ）＝5000+10000√33（√32cos θ+12sin θ）＝5000+10000√33sin （π3+θ），当π3+θ=π2，θ=π6，sin （π3+θ）取得最大值1，则铺路所需费用的最大值为5000+10000√33≈10774元．【点评】本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．19．设f （x ）＝lg （3−x a+x ），其中常数a ∈R ，a ≠﹣3．（1）当a ＝0时，求不等式f （x ）＞0的解；（2）若函数f （x ）的图象关于原点对称，求实数a 的值：（3）当a ＝0时，求f （x ）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差．【分析】（1）运用对数不等式的解法，可得所求解集；（2）由题意可得f （﹣x ）+f （x ）＝0，由对数的运算性质，解方程可得a 的值； （3）判断f （x ）在[1，2]递减，计算可得所求最值的差．解：（1）f （x ）＞0，即lg3−x x ＞0， 可得3−x x ＞1， 即为3−2x x ＞0，解得0＜x ＜32，即解集为（0，32）；（2）函数f （x ）的图象关于原点对称，可得f （﹣x ）+f （x ）＝lg3−x a+x +lg 3+x a−x ＝lg9−x 2a 2−x 2=0， 即9−x 2a 2−x 2=1，可得a ＝3（﹣3舍去），则a 的值为3；（3）当a ＝0时，f （x ）＝lg3−x x ，即f （x ）＝lg （3x −1）， 可得f （x ）在[1，2]递减，可得f （1）取得最大值lg 2；f （2）取得最小值﹣lg 2，则f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值的差为lg4．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查方程思想和解不等式的能力，属于中档题．。
2017-2018学年下学期高一期末考试试卷 数学
2017-2018学年下学期高一期末考试试卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案．．．．写在答题卷上．．．．．．．1．设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B = （）A ．∅B ．{2}C ．{2,2}-D ．{2,1,2,3}-2．=0750cos （）A．32B ．12C ．32-D ．12-3．已知函数lg ,0()12,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，则((2))f f -=（）A ．3-B ．0C ．1D ．1-4．设单位向量22(,sin )3α=a ，则cos 2α的值为（）A ．79B ．12-C ．79-D ．325．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1tan 7α=，1tan 3β=，则2αβ+=（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π6．设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是（）A ．,,m m n αβαβ⊥⊂⊥⇒⊥nB ．,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥IC ．,,//m n m nαβαβ⊥⊥⇒⊥D ．//,,//m n m nαβαβ⊥⇒⊥7．已知||2a = ，(2)a b a -⊥ ，则b 在a方向上的投影为（）A ．4-B ．2-C ．2D ．48．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，62c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b c a <<D ．b a c<<9．已知正实数n m ,满足222=+++n m n m ，则mn 的最大值为（）A ．236-B ．2C ．246-D ．310．对于非零向量c b a ,,，下列命题正确的是（）A ．若),(02121R b a ∈=+λλλλ，则021==λλB ．若b a //，则a 在b 上的投影为||a C ．若b a ⊥，则⋅a 2)(b a b ⋅=D ．若c b c a ⋅=⋅，则=a b 11．在△ABC 中，，P 是BN 上的一点，若，则实数m 的值为（）A ．3B ．1C ．D ．12．已知．若恒成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．13．23(log 9)(log 4)⋅=．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号14．若变量,x y 满足约束条件010210x y y x x -≤⎧⎪≤-⎨⎪-≥⎩，则2z x y =-的最小值为．15．过长方体的一个顶点的三条棱长分别是1、2、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，BC 边上的高与BC 边长相等，则bca b c c b 2++的最大值是．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知(,)2παπ∈，且4sin 5α=．（1）求tan()4πα-的值；（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（12分）已知向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，413||13a b -= ．（1）求cos()αβ-的值；（2）若02πα<<，02πβ-<<，且4sin 5β=-，求sin α的值．19．（12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且28,373==S a ，在等比数列}{n b 中，8,443==b b ．（1）求n a 及n b ；（2）设数列}{n n b a 的前n 项和为n T ，求n T ．20．（12分）已知函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图像与直线2y =两相邻交点之间的距离为π，且图像关于3x π=对称．（1）求()y f x =的解析式；（2）先将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象．求()g x 的单调递增区间以及()3g x ≥的x 取值范围．21．（12分）如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，,3,15,33BE AD BC AD BE ⊥===．把ABE ∆沿BE 折起，使得62AC =，得到四棱锥A BCDE -．如图2所示．（1）求证：面ACE ⊥面ABD ；（2）求平面ABE 与平面ACD所成锐二面角的余弦值．22．（12分）已知函数4()lg4xf x x-=+，其中(4,4)x ∈-．（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在(4,4)-上的单调性；（3）是否存在这样的负实数k ，使22(cos )(cos )0f k f k θθ-+-≥对一切R θ∈恒成立，若存在，试求出k 取值的集合；若不存在，说明理由．2017-2018学年下学期高一期末考试试卷数学答案一、选择题．1-5：BACAB6-10：DDBCC11-12：CD二、填空题．13．414．6-15．π1016．22三、解答题．17．解：（1）∵(,)2παπ∈，4sin 5α=，∴3cos 5α=-，则4tan 3α=-，∴41tan 13tan()7441tan 13πααα----===+-．（2）由222sin 2cos 2sin cos cos 1cos 22cos 11ααααααα--=+-+2sin cos 2cos ααα-=，2tan 11126α-==-．18．解：（1）由已知得()a 1,cos b a b αβ==⋅=-，又41313a b -= ，2216213a ab b ∴-⋅+= ，()135cos =-∴βα．（2）由πβαβππα<-<∴<<-<<002,20，又()54cos ,sin 135αββ-==-，()123sin ,cos 135αββ∴-==，()[]651654135531312sin sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=+-=∴ββαα．19．解：（1）设}{n a 的公差为d ，则由题有12821732111==⇒⎩⎨⎧=+=+d a d a d a ，∴n a n =．∵在等比数列}{n b 中，8,443==b b ，∴}{n b 的公比为234==b b q ，∴1332--==n n n q b b ，即12-=n n b ．（2）由（1）知n a n =，12-=n n b ，∴12-⋅=n n n n b a ．∴132********-⨯++⨯+⨯+⨯+=n n n T ，n n n n n T 22)1(2322212132⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ，∴12)1(12122)2221(212+⋅-=---⨯=++++-⨯=-n n nn n n n n n T ，即12)1(+⋅-=n n n T ．20．解：（1）由已知可得T π=,2ππω=，∴2ω=，又()f x 的图象关于3x π=对称，∴232k ππϕπ⋅+=+，∴6k πϕπ=-，k Z ∈，∵22ππϕ-<<，∴6πϕ=-，所以()2sin(2)6f x x π=-．（2）由（1）可得()2sin(2)6f x x π=-，∴()2sin()6g x x π=+，由22262k x k πππππ-≤+≤+得，22233k x k ππππ-≤≤+，()g x 的单调递增区间为2[2,2]33k k ππππ-+，k Z ∈．∵2sin()36x π+≥，∴3sin()62x π+≥，∴222363k x k πππππ+≤+≤+，∴22,62x k x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．21．解：（1）证明：在等腰梯形ABCD 中3,15,BC AD BE AD ==⊥，可知6,9AE DE ==．因为3,33,BC BE BE AD ==⊥，可得6CE =．又因为6,62AE AC ==，即222AC CE AE =+，则AE EC ⊥．又,BE AE BE EC E ⊥⋂=，可得面BCDE ，故AE BD ⊥．又因为9tan 333DE DBE BE ∠===，则060DBE ∠=，33tan 333BC BEC BE ∠===，则030BEC ∠=，所以CE BD ⊥，又AE EC E ⋂=，所以BD ⊥面ACE ，又BD ⊂面ABD ，所以面ABD ⊥面ACE ．（2）设EC BD O = ，过点O 作//OF AE 交AC 于点F，以点O 为原点，以,,OB OC OF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O BCF -．在BCE ∆中，∵030BEO ∠=，BO EO ⊥，∴9333,,222EO CO BO ===，则2339,0,0,0,,0,0,,0222B C E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵1//,,62FO AE FO AE AE ==，∴3FO =，则()90,0,3,0,,62F A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵//,9DE BC DE =，∴3ED BC = ，∴93,0,02D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴()()339933,,0,0,0,6,0,6,6,,,02222BE AE CA CD ⎛⎫⎛⎫===-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面ABE 的法向量为()1111,,n x y z = ，由11·0{·0n AE n BE == ，得11160{339022z x y =+=，取13x =，可得平面ABE 的法向量为()13,1,0n =-，设平面ACD 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由22·0{·0n CA n CD == ，得1111660{933022y z x y -+=--=，取11x =，可得平面ABE 的一个法向量为()21,33,33n =--．设平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角为θ，则1212·432165cos 55255n n n n θ=== ，所以平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值为216555．22．解：（1）∵44()lglg ()44x xf x f x x x+--==-=--+，∴()f x 是奇函数．（2）()f x 在(4,4)-上为减函数．证明：任取12,(4,4)x x ∈-且12x x <，则12121244()()lglg 44x x f x f x x x ---=-++121244lg 44x x x x -+=⨯+-21121212164()lg 164()x x x x x x x x +--=+--，∵2112164()x x x x +--2112164()0x x x x >--->，∴21121212164()1164()x x x x x x x x +-->+--，得12()()0f x f x ->，得到12()()f x f x >，∴()f x 在(4,4)-上为减函数．（3）∵22(cos )(cos )f k f k θθ-≥--22(cos )f k θ=-，∵()f x 在(4,4)-上为减函数，∴222204cos 44cos 4cos cos k k k k k θθθθ<⎧⎪-<-<⎪⎨-<-<⎪⎪-≤-⎩对R θ∈恒成立，由22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立得22cos cos k k θθ-≤-对R θ∈恒成立，令2211cos cos (cos )42y θθθ=-=--，∵cos [1,1]θ∈-，∴1[2,]4y ∈-，∴22k k -≤-，得1k ≤-，由4cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：33k -<<，由224cos 4k θ-<-<对R θ∈恒成立得：22k -<<，即综上所得：21k -<≤-，所以存在这样的k ，其范围为21k -<≤-．。
上海中学2017-2018学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析.pdf
2017-2018学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．arcsin （﹣）+arccos （﹣）+arctan （﹣）=．2．=．3．若数列{a n }为等差数列．且满足a 2+a 4+a 7+a 11=44，则a 3+a 5+a 10=．4．设数列{a n }满足：a 1=，a n +1=（n ≥1），则a 2016=．5．已知数列{a n }满足：a n =n ?3n （n ∈N *），则此数列前n 项和为S n =．6．已知数列{a n }满足：a 1=3，a n +1=9?（n ≥1），则a n =．7．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若=，则=．8．等比数列{a n }，a 1=3﹣5，前8项的几何平均为9，则a 3=．9．定义在R 上的函数f （x ）=，S n =f （）+f （）+…+f （），n=2，3，…，则S n =．10．设x 1，x 2是方程x 2﹣xsin +cos =0的两个根，则arctanx 1+arctanx 2的值为．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n =，则S 2016=．12．设正数数列{a n }的前n 项和为b n ，数列{b n }的前n 项之积为c n ，且b n +c n =1，则数列{}的前n 项和S n 中大于2016的最小项为第项．二、选择题.13．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）?…？（n+n ）=2n ?1?3?…？（2n ﹣1）”，当“n 从k 到k+1”左端需增乘的代数式为（）A ．2k +1B ．2（2k +1）C ．D ．14．一个三角形的三边成等比数列，则公比q 的范围是（）A ．q ＞B ．q ＜C ．＜q ＜D ．q ＜或q ＞15．等差数列{a n }中，a 5＜0，且a 6＞0，且a 6＞|a 5|，S n 是其前n 项和，则下列判断正确的是（）A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6，…均大于0 B ．S 1，S 2，…，S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11，…均大于0D ．S 1，S 2，…，S 11均小于0，S 12，S 13，…均大于0 16．若数列{a n }的通项公式是a n =，n=1，2，…，则（a 1+a 2+…+a n ）等于（）A ．B ．C ．D ．17．已知=1，那么（sin θ+2）2（cos θ+1）的值为（）A ．9 B ．8 C ．12 D ．不确定18．已知f （n ）=（2n +7）?3n +9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f （n ），则最大的m 的值为（）A ．30B ．26C ．36D ．6 三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n ﹣1）2+n 2+（n ﹣1）2+…+32+22+12=n （2n 2+1）20．已知数列{a n }满足a 1=1，其前n 项和是S n 对任意正整数n ，S n =n 2a n ，求此数列的通项公式．21．已知方程cos2x+sin2x=k +1．（1）k 为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．22．设数列{a n }满足a 1=2，a 2=6，a n +2=2a n +1﹣a n +2（n ∈N*）．（1）证明：数列{a n +1﹣a n }是等差数列；（2）求： ++…+．23．数列{a n }，{b n }满足，且a 1=2，b 1=4．（1）证明：{a n +1﹣2a n }为等比数列；（2）求{a n }，{b n }的通项．24．已知数列{a n }是等比数列，且a 2=4，a 5=32，数列{b n }满足：对于任意n ∈N*，有a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）?2n +1+2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{d n }满足：d 1=6，d n ?d n +1=6a?（﹣）（a ＞0），设T n =d 1d 2d 3…d n （n ∈N*），当且仅当n=8时，T n 取得最大值，求a 的取值范围．2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=．【考点】反三角函数的运用．【分析】利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值．【解答】解：arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）=﹣arcsin（）+π﹣arccos﹣arctan=﹣+（π﹣）﹣=，故答案为：．2．=5．【考点】数列的极限．【分析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】解：====5．故答案为：5．3．若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11=44，则a3+a5+a10=33．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4+a7+a11=44=4a1+20d，∴a1+5d=11．则a3+a5+a10=3a1+15d=3（a1+5d）=33．故答案为：33．4．设数列{a n}满足：a1=，a n+1=（n≥1），则a2016=2．【考点】数列递推式．【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．【解答】解：依题意，a2===3，a3===﹣2，a4===，a5===2，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2016=504×4，∴a2016=a4=2，故答案为：2．5．已知数列{a n}满足：a n=n?3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n=?3n+1+．【考点】数列的求和．【分析】利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=n?3n，则此数列的前n项和S n=3+2×32+3×33+…+n?3n，∴3S n=32+2×33+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1，∴﹣2S n=3+32+33+…+3n﹣n?3n+1=﹣n?3n+1=（﹣n）3n+1﹣，∴S n=?3n+1+．故答案为：?3n+1+．6．已知数列{a n}满足：a1=3，a n+1=9?（n≥1），则a n=27．【考点】数列的极限．【分析】把已知数列递推式两边取常用对数，然后构造等比数列，求出数列{a n}的通项公式，则极限可求．【解答】解：由a n+1=9?（n≥1），得，。
2017-2018年上海市宝山区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市宝山区高一（下）期末数学试卷一、填空题(本大题满分35分，第1-5题每个空格填对得3分，第6-10题每个空格填对得4分)1．（3分）与2018°终边相同的最小正角是．2．（3分）若6是﹣2和k的等比中项，则k＝．3．（3分）已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则扇形的弧长为．4．（3分）适合条件|sinα|＝﹣sinα的角α的取值范围是．5．（3分）设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝．6．（4分）已知角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，则sin2α＝．7．（4分）等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，a k+a4＝0，则k＝．8．（4分）等比数列{a n}前n项和为S n，若＝4，则＝．9．（4分）设x＝cosα，且，则arcsin x的取值范围是．10．（4分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）＝．二、选择题(本大题共4题，满分12分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上11．（3分）下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同12．（3分）设secα＝﹣6，α∈（0，π），则α的值可表示为（）A．π﹣arccos B．π+arccos C．arccos D．﹣arccos 13．（3分）数列1，﹣，，﹣，……的一个通项公式为（）A．（﹣1）n+1•B．C．（﹣1）n+1D．14．（3分）在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝，则△ABC的面积为（）A．B．16C．或16D．或三、解答题(本大题共有5题,满分39分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.15．（8分）已知f（α）＝cotα+cscα，若角α的终边经过点P（﹣4，3），求f（α）的值．16．（9分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3＝﹣6，S6＝﹣30．（1）求{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}满足b1＝8，b2＝a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．18．（12分）已知函数．（Ⅰ）用五点法作图作出f（x）在x∈[0，π]的图象；（2）求f（x）在x∈[，]的最大值和最小值；（3）若不等式f（x）﹣m＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年上海市宝山区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题满分35分，第1-5题每个空格填对得3分，第6-10题每个空格填对得4分)1．（3分）与2018°终边相同的最小正角是218°．【解答】解：∵2018°＝360°×5+218°，∴与2018°终边相同的最小正角是218°．故答案为：218°．2．（3分）若6是﹣2和k的等比中项，则k＝﹣18．【解答】解：6是﹣2和k的等比中项，则﹣2k＝62，解得k＝﹣18，故答案为：﹣18．3．（3分）已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则扇形的弧长为4π．【解答】解：圆心角对应的弧度数为，则扇形的弧长l＝αr＝×6＝4π，故答案为：4π4．（3分）适合条件|sinα|＝﹣sinα的角α的取值范围是[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z．【解答】解：∵|sinα|＝﹣sinα，∴﹣sinα≥0，∴sinα≤0，由正弦曲线可以得到α∈[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z，故答案为：[2kπ﹣π，2kπ]，k∈Z5．（3分）设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝．【解答】解：∵q＝2，∴＝＝＝＝．故答案为：．6．（4分）已知角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，则sin2α＝．【解答】解：∵角α的终边上一点P落在直线y＝2x上，∴tanα＝2，∴sin2α＝＝＝＝，故答案为：．7．（4分）等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，a k+a4＝0，则k＝10．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和∴9+36d＝4+6d∴d＝又∵a k+a4＝0∴1+（k﹣1）d+1+3d＝0∴k＝10故答案为：108．（4分）等比数列{a n}前n项和为S n，若＝4，则＝．【解答】解：∵等比数列{a n}前n项和为S n，＝4，∴＝1+q3＝4，∴q3＝3，∴＝＝＝＝．故答案为：．9．（4分）设x＝cosα，且，则arcsin x的取值范围是．【解答】解：∵x＝cosα，，∴﹣≤cosα≤1，即﹣≤x≤1．由反正弦函数的定义可得﹣≤arcsin x≤，即arcsin x的取值范围为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．10．（4分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）＝2+．【解答】解：由函数的图象可得A＝2，×＝6﹣2，ω＝．再根据五点法作图可得2×+φ＝，∴φ＝0，∴函数f（x）＝2sin x，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）＝252×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f （6）+f（7）+f（8）]+f（1）+f（2）＝f（1）+f（2）＝2sin+2sin＝2+，故答案为：2+．二、选择题(本大题共4题，满分12分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上11．（3分）下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同【解答】解：A、如角3900与300的终边相同，都是第一象限角，而3900不是锐角，故A 不对；B、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B不对；C、因为角的始边放在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C正确；D、如角3900和300不相等，但是它们的终边相同，故D不对．故选：C．12．（3分）设secα＝﹣6，α∈（0，π），则α的值可表示为（）A．π﹣arccos B．π+arccos C．arccos D．﹣arccos【解答】解：secα＝﹣6，α∈（0，π），则：cosα＝﹣，所以：cos（π﹣α）＝，则：．故选：A．13．（3分）数列1，﹣，，﹣，……的一个通项公式为（）A．（﹣1）n+1•B．C．（﹣1）n+1D．【解答】解：数列；可以化为，﹣，，﹣，…；∴该数列的一个通项公式为a n＝（﹣1）n+1•．故选：A．14．（3分）在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝，则△ABC的面积为（）A．B．16C．或16D．或【解答】解：∵在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝，由余弦定理cos A＝得：cos30°＝＝解得：c＝16或c＝8又∵S△ABC＝•bc•sin A∴S△ABC＝32，或S△ABC＝16故选：D．三、解答题(本大题共有5题,满分39分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.15．（8分）已知f（α）＝cotα+cscα，若角α的终边经过点P（﹣4，3），求f（α）的值．【解答】解：若角α的终边经过点P（﹣4，3），则x＝﹣4，y＝3，r＝|OP|＝5，则f（α）＝cotα+cscα＝+＝﹣+＝﹣+＝．16．（9分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．【解答】解：（1）依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α．（2分）在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC（4分）＝122+202﹣2×12×20×cos120°＝784．解得BC＝28．（6分）所以渔船甲的速度为海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（7分）（2）方法1：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得．（9分）即．答：sinα的值为．（12分）方法2：在△ABC中，因为AB＝12，AC＝20，BC＝28，∠BCA＝α，由余弦定理，得．（9分）即．因为α为锐角，所以＝．答：sinα的值为．（12分）17．（10分）已知{a n}为等差数列，且a3＝﹣6，S6＝﹣30．（1）求{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}满足b1＝8，b2＝a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，设公差为d，由已知可得，解得a1＝﹣10，d＝2．∴a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣12；（2）由b1＝8，b2＝a1+a2+a3＝﹣10﹣8﹣6＝﹣24，∴等比数列{b n}的公比q＝，∴{b n}的前n项和公式＝2﹣2•（﹣3）n．18．（12分）已知函数．（Ⅰ）用五点法作图作出f（x）在x∈[0，π]的图象；（2）求f（x）在x∈[，]的最大值和最小值；（3）若不等式f（x）﹣m＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）列表如下：﹣﹣﹣对应的图象如下：（2）∵f（x）＝1+2sin（2x﹣），又∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，即2≤1+2sin（2x﹣）≤3，∴f（x）max＝3，f（x）min＝2．（3）由题意可得：f（x）＜m+2在x∈[，]上恒成立，∴m+2＞3，解得：m＞1，∴m的范围是（1，+∞）．第11页（共11页）。
上海市黄浦区重点名校2017-2018学年高一下学期期末质量检测化学试题含解析
上海市黄浦区重点名校2017-2018学年高一下学期期末质量检测化学试题一、单选题（本题包括20个小题，每小题3分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．反应A+3B==2C+4D（A、B、C、D均为气态），在四种不同情况下的反应速率最快的是A．v(A)=0.1mol/(L·s)B．v(B) =0.6mol/(L·s)C．v(C) =0.6mol/(L·s)D．v(D) =0.8mol/(L·s)【答案】C【解析】分析：不同物质表示的速率之比等于其化学计量数之比，故反应速率与其化学计量数的比值越大，反应速率越快，注意单位要一致。
详解：不同物质表示的速率之比等于其化学计量数之比，故反应速率与其化学计量数的比值越大，反应速率越快，A.=0.1mol/L•s）；B.=0.2 mol/L•s）；C.=0.3 mol/L•s）；D．=0.2mol/L•s）；故反应速率V C＞V B=V D＞V A，答案选C。
点睛：本题考查反应速率的比较，注意利用比值法可快速解答，要注意单位应一致，也可以利用归一法解答比较，难度不大。
2．分子式为C3H8O且可与金属钠反应放出氢气的有机化合物有( )A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】B【解析】【详解】分子式为C3H8O且可与金属钠反应放出氢气的有机化合物是醇类，可以是1－丙醇，结构简式为CH3CH2CH2OH，或2－丙醇，结构简式为CH3CHOHCH3，共计是2种。
答案选B。
3．某溶液X中仅可能含有K+、Na+、Fe2+、Fe3+、SO42-、CO32-、I-、Cl-中的一种或多种，且溶液中各离子浓度相同。
现进行下列实验，下列说法正确的是（）A．该溶液X中Na+、Cl-一定有B．溶液Y中加入氯化钡溶液没有沉淀C．该溶液可能是硫酸亚铁、碘化钾和氯化钠溶于水后得到的D．原溶液X中滴加几滴KSCN溶液后，再滴加少量的次氯酸钠溶液后溶液呈血红色【答案】C【解析】【分析】由实验流程可知，过量氯水反应后的溶液，加入CCl4萃取后下层的紫红色，说明原溶液中含有I-，则能够氧化I-的Fe3+不能同时存在于溶液中。