金融衍生工具 期权定价

无风险利率 1无风险利率提升时，投资者要求的投资收益更高，现货价 格如何变化？ 现货价格变小，这使看涨期权价值下降，使看跌期权价值上 升 2无风险利率越高，收到的将来现金流贴现值也越低 协议价的折现值变小，这使看涨期权价值上升，使看跌期权 价值下降 3两种因素综合，得出无风险利率与期权价格的关系 一般情况下，贴现效应大于预期收益效应 当无风险利率上升时，看涨期权价格上升，而看跌期权价格 下降
期权价值PVt取决于以下两个方面
PV=内在价值IV+时间价值TV 内在价值IV(只有实值期权的内在价值大于零) 在履行期权合约时可获得的总利润，当处于虚值为0 对于看涨期权，IV=Max(0,St-K) 对于看跌期权，IV=Max(0,K-St) 严格地讲，应该把收益折现到目前时刻t 时间价值TV 为期权合约剩余有效期可能带来的期权增值而付的 期权费，其与剩余有效期成正比，与未来价格波动 成正比
哪些因素会影响期权价格呢？
除期权的供求关系外，影响期权内在价值及时间价 值的因素 影响期权价格的因素 影响持有者现在的收益及未来可能增值水平的所有 因素 标的资产市场价格St、执行价格K、资产收益（分派 股息） 标的资产未来价格波动率、剩余有效期（T-t）、无 风险利率r
期权内在价值： 对于看涨期权，IV=Max(0,St-K) 对于看跌期权，IV=Max(0,K-St) 现货价格 对于看涨期权来说，现货价格越高，到期时盈利的 可能数额也就越高，因而期权价格就越高。 对于看跌期权来说，现货价格越高，到期时盈利的 可能数额也就越低，因而期权价格越低。 执行价格 对于看涨期权来说，施权价越高，到期时的盈利空 间越低，从而期权价格越低。 对于看跌期权来说，施权价越高，到期时的盈利空 间越高，从而期权价格越高。
看涨期权多头可以花S持有股票到期，也可 以用c（C）购买看涨期权，如果期权费高 于S，直接持有股票到期最经济，因此 只有c≤S, ( C ≤S) 才能吸引期权购买者 如何理解上限S 近似理解为多头（需求方）的最大效用 当 c>S，( C >S) 如何套利呢

卖出一个看涨期权，收入c（C），买入 一个现货，支出S 到时至少还收获K

标的资产将支付股息将使资产价格如 何变化？ 资产价格将下降 资产价格下降怎样影响期权的价格呢? 对于看涨期权来说，期权获利能力变弱 ，期权价格降低。 对于看跌期权来说，期权获利能力变强 ，期权价格提升。

标的资产未来价格波动率 期权的特点在于以较低的价格规避了不利风险，同 时保留了有利风险。 不管是对于哪一种期权来说，价格波动性越剧烈， 盈利的可能性就越高，期权价格也越高。 剩余有效期（T-t） 对于欧式期权来说，由于施行期权的时点是唯一， 因此期限越长对期权的拥有者来说不一定越好。 比如在T1之后（<T2)看涨期权标的物资产价格明显 下降） 对于美式期权来说，在到期之间随时可以执行期权 ，因此期限越长意味着选择越多，对期权的拥有 者越有利。
复合证券（持有期间无股息时）
无套利时的平价关系
c + Ke-r(T-t) =p +S 平价关系的变形 c=p +S-Ke-r(T-t) p=c + Ke-r(T-t)-S S=c + Ke-r(T-t)-p Ke-r(T-t) =p +S-c S-c = Ke-r(T-t)-p...... 平价关系应用一（如c=p +S-Ke-r(T-t)） 间接计算期权、标现货及无风险证券的合理价格（成本） 平价关系应用二：分解组合从而复制（如S-c = Ke-r(T-t)-p） 等式右边表示（存入Ke-r(T-t)，做空看跌期权）组合的成本 等式左边表示（做多现货，做空看涨期权） 组合的成本 可以证明二者的到期时损益一样

两个资产组合（锁定未来卖出一个股票的价格） 组合C:一个欧式看跌期权多头+买入期权对应的股票 组合D:期权到期时有K收入的零息债券 到期时 组合C的价值Max(St K)>=组合D的价值K 无套利情况下，组合A的成本>组合B的成本 p +S >=Ke-r(T-t), p > =Ke-r(T-t)-S 如何理解下限max(Ke-r(T-t)-S,0) 近似看成看跌期权空头的提供期权产品的净成本 美式看跌期权的下限max(K-S,0) P>p>Ke-r(T-t)-S,P>K-S,K-S>Ke-r(T-t)-S
商品价格的上限是多少？ 消费者愿意接受的最高价 为其带来的最大效用，或购买其它商品 的成本 商品价格的下限是多少？ 生产者愿意接受的最低价 生产商品的所有成本

看涨期权多头的最大利润/看涨期权空头的最大损失
MAX(ST-Ke-r(T-t) ,0) 看涨期权的上下限 上限：S （S） 下限：S-Ke-r(T-t) （MAX(S-Ke-r(T-t) ,S-K)） 看跌期权多头的最大利润/看涨期权空头的最大损失 MAX(Ke-r(T-t) -ST,0) 看跌期权的上下限 上限：Ke-r(T-t) （K） 下限：Ke-r(T-t) -S（MAX(Ke-r(T-t) -S,K-S）
看跌期权的价值 ＝PV（施权价）－PV（股票价格） p ≤Ke-r(T-t) ,(P ≤K) 如何理解上限Ke-r(T-t) （K） 近似理解为多头（需求方）的最大效用 当 p >Ke-r(T-t)，(P>K)如何套利呢 卖出一个看跌期权，收入p（P） 到时最多支出K

在无套利情况下，两个投资组合的收益与成本应该保持一 致。 收益高的组合，理应成本高 成本高的组合，理应收益高 成本相等，理应收益相等 收益相等，理应成本相等 否则，以上均存在套利空间 套利策略：借入效率低的组合后卖掉，买入效率高的组合获 得收益后，还借入的低效率组合 或直接卖掉已拥有的效率低的组合，买入效率高的组合

因素
欧式 欧式 看涨 看跌 期权 期权
美式 看涨 期权 ＋ － ＋ ＋ ＋
美式看跌期 权
现货价格 施权价 期限 价格波动性 无风险利率
＋ － ？ + +
－ ＋ ？ ＋ －
－ ＋ ＋ ＋ －
预期派发股息
－
＋
－
＋


欧式与美式看涨期权上限 欧式与美式看跌期权上限 套利原则（成本与无风险收益成正比） 欧式与美式看涨期权下限 欧式与美式看跌期权下限
期权定价
Fundamentals of Futures and Options Markets, 7th Ed, Ch 1, Copyright © John C. Hull 2010
1


假设 不存在交易成本。 所有交易盈利都适用同一税率。 投资者进行无风险借贷或者投资的利率是一样的。 符号 St: 当期t股票价格 K：施权价格 T：期权到期的时点 t：当期时点 ST：时点T的股票价格 r：无风险利率 σ：股票收益率波动的标准差 c,C：欧式及美式看涨期权价格 p,P：欧式及美式看跌期权价格 D: 期权期限内股息在t 时的贴现值
欧式美式看跌期权下限：套利例 子

Fra Baidu bibliotek
假设股票A现价20元，某欧式看跌期权施权价为24元， 离到期还有一年时间，无风险利率为10%，问该看跌期 权的最低价格是多少？假如该期权目前报价1.00元，你 将如何操作进行套利？？ 该看涨期权的价值下限为Ke-r(T-t) － S＝24e-0.1－20＝1.71 报价低于价值下限，即p <Ke-r(T-t)-S p+S< Ke-r(T-t)， (p+S)er(T-t)< K 思路 借入p+S（21），购买股票和看跌期权，期权到期时卖出股 票收益至少为K（24），只需还(p+S)er(T-t)。 若美式看跌期权的市场价p< 其下限K-S时，如何套利？ 思路 借入p+S（21），购买股票和看跌期权，马上卖出至少获利 K24


同前例子一
——美式期权(没有股息
时)
可以证明 S-K< C－P < S－Ke-r(T-t)

期权定价
思路 利用期权与现货构造一个未来收益为常数的无风险 投资组合，在无套利的情况下，该投资组合的收 益率为市场无风险收益率。 如何说明投资组合未来收益函数（sT，T）为常数

（二叉树）未来收益为离散函数：各情况下收益相等 （B-S）未来收益为连续函数：收益关于sT的偏导为0
假设股票A现价20元，某欧式看涨期权施权价为18元， 离到期还有一年时间（期间无股息），无风险利率为 10%，问该看涨期权的最低价格是多少？假如该期权目 前报价3.00元，你将如何操作进行套利？ 该看涨期权的价值下限为S－Ke-r(T-t)＝20－18e-0.1×1＝ 3.71 报价低于价值下限，即c <S - Ke-r(T-t) c + Ke-r(T-t) <S, (S-c)er(T-t)> K 思路 借入股票后卖掉，获得S(20)元，买入看涨期权，支出 c(3)元，并将S-c（17）元按无风险利率借贷出去，收益 大于到期时股票最高购买价K. 若对于美式看涨期权，当c + K <S，如何套利呢？ 借入股票卖掉，同时买入美式看涨期权，马上以最多K购入
欧式与美式期权定价 先讲且主要讲欧式期权 现货期权与期货期权定价 先讲且主要讲现货期权




未来收益为常数的证券组合收益率 欧式期权二叉树定价（N=2） 对风险中性世界相关概念的理解和应用 多步欧式期权二叉树定价（N>2） 相关参数的求解 其它标的物期权定价 美式期权二叉树定价定价

法1卖出看涨期权收获c，再借入 Ke-r(T-t），用p+S买入看跌期 权和股票， 到期时支出与收益相同。 法2卖掉股票和看跌期权，购买看涨期权，余下的钱购买无 风险证券，到期最多花K买入股票归还
某股票现价为20元，施权价为20元，离到期尚有 一年的欧式看涨和看跌期权价格分别为2.00元和 1.00元，无风险利率为10%，问以上数据是否符合 期权平价公式，如果不是，你将如何进行套利？ 组合A成本c + Ke-r(T-t）+D =2.00＋20e-0.1＝20.10 组合B成本p +S=20＋1.00＝21.00，组合A成本小于 组合B -r(T-t）<p +S ， ( p+S-c)er(T-t）>K 套利策略：c + Ke

两个资产组合（锁定未来拥有一个股票的价格） 组合A:一个欧式看涨期权多头+期权到期时 K收入的零息债券多头 组合B:买入欧式看涨期权对应的股票 到期时 组合A的价值Max(St K)>=组合B的价值St,无套利情况下，组合 A的成本>组合B的成本 c + Ke-r(T-t) >=S，从而， c > =S-Ke-r(T-t) 怎么理解下限max(S-Ke-r(T-t) ,0) 近似看成看涨期权空头的提供期权产品的净成本 美式看涨期权的下限 max(S-Ke-r(T-t) ,0) C>c>S-Ke-r(T-t) ,C>S-K,S-Ke-r(T-t)>S-K
两个资产组合
组合A:一个欧式看涨期权多头+期权到期时 K收入的零息债券多头 组合C:一个欧式看跌期权多头+买入期权对应的股票 到期时 如果ST>K，则组合A和组合B的价值均为ST 如果ST≤K，则组合A和组合B的价值均为K 无套利情况下，组合A的成本=组合c的成本 c + Ke-r(T-t) =p +S 如果股票在持有期有股息现值I 组合A中的零息债券变为到期时有（K+Ier(T-t)）收入 c + Ke-r(T-t)+I =p +S
（移项相当于在基础公式两边加减同样的成本，也相当于在策略A与B的 基础上增加同一个投资品，最终的收益当然一样）
某股票现价为20元，施权价为21元，离到期尚有 一年的欧式看涨和看跌期权价格分别为3.00元和 1.00元，无风险利率为10%，问以上数据是否符合 期权平价公式，如果不是，你将如何进行套利？ 组合A成本c + Ke-r(T-t）=3.00＋20e-0.1＝21.10 组合B成本p +S=1+20＝21，组合A成本大于组合B 套利策略c + Ke-r(T-t）>p +S ， ( p+S-c)er(T-t）<K ,大收小支