金融工程-第11章-期权定价的BS公式
bs定价公式 excel
bs定价公式 excel【实用版】目录1.引言：介绍 BS 定价公式及其在金融领域的重要性2.BS 定价公式的原理和计算方法3.BS 定价公式在 Excel 中的应用4.结论：总结 BS 定价公式在金融领域的作用和意义正文1.引言在金融领域，BS 定价公式（Black-Scholes-Merton 定价公式）是一种广泛应用的衍生品定价方法，尤其在股票期权、债券期权等金融产品的定价中具有重要作用。
该公式是由 Fisher Black、Myron Scholes 和Robert Merton 三位金融学家于 1973 年首次提出，它是基于无风险利率、标的资产价格、行权价格、剩余到期时间以及波动率这五个因素来计算期权价格的。
2.BS 定价公式的原理和计算方法BS 定价公式的原理是，将期权的内在价值和时间价值分开计算，然后相加得到期权的总价格。
其中，内在价值是指期权立即行权所获得的收益，而时间价值是指期权持有者因等待行权而获得的收益。
BS 定价公式的计算方法分为以下几个步骤：a.计算标的资产价格的对数收益率b.计算波动率c.根据期权类型（看涨期权或看跌期权）和行权价格，确定期权的内在价值d.计算期权的时间价值e.将内在价值和时间价值相加，得到期权的总价格3.BS 定价公式在 Excel 中的应用在 Excel 中，可以通过内置的函数（如 NORM.INV、LOG、SQRT 等）来计算 BS 定价公式所需的各个参数，从而得到期权的价格。
下面是一个简单的示例：a.输入标的资产价格、行权价格、无风险利率、剩余到期时间和波动率等参数b.使用 NORM.INV 函数计算对数收益率c.使用 LOG 函数计算对数收益率的平方d.使用 SQRT 函数计算波动率的平方根e.根据期权类型和行权价格，计算内在价值f.计算时间价值，并将其与内在价值相加，得到期权价格4.结论BS 定价公式在金融领域具有重要的作用和意义，它为投资者提供了一种有效的衍生品定价方法。
B-S期权定价公式的简单推导
t),
T t]
（4.19）
对式（6.19）求解：
c SN (d1) Xer (T t ) N (d2 )
（4.20）
详见Hull(8) P232
其中
d1
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
则：
S St Sz （4.11）
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
df
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
f S
Sdz
（4.12）
f
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
Nt
T
t
，标
当△t0时，我们就可以得到极限的标准布朗
运动：
dz dt
（4.3）
2,普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
若令漂移率为a,方差率为b2，就可得到变 量x的普通布朗运动：
dx adt bdz
（4.4）
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
（4.16）
在没有套利机会的条件下：
rt
把式（4.14）和（4.16）代入上式得：
期权定价的连续模型及BS公式
2020/10/8
可以在c 和k 之间建立一个关系式，使得 cWk 的方差
等于 2T
即令： Var(cWk ) c2Var(Wk ) c2k 2T
于是式（5-6）
ST S0eT eWT e 2T / 2
其中 WT ~ N (0,T )
20120/10/8
对数正态模型（为什么？）
为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。
对 S1 进行重新定义：
S1 e e t cZ1c2 / 2S0
为什么？
210220/10/8
随机变量Z 的一个重要等式
c2
E ecZ e 2
（5-5）
于是
E exp(cZ c2 / 2) 1
E S1 et S0
第二个因素表示的随机变量的漂移率为零
20520/10/8
特别注意：
ln
St S0
Bt
2
2
t
Bt
2
2
t
~
N
2
2
t,
2t
目的：对期权进行定价
20620/10/8
几何布朗运动参数估计：
波动率 漂移率
思路：用样本均值和方差来代替总体的均值和方差
若已知在一段较长时间[0,T]内的股价数据 ，这段时间由n个
长度相等的子区间 t 所构成，如果已知第 i(i 0,1, , n) 个
3月21日 5.27 5.22 5.29 5.26 5.27 5.27 5.27 5.26
3月22日 5.3 5.28 5.31 5.43 5.46 5.46 5.53 5.56
3月23日 5.6 5.68 5.69 5.69 5.67 5.61 5.68 5.68
金融工程学BS公式
14
实际中GBM的参数估计
• 知道期限[0，T]的股价数据记录，将[0，T]分为 长度相等的子区间
• 第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列 U1,U2,…,Un
• 第二步计算U1,U2,…,Un的均值和方差 • 第三步 解方程
U ( 2 )t
2
S 2 2t
有得到审稿意见的情况下遭到拒绝
• 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑 打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文
• 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
2
教学内容
1. 风险中性定价 2. 标的资产的变化过程 3. B-S期权定价公式 4. 波动率的计算 5. 二值期权 6. 标的资产支付红利情况下的期权定价 7. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
其中，
d1 d2
t 1 (ln S0 (r 2 )t)
t X
2
21
定理：Black-Scholes 期权定价公式
c S0 N (d1 ) XerT N (d2 )
p XerT N (d2 ) S0 N (d1)
d1
ln
S0
X
r 2 2
T
T
d2
ln
S0
X
r 2 2
表示基础货币的利率cbot交易的中长期国债期货期权cme交易的欧洲美元期货期权maxfx0其中maxxf0其中表示期权执行时的期货价格41期货期权风险中性下的期望增长率在风险中性条件下支付连续红利的股票的期望增长率为rq其中签订期货合约不需要支付因此期货价格的期望增长率为零如果把期货看作支付连续红利的股票那么该股票的红利率等于无风险利率rtrtrtrt43期货期权black定价模型1976假定期货合约和期权合约同时到期在连续红利的期权定价公式中用期货价格代就得到期货期权的定价公式dffdtfdz44black模型1976标准普尔500股指期货期权期货价格1401到期时间01233无风险利率00543波动率021计算448845模型46希腊字母偏导数rtrtrtrt期权费关于执行价格是减函数事实上48期权风险只用较少的股票来对冲就行事实上rtrtrtrtxeteixtedyyedy则有上式右边52rtrtrtrtrt时间越长期权的价值就越大证明
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
BS期权定价模型课件详解精讲
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
B-S公式小结
证券变化量满足伊藤随机过程——基于该 证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立 起衍生品价格的随机微分方程——构建该 证券与其衍生品的适当组合消除随机过 程，且该组合要满足瞬时无套利，得到 满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和 时间t的偏微分方程。
N (d )
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分 程，它适用于其价格取决于标的证券价 格S的所有衍生证券的定价。
方程的衍生品价格的解为f（s，t）,表示满足此方程的任何解都是满足某种衍生品的不会导致套利机会 的价格；若不满足此方程的衍生品价格f（s，t）也是一种价格，但这样的价格会导致无风险套利机会。
表示这样的对冲组合取得的价值不应该 比无风险利率下的时间价值大或者小。 应该与存放银行取得的收益是一致的， 必须至少获得无风险利率。既然已经不 包含随机过程， 则结果是无风 险确定的， 2 应该不存在 瞬时无风险套利。
（6.16） 将式（6.12）和（6.14）代入式 （6.16），可得： f 1 2 f 2 2 ( S )（ t 6.17） 2 t 2 S 在没有套利机会的条件下： r t
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
二、布朗运动
（一）标准布朗运动 z代表变 设t代表一个小的时间间隔长度， 量z在时间 t 内的变化，遵循标准布朗运 动的 z 具有两种特征： z和 t 的关系满足（6.1）： 特征1： z t （6.1） 其中，代表从标准正态分布（即均值为0、 标准差为1.0的正态分布）中取的一个随 机值。
郑振龙《金融工程》笔记和课后习题详解-布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型【圣才出品】
第十一章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型11.1复习笔记一、布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的基本思路以下对B-S-M模型的整体思路作一个简要的归纳：要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。
通过观察市场中的股票价格可知，股票价格的变化过程是一个随机过程——几何布朗运动，其具体形式如下：（11．1）当股票价格服从式（11．1）时，作为股票衍生产品的期权价格，将服从（11．2）将式（11．1）和（11．2）联立方程组，就可以解出一个期权价格所满足的微分方程，求解这一方程，就得到了期权价格的最终公式。
二、股票价格的变化过程通常用形如的几何布朗运动来描绘股票价格的变化过程，几何布朗运动中最重要的是dz项，它代表影响股票价格变化的随机因素，通常称之为标准布朗运动或维纳过程。
1．标准布朗运动设△￡代表一个小的时间间隔长度，Δz代表变量z在△t时间内的变化，如果变量z遵循标准布朗运动，则Δz具有以下两种特征：特征l：Δz和△t的关系满足（11．3）其中，ε～φ[0，1]。
特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt，Δz的值相互独立。
用z（T）-z（t）表示变量z在T-t中的变化量，它可被看做是在N个长度为△t的小时间间隔中z的变化总量，其中N=（T—t）／Δt，因此，其中εi（i=1，2，…，N）是标准正态分布的随机抽样值。
由此可见：①在任意长度的时间间隔T-t中，遵循标准布朗运动的变量的变化值服从均值为0、标准差为根号下T-t的正态分布；②在任意长度的时间间隔T-t中，方差具有可加性，总是等于时间长度，不受△t如何划分的影响，但标准差就不具有可加性。
当△t→0时，就可以得到极限的或者说连续的标准布朗运动（11．4）下面直接引用维纳过程的一些数学性质来大致解释其在股价建模中应用的原因：首先，维纳过程中用ε即标准正态分布的随机变量来反映变量变化的随机特征。
其次，数学上可以证明，具备特征1和特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过程，这一点与金融学中的弱式效率市场假说不谋而合。
B-S期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
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f f 1 2 f 2 2 f f ( S S ) t Sz 2 S t 2 S S
证券组合： 衍生证券：-1 f 股票：
S
Black-Scholes微分方程
f f S S
f 1 2 f 2 2 ( S )t 2 t 2 S
金融工程 Financial Engineering
金融工程课程组
第11章 股票期权定价的B-S公式
本章导读 股票价格如何变化的假设 预期收益率和波动率及其估计 B-S公式的基本假设及推导 风险中性定价及其应用 隐含波动率和波动率产生的原因 红利的影响
11.1 从离散时间到连续时间
二叉树模型假设未来只发生一次变化，要么上 涨，要么下跌 现实情况：每时每刻都在变动，变动的幅度也 不确定
风险中性定价步骤
应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值
f e
f e
rT
ST K
E ( ST K )
E ( ST ) Ke rT
rT
E ( ST ) SerT
f S Ke rT
应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为
E[max( S T X ,0)]
2
ln ST ln S ~ [(
2
)(T t ), T t ]
期望值
方差
2 2 (T t )
E(ST ) Se
(T t )
var(ST ) S e
[e
2 (T t )
1]
例子
例子
练习
11.2 预期收益率和波动率及其估
计
A、预期收益率
风险中性定价：预期收益率无关
股票价格如何变化的假设
对数正态分布
对数正态分布和正态分布Байду номын сангаас
未来股票价格分布
未来股票价格的期望值和方差
股票价格变化假设：连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性
dS Sdt Sdz 2 d ln S ( )dt dz
2
2 ln ST ~ [ln S ( )(T t ), T t ] 2
ce
r (T t )
E[max( ST X ,0)]
ln ST ~ [ln S r
2
2
(T t ), T t ]
11.5 隐含波动率
隐含波动率：在市场中观察的期权价格所蕴含的波动率。
计算隐含波动率
波动率产生的原因
Fama&French的研究
波动率计算的时间问题
11.6 红利的影响
有红利的欧式期权
有红利的欧式看涨期权
有红利的美式看涨期权
Black近似
例子
看涨期权盈利状况 现值
max[SerT X ,0]
erT max[SerT X ,0] max[S XerT ,0]
c S Xe rT
练习
11.4 风险中性定价及其应用
Black-Scholes微分方程不包含任何受投资者的风险偏好影响的变 量。 方程中出现的变量为股票当前价格、时间、股票价格方差和无风 险利率；都独立于风险偏好。 假设：所有的投资者都是风险中性的。
解方程时得到的特定的衍生证券取决于使用的边界条件
欧式看涨期权，当t=T时：
f max(S X ,0)
欧式看跌期权，当t=T时：
f max(X S ,0)
B-S公式
N(x)的计算
Black-Scholes公式的性质
股票价格S很大时 期望看涨期权价格
S Xe rT
波动率趋近于0
算术平均收益率和几何平均收益率
B、波动率
波动率的估计
波动率的估计
波动率估计的注意事项
11.3 B-S公式的基本假设及推
导
BS模型推导
Black-Scholes微分方程的正式推导
dS Sdt Sdz
f f 1 2 f 2 2 f df ( S S ) dt Sdz 2 S t 2 S S
f
f S S
r t
f 1 2 f 2 2 f ( S )t r ( f S )t 2 t 2 S S
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
Black-Scholes微分方程