第六章期权定价理论
期权及其定价
C(t ) max{S (t ) Xv(T t ) ,0}, t [0, T ]
证明（1）反证法。卖空股票，买入欧式看涨期权，将净 收入存入银行。这样在未来任何情况下都可以套利。
21
第二节 期权定价
二.期权价格的特征 5.(看跌期权的价值上限)看跌期权的价值总不高于执行价 格，有： （1） p(t ) Xv(T t ) , t [0, T ] （2） P(t ) X , t [0, T ] 证明:(1)反证法。若至少对某个t∈[0,T]，有 p(t ) Xv(T t ) , 这样套利者可以在时刻t出售一份欧式看跌期权，获期权 v(1t ) 0 ; 费p(t),将收入存入银行。在时刻T，存款变p(t) 另一方面，当 S (T ) X时， 该看跌期权将会被执行，套利 者支付现金X购买股票,并卖出得市价S(T),最终获利 p(t )v(T1t ) X S (T ) 0 ;当 S (T ) X 时，期权将不被执行， p(t )v(T1t ) 0 。与无套利矛盾。二节 期权定价
二.期权价格的特征 6.(看跌期权的价值下限)假定在[0,T]上，标的股票无红 利配发，则有： （1）欧式看跌期权价值下限：
p(t ) max{Xv(T t ) S (t ),0}, t [0, T ] 在到期时刻T，有： p(T ) max{ X S (T ),0}
第六章 期权及其定价
前面已经学习的资本资产定价模型和套利定价模型标 志着分析型的现代金融和财务理论开始走向成熟。而最具 革命性的里程碑式的突破性成果，则是布莱克和舒尔斯在 1973年提出的第一个期权定价公式。期权是经济和金融理 论中最伟大的发现之一。Black-Schocles期权定价公式的 提出不仅使其作者之一的舒尔斯荣获诺贝尔经济学奖（布 莱克已去世），而且也使期权这一衍生工具蓬勃发展,引 发了被金融理论界所称道的“期权革命”。
第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型一、 影响期权价值的主要因素由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。
但是到期m S 是未知的，它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。
1)标的股票价格与股票执行价格的影响。
标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。
2）标的股票价格变化范围的影响。
在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。
如下图： )(s f )(1s f)(2s fx s股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。
3）到期时间距离的影响。
距离愈长，股价变动的可能性愈大。
由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。
4）利率的影响。
利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。
5）现金股利的影响。
股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。
二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。
2． T 时期内各时段的预期收益率r i 和收益方差σi 保持不变。
3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t 1-t 2时段内有：()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-股票的年收益率（单利）R 应该是：)3651()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+为了简化计算两边同时取自然对数可得：∑=+=+3651)3651()1(t tR In R In设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。
期权定价理论课件
除了金融资产，现实中还存在许多非金融资产，如房地产、艺术品等。将这些资产的价格和风险特性纳入期权定 价模型中，可以更好地服务于实物期权定价和风险管理。
运用计算机技术提高模型计算效率
采用更高效的算法
随着计算机技术的发展，可以采用更高效的算法来计算期 权价格，如蒙特卡洛模拟算法、有限元方法等。这些算法 可以更快地得到期权价格估计值。
、城市规划、自然资源开发等多个领域。
06
期权定价理论的发展趋势与展望
改进现有模型的局限性
01
引入更复杂的因素
随着金融市场的变化和经济的发展，期权定价理论需要引入更多的影响
因素，如宏观经济因素、市场情绪因素等，以更准确地预测期权价格。
02 03
完善假设条件
现有的期权定价模型通常基于一些假设条件，如无摩擦市场、完全竞争 等。为了更真实地反映市场情况，需要进一步放宽或修改这些假设条件 。
期权类型
按行权时间可分为欧式期 权和美式期权；按交易场 所可分为场内期权和场外 期权。
期权持有者权利
期权持有者具有在到期日 之前按照行权价买入或卖 出标的资产的权利。
期权定价模型的起源与发展
起源
期权定价模型最初由BlackScholes模型和二叉树模型两
种主要方法所主导。
发展历程
随着金融市场的不断发展和完善， 各种新型期权定价模型如随机波动 率模型、跳跃扩散模型等逐渐被引 入。
：P = (1 - e^(-rT)) / (1 + d) - K / (1 + d)^T, 其中P表示期权价格，r表示无风险利率，T表示时间步长，d表 示上涨与下跌的比率。 • 模型应用：基于二叉树模型的数字期权定价方法适用于美式期权和欧式期权的定价，具有较高的计算效率和适 用性。
期权定价理论-PPT课件
B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何 布朗运动来代表股价的波动
s x ,( a s , t ) s ,( b s , t ) s t t t t t t d s s d t s d w t t t t
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
1.在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段满
足Δt
2019/3/11 5
wt t t
这 里 ， w w w , i d N ( 0 , 1 ) t t t 1 t i
（13.1）
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为
2 2 f f 1 f 2 f f ( t x x ) xt 2 t x 2 x xt 2 1 f 2 t 2 （13.8） 2 t
在连续时间下，即 Dt ? 0 从而 Dt 2 ? 0 D t ? 0
b t
2 2
（13.10）
2 且 当时 t 0 ， 有 t 0 , 从 而
t 0
l i m D ( x )[ b t ] D ( ) 0 2
2 2 2 2
即Δx2不呈现随机波动！
由（13.10）可得
E ( x ) E ( b t ) b t E () （13.11）
2 f f 1 f 2 d f d t d x 2d x t x 2 x
f f 1 f 2 d t ( a d t b d w ) 2b d t t x 2 x
期权的定价基本理论及特性
期权的定价基本理论及特性期权是一种金融衍生工具，它赋予持有者在未来某个时间点或期间内以约定价格买入或卖出某个资产的权利，而并非义务。
期权的定价理论是为了确定期权合理的市场价格。
以下是期权定价的基本理论及特性：1. 内在价值和时间价值：期权的价格由内在价值和时间价值组成。
内在价值是期权执行时的实际价值，即与标的资产市场价格的差额。
时间价值是期权存在期限内所具备的可能增值的价值，它会随时间的推移而减少。
2. 标的资产价格的波动性：期权的价格受标的资产价格的波动性影响。
波动性越高，期权价格越高，因为更大的价格波动可能会带来更大的利润机会。
3. 行权价：期权的行权价是购买或出售标的资产的协议价格。
购买期权的持有者希望标的资产价格高于行权价，而卖出期权的持有者希望标的资产价格低于行权价。
4. 期权到期时间：期权的到期时间是期权生效的时间段。
到期时间越长，期权价格越高，因为时间价值越高。
到期时间到达后，期权将失去其价值。
5. 利率：利率对期权的价格也有影响。
高利率会提高购买期权的成本，因为持有者必须支付为期较长时间的利息。
6. 杠杆作用：期权具有较高的杠杆作用。
购买期权相对于购买标的资产的成本较低，但潜在的利润也较高。
相比之下，期权卖方承担的潜在风险较高，但收入较低。
7. 期权类型：期权可以是看涨期权（认购期权）或看跌期权（认沽期权）。
看涨期权赋予持有者以在行权日购买标的资产的权利，而看跌期权赋予持有者以在行权日以行权价格卖出标的资产的权利。
总的来说，期权定价基于标的资产价格的波动性、行权价、期权到期时间、利率等因素。
同时，期权也具有杠杆作用和灵活性，可以用来进行投机或风险管理。
对于投资者来说，理解期权定价基本理论及特性对于正确选择和定价期权合约至关重要。
期权的定价理论及特性对于投资者和交易员而言非常重要，因为它们能够帮助他们进行科学合理的决策和风险管理。
下面将进一步探讨期权定价的相关内容。
期权定价的基本理论依赖于数学建模，最著名的理论之一就是布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）。
布莱克-舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：
第六章期权定价公式PPT课件
如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利 用Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循 的随机过程： dG ( 2 )dt dz
2
这个随机过程的特征：
普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方 差率。
在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从
正态分布，均值为
(
2
2
)
，方差
SN K
其中
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27
28
布
29
定价的公式。
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§4 金融中的一些重要参数
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§4 金融中的一些重要参数
32
§4 金融中的一些重要参数
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§4 金融中的一些重要参数
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§4 金融中的一些重要参数
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§5 期权定价的连续模型
Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
39
为什么证券价格可以用几何布朗运动表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”：
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券 价格未来变动有用的信息。
马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来 的预测有关，变量过去的历史和变量从过去 到现在的演变方式与未来的预测无关。
几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz， 具有马尔可夫性质，符合弱式假说。
动
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为什么研究证券价格变化的过程
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源 就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资 产价格的影响。因此期权定价使用的是相对定价 法，即相对于证券价格的价格，因而要为期权定 价首先必须研究证券价格。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资 产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在 现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其 所遵循的随机过程。
期权理论(全)
售出债券 -B
华南理工大学工商管理学院 陈海声
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假设欧式看涨期权和看跌期权具有相同的到期日，且具有相同的 标的资产，我们同时还设定两种期权的执行价格均等于资产价格。
下图反映支付情况。
买入看涨期权，+C
买入看跌期权，+P
卖出看涨期权，-C
卖出看跌期权，-P
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第六讲 期权定价理论
华南理工大学工商管理学院 陈海声
1
1997年度的诺贝尔经济学奖被授予哈佛大学的莫
顿教授和斯坦福大学的斯科尔斯教授,以表彰他们 与布莱克教授...推导并发展了期权定价模型—— 布莱克-斯科尔斯公式——在估价衍生金融商品价 值方面所做出的巨大贡献。遗憾的是,布莱克已于
1995年8月去世,不能共享 。
案例： 同日小王支付2.23元的期权费用（权利金）买了一 份卖方期权，购买时，期权的基础资产H股票的市场价格
是20元，此期权合约规定在第二年10月10日当天或之前以
23 元的固定价格卖出 H股。小王希望 H 股下降，如果到期
时H股降到20.77、13元时，考虑期权费用后，小王每股赚
到 0 （ 23-20.77-2.23 ）或 7.77 元（ 23-13-2.23 ）。卖方合约 的卖方是小B，小B希望H股到期股价上升，卖方期权的投
间越长，期权的价格就越高。
华南理工大学工商管理学院 陈海声
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期权既是重要的投资工具，也是极为重要的规避风险的
金融工具。通过不同种类的期权契约的组合，投资者可以
实现不同形式的收益与风险之间的权衡，从而达到规避风
险、增加收益的目的。
所谓跨期组合是这样的一个投资策略：投资者同时买
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P
p
(S K时) (S K时)
（其中P为期权的时间价值）
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S Xe r(T t)
显然，标的资产价格的波动性越高，期权的时间价值越大。 此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响，以无收益看涨
期权为例，当 S Ker(Tt) 时，期权的时间价值最大，当 S Ker(Tt)
2020/10/8
3
⑵ 时间价值 是期权价格中超过内在价值的那部分价格，是指在期权有效期内标的 资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。 通常，期权 合约的剩余有效时间越长，其时间价值也就越大。
看涨期权：
c (S K )
P
c
(S K时) (S K时)
看跌期权：
p (K 下限
1、无套利定价法
套利就是在某些金融资产的交易过程中，交易者可以在不需 要期初投资支出的条件下期末获取无风险报酬。如果定量描述的话，就 是指：一个投资组合，如果在投资的时刻不需要支出，即：
V0 () 0
而存在一个时刻t，使得：
Vt () 0 且
PrVt () 0 0
证明：反证法。 （略）
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VTt ((11)) VVtT((22))
推论 若市场在时段[0，T]内是无套利机会的，则对于两个 投资组合 1 和 2 ，如果其到期时组合的价值相等，则其任意 时刻的价值均相等。
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St Xer(T t) ct St
2、期权价格的上、下限
其中D是期权有效期内资产收益的现值。
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四、期权价格曲线的形状（以无收益资产的情况为例）
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五、欧式看涨、看跌期权的平价公式
定理4 看涨——看跌平价公式（无收益资产）：
c Xer(T t) S p
定理5 看涨——看跌平价公式（有确定现金收益资产，收益 的现值为D）：
基本假设：1、市场不存在套利机会； 2、证券交易不付交易费用（市场无摩擦）； 3、无风险利率r是常数（复利）
定理２ 对于有效期内无收益标的资产的欧式期权， 以下的估计式成立
St Xer(T t) ct St
Xer(T t) St pt Xer(T t)
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证明：在t时刻，构造两个投资组合：
长，标的资产的风险就越大，空头的亏损风险就大，因此有效期长，其
期权的价格就越高。
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（三）标的资产价格的波动率 （四）无风险利率 （五）标的资产的现金收益
标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未 进行调整，因此在期权的有效期内标的资产产生现金收益将使看涨期 权的价格下降，并使看跌期权价格上涨。
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cT 45 40 5
根据期权到期时的收益
1 c Ker(T t)
2 S
因此
VT (1) cT K ST K K maxST , K
VT (2 ) ST
由定理1知：
Vt (1) Vt ( 2 )
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VTt ((12))VVt T((2 )3 )
那么
ct Ke r (T t ) St
又由于
ct 0
由于看涨期权在执行时，其收益等于标的资产当时 的价格与协议价格之差，因此，标的资产的价格越高，协议 价格越低，看涨期权的价格就越高；对看跌期权面而言，其 收益等于协议价格与标的资产当时的价格之差，标的资产的 价格越低，协议价格越高，看跌期权的价格就越高。
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（二）期权的有效期
对于美式期权而言，期限越长获利机会就越多，因此期权的价 格会越高。
至此我们证得了期权的下界。 再构造一组合 3 c
通过同样的分析，我们有
Vt (2 ) Vt (3 )
所以 St ct 。看涨期权的上下界证毕。
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（看跌期权的上下界的证明由学生自己完成）
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定理4 对于有效期内有已知收益标的资产的欧式期权，以 下的估计式成立（考虑复利率）：
St D Xer(T t) ct St Xer(T t) D St pt Xer(T t)
对于欧式期权，由于其只能在期末执行，有效期长的期权不一 定包含有效期短的期权的所有执行机会，如标的资产在期限长的有效期 内有红利支付（在知短的期限内没有），那么期限长的期权的价格就会 低于期限短的期权。这就使欧式期权的有效期与期权的价格之间的关系 显得较为复杂。
如果剔除了标的资产支付大量收益这一特殊情况，由于有效期
第六章 期权定价理论
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一、期权价格的确定
（一）期权价格的构成
１. 概念 是指买方期权为获取远期选择权而支付给卖方期权的代价，或 是卖方期权因让渡远期选择权而向买方期权收取的报酬。
２. 构成 期权价格＝内在价值＋时间价值 如图3-32。
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2
⑴ 内在价值
有时也称为”货币性“（moneyness），是指期权的买方马上执 行合约时其可能获得的现金流与零之间的最大值。
的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的。它们的关系见下图。
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图3-32 无收益资产看涨期权的时间价值与内在价值的关系
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二、期权价格的影响因素
期权价格的影响因素有六个，他们通过影响期权的内在 价值和时间价值来影响期权的价格。
（一）标的资产的市场价格与期权协议价格
c Xer(T t) D S p
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六、期权定价方法
（一）二叉树方法 1、一个例子
假定原生资产——股票在时刻的价格为40元，一个月后，有两 种可能性：上扬到45元或下跌到35元。那么在时刻购买一张一 个月到期，敲定价格为40元的平价看涨期权，问应该支付多少期权 金？（假定一年期的存款利率为12%）。
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VTt ((11)) VVtT((22))
定理1 若市场在时段[0，T]内是无套利机会的，则对于两个 投资组合 1 和 2 ，如果
VT (1) VT (2 )
且 PrVT (1) VT ( 2 ) 0
那么，对于任意的 t [0,T ] ，必有
Vt (1 ) Vt ( 2 )