B-S期权定价模型

由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续 复利收益率服从期望值 ( µ −
σ2
2 ) dt ，方差为
σ 2 dt 的正态分布。
9
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 σ 2 S2的伊藤过程（即几何布朗运动） 来表示： = µ Sdt + σ Sdz dS 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
ln S T − ln S ~ φ[(µ − σ2 )(T − t ), σ T − t ]
2
11
由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果 一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数 正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布 的特性，以及符号的定义，我们可以得到 E ( S T ) = Se µ (T −t ) 和 var(S T ) = S e
4
将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令 漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布 朗运动： dx = adt + bdz 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移 率为0，方差为1的普通布郎运动。
5
普通布朗运动的离差形式为 ∆x = a∆t + bε ∆t ，显然，∆x也 具有正态分布特征，其均值为 a∆t ，标准差为 b ∆t ，方差为 b 2 ∆t
= (
∂G 1 ∂ 2 G 1 ∂G = , 2 =− 2 , =0 ∂S S ∂S S ∂t
∂G ∂G 1 ∂ 2 G 2 ∂G a+ + b ) dt + bdz 我们就可得到 2 ∂x ∂t 2 ∂x ∂x
G = ln S 所
遵循的随机过程为 d G
= d ln S = ( µ −
σ
2
2
)dt + σ dz
1
我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。 因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知 执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价 格是影响期权价格的最根本因素。 因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变 化规律。在 了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来 复制期权，并以此为依据给期权定价。 在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思 想。
∆ =0.25
1、显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程， 1 x dz 其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a 。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音 。这种噪音是 由维纳过程的b倍给出的。 2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为 b T ，方差为b2T。
7
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推 导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循 如下过程：
∂G ∂G 1 ∂ 2 G 2 ∂G dG = ( a+ + b )dt + bdz ∂x ∂t 2 ∂x 2 ∂x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引 理。
8
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S ≠
2 2 µ (T − t )
[e
2 σ (T − t )
− 1]
ln S T − ln S上就是股票价格在T－t期间的连续复利收益率，
则T－t期间年化的连续复利收益率可以表示为 η 从式（11.9）可知随机变量 η 服从正态分布 σ η ~ φ [( µ − σ2 ), ]
19
观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的 风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决 定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值 产生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设： 在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。 在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一 个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风 险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。 在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风 险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。 这就是风险中性定价原理。
2
=
，
T −t
12
µ
:
1、几何布朗运动中的期望收益率。
µ 2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、 无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉 及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是， 我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收 µ 益率 是无关的。
3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于µ − σ / 2 < µ ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值 是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收 益率则是算术平均的结果。
比较（11.1）和（11.11）可看出，衍生证券价格G和 股票价格S都受同一个不确定性来源dz的影响，这点对于 以后推导衍生证券的定价公式很重要。
15
假设： 1、证券价格遵循几何布朗运动，即 2、允许卖空标的证券；
µ
和
σ
为常数；
3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； 4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5、存在无风险套利机会； 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
3
布朗运动（Brownian Motion）起源于英国植物学 家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。
对于标准布朗运动来说：设 ∆t 代表一个小 的时间间隔长度，∆z 代表变量z在 ∆t 时间内的 变化，遵循标准布朗运动的 ∆z 具有两种特征： 特征1： 特征 ：∆z 和 ∆t 的关系满足： ∆z = ε ∆t ε 其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标 准差为1的正态分布）中取的一个随机值。 特征2： 特征 ：对于任何两个不同时间间隔 ∆t ，∆z 的 值相互独立。
21
为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看 涨期权空头和 ∆ 单位的标的股票多头组成的组合。若3 个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于( 11 ∆ －0.5)元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值 等于9 ∆ 元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应 选择适当的 ∆ 值，使3个月后该组合的价值不变，这意味 着： 11 ∆－0.5=9 ∆
dS S
案例11.1 运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程 案例 运用伊藤引理推导 所遵循的随机过程 假设变量S服从 dS = µ Sdt + σ Sdz 其中µ和σ都为常数，则lnS遵循怎样的随机过程？ 由于µ和σ是常数，S显然服从 a( S , t ) = µ S b( S , t ) = σ 的伊藤过程，我 ， S 们可以运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程。 令G = ln S，则 代入式 dG
2
13
: σ
1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年 标准差 2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益 率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波 动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越 近越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数 计算波动率而不采用日历天数。
中不含任何风险源，因
此组合 Π 必须获得无风险收益，即
∆Π = rΠ∆t
代入上式可得
∂f 1 ∂ 2 f 2 2 ∂f ( + σ S )∆t = r ( f − S )∆t ∂t 2 ∂S 2 ∂S
化简为
∂f ∂f 1 2 2 ∂2 f + rS + σ S = rf ∂t 2 ∂S ∂S 2
**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程， 它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有 衍生证券的定价。
6
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变 量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就 可以得到 dx = a( x, t )dt + b( x, t )dz 这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz是一个 标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率 为a，方差率为b2。
14
当股票价格服从几何布朗运动 dS = µSdt + σSdz 时，由 于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)， 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
∂G ∂G 1 ∂ 2 G 2 2 ∂G dG = ( µS + + σ S ) dt + σSdz ∂S ∂t 2 ∂S 2 ∂S
2
市场有效理论与随机过程
1965年，法玛（Fama）提出了 著名的效率市场假说。该假说认为， 证券价格对新的市场信息的反应是 迅速而准确的，证券价格能完全反 应全部信息。
有效 市场 三个 层次
1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说
根据众多学者的实证研 究，发达国家的证券市场 大体符合弱式效率市场假 说。一般认为，弱式效率 市场假说与马尔可夫随机 过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。 因此我们可以用数学来刻 画股票的这种特征。
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确 定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反 响；同年，Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般 化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经 济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地 介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-SM模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。