期权定价模型
第9章 期权,第10章 期权定价模型
第9章 期 权9.1 期权的概念期货无选择权：买入期货合约，即使交割时的现货价格低于期货价格，也必须买入而亏损；出售期货合约，即使交割时的现货价格高于期货价格，也必须卖出而亏损。
看涨买权（call option ）：到期时的现货价格低于执行价格，持有者可选择不执行合约，以避免亏损；到期时的现货价格高于执行价格，持有者可选择 执行合约，以获得盈利。
看跌卖权（put option ）：到期时的现货价格低于执行价格，持有者可选择 执行合约，以获得盈利；到期时的现货价格高于执行价格，持有者可选择不执行合约，以避免亏损。
期权价格（option price ）：购买选择权支付的单位成本。
9.2 到期股票期权定价1. 到期期权的价值： 标的资产：股票标的变量：股价 S 也就是 S 元∕股 执行价格： E 或X 比如 100元∕股 到期时间： T 比如 3个月到期时股价： T S 比如 120元∕股，或80元∕股 股票现价： 0S看涨买权到期价值： C T = =)0,max(E S T -例：C T =)0,max(E S T -=)0,100120max(-=20 C T =)0,max(E S T -=)0,10080max(-=0 注：到期价值C T 随到期股价T S 的不同而变化，T S 是自变量，C T 是因变量或函数，并且C T 是T S 的分段函数。
看涨买权到期价值看跌卖权到期价值：)0,max(T T S E P -=看跌卖权到期价值2. 到期期权的盈亏设期初买权价为0C 、期初卖权价为0P ，则到期期权的盈亏为),max(),max(000000P P S E P P C C E S C C T T P T T C ---=-=---=-=ππ（1）购入买权（2）购入卖权例如：购入买权，E =100,100=C , 到期时T S 为115和90的两种情况的盈亏分别为：;10)10,1010090max()90(;5)10,10100115max()115(-=---==---=C C ππ注意： 买权是一个产品，设售出买权的盈亏为C π，则有0=+C C ππ或C πC π-=，即售出和购入买权的盈亏是零和的，原因是，售出买权的一方看跌，售出卖权的一方看涨。
金融学十大模型
金融学十大模型金融学是研究资金在时间和空间上的配置和交换的学科，它关注的是资源的配置和风险的管理。
在金融学中，有许多重要的模型被广泛应用于理论研究和实际应用。
本文将介绍金融学领域里的十大模型，并分别进行详细的解析。
1. 资本资产定价模型（CAPM）资本资产定价模型是描述资本市场证券价格与其预期收益之间关系的理论模型。
它将资产的预期收益与市场风险相关联，通过风险溢酬来衡量资产的预期收益。
2. 期权定价模型（Black-Scholes模型）期权定价模型是用来计算期权价格的数学模型。
Black-Scholes模型是最为著名的期权定价模型之一，它通过考虑股票价格、期权行权价格、波动率、无风险利率等因素，来估计期权的公平价格。
3. 资本结构理论（Modigliani-Miller定理）资本结构理论是研究公司资本结构选择和公司价值之间关系的模型。
Modigliani-Miller定理指出，在没有税收和破产成本的情况下，公司的价值与其资本结构无关。
4. 有效市场假说（EMH）有效市场假说认为市场价格已经充分反映了所有可得到的信息，投资者无法通过分析市场数据获得超额收益。
EMH对于投资者的决策和资产定价具有重要的指导意义。
5. 金融工程模型（Black-Scholes-Merton模型）金融工程模型是应用数学和计量经济学方法来研究金融市场的模型。
Black-Scholes-Merton模型是其中最为著名的模型之一，它被广泛应用于期权定价、风险管理和金融衍生品的设计与定价等领域。
6. 信息传播模型（Diffusion Model）信息传播模型用于解释市场中信息的传播和价格的形成过程。
它假设市场参与者根据自身的信息和观点进行交易，通过交易行为将信息传递给其他参与者，从而影响市场价格的变动。
7. 多因素模型（Multi-Factor Model）多因素模型是用来解释资产收益率与市场因素和其他因素之间关系的模型。
它考虑了多个因素对资产收益率的影响，有助于投资者理解资产价格波动的原因。
BS期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式)Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[编辑]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
期权定价模型
11.3
伊藤过程与伊藤引理
在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导 出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如 下过程：
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理 。
1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说
根据众多学者的实证研
究，发达国家的证券市场 大体符合弱式效率市场假 说。一般认为，弱式效率 市场假说与马尔可夫随机 过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。 因此我们可以用数学来刻 画股票的这种特征。
• 1、弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预 测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获 得超过平均收益率的收益。
• 2、半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获 得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息 以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券 。
• 3、强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获 得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信 息”）对挑选证券都没有用处。
伊藤引理的运用
• 如果我们知道x遵循的随机过程，通过 伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机 过程。
• 由于衍生产品价格是标的资产价格和时 间的函数，因此随机过程在衍生产品分 析中扮演重要的角色。
11.2.股4 票价格的变化过程：几何布朗运动
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 S2的伊藤过程（即几何布朗运动） 来表示：
第八课期权定价模型
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•V •D
第八课期权定价模型
公司负债与股东权益
• 公司债权人相当于拥有一个面值为D的无风险 债券和同时出售一个执行价格为D的看跌期权
•V
D
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•V •D
第八课期权定价模型
实物期权
• 投资： 有权选择投资时机，获得投资回报，但是没 有必须投资的义务。初始投资额就是执行价格，投资 在未来产生的现金流就是资产价格
• 这个组合称为合成的衍生证券
• 要使无套利成立，这个组合的价值必须等于 交易的衍生证券的价格
• 组合的合成等同于对冲
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第八课期权定价模型
无套利原则与 对衍生证券的定价
•今日
•到期日
•交易的 衍生证券
•合成的 衍生证券
•收益相 同
•交易的衍生证券的价值= 合成的衍生证券（组合）的价值
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第八课期权定价模型
Black-Scholes模型的假设
• 完美的资本市场，没有套利机会 • 价格的瞬间变动服从波动率为常数的几何布
朗运动 • 短期利率已知，并且不随时间发生变化 • 在期权的有效期内，标的股票不发放股利
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第八课期权定价模型
股票价格的动态过程
• 连续时间模型 假设股票价格服从几何布朗运动（GBM）
其中： ：期望收益率
：波动率 (假设为常数) ：标准Wiener过程
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第八课期权定价模型
• 离散时间近似
• Z为Wiener过程，则 －
其中是 n(0,1)分布的一个随机实现
－ 任意互不重叠的两期的 的取值相互独 立
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偏微分方程在金融学中的应用
偏微分方程在金融学中的应用金融学是一个复杂而又充满风险的领域，它的发展需要强大的数学工具的支持。
而偏微分方程作为数学中的一个分支，其在金融学中扮演着重要角色。
在这篇文章中，我将介绍偏微分方程在金融学中的应用，并且探讨这些应用是如何使得金融学变得更加精确和完整。
一、期权定价模型期权定价模型是金融学研究的重点之一，常用的期权定价模型包括布莱克-斯科尔斯模型和魏尔模型。
在这些模型中，偏微分方程被广泛地用于描述期权的价格变化和波动，以及影响因素的变化和波动，例如股票价格、利率和波动率等。
二、风险资产的评估偏微分方程也能够用于评估风险资产的价值。
例如在期货市场中，我们需要使用偏微分方程来计算合约的价格和波动，以及估算期货价格在不同市场环境下的变化。
同样地，偏微分方程也可以用于评估其他金融资产，如国债和股票等。
三、风险管理模型偏微分方程不仅仅可以用于评估金融资产的价值，它还可以用于风险管理模型的构建。
在金融市场中，风险管理是一个非常重要的话题，因为金融市场的波动性和风险性都非常高。
偏微分方程可以用于描述金融资产价格的变化和波动，以及市场环境和财务因素对价格的影响，从而帮助我们进行风险管理和预测。
四、金融衍生品的定价和估值除了期权定价模型之外，偏微分方程还可以用于金融衍生品的定价和估值。
金融衍生品是一种衍生自某种基本金融资产的金融工具，例如期权、期货、掉期和证券化产品等。
由于其复杂性和高风险性，金融衍生品的定价和估值是金融学中的一大挑战。
偏微分方程是一种强大的工具，用于解决这些挑战，例如 Black-Scholes方程和Heston模型等都是非常受欢迎的金融衍生品的定价模型。
结论总的来说，偏微分方程在金融学中的应用是非常广泛的，无论是期权定价模型、风险资产的评估、风险管理模型还是金融衍生品的定价和估值，都需要用到偏微分方程。
此外，随着金融市场和金融产品的不断发展，我们将需要更加精确和复杂的偏微分方程模型来描述市场状况和金融资产的波动性，以便更好地进行定价、风险管理和决策。
期权二叉树定价模型
84 美式期权估值8.4.1 方法 二叉树模型可以用于为美式期权估值。方法是：从树图的最后末端向开始的起点倒推计算。在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点的期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相同。在较早的一些节点，期杈的价值是取如下两者之中较大者： 1）由式（9.2）求出的值。 2）提前执行所得的收益。
8.2 风险中性估值8.2.1 风险中性估值原理 式（9.2）中的变量p可以解释为股票价格上升的概率，于是变量1—p就是股票价格下降的概率。这样， pfu+(1-p)fd 就是衍生证券的预期收益。于是，式（9.2）可以表述为：衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值 。
当两个价值相等时 即 （9.1） 该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。
最后股票的可能价格为$72、$48和$32。在这种情况下，fuu=0,fud=4,fdd=20,Δt=1，利用公式（9.8），得到看跌期权的价格 f=e-2×0.05×1(0.62822×0+ 2×0.6282×0.3718×4+0.37182×20)=4.1923 利用每个单步二步二叉树向回倒推算，也可以得到这个结果。 实际上，如果股票价格的变化是二值的，那么任何基于该股票的衍生证券都可以运用二叉树模型进行估值。
u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 在节点B的期权价格为： e-0.12×0.25(0.6523×3.2十0.3477×0)=2.0257 在节点C，期权价格为0。 在节点A的期权价格为：e-0.12×0.25(0.6523×2.0257十0.3477×0)=1.2823 在构造这个例子时，u和d(股票价格上升和下降的比率)在树图的每个节点上是相同的，每个单步二叉树的时间长度是相等的。由式（9.3）可得风险中性的概率p，它在每个节点都是相同的。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。
二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。
下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。
首先，我们需要确定二叉树模型的参数。
主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。
其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。
接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。
树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。
具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。
其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。
在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。
通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。
具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。
而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。
通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。
需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。
参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。
此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。
总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。
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期权定价模型什么是期权 期权，又称为选择权，指一种能在未来某特定时间以特定价格买入或卖出一定数量的某种特定商品的权利。
它是在期货的基础上产生的一种金融工具，给予买方（或持有者）购买或出售标的资产的权利。
期权的持有者可以在该项期权规定的时间内选择买或不买、卖或不卖的权利，他可以实施该权利，也可以放弃该权利，而期权的出卖者则只负有期权合约规定的义务。
Black-Scholes 期权定价模型 股票价格的变动一般没有规律可循，但我们可以用随机过程来刻画股价的变动过程。
特别的，我们可以假设股价遵循几何维纳过程。
1973年，斯坦福大学的教授Myron Scholes 和他的同事、已故数学家Fischer Black 在美国《政治经济学》上发表了论文《期权与公司债务的定价》，给出了欧式看涨期权的定价公式，即著名的Black-Scholes 期权定价模型。
该模型被称为“不仅在金融领域，而且在整个经济学中最成功的理论”。
在模型的应用、改进和扩展方面，哈佛商学院的教授Merton 也做了大量的研究工作。
因此，Scholes 和Merton 被授予1997年的诺贝尔经济学奖，以表彰他们所做出的杰出贡献。
二叉树期权定价模型 虽然Black-Scholes 期权定价模型有许多优点，但是它复杂的数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和掌握。
1979年，J.C.Cox 、S.A.Ross 和M.Rubinstein 在《金融经济学杂志》上发表论文《期权定价：一种简单的方法》，提出了一种比较浅显的期权定价方法，被称为Cox-Ross-Rubinstein 二项式期权定价模型（Binomial Model ）或二叉树期权定价模型（Binomial tree ）。
二叉树期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。
窝轮的定价及影响因素 目前香港的窝轮发行商给窝轮定价时基本上都是采用Black-Scholes 期权定价模型。
所不同的是，各个发行商对模型中的参数如无风险利率，红利和波动率的选取都有所不同。
比如发行商会考虑自身的资产状况和借贷资金成本来界定无风险利率，对公司红利的派发预期也有所不同，另外对波动率的选取和稳定性维护更是能体现发行商的信誉和资质水平。
牛熊证的定价及影响因素 牛熊证作为一种新型结构性产品于2006年6月被引入香港市场之后，发展至今深受市场欢迎。
由于牛熊证设有收回价机制，在定价方面，牛熊证和窝轮完全不同。
用数学公式表示，即为：()E r T X X S c ⋅⋅+−=)(，()E r T S S X p ⋅⋅+−=)(其中p c 、分别为牛证和熊证的价格，E r T X S 、、、、分别为正股股价、行使价、剩余期限、年息和兑换比率。
招商证券（香港）研究部 陈文质 (86-755) 83295367 cwz@ 何 钟 (852) 31896818 hezhong@ 2009年4月2日正文目录一、什么是期权 (3)二、Black-Scholes期权定价模型 (4)（一）数学预备知识 (5)1、基本的维纳过程 (5)2、一般的维纳过程 (5)3、Ito过程 (6)4、Ito引理 (6)5、随机变量的分布函数和密度函数 (7)（二）股票价格的行为过程 (7)（三）股票价格的对数正态分布特性 (9)（四）Black-Scholes微分方程 (9)（五）风险中性定价法导出Black-Scholes定价公式 (11)（六）关于Black-Scholes定价公式的几点说明 (14)三、二叉树期权定价模型 (15)四、窝轮和牛熊证的定价及影响因素 (17)（一）窝轮的定价及影响因素 (18)1、影响窝轮价格的五大因素 (18)2、红利支付下的窝轮Black-Scholes定价公式的修正 (18)（二）牛熊证的的定价及影响因素 (19)1、什么是牛熊证 (19)2、牛熊证的定价公式 (19)3、牛熊证定价例子 (20)4、牛熊证价格的影响因素 (20)一、什么是期权期权（Option），又称为选择权，指一种能在未来某特定时间以特定价格买入或卖出一定数量的某种特定商品的权利。
它是在期货的基础上产生的一种金融工具，给予买方（或持有者）购买或出售标的资产(underlying asset)的权利。
期权的持有者可以在该项期权规定的时间内选择买或不买、卖或不卖的权利，他可以实施该权利，也可以放弃该权利，而期权的出卖者则只负有期权合约规定的义务。
由于期权交易方式、方向、标的物等方面的不同，产生了众多的期权品种。
（1）按期权的权利划分，有看涨期权和看跌期权两种类型。
看涨期权（Call Option）是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方买入一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须买进的义务；而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格卖出期权合约规定的特定商品。
看跌期权（Put Option）是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方卖出一定数量的期权合约规定的特定商品的权利，但不负有必须卖出的义务；而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格买入期权合约规定的特定商品。
（2）按期权的交割时间划分，有美式期权、欧式期权和百慕大式期权。
美式期权是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利；欧式期权是指在期权合约规定的到期日方可行使权利；百慕大式期权是一种可以在到期日前所规定的一系列时间行权的期权，是美式和欧式的混合体。
（3）按期权合约上的标的划分，有股票期权、股指期权、利率期权、商品期权以及外汇期权等种类。
期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。
期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。
早在1900年法国金融专家劳雷斯·巴舍利耶（Bachelier）就发表了第一篇关于期权定价的文章。
此后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，但因种种局限难于得到普遍认同。
上世纪70年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。
第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世。
这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。
二、Black-Scholes期权定价模型众所周知，股票价格的变动一般没有规律可循，但我们可以用随机过程来刻画股价的变动过程。
随机过程（Stochastic process）是指：如果某变量以某种不确定的方式随时间而变化，则称该变量遵循某种随机过程。
数学上用来描述各种运动的随机过程有很多，马尔可夫过程（Markov process）是一种特殊类型的随机过程。
当一个随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关，而与该变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式不相关时，我们称该随机过程为马尔可夫过程。
人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程，这具有一定的合理性。
股价的马尔科夫性质与市场弱有效性相一致，也就是说，股票的现价充分反映了历史上一系列交易价格和交易量中所隐含的信息。
如果市场弱有效性不正确的话，技术分析师可以通过分析股价的历史数据图表获得高于平均收益率的收益。
事实上，几乎没什么证据表明他们能够做到这一点。
而且，股票市场的充分竞争也保证了市场弱有效性的成立。
假如已经发现历史股价中某种特殊模型总能给出未来股价超出50%的上涨机率，这种方式一旦被观察到，市场的众多投资就会购买股票，从而对股票的需求就会突然增加，其结果为股价骤然上涨，过去观察的效应便将失效。
股价的随机行为与布朗运动（Brownian motion）类似，后者在物理学中指描述液体中某个粒子受到大量小分子碰撞后的不规则运动。
布朗运动的起因是由于液体的所有分子都处在运动中，且相互碰撞，从而粒子周围有大量分子以微小但起伏不定的力共同作用于它,使它被迫作不规则运动。
1923年，美国数学家维纳（Norbert Wiener）从数学上严格地定义了一个随机过程来描述布朗运动。
因此，布朗运动也称为维纳过程（Wiener process）。
维纳过程是马尔可夫过程的一种特殊形式。
股价行为通常用维纳过程来描述。
1973年，斯坦福大学的教授Myron Scholes和他的同事、已故数学家Fischer Black在美国《政治经济学》上发表了论文《期权与公司债务的定价》，给出了欧式看涨期权的定价公式，即著名的Black-Scholes期权定价模型。
该模型被称为“不仅在金融领域，而且在整个经济学中最成功的理论”。
在Black和Scholes发表论文的同时，哈佛商学院的教授Robert Merton也发现了同样的定价公式，并在后来的应用和研究中扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
因此，Scholes和Merton被授予1997年的诺贝尔经济学奖，以表彰他们所做出的杰出贡献。
为充分理解Black-Scholes期权定价模型，我们需要阐述以下数学预备知识。
（一）数学预备知识1、 基本的维纳过程要理解遵循维纳过程的变量z 的行为，可以考虑在短时间间隔上变量z 值的变化。
设一个小的时间间隔长度为t Δ，定义z Δ为在t Δ时间内z 的变化值。
如果满足：（1）εt z Δ=Δ其中ε是服从标准正态分布)1,0(N 的一个随机变量；（2）对于任意两个不同的时间间隔t Δ，z Δ的值相互独立。
则称变量z 遵循基本维纳过程。
由条件（1）可知，z Δ也服从正态分布，且其均值为0，方差为t Δ，标准差为t Δ；由条件（2）可知，z 遵循马尔科夫过程。
另外，条件（1）的极限形式可表现为：εdt dz = （2.1）设z 值在时间T 后的变化量为)0()(z T z −，这可以被看作在N 个长度为t Δ的小时间间隔后z 的变化的总量，其中tT N Δ=，从而 i Ni t z T z ε∑=Δ=−1)0()(其中),,2,1(N i i ⋅⋅⋅=ε是服从标准正态分布的随机变量，且相互独立。
由正态分布的特性可知，)0()(z T z −也服从正态分布，其均值为0，方差为T ，标准差为T 。
2、 一般的维纳过程变量x 遵循一般维纳过程定义如下：bdz adt dx += （2.2）其中b a ,为常数，dz 为同（2.1）式的基本维纳过程。
adt 项表示变量x 在单位时间内的漂移量，其期望值为a 。
εdt b bdz =项可被看作为增加到x 轨迹上的波动率或噪音，其值 为基本维纳过程的b 倍。