(定价策略)二项期权定价模型

摘要：

在可转债的定价过程中，期权部分的定价最为复杂，本文介绍了对可转债价值中期权部分的一种定价方法——二项期权定价模型，以单一时期内买权定价为例进行了。

一般来说，二项期权定价模型（binomal option price model ， BOPM ）的基本假设是在每一时期股价的变动方向只有两个，即上升或下降。BOPM 的定价依据是在期权在第一次买进时，能建立起一个零风险套头交易，或者说可以使用一个证券组合来模拟期权的价值，该证券组合在没有套利机会时应等于买权的价格；反之，如果存在套利机会，投资者则可以买两种产品种价格便宜者，卖出价格较高者，从而获得无风险收益，当然这种套利机会只会在极短的时间里存在。这一证券组合的主要功能是给出了买权的定价方法。与期货不同的是，期货的套头交易一旦建立就不用改变，而期权的套头交易则需不断调整，直至期权到期。

一、对股票价格和期权价格变化的描述

假设股票当期（t ＝0）的价格S 为100元，时期末（t ＝1）的价格有两种可能：若上升，则为120元，记做uS ；若下降，则为90元，记做dS 。执行价格为110元。相对应地来看，期权价格则分别记做0C 、up C 、down C ，则在t ＝1时，up C 、down C 分别等于max （120－110，0）、max （90－110，0），即10元和0。此时的状态可以用下图描述：

uS ＝120 股价上升时

分 析 师：高谦

报告类型：可转换债券研究 二项期权定价模型

S ＝100

dS ＝90 股价下降时

up C ＝10 max （120－110，0）

0C ＝？

down C ＝0 max （90－110，0）

二、构建投资组合求解买权

（一）构建投资组合

在上图中，唯一需要求解的是0C 。为求解0C ，也即给t ＝0时的买权定价，可以证明0C 的价格可以通过建立期权和相关资产的零风险套利交易来得到，具体来说，就是考虑一个包括股票和无风险债券在内的投资组合，该组合在市场上不存在无风险套利机会时等于买权的价格，因此可以用来模拟买权的价格。

我们可以考虑这样一个投资组合：

（1） 以价格0C 卖出一份看涨期权；

（2） 以价格100买入0.333股股票；

（3） 以无风险利率8％借入27.78元。

（二）投资组合的净现金流分析

根据上述投资组合，可以得到t ＝0时期的净现金流为：0C －（0.333×100+27.78）。根据前述对股票和期权价格变化的描述，在到期日时会出现两种可能的结果，这两种结果在到期日时的现金流可以描述如下：

股价上升时的现金流 股价下跌时的现金流 买进一份看涨期权

－10（由max 【120－110】得到） 0（由max 【90－110】得到） 股票变现

40（由0.333×120得到） 30（由0.333×90得到） 偿付贷款

－30（由－27.78×1.08得到） －30（由－27.78×1.08得到） 净现金流 0 0

这表明，不管相关资产的价格是上升还是下降，这个投资组合的最终结果都

一样，其净现金流均为零，该投资组合被称为零风险套头交易。如果该组合的最

C－（0.333×终结果为零，那么开始获得此组合的适当价格也应为零，也即

C＝5.55。

100+27.78）＝0，由此可以解出：

三、对t＝0时期买权价格变化的动态分析

如前所述，投资组合的最终净现金流为零，并由此得到了期权的最初价格。那么，如果期权的最初价格高于或低于这个价格时会出现什么情况呢？

首先，假设买权的价格高于5.55元，为10元，则投资者以10元的价格卖空买权，并同时构建前述投资组合，在t＝0时期，投资者的净现金流入或净盈利为10－（0.333×100－27.78）＝4.45元。到期以后，投资者的净现金流为零，也就是说投资者在初期可以获得4.45元的无风险利润。如果市场上存在大量的套利者，这中非均衡状态是不可能持久的，买权价格最终将会调整到均衡状态。

其次，如果买权的价格低于5.55元，比如为3元，这时投资者将购买一份买权，同时卖空0.333股股票，以及在8％的利率水平上投资27.78元。在t＝0时，投资者的净现金流量为：－3＋（0.333×100－27.78）＝2.55元。而在年底，入下表所示，其净现金流仍然为零。这说明，投资者在构建这样一个零风险套头交易以后，只要市场上买权的价格低于均衡价格，投资者就可以在初期获取无风险收益，而在到期日时无论股价如何变化，都不会产生损失。当然，与前述情况一样，这种状态不会持久，最终将会调整到均衡状态。

股价上升时的现金流股价下跌时的现金流

卖出进一份看涨期权10（由max【120－110】得

0（由max【90－110】得到）

到）

－30（由－0.333×90得到）偿付卖空股票－40（由－0.333×120得

到）

收回投资30（由－27.78×1.08得到）30（由27.78×1.08得到）净现金流0 0

四、单一时期内买权定价的一般推导

抛开特殊例子，考虑一个一般性的证券组合：

C卖出一份看涨期权；

（1）以价格

（2）以价格S买入N股股票；

B在无风险债券上。

（3）投资

B的取值均为满足零风险套头交易的特定取值，不管相关这里的参数N和

资产价格在到期日时是上升还是下降。无风险利率为R。因为初始现金流为零，

则有：

0C －（N ×S+0B ）＝0 （1）

假设在到期日时股票价格只有上升和下降两种可能的情况，那么可以设立方程组：

up C －（N ×uS －0B R ）＝0 （2）

down C －（N ×dS －0B R ）＝0 （3）

可以解出：

N ＝)()

(d u S C C down up --

0B ＝)()

(d u R uC dC down up --

将N 、0B 带入（1）可以解出：

0C ＝)(}

)(){(d u R C R u C d R down up --+-

其中，如果假设：p ＝)

()(d u d R --，则： 0C ＝R C p pC down

up )1(-+

p 为股票价格变化的概率，即股票价格以概率p 上升到uS ，而股票价格下降为dS 的概率则为1－p 。