B-S期权定价模型的推导过程
B-S期权定价公式的简单推导
(二)B-S期权定价公式
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T
时刻）的期望值为：E [max(ST X ,0)]
其现值为
c er (T t ) E[max(ST X ,0)]
（4.18）
对数股票价格的分布为：
ln ST
~ [ln S
(r 2 )(T
1 2S2
2
2 f S 2
rf
(4.17)
这就是著名的B-S微分分程，它适用于其价格取决于标的证 券价格S的所有衍生证券的定价。
2，风险中性定价原理
假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流 量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
尽管风险中性假定仅仅是为了求解B-S微分方程而 作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不 仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌 恶风险的所有情况。
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
(三)伊藤过程与伊藤引理
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以 从公式(4.4)得到伊藤过程（Ito Process）：
dx a(x,t)dt b(x,t)dz (4.5）
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数， 变量x的漂移率为a，方差率为b2
根据伊藤引理，衍生证券的价格f应遵循如下过程：
df
( f S
S f
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
f S
Sdz
(4.9)
(六)证券价格自然对数变化过程
令
B-S期权定价模型的推导过程
B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件(一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]C = S * N(d1) − Le− rT N(d2)其中:C—期权初始合理价格L—期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为:r = ln(1 + r0)或r0=Er-1。
例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则。
B-S定价模型的推导与运用[1](一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:E[G] = E[max(St− L,O)]其中，E[G]—看涨期权到期期望值St—到期所交易金融资产的市场价值L—期权交割(实施)价到期有两种可能情况:1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(S t− L,O) = S t− L2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:max(St− L,O) = 0从而:其中:P：(St > L)的概率E[S t | S t > L]：既定(S t > L)下S t的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:C = Pe− rT(E[S t | S t > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[S t | S t > L]。
BS模型详细推导
dz dt （6.3）
➢ 普通布朗运动
先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的普通布
朗运动： dxadtbdzb是标准差 （6.4）
其中，a和b均为常数，dz 遵循标准布朗运动。 普通的布朗运动随时间间隔的增加，需要加上一个漂移项，表示离开起始位 置的程度（常数比率），而其运动是正态规律运动。总体是一个叠加运动
当 t 0 时， Var 2t 0
即 2 t 将变成不再是随机变量。而 E 2 1 ，则有 2 1 ，
那么 2t dt 。所以有
dS2 2S2dt
将这个结果代入上面泰勒展开式，略去二阶以上（包括二阶）的高阶小量，
就得到
df S fdS S fdt1 2 S 2f22S2dt
再把 dSSdtSdz代入，就有
2 1 ! ( xx yy ) 2 G ( x 0 ,y 0 ) 3 1 ! ( xx yy ) 3 G ( x 0 ,y 0 )
1( n! x
x y
y)nG (x0,y0)
( n 1 1 ) ! ( xx yy ) n 1 G ( x 0 x ,y 0 y ) ,
r 风险利率 ,且其衍生证券的目前价值可以用其期末价值的期望值以无风险利率 来贴现得
到。而在此前提下的定价便称为风险中性定价。
根据风险中性定价理论，欧式股票看涨期权的期望值为：
E [mS T a x X )( 0 ,]
两边同除以S得：
dSdtdz
S
表示未来价格变化率符合普通布朗运动，（描述运动偏离标注布朗运动的漂移率和方差 率项已变为常数而非与时间和目前值有关系的函数）
BS期权定价模型
风险中性世界中可交易资产的随机过程
如果某种可交易资产的价格在现实世界中的随机过程为：
则在风险中性世界中其遵循：
根据伊藤引理，其远期合约的价值在风险中性世界中遵 循
理解风险中性定价
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元， 我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元， 要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议 价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
三、风险中性定价原理
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我 们称之为进入了一个“风险中性世界”）：
– 所有可交易资产的百分比预期收益率都等于无风 险利率r，因为风险中性的投资者并不需要额外 的收益来吸引他们承担风险。
– 同样，在风险中性条件下，所有现金流在求现值 都应该使用无风险利率进行贴现。
第四讲 BS期权定价模型
统计与管理学院
第四讲 BS期权定价模型
第一节 BS期权定价模型的基本思路 第二节 BS期权定价公式 第三节 BS期权定价公式的精确度评价与拓展
第一节 BS期权定价模型的基本思路
股票价格服从的随机过程
dS = mSdt + sSdW
由 Itô 引理可得期权价格相应服从的随机过 程
这就是著名的BS微分分程，它适用于其价格取 决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
三、风险中性定价原理
观察BS微分方程可以发现，受制于主观的风险收 益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证 券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益 偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。
因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风 险中性的。
二、BS微分方程的推导
blackscholes公式的推导及其求解 复制方法
)
+
1 Bt
dSt
+
dSt
⋅d( 1 Bt
)
,
于是有 d ( St Bt
) =(#43;σ
St Bt
dWt
即 d (= St Bt ) σ ⋅ St Bt
µ−r σ
dt
+ dWt
，令
µ− σ
r
=θ,
W~t
= θt
+ Wt , ，
从而 d ( St
)
=
St
~
σd W t
Bt Bt
∫ 由 Girsanon 定理，令 Q( A) =
∂C = −re−ruV (u, v) + e−ru ∂V ；
∂u
∂u
（3）；
∂C = e−ru ∂V ；
∂v
∂v
∂2C ∂v2
=
e − ru
∂2V ∂v2
；
将它们代回到方程（3），有
∂V ∂u
=
1σ2 2
∂ 2V ∂v2
V (0, ln S= T ) (ST − K )+
V
作为
u
和
K +∞
− z2
∫ 2π
e ln K −ln ST 2 dz
σu
v+σ 2 u
= e 2 N (d1) − KN (d2 ) ；
其中 d1
=
v
− ln K σ
+σ u
2u
， d2
=
v − ln K σu
， u=
T −t ，v=
ln x + (r − σ 2 )(T − t) ； 2
金融工程课件第九章2：BS推广与其他期权品种定价
这一近似解可以应用到多次分红的情况。
13
第九章 BS推广与其他期权品种定价
9.美式卖权的定价
无法利用B-S模型得到解析解，可利用二叉树方 法或有限差分方法得到近似解。
14
8.分红美式买权的定价
假定股票在t1时刻分红，这里t<t1<T。美式买权的持有 者要么在邻近除红时刻t1执行期权，要么在到期日时刻T 执行期权。因此，我们可以把这个美式买权近似的看作 两个欧式买权中取大的那一个。 这两个期权是： 1）到时刻t1到期的欧式期权，标的物股票不分红。 2）到时刻T到期的欧式期权，标的物股票在时刻t1分派 红利D。
S (t )e
r fD M (T t )
相应的无风险利率替换为美元的无风险利率。
6
第九章 BS推广与其他期权品种定价
3. 股指期权的定价
令q表示连续股息（指数成份股的股息），利用默顿 （1973）给出的修正模型（恒定股息）：
c S (t )e
q (T t )
N (d1 ) Xe
c Rf e
r f (T t )
N (d1 ) Xe
r f ( T t )
N (d 2 )
8
第九章 BS推广与其他期权品种定价
5. 实物期权的定价
在产品定价、市场营销、原材料与零配件 供货、售后服务、工资与福利等企业管理 的各个环节都有很重要的应用
知识产权定价、投资项目决策（宋，
第九章 BS推广与其他期权品种定价
本章主要内容：
BS模型的推广 外汇期权定价 股指期权定价 利率期权定价 实物期权定价 认股权证定价 期货期权定价 分红美式买权的定价 美式卖权的定价
第九章 B-s期权定价模型
4、无套利定价 由于式(5)中不含有Δz，该组合的价值在 一个小时间间隔Δt后必定没有风险。 因此该组合在 Δt 中的瞬时收益率一定等 于Δt中的无风险收益率。 否则的话，套利者就可以通过套利获得 无风险收益率。 因此，在没有套利机会的条件下： ΔΠ＝rΠΔt……（6） 把式(3)和(5)代入（6）得:
值。
考虑到在风险中性条件下，ST实际上是S按无风险利率 增长在T时刻) ST
因此SN(d1) 可以变换为：
SN(d1)＝e-r(T-t) STN(d1) 期权定价公式可以相应表示为：
c ST er (T t ) N (d1 ) Xer (T t ) N (d2 )
T t 2 ln(F / X ) ( / 2)(T t ) d2 d1 T t T t
例1 假设当前英镑的即期汇率为 $1.5000，美国的无风 险连续复利年利率为7％，英国的无风险连续复利年 利率为 10％，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动 率为 10％，求 6 个月期协议价格为 $1.5000 的英镑 欧式看涨期权价格。
f f S (3) s 在t时间后, 该投资组合的价值变化 为：
f f S (4) s 将式(1)和(2)代入(4),可得 :
f 1 f 2 2 S t ( 5 ) t 2 S 2
欧式看跌期权定价
在标的资产无收益情况下，由于 C＝c，因 此式 (10) 也给出了无收益资产美式看涨期 权的价值。 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平 价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期 权的定价公式： p＝Xe-r(T-t) N(—d2)—SN(—d1) (11)
期权定价的连续模型之B-S公式
如何使概率问题转化为实变量的函数形式 ？
如何入手将概率问题转化为实变量的函数形式 ？
我们研究的对象是随机事件的概率 我们研究的对象是 随机变量的取值或取值范围 的概率 P( X = x ), P( X x ), P( X > x ), P ( x1 X x2 ),…
能否选用一个事件将所有事件都表达出来？
用随机变量的取值或取值范围来表示随机事件
例如，从某一学校随机选一学生，测量他的 身高. 我们可以把可能的身高看作随机变量 X , 然后我们可以提出关于X 的各种问题. 如 P(X > 1.7 )=？ P(X ≤1.5 )= ? P(1.5<X<1.7) =?
一旦我们实际选定了一个学生并量了其身高 之后，我们就得到 X 的一个具体的值，记作 x . 这时要么 x≥1.7, 要么 x <1.7， 再求 P(x ≥1.7)就没有意义了.
这种选择并 不是唯一的
P( X x)
P( A ) X() P( X x )
本质是什么？
函数
变量 ？
由此引进了分布函数的概念：
随机变量的分布函数
1. 定义
F ( x) P( X x)
分布函数是一个普通的函数, , 我们就可以用分析的 设 X 是随机变量，称 通过它 特殊形式事件的概率 ( x )工具来研究随机变量的取值规律
期权定价的连续模型之B-S公式
期权定价理论的发展 几何布朗运动 Black-Scholes定价公式 其他有关知识
概率知识：§1 随机变量
(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，……，6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，……，n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，……
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B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件
(一)B-S模型有7个重要的假设
1、股票价格行为服从对数正态分布模式；
2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；
3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；
4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；
5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；
7、证券交易是持续的；
8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]
C = S * N(d
1) − Le− rT N(d2)
其中:
C—期权初始合理价格
L—期权交割价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率H
σ2—年度化方差
N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：
第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为:r = ln(1 + r
0)或r0=Er-1。
例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则。
B-S定价模型的推导与运用[1]
(一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:
E[G] = E[max(S
t− L,O)]
其中，E[G]—看涨期权到期期望值
S
t—到期所交易金融资产的市场价值
L—期权交割(实施)价
到期有两种可能情况:
1、如果S
t > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(S t− L,O) = S t− L
2、如果S
t < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:
max(S
t− L,O) = 0
从而:
其中:P：(S
t > L)的概率E[S t | S t > L]：既定(S t > L)下S t的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:
C = Pe− rT(E[S t | S t > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[S t | S t > L]。
首先，对收益进行定义。
与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(S
t)与现价(S)比
值的对数值，即收益= lnS
t / S = ln(S t / L)。
由假设1收益服从对数正态分布，即ln(S t / L)～
，所以E[lN(S
t / S] = μt，S t / S～可以证明，相对价格期望值大于eμt，为:E[S t / S] = eμt+ σ2T2 = e rT从而，μt = T(r− σ2)，且有σt= σT
其次，求(S
t > L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。
已知正态分布有性质:Pr06[ξ > x] = 1 − N(x− μσ)其中:
ζ：正态分布随机变量
x：关键值
μ-ζ的期望值
σ-ζ的标准差
所以:P = Pr06[S
t > 1] = Pr06[lnS t / s] > lnLS = :LN− lnLS− (r− σ2)TσTnc4由对称性:1 − N(d) = N( − d)P = NlnSL + (r− σ2)TσTarS。
第三，求既定S
t > L下S t的期望值。
因为E[S t | S t > L]处于正态分布的L到∞范围，所以，E[S t | S t] > = Se rT N(d1)N(d2)
其中:
最后，将P、E[S
t | S t] > L]代入(C = Pe− rT(E[S t | S t > L] − L))式整理得B-S定价模型:C = SN(d1) − Le− rT N(d2)
(二)看跌期权定价公式的推导
B-S模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:
S + P
e(S,T,L) = C e(S,T,L) + L(1 + r) − T
移项得:
P
e(S,T,L) = C e(S,T,L) + L(1 + r) − T− S，
将B-S模型代入整理得:
此即为看跌期权初始价格定价模型。
(三)B-S模型应用实例
假设市场上某股票现价S为164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:
①求d
1:
=0.0328
②求d
2:
③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120N(-0.06)=0.4761
④求C:
C=164×0.5120-165×e-0.0521×0.0959×0.4761=5.803
因此理论上该期权的合理价格是5.803。
如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。
在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。