投资分析Black-Scholes期权定价模型
BLACK-SCHOLES模型
BLACK-SCHOLES模型1. 简介BLACK-SCHOLES模型是一种用于定价期权合约的数学模型，由Fisher Black和Myron Scholes于1973年提出。
该模型是金融学领域最为重要的模型之一，广泛应用于期权交易和金融衍生品定价。
BLACK-SCHOLES模型基于以下假设： - 市场完全有效，不存在交易成本和税收。
- 资产价格的波动性是已知且常数。
- 资产价格的对数收益率服从几何布朗运动，即满足随机微分方程。
2. 基本原理BLACK-SCHOLES模型的基本原理是通过建立对冲组合，利用风险中性定价的原理来确定期权的价格。
其中，对冲组合由资产组成，通过买卖资产来抵消风险，使投资组合的价值在不同市场情况下保持稳定。
基于上述原理，BLACK-SCHOLES模型通过推导出具有完全对冲组合的几何布朗运动方程，得出了期权的定价公式。
该定价公式包括以下几个重要参数： - 资产价格（S）：期权标的资产的当前市价。
- 行权价格（K）：期权合约规定的买卖资产的价格。
- 无风险利率（r）：在期权有效期内，无风险投资所能获得的收益率。
- 期权有效期（T）：期权合约的剩余时间。
- 波动率（σ）：资产价格的对数收益率的标准差。
BLACK-SCHOLES模型的定价公式如下：$$C = S_0 \\cdot N(d_1) - Ke^{-rT} \\cdot N(d_2)$$$$P = Ke^{-rT} \\cdot N(-d_2) - S_0 \\cdot N(-d_1)$$其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格，N(x)表示标准正态分布的累积分布函数，d1和d2的计算公式如下：$$d_1 = \\frac{\\ln(\\frac{S_0}{K}) + (r +\\frac{\\sigma^2}{2})T}{\\sigma\\sqrt{T}}$$$$d_2 = d_1 - \\sigma\\sqrt{T}$$3. 应用与限制BLACK-SCHOLES模型具有广泛的应用领域，主要包括以下几个方面： - 市场定价：BLACK-SCHOLES模型通过考虑市场因素，对不同的期权合约进行定价，帮助投资者在期权交易中作出合理的决策。
black-scholes公式
black-scholes公式Black-Scholes Model（Black-Scholes公式）是一种用于定价欧式期权的数学模型，是金融工程学中的重要成果之一、该模型由费舍尔·布莱克（Fischer Black）和默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年首次提出，他们也因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes Model基于一系列假设，包括市场具有无摩擦，交易是连续的，没有交易费用以及无风险无套利机会等。
Black-Scholes Model基于随机微分方程（随机演变过程），描述了金融资产（如股票）的价格波动。
该模型基于两个基本概念：股票价格是随机演变的几何布朗运动，市场是完全无套利的。
Black-Scholes Model的核心方程是Black-Scholes Equation，也称为Black-Scholes PDE（偏微分方程）。
Black-Scholes Model基于以下几个关键因素对期权价格进行估值：标的资产价格、执行价格、剩余期限、无风险利率和波动率。
其中，标的资产价格指的是期权所关联的金融资产（如股票）的当前价格。
执行价格是期权中约定的购买或出售标的资产的价格。
剩余期限是期权到期日与当前日期之间的时间间隔。
无风险利率是可以在市场上获得的无风险回报率。
波动率表示标的资产价格的波动性。
Black-Scholes Model的公式为：C=S_0*N(d1)-X*e^(-rT)*N(d2)P=X*e^(-rT)*N(-d2)-S_0*N(-d1)其中，C表示欧式看涨期权的价格，P表示欧式看跌期权的价格。
S_0是标的资产价格，X是执行价格，r是无风险利率，T是剩余期限，N表示标准正态分布的累积分布函数。
d1和d2分别为：d1 = (ln(S_0 / X) + (r + (sigma^2)/2)*T) / (sigma*sqrt(T))d2 = d1 - sigma*sqrt(T)其中，sigma表示标的资产价格的波动率。
BLACK-SCHOLES模型
BLACK-SCHOLES模型介绍BLACK-SCHOLES模型是金融学中一个重要的数学模型，用于定价欧式期权。
它由费希尔·布莱克（Fischer Black）和默顿·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年提出，1973年诺贝尔经济学奖授予了这个发现。
BLACK-SCHOLES模型是金融工程领域的重要里程碑，它为衍生证券的定价提供了一个强大而准确的工具。
原理与假设BLACK-SCHOLES模型的核心思想是基于偏微分方程构建的，通过对期权价格进行分析，得出隐含在期权价格中的一些参数，如股价、时间、利率等。
该模型建立在以下假设的基础上：1. 市场是完全有效的，不存在任何交易成本和税收，并且投资者可以自由买卖证券。
2. 市场不存在任何风险溢价，即投资者对风险是中立的。
3. 股票价格服从几何布朗运动，即股票价格变动符合随机游走的过程。
模型的计算公式BLACK-SCHOLES模型将期权定价问题转化为一个偏微分方程的求解问题。
模型的核心公式如下：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-rt) * N(d2)其中：- C表示期权的价格（call option）；- S_0表示标的资产的当前价格；- N表示标准正态分布的累积分布函数；- d1 = (ln(S_0/X) + (r + σ^2/2) * t) / (σ * sqrt(t))；- d2 = d1 - σ * sqrt(t)；- X表示期权的执行价格；- r表示无风险利率；- t表示期权的剩余时间（年）；- σ表示标的资产的波动率。
C代表认购期权的价格，而对于认沽期权，则用相应的公式进行计算。
模型的优缺点BLACK-SCHOLES模型是一个非常重要的工具，它在金融市场的衍生品定价中被广泛使用。
然而，该模型也存在一些局限性。
优点：1. 计算简单：BLACK-SCHOLES模型提供了一个相对简单的数学公式，可以通过计算机程序迅速计算出期权的合理价格。
金融衍生品定价模型总结归纳：
金融衍生品定价模型总结归纳：金融衍生产品是金融市场中的重要组成部分。
为了正确定价和评估这些衍生品，金融衍生品定价模型被广泛应用。
以下是对几种常见的金融衍生品定价模型的总结和归纳：1. Black-Scholes模型Black-Scholes模型是一种用于期权定价的重要模型。
它基于市场中的假设，包括无风险利率恒定、认购和认沽期权市场合理定价、标的资产价格遵循几何布朗运动等。
该模型可以解决欧式期权的定价问题，为投资者提供了参考。
2. Vasicek模型Vasicek模型是用于利率期限结构建模的一种模型。
该模型假设利率是随机变动的，但随着时间的推移趋于均值回归。
它可以用来估计债券的价格、利率期限结构和利率敏感性等。
3. Cox-Ingersoll-Ross模型Cox-Ingersoll-Ross模型是另一种利率期限结构建模的模型。
与Vasicek模型类似，它也假设利率是随机变动的，并且时间趋于均值回归。
然而，Cox-Ingersoll-Ross模型相对于Vasicek模型更适用于描述利率变动的波动。
4. Black-Derman-Toy模型Black-Derman-Toy模型主要用于定价利率衍生品，如利率互换和利率期权。
该模型结合了随机利率和随机波动率，可以更准确地测量和定价利率的变动和风险。
这些金融衍生品定价模型在金融市场中起着重要作用，帮助投资者和决策者进行合理定价和误差控制。
然而，使用这些模型时需要谨慎，因为它们是基于某些假设和限制条件构建的，实际市场情况可能与模型假设有所不同。
总结：选择合适的金融衍生品定价模型是金融从业者的重要任务之一。
不同类型的衍生品需要使用不同的模型来定价。
了解和掌握这些模型的原理和应用，有助于更准确地评估和定价金融衍生品。
布莱克—舒尔斯期权定价模型
布莱克—舒尔斯期权定价模型期权定价是现代金融学中一项非常重要的内容，同时也是一个比较复杂、难度较大的问题。
目前关于期权定价主要有两种方法：（1）二项式模式；（2）布莱克—舒尔斯期权定价模型（B-S 模型）。
较为适用的是布莱克—舒尔斯期权定价模型。
布莱克—舒尔斯期权定价模型是美国经济学家布莱克—舒尔斯于1973年提出来的。
这是现代金融学金融衍生工具研究领域的一个重大突破，布莱克—舒尔斯因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
1、 基本原理：（模型建立的基础）期权的完全套期保值功能，即期权具备完全消除股票投资组合中市场风险的套期保值功能。
2、 假设条件：（1） 市场是无摩擦的：即不计佣金费用，无交易成本，没有卖空限制，可以根据市场情况经常地调整套期保值的比率，调整期权与股票的比率。
（2） 在期权到期前，股票不支付股利。
（3） 在期权到期前，无风险利率r 和股票收益的方差2σ保持不变。
（4） 股票价格变化是连续的，不会发生突然及大的波动。
3、 基本公式：在上述原理及假设条件的基础上，布莱克—舒尔斯提出了这样一个公式：TTr X S T d d TTr X S d d N Xe d N S C rT σσσσσ)5.0()/ln()5.0()/ln()()(20122012100-+=-=++=-=-其中：其中：0C 为期权价格；0S 为股票当前的价格；)(d N 为服从于标准正态分布的随机变量小于d 的概率；即：}{)1,0(,N Y d y P -<X 为协定价格；e 为2.71828;r 为无风险利率（以连续复利计算） t 为距离到期日所剩的时间，单位为年 σ为股票收益率的标准差。
在这个公式中，)(1d N 、)(2d N 代表期权到期是处于实值的概率，也就是能够执行给投资者带来实质性收益的概率。
如果假定1)()(21==d N d N ，也就是看涨期权极其有可能被执行。
公式的解释：期权价值=内在价值+时间价值期权到期前处于三种状态，虚值—平价—实值时间价值虚值 协定 实值 价格（平价） 从这个图形可以看出，随着股价的进一步升高，期权到期被执行的可能性越来越大，相应地，期权的内在价值越来越大，其价格波动的可能性即时间价值越来越小。
金融市场的资产定价模型
金融市场的资产定价模型一、引言金融市场中的资产定价模型是理解和分析资产价值的重要工具。
它们通过对资产价格的决定因素进行建模和分析，帮助投资者和分析师进行投资决策。
本文将介绍几种常见的金融市场资产定价模型，包括CAPM模型、APT模型和Black-Scholes期权定价模型。
二、CAPM模型CAPM（Capital Asset Pricing Model）模型是一种广泛使用的资产定价模型。
该模型基于市场组合的收益率与风险溢价之间的关系，通过计算个别资产的预期收益率，确定资产的合理价格。
CAPM模型的核心公式为：E(Ri) = Rf + βi (Rm - Rf)其中，E(Ri)为资产i的预期收益率，Rf为无风险收益率，βi为资产i与市场组合的相关系数，Rm为市场组合的预期收益率。
根据CAPM模型，投资者可以通过比较资产的预期收益率与风险来判断其价值。
三、APT模型APT（Arbitrage Pricing Theory）模型是另一种常用的资产定价模型。
与CAPM模型不同，APT模型认为资产价格受到多个因素的共同影响。
APT模型的核心思想是通过建立一个多元线性回归模型，将资产收益率与一系列因子（如市场风险、利率水平和宏观经济指标等）相关联。
通过寻找最佳回归系数，可以确定资产的预期收益率和价格。
四、Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是用于衡量和定价期权合约的工具。
该模型基于一系列假设，包括市场无摩擦、无风险利率恒定、资产价格服从几何布朗运动等。
根据Black-Scholes模型，期权的价格由五个主要因素决定：标的资产价格、行权价格、时间剩余期限、无风险利率和波动率。
通过计算这些因素之间的关系，可以得出期权的合理价格。
五、总结金融市场的资产定价模型是投资决策不可或缺的工具。
CAPM模型通过对市场组合的收益率和风险溢价进行建模，确定资产的预期收益率。
APT模型则将资产收益率与多个因素相关联，以寻求最佳回归系数来确定资产价格。
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
blackscholes模型例题
Black-Scholes模型是一种用于期权定价的数学模型，它考虑了期权的价格受到标的资产价格、波动率、利率、到期时间等因素的影响。
以下是一个Black-Scholes模型的例题，供您参考：
假设您正在为一只股票定价，该股票当前价格为100元，一个一年到期、无股息的欧式期权可以以任何价格购买该股票。
市场上的波动率为20%，无风险利率为5%。
期权价格为5元。
根据Black-Scholes模型，您可以使用以下公式来计算该期权的理论价格：
C = N(d1) ×S ×exp(-rT) ×(p - S) + S ×exp(-rT) ×(1 - p)
其中：
C = 期权理论价格
S = 标的资产当前价格
T = 到期时间（以年为单位）
r = 无风险利率
p = 期权价格
σ= 波动率（百分比）
需要求出的参数为d1和p，其中d1是标准正态分布下的一个值，可以通过以下公式求解：
d1 = ln((1 + p) / (1 - p)) / (2σT)
根据已知条件，您可以代入这些参数来求解期权价格。
具体来说，您需要将S = 100元、T = 1年、r = 0.05、σ= 0.2代入公式中，并求解d1和p 的值。
然后，将d1的值代入下一个公式中，即可得到期权的理论价格。
值得注意的是，Black-Scholes模型假设市场是有效的，即不存在套利机会。
因此，在实际应用中，还需要考虑市场效率、交易成本、流动性等因素对期权价格的影响。
此外，Black-Scholes 模型适用于欧式期权，对于美式期权等其他类型的期权，需要使用其他方法进行定价。
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又由于
rt
( f 1 2 f 2s2) t t 2 s2
f fs s
( f 1 2 f 2s2) t （ f t 2 s2
f s）r t s
整理得到
f t
f rs＋ 1 s2
2f s2
2s2
rf
2021/3/18
22
B-S微分方程的意义
f t
f rs＋ 1 s2
2f s2
2s2
rf
衍生证券的价格f，只与当前的市价S，时间t，证券
E(wT ) 0, wT wT w0 D(wT ) T
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7
▪ 证明： N wT wT w0 wi , wi wi wi1 i t i 1
N
N
wT i t t i
i 1
i 1
N
N
E(wT ) t E( i ) t E(i ) 0
i 1
i 1
N
D(wT ) t D( i ) t N T ,[ D(i ) 1], 证毕. i 1
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13
证明：将（13.7）离散化
x a(x,t)t b(x,t)w 由（13.1）知 w t
利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为
f
(f t
f
1 2 f
t x x 2 x2
x2 ) 2 f xt xt
1 2 f 2 t2
t 2
（13.8）
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14
3
在连续时间下，即 t 0 从而 t2 0 t 2 0
3
lim xt at2 bt 2 0
t 0
因此，（13.8）可以改写为
f
f t
f
1 2 f
t x x 2 x2
x2
（13.9）
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15
x2 [at b t ]2
2
a2t2 b2 2t 2abt 2
b2 2t
由（13.11）得到
E(x2 ) b2t
（13.12）
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17
由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值 就收敛为真实值，即 x2 b2t
当Δt→0时，由（13.9）可得
df
f t
dt
f x
dx
1 2
2 f x2
dx2
f t
dt
f x
(adt bdw)
1 2
2 f x2
b2dt
df (f f s 1 2 f 2s2 )dt f s dw
t s
2 s2
s
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19
f
(f t
f s
s
1 2
2 f s2
2s2 )t f s w
s
假设某投资者以δ份的标的资产多头和1个单位的 衍生证券空头来构造一个组合，且δ满足
f
s
则该组合的收益为
f s f fs s
B-S买权定价公式 C St N (d1) Ker N (d2 )
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4
13.1 维纳过程
▪ 根据有效市场理论，股价、利率和汇率具 有随机游走性，这种特性可以采用 Wiener process，它是Markov stochastic process的一种。
▪ 对于随机变量w是Wiener process，必须 具有两个条件：
1 St2
, g t
0
这样由伊藤引理得到 (a Stdt,b St )
dg (g g t St
St
1 2
2g St2
(
St
)2
)dt
g St
St
dw
( 1 2 )dt dw
2
即
d
(ln
St
)
(
1 2
2
)dt
dw
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25
T
t d (ln St )
T ( 1 2 )dt dw
➢ 标的股票不支付红利 ➢ 期权为欧式期权
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2
➢ 无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷 市场
➢ 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
➢ 股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量 的标的股票
➢ 对卖空没有任何限制 ➢ 标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗
运动
融资产的回报率均为无风险利率。
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30
（2）在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为 无风险利率r，故买权期望值的现值为
Ct er E[max(ST X , 0)]
e
r
E
(ST
X ), ST
X
0, ST X
er
X (ST X ) f (ST )dST
X
0 0 f (ST )dST
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
wt1 wt ws1 ws
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有效市场
6
▪ 满足上述两个条件的随机过程，称为维纳 过程，其性质有
E(wt ) 0, D(wt ) t
▪ 当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻 到未来的T时刻）随机变量Δwt的满足
Xu
1
(s s )2
exp[
2
2u 2
]dST
（13.17） 第1项
第2项
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Ker
1 X ST u
1
(s s )2
exp[
2
2u 2
]dST
32
（3）化简（13.17）中的第1、2项，先化简第1项
er
Xu
1
(s s )2
exp[
2
2u 2
]dST
St exp( ln St )er
则称ST服从对数正态分布，其期望值为
E(ST
)
St
exp[(
1 2
2
)
]
E[exp(
)]
E[exp( )] exp( 2 / 2)
所以 E(ST ) St exp( )
注意：E[exp( )] exp[ E( )]
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27
13.5 B-S买权定价公式
对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权 （买权）的在定价日t的定价公式为
若股票价格服从几何布朗运动
dSt Stdt Stdwt
设当前时刻为t，则T时刻股票价格满足对 数正态分布，即
ln ST ~ N[ln St ( 2 / 2) , 2 ]
T t,t [0,T ]
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24
令 g g(St ) ln St 则
g St
1 St
2g , St2
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微
20分21/3方/18 程求出价格f。
23
13.4 几何布朗运动与对数正态分布
1.在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段满 足Δt
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5
wt t t
（13.1）
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
10
▪ 一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂 的变动特征。
➢ 漂移率和方差率为常数不恰当
dxt adt bdwt
▪若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和 时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程
dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
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11
▪ B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何 布朗运动来代表股价的波动
(f f a 1 2 f b2 )dt f b dw
t x 2 x2
x
■
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18
13.3 B-S微分方程
假设标的资产价格变动过程满足
ds sdt sdw
▪ 这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证 券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可由ITO引理近 似为
er
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X (ST X ) f (ST )dST
（13.16）
31
▪ 由于ST服从对数正态分布，其pdf为
f (ST ) ST
1
exp[ (ln ST E(ln ST ))2 ]
2
2 2
将 ln ST s, E(ln ST ) s , u 由(13.16)得到
Ct er
ds dt dw ds sdt sdw
s
其中，w代表维纳过程
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3
B-S模型证明思路
ITO过程 dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
ITO引理
df
(f t
f x
a1 2
2 f x2
b2 )dt f b dw x
B-S微分方程
f t
f rs＋ 1 2 f 2s2 rf s 2 s2
9
13.2 ITO定理
▪ 一般维纳过程(Generalized Wiener process)可 表示为
dxt adt bdwt 其中，dwt ~ N (0, dt)
（13.5）
显然，一般维纳过程的性质为