期权定价模型及其求解
期权定价模型的推导过程
伊藤过程dS=μSdt+σSdz上式是描述股票价格行为的最广泛使用的一种模型形式简单，比较容易处理，对实际情况的合理近似。
σ称为股票价格波动率，μ称为预期收益率伊藤定理：设变量x 遵循ITO 过程dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz ，则x 和t 的函数G(x,t)遵循如下过程：bdz xG dt b x G t G a x G dG ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)21(222其中，dz 是与上述过程中同样的维纳过程。
G 实际上也遵循一个ITO 过程。
的分布这是到期时刻股价对数或因此，相互独立其中，，则时刻的股价为，时刻的股价为设离散时间形式均为常数，因此可写为和其中得定理，由应用令由)](),)(2/([ln ~ln )](),)(2/[(~ln ln ),1,0(~,)(),,0(~,)2(ln ln G S T S )2(1,0,1G IT O ln 22222/12T 2222t T t T r S N S t T t T N S S z N t z t N z t T t zt S S t dzdt dG S S G t G S S S G Sdz Sdt dS T T T ---+----∆∆=∆∆∆-=∆∆+∆-=-=∆+-=-=∂∂=∂∂=∂∂=+=σσσσμεεσσμσμσσμσμ按照风险中性假设，当我们希望以无风险利率r 来贴现期权的价值时，即r 0=r ，股票的期望收益率也应该为无风险利率，即μ=r ，则：)]0,[max(ˆ)(K S E e c T t T r -=--)](),)(2/([ln ~ln 22t T t T r S N S T ---+σσ我们有了lnS T 的概率分布，就可以得到S T 的概率分布，即其密度函数，有了S T 的密度函数，E[max(ST-K,0)]就是一个积分过程，通过积分我们就可以得到结果，即著名的Ｂ-Ｓ公式。
具体积分过程如下：⎰⎰∞-∞---=====----T x T S S T xT T u d u f S F u d u f x F ex f x S e S f ln 22/1222/12)()()(ln )()()()2()(,ln )2()(ln 22)(2)(ln σσμμσπσπ则：令2)(ln 22)(ln 22/1222/12)2(1)2(1)(ln )()(σσμμσπσπ------=⨯=⨯=⨯=T S T S eS S eS S f S dx dx x dF S f T TTT T T以上是到期股价T S 的密度函数。
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
第11章 期权定价模型
第11章 布莱克-舒尔茨-默顿期权定价模型一、基本思路1. 基本思路我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。
因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
用几何布朗运动表示股票价格的变化过程，具体形式如下：dS dt dz Sμσ=+ 或者表示为dS Sdt Sdz μσ=+伊藤引理表明，当股票价格服从上述随机过程时，作为衍生品的期权价格f 将服从22221()2f f f f df S S dt Sdz S t SS μσσ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 两式表明：股票价格及其衍生品——期权价格都只受到同一种不确定性的影响，只是两者对随机因素变化的反应程度不同而已。
从数学上看，将两式联立，解方程组可消掉随机项。
其金融含义可看作：买入股票、卖空期权构造一个短期内没有不确定性的投资组合。
在一个无套利市场中，该投资组合必然只能获得无风险利率收益。
由此可得到一个期权价格满足的微分方程，此即为BSM 期权定价模型的微分形式，具体为222212f f f rS S rf t S S σ∂∂∂++=∂∂∂ 由于该公式中不包含反映投资者风险偏好的参数——预期收益，因此可以在风险中性世界里求解该微分方程。
求解该方程可得到期权定价公式。
无股利欧式看涨期权的价格为 ()12()()r T t c SN d Xe N d --=-其中，21221d d d ===- 根据无股利欧式看涨期权和看跌期权平价公式()21()()r T t p Xe N d SN d --=--- 可求出无股利欧式看跌期权定价公式()21()()r T t p Xe N d SN d --=---无收益美式看涨期权是不会提前执行的，因此无收益美式看涨期权定价公式和欧式看涨期权定价公式相同，()12()()r T t C SN d Xe N d --=-对于有收益欧式期权，需要在股票价格中抛去收益的现值，对有收益的美式看涨期权，需要考虑其提前执行的情况，由于不存在美式期权之间的平价公式，因此无法给出美式看跌期权的确切公式。
第二节期权定价模型
C Fe r (T t ) Ke r (T t ) P
（二）平价关系
4、美式期权的平价关系 （1）标的资产无收益的平价关系
S K c p S Ker (T t )
（2）标的资产有收益的平价关系
S D K c p S D Ker (T t )
第二节
金融期权的定价模型
一、金融期权价格构成 （一）金融期权的内在价值 1、含义：期权的内在价值，即履约的价值，指期权合 约本身所具有的价值，也是期权的买方立即执行期权能 获得的收益。 期权的内在价值取决于协定价格与标的物市场价格的 关系。 期权的内在价值不会小于零。 根据内在价值，期权可分为实值、虚值和平值三种。
注意：对看涨期权来说，L 总是负值（总是借入资金）。 问题：导出复制看跌期权组合的计算公式。
• Risk-Neutral Probability
记： q R d
ud
1 q
C=∆S+L C = 1/R × (q × Cu + (1-q) × Cd) 如果q是股票价格上涨的概率，则看涨期权的价格是期权未来 价值的期望值的贴现值。 衍生证券的风险中性定价 如果每个人都是风险中性的，股票的期望收益率将等于无风险 收益率R. 在风险中性的世界中，股票上升的概率为q（注意 在实际中，股票上升的概率为p，投资者是风险厌恶的 ） 看涨期权的价格是期权未来价值的期望值的贴现值： C = 1/R × {q × Cu + (1-q) × Cd} 一般公式为： Derivative Price = EQ[(1/R)(T-t) × Payoff ] 此公式说明衍生证券的价格是其盈亏贴现值的期望值 (风险中 性的世界中)
1、实例
期权定价理论知识
期权定价理论知识期权定价理论是金融市场中重要的工具，它用于确定期权的合理价格。
期权是一种金融衍生品，它赋予持有者在未来某个时间点购买或卖出标的资产的权利，但并不强制执行。
期权的价格由多种因素决定，包括标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性以及无风险利率等。
在期权定价理论中，最著名的模型是布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）。
该模型是由费希尔·布莱克和米伦·斯科尔斯于1973年提出的，并且因此获得了诺贝尔经济学奖。
该模型基于一些假设，如市场是完全有效、无风险利率是恒定的等。
根据布莱克-斯科尔斯期权定价模型，期权的价格可以通过以下公式计算：C = S * N(d1) - X * e^(-rt) * N(d2)其中，C表示看涨期权价格，S表示标的资产价格，N(d1)和N(d2)分别是标准正态分布函数，X表示行权价格，r表示无风险利率，t表示期权到期时间。
公式中的d1和d2可以通过以下公式计算：d1 = (ln(S/X) + (r + (σ^2)/2)*t) / (σ * √t)d2 = d1 - σ * √t该模型通过考虑标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性和无风险利率等因素，来确定一个看涨期权的合理价格。
类似地，可以用类似的方法计算看跌期权的价格。
虽然布莱克-斯科尔斯期权定价模型是一个重要的理论框架，但它在实际应用中存在一些限制。
例如，该模型假设市场是完全有效的，但实际市场存在各种交易成本、税收和限制等，这些因素都可能影响期权的价格。
此外，该模型假设无风险利率是恒定的，但实际上利率是变化的。
因此，在实际应用中，需要根据实际情况进行调整和修正。
总之，期权定价理论是金融市场中重要的理论工具，它为期权的定价和交易提供了基础。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型是其中最著名的模型之一，它通过考虑标的资产价格、行权价格、期权到期时间、标的资产的波动性和无风险利率等因素来确定期权的合理价格。
第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型一、 影响期权价值的主要因素由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。
但是到期m S 是未知的，它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。
1)标的股票价格与股票执行价格的影响。
标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。
2）标的股票价格变化范围的影响。
在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。
如下图： )(s f )(1s f)(2s fx s股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。
3）到期时间距离的影响。
距离愈长，股价变动的可能性愈大。
由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。
4）利率的影响。
利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。
5）现金股利的影响。
股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。
二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。
2． T 时期内各时段的预期收益率r i 和收益方差σi 保持不变。
3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t 1-t 2时段内有：()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-股票的年收益率（单利）R 应该是：)3651()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+为了简化计算两边同时取自然对数可得：∑=+=+3651)3651()1(t tR In R In设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
期权定价模型和数值方法
期权及其有关概念
3． 期权旳内在价值 买入期权在执行日旳价值CT为 CT=max(ST －E,0)
式中:E表达行权价；ST表达标旳资产旳市场价。 卖出期权在执行日旳价值PT为 PT=max(E－ ST,0) 根据期权旳行权价与标旳资产市场价之间旳关系，期权可分为价内期权（in the
money）(S > E)、平价期权（at the money）(S = E)和价外期权（out of the money）(S < E)。
4. 珞（Rho）ρ ρ为期权旳价值随利率波动旳敏感度，利率增长，使期权价值变大。
5. 伽玛（Gamma）Γ Γ 表达δ与标旳资产价格变动旳关系。
10.3 B－S公式隐含波动率计算
隐含波动率概念
BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格旳体现式：
式中：
隐含波动率是将市场上旳期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反 推出来旳波动率数值。因为期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间旳 定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权旳实际市场价格作为已知量代入定价 公式，就能够从中解出惟一旳未知量，其大小就是隐含波动率。
10.3. 3 隐含波动率计算程序
环节3： 函数求解。 M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：
%TestImpliedVolatility %市场价格 Price=100; %执行价格 Strike=95; %无风险利率 Rate=0.10; %时间（年） Time=0.25; CallPrice=15.0;%看涨期权交易价格 PutPrice=7.0; %看跌期权交易价格 %调用ImpliedVolatility函数 [Vc,Vp,Cfval,Pfval]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)
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【实验小结】（收获体会）
通过这次期权定价模型与数值方法综合实验，加深了对Black-Schole期权定价公式的理解，同时培养了运用软件工具解决期权定价问题的应用和动手能力。
三、指导教师评语及成绩：
评语
评语等级
优
良
中
及格
不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强
（7）可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。
无收益欧式看涨期权的定价公式：
无收益资产欧式看跌期权的定价公式：
其中 ，
算例：股票的价格为100，股票的波动率标准差为0.25，无风险利率为5%，期权的执行价格为100，存续期为0.25年，试计算该股票欧式期权的价格。
【实验环境】
MATLAB2010b
Windows10
2.实验方案设计合理
3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）
4实验结论正确.
成绩：
指导教师签名：
批阅日期：
附录1：源程序
欧式期权的收益图程序：
subplot(1,2,1)
s=[0:1:99];
E=50;
call=zeros(size(s));
for i=1:100
call(i)=max(s(i)-E,0);
【实验原理】
1.BSM期权价格微分方程
2.看跌期权定价的显性差分法
（1）BSM微分方程中偏导数的差分近似
； ；
（2）差分方程
其中
（3）边界条件
T时刻看跌期权的价值为
下边界 上期权价值为
上边界 上期权价值为
（4）期权的价值
对于差分方程和边界条件
；
解出每个 的期权值，然后再与每个格点的期权内在价值 进行比较，判断是否提前执行，从而得到 时刻每个格点的期权价格。
end
plot(S,put);
ylim([-10 50]);
xlim([0 90]);
xlabel('到期价格S(T)');
ylabel('看跌期权的到期收益');
计算期权定价：
function [Call Put]=bsprice(S0,K,r,T,sigma)
% call:看涨期权
% put:看跌期权
数学与计算科学学院
实验报告
实验项目名称期权定价模型及其求解
所属课程名称微分方程数值解
实验类型验证型
实验日期4月8日
班级
学号
姓名
成绩
一、实验概述：
【实验目的】
（1）通过期权定价模型与数值方法综合实验，使学生加深对期权模型的理解；
（2）熟练掌握运用Matlab软件计算期权价格的有限差分法。
（4）培养学生运用软件工具解决期权定价问题的应用和动手能力。
二、实验内容：
【实验方案】
编写m文件，存储函数和需要求解的方程，在命令窗口输入相关命令调用函数即可得到结果。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
第一步.利用Matlab绘制欧式期权的收益图
2,计算Black-Scholes期权价格:
(call:看涨期权put:看跌期权
S0：股票的现价K：期权执行价格
（1）在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的；
（2）市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；
（3）股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)；（4）该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施;
（5）金融市场不存在无风险套利机会；
（6）金融资产的交易可以是连续进行的；
Put=K*exp(-r*T)*normcdf(-d2)-S0*normcdf(-d1); %利用Black-Schole公式计算看跌期权价格、
依此类推，可以计算出 ，当 等于初始资产价格时，该格点对应的 就是所求的期权价值。
1.参量与符号
（1） :标的资产的价格；（2） ：行权价格；（3） ：到期期限；
（4） ：标的资产价格波动率；（5） ：连续复利的无风险利率。
2.Black-Schole期权定价公式
在满足以下条件下，可以有新的计算公式。
% S0：股票的现价
% K：期权执行价格
% r:
d1=(log(S0/K)+(r+0.5*sigma^2)*T)/(sigma*sqrt(T)); % d1的计算
d2=d1-(sigma*sqrt(T)); % d2的计算
Call=S0*normcdf(d1)-K*exp(-r*T)*normcdf(d2); %利用Black-Schole公式计算看涨期权价格
r:无风险利率T：期权存续期
sigma：波动率)
用老师给定的数据s0=100;k=100;r=0.05;sigma=0.5;T=0.25;调用语句[Call,Put]=bsprice(100,100,0.05,0.25,0.5)得到如下结果：
Call =
10.5193
Put =
9.2770
【实验结论】（结果）
end
plot(s,call)
ylim([-10 50]);
xlim([0 90]);
xlabel('到期价格S(T)');
ylabel('看涨期权的到期收益');
subplot(1,2,2)
S=[0:1:99];
put=zeros(size(S));
for i=1:100
put(i)=max(E-S(i),0);