常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析
期权交易中的交易模型了解期权交易中常用的交易模型
期权交易中的交易模型了解期权交易中常用的交易模型期权交易中的交易模型一、引言在期权交易中，交易模型是指用来分析、预测和决策期权交易的数学模型和工具。
通过使用交易模型，投资者可以更加理性和科学地进行期权交易，提高交易的成功率和盈利能力。
本文将介绍一些常用的期权交易模型，包括布莱克-斯科尔斯期权定价模型、波动率模型和期权交易策略模型等。
二、布莱克-斯科尔斯期权定价模型布莱克-斯科尔斯期权定价模型是期权交易中最经典和常用的模型之一。
它是由费希尔·布莱克和默顿·米勒·斯科尔斯在20世纪70年代提出的。
该模型基于一些假设，如市场是自由和无摩擦的，无风险利率是已知的且恒定的，期权价格在不同时间节点上服从对数正态分布等。
通过这些假设，该模型可以计算出期权的理论价格。
因此，在实际交易中，投资者可以参考该模型计算期权的合理价格，并进行买入或卖出决策。
三、波动率模型波动率是期权价格的一个重要指标，也是评估期权价格变动幅度的指标。
在期权交易中，使用波动率模型可以帮助投资者更准确地估计期权的价格变动情况，进而制定相应的交易策略。
常用的波动率模型包括历史波动率模型、隐含波动率模型和波动率表面模型等。
历史波动率模型基于过去价格数据进行计算，可以反映出市场过去的波动情况；隐含波动率模型则是根据期权市场上的实际交易价格来计算波动率，可以反映市场对未来波动的预期；波动率表面模型则是基于隐含波动率曲面的分析，可以更全面地研究波动率的变动规律。
四、期权交易策略模型期权交易策略模型是指通过分析市场数据和期权合约等信息，制定合理的交易策略的模型。
常见的期权交易策略模型包括波动率交易策略模型、价差交易策略模型和动态对冲策略模型等。
波动率交易策略模型是基于波动率变动情况进行交易的策略，投资者可以根据波动率的高低来决定买入或卖出期权；价差交易策略模型则是通过同时买入或卖出不同行权价的期权合约来获取差价收益；动态对冲策略模型是根据期权持仓的变化情况进行动态调整，以保持风险敞口的平衡。
期权定价模型及其应用
期权定价模型及其应用引言期权是金融市场中一种重要的金融衍生品，它给予持有人在未来某个时间点以特定价格购买或出售某个资产的权利。
在期权交易中，合理的定价模型对于投资者和交易者来说至关重要。
本文将介绍期权定价模型的基本原理，并探讨其在金融市场中的应用。
一、期权定价模型的基本原理1. Black-Scholes模型Black-Scholes模型是最著名的期权定价模型之一，它是由费舍尔·布莱克和米伦·斯科尔斯于1973年提出的。
该模型基于一些假设，如市场无摩擦、无风险利率恒定、资产价格服从几何布朗运动等。
通过这些假设，Black-Scholes模型可以计算出欧式期权的理论价格。
2. 布莱克-斯科尔斯-默顿模型布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对Black-Scholes模型的改进，它考虑了股票支付的股利和股票价格的波动率。
该模型的应用范围更广，可以用于定价包括股票支付股利的期权。
3. 蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟是一种基于随机模拟的定价方法，它通过生成大量随机路径来估计期权的价值。
蒙特卡洛模拟可以应用于各种类型的期权，包括美式期权和亚式期权。
二、期权定价模型的应用1. 期权定价期权定价模型可以帮助投资者和交易者确定期权的合理价格。
通过使用合适的定价模型，投资者可以判断期权是否被低估或高估，从而做出相应的投资决策。
例如，当一个看涨期权的市场价格低于其理论价格时，投资者可以考虑购买该期权以获取超额收益。
2. 风险管理期权定价模型在风险管理中起着重要的作用。
通过使用期权定价模型，投资者可以计算出对冲策略，以降低投资组合的风险。
例如，一个投资者持有某个股票，并购买相应的看跌期权作为对冲，当股票价格下跌时，看跌期权的价值上升，从而抵消了股票的损失。
3. 交易策略期权定价模型可以帮助交易者制定有效的交易策略。
通过分析期权的定价，交易者可以发现市场上的套利机会，并进行相应的交易。
例如，当一个看涨期权的市场价格低于其理论价格时，交易者可以同时购买该期权和相应的标的资产，从而获得无风险的套利收益。
三种期权定价模型的分析与比较的开题报告
三种期权定价模型的分析与比较的开题报告一、选题背景期权定价模型是金融学研究的重要分支之一，而期权定价又是金融衍生品的基础，其价值也涉及到金融市场的风险控制、交易策略等问题。
由于期权市场兴起较晚，尤其是我国期权市场的发展还比较初级，因此对于期权定价模型进行深入的分析和比较具有较高的学术价值和实际意义。
二、研究目的本文旨在对三种经典的期权定价模型（Black-Scholes期权定价模型、Binomial期权定价模型和Monte Carlo期权定价模型）进行比较分析，探索它们各自的优缺点和适用范围，为投资者和相关从业人员提供参考。
三、研究内容1. Black-Scholes期权定价模型分析Black-Scholes期权定价模型是20世纪70年代早期由Black和Scholes建立的基于随机漫步过程的期权定价模型。
本文将深入探讨Black-Scholes期权定价模型的基本假设、核心公式推导过程，分析其适用范围和局限性，以及遇到实际问题后如何调整模型。
2. Binomial期权定价模型分析Binomial期权定价模型是一种相对简单的期权定价模型，也是一种基于离散时间和离散状态的期权定价方式。
本文将介绍Binomial期权定价模型的原理和计算方法，分析其与Black-Scholes期权定价模型的异同点和适用场景。
3. Monte Carlo期权定价模型分析Monte Carlo期权定价模型是一种基于随机模拟的期权定价模型，该模型的优点是比较适用于复杂的金融产品或者被赋予了更多随机变量的金融产品。
本文将介绍Monte Carlo期权定价模型的模拟过程和实现方式，分析其优劣和适用场景。
四、研究方法本文将采用文献综述和实证分析相结合的方法，从理论和实践两个方面对三种期权定价模型进行深入研究和比较。
五、预期成果通过对比分析三种期权定价模型，本文将得出它们各自的优缺点和适用范围，从而为投资者和从业人员提供相关决策参考。
简析期权的三种定价模型及其应用
二 、期权 定价 模 型 介绍 及 其 应 用
参 ¨ 夏 考 出 应用 ： 韩 国证 券 期 货 交易 所 （ ＫＲＸ） 对 于 ＫＯＳ Ｐ Ｉ ２ ０ ０ 期 文 权 采用 的是 二叉 树 定 价 方法 ， 也 是大 多 数 交 易所 做 市 商 时 版 献 社 普遍 采用 的 方法 。
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（ 一 ）Ｂ －Ｓ 期权 定价 模 型 三 定价模 型对 比及应用建议 期 。 介绍 ： 首 先假 设 标 的 价格 服 从 标 的价 格 波 动率 和预 期 收 由于 定价 模 型 自身 的定 价原 理 ， Ｂ—ｓ 定 价 模 型 的优 势 在 权 益 率 为常 数 的 几何 布 朗运动 ， 即 于 它 的 解析 解 是 封 闭的 ， 计 算 速 度快 而 精 确 ； 劣 势是 他 不 能 ＝ ＨＳ ｄｔ ＋ｅ Ｔ ｄ Ｚ 计 算 美 式期 权 。Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ（ ７ ６ ） 定 价 模 型 也 具有 封 闭解 析 解 ， 计 算 速 度 快 的 优势 ， 但 是它 的 可 用 范 围受 限 ， 只 能计 算 欧 式 期 原理 ： 通 过 卖 出 一 手看 涨期 权 ， 买 入 份股 票 ， 构 造 了 权 。最 后 ， 二 叉 树 定价 模 型 的优 点 很容 易看 出 ： 方法 简 单 易 懂， 同时 具 有 扩 展 性 。但 是 它 的缺 点 是 ： 增 加 了步 长 个 数 ， 份 无 风 险投 资 ＝一 ｆ＋ ・ Ｓ 模 型 收 敛 度 强精 度 得 到 提 高 ， 但 是 计 算 耗 时大 大 增 加 ； 如 果 由无 套 利 原理 可 知 ， 该 组 合 的 收益 率 和无 风 险投 资 的 收 减少 步 长个 数 ， 可 以减少 计 算 时 间 ， 但 是 精 度 却 又降 低 了 。 益率相同 ， 即 、 在 期 权 交易 过 程 中 ， 我 们 只有 选 择 了 合适 的定 价模 型才 Ａｚ’ ：ｒ 砖 ｆ 能得 到 理 想 的 结 果 ， 所 以我 们 在 选 择 定 价模 型 时 应 当根 据 １ ： 所 掌 握 的 的 各 种 资 源 和 实 际 情 况 来 进 行 选 择 和权 衡 ， 以 获 ＋ ＋
数量金融学中的期权定价模型
数量金融学中的期权定价模型数量金融学是一门研究金融市场中各种金融工具定价和风险管理方法的学科，期权定价模型是其重要的研究内容之一。
本文将介绍数量金融学中的一些常用的期权定价模型，以及它们的应用和局限性。
1. 布莱克-斯科尔斯期权定价模型布莱克-斯科尔斯期权定价模型是数量金融学中最经典的模型之一。
该模型最初由弗ィ舍尔·布莱克和梅伊·斯科尔斯在1973年提出，它基于一些假设，包括市场无摩擦、连续交易、无风险利率等。
该模型能够准确地计算欧式期权的价格，即在到期日才能行使的期权。
2. 子期权定价模型子期权是一种较为复杂的金融工具，数量金融学中的期权定价模型也有针对子期权的研究。
子期权定价模型可以分为两类，分别是传统的基于风险中性概率方法的定价模型和基于数值算法的定价模型。
这两类模型在定价效果和计算复杂度上有不同的取舍，研究者可以根据实际情况选择适合的模型进行定价。
3. 随机波动率模型随机波动率模型是一类考虑了波动率在时间上的随机变动的期权定价模型。
传统的布莱克-斯科尔斯模型假设波动率是固定的，但实际市场中波动率常常是变动的。
随机波动率模型引入了随机因素来描述波动率的变动，从而更接近实际情况。
4. 跳跃扩散模型跳跃扩散模型是一类考虑了价格在离散点上出现跳跃的期权定价模型。
传统的布莱克-斯科尔斯模型假设价格变动是连续的，但实际市场中经常出现价格出现明显的跳跃。
跳跃扩散模型通过引入跳跃因子来描述价格的离散性，能够更好地适应实际市场。
5. 其他相似模型除了上述介绍的几种常见的期权定价模型之外，数量金融学中还存在一些其他的模型，如二元模型、多维模型等。
这些模型在不同的研究领域和实际应用中有着各自的局限性和适用性。
综上所述，数量金融学中的期权定价模型为金融领域的从业者提供了一种有效的工具，可以用来估计和计算不同类型期权的价格。
然而，每个模型都有其自身的假设和限制，需要结合实际情况进行合理的选择和应用。
50ETF期权定价模型比较
50ETF期权定价模型比较50ETF期权定价模型主要包括Black-Scholes模型、Binomial模型和Monte Carlo模型等。
以下将对这三种模型进行比较。
首先是Black-Scholes模型，它是最常见的期权定价模型之一。
这一模型基于假设：期权价格是一个由标的资产价格、行权价格、无风险利率、到期时间、标的资产的波动率等因素决定的函数。
Black-Scholes模型在一定程度上可靠，因为该模型简单直观，计算方便，并且其假设对于一些场景来说是合理的。
不过，Black-Scholes模型也存在一些缺点，例如它假设了市场是完全效率的，并且假设了标的资产价格服从对数正态分布。
这些假设并不总是准确的，在实际应用中可能会引入误差。
其次是Binomial模型，这是一种离散时间离散状态的模型。
Binomial模型通过在给定时间间隔内，将标的资产价格涨跌为两个状态，并计算不同状态下的期权价格，从而得出期权的价格。
相较于Black-Scholes模型，Binomial模型克服了Black-Scholes模型对市场完全效率和价格服从对数正态分布的假设。
Binomial模型便于理解，计算相对简单，但是由于其离散化的特性，对于长期期权或多阶段期权的定价可能存在误差。
最后是Monte Carlo模型，这是一种模拟模型，它通过在给定期权参数下随机生成多次标的资产价格模拟路径，以得出期权的价格。
Monte Carlo模型对于较为复杂的期权和市场情况有更好的适应性。
相较于Black-Scholes模型和Binomial模型，Monte Carlo模型精度更高，但计算复杂度也更高。
Monte Carlo模型的计算精度会受到模拟路径数量、随机数生成质量等因素的影响。
不同的期权定价模型适用于不同的市场情况和期权类型。
Black-Scholes模型适用于简单的欧式期权定价，Binomial模型适用于离散时间的定价问题，而Monte Carlo模型适用于复杂的期权和市场情况下的定价。
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
金融市场中的期权定价模型研究
金融市场中的期权定价模型研究金融市场中的期权定价模型是为了衡量和预测期权价格的模型和方法。
这些模型是金融工程领域的重要组成部分，为金融机构和投资者提供了有效的工具来评估和管理风险。
本文将介绍几种经典的期权定价模型，包括布莱克-斯科尔斯期权定价模型和考夫曼-伊格尔斯模型，并探讨它们在金融市场中的应用和局限性。
一、布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）布莱克-斯科尔斯期权定价模型是1973年由费雪-布莱克和罗伯特-斯科尔斯提出的，被公认为金融工程领域最重要的突破之一。
该模型基于一些假设，包括市场效率、连续性股价过程、无风险利率等。
它通过对股票价格、期权行权价、到期日之间的关系进行建模，计算出期权的理论价格。
布莱克-斯科尔斯模型的核心公式如下：$$C = S_0 \cdot N(d_1) - X \cdot e^{-r \cdot T} \cdot N(d_2)$$$$P = X \cdot e^{-r \cdot T} \cdot N(-d_2) - S_0 \cdot N(-d_1)$$其中，$C$和$P$分别代表欧式看涨期权和欧式看跌期权的理论价格，$S_0$代表标的资产价格，$X$代表期权行权价，$r$代表无风险利率，$T$代表期权到期日，$N(\cdot)$代表标准正态分布的累积分布函数，$d_1$和$d_2$的计算公式如下：$$d_1 = \frac{ln(\frac{S_0}{X}) + (r + \frac{\sigma^2}{2}) \cdotT}{\sigma \cdot \sqrt{T}}$$$$d_2 = d_1 - \sigma \cdot \sqrt{T}$$布莱克-斯科尔斯模型的优点是可以对欧式期权进行准确的定价，是期权定价模型的基石。
然而，该模型也有一些局限性，比如它假设市场效率和连续性股价过程不变，忽略了市场中的非理性行为和离散股价波动。
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常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析(function() {var s = "_" + Math.random().toString(36).slice(2);document.write('');(window.slotbydup = window.slotbydup || []).push({id: "u3686515",container: s});})();[摘要] 期权是一类重要的金融衍生产品，它赋予持有者的是一种买权或卖权，而并非义务，所以期权持有者可以选择行使权利，也可以放弃行权。
那么，如何对期权定价才能对期权的发行者、持有者双方更加合理？于是就产生了期权的定价问题。
在现代金融理论中，期权定价已经成为其重要的组成部分，关于对期权定价模型的研究成果也是层出不穷，文章主要介绍在连续时间下常用的三种期权定价模型：Black-Scholes模型、Ornstein-Ulhenbeck过程模型以及跳跃-扩散模型，并对这三种模型作简要的对比分析。
[关键词] Black-Scholes期权定价模型；Ornstein-Ulhenbeck过程的期权定价模型；跳跃-扩散过程的期权定价模型；风险中性定价doi ：10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2018. 23. 050[中图分类号] F830.9 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2018）23- 0117- 041 Black-Scholes期权定价模型1970年初，美国经济学家布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发现无支付红利的股票的衍生证券的价格必然满足一个微分方程，他们推导出了该方程的解析解，并得到了欧式看涨、看跌期权的价格。
该理论被视为期权定价史上的丰碑，为此，斯科尔斯以及后来为该方程做出重大贡献的默顿（Merton）共同获得了1997年10月10日的诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes期权定价模型是建立在以下假设之上的：（1）股票不支付红利，且股价St服从几何布朗（Brown）运动，其随机微分方程为dSt=μStdt+σStdWt（1）其中，μ，σ均为常数，Wt是定义在概率空间（Ω，F，P）上的标准布朗运动。
（2）市场是完全的，所有未定权益都是可复制的，且不存在任何套利机会；（3）无风险利率r是一个常数，并且任何期限的借贷利率都相等；（4）允许无限制的卖空；（5）市场是无摩擦的，即无税收成本、无交易成本；（6）股票可以以任何数量在任何连续的时间交易。
首先求解随机微分方程式（1）。
根据伊藤（It？?h）公式可得：d ln St=μ- dt+σdWt（2）给定初始股价S0，在式（2）的两边同时取[0，t]上的积分便可解得：St=S0e （3）如果一个金融市场仅包括无风险资产和股票两种资产，无风险利率为r，给定时间区间[0，T]，将[0，T]进行N等分，每个子区间的长度均为Δt，则T=NΔt。
设t∈[0，T]，令t=nΔt。
在离散情形下，投资者的初始财富为X0，他于nΔt时刻购买了？准nΔt份股票，若nΔt时刻的股价为SnΔt，则在下一时刻，投资者拥有的财富值满足：X（n+1）Δt =？准nΔtS（n+1）Δt +（XnΔt -？准nΔt=SnΔt）erΔt化简整理得：X（n+1）Δt-XnΔt=？准nΔt（S（n+1）Δt-SnΔt）+（XnΔt -？准nΔtSnΔt）（erΔt-1）（4）当Δt→0时，erΔt-1～rΔt，再根据微分与差分的关系，结合式（1），（4）可变为dXt=[（μ-r）？准tSt+rXt]dt+σ？准tStdWt（5）给定一个适应过程θt= ，令Zt=e ，则Z0=1，根据伊藤公式，在概率测度P下，有dZt=-θtZtdWt（6）式（6）说明，Zt在概率测度P下是一个鞅。
在式（6）的两边同时取[0，t]上的积分，Zt=1- ZsHsdWs由于ZsHsdWs是一个随机伊藤积分，所以期望为0。
令ZT=Z，则EP（Z）=EP（ZT）=EP（1- ZsHsdWs）=1如果把Z（ω）视为概率空间（Ω，F，P）上一个几乎必然为正的随机变量，且EP（Z）=1，定义一个新的概率测度Q：Q（A）= Z（ω）dP（ω），？坌A∈F（7）就会有如下形式的拉东-尼柯迪姆（Radon-Nikodym）导数：dQ=Z（ω）dP若概率测度Q～P，并且假定EP（θs2ZS2ds）考虑一份在T时刻到期的欧式期权，期权在到期时刻的价值VT=V（T，ST）满足：VT=V（T，ST）=max{ST-K，0} 欧式看涨期权max{K-ST，0} 欧式看跌期权（15）其中，K>0表示期权合约的敲定价格。
根据完全市场的可复制原理，令X=V，在风险中性概率测度Q 下，由于资产组合价值的贴现过程Xt*是一个鞅，所以期权价值的贴现过程Vt*=e-rtVt也是一个鞅，即EQ（e-rTVT|Ft）=e-rtVt（16）稍做整理便可得到风险中性定价公式：Vt=EQ[e-r（T-t）VT|Ft]（17）仿照式（3），根据式（9），在风险中性概率测度Q下可以解得：St=S0e于是，在最终时刻T，ST=S0e =Ste （18）假设随机变量Y=- ～N（0，1），其累积分布函数为N（?），则式（18）可写为ST=Ste （19）首先考虑一份在T时刻到期的欧式看涨期权，其价值函数不妨设为Ct=C（t，St），则CT=C（T，ST）=max{ST-K，0}（20）当ST=Ste >K时，解此不等式得：Y0，0 首先求解随机微分方程式（25）。
根据伊藤公式可得：d（lnSt）=μ- -μa ln Stdt+σdWt（26）不妨设Yt=ln St，则式（26）可变为dYt=μ- -μa Ytdt+σdWt（27）又因为d（eμatYt）=μaeμatYtdt+eμatdYt结合式（27）得：d（eμatYt）=μ- eμatdt+σeμatdWt（28）而Y0=ln S0=0，故在式（28）的两边同时取[0，t]上的积分便可解得：St=e （29）由此可见，当a→0+时，1-e-μat→μat，从而，μ- →μ- t且σe-μat eμasdWs→σ dWs=σWt故St→e ，这恰好是当S0=1时的几何布朗运动模型的解析解，所以Ornstein-Ulhenbeck期权定价模型是Black-Scholes期权定价模型假设股价遵循随机微分方程式（1）的一个极限情况，同样，这也是对经典的Black-Scholes期权定价模型的一个改进。
在概率空间（Ω，F，P）上，若设股价的贴现过程St*=e-rtSt，则有dSt*=[μ（1-aln St）-r]St*dt+σSt*dWt（30）如果Q为风险中性概率测度，且Q-P，令θt= ，故θt是一个适应过程，则在Q下，定义一个标准布朗运动：t=Wt+ θtds另设Zt=e ，Zt在P下是一个鞅，于是式（30）可变为dSt*=σSt*d t（31）式（31）说明，在风险中性概率测度Q下，股价的贴现过程St*是一个鞅，并且可以解得：St*=S0*e （32）其中，St*=1。
这样，式（32）与式（12）在形式上是一致的。
在风险中性概率测度Q下，式（25）可变为dSt=rStdt+σStd t（33）由此可见，式（33）与式（9）在形式上也是一致的，这样就可以断定，在Black-Scholes模型和Ornstein-Ulhenbeck模型下，欧式期权具有相同的价格。
3 跳跃-扩散过程的期权定价模型Black-Scholes模型是一个经典的、典型的期权定价模型，它利用几何布朗运动来模拟连续时间、连续状态下股票?r格的运动模式，但是股票价格的变动并非都是连续的，有时会发生跳跃的行为。
例如，在1987年的“?\色星期五（Black Friday）”中，股票价格日平均跌幅高达30%，这时的股价就呈现出跳跃状态。
为了全面描绘股价的真实运动情况，1975年，默顿在其发表的论文《股票收益不连续时的期权定价》中假设股价会产生跳跃的行为，即在原几何布朗运动的基础上加了一个跳跃项。
给定一个概率空间（Ω，F，P），设X1，X2，…，是一列独立同分布的随机变量，数学期望为EP（Xi）=β，i=1，2，…。
Nt是强度为λ的泊松（Poisson）过程，对于任意的0≤s≤t≤T，其增量的分布为P（Nt-Ns=n）= e-λ（t-s），n=0，1，…，（34）其中，N0=0，泊松过程的增量是独立的，并且EP（Nt）=Varp（Nt）=λt。
若Xi与Nt相互独立，定?x 复合泊松过程Yi= Xi，这样，EP（Yt）=EP[EP（Yt|Nt=n）]= e-λt? EP（Xi）=βλt若定义补偿复合泊松过程为Mt=Yt-βλt，则Mt在概率测度P下是一个鞅，即EP（Mt|Fs）=EP（Yt-βλt|Fs）=Ys-βλs=Ms其中，0≤s≤t≤T，Fs=σ（Yu，0≤u≤s）表示由Yt 生成的σ-域流。
默顿的跳跃-扩散模型是建立在几何布朗运动基础之上的，即在原有的几何布朗运动模型中加入跳跃项。
假设股票的价格满足如下的随机微分方程：dSt=μStdt+σStdWt+StdMt=（μ-βλ）Stdt+σStdWt+StdYt（35）这里，Wt是定义在（Ω，F，P）上的标准布朗运动。
根据多莱昂-戴德（Doleans-Dade）指数公式，方程式（35）的解为St=S0e （Xi+1）（36）其中，S0为初始股价。
若设Bi=ln（Xi+1）服从正态分布，则Bi也是独立同分布的，且（Xi+1）= e这样，式（36）可写为St=S0e （37）给定一个风险中性概率测度Q-P，则在Q下，定义标准布朗运动t=Wt+θt，Nt是风险中性强度为的泊松过程，EQ（Xi）= ，且Mt=Yt- t。
由于测度变换改变了股票的平均回报率，使它成为无风险利率r，即dSt=rStdt+σStd t+StdMt=（r+σθ- ）Stdt+σStdWt+StdYt（38）因为Q～P，所以式（35）与式（38）相等，即μ-βλ=r+σθ- （39）式（39）就是该模型的风险的市场价格方程。
类似于式（35），方程式（38）的解为St=S0e （40）考虑一份在T时刻到期的欧式看涨期权，Q为风险中性概率测度，在最终时刻T，期权的价值为CT=C（T，ST）=max{ST-K，0}（41）如果股价没有发生跳跃，则根据欧式看涨期权的Black-Scholes定价公式，令StN（d1）-Ke-r（T-t）N（d2）Δ=g（T-t，St）（42）则在Nt=n的条件下，对于t∈[0，T），根据风险中性定价原理便可得到此时的欧式看涨期权的定价公式，即Ct=C（t，St）= e-r（T-t）EQ（g（T-t，Ste ））（43）其中，N（?）是标准正态分布的累积分布函数，且有d1= ln +r+ （T-t）d2= ln +r- （T-t）根据式（43），再结合平价公式（23）便可求得欧式看跌期权的定价公式。