关于路径依赖型期权定价模型的研究_郑小迎
收稿日期:1999209221 基金项目:国家自然科学基金资助项目(79670076)第一作者简介:郑小迎(1972—),男,河北涞水人,博士研究生.主要从事金融工程学及金融衍生工具研究.关于路径依赖型期权定价模型的研究郑小迎,陈金贤(西安交通大学管理学院,陕西西安 710049)摘 要:剖析了路径依赖型期权的主要特征和价值形成机理,归纳出路径依赖型期权的主要类型.在Black 2Scholes 模型的基础上,讨论了各类期权的定价模型,并创建了包含路径因子在内的多因素定价模型.关键词:路径依赖型期权;Black 2Scholes 模型;无套利原理;偏微分方程中图分类号:F 83019 文献标识码:A 文章编号:10012988Ⅹ(2000)022*******期权是20世纪70年代中期首先在美国出现的一种金融创新工具,20多年来它作为一种防范风险或投机的有效手段得到了迅猛发展.由于期权合约灵活多样、适于创造,又有一个庞大的场外交易市场,近年来,国际衍生金融市场除了交易人们广为熟悉的欧式、美式等标准期权之外,还涌现出大量由标准期权变化、组合、派生而出的新品种,即新型期权.而众多的新型期权往往又具备路径依赖的特征,即期权价格不仅取决于到期日的基础资产价格,而且取决于基础资产价格的变化路径〔1〕.障碍期权、亚式期权、回望期权等品种都是其中的代表,它们的定价与标准期权相比有较大差异.本文在研究标准期权定价的基础上,深入探讨各类路径依赖型期权的特征与价值形成机理,并建立针对不同种类路径依赖型期权的定价模型.鉴于我国当前金融创新的发展动向,本文仅以股票作为期权的基础资产进行研究,至于股指、商品、货币等类型的基础资产暂不作讨论.1 路径依赖型期权及相关内容传统的标准期权通常是按照权利的种类和行使权利的时间来划分的.根据所赋予的权利不同,期权可分为看涨期权和看跌期权:看涨期权是指期权买方拥有以执行价格向期权卖方买入或不买入一定数额标的资产的权利;看跌期权是指期权买方拥有以执行价格向期权卖方卖出或不卖出一定数额标的资产的权利.根据执行时间的不同,期权可分为欧式期权和美式期权:欧式期权只允许期权买方在到期日进行交易;而美式期权则允许买方在到期日或到期日之前的任何营业日进行交易.路径依赖型期权与标准期权的条件和特征多有不同,许多品种都是金融机构应市场的特殊要求设计而成的,并最终延伸成为一系列有助于管理特定风险的金融产品.它们通常在场外市场交易,其收益规律也远较标准期权复杂.为了讨论方便,有必要对其进行如下分类〔1〕:51 第36卷2000年第2期 西北师范大学学报(自然科学版) V ol 136 2000 N o 12 Journal of N orthwest N ormal University (Natural Science ) 1)合同条款变化型期权.由于标准期权合同条款的某些特征发生变化而产生的期权品种,主要包括任选期权、障碍期权等.另外,由于美式期权具备提前执行的条件,使其收益与基础资产的价格变化路径有关,故也可归入此类.该类期权的定价模型大都是欧式期权定价模型的变形与延伸.2)多因素型期权.该类期权的定价不仅要考虑标的变量的变化规律,还需度量路径因子的变化规律,其定价模型将涉及到多个变量.亚式期权、回望期权等品种都属于该类型.由于路径依赖型期权的多样性、复杂性,我们将其定价分解为3个待解决的问题:①从欧式期权定价出发,探讨期权定价的建模思路;②建立能够反映路径依赖特征的多因素定价模型;③以上述模型为基础,详细讨论不同品种的期权定价.2 Black 2Scholes 模型的应用由于路径依赖型期权与欧式期权具有密切的联系,所以首先应溯根求源,在充分理解欧式期权定价的基础上,逐渐凸现出路径依赖型期权的定价原理.Black 2Scholes 定价模型(以下简称B 2S 模型)正是解决欧式期权定价最有效的手段之一.该模型由美国金融学家Black 与Scholes 于1973年首次提出〔2〕,其后,Merton 、C ox 、R oss 与Ingers oll 又对其进行了深入研究与改进,并将其推广到股票期权、股指期权、汇率期权等众多衍生品的定价之中〔3〕.它首先假定股票价格服从对数正态分布,然后综合运用有效市场理论、无套利原理、IT O 定理,最终得到了基于股价的任意一种衍生品价格的偏微分方程.其推导过程如下:首先假设:①证券市场是一个弱性的有效市场;②所有投资者都处于一个风险中性的环境中,所有的证券收益率均为无风险利率;③无交易费用或税收;④随时可以按无风险利率贷入或贷出资金;⑤在衍生品有效期内不支付股利.交易时间内的股价s 被看作是随时间t 变化的连续时间变量,并且服从对数正态分布(也称几何布朗运动):d s =μs d t +σs d z ,(1)其中,μ为预期收益率;σ为标准正态分布的标准差;d z 是一个Wiener 过程.则任意一种基于股价s 的衍生品价格f (s ,t )必须满足方程:9f 9t +rs 9f 9s +12σ2s 292f 9s 2=r f ,(2)r 为无风险利率.方程(2)被称为B 2S 模型,属倒向二阶线性抛物型偏微分方程〔4,5〕.对应于不同种类的衍生品,该方程有不同的解.以欧式看涨期权C (s ,t )为例,设其到期日为T ,执行价格为E ,边界条件为:C (0,t )=0; C (s ,t )～s ,s →∞; C (s ,T )=max (s -E ,0).(3)通过适当的变量代换可将方程(2)化简为标准形式.令:s =E e x ,t =T -2τ/σ2,C =Ev (x ,τ),(4)将(4)式代入方程(2),以C (s ,t )替换f (s ,t ),并令k =2r /σ2,则9v 9τ=92v 9x 2+(k -1)9v 9x -kv .(5)利用分离变量法,设v (x ,τ)具有如下形式:61西北师范大学学报(自然科学版) 第36卷 Journal of N orthwest N ormal University (Natural Science ) V ol 136 v =e αx +βτu (x ,τ),(6)其中,α=-12(k -1),β=-14(k +1)2.将(6)式代入方程(5),最终得到9u 9τ=92u 9x 2, -∞<x <+∞, τ>0.(7)方程(7)是标准的热传导方程〔5〕,有着严格的解析解u (x ,τ)=∫∞-∞u (x ,0)e -(x -s )2/4τd s ,(8)其中,u (x ,0)=max e 12(k +1)x -e 12(k -1)x ,0.利用(8)式可求出u (x ,τ)的表达式,将变量还原,可得到C (s ,t )的解C (s ,t )=sN (d 1)-E e-r (T -t )N (d 2).(9)其中,d 1=In (s /E )+(r +σ2/2)(T -t )σT -t ,d 2=d 1-σT -t ,N (・)是累计标准正态分布函数.相同条件下欧式看跌期权的价格P (s ,t )可由它与看涨期权的平价关系得到:P (s ,t )=C -s +E e -r (T -t )=E e -r (T -t )N (-d 2)-sN (-d 1).(10) 在上述求解过程中需要把握以下两点:①B 2S 模型以无套利理论作为基础,求解过程中使用了大量的偏微分方程理论,这些方法对研究金融衍生品定价具有很强的指导意义;②该模型仅涉及股价s 与时间t 两个独立变量,但是当构架路径依赖型期权定价模型时,还必须考虑股价移动路径对其价格的影响.3 合同条款变化型期权的定价方法由于该类型期权基本上是欧式期权的某种变形和组合,因此,它们的定价模型大都属于B 2S 模型的变形和延伸.下面以任选期权、障碍期权、美式期权为例进行说明.表1 障碍期权的分类名称对应的期权性质(看涨/看跌)下降敲出型看涨下降敲入型看跌上升敲出型看跌上升敲入型看涨311 任选期权的定价方法任选期权是指在未来某一时刻,即选择时间t 1(t 1<T ),期权持有者具有一种选择权,能够选择期权性质———看涨期权或看跌期权.设t 1时刻股价为s 1,则该时刻期权值为max (C ,P ).利用看涨期权与看跌期权的平价关系,上式可演变为:max (C ,P )=max (C ,C +E e -r (T -t 1)-s 1)=C +max (0,E e -r (T -t 1)-s 1).这说明任选期权由到期时间为T 、执行价格为E 的欧式看涨期权与到期时间为t 1、执行价格为E e-r (T -t 1)的欧式看跌期权两部分组成.由于它给予期权买方极大的灵活性,故其价格也较高.312 障碍期权的定价方法障碍期权是在欧式期权的基础上约定了一个障碍价格.在期权有效期的任何时间,一旦标的变量达到障碍水平,原有期权即告失效(敲出)或生效(敲入),具体划分见表1.71 2000年第2期 郑小迎等:关于路径依赖型期权定价模型的研究 2000 N o 12 S tudy on the pricing m odel of path 2dependent options 由于上述4种期权大体类似,故仅以下降敲出型障碍期权C b (s ,t )为例来推导该类期权的定价模型,显然其定价模型仍满足B 2S 模型.但根据自身特点,其边界条件需修改为C b (X ,t )=0; C b (s ,t )～s ,s →∞; C b (s ,T )=max (s -E ,0),s >X .其中,X 为障碍水平,通常有X <E .以下的求解过程与欧式期权类似,但是方程(7)的边界条件需调整为:u (x ,0)=max e12(k +1)x -e 12(k -1)x ,0,x ≥x 0;u (x ,t )～e (1-α)x -βτ,x →∞; u (x 0,t )=0,x 0=In (X /E ).最终得到C b (s ,t )=C (s ,t )-(s /X )-(k -1)C (X 2/s ,t ).上式说明,障碍期权价格较欧式期权便宜.但是,由于障碍水平的设立,也增加了期权作废的可能性.313 美式期权的定价方法由于美式期权可在其有效期内任何营业日进行交易,因此,它比欧式期权应用得更为普遍〔3〕.但其提前执行的可能性使得在有效期内的任一时刻,不仅要度量期权的价值,还要判断它是应执行或应继续持有,从而导致美式看涨、看跌期权的定价方法有所不同.31311 美式看涨期权的定价方法 首先应判断美式看涨期权是否具备提前执行的条件.若期权在有效期内处于实值状态,期权买方立即执行该期权,可得到内涵价值s -E .但是,这并不能说明该期权就具备了提前执行的条件.恰恰相反,这种做法极不明智,因为它使买方失去期权的时间价值,即丧失了因股价可能上升而使期权增值的机会,故买方应继续维持多头头寸,以期望获取更高的收益.若买方预期股价被高估,也不应执行期权,而应出售期权,以便同时获得内涵价值和时间价值.因此,美式看涨期权在任何情况下都不具备提前执行的条件,其价值C A (s ,t )与欧式看涨期权相同,即C A (s ,t )=C (s ,t ).31312 美式看跌期权的定价方法 由于股价s 不可能无限制地下降,即s >0,所以当看跌期权处于深度值(s →0)时,其时间价值有可能出现负增长(图1).为避免时间价值的损失,在s 下降到一定程度(记为s f (t ),即时间价值为零时)时,就应当执行该期权,从而获取内涵价值E -s ,否则就继续维持该头寸,其价格与欧式看跌期权相同(图2).因此,美式看跌期权P A (s ,t )的定价按照s 的大小被分解为两部分(表2).利用(10)式,s f (t )的大小可由下式确定:s f +e -r (T -t )N (-d 2(s f ))-s f N (-d 1(s f ))=E.81西北师范大学学报(自然科学版) 第36卷 Journal of N orthwest N ormal University (Natural Science ) V ol 136 图1 美式看跌期权价值规律(未执行) 图2 美式看跌期权价值规律表2 美式看跌期权定价股价范围处理方法约束方程P A (s ,t )表达式0<s <s f (t )执行9P A 9t +r s 9P A 9s +12σ2s 292P A 9s 2<rP A E -s s >s f (t )继续持有9P A 9t +r s 9P A 9s +12σ2s 292P A 9s 2=rP A P (s ,t )4 多因素型期权的定价模型包括B 2S 模型在内,上述期权的定价均有一个共同点,即各模型中仅含标的变量s 和时间t 两个独立变量,期权价值也仅与这两个变量有关.但是,多因素型期权定价还需考虑路径因子的影响,故其定价模型将涉及到多个变量.根据定义,路径因子I 与标的资产价格s 和时间t 有关,故描述为I =∫t0f (s (τ),τ)d τ,其中,f (s (t ),t )是任意路径函数,期权表达式也重写为V (s ,I ,t ).根据IT O 定理,V (s ,I ,t )将遵循如下的随机过程:d V =12σ2s 292V 9s2+μs 9V 9s +9V 9t +f (s ,t )9V 9I d t +σs 9V 9s d z .构造资产组合Π=V -Δs ,则经历微小时间段d t 后,Π的变化量为d Π=σs 9V 9sd z +12σ2s 292V 9s 2+μs 9V 9s +9V 9t +f (s ,t )9V 9I d t -Δ(μs d t +σs d z ).令Δ=9V 9s,利用无套利原理,最终有9V 9t +f (s ,t )9V 9I +rs 9V 9s +12σ2s 292V 9s2=r V .(11)这是一个包含路径因子的定价模型.对应不同的路径因子,定价模型(11)具有不同的形式.411 回望期权的定价模型回望期权使期权买方可回顾标的资产的价格变动路径,并有权选择最佳资产价格.具体而言,回望看涨期权使期权买方能在期权有效期内以最低价格购买标的资产;同理,回望看跌期权使期权买方能在期权有效期内以最高价格出售标的资产.以回望看跌期权P l (s ,J ,t )为例,其收益情况可描述为P l (s ,J ,T )=max (J -s ,0).(12)其中,J =max 0≤τ≤Ts (τ),引进路径因子I n :I n =∫t 0(s (τ))n d τ.(13)设J n =(I n )1/n ,则J =lim n →∞J n .将(13)式代入方程(11),可得到定价公式9P l 9t +1n s n J n-1n 9P l 9J n +rs 9P l 9s +12σ2s 292P l 9s 2=rP l .(14)91 2000年第2期 郑小迎等:关于路径依赖型期权定价模型的研究 2000 N o 12 S tudy on the pricing m odel of path 2dependent options 当n →∞时,上式可还原为B 2S 定价模型,但其边界条件将发生变化:P l (s ,J ,T )=max (J -s ,0); P l (0,J ,t )=J e -r (T -t ); 9P l 9J=0,s =J .最终的求解结果是P l (s ,J ,t )=s (-1+N (d 3)(1+k -1))+J e -r (T -t )N (d 4)-k -1sJ 1-k N (d 5).(15)其中,d 3=In (J /s )+(r +σ2/2)t σT -t ,d 4=In (J /s )-(r -σ2/2)t σT -t ,d 5=In (s /J )-(r -σ2/2)t σT -t.回望期权在到期日基本上处于实值、两平状态,因此其价格极为昂贵,现实中很少能发生与之相匹配的风险.412 亚式期权的定价模型亚式期权的收益取决于有效期〔0,T 〕内的平均价格A (T )和执行价格E 的关系.它能够帮助期权持有者防范一段时间内因频繁交易资产而发生的价格波动风险,而欧式期权只能避免间断性交易所发生的风险.A (t )的表达式为A (t )=1t ∫ts (τ)d τ,其路径因子I a 可描述为I a =∫t 0s (τ)d τ.根据方程(11),可得到亚式期权V a (s ,I a ,t )的定价模型:9V a 9t +s 9V a 9I a +rs 9V a 9s +12σ2s 292V a 9s2=r V a .(16)以亚式看涨期权C a (s ,I a ,t )为例,其边界条件可描述为C a (s ,I a ,T )=max 1T I a (T )-E ,0.由于股价s 的算求平均值A (T )不再满足对数正态分布,仅利用方程(16)还无法得到解析解.但可利用一对数正态变量(记为I ′(t ))作为路径因子I a 的近似值(两者的一阶矩和二阶矩相等),从而得到其近似的解析解.这里取I ′(t )=s (0)e Y (t ),其中,Y (t )～N (( μ- σ2/2)t , σ2t ).下面是两者一阶矩和二阶矩的计算结果:E1T I a =E 1T ∫T 0s (τ)d τ=s (0)rT (e rT -1),E (I ′)=s (0)e μT ;E 1T I a 2=2s 2(0)T 2(r +σ2)e (2r +σ2)T -12r +σ2-e rT -1r ,E (I ′2)=s 2(0)e (2 μ+ σ2)T .由于I ′(t )和I a 的一阶矩和二阶矩相等,故可列出方程组:s (0)rT(e rT -1)=s (0)e μT ,2s 2(0)T 2(r +σ2)e (2r +σ2)T -12r +σ2-e rT -1r =s 2(0)e (2 μ+ σ2)T .02西北师范大学学报(自然科学版) 第36卷 Journal of N orthwest N ormal University (Natural Science ) V ol 136 求解得μ=1T In e rT -1rT , σ2=1T In 2r 2(r +σ2)(e rT -1)2e (2r +σ2)T -12r +σ2-e rT -1r .(17)模仿欧式期权的求解步骤,可得到C a (s ,t )的近似解为C a (s ,t )≈1-e r (T -t )r (T -t )(sN ( d 1)-E e - μ(T -t )N ( d 2).其中, d 1=In (s /E )+( μ+σ2/2)(T -t ) σT -t, d 2= d 1- σT -t .实例:假定某种股票的亚式期权3个月后到期(T =3/12=0125),期权的执行价格E 每股40美元,股票的当前价格s 为每股36美元,股价的波动性σ为25%,无风险利率r 为5%.代入(17)式得: μ=01025, σ2=0102, d 1=-1137, d 2=-1144.进而得到亚式期权的近似值C a =01093美元/股,相同条件下欧式看涨期权的价格C =017美元/股,C a <C .由于标的资产价格在一段时间内的平均值变化比某个特定日的变化程度小,故减少了期权风险并降低了其时间价值,导致亚式期权的价格低于欧式期权,从而说明上面的计算结果是合理的. 参考文献〔1〕 〔美〕洛伦兹・格利茨.金融工程学〔M 〕.唐 旭译.北京:经济科学出版社,1998〔2〕 Black F ,Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities 〔J 〕.Journal o f Political Economy ,1973,36(4):637～659〔3〕 〔美〕约翰・赫尔.期权、期货与衍生证券〔M 〕.张陶伟译.北京:华夏出版社,1997〔4〕 Wilm ott P ,H owynne S.The Mathematics o f Financial Derivatives 〔M 〕.London :Cambridge University Press ,1995〔5〕 南京工学院数学教研组.数学物理方程与特殊函数〔M 〕.北京:高等教育出版社,1982〔6〕 汪荣鑫.随机过程〔M 〕.西安:西安交通大学出版社,1987Study on the pricing m odel of path 2dependent optionsZHE NG X iao 2ying ,CHE N Jin 2xian(C ollege of Management ,X i πan Jiaotong University ,X i πan 710049,China )Abstract :The origin mechanisms of price and characteristics of path 2dependent options are analysed ,and the classes of path 2dependent options are catalogued.Based upon the study of Black 2Scholes pricing m odel ,the pricing m odels are discussed which corresponds to their characteristics.Further m ore ,the multi 2factors pricing m odel are derived including path 2dependent factor.K ey w ords :path 2dependent options ;Black 2Scholes m odel ;no 2arbitrage principle ;partial differential equation(责任编辑 马宇鸿) 12 2000年第2期 郑小迎等:关于路径依赖型期权定价模型的研究 2000 N o 12 S tudy on the pricing m odel of path 2dependent options 。
期权定价研究
期权定价模型研究永安期货研究院金融期货部：周博王晓宝衍生品市场中，期权的成功很大程度得益于其定价模型的标准化，这使得大众对期权的公允价达到了一致的认可，从而交易顺利进行。
按照执行方式划分，期权分为欧式期权和美式期权；按照标的物性质划分，又分为现货期权和期货期权。
本文主要研究商品类美式期货期权，因此，本部分重点放在做市商常用的美式期货期权的定价公式研究。
一、最小二乘蒙特卡洛模拟期权定价模型Tilley（1993）最早提出了将蒙特卡洛方法应用于美式期权定价一种解决办法，但由于这些解决办法存在某些缺陷，没有得到广泛的应用。
在这方面的突破性研究当属Longstaff和Schwartz（2001），他们引入最小二乘法来确定每一时刻衍生证券的连续价值和相关变量价值之间的最佳拟合关系，并以此判断在该时刻是否提前履行期权。
目前，最小二乘蒙特卡洛模拟（Least Square Monte Carlo）已经成为使用蒙特卡洛模拟方法来进行美式期权定价的标准方法。
（一）LSM模拟算法基本思想最小二乘蒙特卡洛模拟的基本思想是：与传统的蒙特卡洛模拟类似，将期权的到期剩余时间划分为有限个时间间隔，并生成随机的标的资产价格路径样本，利用最小二乘法对样本路径在各时刻的截面数据进行回归求得期权的持有期望报酬，并将其与在该时刻提前行权的收益相比较，相对较大值即为该时刻的期权价值，如果行权价值大于持有的期望价值，则立即行权为最优策略，否则，继续持有期权。
（二）LSM模拟算法的算法实现步骤LSM模拟方法的基本步骤如下：首先，生成标的资产价格的样本路径；其次，从期权到期日开始逆向求解，得到每条样本路径上的最优期权执行时间和相应的期权收益；最后，将每条样本路径的期权收益用无风险利率贴现，然后取它们的均值即得到模拟的期权价值。
下面我们以单一标的资产美式看跌期权定价为例，说明LSM模拟方法的算法实现步骤。
第一步：生成标的资产价格样本路径根据期权理论，我们假设期权的到期日为T，执行时间为T∗，则对美式期权而言，T∗∈[0,T]，即期权可以在到期日前的任意时刻执行。
两种路径依赖重置期权的设计与定价
ａ ａｙ ｉａ ｆ ｒ ｕａ ｆ ｈ ｒｃｓｂ ｉｔｅｏ ｉ —ｅ ｔａ ｒｃｎ ｈ ｏ ｙ ｎ ｌｔｃｌ ｏｍ ｌｓｏ ｅｐ ｉｅ ｙ ｖｒｕ ｆｒ ｋ ｎ ｕ ｒｌ ｉｉｇ ｔｅ ｒ ． ｔ ｓ ｐ
Ｋｅ ｒ ｓ：ｉ ａ ｃ ；ｒ ｓ ｔｏ ｔ ｎ；ｐ ｔ ｅ ｅ ｄ ｎ ；ｒｓ — ｅ ｔａ ｐ ｉｉ ｇ ｙ ｗｏ ｄ ｆｎ ｎ ｅ ｅ ｅ ｐ ｉ ｏ ａ ｈ ｄ ｐ ｎ ａ ｔ ｉｋ ｎ ｕ ｒ ｌ ｒ ｎ ｃ
（） ２
基金项 目： 国家 自然 科 学基 金 项 目（ ０ ００ ９ １２ １２ ）
作者简介 ： 张曙光（９ ７ ） 男． １６ ． ． 安嫩 淮北人 ． 教授 。 主要从事随机分析和金融数 学的研究。
维普资讯
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运 筹 与 管 理
间点 （ 时间段 ） 照预 先 的约 定重 新设 定期 权条 款 的权 利 。 或 按
对 重置 期权 的研 究较 早 的有 Ｇ ａ ， ． 和 Ｗｈ ｌ ， Ｅ， ｒｙ Ｓ Ｆ． ａ ｙ Ｒ． 他们在 １９ ｅ ９ ９年研究 了重 置卖权 的 定价 、 风 险特 征及应 用 ¨。Ｗ ． ｈｎ ， ． ｈ ｎ Ｃ ｅｇ Ｓ Ｚ ａｇ在 ２ ０ ０ ０年首次对 单一 监控 区间 ， 几何 平 均触 发机 制 的多 点重 置期
权 进 行定价 研究 ， 并给 出 了封 闭解 ［ 。Ｙ ｈＹｕ ｎＦ ｎ ｕ — ａ ａ ｇ使用 不 同的方法对 于 同样 的 问题及 其扩展 问题 （ 多
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现状
1973年Fisher Black和Myron Scholes [1]在文中提出了一个金融理论经典之一的期权定价模型，并且很快在业内被广泛应用。
自此，期权市场得到迅猛发展，有关期权定价的研究也日益深入。
国内外关于期权的研究有很多，下面将呈现主要文献的介绍。
国外研究Fisher Black和Myron Scholes [2]在B S-模型的基础之上，引入税金，得到了含税金的欧式期权的定价公式；J.Hull和A.White [3]也是对经典期权定价模型的改进，考虑随机波动率的情形，将B S-公式进行了推广；Turnbull 和Wakeman [4]利用股票价格的算术平均值仍然服从正态分布，求出了算术平均亚式期权的近似值；Edmond Levy[5]在Turnbull 和Wakeman 的基础之上用几何布朗运动近似替代算术平均价格，将算术平均亚式期权的定价转化为欧式期权的定价，这样得到的定价结果更加精确，Kemna 和V orst[6]运用Monte Carlo方法近似出得到了算术平均亚式期权的定价，局限在于没有给出最大方差误差；Rogers和Shi [7]利用有限差分的方法讨论算术平均亚式期权的数值解，但是该方法有其局限性，不适用于波动率比较大以及到期时间比较长的情形；Chueh-Yung Tsao和Chi-Tsung Huang[9]用泰勒展式的方法给出离散型亚式期权的近似定价公式，通过数值分析说明该定价结果的精确性；Yuji Hishida和Kenji Yasutomi[11]通过分析的方法得到亚式期权和欧式期权之间的渐进关系，这种渐进关系得到算术平均亚式期权的近似定价公式，用本文提出的定价方法与蒙特卡洛模拟法进行比较，计算相对误差，以此来说明本文提出的定价方法是可行的。
国内研究国内对于算术平均亚式期权的定价研究最早见于胡日东[15]1988在《数量经济技术经济研究》发表的文章，这篇文章的研究方法与Edmond Levy的类似，用几何布朗运动近似替代算术平均价格，将算术平均亚式期权的定价转化为欧式期权的定价，进而给出近似定价公式；许端和蔡金堵[16]先假设股票价格的算术平均值近似服从对数正态分布，通过随机变量的一阶矩和二阶矩计算出参数值，再对算术平均亚式期权近似定价；郑小迎和陈金贤[18]利用无套利原理，建立了多因素定价模型，进而讨论了平均价格型亚式期权和平均执行价格型亚式期权的定价；孙坚强和李时银[19]先对均值函数进行泰勒展开，再找出算术平均与几何平均之间的近似关系，最终给出算术平均亚式期权的定价。
对美式路径依赖期权的定价
降息后 ， 基准利率再 次大 幅下 调的空 间已经不大 ， 而央行 的货
币政策也逐渐 以数量调整为主 ， 市场预期２ ０ 年将是一个利率 ０９
从期 限结构来看 ，从短端 向长端收益率保 持平稳上升 趋
底 部构建 的时期 ， 未来几年不排除在经济恢复 阶段 出现利率上 调的可能。 因此 ， 市场资金开始规避长期债券 ， 而集 中于短期 限 品种 的配置 ， 保持适 当的流动性 ， 由此造成 中段期 债券受到资 金追捧 ， 价格上升 ， 收益 率下降幅度更 为明显 ； 而对于 １年或以 Ｏ
上期 限的品种 ， 固定利率带来 的固定收益可能仍会受到未来通
势。这是 因为央行在２ ０ 年４ 与８ ０６ 月 月分别上调 了基准利率 ， 市
场对 后续 加息的预期逐 渐形成 ，因此产生对 中长 期限债券 品
种较 为 明显 的溢 价 。
从２ ０ 年 开始 ， ０７ 我国通胀压力 开始显现 ， 而基 准利率进入
Ｍ ａ （ ０ ３ 等多位经济学家都做过深入 的研究 ） ｒｄ ２ ０ ） 。 浮动利率债 券期权 的价值可 以通 过一个双变量 条件期 望
来 表示 ，Ｐｌ（０） Ｏ ￣ｅｈ ３ Ｉ 。 Ｘ ）
价。
２． 型 模
Ｏ ２ ，２ 当条件期望被转 ２ 】＜＜ ） ， ￡ ｔ
是 已知的 ，因此期权 的定价应该从 到期 日起 回溯求 解 （ａｋ ｂｃ —
状况、 通货膨胀、 利率预期和流动性溢价等因素 的 响更大。 影
从２ ０ 年 末 比较２ ０ 年末 收益率 曲线的变动 幅度来看 ， ０８ ０７ ５ 年以下品种的收益率下滑 比较历害 ， 主要是 在经历 了国内多次
推动债券市场 的发展 ， 大地 增加 了对债 券的需求 ， 极 债券 市场
路径依赖型场外期权定价方法_札记
《路径依赖型场外期权定价方法》阅读笔记目录一、导论 (2)1.1 研究背景与意义 (3)1.2 文献综述 (5)1.3 研究内容与方法 (6)二、路径依赖型场外期权概述 (6)2.1 路径依赖型场外期权的定义 (8)2.2 路径依赖型场外期权的特点 (8)2.3 路径依赖型场外期权的应用 (10)三、路径依赖型场外期权定价模型 (11)3.1 传统定价模型 (12)3.2 改进的定价模型 (13)3.2.1 基于随机微分方程的定价模型 (15)3.2.2 基于蒙特卡洛模拟的定价模型 (16)3.2.3 基于人工智能技术的定价模型 (17)四、路径依赖型场外期权定价模型的应用 (19)4.1 企业并购中的路径依赖型场外期权定价 (20)4.2 金融市场的路径依赖型场外期权定价 (21)4.3 其他领域的路径依赖型场外期权定价 (22)五、结论与展望 (23)5.1 研究成果总结 (24)5.2 研究不足与局限性 (26)5.3 未来研究方向与展望 (27)一、导论在金融市场的复杂与多变中，场外期权作为一种灵活且非标准化的金融衍生工具，其定价问题一直是理论研究与实际应用中的热点与难点。
不同于场内期权，场外期权往往具有更复杂的条款和更高的风险性，对其进行精确的定价成为了一项极具挑战性的任务。
“路径依赖型场外期权定价方法”便是在这样的背景下应运而生。
本文旨在探讨如何为这类特殊的场外期权定价，通过引入一种新颖的定价思路和方法，以期更准确地反映场外期权的真实价值，并为投资者提供更为有效的决策参考。
路径依赖型场外期权，其定价过程受到特定历史路径的影响。
这种路径依赖性使得场外期权的定价不再是简单的数学运算，而更多地需要考虑市场参与者的行为、市场条件的变化以及价格动态的相互作用。
传统的定价模型和算法往往难以胜任这一任务。
本文首先回顾了场外期权定价的相关文献，总结了现有研究的不足之处，进而提出了基于路径依赖思想的场外期权定价方法。
BOT水电项目的放弃期权定价
BOT水电项目的放弃期权定价孙洁;简迎辉【摘要】将实物期权运用于项目定价已经成为一种常见并且实用有效的方法.一般情况下,不同项目所具有的特点会导致项目包含不同种类的期权.由于水电项目中存在的不确定因素多且风险较大,在运用BOT模式对项目进行融资时项目本身可能包含放弃期权,放弃期权可以有效地降低投资风险.因此在对项目进行定价的同时需要对放弃期权的价值进行估算,并通过特定的模型和算法确定在何种阶段投资者需要提前行使放弃期权停止对项目的投资以降低投资者损失.为满足上述要求,本文利用放弃期权所具有的美式期权特征将最小二乘蒙特卡洛法(LSM)应用到BOT水电项目的实物期权价值计算中,结合算法构建适当的模型,最后辅以案例进行演算说明,以期为BOT项目定价过程提供有效参考与指导.【期刊名称】《土木工程与管理学报》【年(卷),期】2016(033)003【总页数】4页(P118-121)【关键词】BOT模式;放弃期权;最小二乘蒙特卡洛【作者】孙洁;简迎辉【作者单位】河海大学商学院,江苏南京 211100;河海大学商学院,江苏南京211100【正文语种】中文【中图分类】F282水电项目一直以来都是国家重点关注和支持的一类基础设施建设项目。
近年来水电项目开始尝试采用BOT模式进行融资。
在融资决策的过程中对项目进行合理的定价是十分重要的一个环节。
合理定价需要借助一定的科学定价方法构建合理的模型。
对于通过BOT模式建设的水电项目，传统的选择是运用财务方法，例如：净现值法(NPV)、内部收益率法(IRR)以及投资回收期法等，然而传统方法具有一定的局限性。
刘巍[1]指出传统投资决策方法的缺陷在于基本假设存在局限性。
例如其假设在一个完整的投资周期内内部环境不会发生不可预期的变化，决策者只需观察外部投资环境而不对内部变化采取措施。
然而水电项目投资大、周期长、风险大，传统财务方法显然不适合此种类型的项目定价，因此实物期权法应运而生。
供应链金融产品定价构想_基于期权估价原理的定价方法
期权定价方法用于供应链金融产品的设想
期权定价理论是资本市场金融衍生品价格决定的重要理论 ! 随着期权定价理论的进一步发展 ! 越来越多的实物投资领域开始 引 入 该 理 论 进 行 投 资 项 目 决 策 !究 其 原 因 !期 权 定 价 理 论 +一 方 面 ! 对收益进行模拟事件分析 ! 考虑不同情境下的预期收益 ! 不是 简单 地 对 未 来 现 金 流 量 的 折 现 , 另 一 方 面 ! 该 理 论 对 风 险 测 度 更 加综 合 全 面 ! 能 够 很 好 地 反 映 标 的 资 产 实 际 价 值 ! 保 证 决 策 的 精 准性 * 鉴于此 ! 供应链金融产品同样面临着未来收益的波动性 ! 同
关键词 供应链金融 期权估价 融资利率 中图分类号 !"#$%&' 文献标识码 文章编号
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特区经济 !"#$%&' ()*# +$)*),- ./01 年 2 月
时 ! 作为一项新兴金融服务本身 ! 就存在较高的风险 ! 未来更是面 临复杂多样的风险因素 ! 在供应链金融产品定价的过程中引入实 物期权的方法不失为明智之举 " 从理论上讲 ! 期权被认为是赋予持有人在某一特定日期或该 日之前的任何时间以固定价格购进或售出一种资产的权利的合 约 " 期权定价的基本原理包括复制原理 ! 套期保值原理与风险中 性原理 ! 以此为基础可以利用二叉树定 价 模 型 和 布 莱 克 ! 斯 科 尔 斯定价模型 #"!# 模型 $ 对期权定价 % 复制原理旨在构造一个股票 和借 款 的 适 当 组 合 ! 使 得 无 论 股 价 如 何 变 动 ! 投 资 组 合 的 损 益 都 与期 权 相 同 ! 进 而 创 建 投 资 组 合 的 成 本 就 是 期 权 的 价 值 & 套 期 保 值原理在复制原理的基础上 ! 通过投资组合与期权之间的价差进 行套 期 保 值 ! 进 而 投 资 组 合 与 期 权 价 值 达 到 均 衡 & 风 险 中 性 原 理 假设投资者对待风险的态度是中性的 ! 所有证券的预期收益都是 无风险利率 ! 在此基础上对期望值折现 % 近年 ! 运用期权价值评估原理确定供应链金融产品价格的研 究也崭露头角 % 龙海明 $%&#'()% $ 基于供应链金融产品标的资产 # 应 收账款 ! 存货等 $ 价值波动的模糊性 ! 引入三角模糊方法构建了模 糊 "!# 欧式看跌期权模型 ! 并在此基础上对利率进行定性的 调 整 % 李荣荣 '*(#+()+ $ 通过考察三种典型贷 款 定 价 模 型 ! 认 为 三 张 模型均未考虑供应链金融产品为金融机构带来的关系租金收益 ! 进而在考虑供应链金融产品的短期收益与关系租金收益的基础 上! 提出供应链金融产品的实物扩张期权定价模型计算融资利 率%
路径依赖型期权定价模型和方法研究
路径依赖型期权定价模型和方法研究路径依赖型期权定价模型和方法研究摘要：路径依赖型期权是衍生品中的一类特殊期权，其价值受到标的资产价格路径的影响。
本文首先介绍了路径依赖型期权的基本概念和特点，然后综述了相关的定价模型和方法研究，包括二叉树模型、蒙特卡洛模拟和偏微分方程方法等。
最后，对路径依赖型期权定价模型和方法进行评价，并展望了未来的研究方向。
关键词：路径依赖型期权；定价模型；方法研究引言路径依赖型期权是一种衍生品，其价值不仅与标的资产价格水平有关，还与标的资产价格路径有关。
与传统的欧式期权和美式期权相比，路径依赖型期权在契约条款和定价方法上都有较大的不同。
由于路径依赖型期权的特殊性，传统的期权定价模型往往无法直接适用，因此，研究路径依赖型期权的定价模型和方法具有重要的理论和实际意义。
一、路径依赖型期权概述路径依赖型期权是一种衍生品合约，其价值不仅与到期时标的资产价格的水平有关，还与标的资产价格路径的演变方式和轨迹有关。
路径依赖性是指期权合约的支付在期权期满之前会受到标的资产价格路径相对于特定基准路径的依赖。
路径依赖型期权可以分为两种类型：一种是仅与标的资产价格路径的最高值或最低值有关的峰值型期权，例如峰值期权和二元期权；另一种是与整个标的资产价格路径的演变方式有关的路径依赖型期权，例如亚式期权、查尔斯·索恩期权、远期期权等。
二、路径依赖型期权定价模型和方法研究1. 二叉树模型二叉树模型是一种离散化模型，通过将时间和价格分割成若干个离散的阶段，以逐步迭代的方式近似标的资产价格的演化。
对于路径依赖型期权，二叉树模型可以通过在迭代过程中考虑标的资产价格路径的不同情况来进行定价。
2. 蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机数生成的数值计算方法，通过模拟标的资产价格路径的随机演化过程，得到路径依赖型期权的价值。
蒙特卡洛模拟方法的优点是灵活性强，可以适用于各种复杂的路径依赖型期权，但是计算量较大，耗时较长。
有交易成本的期权定价方法
有交易成本的期权定价方法
郑小迎;陈金贤
【期刊名称】《系统工程》
【年(卷),期】2000(18)5
【摘要】基于股票价格的对数正态分布假设 ,Black- Scholes模型运用连续交易保值策略成功解决有效证券市场中的欧式期权定价问题。
然而 ,在非有效市场中 ,投资者将面临数量可观、不容忽视的交易成本。
本文在界定交易成本的基础上 ,建立了离散交易时间条件下的非线性期权定价模型 ,并分别讨论了有交易成本的欧式期权多头与空头的定价方法。
【总页数】5页(P13-16)
【关键词】交易成本;证券组合;股票价格;期权;定价模型
【作者】郑小迎;陈金贤
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】F830.91
【相关文献】
1.分形布朗运动下有交易成本的外汇期权定价 [J], 许莉莉;吴自力
2.不确定性冲击下的等比例交易成本期权定价模型 [J], 陈莹;胡二琴
3.次扩散机制下带有交易成本的Merton期权定价模型 [J], 郭志东
4.基于 Black-Scholes 期权定价模型下若干假设的修正与研究——以交易成本假
设和支付红利假设为例 [J], 陈志成
5.混合分数布朗运动下有交易成本和红利支付的两值期权定价 [J], 程潘红;许志宏因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权Monte-Carlo定价
基于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权Monte-Carlo定价梁艳;王玉文【摘要】在Black-Schole期权定价模型中,假设股票红利q、无风险利率r及股票收益的标准差σ都是常数.然而在实际的交易市场,波动率却是随机变化的,而非常数.因此,把波动率考虑到期权定价公式中是十分必然的.在建立随机波动率定价模型中,假设波动率是一个随机变量,以亚式期权为研究对象,让随机波动率满足Hull-White 模型,对算术平均亚式期权进行Monte-Carlo模拟定价.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2017(033)005【总页数】4页(P1-4)【关键词】Hull-White模型;亚式期权;Monte-Calor模拟【作者】梁艳;王玉文【作者单位】哈尔滨师范大学;哈尔滨师范大学【正文语种】中文【中图分类】O290 引言自1973年著名的Black-Scholes期权定价公式的问世,金融市场迎来了前所未有的变革.随着国际金融衍生品市场越来越复杂，应运而生了大量的新型期权，它们的交易方式、交易价格等更能适应市场和投资的需求，其中研究比较多的就是亚式期权.近年来，如何科学的给亚式期权定价成为非常受欢迎的金融研究课题[1,5]. 在现有的对亚式期权定价模型中，常假设波动率是不变的,但实际市场的波动率却是随机的，所以建立的随机波动率模型需要把这个问题考虑进去.宋逢明[2]研究了Hull-White三叉树利率期限结构模型，并进行了模拟，结果表明其实用性很强.该文研究的Hull-White模型是时变的，而Hull-White模型与Vasick模型都是波动率可以出现负值，这是Hull-White模型[3]最大的缺陷，为了克服这一困难，把波动率的变化范围大致进行了限制，所以并未影响 Hull-White模型在随机波动率期权定价中的应用.1 模型与假设算术平均亚式期权，设其中标的股价为S，在t时刻无风险资产的价格为Bt,无红利支付的风险资产St,无风险利率为r.在t时刻的St 及Vt[4]满足(0≤t≤T)该模型具有与时间有关的漂移率θt(时间t的确定性连续函数)，均值回复速度为κ和波动系数σ为正常数，模型以速率向均值及回复，在返回程度上依赖于时间.{W1(t):0≤t≤T},{W2(t):0≤t≤T}是满足风险中性概率测度条件下的一维标准Brownan运动，Cov(dW1(t),dW2(t))=ρdt,相关系数ρ是常数且|ρ|<1令其中Zt 是与W1，W2独立的布朗运动[5].2 Monte- Carlo模拟法由参考文献[5]可知，该文的模拟的原理如下：假设有两个相似金融衍生品A、B，其中A是待求解，B与A相似，但可求出VB的显式解，用相同的▯t及相同随机序列样本类似模拟出A的近似估计值与B的近似估计值则A的近似估计值为模拟步骤：(1)若E[X]无显式解，找出与X无关的另一个随机变量Y，且E[Y]有显式解.(2)用同样▯t及同样的随机序列样本平行模拟出序列X,Y.(3)用模拟出X,Y，求出最优系数c*=(4)求出模拟序列X及Y的数学期望由求出E[X]的近似值[6].3 算术平均亚式期权的Monte-Carlo模拟3.1 模拟随机波动率过程Vt的路径(1)Wt、Zt是两个相互独立的Brownan运动，ρ是确定的常数，则可解出分割时间区间[0,T]为n等分，记▯▯t，则▯▯……▯又由于Wt1-Wt0,…,Wtn-Wtn-1与Zt1-Zt0,…,Ztn-Ztn-1是相互独立的增量，且Wt1-Wti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t),Zti-Zti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t)i=1,…,n.可由Matlab随机生成两组服从标准正态分布N(0,1)的相互独立的n×m个数，分别记作A、B，则A=(a1,a2,…,an)',B=(b1,b2,…,bn)',且ai=aij,bi=bij,i=1,…,n,j=1,…,m对Vti(i=0,1,2,…,n)取对数，有对(1)式等号两边的元素取指数，有则Vt=Vtn为第m次模拟后得到的随机波动率终值，可间接得到波动率的路径变化过程[7].3.2 模拟股票价格过程St的路径若St满足dSt=rS1dt+VtStdW1(t)，则(4)分割时间区间[0,T]为n等分，记▯▯t，由上式有而Wt1-Wt0,…,Wtn-Wtn-1是相互独立的增量，且Wti-Wti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t),i=1,…,n.同样由Matlab生成两组服从标准正态分布N(0,1)的相互独立的随机数，记作向量C，则对S(ti)(i=1,…,n)取对数，有对(2)式等号两边的元素取对数，有则经过m次模拟近似得出了股票价格的可能变化过程[8].3.3 算术平均亚式期权的关于Monte Carlo模拟的估计值由3.2可估计出S的m条可能路径上的变化值，Sk(t1),…, Sk(tn),k=1,…,m,可计算出m条路径上的算术平均亚式期权价格为：(6)则算术平均亚式期权价格用U1，…,Um的算术平均值来估计(7)4 总结与展望该文在波动率满足Hull-White模型的条件下，对固定执行价格的算术平均亚式期权进行了定价，由于亚式期权是求所有可能股票价格的平均值的期权，所以采用了Monte-Calor模拟法对其路径进行模拟，在最后得出了关于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权定价的近似解.但是在用Monte-Calor模拟法时，需要用matlab对数据进行计算，为了得到的数据更加接近于理论值，在计算时需要加大运算次数和运算的数据的密度，为结果的得出增大了难度，会在以后的学习中，继续改进此方法，争取得到运算简便，结果准确的模型.参考文献[1] 郑小迎,陈金贤. 关于亚式期权及其定价模型的研究. 系统工程,2000(18): 22-26.[2] John H, Alan W. The General Hull-White Model and Supercalibration J. Financial Analysts, 2011, 57(6): 34-43.[3] 宋逢明, 石峰. 基于Hull-White模型的债券市场利率期限结构研究[J]. 运筹与管理，2006, 15(3): 85-89.[4] 许聪聪, 许作良. 随机波动模型下算术亚式期权的Monte Carlo模拟定价[J]. 数学的实践与认识，2015, 45(21): 114-121.[5] 王欣欣,王玉文.约化模型下互联网理财产品的信用违约互换保费的确定[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2016,32(1):16-18.[6] 詹慧蓉,程乾生.拟蒙特卡罗法在亚式期权定价中的应用[J].数学的实践与认识,2005,3(35):20-27.[7] 邵斌, 丁娟. GARCH模型中美式亚式期权价值的蒙特卡罗模拟算法[J]. 经济数学,2004, 21(2): 142-148.[8] 叶春翠.CIR随机波动率模型的亚式期权蒙特卡洛模拟定价方法[D].广西师范大学,2012.。