BS期权定价模型及其应用
bs模型 应用 方法
bs模型应用方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：BS模型是一种在金融领域广泛应用的定价模型，也被称为布莱克-斯科尔斯模型。
它是由费雪-布莱克-斯科尔斯三位学者于20世纪70年代提出的，被认为是期权定价理论的里程碑之一。
BS模型基于随机微分方程和对冲的思想，通过对资产价格的随机性建模，实现对期权价格的准确估计。
BS模型的应用范围广泛，可以用于股票、期权、债券等各种金融资产的定价和风险管理。
BS模型的核心思想是对冲，即通过在风险资产和无风险资产之间建立对冲组合，消除风险从而获得无风险收益。
BS模型通过建立对冲组合来合成一个复制品来估计期权价格，具有非常高的准确性。
在BS模型中，价格的波动被建模为布朗运动，通过这种方式，可以对未来价格的概率分布进行估计。
模型中的参数包括标的资产价格、期权行权价、无风险利率、资产价格的波动率和期限等，通过这些参数的组合，可以计算出期权的理论价格。
BS模型在金融实践中有着广泛的应用，比如在期权交易中通过估计期权价格进行交易决策。
投资者可以根据BS模型计算出的期权价格，进行买入或卖出操作，以实现风险对冲或套利。
BS模型还可以应用于股票、债券等金融资产的风险管理，帮助投资者更好地控制风险，并提高投资收益。
除了期权定价之外，BS模型还可以用于其他金融领域的问题，比如风险管理和投资组合优化。
通过对资产价格的波动性进行建模，可以更好地评估不同投资工具的风险和回报，从而帮助投资者做出更明智的投资决策。
在实际应用中，BS模型需要对参数进行估计，比如波动率可以通过历史数据进行计算得出。
模型还需要不断调整参数来适应市场的变化，以保持模型的准确性。
还需要对模型的假设进行检验，确保模型的有效性和适用性。
BS模型是一种非常有用的金融工具，可以帮助投资者更好地理解金融市场并做出明智的投资决策。
随着金融市场的不断发展和变化，BS模型也在不断演进和完善，为投资者提供更准确的定价和风险管理工具。
熟练掌握BS模型的应用方法对于金融从业者来说非常重要，可以帮助他们在市场竞争中脱颖而出。
B-S期权定价模型
Black—Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式）Black—Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）,布莱克-肖尔斯期权定价模型Black—Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton）和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯（Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克（Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表.所以，布莱克-斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型.默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese）赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献.[编辑］B—S期权定价模型(以下简称B-S模型）及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本,所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施.6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷.[编辑](二)荣获诺贝尔经济学奖的B—S定价公式［1]C = S＊N(d1) − Le− rT N（d2)其中：C—期权初始合理价格L-期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N(）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
B-S期权定价模型
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续 复利收益率服从期望值 ( µ −
σ2
2 ) dt ，方差为
σ 2 dt 的正态分布。
9
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 σ 2 S2的伊藤过程（即几何布朗运动） 来表示： = µ Sdt + σ Sdz dS 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
ln S T − ln S ~ φ[(µ − σ2 )(T − t ), σ T − t ]
2
11
由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果 一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数 正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布 的特性，以及符号的定义，我们可以得到 E ( S T ) = Se µ (T −t ) 和 var(S T ) = S e
4
将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令 漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布 朗运动： dx = adt + bdz 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移 率为0，方差为1的普通布郎运动。
5
普通布朗运动的离差形式为 ∆x = a∆t + bε ∆t ，显然，∆x也 具有正态分布特征，其均值为 a∆t ，标准差为 b ∆t ，方差为 b 2 ∆t
= (
∂G 1 ∂ 2 G 1 ∂G = , 2 =− 2 , =0 ∂S S ∂S S ∂t
∂G ∂G 1 ∂ 2 G 2 ∂G a+ + b ) dt + bdz 我们就可得到 2 ∂x ∂t 2 ∂x ∂x
B-S期权定价模型在企业价值评估中的运用分析——以处于财务困境的企业为例
ｎ １ 南 ： 竺 重 ｛ ： ： 三 ． １ 三 ：
± 』 三 ． ！ ． 兰 翌 ； 。 ． 。 ： ，
（ ２ ） 查正态分布表得知： Ｎ（ ｄ １ ） ＝ Ｎ（ Ｏ ． ０ ２ ７ ） ＝ ０ ． ５ １ ２ （ ３ 啪 价值： 从以上案例分析可以看 ： 该国有上市公司虽然已经陷入资不抵债 的境地， 但公司的股权价值仍为０ ． ４ ＆ ５ ２ 亿美元 ， 这主要是因为公司的价 二 ．处于财务 困境企业的评估思路 值波动幅度较大（ 波动率的标准差为０ ． ５ ） ， 同时债券的到期期限较长， 这 将期权定价理论运用于财务困境企业的评估 中， 可以把陷 人财务 使得公司具有很大的喘息空间， 有可能通过并购重组、改革或加强管 困境的企业股权价值模拟为看涨期权的价值， 即企业的股权看作是一 理在后续管理中扭亏为盈， 给投资者带来丰厚的回报。 个看涨期权。股东是期权的持有人， 将企业整体资产作为期权的标的 资产 ， 企业的未偿还债务账面价 含应付利息） 市 目 当于期权 的执行价 四、结论 基于金融期权理论基础之上的期权定价模型， 为企业价值评估提 格， 期权的到期 日即债券的到期 日。看涨期权的卖方是企业的债权 ＾ ， 如陷入财 将股东所有者权益模拟为看涨期权的意 义 在于： 一旦期权的标的资产 供了—个新的思路。对于未来确定 陛以及风险较大的企业， 然资源企业， 评估师有必要借助期 的价格大于执行价格， 即企业整体资产价值大于企业未偿还债务 值 ， 务困境企业、高新技术企 业以及 自 股东将执行期权 ， 债务 ＾ 手中买回企业。如果 隋况正好相反， 企业整 权定价模型对该类企业进行合理估值， 对 同时采用传统现金流折现法
估 中 的 实 际运 用 。 关键词 ： 资产评估 ； Ｂ — Ｓ 模型； 财 务 困境 企业
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
对期权定价模型的偏微分方程分析--Black-Scholes期权定价模型
对期权定价模型的偏微分方程分析--Black-Scholes期权定
价模型
Black-Scholes（BS）期权定价模型是20世纪70年代由Fisher Black、Myron Scholes和Robert Merton独立发明和发展的。
BS模型将期权定价问题转化为偏微分方程问题，并提供了一种通过经济因素来解决期权定价的方法。
BS模型假设股票价格服从几何布朗运动，并使用随机微分方程来描述它们的漂移和随机波动性。
该模型还假定期权的价格服从Black-Scholes PDE：
$$\\frac{\\partial V}{\\partial
t}+\\frac{1}{2}\\sigma^2S^2\\frac{\\partial^2 V}{\\partial S^2}+rS\\frac{\\partial V}{\\partial S}-rV=0$$
其中，$V(S,t)$是期权价格，$S$是标的资产价格，
$\\sigma$是波动率，$r$是无风险利率，$t$是时间。
该方程可以被解释为投资组合在动态套利环境中的漂移和随机波动性，其中投资组合由一单股票和一个期权组成。
该方程的求解需要使用特殊函数，如Black-Scholes方程的解析解。
这个解析解有助于我们理解期权价格如何受到各种因素的影响，例如股票价格、波动率、时间和无风险利率。
总之，BS模型的偏微分方程分析提供了一种方法，使我们能够根据标的资产价格、波动率、时间和无风险利率来定价期权。
B―S期权定价模型为公司股票和债权定价
d1=ln+tσf=d1-σt
σ是股票价格的年化波动率。
另外，我们简单介绍下看涨-看跌平价理论。设计以下交易：1）卖出看涨期权，到期日t，交割价格X。2）买入看跌期权，到期日t，交割价格X。3）买入对应的标的资产。4）借入Xe-rt的资金。令C表示看涨期权价格，P表示看跌期权价格。则期初现金流为：C-P-S+Xe-rt。则到到期日，不论股票价格大于或者小于交割价格X，净现金流均为0，由无套利可知，初始的现金流也该为0。即：P= C-S+Xe-rt=SN-Xe-rtN-S+Xe-rt=Xe-rtN-SN
现在，我们考虑到一个有负债的公司，其资本结构由权益资本和债务资本组成，设V为此公司在t时刻的总价值，E表示t时刻的权益资本，D为t时刻的债务资本价值，根据MM定理有：
V= E+ D
设T时刻公司的债务价值为B= B*T-t即为发行债券时的票面价值），其中rb为借款利率，大于无风险利率r。V为T时刻的公司总价值，它是不确定的，E为T时刻权益的价值。我们假设债务在T时刻进行清算，则到期日T时，若VB，根据上述分析的，股东将执行看涨期权，支付B给债权人，可视为股东以B，即低于公司资产价值的价格向债权人买入公司。股东获得差额E= V- B，即公司股票价格在T时为V- B。相反，若VB，即资不抵债，股东不执行权利，宣布破产，将公司交予债权人，债权人获得公司价值V，而股东一无所获，此时股票的价值将等于0。综上所述，T时债券的价值等于Min[V，B]，而T时股票的价值等于E=Max[V- B，0]。可见，公司股票确实可视为基于公司资产的看涨期权，因此，其价值可以用B-S看涨期权定价公式估计为：子可知，期权的价格只和S，X，r，t，σ这五个变量有关，而前四个变量都可以通过数据观察得到，σ则可以通过历史的价格数据进行估计。投资者的风险偏好和股票的预期收益率没有出现在定价公式中，这正是期权定价方法不同于开篇所述的现金流绝对定价法的地方。
基于B-S公式与时间序列模型对期权价格的预测
基于B-S公式与时间序列模型对期权价格的预测
B-S公式是期权定价中最基本的理论模型之一，它描述了期权价格与标的资产价格、行权价格、到期时间和波动率之间的关系。
B-S公式中的关键参数是波动率，它反映了标的资产的价格波动情况。
因此，对波动率的准确预测将对期权价格的预测具有重要作用。
同时，时间序列模型也是一种用于预测金融市场数据的有效方法。
时间序列模型可以通过对历史数据进行分析，建立数学模型，用于预测未来的市场趋势和价格变化。
1. 数据收集：收集相关的历史数据，包括标的资产价格、利率、波动率等。
2. 波动率预测：使用时间序列模型对波动率进行预测，以准确描述标的资产的价格波动情况。
3. 期权价格预测：使用B-S公式，在考虑波动率和其他参数的情况下，预测期权的价格。
4. 模型优化：根据预测结果对模型进行优化，提高预测准确性。
在进行期权价格预测之前，需要对期权的类型、行权价格、到期时间等进行明确。
同时，由于金融市场中的交易时间不断变化，也需要将预测的时间段与实际交易时间进行匹配。
总之，基于B-S公式与时间序列模型进行期权价格预测，能够全面考虑各种因素对期权价格的影响，提高预测准确性，有助于金融市场参与者做出更为精准的投资决策。
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（3）B-S微分方程的推导
股票及衍生品的运动过程分别为：
dS Sdt Sdz
df
f S
S f
t
1 2
2 f S 2
2
S
2
dt＋
f S
Sdz
为消除不确定性，构造投资组合：
衍生品：－1；股票：＋
11
投资组合的价值为：
- f f S S
投资组合的价值变动为：
d -df f dS S
问题：微分方程难于求解！
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4、风险中性定价方法
观察B-S微分方程及欧式Call 的边界条件发现：
C(S, t)与 S、r、t、T、σ以及 K 有关，而与股票
的期望收益率μ无关。这说明欧式Call 的价格与 投资者的风险偏好无关。 在对欧式Call 定价时，可假设投资者是风险中 性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证
其中：
ln(S / K ) (r 2 / 2)(T t)
d1
(T t)
d2
ln(S
/
K)
(r
2
T t
/
2)(T
t)
d1
T t
此即 Black-Scholes 期权定价公式。
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如何理解B-S期权定价公式
（1） SN (d1) 可看作证券或无价值看涨期权的多头； 可看K作er(KTt份)N (现d2 )金或无价值看涨期权的多头。
1 2S2
2
2 f S 2
rf
此即 Black-Scholes 微分方程。
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任意依赖于标的资产 S 的衍生品价格 f 应
满足该方程
衍生品的价格由微分方程的边界条件决定
例：欧式看涨期权的边界条件为：
C(0，t)＝ 0 C(ST ,T)= max（ST – K，0）
理论上通过解B-S微分方程，可得 Call 的价格。
z
N (0,
T t)
8
3、Black-Scholes 微分方程
（1）原理 衍生品与标的资产（股票）价格不确定性
的来源相同 与二叉树期权定价模型的思想类似，我们
通过构造股票与衍生品的组合来消除这种 不确定性
9
（2）假设条件
股价遵循几何布朗运动 股票交易连续进行，且股票无限可分 不存在交易费用及税收 允许卖空，且可利用所有卖空所得 在衍生品有效期间，股票不支付股利 在衍生品有效期间，无风险利率保持不变 所有无风险套利机会均被消除
Black-Scholes 期权定价模型
王春雷
1
引言
二叉树期权定价模型： 变量离散、时间离散
当股价的变动是一个连续的运动过程 变量连续、时间连续
如何对以它为标的资产的衍生品定价？ ——本节讨论的问题
2
1、股票价格的运动过程
dS dt dz, dz dt
S
dS ：股票的瞬间收益率
S
：股票的期望瞬间收益率
（2）可以证明，f / S N (d1) 。为构造一份欧 式看涨期权，需持有 N(d1) 份证券多头，以及卖 空数量为 K erT N (d2 ) 的现金。
18
Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的 欧式看涨期权的定价（通过 Call-Put 平价公式 可计算欧式看跌期权的价值）。
S
t 2 S 2
S
7
例1：伊藤引理的运用
若 f (S,t) ln S ，则 f 1 , f 0,
S S t
2 f 1
S 2
S2
d ln S ( 2 )dt dz
2
该微分方程的解为：
ln ST ln St ( 2 / 2)(T t) (z(T ) z(t))]
ST
S e , ( 2 / 2)(T t )z t
：股价收益率的瞬间标准差
3
波动率估计
1 观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ， 观测时间间隔为t（以年为单位）
2 计算每期以复利计算的回报率
ui＝Ln(Si / Si-1 ), i=1,……,n 3 计算回报率的标准差s
s
1 n 1
n i 1(ui源自u )24 波动率估计 ˆ s
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
价值变动仅与时间 dt 有关，因此该组合
成功消除了 dz 带来的不确定性 12
根据无套利定价原理，组合收益率应 等于无风险利率 r (无套利机会)：
d rdt
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
r(- f
f S
S )dt
f rS f t S
t
4
2、伊藤引理（Ito’s lemma）
若已知 x 的运动过程，利用伊藤引理 能够推知函数 G (x, t ) 的运动过程
由于任何衍生品价格均为其标的资产 价格及时间的函数，因而可利用伊藤 引理推导衍生品价格的运动过程
5
伊藤引理（Ito，1951）
若随机过程 x 遵循伊藤过程：
dx a(x, t)dt b(x, t)dz
则G (x, t )将遵循如下伊藤过程：
dG
( G x
a
G t
1 2
2G x2
b2 )dt
G x
bdz
6
股价运动是一种简单的伊藤过程：
dS Sdt Sdz
以股票为标的资产的衍生品价格 f (S, t ) ， 其运动过程可通过伊藤引理得到：
df ( f S f 1 2 f 2S 2 )dt f Sdz
注意： 该公式只在一定的假设条件下成立，如 市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、 允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几 何布朗运动等。
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例：Black-Scholes公式的运用
假设一种不支付红利股票目前的市价为42元， 某投资者购买一份以该股票为标的资产的欧式 看涨期权，6个月后到期，执行价格为40元。假 设该股票年波动率为20%，6月期国库券年利率 为10%，问：该份期权价格应为多少元？
解：由上述条件知： S=42, K=40, T-t=0.5 , σ=0.2, r=0.1
20
21
根据 Call - Put 平价公式 有：
计算得到欧式看跌期权价格为：P =0.81(元)
22
影响欧式看涨期权价格的因素
当期股价 S 越高，期权价格越高 到期执行价格 K 越高，期权价格越低 距离到期日时间 T-t 越长，期权价格越高
券的期望收益率等于无风险利率）
15
用风险中性方法对欧式 Call 定价
假设股价期望收益率为无风险利率 r，则：
欧式 Call 到期时的期望收益为： Eˆ[max(ST K , 0)]
将该期望收益以无风险利率折现，得到欧式 Call 价格：
16
得： C(S, t) SN (d1) Ker(T t) N (d2 ) ★