bs期权定价与二叉树期权定价学习资料
期权定价二叉树多步推导
相应的期权价格为 .这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。 我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。 为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设， 即市场上无套利机会存在。构造一个该股票和期权的组合 （portfolio），组合中有 股的多头股票和1股空头期权。如果该股票价格上升到 ，则该组合在期权到期日的价值为 ；如果该股票价格下降到 ，则该组合在期权到期日的价值为 。根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相 等，即有
在期权到期日， 当时，该看涨权的价值为fu6=max(Su6-X,0)=14.43 当时，该看涨权的价值为fu5d=7.99
当时，该看涨权的价值为2.72 当时，该看涨权的价值为0 当时，该看涨权的价值为0 当时，该看涨权的价值为0 当时，该看涨权的价值为0 根据公式： fu5==0.995*[0.5251*14.43+0.4749*7.99]=11.375 同理：fu4d=0.995*[0.5251*7.99+0.4749*2.72]=5.46 fu3d2=0.995*[0.5251*2.72+0.4749*0]=1.421 fu2d3=0
fud4=0 fd5=0 所以：fu4=0.995*[0.5251*11.375+0.4749*5.46]=8.523
fu3d=0.995*[0.5251*5.46+0.4749*1.421]=3.524 fu2d2=0.995*[0.5251*1.421+0.4749*0]=0.742
fud3=0 fd4=0 所以： fu3=0.995*[0.5251*8.523+0.4749*3.524]=6.118
期权定价二叉树模型精讲共41页文档
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
期权定价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ叉树模型精讲
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
第九章 期权估价-二叉树期权定价模型
2015年注册会计师资格考试内部资料财务成本管理第九章 期权估价知识点：二叉树期权定价模型● 详细描述：一、单期二叉树模型 关于单期二叉树模型，其计算结果与前面介绍的复制组合原理和风险中性原理是一样的。
以风险中性原理为例： 根据前面推导的结果： 代入（1）式有:二、两期二叉树模型 如果把单期二叉树模型的到期时间分割成两部分，就形成了两期二叉树模型。
由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。
三、多期二叉树模型原理从原理上看，与两期模型一样，从后向前逐级推进乘数确定期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。
期数增加以后，要调整价格变化的升降幅度，以保证年收益率的标准差不变。
把年收益率标准差和升降百分比联系起来的公式是：u＝1＋上升百分比＝ d＝1－下降百分比＝ 其中：e＝自然常数，约等于2.7183 σ＝标的资产连续复利收益率的标准差t＝以年表示的时间长度（每期时间长度用年表示）做题程序： （1）根据标准差和每期时间间隔确定每期股价变动乘数（应用上述的两个公式） （2）建立股票价格二叉树模型 （3）根据股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树。
构建顺序由后向前，逐级推进。
——复制组合定价或者风险中性定价。
（4）确定期权的现值例题：1.如果股票目前市价为50元，半年后的股价为51元，假设没有股利分红，则连续复利年股票投资收益率等于（）。
A.4%B.3.96%C.7.92%D.4.12%正确答案：B解析：r=ln(51/50)/0.5=3.96%。
期权的定价
期权的定价期权定价是金融学中重要的一部分，它可以帮助投资者确定期权的合理价值，并基于此做出相应的投资决策。
期权定价模型主要有两种，即BSM模型（Black-Scholes-Merton 模型）和二叉树模型。
BSM模型是最早也是最经典的期权定价模型之一。
该模型是由Fisher Black、Myron Scholes 和 Robert C. Merton于1973年提出的。
该模型的核心思想是建立一个无风险投资组合，其和期权组合有相同的收益率。
通过对组合进行数学推导，可以得到期权价格的解析公式。
BSM模型的前提假设包括：市场不存在摩擦成本、资产价格符合几何布朗运动、市场无风险利率恒定、无红利支付、市场不存在套利机会等。
有了这些假设，可以通过标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、标的资产波动率和期权类型等因素来计算期权的市场价值。
与BSM模型不同，二叉树模型采用离散化的方法进行期权定价。
该模型将剩余期限分为若干个时间步长，并在每个时间步长内考虑标的资产价格的上涨和下跌情况。
通过逐步计算，可以得到期权价格的近似值。
二叉树模型的优点在于它可以应用于各种类型的期权，并且容易理解和计算。
无论是BSM模型还是二叉树模型，期权定价都是基于一定的假设和参数。
其中，最关键的参数是标的资产的波动率。
波动率代表了市场对标的资产未来价格变动的预期。
根据波动率的不同，期权的价格也会有所变化。
其他参数如标的资产价格、行权价格、剩余期限和无风险利率等也会对期权定价产生影响。
需要注意的是，期权定价模型只是对期权价格的估计，并不保证期权的实际市场价格与估计值完全相同。
实际市场存在许多因素都会导致期权价格的变动，例如市场情绪、供需关系、经济指标等。
因此，在进行期权交易时，投资者需要结合市场情况和自身风险偏好做出相应的决策。
总之，期权定价是金融学中的重要内容，通过定价模型可以帮助投资者确定期权的合理价格。
BSM模型和二叉树模型是常用的定价方法，但投资者需要注意，这些模型只是对期权价格的估计，实际市场价格可能有所变动。
第五讲期权定价理论I二叉树模型
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
贴现的现值。 想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
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（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
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（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
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4. 期货期权的定价 在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货
的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也 E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0 p=(1-d)/(u-d) 例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风
期权定价公式的二叉树推导与分析
期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。
期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。
期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。
本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。
期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。
该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。
具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。
二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。
二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。
基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。
假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。
在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。
假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。
那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。
MATLAB程序设计 BS公式与二叉树模型—期权定价与分析
BS 公式与二叉树模型—期权定价与分析什么是期权？期权就是当什么时候或条件下，你有什么权力。
教课书上的期权似乎离我们比较遥远，或仅限于金融市场。
但如果仔细想想，车险或疾病保险似乎也是一种期权，期权本质是一种选择权。
例如，商业医疗保险，客户每年缴纳一定的保费，获得在生病时获取一定补偿的权利。
公司期权，若工作业绩达到某个标准（付出），得到公司多少多上的期权。
就如面临选择，需要权衡一样；各种期权也需要衡量（定价）。
1 Black-Scholes 期权定价公式1973年，芝加哥大学教授Black 和MIT 教授Scholes 在美国“政治经济学报”（Journal of Political Economy ）上发表了一篇题为“期权定价和公司负债”（The pricing of Options and Corporate Liabilities ）的论文；同年，哈佛大学教授Merton 在“贝尔经济管理科学学报”上发表了另一篇论文“期权的理性定价理论”（Theory of rational option pricing ），奠定了期权定价的理论性基础，B-S 期权定价公式诞生了。
1.1布朗运动从概率论的角度讲，标的资产价格的变化是一个随机过程。
因此，了解和掌握这个随机过程的基本特征，是期权定价理论首先要回答的基本问题。
例如，股票价格变动服从几何布朗运动或对数正态分布，是Black 和Scholes 在推导B-S 期权定价模型时用到的最基本的假设。
一般维纳过程：设为布朗运动，则称 为一般化的维纳过程（布朗运动）。
称为瞬时期望漂移率，为瞬时标准差，它们都是给定的参数，是连续的维纳过程。
生成布朗运动的随机序列，作者编写了函数BrownM 可以生成一维或者二维的随机序列，具体使用方法为：function data=BrownM(Npoints,Mean,Std,Opt) 输入参数：Npoints ：生成序列的节点数 Mean ：正态分布均值 Std ： 正态分布标准差Opt ： 选择项Opt=1生成一维随机数，Opt=2生成二维随机数 输出参数：Data ：服从布朗运动一维或者二维的随机序列 BrownM 源码：function data=BrownM(Npoints,Mean,Std,Opt) %code by ariszheng@ %2009-6-13 dt=1;%dt 时间变化%选择项Opt=1生成一维随机数，Opt=2生成二维随机数 if Opt==1}{(),0B t t ≥()()dS t dt dB t μσ=+μσ()B t%%% standard Brownian motiondata=[0 cumsum(dt^0.5.*random('Normal',Mean,Std,1,Npoints))];%random('Normal',Mean,Std,1,Npoints)%生成服从正态分布的随机数，Mean均值，Std方差，1,Npoints 一行Npoints个%cumsum为累加函数%画图figureplot(0:Npoints,data);elseif Opt==2data=cumsum([zeros(1,3);dt^0.5*random( 'Normal' ,Mean , Std ,Npoints-1,3 )]);%画图figureplot3(data(:, 1), data(:, 2), data(:, 3), 'k');%根据数值设定画图点的颜色pcol = (data-repmat(min(data), Npoints, 1))./ ...repmat(max(data)-min(data), Npoints, 1);%叠加画图hold on;scatter3(data(:, 1), data(:, 2),data(:, 3), ...10, pcol, 'filled');%显示网格grid on;hold off;elseerror('Opt=1 or Opt=2')end注视：累加运算Cumsum 例如A=[1，2，3，4] ;Cumsum（A）=[1，3，6，10]BrownM使用实例：M文件BrownMtest.M%test BrownM%生成1000个数据Npoints=1000;%均值为0Mean=0;%方差为1Std=1;%生成一维随机数Opt=1;dataA=BrownM(Npoints,Mean,Std,Opt);% Opt=2;% dataB=BrownM(Npoints,Mean,Std,Opt);结果图：布朗运动一维随机序列与布朗运动二维随机序列图1布朗运动一维随机序列图图2布朗运动二维随机序列图1.2 B-S 定价模型即著名的Black-Scholes 期权定价公式，欧式买权或卖权解的表达式：其中，Black-Scholes 期权定价模型将股票期权价格的主要因素分为五个：()12()()r T t t t c S N d Xe N d --=-()21[1()][1()]r T t t p Xe N d S N d --=⨯--⨯-2121/221/221[ln()()()]2[()]()t S r T t X d T t d d T t σσσ++-=-=--：标的资产市场价格：执行价格：无风险利率：标的资产价格波动率 ：距离到期时间。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
期权定价的二叉树模型学习笔记（I）
期权定价的二叉树模型学习笔记（I）编者按:二叉树模型是金融衍生产品期权定价的离散模型.人们可以借助二叉树模型分别对欧式看涨看跌期权、美式看涨看跌期权进行期权金定价.抛开金融意义不谈,单从数学角度出发,这部分运用的数学知识仅是微积分的基本知识点.额外需要注意的是,在二叉树章节中反向归纳法(倒向归纳法)是特别重要的一种方法,其在涉及到有关期权问题的证明中显得尤为重要.之所以运用反向归纳法,是因为期权定价中我们已知未来某一时刻的期权状态,由此出发逐步倒向递推在时刻的价格.本系列是笔者学习二叉树模型所做的课堂笔记一部分,仅供参考!Hedging Concept（套期保值概念）Firstly,we should learn the definition of One-Period & Two-State.Definition1.1(One-Period): Assets are traded at & only, hence the term one period.Definition1.2(Two-State): At the risky asset has two possible values(states):& ,with their probabilities satisfying Question:If risky asset and risk free asset ,known ,when two possibilities,.(for strike price ,expired time .) If known at ,how to find out whenDefinition1.3(Hedging Definition):For a given option ,trade shares of the underlying asset in the opposite direction so that the portfoliois risk-free.We can solve Meanwhile,we can getDefine a new Probability MeasureNotice that期权价的期望表示和风险中性测度Notice that denotes that the expectation of the random variable under the probability measure .Let be a certain risky asset, and is a risk-free asset, then iscalled the discounted price(also known as the relative price) of the risky asset at time .Theorem2.1:Under the probability measure ,an option's discounted price is its expectation on the expiration date.i.e Remark:In order to examine the meaning of the probability measure ,consider is an underlying risky asset.It is easy to calculateRisk-Neutral World(风险中性世界)Definition3.1(Risk-Neutral World):Under the probability measure ,the expected return of a risky asset at is the same as the return of a risk-free bond.A financial market possessing this property is called a Risk-Neutral World.Definition3.2(Risk-neutral measure):The probability measure defined byis called by risk-neutral measure.Definiton3.3(The risk-neutral price):The option price given under the risk-neutral measure is called the risk-neural price. Replication(复制),等价性定理In a market consisted of a risky asset and a risk-free asset ,if there exists a portfoliosuch that the value of the portfolio is equal to the value of the option at ,then is called a replicating portfolio of the option ,then option priceTheorem4.1:In a market consisted of•a risky asset ;•a risk-free asset .Then is true if and only if the market is arbitrage-free.In fact, if the market is arbitrage-free, then there exists a risk-neutral measure defined bysuch that二叉树的构造This means that if at the initial time the price of the underlying asset is , then at , will have possible values Denote未完待续......。
14.期权定价的二叉树
乐经良
有关数据
若将 T 分成五段,每段长度1个月, 则t ＝0.0833(年),利用已知数据可以求出
ue
0 .4 t
1.1224,
1 d 0.8909 u
a e 0.1 t 1.0084,
ad p 0.5076 ud
乐经良
用二叉树计算
79.35 0 62.99 0 50 2.66 39.69 10.31 31.50 18.50 89.07 0 70.70 0 56.12 0 44.55 5.45 35.36 14.64 28.07 22.93
乐经良
Su2 Su S Sd Sd2
S
计算期权的价格
期权的预期收益率也应该等于无风险利率, 故
Ve r t pVu (1 p )Vd
V e r t [ pVu (1 p )Vd ]
期权的计算将从树图 Vu V Vd
乐经良
的末端( T 时刻)开始向后 倒推进行.时刻T 的期权价 值是已知的,可倒推出前 一个时刻的期权价格
利用 Matlab
编制 m 文件后可以取t 充分小，例如取 t =1/360, 求得期权价格＝ $4.76
乐经良
美式期权的例子
股票现价S＝50(美元),该股票的年波动率 为 s=40% ,市场的无风险年利率 r =10%;敲定价 格 X =50(美元),美式看跌期权的有效期为五个 月,即 T =0.4167 (年)意味着期权持有者有权在 月内的任何一天执行期权,即他可以用敲定价 格出售股票给期权提供者;当然他也可以放弃 这种权利.那么这种期权的定价应为多少?
乐经良
如何定价的思路
基本思路是套期保值,即交易者为减少风险而 采取的投资组合(portfolio)的策略.假定现在套 利者卖出一份股票期权,价格为V ,再以价格S 买进 a 份这种股票,那么该组合的价格为
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b s期权定价与二叉树期权定价第三节 Black-Scholes期权定价模型一与期权定价有关的基本假设:（一）.关于金融市场的基本假设假设一:市场不存在摩擦.这就是说金融市场没有交易成本(包括佣金费用,买卖价差,税赋,市场冲击等),没有保证金要求,也没有买空的限制.提出市场无摩擦的假设在于简化金融资产定价的分析过程,其主要理由有以下两点:第一,对于大的金融机构来说,这一假设是一个较好的近似,因为他们的交易成本很低,他们在保证金要求和卖空方面受的约束很少,他们能够以买卖差的中间价进行交易等.由于金融机构是市场价格的制定者,所以从描述性角度出发,上述假设是一个较为现实的假设.第二,对于小的市场参与者来说,他们首先需要了解的是无摩擦条件下金融市场将如何运作.在此基础上,才能对复杂场合下的市场规律进行进一步深入分析.因此,从规范性角度出发,上述假设也是绝对必要的.假设二:市场参与者不承担对家风险.这就是说,对于市场参与者所涉及的任何一个金融合同交易,合同对家不存在违约的可能.假设三:市场是完全竞争的这就是说,金融市场上任何一位参与者都是价格的承受者,而不是价格的制定者.此假设被现代财务金融学普遍采纳,相当于一条标准的公理.任何参与者都可以根据自己的愿望买入和卖出任何数量的证券,而不至于影响该证券的市场价格.显然市场规模越大,竞争性市场假设就越接近于现实.假设四:市场参与者厌恶风险,而且希望财富越多越好.假设五:市场不存在套利机会.如果市场上存在套利的机会,价格会迅速准确的进行调整,使得这种套利机会很快消失. （二）.关于股利的假设股利是影响期权价值的一个重要因素.不过,在研究期权定价问题时,股利是一个广义概念.首先,这一概念包含了通常意义上的股利,即发行标的股票公司向其股东定期支付的现金股利,我们称之为离散股利对于标的资产为股票的合同其大小一般用D 表示.一般来说,离散股利的支付发生在期权有效期内某些特定的时刻,它们往往是可以预先知道的.例如,公司将在每个季度末或每隔半年发放一定的股利.另一方面,对于标的资产为货币,股票指数,期货等的非股票期权来讲,所谓的的股利是指标的资产所有者在一段时间内,按一定的收益率所得到的报酬,如利息收入,因此它是一种连续的支付,我们称之为连续股利,其大小通常用股利支付率二 模型假设与概述（一）模型假设Black 和Scholes 在推导B-S 模型时做了以下假设:(1)无风险利率r 已知,且为一个常数,不随时间变化. (2)标的资产为股票,其价格t s 的变化为一几何布朗运动,即 t t t t ds s dt s dz μσ=+ 或者说, t s 服从正态分布21/20exp{(0.5)},0t t s s t t e t T μσσ=-+<<……… 由(18)式容易得到其中t e 为标准正态分布N(0,1),且不同时刻的t e 相互独立. (3)标的股票不支付股利. (4)期权为欧式期权(5)对于股票市场,期权市场和资金借贷市场来说,不存在交易费用,且没有印花税.(6)投资者可以自由借入或贷出资金,借入利率与贷出的利率相等,均为无风险利率.而且,所有证券交易可以无限制细分,即投资者可以购买任意数量的标的股票.(7)对卖空没有任何限制(如不设保证金),卖空所得资金可由投资者自由使用.（二）模型的概述在上述假设下,若记t s 为定价日标的股票的价格,X 为看涨期权合同的执行价格,r 是按连续复利计算的无风险利率,T 为到期日,t 为当前定价日,T t -是定价日距到期日的时间(单位为年),σ是标的股票价格的波动率,则可得到B-S 模型如下:(1) 在定价日t (t T <),欧式看涨期权的价值t c 为 ()12()()r T t t t c s N d Xe N d --=-…………………….(22) 式中:21/21[ln(/)(/2)()]/[()]t d s X r T t T t σσ=++-- (23)1/221()d d T t σ=-- (24)而()N x 是标准正态变量的累积分布函数,即 ()N x {}p X x =<其中X 服从(0,1)N .(2) 由看涨期权-看跌期权平价公式:()r T t t t t p c s Xe --=-+,且注意到()N x 的性质()N x +()N x -1=,欧式看跌期权在定价日t 的价值t p 为t p ()12()()r T t t s N d Xe N d --=--+- (25)三 模型的推导与推广（一） Black 和Scholes 的推导假设期权当前时刻的价值为t F ,显然t F 是标的股票当前市场价格t s 的函数. Black 和Scholes 首先构造了如下套期组合:即在当前t 时刻,以t s 买入标的股票/t t F s ∂∂股,同时以t F 卖空一份期权.显然,该组合的构造成本(/)t t t t t A F s s F =∂∂-.当时间变化一个微小区间t V (即从t 到t t +V ),/t t F s ∂∂可近似看成是一个常数,则该组合价值t A 的变动t dA 为: t t t tFdA ds dF s ∂=-∂…………………………(26) 注意到,由B-S 模型的假设 t t t t ds s dt s dz μσ=+又由伊藤引理(11)式,期权价值t F 作为t s 的函数,应满足以下公式2222(0.5)t t tt t t t tt t t tF F F F dF s s dt s dz t s s s μσσ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 将上述两式代入(26)式得2222[0.5]t tt t tF F dA s dt t s σ∂∂=-+∂∂ (27)在(27)式中随机项t dz 已经不存在,这说明在[,]t t t +V 这段时间上,该套期组合价值的变动是确定的,不存在风险.因此,根据无套利定价原则,不考虑交易成本等因素,在该时间段组合的收益应当是无风险利率r ,即()tt t t t tF dA rA dt r s F dt s ∂==-∂…………………(28) 将(27),(28)结合化简得:22220.5t t tt t t t tF F F rs s rF t s s σ∂∂∂++=∂∂∂………………(29) 此式就是著名的B-S 微分方程,它构成的包括期权在内的任何一种衍生工定价模型的基础.这就是说,B-S 方程可以用于任何一种衍生工具的定价,只要该衍生工具的标的资产价格变化服从几何布朗运动.对于不同类型的衍生工具来说,其价值t F 有不同的边界条件.给定这些特定的边界条件,就可以通过求解上述偏微分方程,得到该衍生工具的定价模型.对于欧式看涨期权来说,其价值t F t c =在到期日T 的边界条件为: max(0,)T T T F c s X ==- 而对于欧式看跌期权来说,其价值max(0,)T T T F p X s ==-根据上述边界条件,Black 和Scholes 得到了B-S 方程的解,它们就是B-S 期权定价模型。
（二）Black-scholes 期权定价公式的拓展 （1）无收益资产的欧式看跌期权的定价公式Black-Scholes 期权定价模型给出的是无收益资产的欧式看涨期权的定价公式根据欧式看涨期权和看跌期权之间的评价关系，可以得到无收益资产的欧式看跌期权的定价公式：()()21()()r T t r T t t t t p c Xe S Xe N d S N d ----=+-=--- (30)（2）无收益资产的美式期权的定价公式在标的资产无收益的情况下，由于t t C c =，所以式（22）也给出了无收益资产的美式看涨期权的价值。
美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价还没有一个精确的解析公式，但可以用数值的方法以及解析近似方法求出。
（3）有收益资产的期权的定价公式到现在为止，我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。
那么，对于有收益资产，其期权定价公式是什么呢？实际上，如果收益可以准确的预测到，或者说是已知的，那么有收益资产的欧式期权定价并不复杂。
在收益已知的情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金手一点现值部分和一个有风险部分。
当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。
因此，我们只要用t S 表示有风险部分的证券价格，σ表示风险部分遵循随机过程的波动率，就可以直接套用公式（22）和（30）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
当标的证券已知收益的现值为I 时，我们只要用（t S I -）代替式（22）和式（30）中的t S 即可求出固定收益证券欧式看涨期权和看跌期权的价格。
当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q （单位：年）时，我们只要将()q T t t S e --代替式（22）和式（30）中的t S 就可以求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨期权和看跌期权的价格，在各种期权中，股票指数期权，外汇期权，和期货期权的标的资产可以看做是支付连续红利率的，因而它们适用于这一定价公式。
另外对于有收益资产的美式期权，由于有提前执行的可能，我们无法得到精确的解析解，仍然需要用数值方法以及解析近似方法求出。
（三）Black-Scholes 期权定价公式的计算 （1）Black-Scholes 期权定价模型的参数我们已经知道，Black-Scholes 期权定价模型中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。
在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值，但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。
① 估计无风险利率在发达的金融市场上，很容易获得无风险利率的估计值，但是在实际应用的时候仍然需要注意几个问题。
首先，我们需要选择正确的利率。
一般来说，在美国，人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值。
美国国库券所报出的利率通常为贴现率（即利率占票面价值的比例），因此需要转化为通常的利率，并且用连续复利的方式表达出来，才可以在Black-Scholes 公式中应用。
其次，要小心的选择国库券的到期日。
如果利率期限结构曲线倾斜严重，那么不同的到期日的收益率很可能相差很大，我们必须选择距离期权到期日最近的那个国库券的利率作为无风险利率。
我们用一个例子来说明无风险利率的计算。
假设一个还有84天到期的国库券，其买入报价为8.83，卖出报价为8.77。
由于短期国库券市场报价为贴现率，我们可以推算出其中间报价对应的现金价格（面值为100美元）为：TB P ＝100-[（8.83＋8.77）/2]*(84/360)=97.947(美元)进一步应用连续复利利率的计算公式得到相应的利率：()r T t e -=100/TB P →0.23r e =100/97.947→0.0902r =② 估计标的资产价格的波动率估计标的资产价格的波动率要比估计无风险利率困难的多，也更为重要。