金融工程-二叉树模型——期权定价方法试验报告---用于合并
《金融工程PPT》第十三章 期权定价模型
V0
e10%
e10% 1.25
0.75 0.75
25
0
16.07
则一份欧式看涨期权现在的价格为=16.07
6
二、看涨期权单步二叉树模型
金融工程课程
（二）风险中性定价机制
在风险中性的假定下，可以得到下面两个结论：
1. 所有可交易股票的期望收益率为无风险利率； 2. 未来资产的当前现金流可以根据其期望值按无风险利率贴现而得到。
S0u mi d i
i 0,1,2,3m
如果时刻m△t在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S0 (1 )u mi d i
i 0,1,2,3m
10
第二节 二叉树期权定价模型的扩展应用
金融工程课程
二、美式期权的二叉树定价模型
美式期权与欧式期权的区别是美式期权可以在期权合约到期前的任何时点执行 权利，而欧式期权则仅可在到期日执行权利。 事实上，在运用二叉树方法求当前的期权价格时，前提假设条件是期权的定价者 ，对于二叉树上所有节点上的信息是知道的。求美式期权的当前价格时，在每个 二叉树的节点上，期权持有者可以有两个价格选择，一个是立刻执行期权获得收 益，另一个选择是持有期权继续等待，继续等待相当于选择了与欧式期权一样的 期望价值。这样，美式期权的价格计算与欧式期权的价格计算的路径基本相同， 都是由期末的期权价值向后递推而来的。不同之处是在每一个节点处，期权的持 有者可以选择上述两种收益中的较大者作为向后递推的价格依据。
V0 ert p*Vu (1 p* )Vd
p* e rt d ud
5
二、看涨期权单步二叉树模型
金融工程课程
金融工程二叉树模型概念
金融工程二叉树模型概念一、引言金融工程是指将数学、统计学、计算机科学等方面的知识应用于金融领域，以解决金融市场中的问题。
而二叉树模型则是其中的一个重要工具，在金融工程领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍金融工程中二叉树模型的概念及其应用。
二、二叉树模型概述1. 什么是二叉树？二叉树是一种数据结构，由节点和连接它们的边组成。
每个节点最多有两个子节点，一个称为左子节点，一个称为右子节点。
如果一个节点没有子节点，则称该节点为叶子节点。
2. 什么是二叉树模型？在金融工程中，我们可以利用二叉树来建立模型，以便对金融市场进行分析和预测。
这种利用二叉树建立模型的方法就被称为“二叉树模型”。
三、基本原理1. 二叉树模型的构建在构建二叉树模型时，我们需要确定以下几个参数：（1）时间步数：即我们需要将时间划分成多少个步骤；（2）上涨幅度：即在每个时间步骤中，股票价格上涨的幅度；（3）下跌幅度：即在每个时间步骤中，股票价格下跌的幅度；（4）无风险利率：即在每个时间步骤中，我们所假设的无风险利率。
2. 二叉树模型的计算在确定了以上参数后，我们可以利用二叉树模型来计算股票价格在未来某个时刻的可能取值。
具体方法如下：（1）将当前时刻的股票价格作为二叉树模型的根节点；（2）对于每个节点，分别计算其左子节点和右子节点所对应的股票价格；（3）不断重复上述步骤，直到达到所设定的时间步数为止。
四、应用案例1. 期权定价期权是一种金融衍生品，其价值取决于标的资产价格变化。
利用二叉树模型可以对期权进行定价，并且可以通过调整各种参数来预测未来期权价格。
2. 风险管理利用二叉树模型可以对投资组合进行风险管理。
我们可以通过建立多个二叉树模型来分析不同情况下投资组合可能出现的收益和风险，并且可以根据分析结果进行调整，以达到最优的风险收益比。
3. 股票价格预测利用二叉树模型可以对股票价格进行预测。
我们可以通过建立多个二叉树模型来分析不同情况下股票价格可能出现的变化，并且可以根据分析结果进行调整，以达到最优的投资策略。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
期权定价的二叉树模型介绍
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
金融工程学CH06-期权定价的离散模型——二叉树模型(上财)
Su
S0
VTu
V0
Sd
VTd
书上例子回顾
Su = 22 ƒu = 1 S ƒ Sd = 18 ƒd = 0
p是风险中性概率 20e0.12 ´0.25 = 22p + 18(1 – p ); p = 0.6523
或者我们可以用以下公式求出：
期权V的空头和D份基础资产S组成组合P
DSTu – Vu
P DS -V
DSTd – Vd
假设存在D使得P是无风险的，即使得PT= DST –VT无风险，即P的收益等于 无风险的债券的收益
PT P0
BT B0
PT
P0 DST
- VT
P0
求解D和V0
形成方程组 解得：
DS0u -VTu DS0 -V0
举一个例子，某人投一次硬币。那么样本空间就是正 面和反面。此外如果该硬币是工整的，那么这个试验， 也就是投一次硬币的概率测度就可以确定了。它是： Prob({正面})=Prob({正面})=0.5 Prob(空集)=0 Prob({正面,反面})=1
概率测度Q
定义新的概率测度Q
qu =ProbQ{ST
DS0d
- VTd
DS0
-V0
D VTu - VTd
S0 u - d
V0
-
1
PT
DS0
1
u
-d -d
VTu
u u
-
d
VTd
d u
股票预期收益的无关性
当根据股票价格为期权估值时，我们不需要考 虑股票的预期收益
风险中性定价
VT =e-rT [ p VTu + (1 – p )VTd ] 变量 p 和(1 – p )可以解释为风险中性的上涨和下跌概率
金融工程(第五版)期权损益及二叉树模型
3. 设利率也是取二值的过程
4.设债券面值为D，半年的票息为Ci，i=1,…,2n，若把此债券看成面值 与票息分离的债券，则债券的现金流相当于2n份面值为Ci和一份面值 为D的零息债券。
债券价格树的构造 (一) 风险中性方法
1. 一年期债券的价格树 2. 一年半期债券的价格树
设股票在0时刻的价格为S(0)=S0， 在t=1 时刻价格为S(1)是随机变量，它可能的取值为S11或S12 (S12 > S11 ) 在t=2时刻价格为S(2)，它可能取值为S21<S22 <S23 < S24 假设存在无风险投资，即可在银行存款，每期得到无风险回报为R（=1+r）， 同时假设在银行里存款和从银行贷款，所支付的利率一样。 为了排除套利 机会，下列条件必须满足：
1 r d
q= ud
p=q
所以通常也称p为风险中性概率
例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求C。
注1.由此可知套期保值证券组合所需要的投资
21-1 1.869596=19.13
在期末所得到的无风险收益为22。
S-mC=21-1 1.869565=19.13 uS-mCu=1.4 21-1 7.4=22
它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一份执行价格为 X1 和其一中份，执X2>行X价3 格> 为X1X，2的且看涨X3期权X，1 再2 X卖2出两份执行价格为X3的看涨期权。 4.底部马鞍式组合（ bottom straddle 或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X
Bd,t+1 +票息- mCd,t+1= B u,t+1 +票息- mCu,t+1
金融工程概论课件 - 期权(二叉树)
z 期权合约及市场运作 z 期权交易策略 z 股票期权的性质 z 期权定价
¾ 二叉树 ¾ BS模型
z 股指期权、货币期权与期货期权 z 期权价格的敏感性及套期保值
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 二叉树用来表示在期权期限内可能会出现的股票 价格变动的路径。
Su
fu
S
f
Sd
40
9.4636
72
0
48
4
32
20
p = e0.05*1 − 0.8 = 0.6282 1.2 − 0.8
fu = e−0.05 (0.6282 * 0 + 0.3718 * 4) = 1.4147
fd = e−0.05 (0.6282 * 4 + 0.3718 * 20) = 9.4636
f = e−0.05 (0.6282*1.4147 + 0.3718*9.4636)
d = 1 = 0.7408 1.3499
p = e0.05 − 0.7408 = 0.5097 1.3499 − 0.7408
e0.05 = 1.0513
e0.3 = 1.3499
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 二叉树定价的一般方法
(ud (=u1)d = 1)
倒推定价法
j
9 支付红利率 9 支付红利额
期权定价——二叉树 (binomial tree)
z 对于不同标的资产
p= a−d u−d
a = e(r−q)Δt a = e(r−rf )Δt
a =1
支付连续股息收益率股票或股指 货币
期货
u = eσ Δt d = e−σ Δt
金融工程课件-二叉树模型介绍
The Probability of an Up Move
p ad ud
a erDt for a nondividend payingstock a e(rq)Dt for a stock index where q is the dividend
yieldon the index a e(rrf )Dt for a currency where rf is the foreign
= 1.2823
11.17
一个例子
K = 52, 时间步= 1年 r = 5%
50 4.1923
A
60
B
1.4147
40
C
9.4636
72 D0
48
E
4
32 F 20
11.18
当期权为美式期权时 会如何？
50 5.0894
A
60
B
1.4147
40
C
12.0
72 D0
48
E
4
32 F 20
11.19
11.6
期权的估值
证券组合为 0.25 股股票多头 1个看涨期权空头
现值是4.367 股票价值是
5.000 (= 0.25 20 ) 因此期权价值为
0.633 (= 5.000 – 4.367 )
11.7
一般结论
价值取决于标的股票价值，且有效期 为T 的衍生品：
S0u
S0
ƒu
ƒ
S0d
Delta值
Delta (D) 是期权价格的变动与标的 资产（股票）价格变动的比值
D 的价值随期权的状态不同而不同 （虚值、实值、深度实值、深度虚 值）
期权定价二叉树模型
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元， 期权确定的执行价格为 。设把期权 S X 65 元 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)， 试确定该期权的价格。
33
30 27 ?
2
1 0
1.025
1.025
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
,n
欧式卖出期权的二项式定价公式
n n i i n i i P qu qd max{S X S0 (1 u ) (1 d ) , 0} i 0 i
金融工程第11章二叉树模型介绍课件
风险中性定价
在3个月末，看涨期权价值为1美元的概率为0.6523,价值为零的概率 为0.3477。因此，看涨期权的期望值为：
0.6523×1+0.3477×0=0.6523美元 用无风险利率贴现后，该期权的今天价值为：
0.6523e -0. 12x0.25
即0.633美元。这个结果与前面所得结果相同，说明无套利理论和风 险中性定价方法的结论相同。
第11章二叉树模型
● 本章导读 -单步二叉树模型 -风险中性定价 -两步二叉树模型 -看跌期权定价 -美式期权定价 -奇异期权定价 -N 步二叉树模型 -考虑红利的影响 - Delta - 实际应用
1
11.1单步二叉树模型
我们从一个非常简单的例子开始。假设一种股票当前价格为20美元， 我们知道3个月后的价格将可能为22美元或18美元。假设股票不付红 利，我们打算对3个月后以21美元的执行价格买人股票的欧式看涨期权进 行定价。若到时股票价格为22美元，期权的价值将是1美元；若股票价格 为18美元，期权的价值将是0。
从(10.2)式可得：
f=e-0. 12x0.2[0.6523×1+0.3477×0]=0.633
这个结果与本节开始时所得结果相同。
15
11.2风险中性定价
就推导方程式(10.2)的过程而言，虽然我们不需要对股票价格上升和 下降的概率做任何假设，但将方程式(10.2)中的变量p 解释为股票价格上
升的概率是很自然的。于是变量1-p 就是股票价格下降的概率。表达 式：
该问题的关键是：我们并不是在完全的条件下为期权定价。我们只是 根据标的股票的价格估计期权的价值。未来上升和下降的概率已经包含在 股票的价格中。这说明：当根据股票价格为期权定价时，我们不需要股票价 格上升和下降的概率。
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期权定价（二叉树模型）实验报告1204200308 学号：1201 姓
名：郑琪瑶班级：创金
一、实验目的计算出支付连续红利率资产Excel 本实验基于二叉树模型对
期权定价。
利用的期权价格，并探究输入参数（如无风险利率、波动率、期限、时间区间划分方从而巩固二叉树模型这种期权定价的数对于期权价格的影响，式、收益率等等）值方法的相关知识。
二、实验原理的红利时，在风险中性条件下，证券价格的当标的资产支付连续收益率为q应该满足以下，因此参数（股票价格上升的概率）、、增长率应该为pq?r u d式子：tq)?(r?dpe)(?pu?1?；同时在一小段时间内股票价格变化的方差
满足下式：2222?]p1?)p)dd?[pu?(?t?pu?(1?；1，将三式联列，可以解考克斯、罗斯和鲁宾斯确定参数的第三个条件是?u d）得（*(r?q)?t??edp??
u?d????t u?e????t?d?e???t?0?三、实验内容
1.假定有一支付连续红利率股票的美式看涨期权，有效期期限为5个月，目前
的股票价格和期权执行价格都为50元，无风险利率为10%，波动率为40%，连续收益率为3%，为了使得估计的期权价格比较准确，把时间区间划分成30步，即N=30，利用excel加载宏可以计算得到相应美式和欧式期权的价格
2.探究基于不同红利支付类型：支付已知收益率和支付已知红利数额，计算出相应的美式和欧式期权价格。
3.以支付已知收益率模式下分析期权价格。
使资产连续复利收益率在[1%,10%]变化，保持其余变量不变，分别计算出相应美式f和欧式f期权的价格21
4.以支付已知红利数额模式下分析期权价格。
探究下一期的红利支付数额为常数、递增及递减情况下，保持其余变量不变，分别计算出相应美式和欧式期权的价格。
5.根据上述每一步计算得到的当期期权价格的数据绘制折线图，观察折线图，得出结论。
四、实验过程：步骤一：输入已知参数输入参数支付连续收TRSX N 步数无风险利率波动率σ股票价格期限期权执行价格0RC益率9.00%
5
50.00
0.1030 0.50
50.00
*步骤二：根据已知参数及式（）原理，计算如下参数计算结果t△1-p d a
p
u
0.5135
1.0014
1.0607
0.4865
0.9428 0.0139
步骤三：改变参数，确定期权价格[0.1%,3%]，（1）以支付已知收益率模式下分析期权价格。
改变连续复利收益率在f看涨期权的价格可得相应美式f和欧式21
1 看涨期权价格随收益率的变化表3% 2.80% 2% 1% 0.50% 1.50% 支付已知收益率 0.10%
2.50%
50.00 50.00 50.00 50.00 股票价格 50.00 50.00 50.00 50.00
0.00 0.03 0.13 0.01 5.50 3.06 1.30 欧式期权价格 0.45
0.00
0.01
1.30
0.13
0.45
0.03
5.50
3.06
美式期权价格
1图看涨期权价格随收益率的变化
2 看跌期权价格随收益率的变化表知支付已3%
2% 2.50% 2.80% 0.10% 0.50% 1% 1.50% 收益率
50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 股票价格28.61 25.42 25.49 6.71 9.57 13.61 17.78 21.78 欧式期权价格28.61
25.42 25.49 9.57 13.61 17.78 21.78 美式期权价格 6.72
，可得）以支付确定数额红利模式下分析期权价格。
改变红利支付数额在[0.1,1]（1 期权的价格相应美式f和欧式f21
看涨期权价格随红利支付额的变化表3
支付确定0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.1
0.2
0.9
1
数额红利股票价格50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00
4.80 3.44 2.43 1.58 0.93 0.53 0.26 欧式期权价格 0.10 0.03 0.01
0.01
4.80
0.53
3.44
0.10
2.43
0.26
1.58
0.93
美式期权价格 0.03
图3看涨期权价格随红利支付额的变化
表4 看跌期权价格随红利支付额的变化
支付确定0.10.20.30.40.50.60.70.80.91
数额红
股票价50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00 50.00
欧式期权价7.42 8.88 10.70 12.67 14.84 17.27 19.82 22.50 25.25 28.05 美式期权价7.43 8.90 10.72 12.69 14.87 17.62 20.55 23.49 26.43 29.36
看跌期权价格随红利支付额的变化图3
五、实验结论
1、两种红利支付模式已知收益率和支付已知红利数额的期权定价，计算出相应的美式和欧式期权价格影响机制具有加大的差别，并且对美式的看涨和看跌期权，及欧式的看涨和看跌期权的变化影响也有较大的区别。
（如附表）
2、在红利支付收益率[0.1%,3%]的变化时，美式和欧式看涨及看跌期权
价格是
同步变化；在支付已知红利数额[0.1,1]的变化时，美式和欧式看涨及看跌期权价格是不完全同步的，随着支付红利数额的增加，对看涨期权而言，美式期权比欧式期权价格上升得快，对看跌期权而言，美式期权比欧式期权价下降得慢，这就体现了欧式和美式行权的时间限制，美式期权可在到期前有行权选择权，在某种程度上赋予了更大的价值。