第二章有导体时的静电场(精)
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电磁学02静电场中的导体与介质
A q -q
-q+q
UA
q'
4 0 R0
q ' 4 0R1
q q '
4 0 R2
0
可得 q ( q) 1(9略)
例4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。
求:导体上感应电荷的电量
R
解: 接地 即 U0
o
感应电荷分布在表面，
l
q
电量设为:Q’（分布不均匀！）
由导体等势，则内部任一点的电势为0
选择特殊点：球心o计算电势，有：
1) Dds
S
1 (
r
1) q0内
l i mq内
V0V
1 (
r
1) limq0内 V0V
1 (
r
1)0
00 0。 40
[例2] 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
表明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)
物理 内涵
的电荷及分布无关。
在腔内 E 腔 外表 E 腔 面外 0带
电 量 的电 体 的
二.腔内有带电体时
q
① 带电量： Q腔内 q （用高斯定理易证）
表面
23
② 腔内的电场： 不为零。
由空腔内状况决定，取决于：
*腔内电量q；
*腔内带电体及腔内壁的 几何因素、介质。
平行放置一无限大的不带电导体平板。
0 1 2 求：导体板两表面的面电荷密度。
E２ • E１ 解: 设导体电荷密度为 1、 2 ，
E0 电荷守恒： 1 + 2 = 0
(1)
导体内场强为零：E0 +E1‐E2 = 0
0 1 2 0 20 20 20
（1）、（2）解得：
第二章静电场恒定电场和恒定磁场
1. 电位 静电场是无旋的矢量场，因此可以引入一个标量函数，这个标量函数称为 电位函数φ
有如下关系：
设在空间两点A、B，则它们的电位差为
两点之间的电位差通常称为电压。 如果选取B点为电位参考点，即 =0，则A点的电位为
例2.5对于例2.1求出球体内、外任意一点的电位。
解:选取无穷远点为电位参考点 则球体外半径为r的A点的电位为
(2.36)
由于两种电介质ε1≠ε2，电场强度的法向分量在介质分界面上是不连续的。这是因
为电场对电介质产生极化作用，而使在两种不同的分界面上产生极化面电荷。
（2） 电介质和导体的边界
导体是一种自身带有大量自由电荷的物质，在导体内部电场强度处处为零。 设第一种媒质为电介质，第二种媒质为导体，则D2n=0，E2t=0，所以电介质与导体 的边界条件为
（2） 在球外，高斯面为半径为r的球面，则高 斯面包围的自由电荷即是Q，即∑q=Q 所以
图2.2
例2.2电介质中有一无限长带电直线，其线电荷密度为ρl,求空 间任意一点的电场强度，电介质的相对介电常数为εr。
解:做高斯面S如图2.3所示，由对称性可知电场强度E只有er分量Er,而 分量 、 ez分量Ez被抵消了，均为零。
（1） 沿l1路径： （2） 沿l2路径：A→C→B。
图2.5
4. 静电场的基本方程
人们把静电场的高斯定理和环量定理称为静电场的基本方程的积分形式
静电场基本方程的微分形式
例2.4已知在自由空间球坐标系中电场分布为
求空间各点的体电荷密度分布。 解:根据静电场的基本方程微分形式可知
2.2电位和电位方程
化面电荷密度为
Cq
2.9在两种各向同性的电介质分界面两侧，电场强度在电介质1中与法线的夹角
有如下关系：
设在空间两点A、B，则它们的电位差为
两点之间的电位差通常称为电压。 如果选取B点为电位参考点，即 =0，则A点的电位为
例2.5对于例2.1求出球体内、外任意一点的电位。
解:选取无穷远点为电位参考点 则球体外半径为r的A点的电位为
(2.36)
由于两种电介质ε1≠ε2，电场强度的法向分量在介质分界面上是不连续的。这是因
为电场对电介质产生极化作用，而使在两种不同的分界面上产生极化面电荷。
（2） 电介质和导体的边界
导体是一种自身带有大量自由电荷的物质，在导体内部电场强度处处为零。 设第一种媒质为电介质，第二种媒质为导体，则D2n=0，E2t=0，所以电介质与导体 的边界条件为
（2） 在球外，高斯面为半径为r的球面，则高 斯面包围的自由电荷即是Q，即∑q=Q 所以
图2.2
例2.2电介质中有一无限长带电直线，其线电荷密度为ρl,求空 间任意一点的电场强度，电介质的相对介电常数为εr。
解:做高斯面S如图2.3所示，由对称性可知电场强度E只有er分量Er,而 分量 、 ez分量Ez被抵消了，均为零。
（1） 沿l1路径： （2） 沿l2路径：A→C→B。
图2.5
4. 静电场的基本方程
人们把静电场的高斯定理和环量定理称为静电场的基本方程的积分形式
静电场基本方程的微分形式
例2.4已知在自由空间球坐标系中电场分布为
求空间各点的体电荷密度分布。 解:根据静电场的基本方程微分形式可知
2.2电位和电位方程
化面电荷密度为
Cq
2.9在两种各向同性的电介质分界面两侧，电场强度在电介质1中与法线的夹角
大学物理电磁学第二章 导体周围的静电场汇总
VO
q
4
0l
dS q 1 S 4 0R 4 ol 4 0R
dS 1 q Q
S
4 0 l R
例5 求金属球的感生电荷。
q
S R
仿上题解题技巧，可得
l
O
V0
1
4
0
q l
q/ R
0
q/
R l
q
q/
2.1.5 平行板导体组例题
解: 根据静电平衡条件有:
例1 求每板表面的电荷密度 在A内:
第二章 有导体时的静电场
本章主要内容：
导体的静电平衡及静电平衡条件，静电场中导体 的电学性质； 电容器及其联接； 电场的能量； 简单介绍静电的应用。
§2.1 静电场中的导体
2.1.1 静电平衡
本节讨论的导体主要是指金属导体，金属导体内部有大量 的自由电子，自由电子时刻作无规则的热运动。
导体刚放入电场
(2) 两球间的电势差(电压)绝
对值与球形电容器的电荷Q成正比，
证明如下。
球壳间
E
Q
4 0r 2
eˆr
-
-
+ + r+
-
-
R2
+ +
R1
-
+
+ +
-
-
-
U
Q R2
R1 4 0
dr r2
Q
4
0
1 R1
1 R2
2、平行板电容器
A
(1) 电荷在两平板相对面内 均匀分布，两面电荷等值异号。
(2) 两枝间的电压与板内壁的 B
+
+Q C -Q
第二章 静电场中的导体和电介质：电容器的电容
D 0 E P 0 r E E
P e 0 E
§2.8 电容器的电容
一.孤立导体的电容
q C V
单位：F（法拉）
C是与导体的尺寸和形状以及周围的电介质有 关,与q，V无关的常数。
1F 10 F 10 PF
6 12
例1 .求半径为R的孤立导体球的电容。
q1:q2: · :qn = C1:C2: · :Cn · · · ·
q qi (V A VB ) C i ,
i 1 i 1
n
n
n q C Ci VA VB i 1
并联电容器的总电容等 于各电容器的电容之和 2. 串联
C Ci
i 1
n
A +
VA +q –q +q –q 。
q dA udq dq C
从开始极板上无电荷直到极板上电量为Q的过 程中，电源作的功为
2 q 1 Q 1Q dq 0 qdq C C 2 C
A dA 0
Q
Q CU
U为极板上电量为Q时两板间的电势差
1 Q2 1 1 2 A CU QU 2 C 2 2
E
0
( r R1 , r R2 )
λ er 2πεr
B A
( R1 r R2 )
2
VA VB
R E dl R Edr
1
λdr R1 2πεr
R2
R2 q R2 λ ln ln 2πε R1 2πεL R1
q 2πεL C V A VB ln( R2 / R1 )
②所求的C = q/VA–VB一定与q和VA–VB无关，仅 由电容器本身的性质决定。
P e 0 E
§2.8 电容器的电容
一.孤立导体的电容
q C V
单位：F（法拉）
C是与导体的尺寸和形状以及周围的电介质有 关,与q，V无关的常数。
1F 10 F 10 PF
6 12
例1 .求半径为R的孤立导体球的电容。
q1:q2: · :qn = C1:C2: · :Cn · · · ·
q qi (V A VB ) C i ,
i 1 i 1
n
n
n q C Ci VA VB i 1
并联电容器的总电容等 于各电容器的电容之和 2. 串联
C Ci
i 1
n
A +
VA +q –q +q –q 。
q dA udq dq C
从开始极板上无电荷直到极板上电量为Q的过 程中，电源作的功为
2 q 1 Q 1Q dq 0 qdq C C 2 C
A dA 0
Q
Q CU
U为极板上电量为Q时两板间的电势差
1 Q2 1 1 2 A CU QU 2 C 2 2
E
0
( r R1 , r R2 )
λ er 2πεr
B A
( R1 r R2 )
2
VA VB
R E dl R Edr
1
λdr R1 2πεr
R2
R2 q R2 λ ln ln 2πε R1 2πεL R1
q 2πεL C V A VB ln( R2 / R1 )
②所求的C = q/VA–VB一定与q和VA–VB无关，仅 由电容器本身的性质决定。
2静电场中的导体和电介质(精)
V 实验证明，对于绝大多数各向同性的介质，极化强度 P与电场强度E成正比，即P = 0 E
V 0
P
lim
p
式中称为介质的电极化率，它与场强E无关，取决于电介质。
2.5.3
束缚电荷
电介质处于极化状态时，在电介质的端面或内部上产生极化 电荷。这些电荷不能离开电介质表面，称为束缚电荷。 如果介质不均匀，在介质内部也会由于极化而出现束缚电荷。 设单位体积分子数为n，
这类分子在外电场的作用下，分子中的正负电荷中心
将发生相对位移，形成一个电偶极子，它们的等效电偶极 矩 P 的方向都沿着电场的方向，导致介质表面上出现了电
荷。这种情况称为介质的极化。
无极性分子电介质的这种极化方式称为位移极化。
有极性分子的极化
有极性分子的正负电荷中心即使在无外电场存在时也是不 重合的，例如水分子等。由于分子热运动的无规则性 , 在物理 小体积内的平均电偶极矩为零，宏观上也不显电性。 当介质受到外电场作用时，每个分子的电偶极矩都受到一 个力矩的作用，使分子电矩转向外电场方向，这样分子固有电 矩的矢量和就不等于零了。 但由于分子的热运动，这种转向并不完全。外电场越强， 分子电矩沿着电场方向排列得越整齐。
2.4
静电场中的导体
2.4.1 导体的静电平衡
金属导体中存在大量的自由电子，它们时刻作无规则的
微观运动（“热运动”）。当自由电子受到电场力作用时，
会在热运动的基础上附加一种有规则的宏观运动，形成电流。 当导体中自由电子不作宏观运动（没有电流）时，我们说导 体达到了静电平衡的状态。
2.4.1 导体的静电平衡
D＝E
2.5.5
静电场的边界条件
在两种介质的分界面上，电场强度矢量E的切线分量连续。
第二章-静电场与导体
第二章静电场与导体教学目的要求：1、深入理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡时导体的基本性质，加深对高斯定理和环路定理的理解，结合应用电场线这一工具，会讨论静电平衡的若干现象，会结合静电平衡条件去理解静电感应、静电屏蔽等现象，并会利用前章的知识求解电场中有导体存在时的场强和电势分布。
2、确理解电容的概念，并能计算几种特殊形式的电容器的电容值。
3、进一步领会静电能的概念、会计算一些特殊带电导体的静电能。
4、深刻理解电场能量的概念，会计算电场能。
教学重点：1、静电场中的导体2、电容和电容器教学难点：1、静电场的唯一定理§2.1 静电场中的导体§2.2 电容和电容器§2.3 静电场的能量§2.1 静电场中的导体1、导体的特征功函数（1）金属导体的特征金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。
①大量自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，服从经典的统计规律。
②自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。
③自由电子的平均速率远大与定向运动速率。
（2）功函数金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。
一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。
2、导体的静电平衡条件（1）什么是静电感应？当某种原因（带电或置于电场中）使导体内部存在电场时，自由电子受到电场力的作用而作定向运动，使导体一侧因电子的聚集而出现负电荷布另一侧因缺少电子而有正电荷分布，这就是静电感应，分布在导体上的电荷便是感应电荷。
（2）静电平衡状态当感应电荷在导体内产生的场与外场完全抵消时，电子的定向运动终止，导体处于静电平衡状态。
（3）静电平衡条件所有场源包括导体上的电荷共同产生的电场的合场强在导体内部处处为零。
静电平衡时：①导体是等势体。
②导体外表面附近的电场强度与导体表面垂直。
导体静电场
电解电容器
3.1 孤立导体的电容
对于孤立带电小球
V
q 4 0 R
R
q
可以证明，电势与电荷的正比关系对任意形状的导体都成立。 因此有：
q CV
比例常数C叫孤立导体的电容
q C V
3.2电容器及其电容
q q ---- 一极板带电量（电容器的电量） c uA uB uAB ---- 两极板电势差（电容器的电压）
q
+
q
+
+
q
+
结论
1.不接地空腔导体，腔外电场对腔内无影响，
腔内电场对腔外有影响。
+q
-q
+q
2.接地空腔导体，则内外电场都无影响.
+q
-q
静电屏蔽的应用
例 1 有一外半径 R1 10cm 和内半径 R2 7cm 的金属球壳，在球壳内放一半径 R3 5cm 的同心金 8 属球，若使球壳和金属球均带有 q 10 C 的正电荷， 问 两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？ 解 根据静电平衡的条件求电荷分布 作球形高斯面 S1
导体静电场
§2-1 静电场中的导体
一.导体的电结构 ： 导体中有大量自由电荷（自由电子）
和带正电晶体点阵。 . 通常情况下，正负电荷总量相等，导 体呈电中性。
,
放入电场中后,自由电荷发生移动，产
生静电感应现象。
导体与电介质相比： 电结构不同:导体中有大量自由电荷， 介质中为束缚电荷。
电阻率不同:导体: 108 ~ 106 m
8 18 10 ~ 10 m 介质:
二.导体的静电感应 静电平衡
1. 静电感应现象 (electrostatic induction） a)现象:导体在电场中，其自由电荷受电场力
第二章 有导体时的静电场习题及解答
7、若电荷间的相互作用不满足平方反比律，导体的屏蔽效应仍然存在。（）×
8、用一个带电的导体小球于一个不带电的绝缘大导体球相接触，小球上的电荷会全部传到大球上去。（）×
9、带电体的固有能在数值上等于该带电体从不带电到带电过程中外力反抗电力作的功。（）√
10、静电平衡时，某导体表面的电荷在该导体内部产生的场强处处必为零。（）×
3、一封闭的带电金属盒中，内表面有许多针尖，如图所示，根据静电平衡时电荷面密度按曲率分布的规律，针尖附近的场强一定很大。（）×
4、孤立带电导体圆盘上的电荷应均匀分布在圆盘的两个圆面上。（）√
5、对于一个孤立带电导体，当达到静电平衡时，面电荷的相对分布与导体表面的曲率成正比。（）√
6、一个接地的导体空腔，使外界电荷产生的场强不能进入腔内，也使内部电荷产生的场不进入腔外。（）×
第二章有导体时的静电场
一、判断题（正确划“ ”错误码划“ ”）
1、由公式 知，导体表面任一点的场强正比于导体表面处的面电荷密度，因此该
点场强仅由该点附近的导体上的面上的面电荷产生的。（）×
2、一导体处静电场中，静电平衡后导体上的感应电荷分布如图，根据电场线的性质，必有一部分电场线从导体上的正电荷发出，并终止在导体的负电荷上。（）×
11、两个带有同种电荷的金属球，一定相斥。（）×
12、真空中有一中性的导体球壳，在球中心处置一点电荷q，则壳外距球心为r处的场强为 ,当点电荷q偏离中心时，则r处的场强仍为 。（）√
13、接地的导体腔，腔内、外导体的电荷分布，场强分布和电势分布都不影响。（）√
14两个导体A、B构成的带电系的静电能为 ，则式中的 及 分别表示A和B的自能。（）×
（A）该处无穷小面元上的电荷产生的。（B）该面元以外的电荷产生的。
8、用一个带电的导体小球于一个不带电的绝缘大导体球相接触，小球上的电荷会全部传到大球上去。（）×
9、带电体的固有能在数值上等于该带电体从不带电到带电过程中外力反抗电力作的功。（）√
10、静电平衡时，某导体表面的电荷在该导体内部产生的场强处处必为零。（）×
3、一封闭的带电金属盒中，内表面有许多针尖，如图所示，根据静电平衡时电荷面密度按曲率分布的规律，针尖附近的场强一定很大。（）×
4、孤立带电导体圆盘上的电荷应均匀分布在圆盘的两个圆面上。（）√
5、对于一个孤立带电导体，当达到静电平衡时，面电荷的相对分布与导体表面的曲率成正比。（）√
6、一个接地的导体空腔，使外界电荷产生的场强不能进入腔内，也使内部电荷产生的场不进入腔外。（）×
第二章有导体时的静电场
一、判断题（正确划“ ”错误码划“ ”）
1、由公式 知，导体表面任一点的场强正比于导体表面处的面电荷密度，因此该
点场强仅由该点附近的导体上的面上的面电荷产生的。（）×
2、一导体处静电场中，静电平衡后导体上的感应电荷分布如图，根据电场线的性质，必有一部分电场线从导体上的正电荷发出，并终止在导体的负电荷上。（）×
11、两个带有同种电荷的金属球，一定相斥。（）×
12、真空中有一中性的导体球壳，在球中心处置一点电荷q，则壳外距球心为r处的场强为 ,当点电荷q偏离中心时，则r处的场强仍为 。（）√
13、接地的导体腔，腔内、外导体的电荷分布，场强分布和电势分布都不影响。（）√
14两个导体A、B构成的带电系的静电能为 ，则式中的 及 分别表示A和B的自能。（）×
（A）该处无穷小面元上的电荷产生的。（B）该面元以外的电荷产生的。
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电磁学
第一章 静电场的基本规律 第二章 有导体时的静电场 第三章 静电场中的电介质 第四章 恒定电流和电路 第五章 恒定电流的磁场 第六章 电磁感应与暂态过程 第七章 磁介质 第八章 交流电路 第九章 时变电磁场和电磁波
第二章 导体周围的静电场
§1. 静电场中的导体 §2. 封闭导体壳内外的场 §3. 电容器及其电容 §4. 静电演示仪器（自学） §5. 带电体系的静电能
例题（p.50/[例2]）
中性封闭金属壳内有一正电荷， 求壳内外壁的感生电荷。 解：在壳层内（导体内）作高斯面 q内 E=0 E dS 0
q Q内 Q外
S
内
0
∴ q + Q内 = 0 Q内 = - q 中性 Q内 + Q外 = 0 Q外 = q
例题（p.52/[例5]）
接地导体球外有一点电荷 q，距球心 l > 半径 R， 求导体球上的感生电荷 q’。 解： q’ 分布在球面上 O l 接地，等势体，Uo = 0 Uo = Uo1 + Uo2 q ：U 1 q O1 40 l 1 dq 1 1 q' dq q’ ：U O 2 40 R 40 R 40 R q q' R 0 q' q l R l
●
三.导体静电平衡时的讨论方法
困难：电荷分布不明确，无法直接求电场 方法： ● 静电平衡性质（电场、电势、电荷 ） ● 电场线性质 （源于正电荷终于负电荷、不闭合 ） ● 高斯定理
例题（p.49/[例1]）
静电感应，qA> 0，导体B中性 A + + B + 求证：q’ ≤ qA + qA -q’ q’ 证明： 电场线始于 qA ， q’ ， 终于 - q’ ， ∵ B 等势体 ∴ q’ 与 - q’ 不可能在同一电力线上 ∴ q’ 发出的电场线只能终于 ∴ UB > U 则终于 - q’ 的电力线不可能始于 ∴终于 - q’ 的电场线全部始于 qA 电场线条数 q’/0 ≤ qA/0 ， ∴ q’ ≤ qA
1 1 1 Q ( ) 40 r a b 40b
B
q内 0 E内 dS 0
S
导体内部无电荷，电荷只分布在表面 (3) 导体表面附近的电场 E en 方向 导体表面（等势面） 0 大小 该处的 （高斯定理可证）
en
二.孤立导体的形状对电荷分布的影响
影响导体表面电荷分布的两个因素：
外界电荷 ● 自身形状 孤立导体表面电荷分布的规律（ p.47/ 图 2-5 ） ● 向外突出（曲率为正） 较尖： 较大 较平： 较小 ● 向内凹进（曲率为负） 最小 尖端放电现象 （如：电晕、避雷针等） 尖 大 E大 周围空气电离（击穿）
例题（交大p.74/[例11-3]）(2)
解：P点左（导体内）EP = 0 q0 1 a P 2 2 0 2 2 40 a r 2 0 a r q0 a P (r ) 2 2 32 2 (a r )
P r O a q0
在 r r + d r 圆环上 d q = d S = 2 r d r q0 a rdr 2 2 2 3 2 q dq 2 0 (a r ) 1 q0 a q0 2 2 a r 0
作业
p.78 / 2-1-
3, 5, 6
§2. 封闭导体壳内外的场
一.壳内空间的场 ● 壳内无电荷 ● 壳内有电荷 二.壳外空间的场 ● 壳外无电荷 ● 壳外有电荷 三.静电屏蔽 四.例题
一.壳内空间的场
壳内无电荷 ● 壳内空间各点场强为零，E = 0
（反证法：E 0, 电场线, 不中断, 交导体 内表面于两点, 与导体等势矛盾）
§1. 静电场中的导体
一.导体的静电平衡 —— 电荷不作宏观运动 ● 必要条件 ● 性质 二.孤立导体的形状对电荷分布的影响 三.导体静电平衡时的讨论方法 四.例题
一.导体的静电平衡
● ●
必要条件：E内= 0 ，导体内部各点场强为零 性质： B (1) U = const. U AB A E内 dl 0 A 导体是等势体，导体表面是等势面 S (2) = 0， 0
R
q
例题（交大p.74/[例11-3]）(1)
无限大导体板接地，相距 a 有一点电荷 q0 。求感应 电荷面密度和总电量。 解：O点左（导体内）Eo = 0 1 q0 0 2 0 q0 O a 40 a 2 0 或 O点右（导体外）Eo = -0/ 0 0 1 q0 0 2 （向左为正） 40 a 2 0 0 均可得： q0 0 2a 2
●
E=0
内 = 0
导体壳内壁上无面电荷，内= 0
（ E = / 0 = 0 ）
壳内有电荷 q ● 内壁感应电荷 -q ，外壁感应电荷 q ● 壳内电场由 q 和内壁感应电荷的分布决定，与壳 外情况无关
二.壳外空间的场
壳外无电荷（若壳内有电荷） ● 未接地，壳外有电场，外壁有面电荷 （ 内壁 -q 与壳内 q 抵消，外壁 q 产生壳外电场） ● 接地，壳外无电场，外壁无面电荷 （ 导体壳与无穷远等势，壳外无电力线，无电场） 壳外有电荷 ● 接地，壳外有电场，外壁有面电荷
三.静电屏蔽
壳内电场不受壳外电荷影响（不论壳接地与否） 接地导体壳外电场不受壳内电荷影响 应用很广泛（静电屏蔽）
例题（p.79/2 -2 -Fra bibliotek）球形金属空腔内外半径 a < b，带电 Q，腔内点电荷 q，距球心 r < a。求球心 O 点电势。 解：内壁 -q，外壁 q+Q b Uo = Uq +U-q+Uq+Q q r o a a dS b dS 1 q 40 r S a 40 a Sb 40b Q 1 q q qQ ) ( 40 r a b
第一章 静电场的基本规律 第二章 有导体时的静电场 第三章 静电场中的电介质 第四章 恒定电流和电路 第五章 恒定电流的磁场 第六章 电磁感应与暂态过程 第七章 磁介质 第八章 交流电路 第九章 时变电磁场和电磁波
第二章 导体周围的静电场
§1. 静电场中的导体 §2. 封闭导体壳内外的场 §3. 电容器及其电容 §4. 静电演示仪器（自学） §5. 带电体系的静电能
例题（p.50/[例2]）
中性封闭金属壳内有一正电荷， 求壳内外壁的感生电荷。 解：在壳层内（导体内）作高斯面 q内 E=0 E dS 0
q Q内 Q外
S
内
0
∴ q + Q内 = 0 Q内 = - q 中性 Q内 + Q外 = 0 Q外 = q
例题（p.52/[例5]）
接地导体球外有一点电荷 q，距球心 l > 半径 R， 求导体球上的感生电荷 q’。 解： q’ 分布在球面上 O l 接地，等势体，Uo = 0 Uo = Uo1 + Uo2 q ：U 1 q O1 40 l 1 dq 1 1 q' dq q’ ：U O 2 40 R 40 R 40 R q q' R 0 q' q l R l
●
三.导体静电平衡时的讨论方法
困难：电荷分布不明确，无法直接求电场 方法： ● 静电平衡性质（电场、电势、电荷 ） ● 电场线性质 （源于正电荷终于负电荷、不闭合 ） ● 高斯定理
例题（p.49/[例1]）
静电感应，qA> 0，导体B中性 A + + B + 求证：q’ ≤ qA + qA -q’ q’ 证明： 电场线始于 qA ， q’ ， 终于 - q’ ， ∵ B 等势体 ∴ q’ 与 - q’ 不可能在同一电力线上 ∴ q’ 发出的电场线只能终于 ∴ UB > U 则终于 - q’ 的电力线不可能始于 ∴终于 - q’ 的电场线全部始于 qA 电场线条数 q’/0 ≤ qA/0 ， ∴ q’ ≤ qA
1 1 1 Q ( ) 40 r a b 40b
B
q内 0 E内 dS 0
S
导体内部无电荷，电荷只分布在表面 (3) 导体表面附近的电场 E en 方向 导体表面（等势面） 0 大小 该处的 （高斯定理可证）
en
二.孤立导体的形状对电荷分布的影响
影响导体表面电荷分布的两个因素：
外界电荷 ● 自身形状 孤立导体表面电荷分布的规律（ p.47/ 图 2-5 ） ● 向外突出（曲率为正） 较尖： 较大 较平： 较小 ● 向内凹进（曲率为负） 最小 尖端放电现象 （如：电晕、避雷针等） 尖 大 E大 周围空气电离（击穿）
例题（交大p.74/[例11-3]）(2)
解：P点左（导体内）EP = 0 q0 1 a P 2 2 0 2 2 40 a r 2 0 a r q0 a P (r ) 2 2 32 2 (a r )
P r O a q0
在 r r + d r 圆环上 d q = d S = 2 r d r q0 a rdr 2 2 2 3 2 q dq 2 0 (a r ) 1 q0 a q0 2 2 a r 0
作业
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3, 5, 6
§2. 封闭导体壳内外的场
一.壳内空间的场 ● 壳内无电荷 ● 壳内有电荷 二.壳外空间的场 ● 壳外无电荷 ● 壳外有电荷 三.静电屏蔽 四.例题
一.壳内空间的场
壳内无电荷 ● 壳内空间各点场强为零，E = 0
（反证法：E 0, 电场线, 不中断, 交导体 内表面于两点, 与导体等势矛盾）
§1. 静电场中的导体
一.导体的静电平衡 —— 电荷不作宏观运动 ● 必要条件 ● 性质 二.孤立导体的形状对电荷分布的影响 三.导体静电平衡时的讨论方法 四.例题
一.导体的静电平衡
● ●
必要条件：E内= 0 ，导体内部各点场强为零 性质： B (1) U = const. U AB A E内 dl 0 A 导体是等势体，导体表面是等势面 S (2) = 0， 0
R
q
例题（交大p.74/[例11-3]）(1)
无限大导体板接地，相距 a 有一点电荷 q0 。求感应 电荷面密度和总电量。 解：O点左（导体内）Eo = 0 1 q0 0 2 0 q0 O a 40 a 2 0 或 O点右（导体外）Eo = -0/ 0 0 1 q0 0 2 （向左为正） 40 a 2 0 0 均可得： q0 0 2a 2
●
E=0
内 = 0
导体壳内壁上无面电荷，内= 0
（ E = / 0 = 0 ）
壳内有电荷 q ● 内壁感应电荷 -q ，外壁感应电荷 q ● 壳内电场由 q 和内壁感应电荷的分布决定，与壳 外情况无关
二.壳外空间的场
壳外无电荷（若壳内有电荷） ● 未接地，壳外有电场，外壁有面电荷 （ 内壁 -q 与壳内 q 抵消，外壁 q 产生壳外电场） ● 接地，壳外无电场，外壁无面电荷 （ 导体壳与无穷远等势，壳外无电力线，无电场） 壳外有电荷 ● 接地，壳外有电场，外壁有面电荷
三.静电屏蔽
壳内电场不受壳外电荷影响（不论壳接地与否） 接地导体壳外电场不受壳内电荷影响 应用很广泛（静电屏蔽）
例题（p.79/2 -2 -Fra bibliotek）球形金属空腔内外半径 a < b，带电 Q，腔内点电荷 q，距球心 r < a。求球心 O 点电势。 解：内壁 -q，外壁 q+Q b Uo = Uq +U-q+Uq+Q q r o a a dS b dS 1 q 40 r S a 40 a Sb 40b Q 1 q q qQ ) ( 40 r a b