第2章_静态电磁场静电场15
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第2章静电场
“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义： 它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的 电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明： 任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量； 电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明： 静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量； 可以直接运用散度方程求解； 仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围 的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则； 积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区； 电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比 矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2
总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)
电动力学第二章
R r
y
r R l 2 Rl cos
2 2 2
2l
x -Q
求近似值：
r R 1 2l cos / R 1 2l cos R (1 ) R l cos 2 R
(l R)
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos 2 2 2 2 r r r r R l cos R
1 R 2 / M 2 1 1 R 2 / M 2 1 0 P P0 lim ln 1 R 2 / M 2 1 1 R 2 / M 2 1 M 4 0 0
R2 1 R2 1 2 1 2 M 2M R02 R P P0 ln 2 ln 4 0 R 2 0 R0
2Ql cos 2QlR cos PR ( P) 2 3 3 4 0 R 4 0 R 4 0 R
x- y
平面为等势面（Z = 0的平面）。
若电偶极子放在均匀介质 中（无限大介质）：
均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电 荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与 束缚偶极子产生的势的迭加，设 Q p 为束缚电荷， 0 0 0 Q p (1 )Q Pp 2QP l ez 2Ql ez ( 1) ( 1) P
（4） W
1 dV中的 是由电荷分布 激发的电势； 2
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有
独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。 （6）若全空间充满了介电常数为ε的介质，可得到电荷 分布ρ所激发的电场总能量
1 ( x) 1 ( x ) ( x) W ( x )dV dV dV r dV 2 4 r 8 与 点的距离。 式中r为 x x
第2章静态电磁场Ⅰ静电场精品PPT课件
(3) = 0
dl drdrer
a. r > a
P 2(r) P E 2• d l P E 2 d r3 0 a 0 3 rr 1 2d r 3 0 0 a r P 3
P2
(r) Q
40rP
0a3 30rP
b. r < a
P(r) E•dl
P
a
rP
0rdr0a3
30
a 30
0
P r E • dl P
工程上，以大地表面为电位参考面
大地 0
2.2.2 场分布：基于场量 E 的( r )分析
E (r) (r) V 4 r r rdV
r
V
4
1 rr
dV
1
4
V
Rr2eRdV
• dq = dV= dS= dl
(r )
(r )
E(r) 1
4
SRr2eRdS
1
4
V
r
r r
dV
Ar41V r ErrdV0
E(r) (r)
(r) E(r)
z
dV (x, y, z)
(r )
R r r eR
r
V
r
o
P(x, y, z) •
y
x
求任意场点 P 处的 E ( r ) 示意图
• 规定电位的参考点 Q 后，任一场点 P 处的电位为
Q
P r E • dl P
(4)画出球内外 E、 随 r 变化的分布图。
E
球状电荷分布 [解] (1) a. r<a
dS
a
(r) const 0 or
rP dl
0 P
S (高斯面) 0
工程电磁场倪光正第2章静态电磁场Ⅰ：静电场
电位
电位是描述电场中某点电荷所具有的能量的物理量，单位是焦耳/库仑 （J/C）。
在静电场中，电位与电场强度之间存在一定的关系，即电位等于电场强度 与距离的乘积。
电位具有相对性，其大小与参考点的选择有关，参考点不同，电位值也会 发生变化。
02
静电场的物理量
电场力
库仑定律
描述点电荷之间的相互作用力，公式为F=k*q1*q2/r^2，其中q1 和q2是点电荷的电量，r是两点电荷之间的距离，k是库仑常数。
03
静电场的数学模型
静电场的微分方程
01
静电场的基本方程是高斯定理和泊松方程。
02
高斯定理表明，在静电场中，穿过任意闭合曲面的 电场线数等于该闭合曲面所包围的电荷量。
03
泊松方程则描述了电场强度与电荷分布之间的关系。
静电场的边界条件
边界条件是指静电场在物体表面或不同媒质的分 界面上的行为。
电场线在物体表面上必须垂直于物体表面，即电 场切向分量连续。
的疏密程度表示电场强度的大小。
电场是一种物质，具有能量和动量，可以与重力场、磁场等相
03
互转化。
电场强度
01
电场强度是描述电场中电场力作 用强弱的物理量，单位是牛顿/ 库仑（N/C）。
02
电场强度的大小与电场中某点 的电荷量成正比，与该点放置 的试探电荷所受的电场力成正 比。
03
电场强度具有方向，其方向与 正电荷在该点所受的电场力方 向相同。
电容器的应用
在电子电路中广泛应用，如滤波、耦合、去 耦、储能等。
电场能量
01
电场能量的定义
02
电场能量的特点
03
电场能量的应用
电场能量是指静电场中储存的能 量，公式为W=1/2*ε0*E^2，其 中ε0是真空电容率，E是电场强 度。
哈工程第二章-静态电磁场I静电场剖析
对右图闭合曲线作曲线积分， 并应用斯托克斯定理，得：
E • d l E • d l E • d l E • d S 0
AmBA nm AB BnAS
即
E •dlE •dlE •dl
Am B BnA AnB
图 电场力作功与路径无关
表明在静电场中，电场力作功与路径无关，仅取 决于起点和终点的位置。
静电场知识结构框图
静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一 定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。
第2章 静态电磁场I：静电场
• 演绎法（补充）： 演绎法是与归纳法相反的一种研究方法，是从既有的普遍性结论或一般性 事理，推导出个别性结论的一种方法，即由较大范围，逐步缩小到所需的特定范 围。它是从一般到特殊，由定义、根本规律等出发一步步递推，逻辑严密结论可 靠，且能体现事物的特性。 演绎法的基本形式是三段论式，它包括： （1）大前提，是已知的一般原理或一般性假设； （2）小前提，是关于所研究的特殊场合或个别事实的判断，小前提应与大 前提有关； （3）结论，是从一般已知的原理（或假设）推出的，对于特殊场合或个别 事实作出的新判断。由相对于观察者为静止的、且量值不随时间变化的电荷所激 发的电场。
例2-2 已知真空中在半径为a的球形空间内分布有呈球对称形态的电
荷，它在其球形分布区域内外产生的空间电场分别为
E(r) 1
20
er(0ra)
和
试求该给定静电场的旋度。
E(r)
a2
20r2
er(r
a)
解:
2.2 自由空间的电场
2.2.1 自由空间中的E和
1. 电位函数的引入
•亥姆霍兹定理（回顾）
显然，静电场是有散(有源)、无旋场。
E • d l E • d l E • d l E • d S 0
AmBA nm AB BnAS
即
E •dlE •dlE •dl
Am B BnA AnB
图 电场力作功与路径无关
表明在静电场中，电场力作功与路径无关，仅取 决于起点和终点的位置。
静电场知识结构框图
静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一 定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。
第2章 静态电磁场I：静电场
• 演绎法（补充）： 演绎法是与归纳法相反的一种研究方法，是从既有的普遍性结论或一般性 事理，推导出个别性结论的一种方法，即由较大范围，逐步缩小到所需的特定范 围。它是从一般到特殊，由定义、根本规律等出发一步步递推，逻辑严密结论可 靠，且能体现事物的特性。 演绎法的基本形式是三段论式，它包括： （1）大前提，是已知的一般原理或一般性假设； （2）小前提，是关于所研究的特殊场合或个别事实的判断，小前提应与大 前提有关； （3）结论，是从一般已知的原理（或假设）推出的，对于特殊场合或个别 事实作出的新判断。由相对于观察者为静止的、且量值不随时间变化的电荷所激 发的电场。
例2-2 已知真空中在半径为a的球形空间内分布有呈球对称形态的电
荷，它在其球形分布区域内外产生的空间电场分别为
E(r) 1
20
er(0ra)
和
试求该给定静电场的旋度。
E(r)
a2
20r2
er(r
a)
解:
2.2 自由空间的电场
2.2.1 自由空间中的E和
1. 电位函数的引入
•亥姆霍兹定理（回顾）
显然，静电场是有散(有源)、无旋场。
工程电磁场_倪光正第2章静态电磁场Ⅰ：静电场
• Ev(rv) 0
上式为真空中高斯定理的微分形式，该式表明，真空中 电场强度在任一场点上的散度等于该点的电荷体密度除 以真空的介电常数ε0
v
• E 0 ( 0)
v
• E 0 ( 0)
v
• E 0 ( 0)
E 0 E 0 E 0
高斯定律的应用
高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性场才有 解析解。
得 D 2πL L
D
2π
e
E
D
0
2π 0
e
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例2 哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？
球壳外的电场
D dS D 4πr 2 q S
D
q 4πr 2
er
图 q在金属球壳内
球壳内的电场
图±q分别在金属球内外
D dS D 4πr 2 q S
D
q 4πr 2
er
返回 上页 下页
• 电偶极子远区的特征是：
v
1 r2
E
1 r3
• (r,) E(r, )
2.2.4 电场线和等位面(线)
1. Ev线
E dl 0
z
v
v
EP
dl
P(x, y, z)
v
E
线
evz
evx o evy
y
x
Exevx Eyevy Ezevz dxevx dyevy dzevz Eydz Ezdy evx Ezdx Exdz evy Exdy Eydx evz
积分形式： H • dl J • ds
l
s
c
(2-1a)
E • dl 0
l
B • dS 0
s
(2-1b) (2-1c)
上式为真空中高斯定理的微分形式，该式表明，真空中 电场强度在任一场点上的散度等于该点的电荷体密度除 以真空的介电常数ε0
v
• E 0 ( 0)
v
• E 0 ( 0)
v
• E 0 ( 0)
E 0 E 0 E 0
高斯定律的应用
高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性场才有 解析解。
得 D 2πL L
D
2π
e
E
D
0
2π 0
e
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例2 哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？
球壳外的电场
D dS D 4πr 2 q S
D
q 4πr 2
er
图 q在金属球壳内
球壳内的电场
图±q分别在金属球内外
D dS D 4πr 2 q S
D
q 4πr 2
er
返回 上页 下页
• 电偶极子远区的特征是：
v
1 r2
E
1 r3
• (r,) E(r, )
2.2.4 电场线和等位面(线)
1. Ev线
E dl 0
z
v
v
EP
dl
P(x, y, z)
v
E
线
evz
evx o evy
y
x
Exevx Eyevy Ezevz dxevx dyevy dzevz Eydz Ezdy evx Ezdx Exdz evy Exdy Eydx evz
积分形式： H • dl J • ds
l
s
c
(2-1a)
E • dl 0
l
B • dS 0
s
(2-1b) (2-1c)
电磁场与波第二章
q 4 0 rP
O
rP
P
4 0 r 对于位于 r 的点电荷，电位表达式则为：
8
q
q q 4 0 | r r | 4 0 R
第二章 静电场和恒定电流电场
电荷系的电场电位：
场源 n个点电荷，利用叠加原理，选取同一个参考零电位点（电荷在有 限空间，选取无限远作为零电位）。此时n个电荷电位为：
积分关系：
E
0 P
E dl
0 P
( ) dl
0 P
dl P 0 = P l
电场中电位的等值线或等值面称为等位线或等位面。电荷在等 位面上移动时，电场力不对电荷做功。
E dl =0
12
第二章 静电场和恒定电流电场
例2.3 求电偶极子的电位和电场强度。电偶极子由空间两个等量异号的
an
介质1 介质2
1
E1
1E1 cos1 2 E2 cos2
tan 1 1 tan 2 2
静电场电力线 的折射定律
1
E2
2
2
导体表面边界条件：
由于静电平衡，导体内部电场为零。
介质
an
E1 E
Dn S , Et 0
1 , 1 0
导体
2 , 0
理想介质表面：
由于： En Dn En n n 则可以将此边界条件用电位表示：
2
D1n D2n S
2 1 2 1 S n n
18
2 =1 1 n n
导体表面， 1为常数：
2 2 S n
电位的泊松方程
2 0 电位的拉普拉斯方程
电磁场理论03静态场精品PPT课件
E q
40
r r r r 3
Vr q
40 r r
等位线
E
V
利用电位求电场－电偶极子
Pr,,
优点：简单方便
z
Vr4q0R 11R 12＝ 4q0R R 21 R2 R 1
R1
R1
r2 d 2 2r d cos
4
2
r q R2
do
y
r
1
1 4
d r
2
d r
cos
0.5
r
1
Q
3、电通量密度
Q
r a
Q r
绝缘材料
rb
D
ra
Q 4 a 2
rˆ
D
rb
Q 4 b
2
rˆ
D
Q 4 r
2
rˆ
DrVv4rdv
rr rr3
D 0E
高斯定理
ds
1、任意曲面上的电通量
S D ds
D
Q
S D ds
2、高斯定理
穿过任意闭曲面的电通量等于该曲面所包围的总电荷
SD d s Q Vv d v
rr
线分布电荷：
Vr 1
40
Lrlrrdl
静电场的环量——旋度
V A A V A V A L E d l 0
B
旋度定理：
LE d lS E d s
所以：
S E d s 0
静电场是无旋场
E 0
等效的说法：
1、静电场是保守场
2、沿任何闭合路径的环量为零
3、两点之间的电位差只与两点的位置有关，而与路径无关
真空介电常数或真空电容率： 0
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第 二 章
静 电 场
静电场的无旋性
E 0
这表明静电场的旋度处处为零，静电场为无旋场，其 电力线不是闭合曲线。
对右图闭合曲线作曲线积分， 并应用斯托克斯定理，得：
AmBnA
E dl E dl E dl E dS 0
AmB BnA S
即
AmB
E dl E dl E dl
BnA AnB
图 电场力作功与路径无关
表明在静电场中，电场力作功与路径无关，仅 取决于起点和终点的位置。
第 二 章
静 电 场
电位函数的引入
因为 E=0，由矢量恒等式 ()=0，E(r) 可以表示为:
E r r
式中，
0
0 tg-1
l 2 。
第 二 章
l
静 电 场
讨论：如果 2 <<1，这意味着或者l很小或者 很大，此时
sin 0
l 相当于电量为 l的点电荷产生的电场。如果 >>1，这可以视 2
为无限长直的线电荷，此时 0 tg-1
l ，则 2 E
l e 2 4 0
代入前式，得
E r
1 4 0
V
r
R
2
e R dV
点电荷： 线电荷： 面电荷： 体电荷：
1 q(r ' ) E r eR 2 4 0 R
E r
E r
1 r ' e dl R 2 4 0 R l'
1 r e R dS ' 2 4 0 S ' R
式中，称为标量函数 (r) 为静电场的标量电位函数，简 称电位。上式表明，自由空间中任一点静电场的电场强度 E 等 于该点电位梯度的负值。
位参考点，则P点的电位定义为：
P E dl
P
Q
工程应用中，常取大地表面为电位参考点，而在 理论分析时，任意点P的电位可设为：
第 二 章
静 电 场
静电场
基本内容：
1、静电场基本方程及其物理意义
2、真空中的电场，导体中的电场及电介质的电场
3、静电场的求解
4、电容、静电能量及静电力的求解
静电场：由相对于观察者静止的且电量不随时间变化的电荷产 生的电场
第 二 章
静 电 场
一、静电场的基本方程和场的特性
微分形式:
E 0
l ，则 2
E
e 2 0
第 二 章
静 电 场
例2-4：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布， 设电荷体密度为 1 0 r a r r a 0 [解]：由高斯定理，当r a时
E dS E dS E 4 r
E , 0, 0 dE 2 4 0 l
2 l 2
dz
2
z
3 2 2
0
l 2
dz
2
z
3 2 2
利用变量代换z = tg，dz = sec2 d，代入上式，最终解得
E , 0, 0 2 cosd e sin 0 e 4 0 0 2 0
例2-3：真空中有限长直线段l上均匀分布线电荷密度为 的 电荷，如图所示。求线外中垂面上任意场点P处的电场强度。
图 有限长直线电荷沿方向的电场
第 二 章
静 电 场
[解]：采用圆柱坐标系，令z轴与线电荷重合，原点置于线段 l 的中点。
1 dz 1 dE dE cos cos 4 0 R 2 4 0
1 r r dV 4 0 V R
第 二 章
静 电 场
3．电场强度的表达式 r r 1 E r dV dV 4 0 R 4 0 R 因为 V V
第 二 章
静 电 场
▽ E > 0， > 0
▽ E < 0， < 0
▽ E = 0， = 0
图2-1 散度与场源的关系
上图表明：静电场是有散(有源)场。若场中某点 ▽E>0， 则 >0 (正电荷)，该点电力线向外发散，且为“源”的所在 处；若某点 ▽E<0，则 <0 (负电荷)，电力线从周围向该点 汇集，是“汇”的所在处；若某点的▽E=0，则 =0 (无电 荷)，电力线既不自该点发出，也不向该点汇集，而是通过该 点，因此该点不存在场源。
积分形式:
E dl 0
l
D= 其媒质的构成方程为: D=E
D dS dV
S V
显然，静电场是有散(有源)、无旋场。
第 二 章
静 电 场
真空中 静电场的有散性(高斯定理)
在真空中，高斯定理:
E dS
S
V
dV
0
q
0
其微分形式为：
E 0
e 1 1 1 1 R 1 e x e y e z 3 x xe x y y e y z z e z 3 R x R y R z R R R R2 R
E r
1 4 0
V
r
R
2
e R dV
第 二 章
静 电 场
4．电位和电场强度的求解思路
思路一：先求电位，再利用 E r r ，求电场强度。 思路二：先求电场强度，再利用
p r E dl ，求电位。
p
第 二 章
静 电 场
P E dl
P
第 二 章
静 电 场
2、电位函数的表达式
点电荷：
1 q(r ' ) r 4 0 R
r
1 r ' dl 4 0 l ' R
线电荷：
面电荷：
1 r ' r dS 4 0 S ' R
体电荷：