第二章 静电场分析
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s
2.2.2
静电场的高斯定律 （Gauss’ law）
定义：从闭合面内发出的总电通量，等于面内所 包围电荷总电量。
D ds Q 积分形式 s D d s Q dv v
s v
D dv 此式说明：空间任意存在正电荷密度的点，都发出电
1. 平行双导线，单位长度的电容
2. 同轴线内外导体间，单位长度的电容 3.
例
且
d
两半径为 R 的平行长直导线中心间距为 d ， R, 求单位长度的电容 .
E E E E 2π 0 x 2π 0 (d x) d R d R P 1 1 U Edx ( )dx x 2 π x d x 0 x dx R R d R d E ln ln E π 0 R π 0 R d 单位长度的电容 C π 0 ln d
电子云
无极分子
He
原子核
2.有极分子( polar molecule) 在无外场作用下存在固有电矩.例如H2O Hcl CO SO2 因无序排列对外不呈现电性. H2O
有极分子
O
H
H
Pe
极化的结果在电 介质的内部和表 面形成极化电荷， 这些极化电荷在 介质内激发与外 电场方向相反的 电场
无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩. 在外电场中产生感应电偶极矩.
D v
D d s Q dv v
s v
E 0
E dl 0
c
2.3 电介质的极化与电通量密度
平板电容器电压变小
0
电介质
0
2.3 电介质的极化与电通量密度
一、 静电场中的物质
1. 静电场中的导体（如金属） 二、 电介质中的基本方程 （1 ）导体内部任何一点的场强都等于零
（2）面电荷
q l lim l 0 l
（3）体电荷
S q 体电荷密度（Charge Volume Density）： V lim V 0 V
S 0
S lim
分布电荷所产生的电场强度 设电荷以体密度ρV(r′)分布在体积V内。在V内取一微小体 积元dV′，其电荷量dq=ρV(r)dV′，将其视为点电荷，则它 在场点P(r)处产生的电场为
E
0
0
线性、均匀、各向同性的电介质中，电通密度 D与 电场强度 之间的关系 (也称媒质的本构关系）： E
D E
其中：
0 r
因而，任何电介质中，静电场的方程，只要将前面 得出的方程中的介电常数 换成 即可。 0
2.4
导体的电容
用旋度描述电场：
电位函数
静电场的旋度 电场力做功
( E) ds E dl
s l
E d l 0 c 电通量 qE dl F dl W 0
c c 高斯定律
小 结
用散度描述电场： 库仑定律 用旋度描述电场：
电位函数
E
解题思路（步骤）：
1. 根据电荷分布形状，以及 它与所求点电场之间的相对 位置关系，选择并建立坐标 系。 2. 确定源点、场点，及其位 置矢量，距离矢量。 3. 代入电场强度计算式，确 定积分上下限，求解。
2.1.3 电位函数 在静电场中，某点 P处的电位定义为把单位正电荷 “—”负号的物理意义：电位的增加总是朝着抗拒 从 P 点移到参考点 Q 的过程中静电力所作的功。若 电场强度的方向；电场强度的方向总是垂直于电位 正试验电荷qt从P点移到Q点的过程中电场力作功为 面，并从电位高处指向电位低处。 W，则P点处的电位为 Q W lim E dl P qt 0 q V (r ) 1 t dV ' q V 4 R E a 0 2 R 40 R q 1 S (r ) 1 E dl dS P 4 R 0 dl aR dR 40 S R l (r ) 1 dl E 40 l R
2.1 电场强度与电位函数
• 库仑定律 • 电场强度 • 电位函数 • 电偶极子
2.1.1 库仑定律
库 仑 定 律 （ Coulom‘s Law） 是静电现象的基本实验定律， 表明固定在真空中相距为 R的 两点电荷q1与q2之间的作用力： 正比于它们的电荷量的乘积； 反比于它们之间距离的平方； 作用力的方向沿两者间的连 线；两点电荷同性为斥力， 异性为吸力。 q1q2 q1q2 F12 aR R 2 3 40 R 40 R
一、电容器(capacitor)与电容(capacitance)
储存电荷的容器称为电容器,相互接近而又相互绝缘的任意 形状导体都可构成电容器。 电容：一个导体上的电荷量与此导体
相对于另一导体的电位之比,单位是法
拉（F）.
Qa C Vab
电容的大小仅与导体的形状、相对位置、其间的 电介质有关，与所带电荷量无关。 二、电容计算应用举例——综合题目
例 真空中一个带电导体球，半径为a，所带电量为Q，试 计算球内外的电位与电场强度。
z P r R S (a, , )
等 位体 E＝ 0
dS
a
a
O
导 体内
导 体球
带电导体球的场分布 孤立带电导体球的场
2.1.4 电偶极子
电偶极子是指相距很近的两个等值异号的电荷。
Z P q r2
F12 q2 R
q1
2.1.2 电场强度
1、点电荷的电场强度
设 q 为位于点 S(x’,y’,z’) 处的点电荷，在其电场中点 P(x,y,z) 处引入试验电荷qt，根据库仑定律，qt受到的作用力为F，则 该点处的电场强度（Ｅelectric Field Intensity）定义为 q F qR 1 z ( x, y, z) R r r 场 点 ( x, y, z) E lim 3 qt 0 q 40 R 40 R t 源点 当空间中同时有 n 个点电荷时，场 点的电场等于各点电荷 qi 在该点产 生的电场强度的矢量和，即 O n n qi Ri E Ei 3 x 4 R i 1 i 1 0 i n
qi
r
r
y
1 i 1 40 Ri
例：两个点电荷位于（1，0，0）和（0，1，0）， 带电量分别为20nC和-20nC，求（0，0，1）点处的 电场强度
2. 分布电荷的电场强度
（1）线电荷
线电荷密度（Charge Line Density）： 当电荷分布在一细线（其横向尺寸与长度的比值很小） 上时，定义线电荷密度为单位长度上的电荷 面电荷密度（Charge Areal Density）： 当电荷分布在一个表面上时， 定义面 电荷密度为单位面积上的电荷 q
电场强度
电通密度（电感应强度） D 0 E
静电场的旋度 电场力做功
c
E 0
s D ds Q v v dv 高斯定律 D v
电通量
F dl 0
积分形式 微分形式
静电场属于有散无旋场基本方程的总结
微分形式 积分形式
l RB
-+ - + RA -+ R B -+
l
Q RB （4）电容 C 2π 0l ln U RA
2.5 静电场的边界条件
决定分界面两侧电场变化关系的方程称为静电场的 边界条件，即电场在两种不同媒质分界面上变化的规 律。 1、电通密度 D的法向分量(即垂直于分界面的分量）， 满足的边界条件。
0
O
1 E 40
V (r )
R
3
V
RdV
例 有限长直线l上均匀分布着线密度为ρl的线电荷, 如下 图所示，求线外一点的电场强度。
l cos d dqdE z ' l dz 40 1 l E (cos cos ) z' r r ' ( a 1a z z ) 2 R a z 40 a ( z z ' )a z ] 1 1l [ l Ez (sin 1 sin 2 ) dz ' dE 3 40 4 R 无限长线电荷的场
1
0
1dq 1 1 dq l sin dE dE 4 2 aR d R 3 0 40 R 40 R
dE
有限长直线电荷的wk.baidu.com场
1
40 R 1 40
l
3
dz ' dz '
dE z
l ( z z ' )
R
3
例2.2 一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为a，外半径 为b，面电荷密度为 s，求z轴上任意一点的电场强度
q 1 1 q r1 r2 40 r2 r1 40 r1r2
d
r r1
qd cos 40 r 2
O
y 定义电偶极矩矢量的大小 为 p=qd，方向由 负电荷指向正电荷，即 p az qd则P点的电 位可以写成下列形式:
x
qd cos p ar 2 40 r 40 r 2
P(r) R
dV
V
r
r
体积V内所有电荷在P(r)处所产 电场强度的矢量积分公式 生的总电场为
dq R dE S (3 r ) 1 E RdS 4 R 3 40 S 0 R ) R ( r V l (r ) 1 d V 3 E Rd l 3 4 R 4 l 0R
解 设两金属线的电荷线密度为
2R
o
U
R
圆柱形电容器
（ 2） E , ( RA r RB ) 2π 0 r R dr Q RB （ 3） U ln R 2π r 2π 0l RA 0
B A
（1）设两导体圆柱面单位长度上 分别带电 Q/l
（2）电荷只分布在导体的外表面上 （3）导体成为一个等位体，即导体表面电位处处相等。
2. 静电场中的半导体（如硅和锗）
静电场中半导体与导体的表现没有区别。
3. 静电场中的电介质（即绝缘体，如空气，瓷）
有极分子和无极分子电介质
1.无极分子( nonpolar molecule) 在无外场作用下整个分子无电矩.例如CO2 H2 N2 O2 He
2、电场强度 E的切向分量（即平行于分界面的分
量），满足的边界条件。
1. 电通密度 D 的法向分量，满足的边界条件
D ds Q s D ds D1 nS D2 nS
电位函数
静电场的旋度 电场力做功
电场强度
电通密度（电感应强度） 电通量
高斯定律
2.2.1
电通密度
电通密度与电通量
电感应强度，或电位移矢量
真空中， 它与电场强度的关系：
D 0E
D
电通量
（即通量的概念在电场中的应用）
D 所以， 表示单位面积上的电通量，称为电通密度。
D ds
取负梯度得电偶极子在P点处的电场强度为 p E (ar 2 cos a sin ) 3 40 r
z
＞ 0
电 力线
y 零电位面
电偶极子的电场线
＜ 0
qd cos 40 r 2
2.2
库仑定律
静电场的基本方程
用旋度描述电场：
用散度描述电场：
散度与场源的关系
V
通量线（即电力线）
静电场是有散的
D v
微分形式
例：用高斯定律求孤立点电荷q在任意点P点产生的 电场强度
E E 0 用散度描述电场：
所以，静电场中电场强度 库仑定律 的旋度恒为零，即静电场 为无旋场（保守场） 电场强度
电通密度（电感应强度）
2.2.2
静电场的高斯定律 （Gauss’ law）
定义：从闭合面内发出的总电通量，等于面内所 包围电荷总电量。
D ds Q 积分形式 s D d s Q dv v
s v
D dv 此式说明：空间任意存在正电荷密度的点，都发出电
1. 平行双导线，单位长度的电容
2. 同轴线内外导体间，单位长度的电容 3.
例
且
d
两半径为 R 的平行长直导线中心间距为 d ， R, 求单位长度的电容 .
E E E E 2π 0 x 2π 0 (d x) d R d R P 1 1 U Edx ( )dx x 2 π x d x 0 x dx R R d R d E ln ln E π 0 R π 0 R d 单位长度的电容 C π 0 ln d
电子云
无极分子
He
原子核
2.有极分子( polar molecule) 在无外场作用下存在固有电矩.例如H2O Hcl CO SO2 因无序排列对外不呈现电性. H2O
有极分子
O
H
H
Pe
极化的结果在电 介质的内部和表 面形成极化电荷， 这些极化电荷在 介质内激发与外 电场方向相反的 电场
无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩. 在外电场中产生感应电偶极矩.
D v
D d s Q dv v
s v
E 0
E dl 0
c
2.3 电介质的极化与电通量密度
平板电容器电压变小
0
电介质
0
2.3 电介质的极化与电通量密度
一、 静电场中的物质
1. 静电场中的导体（如金属） 二、 电介质中的基本方程 （1 ）导体内部任何一点的场强都等于零
（2）面电荷
q l lim l 0 l
（3）体电荷
S q 体电荷密度（Charge Volume Density）： V lim V 0 V
S 0
S lim
分布电荷所产生的电场强度 设电荷以体密度ρV(r′)分布在体积V内。在V内取一微小体 积元dV′，其电荷量dq=ρV(r)dV′，将其视为点电荷，则它 在场点P(r)处产生的电场为
E
0
0
线性、均匀、各向同性的电介质中，电通密度 D与 电场强度 之间的关系 (也称媒质的本构关系）： E
D E
其中：
0 r
因而，任何电介质中，静电场的方程，只要将前面 得出的方程中的介电常数 换成 即可。 0
2.4
导体的电容
用旋度描述电场：
电位函数
静电场的旋度 电场力做功
( E) ds E dl
s l
E d l 0 c 电通量 qE dl F dl W 0
c c 高斯定律
小 结
用散度描述电场： 库仑定律 用旋度描述电场：
电位函数
E
解题思路（步骤）：
1. 根据电荷分布形状，以及 它与所求点电场之间的相对 位置关系，选择并建立坐标 系。 2. 确定源点、场点，及其位 置矢量，距离矢量。 3. 代入电场强度计算式，确 定积分上下限，求解。
2.1.3 电位函数 在静电场中，某点 P处的电位定义为把单位正电荷 “—”负号的物理意义：电位的增加总是朝着抗拒 从 P 点移到参考点 Q 的过程中静电力所作的功。若 电场强度的方向；电场强度的方向总是垂直于电位 正试验电荷qt从P点移到Q点的过程中电场力作功为 面，并从电位高处指向电位低处。 W，则P点处的电位为 Q W lim E dl P qt 0 q V (r ) 1 t dV ' q V 4 R E a 0 2 R 40 R q 1 S (r ) 1 E dl dS P 4 R 0 dl aR dR 40 S R l (r ) 1 dl E 40 l R
2.1 电场强度与电位函数
• 库仑定律 • 电场强度 • 电位函数 • 电偶极子
2.1.1 库仑定律
库 仑 定 律 （ Coulom‘s Law） 是静电现象的基本实验定律， 表明固定在真空中相距为 R的 两点电荷q1与q2之间的作用力： 正比于它们的电荷量的乘积； 反比于它们之间距离的平方； 作用力的方向沿两者间的连 线；两点电荷同性为斥力， 异性为吸力。 q1q2 q1q2 F12 aR R 2 3 40 R 40 R
一、电容器(capacitor)与电容(capacitance)
储存电荷的容器称为电容器,相互接近而又相互绝缘的任意 形状导体都可构成电容器。 电容：一个导体上的电荷量与此导体
相对于另一导体的电位之比,单位是法
拉（F）.
Qa C Vab
电容的大小仅与导体的形状、相对位置、其间的 电介质有关，与所带电荷量无关。 二、电容计算应用举例——综合题目
例 真空中一个带电导体球，半径为a，所带电量为Q，试 计算球内外的电位与电场强度。
z P r R S (a, , )
等 位体 E＝ 0
dS
a
a
O
导 体内
导 体球
带电导体球的场分布 孤立带电导体球的场
2.1.4 电偶极子
电偶极子是指相距很近的两个等值异号的电荷。
Z P q r2
F12 q2 R
q1
2.1.2 电场强度
1、点电荷的电场强度
设 q 为位于点 S(x’,y’,z’) 处的点电荷，在其电场中点 P(x,y,z) 处引入试验电荷qt，根据库仑定律，qt受到的作用力为F，则 该点处的电场强度（Ｅelectric Field Intensity）定义为 q F qR 1 z ( x, y, z) R r r 场 点 ( x, y, z) E lim 3 qt 0 q 40 R 40 R t 源点 当空间中同时有 n 个点电荷时，场 点的电场等于各点电荷 qi 在该点产 生的电场强度的矢量和，即 O n n qi Ri E Ei 3 x 4 R i 1 i 1 0 i n
qi
r
r
y
1 i 1 40 Ri
例：两个点电荷位于（1，0，0）和（0，1，0）， 带电量分别为20nC和-20nC，求（0，0，1）点处的 电场强度
2. 分布电荷的电场强度
（1）线电荷
线电荷密度（Charge Line Density）： 当电荷分布在一细线（其横向尺寸与长度的比值很小） 上时，定义线电荷密度为单位长度上的电荷 面电荷密度（Charge Areal Density）： 当电荷分布在一个表面上时， 定义面 电荷密度为单位面积上的电荷 q
电场强度
电通密度（电感应强度） D 0 E
静电场的旋度 电场力做功
c
E 0
s D ds Q v v dv 高斯定律 D v
电通量
F dl 0
积分形式 微分形式
静电场属于有散无旋场基本方程的总结
微分形式 积分形式
l RB
-+ - + RA -+ R B -+
l
Q RB （4）电容 C 2π 0l ln U RA
2.5 静电场的边界条件
决定分界面两侧电场变化关系的方程称为静电场的 边界条件，即电场在两种不同媒质分界面上变化的规 律。 1、电通密度 D的法向分量(即垂直于分界面的分量）， 满足的边界条件。
0
O
1 E 40
V (r )
R
3
V
RdV
例 有限长直线l上均匀分布着线密度为ρl的线电荷, 如下 图所示，求线外一点的电场强度。
l cos d dqdE z ' l dz 40 1 l E (cos cos ) z' r r ' ( a 1a z z ) 2 R a z 40 a ( z z ' )a z ] 1 1l [ l Ez (sin 1 sin 2 ) dz ' dE 3 40 4 R 无限长线电荷的场
1
0
1dq 1 1 dq l sin dE dE 4 2 aR d R 3 0 40 R 40 R
dE
有限长直线电荷的wk.baidu.com场
1
40 R 1 40
l
3
dz ' dz '
dE z
l ( z z ' )
R
3
例2.2 一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为a，外半径 为b，面电荷密度为 s，求z轴上任意一点的电场强度
q 1 1 q r1 r2 40 r2 r1 40 r1r2
d
r r1
qd cos 40 r 2
O
y 定义电偶极矩矢量的大小 为 p=qd，方向由 负电荷指向正电荷，即 p az qd则P点的电 位可以写成下列形式:
x
qd cos p ar 2 40 r 40 r 2
P(r) R
dV
V
r
r
体积V内所有电荷在P(r)处所产 电场强度的矢量积分公式 生的总电场为
dq R dE S (3 r ) 1 E RdS 4 R 3 40 S 0 R ) R ( r V l (r ) 1 d V 3 E Rd l 3 4 R 4 l 0R
解 设两金属线的电荷线密度为
2R
o
U
R
圆柱形电容器
（ 2） E , ( RA r RB ) 2π 0 r R dr Q RB （ 3） U ln R 2π r 2π 0l RA 0
B A
（1）设两导体圆柱面单位长度上 分别带电 Q/l
（2）电荷只分布在导体的外表面上 （3）导体成为一个等位体，即导体表面电位处处相等。
2. 静电场中的半导体（如硅和锗）
静电场中半导体与导体的表现没有区别。
3. 静电场中的电介质（即绝缘体，如空气，瓷）
有极分子和无极分子电介质
1.无极分子( nonpolar molecule) 在无外场作用下整个分子无电矩.例如CO2 H2 N2 O2 He
2、电场强度 E的切向分量（即平行于分界面的分
量），满足的边界条件。
1. 电通密度 D 的法向分量，满足的边界条件
D ds Q s D ds D1 nS D2 nS
电位函数
静电场的旋度 电场力做功
电场强度
电通密度（电感应强度） 电通量
高斯定律
2.2.1
电通密度
电通密度与电通量
电感应强度，或电位移矢量
真空中， 它与电场强度的关系：
D 0E
D
电通量
（即通量的概念在电场中的应用）
D 所以， 表示单位面积上的电通量，称为电通密度。
D ds
取负梯度得电偶极子在P点处的电场强度为 p E (ar 2 cos a sin ) 3 40 r
z
＞ 0
电 力线
y 零电位面
电偶极子的电场线
＜ 0
qd cos 40 r 2
2.2
库仑定律
静电场的基本方程
用旋度描述电场：
用散度描述电场：
散度与场源的关系
V
通量线（即电力线）
静电场是有散的
D v
微分形式
例：用高斯定律求孤立点电荷q在任意点P点产生的 电场强度
E E 0 用散度描述电场：
所以，静电场中电场强度 库仑定律 的旋度恒为零，即静电场 为无旋场（保守场） 电场强度
电通密度（电感应强度）