01-数学强基计划-高二-学生版讲义-函数综合练习

lim
xx0
f
(x)
A
0,
0, s.t.x (x0
, x0
),|
f
(x)
A |
导数：定义：
f
'(x0 )
y lim x0 x
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
几何意义：函数 y f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率。
函数综合练习
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1、映射、函数的定义； 2、函数的基本性质（单调性，奇偶性，对称性，周期性）； 3、基本函数（二次函数，幂函数，指数函数，对数函数）； 4、简单函数方程 5、极限、导数的定义、性质及其应用；
映射：（1）定义域中每个元素都在值域中有象（2）定义域中每个元素只对应一个象（良好定义） 单射： f : A B ， x1 x2 都有 f (x1) f (x2 ) 满射： f : A B ， y B,x A, s.t. f (x) y
（4） A {x | x 2, x }, B {y | y 0, y }, f : x y x2 2x 2 2.若函数 y f (3x 1) 的定义域是[1,3]，则 y f (x) 的定义域是________.
3.函数 y x x 1 的值域是__________.
4.函数 f (x) 满足 f (x 1) x2 1 ，则 f (x 1) 的表达式是________.
x
x2
5.下列函数中，在 (0, ) 上是递增函数的是（）
A f (x) ln(x 2)
B： f (x) x 2
6.判断下列函数的奇偶性
C： f (x) (1)x 2
D： f (x) x 1 x
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（1） f (x) | x 1| | x 1|
如果对于 D 上的任意两个自变量 x1, x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ( f (x1) f (x2 )) ，那么就称函数 f (x) 在 区间 D 上是非减（非增）函数。
如果函数 f (x) 在某个区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 f (x) 在这个区间上具有单调性，区间 D 叫做 f (x) 的单调区间。
双射：是单射又是满射 逆映射：只有在 f : A B 是双射才存在 f 的逆映射， f (x) y f 1( y) x
函数：定义域和值域元素都是数值的映射。 对于函数 f : A B ：
单调性： x1 x2 , x1, x2 A，都有 f (x1) f (x2 ) ( f (x1) f (x2 )) ，那么就称函数 f (x) 在区间 A 上是单调增 （减）函数
三、函数的周期性 对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x T) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 如果周期函数 f (x) 的所 有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f (x) 的最小正周期。
二、函数的奇偶性
如果对于函数 f (x) 的定义域 D 内任意一个 x ，都有 xD ，且 f (x) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做奇函数； 如果对于函数 g(x) 的定义域 D 内任意一个 x ，都有 xD ，且 g(x) g(x) ，那么函数 g(x) 就叫做偶函数。
一个函数是奇函数，当且仅当这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；一个函数是偶函数， 当且仅当它的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形。
例
3、设函数
f
x
sin πx ，则（ x2 x 1
）．
A． f x ≤ 4
3
B． f x ≤5 x
C．曲线 y f x 存在对称轴
D．曲线 y f x 存在对称中心
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例 4、设 f (x) 1 ，则 S f (5) f (4) f (1) f (5) __________. 2x 2
导函数与单调性：设函数 y f (x) 在某个区间 (a,b) 可导，则 f '(x) 0 f (x) 在区间上单增， f '(x) 0 f (x) 在区间上单减。
1.下列对应是不是从 A 到 B 的映射？ （1） A , B { 正实数}, f : x | x | ； （2） A [0,1], B [1, ), f : x 1 ； x （3） A {x | x 0}, B {y | y }, f : x y x
奇偶性：如果 x A ，都有 x A，且 f (x) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做奇函数；如果 x A ，都有 x A， 且 f (x) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做偶函数
周期性：存在非零常数T ，使得 x A ，都有 f (x T) f (x) ，那么函数 f (x) 就叫做周期函数
若函数 f 是双射，则 f 的逆映射 f 1 称为函数 f 的反函数，其定义域为 B ，值域为 A 。
当且仅当 f 是从定义域到值域上的双射时，才有反函数。
例
1、已知函数
y
ax2 x2
bx 2
6
的值域是 [2, 6]
，求实数
a,b
的值。
例 2、是否存在单射 f ： ，使得对任意 x ，都有 f x2 f 2 x≥ 1 ？ 4
映射相等：若 A C 且对应关系相同，则称两个映射 f : A B 与 g : C D 相等。
复合映射：设 f : A B ， g : B C ，则由 h(x) g[ f (x)] (x A) 定义的 h : A C 称为 g 与 f 的复合，一般可 记作 g f 。
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（2）函数 y f x 为偶函数，函数在 y 轴右边的图象与函数 y f x 的图象完全重合，所以沿 y 轴翻折到 y
轴左边替代原 y 轴左边部分并保留 y f x 在 y 轴右边部分即可得到．
四、旋转 （1）将函数图像顺时针旋转 90 等价于先将函数图像作关于 x 轴的对称图像，再作关于直线 y x 的对称图
（3）函数 y f (x), x A 与其反函数 y f 1(x) 的图像关于直线 y x 对称，
（4）函数 y f (x), x A 和函数 y f 1(x) 的图像关于直线 y x 对称
三、翻折变换：
（1）函数 y f x 的图象可以将函数 y f x 的图象的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，去掉原 x 轴下方 部分，并保留 y f x 的 x 轴上方部分即可得到；
3
400-900-3290 二、函数
一般地，我们有： 设 A 、 B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使得对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 都有 唯一确定的数 f (x) 和它对应，那么就称 f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作
y f (x), x A 非空数集 A 称为函数的定义域，数集 C f (A) B 称为 f 的值域。 三、反函数
特殊映射：若 B 中任意元素在 A 中存在原象，则称 f 为 A 到 B 的满射；若 A 中不同元素在 B 中的象必不相同， 则称 f 为 A 到 B 的单射；若 f 既满又单，则称 f 为双射或一一映射。
如果 f 是一个双射，则对任意的 y B ，都存在唯一的 x A 使得 y f (x) 。这就产生了一个从 B 到 A 的映射， 称为 f 的逆映射，记作 f 1 : B A 。
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单调性： 0 a 1 时，单调递减； a 1时，单调 1
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对数函数： y loga x(a 0, a 1) 定义域： ，值域 递增。
极限：
lim
n
xn
A
0, N
0, s.t.n
N,|
xn
A |
单调性： 0 a 1 时，单调递减； a 1时，单调
11.曲线 y ax2 ax 1(a 0) 在点 (0,1) 处的切线与 2x y 1 0 垂直，则 a __________.
12.对函数 y ln( 1 x2 x) 求导 13.证明不等式 x ln(1 x) x 在 x 0 时成立。
x 1
一、映射
设 A, B 为两个集合，若对 A 中每个元素 x ，都存在 B 中唯一的元素 y 与之对应，则称此对应关系为一个映射， 记作 f : A B 。此时 x( A) 在 B 中的对应元素 y 称为 x 在 f 下的象， x 称为 y 在 f 下的原象，记作 y f (x) 或 f : x y 。 其中，集合 A 叫做映射 f 的定义域，由所有的象 f (x) 构成的集合{ f (x) | x A} 叫做映射 f 的值域，通 常记作 f (A) ，显然 f (A) B 。
8.函数 ( 2)|1x| 的单调递减区间是_________ 3
9.已知函数 f (x) ax (a 0, a 1) 的反函数是 y f 1(x) ，若 f 1(2) f 1(3) 1 ，则 a __________.
10. 函数 y log3(x2 ax a) 在 ( , 1 3) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是______．
A． g(x) 是有界函数 B． g(x) 是连续函数 C． g(x) 是严格单调递增函数 D． g(x) 不是单调递减函数
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一、平移 （1）水平平移：函数 y f (x a) 的图像可以把函数 y f (x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a 0) 或向右 (a 0) 平移 | a | 个单位即可得到 （2）竖直平移：函数 y f (x) a 的图像可以把函数 y f (x) 的图像沿 y 轴方向向上 (a 0) 或向下 (a 0) 平移 | a | 个单位即可得到 二、对称 （1）函数 f (x) 和 g(x) 的图象关于直线 x a 轴对称 x, g(a x) f (a x) x, g(x) f (2a x) （2）函数 f (x) 和 g(x) 的图象关于点 (a,b) 中心对称 x, g(a x) f (a x) 2b x, g(x) 2b f (2a x)