2019年北京中考数学习题精选：新定义型问题

一、选择题

1、(2018北京昌平区初一第一学期期末) 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b

= ab 2 + a .如：1☆3=1×32

+1=10. 则（-2）☆3的值为 A ．10 B ．-15 C. -16 D ．-20 答案：D 二、填空题

3、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定义新运算：对于任意有理数a ，b ，当

a ≤

b 时，都有2a b a b ∆=；当a ＞b 时，都有2a b ab ∆=．那么， 2△6 = ， 2

()3

-△(3)-= ．

答案：24，-6

4．（2018北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．

阿基米德折弦定理：如图1，

AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，

MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+．

如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作D E A B ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°． 答案60

5、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称(p ，q )为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．

三、解答题

图2

图1

E A

6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算：a c =b

ad bc d -．例

如：

1214-23=-2.34

××=

（1）按照这个规定，请你计算

562

4

的值．

（2）按照这个规定，当

52

12

2

4

2=-+-x x 时求x 的值． 答案（1）5

62

4

=20-12=8 (2)

（2）由 5

2

122

4

2=-+-x x 得

522422

1

=++-)()(x x ...............................................................4 解得，x = 1 (5)

7、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定：

（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad .

例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2． 根据上述规定解决下列问题：

（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ;

（2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=7，则x = ;

（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值． 答案. 解：（1）﹣5……………………..２分

（2）1 ……………………..４分

（3）∵等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数 ∴（2x ﹣1）k ﹣（﹣3）（x ﹢k ）=5﹢2k ∴（2k ﹢3）x =5

∴

5

23

x k =

+

∵k 是整数 ∴2k +3=±1或±5

∴k =1，﹣1，﹣2，﹣4……………………..７分

8、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a ，b ，定义运算：a ⊙b =()1a a b +-，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(3)-⊙(5)-＝3(35)123-⨯---=．

（1）求(2)-⊙1

32

的值；

（2）对于任意有理数m ，n ，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：

m ⊕n ＝ （用含m ，n 的式子表示）．

答案 解：（1）(2)-⊙11

3

2(23)122

=-⨯-+- 4=-.

（2）答案不唯一，例如：m n ⊕=(1)m n +.

9．（2018北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B

的“确定圆”的示意图．．．

． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；

（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使

得点A ，

B

的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；

（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B 在直线y = 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围． 解：（1）25π； ………………… 2分

（2）∵直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点,A B 的“确定圆”的面积 为9π，

∴⊙A 的半径3AB =且直线y x b =+与⊙A 相切于点B ，如图， ∴AB CD ⊥，45DCA ∠=°．

①当0b >时，则点B 在第二象限． 过点B 作BE x ⊥轴于点E ，

∵在Rt BEA ∆中，45BAE ∠=°，3AB =， ∴2

BE AE ==

．

∴22

B

-（，． ②当0b <时，则点'B 在第四象限．

同理可得'2

2

B ．

综上所述，点B 的坐标为

22-（，或22

-（）． ………………… 6分

（3）5m -≤或11m ≥．

10．（2018北京延庆区初三统一练习）平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足

120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．