2019年北京中考数学习题精选：新定义型问题
北京市中考数学复习专题：新定义阅读理解问题
新定义阅读理解问题新定义学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。
其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自学能力，便于学生养成良好的学习习惯。
解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”； 归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
一、基础练习部分★例1:【——海淀期末】对于正整数n ，定义210()=()10，，≥n n F n f n n ⎧<⎨⎩，其中f(n )表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F(6)=62=36，F(123)=f(123)=12+32=10．规定F 1(n )=F(n )，F k +1(n )=F(F K (n ))（K 为正整数）．例如：F 1(123)=F(123)=10，F 2(123)=F(F 1(123))=F(10)=1．（1）求：F 2(4)= ，F(4)= ；（2）若F 3m (4)=89，则正整数m 的最小值是 ． 答案：（1）37，26；（2）6. 练习①： 【通州一模】定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为偶数时，结果为k n 2（其中k 是使得k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取6n =，则：12363105F F F −−−→−−−→−−−→① ②②第次第次第次……，若1n =，则第2次“F 运算”的结果是 ；若13n =，则第次“F 运算”的结果是 . 答案：1，4练习②：【门头沟二模】我们知道，一元二次方程x 2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数“i ”，使其满足i 2=-1 (即方程x 2=-1有一个根为i )，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=-1，i 3= i 2·i =(-1)（-1）·i =-i , i 4=( i 2)2=(-1) 2=1，从而对任意正整数n ，则i 6=______________;由于i 4n+1=i 4n ﹒i=(i 4)n ﹒i=i,同理可得i 4n+2=﹣1, i 4n+3=﹣i , i 4n =1那么i + i 2+ i 3+ i 4+…+ i+ i 的值为_____ 答案:-1，i★例2：【宣武一模】任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n =p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ）， 如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并规定：()p F n q =．例如18可以分解成1×18、2×9或3×6，这时就有31(18)62F ==．给出下列关于F(n )的说法：（1）1(2)2F =；（2）3(24)8F =；（3）(27)3F =；（4）若n 是一个完全平方数，则F(n )=1．其中正确说法的个数是 （ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3Ｄ．4 答案：Ｂ 练习①：【北京中考】在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i ，j ，规定如下：当i ≥j 时，a i ，j =1；当i ＜j 时，a i ，j =0．例如：当i =2，j=1时，a i ，j =a 2，1=1．按此规定，a 1，3= ；表中的25个数中，共有 个1；计算a 1，1•a i ，1+a 1，2•a i ，2+a 1，3•a i ，3+a 1，4•a i ，4+a 1，5•a i ，5的值为 ．答案：0；15；1. 练习②：【海淀二模】某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数学0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输．现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01．我们用A 0表示没有经过加密的数字串．这样对A 0进行一次加密就得到一个新的数字串A 1，对A 1再进行一次加密又得到一个新的数学串A 2，依此类推，…，例如：A 0：10，则A 1：1001．若已知A 2：100101101001，则A 0： ，若数字串A 0共有4个数字，则数字串A 2中相邻两个数字相等的数对至少．．有 对． 答案：101 ，4练习③：【燕山一模】若将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．如在代数式a ＋b ＋c 中，把a 和b 互相替换，得b ＋a ＋c ；把a 和c 互相替换，得c ＋b ＋a ；把b 和c ……；a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：① (a －b )2；② ab ＋bc ＋ca ；③ a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．其中为完全对称式的是A ．① ②B ．② ③C ．① ③D ．①②③ 答案：A练习④：【西城一模】在平面直角坐标系中，对于平面内任一点P (a ,b )若规定以下两种变换： ①f (a ,b )= (-a ,-b )．如f (1,2)= (-1,-2);②g (a ,b )= (b ,a )．如g (1,3)= (3,1)按照以上变换，那么f （g (a ,b )）等于A ．(-b ,-a )B ．(a ,b )C ．(b ,a )D ．(-a ,-b ) 答案：A★例3：【昌平二模】请阅读下列材料：我们规定一种运算：，例如：． 按照这种运算的规定,请解答下列问题：（1）直接写出 的计算结果；（2）若，直接写出和的值．（3）当取何值时, ； 答案：(1)3.5; (2)x=8,y=2. (3) ;a b ad bc c d=-2325341012245=⨯-⨯=-=-1220.5--0.517830.51x y xy --==--x y x 0.5012x xx -=15x -±=a 1，1 a 1，2 a 1，3 a 1，4 a 1，5 a 2，1 a 2，2 a 2，3 a 2，4 a 2，5 a 3，1 a 3，2a 3，3 a 3，4 a 3，5 a 4，1 a 4，2a 4，3 a 4，4 a 4，5 a 5，1 a 5，2 a 5，3 a 5，4 a 5，5变式练习：【宣武一模】对于实数d c b a ,,,规定一种运算：c a bc ad d b -=，如21=-20()21-⨯ 220-=⨯-，那么)3(2x -2554=-时，=x （ ）.（A ）413- （B ）427 （C ）423- （D ）43- 答案：(D)练习：①【北京中考（课标卷）】用“☆”定义新运算： 对于任意实数a 、b ， 都有a ☆b =b 2＋1。
北京市各区2019年中考数学二模试题分类整理 新定义题型的探究
百度文库，精选试题“新定义”题型的探究xOy中、给出如下定义：．在平面直角坐标系（2017昌平二模）29CCPMNCMPNMPNPC的“视角”．是⊙为点对于⊙上两点、当∠及⊙外一点最大时、称∠、关于⊙、O的半径为1、1）如图、⊙（AAO 的“视角”；关于⊙（0、2）1已知点、画出点○Px PO的最大“视角”的度数；上、则点若点在直线关于⊙= 2BmmBOB的坐标；）、点2在第一象限内有一点的“视角”为（关于⊙、60°、求点○3x2?xy??POPP的取上、且点在直线60°、求点关于⊙3若点的横坐标的“视角”大于○P3值范围．EFExFC上所有、若线段-1）0、1）、点0的坐标为（）⊙（2、的圆心在轴上、半径为1、点的坐标为（x CC的点关于⊙的“视角”都小于120°、直接写出点的取值范围．的横坐标C yy33A2211x321–2–1Ox–131–2–12O–1–2–2yy332211x3–21–12Ox32–1–21O–1–1–2–2试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题y?ax?by?bx?a房山二模）（2017叫做一对交换函数,例如我们定义：关于x的一次函数与y?3x?4y?4x?3就是一对交换函数与.y??2x?b的交换函数）写出一次函数.（1b??2时、写出(1)（2）当中两函数图象的交点的横坐标..的值求b(1)中两函数图象与y轴围成三角形的面积为3,（3）如果（2017房山二模）28.类比等腰三角形的定义、我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.（1）如图1、在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．）问题探究2（小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形.她的猜想正确吗？请说明理由．为对角线、.AC、BD、∠BAD+∠BCD=90°、2（3）如图、“等邻边四边形”ABCD中、AB=AD 之间的数量关系、并证明你的结论．BD、试探究线段BCCD、试题习题，尽在百度．百度文库，精选试题GA上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最到图形（2017通州二模）29．我们规定：平面内点GGDAdA到图形上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离到图形小距离、定义点、点dRD.=的距离跨度为-OxOyG为半径的圆、直接写出以下各点中、图形为圆心、为以2（1）①如图1、在平面直角坐标系1G的距离跨度：到图形1A；(1,0)的距离跨度31?B；(,)的距离跨度22C；(-3,-2)的距离跨度G的所有的点②根据①中的结果、猜想到图形2的距离跨度为1 .组成的图形的形状是)?1y?k(x DxOyG直线为半径的圆、(-1,0)在平面直角坐标系为圆心、中、图形2为以、2（）如图22k G的距离跨度为2的点、求的取值范围。
2019年北京中考数学习题精选：新定义型问题
一、选择题1、(2018北京昌平区初一第一学期期末) 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b = ab 2 + a .如：1☆3=1×32+1=10. 则（-2）☆3的值为A ．10B ．-15C . -16D ．-20 答案：D 二、填空题3、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定义新运算：对于任意有理数a ，b ，当a ≤b 时，都有2a b a b ∆=；当a ＞b 时，都有2a b ab ∆=．那么， 2△6 = ， 2()3-△(3)-= ． 答案：24，-64．（2018北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MFAB ⊥于F ，则AF FB BC =+．如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°．答案605、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称(p ，q )为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．图2图1E A三、解答题6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算：ac=b ad bc d-．例如：1214-23=-2.34××=（1）按照这个规定，请你计算5624的值．（2）按照这个规定，当5212242=-+-x x 时求x 的值． 答案（1）5624=20-12=8 ………………………………………………………………………2 （2）由 5212242=-+-x x 得5224221=++-)()(x x ...............................................................4 解得，x = 1 (5)7、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定：（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad .例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ;（2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=7，则x = ;（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值． 答案.解：（1）﹣5……………………..２分（2）1 ……………………..４分（3）∵等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数 ∴（2x ﹣1）k ﹣（﹣3）（x ﹢k ）=5﹢2k ∴（2k ﹢3）x =5 ∴523x k =+∵k 是整数 ∴2k +3=±1或±5∴k =1，﹣1，﹣2，﹣4……………………..７分8、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a ，b ，定义运算：a ⊙b =()1a a b +-，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(3)-⊙(5)-＝3(35)123-⨯---=．（1）求(2)-⊙132的值；（2）对于任意有理数m ，n ，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m ⊕n ＝ （用含m ，n 的式子表示）．答案 解：（1）(2)-⊙1132(23)122=-⨯-+- 4=-.（2）答案不唯一，例如：m n ⊕=(1)m n +.9．（2018北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y =+ 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围． 解：（1）25π； ………………… 2分 （2）∵直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点,A B 的“确定圆”的面积 为9π，∴⊙A 的半径3AB =且直线y x b =+与⊙A 相切于点B ，如图， ∴AB CD ⊥，45DCA ∠=°．①当0b >时，则点B 在第二象限． 过点B 作BE x ⊥轴于点E ，∵在Rt BEA ∆中，45BAE ∠=°，3AB =， ∴2BE AE ==．∴22B-（，）． ②当0b <时，则点'B 在第四象限．同理可得'22B -（．综上所述，点B的坐标为22-（，或22-（）． ………………… 6分（3）5m -≤或11m ≥．10．（2018北京延庆区初三统一练习）平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点． 已知：点C (3，4)（1）下列各点中， 与点C 互为反等点；D (-3，-4)，E （3，4），F （-3，4）（2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标p x 的取值范围； （3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG 的两个交点互为反等点， 求r 的取值范围．解：(1)F ……1分 (2) -3≤p x ≤3 且p x ≠0 ……4分(3)4 < r≤5 ……7分11. （2018北京市朝阳区综合练习（一））对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为 线段AB 的伴随点． （1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是 ； ②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ， 且MN 5=求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围． 解：（1）①线段AB 的伴随点是: 23,P P . ………………………………………………2分 ②如图1，当直线y =2x +b 经过点（-3，-1）时，b =5，此时b 取得最大值.…………………………………………………………4分 如图2，当直线y =2x +b 经过点（-1，1）时，b =3，此时b 取得最小值. ………………………………………………………5分 ∴ b 的取值范围是3≤b ≤5. ………………………………………6分（2）t 的取值范围是-12.2t ≤≤……………………………………8分 12．（2018北京丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M图1图2的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ．已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)． （1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标； （3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．解：（1）点和线段（2）点A 和⊙G 的“中立点”在以点O 为圆心、半径为1的圆上运动. 因为点K 在直线y =- x +1上， 设点K 的坐标为（x ，- x +1），则x 2+（- x +1）2=12，解得x 1=0，x 2=1.所以点K 的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5分（3）（说明：点与⊙C 的“中立点”在以线段NC 的中点P 为圆心、半径为1的圆上运动.圆P 与y 轴相切时，符合题意.） 所以点N 的横坐标的取值范围为-6≤x N ≤-2. ………8分A BC N13．（2018北京海淀区第二学期练习）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C ，给出如下定义：若C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在C 上，则称P为C 的反射点．下图为C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，A 的反射点是____________；②点P 在直线y x =-上，若P 为A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是C的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围． 解（1）①A 的反射点是M ，N ． ………………1分②设直线y x =-与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D ，E ，F ，G ，过点D 作⊥DH x 轴于点H ，如图．可求得点D 的横坐标为322-． 同理可求得点E ，F ，G 的横坐标分别为22-，22，322． 点P 是A 的反射点，则A 上存在一点T ，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在A 上，则'OP OP =.∵1'3≤≤OP ，∴13≤≤OP ． 反之，若13≤≤OP ，A 上存在点Q ，使得OP OQ =，故线段PQ 的垂直平分线经过原点，且与A 相交．因此点P 是A 的反射点．yxPOC T P’∴点P 的横坐标x的取值范围是≤xx ………………4分（2）圆心C 的横坐标x 的取值范围是44≤≤x -． (7)分14、．（2018北京西城区九年级统一测试）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A 是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的”，直接写出b 的取值范围．x解：（1．………………………………………………………………………… 1分②是．……………………………………………………………………………2分 （2）①如图9，当r =1时，不妨设直线QM 与⊙C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM ⊥CM ． ∵ (1,0)Q -，(1,0)C ，r =1， ∴ 2CQ =，1CM =． ∴MQ =此时2MQk CQ== 3分②如图10，若直线QM 与⊙C 不相切，设直线QM 与⊙C 的另一个交点为N （不妨设QN ＜QM ，点N ，M 在x 轴下方时同理）． 作CD ⊥QM 于点D ，则MD=ND ．∴ ()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=． ∵ 2CQ =， ∴ 2MQ NQ DQk DQ CQ CQ+===．∴ 当k DQ =此时1CD =．图9 图10假设⊙C 经过点Q ，此时r = 2． ∵ 点Q 在⊙C 外，∴ r 的取值范围是1≤r ＜2． …………………………………………… 5分（3）b ＜ 7分 15. （2018北京怀柔区一模）P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜PA PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”． (1)当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是 ；②点P 在直线y=x+b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．解：(1)①P 1（,0）、P 2（0,2）…………………………………………………………………2分 ②如图， 在y=x+b 上，若存在⊙O 的“特征点”点P ，点O 到直线y=x+b 的距离m ≤2. 直线y=x+b 1交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线y=x+b 1于点H.因为OH=2，在Rt △DOE 中，可知OE=2.可得b 1=2.同理可得b 2=-2.∴b 的取值范围是:≤b ≤. …………………………………………………6分(2)x>或 . …………………………………………………………………………8分⋅2222222-2233-<x16. （2018北京平谷区中考统一练习）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （0,23），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O 的半径为2，点P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．解：（1）60； ······························································································ 1 （2）∵以CD 为边的“坐标菱形”为正方形， ∴直线CD 与直线y =5的夹角是45°．y xE Hy=x+b 2y=x+b–1–2–3–41234–1–2–3–41234OD过点C 作CE ⊥DE 于E ．∴D （4,5）或()2,5-． ........................................ 3 ∴直线CD 的表达式为1y x =+或3y x =-+． .. (5)（3）15m ≤≤或51m -≤≤-． (7)17．（2018北京顺义区初三练习）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'． （1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x =分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；图2C 2C 1NMO'图1Q 2Q 1L 2L 1P（3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．解：（1）是．过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C ．（3）m 的取值范围是m ＞1，k 与m 之间的关系式为k 2=m 2-1 ． ……… 8分18、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≥，则称1d 为点P 的最大距离；若12d d <，则称2d 为点P 的最大距离.例如：点P （3-，4）到到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P 的最大距离为4.（1）①点A （2，5-）的最大距离为 ；②若点B （a ，2）的最大距离为5，则a 的值为 ； （2）若点C 在直线2y x =--上，且点C 的最大距离为5，求点C 的坐标；（3）若⊙O 上存在．．点M ，使点M 的最大距离为5，直接写出⊙O 的半径r 的取值范围.xy –1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O解：（1）①5……………………… 1分②5±……………………… 3分 （2）∵点C 的最大距离为5，∴当5x <时，5y =±，或者当5y <时，5x =±. ………………4分分别把5x =±，5y =±代入得：当5x =时，7y =-，当5x =-时，3y =，当5y =时，7x =-，当5y =-时，3x =，∴点C （5-，3）或（3，5-）.……………………… 5分（3）5r ≤≤…………………………………7分19、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）在平面直角坐标系xOy 中，点A （0, 6），点B 在x轴的正半轴上. 若点P ,Q 在线段AB 上，且PQ 为某个一边与x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P ,Q 的“X 矩形”. 下图为点P ,Q 的“X 矩形”的示意图. （1）若点B （4,0），点C 的横坐标为2，则点B ,C 的“X 矩形”的面积为 . （2）点M ，N 的“X 矩形”是正方形，① 当此正方形面积为4，且点M 到y 轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的坐标及经过点N 的反比例函数的表达式；② 当此正方形的对角线长度为3，且半径为r 的⊙O 与它没有交点，直接写出r 的取值范围 .备用图答案：（1）6； …………………………………………………………………………1分 （2）① B （6,0） ………………………………………………………………………2分N （1,5）或N （5,1） …………………………………………………………4分xy 5=； ……………………………………………………………………………5分 ② 23230-<<r 或229>r . …………………………………………………8分20、（2018北京东城第一学期期末）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点． （1）当⊙O 的半径为3时， 在点P 1（1,0），P 2,1），P 3（72,0），P 4（5,0）中，⊙O 的和睦点是________；（2）若点P （4,3）为⊙O 的和睦点，求⊙O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线y =﹣1上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E ），若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围． 答案： 解： （1）P 2，P 3； ………………2分 （2）由勾股定理可知，OP =5，以点O 为圆心，分别作半径为4和6的圆，分别交射线OP 于点Q ，R ，可知PQ =PR =1，此时P 是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满足0<r <4时，点OP -r >1，此时，P 不是⊙O 的和睦点； 若⊙O 半径r 满r >6时，r -OP >1，此时，P 也不是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满足4<r <6时，设⊙O 与射线OP 交于点T 即PT <1时，可在⊙O 上找一点S ，使PS =1，此时P 是⊙O 的和睦点； 综上所述，46r ≤≤． ………………4分（3）53A x --≤， 11A x ≤≤． ………………8分21、（2018北京丰台区第一学期期末）28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”.（1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12，P 2（0，－2），P 30）中，⊙O 的“离心点”是 ；②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；（2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . 如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.解：（1）①2P ，3P ； ……2分②设P （m ,－m ＋3），则()5322=+-+m m . …3分解得11=m ，22=m . ……4分 故1≤m ≤2. ……6分（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分22、（2018年北京海淀区第一学期期末）对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分（2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan 2OAM ∠=，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B .作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC .∴ 1tan tan 2HMC OAM ∠=∠=. ∴12MH HC HA MH ==. 设MH y =，则2AH y =，12CH y =， ∴ 522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为45.又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85，故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t ≤≤. ……………3分由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：8455t -≤≤-.……………4分∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或4855t ≤≤. （3）431b --≤≤-或143b ≤≤ ………………7分23、（2018北京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的横坐标为x ，纵坐标为2x ，满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点A (1,2)、B (2,1)、M (21，1)、N (1，21)中，是“关系点”的 ； (2)⊙O 的半径为1，若在⊙O 上存在“关系点”P ，求点P 坐标；(3)点C 的坐标为(3，0)，若在⊙C 上有且只有一个．．．．．．“关系点”P ，且“关系点”P 的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C 的半径r 的取值范围．解：(1)A 、M . ……………………………………………………………………………………2分 (2)过点P 作PG ⊥x 轴于点G …………………………………………………………………3分 设P （x ，2x ）∵OG 2+PG 2=OP 2 ………………………………………………………………………………4分 ∴x 2+4x 2=1 ∴5x 2=1∴x 2=∴x = ∴P (，)或P (，)……………………………………………………5分 (3)r =或 …………………………………………………………7分24、（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）以点P 为端点竖直向下的一条射线PN ，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线1PN ，2PN ，我们规定：12N PN ∠为点P 的“摇摆角”， 射线PN 摇摆扫过的区域叫作点P 的“摇摆区域”（含1PN ，2PN ）. 在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)P .5155±5555255-552-5564117≤<r（1）当点P 的摇摆角为60︒时，请判断(0,0)O 、(1,2)A 、(2,1)B、(20)C 属于点P 的摇摆区域内的点是______________________（填写字母即可）；（2）如果过点(1,0)D ，点(5,0)E 的线段完全在点P 的摇摆区域内，那么点P 的摇摆角至少为_________°；（3）⊙W 的圆心坐标为(,0)a ，半径为1，如果⊙W 上的所有点都在点P 的摇摆角为60︒ 时的摇摆区域内，求a 的取值范围．备用图解：（1）点B ，点C ； …………………………………………2分 （2）90°………………………………………………………3分 （3）当⊙W 运动到摇摆角的内部，与PF 左边的射线相切时如图28-1∵点(2,3)P 的摇摆角为60° ∴30KPF ∠=︒，3PF =在Rt △PFK 中， tan tan 30KFKPF PF∠=∠︒=在 可求得KF∵30KPF ∠=︒， ∴60PKF ∠=︒x在Rt △PFK 中， sin sin 60QW QKF KW∠=∠︒=，可求得KW =∴22OW OF KF KW =-+==-当⊙W 运动到摇摆角的内部，与PF 右边的射线相切时如图28-2同理可求得OW∴2a ≤25、（2018北京密云区初三（上）期末）已知在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出如下的定义：若在图形G 上存在一点Q ,使得Q P 、之间的距离等于1，则称P 为图形G 的关联点.（1）当O 的半径为1时，①点11(,0)2P,2P ,3(0,3)P中，O 的关联点有_____________________. ②直线经过（0，1）点，且与y 轴垂直，点P 在直线上.若P 是O 的关联点，求点P 的横坐标x 的取值范围.（2）已知正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.x备用图 备用图答案：（1）12P P 、 ………2分（2）如图，以O 为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于12,P P 两点.线段12P P 上的动点P （含端点）都是以O 为圆心，1为半径的圆的关联点.故此x ≤≤…………………………………………………………6分（3）由已知，若P 为图形G 的关联点，图形G 必与以P 为圆心1为半径的圆有交点.正方形ABCD 边界上的点都是某圆的关联点∴ 该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O 为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，1 为半径的圆.综上所述，13r ≤≤ .………………………..8分26、（2018北京平谷区第一学期期末）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点” ；（2）点M,N是一对“互换点”，点M的坐标为(m,n)，且(m＞n)，⊙P经过点M,N．①点M的坐标为(4,0)，求圆心P所在直线的表达式；②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）； (2)（2）①连结MN，∵OM=ON=4，∴Rt△OMN是等腰直角三角形．过O 作OA ⊥MN 于点A ，∴点M ,N 关于直线OA 对称． .......................................................... 3 由圆的对称性可知，圆心P 在直线OA 上． ................................. 4 ∴圆心P 所在直线的表达式为y=x ． ................................................. 5 ②当MN 为⊙P 直径时，由等腰直角三角形性质，可知m －n= ..... 6 当点M ,N 重合时，即点M ,N 横纵坐标相等，所以m －n =0；.................. 7 ∴m －n 的取值范围是0＜m －n≤ (8)27、（2018北京石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为),(11y x ，点Q 的坐标为),(22y x ，且21x x ≠，21y y ≠，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P ，Q 的“相关等腰三角形”．下图为点P ，Q 的“相关等腰三角形”的示意图．．．．（1）已知点A 的坐标为)1,0(，点B 的坐标为)0,3(-，则点A ，B 的“相关等腰三角形”的顶角为_________°；（2）若点C 的坐标为)3,0(，点D 在直线34=y 上，且C ，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD 的表达式；（3）⊙O 的半径为2，点N 在双曲线xy 3-=上．若在⊙O 上存在一点M ，使得点M 、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．解：（1）120º； ……………………………………………………………2分（2）∵C ,D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60°，底边与x 轴平行，∴直线CD 与x 轴成60°角，与y 轴成30°角，通过解直角三角形可得D 的坐标为)343(，或)343(，-，进一步得直线CD 的表达式为33+=x y 或33+-=x y . …………………………………………5分（3）31N x -≤≤-或13N x ≤≤. ……………………8分28、（2018北京通州区第一学期期末）点P 的“d 值”定义如下：若点Q 为圆上任意一点，线段PQ 长度的最大值与最小值之差即为点P 的“d 值”，记为P d .特别的，当点P ，Q 重合时，线段PQ 的长度为0. 当⊙O 的半径为2时：（1）若点⎪⎭⎫⎝⎛-0,21C ，()4,3D ，则=C d _________，=D d _________； （2）若在直线22+=x y 上存在点P ，使得2=P d ，求出点P 的横坐标；（3）直线()033>+-=b b x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .若线段AB 上存在点P ，使得32<≤P d ，请你直接写出b 的取值范围.答案：29、（2018北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点． （1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________； ②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．答案：30、（2018北京昌平区二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 我们给出如下定义：“横长”a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.例如：点A (2-,0) ，点 B (1,1) ，点 C (1-, 2-)，则A、xyB 、C 三点的 “横长”a =|1(2)--|=3，A 、B 、C 三点的“纵长”b =|1(2)--|=3. 因为a =b ，所以A 、B 、C 三点为正方点.（1）在点R (3，5) ，S (3，2-) ，T (4-，3-)中，与点A 、B 为正方点的是 ；（2）点P (0，t )为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为 ；（3）已知点D (1，0).①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E 组成的图形；②若直线l ：12y x m =+上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．（备用图）解：（1）点R ……………………… 1分 （2）−2或3……………………… 3分（3）①画出如图所示的图像……………………… 5分②52m ≥或2m ≤-……………………… 7分y xyx31、（2018北京朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于1，则称P 为直线m 的平行点． （1）当直线m 的表达式为y =x 时，①在点P 1（1，1），P 2（0，2），P 3（22-，22）中，直线m 的平行点是 ； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标.（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线x y 3=的平行点，直接写出n 的取值范围．答案：（1）①P 2，P 3 (2)分② 解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线.设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1. 由直线m 的表达式为y =x ，可知∠OAB=∠OBA =45°. 所以OB=2.直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q . 连接OQ 1，作Q 1N ⊥y 轴于点N ，可知OQ 1=10. 在Rt △OHQ 1中，可求HQ 1=3. 所以BQ 1=2.在Rt △BHQ 1中，可求NQ 1=NB=2.所以ON=22.所以点Q 1的坐标为（2，22）.同理可求点Q 2的坐标为（22-，2-）.……………………………4分如图2，当点B 在原点下方时，可求点Q 3的坐标为（22，2）点Q 4的坐标为（2-，22-）. ………………………………………………………6分综上所述，点Q 的坐标为（2，22），（22-，2-），（22，2），（2-，22-）.（2）334-≤n ≤334. ……………………………………………………………8分32、（2018北京东城区二模）研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =.基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ； （2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)A t +，C ( t . ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________. (1) 12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，，()43D ，， 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方， ∴.d MF =∴.AF d CF ≤≤∵=4AF CF ，∴d 4≤ ---------------------------------------------------------------------------------- 5分②33 1.t --2≤≤2 ------------------------------------------------------------------------8分33、（2018北京房山区二模）已知点P ，Q 为平面直角坐标系xOy 中不重合的两点，以点P 为圆心且经过点Q 作⊙P ，则称点Q 为⊙P 的“关联点”，⊙P 为点Q 的“关联圆”. （1）已知⊙O 的半径为1，在点E （1，1），F （－12，32 ），M （0，－1）中，⊙O 的“关联点”为 ；（2）若点P （2，0），点Q （3，n ），⊙Q 为点P 的“关联圆”，且⊙Q 的半径为 5 ，求n的值；（3）已知点D （0，2），点H （m ，2），⊙D 是点H 的“关联圆”，直线443y x =-+与 x 轴，y 轴分别交于点A ，B . 若线段AB 上存在⊙D 的“关联点”，求m 的取值范围. 解：（1）① F ，M .………………………………………………………………………2′（注：每正确1个得1分） （2）如图1，过点Q 作QH ⊥x 轴于H . ∵PH =1，QH =n ，PQ =5 ∴由勾股定理得，PH 2+QH 2=PQ 2 即()22215n +=解得，2n =或－2. ………………………………………………………4′（3）由443y x =-+，知A （3，0），B （0，4） ∴可得AB =5I. 如图2（1），当⊙D 与线段AB 相切于点T 时，连接DT .则DT ⊥AB ，∠DTB =90° ∵OA DTsin OBA AB BD∠== ∴可得DT =DH 1=65yxT 图21()D BAOH 1yxD BAOH 2∴165m =…………………………………………………5′ II. 如图2（2）, 当⊙D 过点A 时，连接AD .由勾股定理得DA =OD 2+OA 2=DH 2=13 ……………………6′ 综合I ，II可得：65m ≤-或65m ≤………………………………8′34、（2018北京丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点()11,y x P 与()22y x Q，之间的“直距”定义为：2121y y x x D PQ-+-=.例如：点M （1，2-），点N （3，5-），则132(5)5MN D =-+---=.已知点A (1，0)、点B (-1，4). （1）则_______=AOD ，_______=BO D ；（2）如果直线AB 上存在点C ，使得CO D 为2，请你求出点C 的坐标； （3）如果⊙B 的半径为3，点E 为⊙B 上一点，请你直接写出EO D 的取值范围.答案. （1）1AO D =，5BO D =；（2）如图：解法1：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x +2.设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则222x x +-+=，则点C 的坐标为（0，2）或42(,)33-. 解法2：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x +2.点C 与点O 之间的“直距CO D ”为2的运动轨迹为以点O 为中心、对角线分别位于坐标轴上、对角线长度为4的正方形.设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则利用直线解析式可求得，点C 的坐标为（0，2） 或42(,)33-. ………………5分（3）EO D 的取值范围为45EO D -≤+分35、（2018北京海淀区二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点1(,)a b ，2(1,)a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-． （1）写出函数21y x =-的限减系数；（2）0m >，已知1y x=（1,0x m x -≤≤≠）是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围．（3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．答案28．解：（1）函数21y x =-的限减系数是2；（2）若1m >，则10m ->，（1m -，11m -）和（m ，1m）是函数图象上两点，11101(1)m m m m -=-<--，与函数的限减系数4k =不符，∴1m ≤．若102m <<，（1t -，11t -）和（t ，1t）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0t m <≤，1111(1)t t t t -=---，∵(1)0t t -->，且2211111(1)()()24244t t t m --=--+≤--+<，∴1141t t ->-，与函数的限减系数4k =不符. ∴12m ≥． 若112m ≤≤，（1t -，11t -）和（t ，1t）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0t m <≤，1111(1)t t t t -=---，∵(1)0t t -->，且2111(1)()244t t t --=--+≤，∴11141(1)t t t t -=≥---，当12t =时，等号成立，故函数的限减系数4k =． ∴m 的取值范围是112m ≤≤． （3）11-n ≤≤．36．（2018北京市东城区初二期末）定义：任意两个数,a b ，按规则c ab a b =++扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.（1） 若1,a b ==直接写出,a b 的“如意数”c ；（2） 如果4,a m b m =-=-,求,a b 的“如意数”c ，并证明“如意数” 0c ≤（3）已知2=1(0)a x x -≠，且,a b 的“如意数”3231,c x x =+-，则b =(用含x 的式子表示) .解：（1） 1.2c =分2224,(4)()(4)()44444(m 2)05a m b mc m m m m m m c m m c （2）分分=-=-∴=-⨯-+-+-=-+-=-+-=--∴≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅26b x =+（3）分37.（2018北京市平谷区初二期末）对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于a 的最大整数，称[]a 为a 的根整数，例如：[]39=，[]310=.(1)仿照以上方法计算：[]=4_______;[]=26________.（2）若[]1=x ，写出满足题意的x 的整数值______________.如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次[][]13310=→=，这时候结果为1.（3）对100连续求根整数，______次之后结果为1.（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是________. 解：(1)2, 5 (2)1,2,3 (3) 3 (4)25538.（2018北京市顺义区八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.（1）下列分式: ①211x x -+；②222a b a b --；③22x y x y +-；④222()a b a b -+. 其中是“和谐分式”是 (填写序号即可)；（2）若a 为正整数，且214x x ax -++为“和谐分式”，请写出a 的值;（3） 在化简22344a a bab b b -÷-时， 小东和小强分别进行了如下三步变形:小东：22344=a a ab b b b -⨯-原式223244a a ab b b =--()()222323244a b a ab b ab b b --=- 小强：22344=a a ab b b b -⨯-原式 ()22244a a b a b b =--()()2244a a a b a b b --=- 显然，小强利用了其中的和谐分式, 第三步所得结果比小东的结果简单， 原因是：，请你接着小强的方法完成化简. 解：（1）②………………1分 （2） 4，5………………3分（3）小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母. ………………4分原式()222444a a aba b b-+=- ()24ab a b b =-()4aa b b =-24a ab b =- ………………5分39．（2018北京市西城区八年级期末附加题）我们把正n 边形（3n ≥）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n 边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n 边形的“扩展图形”，并将它的边数记为n a ．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且3a =12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．图1图2图3图4。
完整版)北京中考数学新定义题目汇总
完整版)北京中考数学新定义题目汇总28.对于平面内的圆C和圆C外一点Q，定义如下：若过点Q的直线与圆C存在公共点，记为点A、B，设$k=\frac{AQ+BQ}{CQ}$，则称点A（或点B）是圆C的“k相关依附点”。
特别地，当点A和点B重合时，规定$AQ=BQ$，$k=\frac{2AQ^2}{CQ^2}$。
已知在平面直角坐标系$xOy$中，$Q(-1,0)$，$C(1,0)$，圆C的半径为$r$。
1) 当$r=2$时。
①若$A_1(0,1)$是圆C的“k相关依附点”，则$k$的值为$\frac{3}{2}$。
② $A_2(3,0)$是否为圆C的“2相关依附点”：否。
2) 若圆C上存在“k相关依附点”点M。
①当$r=1$，直线QM与圆C相切时，$k$的值为$2$。
②当$k=3$时，$r$的取值范围为$[\sqrt{\frac{3}{2}},2]$。
3) 若存在$r$的值使得直线$y=-3x+b$与圆C有公共点，且公共点是圆C的“3相关依附点”，则$b$的取值范围为$[-2\sqrt{2},2\sqrt{2}]$。
28.在平面直角坐标系$xOy$中，点M的坐标为$(x_1,y_1)$，点N的坐标为$(x_2,y_2)$，且$x_1\neq x_2$，$y_1\neq y_2$，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于$x$轴，$y$轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”。
1) 已知点$A(2,0)$，$B(0,23)$，则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为$60^\circ$。
2) 若点$C(1,2)$，点$D$在直线$y=5$上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，则直线$CD$的表达式为$y=5$。
3) 圆O的半径为2，点$P(m,1)$。
若在圆O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，则$m$的取值范围为$[-1,3]$。
28.对于平面上两点A、B，定义如下：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A、B的“确定圆”。
2019北京中考数学专题训练-4.“新定义“代数与几何综合应用(10道)
“新定义”代数与几何综合应用 类型一 新定义函数的综合题1.对于关于x 的一次函数y =kx +b （k ≠0），我们称函数y [m ]=()()kx b x m kx b x m +≤⎧⎨-->⎩，为它的m 分函数（其中m 为常数）．例如，y =3x +2的4分函数为：当x ≤4时，y [4]=3x +2；当x ＞4时，y [4]=-3x -2． （1）如果y =-x +1的2分函数为y [2]，①当x =4时，y [2]= ；②当y [2]=3时，x = ．（2）如果y =x +1的-1分函数为y [-1]，求双曲线y =2x与y [-1]的图象的交点坐标；（3）设y =-x +2的m 分函数为y [m ]，如果抛物线y =x 2与y [m ]的图象有且只有一个公共点，直接写出m 的取值范围．解：（1）y =-x +1的2分函数为：当x ≤2时，y [2]=-x +1；当x ＞2时，y [2]=x -1． 当x =4时，y [2]=4-1=3， 当y [2]=3时，如果x ≤2，则有，-x +1=3， ∴x =-2，如果x ＞2，则有，x -1=3， ∴x =4;（2）当y =x +1的-1分函数为y [-1]， ∴当x ≤-1时，y [-1]=x +1①， 当x ＞-1时，y [-1]=-x -1②， ∵双曲线y =2x③， 联立①③解得，12x y =⎧⎨=⎩（舍）,21x y =-⎧⎨=-⎩， ∴双曲线y =2x 与y [-1]的交点坐标为（-2，-1）， 联立②③时，方程无解，∴双曲线y=2x与y[-1]的图象的交点坐标（-2，-1）；（3）∵y=-x+2的m分函数为y[m]，∴x≤m时，y[m]=-x+2①，当x＞m时，y[m]=x-2②，∵抛物线y=x2③与y[m]的图象有且只有一个公共点，联立①③，则有x2=-x+2，∴x=-2，或x=1，∵只有一个公共点，∴-2≤m＜1,联立②③，则有x2=x-2，∴此方程无解;综上，m的取值范围为-2≤m＜1.2.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=(0)(0)y xy x≥⎧⎨-<⎩，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（-1，3）的“可控变点”为点（-1，-3）．（1）点（-5，-2）的“可控变点”坐标为；（2）若点P在函数y=-x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；（3）若点P在函数y=-x2+16（-5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16≤y′≤16，求实数a的值．解：（1）∵-5＜0，∴y′=-y=2，即点（-5，-2）的“可控变点”坐标为（-5，2）；（2）如解图①，第2题解图①由题意，得y =-x 2+16的图象上的点P 的“可控变点”必在函数y ′=2216(0)16(0)x x x x ⎧-+≥⎪⎨-<⎪⎩的图象上， ∵“可控变点”Q 的纵坐标y ′是7， ∴当x >0,即-x 2+16=7时，解得x =3， 当x <0,即x 2-16=7时，解得x =-23. 综上，“可控变点”Q 的横坐标为3或-23;（3）由题意，得 y =-x 2+16的图象上的点P 的“可控变点”必在函数y ′=2216(0)16(0)x x x x ⎧-+≥⎪⎨-<⎪⎩的图象上，如解图②，第2题解图②当x =-5时，x 2-16=9， ∵y ′=x 2-16＞-16（x ＜0）， ∴y ′=-16在y ′=-x 2+16（x ≥0）上， ∴-16=-x 2+16， ∴x =42，∴实数a 的值为42.3.平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点C(3，4)（1）下列各点中，点与点C互为反等点；D(-3，-4) E（3，4）F（-3，4）（2）已知点G（-5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q 互为反等点，求点P的横坐标x的取值范围；p（3）在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．第3题图解：（1）F（-3，4）；【解法提示】∵3+（-3）=0，4-4=0∴点（-3，4）与点（3，4）互为相反等点．（2）由于点C与点F互为反等点．又∵点P，Q是线段CG上的反等点，∴点P的横坐标x P的取值范围为：-3≤x P≤3，且x p≠0．（3）①当⊙O与CG相离时，此时r<4，⊙O与线段CG没有交点；②当⊙O与CG相切时，如解图①，此时r=4，⊙O与线段CG只有一个交点；③当⊙O与CG相交于点C时，如解图②，此时r=32+=5．⊙O与线段34CG有交点；图①图②第3题解图当r ＞5，时，⊙O 与线段CG 有一个交点或者没有交点， 所以没有互为反等点．综上当4＜r ≤5时，⊙O 与线段CG 有两个交点，这两个交点互为反等点的两个交点．4.在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴上一点A 作平行于x 轴的直线交某函数图象于点D ，点P 是x 轴上一动点，连接D P ，过点P 作DP 的垂线交y 轴于点E （E 在线段OA 上，E 不与点O 重合），则称∠DPE 为点D ，P ,E 的“平横纵直角”.图①为点D ，P ,E 的“平横纵直角”的示意图.如图②，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y 轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N .（1）点N 的横坐标为 ；（2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”，若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围； （3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ︒≤≤︒∠时，求m 的取值范围．第4题图解：（1）9； （2）∵0m >，∴点K 在x 轴的上方． 如解图①，过N 作NW ⊥OC 于点W ，设OM x =，OK y =， 则 NW ＝OF ＝m ，WM ＝9x -． 由△MOK ∽△NWM ，得，∴9y x x m=-． ∴x mx m y 912+-=． 当m y =时，219m x x m m=-+， 化为0922=+-m x x ． 当Δ=0，即22(9)40m --=， 解得92m =，线段OC 上有且只有一点M ，使相应的点K 与点F 重合．∴ 线段OC 上存在不同的两点M 1、M 2，使相应的点K 1、K 2都与点F 重合时，且m 的取值范围为290<<m ．图① 图②第4题解图（3）设抛物线的表达式为：)12)(3(-+=x x a y (a ≠0)， 又∵抛物线过点F （0，m ）， ∴36m a =-,136a m =-． ∴抛物线的表达式化为：21925()36216y m x m =--+． 如解图②，过点Q 做QG ⊥x 轴与FN 交于点R ∵FN ∥x 轴 ∴∠QRH =90°∵tan BGBQG QG ∠=，2516QG m =，152BG =.又∵4560QHN ︒≤∠≤︒， ∴3045BQG ︒≤∠≤︒∴当30BQG ∠=︒时，可求出3524=m ， 当45BQG ∠=︒时，可求出524=m ．m ∴的取值范围为2424355m ≤≤． 5.以点P 为端点竖直向下的一条射线PN ，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线PN 1，PN 2，我们规定：12N PN ∠为点P 的“摇摆角”， 射线PN 摇摆扫过的区域叫作点P 的“摇摆区域”（含PN 1，PN 2）. 在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)P .（1）当点P 的摇摆角为60︒时，请判断(0,0)O 、(1,2)A 、(2,1)B 、(23,0)C +属于点P 的摇摆区域内的点是______________________（填写字母即可）； （2）如果过点(1,0)D ，点(5,0)E 两点连线的线段完全在点P 的摇摆区域内，那么点P 的摇摆角至少为_________°；（3）⊙W 的圆心坐标为(,0)a ，半径为1，如果⊙W 上的所有点都在点P 的摇摆角为60︒ 时的摇摆区域内，求a 的取值范围．第5题图解：（1）根据“摇摆角”作出图形，如解图①所示，第5题解图①将O 、A 、B 、C 四点在平面直角坐标系中标出后，可以发现，B 、C 在点P 的摇摆区域内， 故属于点P 的摇摆区域内的点是B 、C （2）如解图②所示，当射线PN 1过点D 时，图② 图③第5题解图由对称性可知，此时点E 不在点P 的摇摆区域内， 当射线PN 2过点E 时，设点P 在x 轴的投影点为Q ， 由对称性可知，此时点D 在点P 的摇摆区域内， 易知：此时PQ =QE ， ∴∠EPQ =45°，∴如果过点D （1，0），点E （5，0）的线段完全在点P 的摇摆区域内，那么点P 的摇摆角至少为90°（3）∵⊙W 上的所有点都在点P 的摇摆角为60°时的摇摆区域内，此时⊙W 与射线PN 1相切，设直线PN 1与x 轴交于点M ，⊙W 与射线PN 1相切于点N ，Q 为P 点竖直向下的一条射线PN 与x 轴的交点， 由定义可知：∠PMW =60°， ∵NW =1，PQ =3， ∴sin ∠PMW =NWMW，tan ∠PMW =PQ MQ ，∴MW =233，MQ =3， ∴OM =2-3，∴OW=OM+MW=2-3+233=2-33，∴此时W的坐标为：（2-33，0）由对称性可知：当⊙W与射线PN2相切时，此时W的坐标为：（2+33，0）∴a的范围为：2-33≤a≤2+33.类型二新定义函数与圆的综合题6.对于平面上的两点A，B，给出如下定义：以点A或点B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图．（1）已知点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，3），则点A，B的“确定圆”的面积为；（2）已知点A的坐标为（0，0），若直线y=x+b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标；（3）已知点A在以P（m，0）为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y=-33x+3上，若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．第6题图解：（1）25π；【解法提示】由勾股定理，得AB=5，点A，B的“确定圆”的面积为52π=25π.（2）∵直线y =x +b 上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π， ∴⊙A 的半径AB =3且直线y =x +b 与⊙A 相切于点B 且直线y =x +b 分别与x 轴相交于点C,D ，如解图①， ∴AB ⊥CD ，∠DCA =45°．第6题解图①①当b ＞0时，则点B 在第二象限， 过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，∵在Rt △BEA 中，∠BAE =45°，AB =3， ∴BE ＝AE ＝322， ∴B 3232(,)22-， ②当b ＜0时，则点B '在第四象限． 同理可得B ′3232(,)22-. 综上所述，点B 的坐标为3232(,)22-或3232(,)22-. （3）如解图②，第6题解图②直线y =-33x +3当y =0时，x =3，即C （3，0）． ∵tan ∠BCP =33,∴∠BCP=30°，∴PC=2PB．x+3的距离最小是PB=4，由题意可知，点P到直线y=-33∴PC=8．∵3-8=-5，∴P1（-5，0），∵3+8=11，∴P2（11，0），当p≤-5或p≥11时，PD的距离大于或等于4时，点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π．综上所述，当点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π时，m的范围是m≤-5或m≥11．7.P是半径为1的⊙C外一点，若射线．．PC交⊙C于点A，B两点，则给出如下定义：若0＜P A PB≤3，则点P为⊙C的“特征点”．(1)当⊙O的半径为1时．①在点P1（2,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O的“特征点”是；②点P在直线y=x+b上，若点P为⊙O的“特征点”．求b的取值范围；(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不是．．．⊙C的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围．第7题图解：(1)①P1（2,0）、P2（0,2）②如解图，在y=x+b上，若存在⊙O的“特征点”点P，点O到直线y=x+b 的距离m≤2.直线y =x +b 1交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线y 1=x +b 1于H . ∵OH =2，在Rt △DOE 中，可知OE =22. 可得b 1=22.同理可得b 2=-22. ∴b 的取值范围是:22-≤b ≤22.第7题解图(2)x>3或 3-<x .8.在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使△MNP 是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”. （1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式. （2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图．．．并．直接．．写出半径r 的取值范围.第8题图解： (1)①)5,3()5,1(21C C 或 ；②由解图①可知，B )3,5( ∵A (1,3) ，∴AB =4， ∵ABC ∆为等腰直角三角形， ∴BC =4.∴)1,5()7,5(21-C C 或.设直线AC 的表达式为(0)y kx b k =+≠， 当直线过点1(5,7)C 时，得⎩⎨⎧=+=+753b k b k ，解得12k b =⎧⎨=⎩ ， 直线AC 的表达式为 2y x =+; 当直线过点)1,5(2-C 时，得⎩⎨⎧-=+=+153b k b k ，解得14k b =-⎧⎨=⎩ ，直线AC 的表达式为 4y x =-+ ; ∴综上所述，直线AC 的表达式是2+=x y 或4+-=x y;第8题解图①(2)①当点F 在点E 左侧时,如解图②：第8题解图②217r ∴≤≤ .②当点F 在点E 右侧时，如解图③：第8题解图③517r ∴≤≤ ，综上所述：r 的取值范围为217r ≤≤ .9.在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A （2，0），B （0，23），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为 ；（2）若点C （1，2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O 的半径为2，点P 的坐标为（3，m ）．若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．第9题图解：（1）60°；【解法提示】如解图①∵点A （2，0），B （0，23）， ∴OA =2，OB =23，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB =222+23（）=4，∴∠ABO =30°，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABC =2∠ABO =60°， ∵AB ∥CD ，∴∠DCB =180°-60°=120°，∴以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为60°.图① 图②第9题解图（2）如解图②，∵以CD 为边的“坐标菱形”为正方形， ∴直线CD 与直线y =5的夹角是45°． 过点C 作CE ⊥DE 于E ． ∴D （4，5）或（-2，5）．∴直线CD 的表达式为：y =x +1或y =-x +3； （3）分两种情况：①设直线x =3与x 轴交于点B ，先作直线y =x ，再作圆的两条切线1l 、2l ，切点分别为'Q Q 、，1l 与x 轴交于点A ，且与x =3交于点P ，2l 与x 轴交于点D ，且与x =3交于点'P ，且平行于直线y =x ，如解图③，图③ 图④第9题解图∵⊙O 的半径为2，且△OQ´D 是等腰直角三角形，∴OD=2OQ´=2，∴BD=3-2=1，∵△P´DB是等腰直角三角形，∴P´B=BD=1，∴P´（3，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（3，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=-x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x，如解图④，∵⊙O的半径为2，且△OQ´D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ´=2，∴BD=3-2=1，∵△P´DB是等腰直角三角形，∴P´B=BD=1，∴P´（3，-1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（3，-5），∴当-5≤m≤-1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述，m的取值范围是1≤m≤5或-5≤m≤-1．10.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为(-3，0)，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为；（2）若点C的坐标为(0，3)，点D在直线y=43上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为2，点N在双曲线y=-3上．若在⊙O上存在一点M，x使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．第10题图解：（1）120°；【解法提示】如解图①，第10题解图①∵A的坐标为（0，1），点B的坐标为(-3,0),∴点A，B的“相关等腰三角形”△ABC的顶点C的坐标为(3，0）或（-23，1),∵tan∠BAO=3=3,1∴∠BAO=∠CAO=60°，∴∠BAC=∠ABC′=120°.（2）如解图②中，设直线y=43交y轴于F（0，43),第10题解图②∵C （0，3），∴CF =33，∵且C ，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形， ∴∠CDF =∠CD ′F =60°，∴DF =FD ′=33tan 60o=3， ∴D （3，43），D ′（-3，43），∴直线CD 的解析式为y =3x +3，或y =-3x +3. （3）如解图③中，第10题解图③∵点M 、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形， ∴直线MN 与x 轴的夹角为45°， 设直线MN 的解析式为y =-x +b ，当直线与⊙O 相切于点M 时，易知M (1,1)或M ′(-1,-1). ∴直线MN 的解析式为y =-x +2或y =-x -2，由23y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩， ∴N （-1，3），N ′（3，-1），由23y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得13x y =⎧⎨=-⎩或31x y =-⎧⎨=⎩， ∴N 1（-3，1），N 2（1，-3），观察图象可知满足条件的点N 的横坐标的取值范围为：-3≤x N ≤-1或1≤x N ≤3．。
2019北京中考数学一模——28新定义专题
2019北京中考数学一模—————————————————————————————————新定义专题【2019东城一模】28．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．(1)已知点A的坐标为(-3，1)，①在点E(0，3)，F(3，-3)，G(2，-5)中，为点A的“等距点”的是________；②若点B在直线y=x+6上，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为________；(2)直线l：y=kx-3(k>0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，①若T"(-1,t")，T$(4,t$)，是直线l上的两点，且T"与T$为“等距点”，求k的值；②当k=1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M，N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．【2019西城一模】28.在平面直角坐标系xoy 中，对于两个点P，Q 和图形W，如果在图形W 上存在点M，N （M， N 可以重合）使得PM＝QN，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点。
（1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）。
①设点O 与线段AB 上一点的距离为d，则d 的最小值是＿＿＿，最大值是＿＿＿＿； ②在,,这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是＿＿＿;（2）如图2，已知圆O 的半径为1，点D 的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第一象限，且点D 与点E 是圆O 的一对平衡点，求x 的取值范围。
（3）如图3，已知点H（－3,0），以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K， 点C（a ，b）（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC＝5，圆C 是以点C 为圆心，半径为2的圆，若弧HK 上的任意两个点都是圆C 的一对平衡点，直接写出b 的取值范围。
(北京专版)2019年中考数学一轮复习 第七章 专题拓展 7.7 新定义问题(试卷部分)课件
中考数学 (北京专用)
§7.7 新定义问题
好题精练
1.(2018北京,28,7分)对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一 点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的 “闭距离”,记作d(M,N). 已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2). (1)求d(点O,△ABC); (2)记函数y=kx(-1≤x≤1,k≠0)的图象为图形G.若d(G,△ABC)=1,直接写出k的取值范围; (3)☉T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(☉T,△ABC)=1,直接写出t的取值范围.
解析 (1)如图1,点O到△ABC上的点的距离的最小值为2,即d(点O,△ABC)=2.
图1 (2)k的取值范围为-1≤k≤1且k≠0. 提示: 如图1,y=kx(k≠0)的图象经过原点,在-1≤x≤1范围内,函数图象为线段. 当y=kx(-1≤x≤1,k≠0)的图象经过(1,-1)时,k=-1, 此时d(G,△ABC)=1; 当y=kx(-1≤x≤1,k≠0)的图象经过(-1,-1)时,k=1, 此时d(G,△ABC)=1.
设点P的横坐标为x.
i)当点P在线段EF上,
即0≤x≤2时,1≤OP≤2.
∴在射线OP上一定存在一点P',使得OP+OP'=2.
∴点P关于☉O的反称点存在.
其中点P与点E或点F重合时,OP=2,点P关于☉O的反称点为O,不符合题意.
∴0<x<2.
ii)当点P不在线段EF上,
即x<0或x>2时,OP>2.
北京专版2019中考数学 专题突破十 新定义问题作业手册
百度文库：精选试题新定义问题新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现．其内部逻辑构造呈现出比较严谨、整体性强的特点．其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条件、需要完成认识．而规律探究、方法运用、学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”．这种新定义问题虽然在构造方式上“五花八门”、但是经过整理也能发现它们存在着一定的规律．新定义题型是北京中考最后一题的热点题型．“该类题从题型上看、有展示全貌、留空补缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的；有理解新概念再解决新问题的、等等．这类试题不来源于课本且高于课本、结构独特．CrPxOyC不重合的点、点、的半径为是与圆心1．[2015·北京] 在平面直角坐标系中、⊙PPCPCPPOCPr′、′关于⊙满足的反称点的定义如下：若在射线、＋则称′＝2上存在一点．．PPCPC 及其关于⊙为点′的示意图．关于⊙的反称点的反称点、如图Z10－1为点O当⊙时．的半径为1(1)3NTOM的反称点是否存在、若存在、求其坐标；3)关于⊙(、0)、①分别判断点(1(2、、1)、2PyxPOPPx轴上、求点2上、若点′存在、且点②点关于⊙在直线′不在＝－的反称点＋P的横坐标的取值范围．3xxyACxy＝－、直线当⊙3与(2)轴、轴上、且半径为轴分别交于点、的圆心在1＋2 3CPCCPABP 的横坐标的′在⊙的内部、关于⊙的反称点若线段B.求圆心上存在点、使得点取值范围．图Z10－1My、都满>0、对于任意的函数值对某一个函数给出如下定义：[2014·北京2．] 若存在实数备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题MyMM其最小值称为这个函数的中、、足－则称这个函数是有界函数．≤在所有满足条件的≤1. 2中的函数是有界函数、其边界值是边界值．例如、图Z10－1xyxyx≤2)是不是有界函数？若是有界函数、求其边4<＋＝(1(>0)和－(1)分别判断函数＝x界值；bbaaxbyx的取、求2、、且这个函数的最大值也是(2)若函数>＝－2＋1(≤)≤的边界值是值范围；2tmxmmyx、个单位长度、、得到的函数的边界值是(3)将函数≥＝0)(－1≤的图象向下平移≤3tm1?在什么范围时、满足≤当≤42 －图Z10CCxOyP上存在两中的点、给出如下定义：若⊙和⊙对于平面直角坐标系3．[2013·北京] CPBAPBA60＝个点°、则称、的关联点．、使得∠为⊙11FDE(2 3、0)、)．(0、－2)、已知点 (、22O的半径为1当⊙时、 (1)DEFO的关联点是________①在点中、⊙、；、FlyGGFOlPmnO的(轴正半轴于点)、使∠、＝30°、若直线上的点②过点作直线是⊙交m的取值范围；关联点、求EFr的取值范围．若线段(2) 上的所有点都是某个圆的关联点、求这个圆的半径图Z10－3xOyPxyPxy)与)的“非常(、、在平面直角坐标系．[2012·北京4] 中、对于任意两点(221121备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题距离”、给出如下定义：xxyyPPxx|；||、则点若| －与点|≥|－－的“非常距离”为21222111xxyyPPyy|.的“非常距离”为|、则点若||－与点|＜|－－22212111PPPP的“非常距离”为5|、所以点与点－3|＜|2(1、2)、点－(3、5)、因为|1例如：点2121PQPQQy轴的直与线段点为垂直于＝5|3、也就是图Z10－4(a)中线段长度的较大值(|2－21PQxPQ的交点)与垂直于．轴的直线线211ABy轴上的一个动点．为－、0)(1)已知点、(2ABB的坐标； 2与点、写出一个满足条件的点的“非常距离”为①若点AB的“非常距离”的最小值．与点②直接写出点3Cyx＋3是直线上的一个动点、＝(2)已知4DCDC的坐、求点的“非常距离”的最小值及相应的点、点与点的坐标是(0、1)①如图(b)标．EOCE的“非常距离”与点1②如图(c)、为半径的圆上的一个动点、是以原点求点为圆心、EC的坐标．和点的最小值及相应的点图Z10－4baxbx的．[2015·平谷一模] ≤是任意两个不等实数、我们规定：满足不等式的实数≤1abxy与函数值]所有取值的全体叫做闭区间、表示为[．对于一个函数、如果它的自变量、mxnmynmn]上的“闭函数”．如函满足：当≤≤、≤、我们就称此函数是闭区间时、有[≤yxxyxyxy≤3、所以说时、有、即当1≤；当1≤＝3时、≤3数＝－＝＋4、当1＝时、1＝3yx＋4是闭区间[1、函数3]＝－上的“闭函数”．2015y＝是闭区间[1、2015](1)反比例函数上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；x2kkxxy 上的“闭函数”、求的值；是闭区间[1(2)若二次函数＝、－22]－mmnykxbk、求此函数的解析式上的“闭函数”、(≠0)是闭区间[(、(3)若一次函数用含＝＋]n．的代数式表示)}{}{bbaa，，bbaab＜2的含义为：当≥时、；当min定义符号] ．[2015·东城一模min＝备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题{}{}{}ba2，1，－，2－1a＝－、min时、min1..如：min＝－＝2{}2x2，－－1； (1)求min2xxkk的取值范围； 3、求实数、－(2)已知min{3}－2＝－＋22xxxmxxxm的取值范15.－、2(直接写出实数＋(3)已知当－2≤1)}≤3时、min{＝－2－－15围．axOyAB(、－1、在平面直角坐标系、中、已知点0)(5(3．[2015·海淀二模] 如图Z10－－)CDABTCDTP 是坐标系内一点．给出如1)、记线段为为1、1)、、点(1、0)、、线段(1、21PlTTPTT联络点．例如、点与、是下定义：若存在过点都有公共点、则称点的直线－21211TTP－(0、)是联络点．212TT (填出所有正确的序号)(1)以下各点中、________是；－联络点21、2)．；③、2)；②(－4、2)(3①(0TaT(2)直接在图(－)中画出所有联络点所组成的区域、用阴影部分表示．21TMTMyMr上只有一个点为(3)已知点为半径画圆、⊙在轴上、以－为圆心、联络点、21Mr＝1、求点的纵坐标；①若r②求的取值范围．图Z10－52xOyyaxbxca(＋＝－．[2015·门头沟一模4] 如图Z106、在平面直角坐标系中、抛物线＋MymxABAMB为等腰直和点、如果△的顶点为＞0)、直线＝与轴平行、且与抛物线交于点备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题ABAB围成的图形称为该抛物线的准蝶角三角形、我们把抛物线上两点之间的部分与线段、MAB的长称为碟宽．称为碟顶、线段形、顶点图Z10－6122yxyaxa＞0)的碟宽为、抛物线________＝．(1)抛物线(＝的碟宽为________22aaaxay．＝0)的碟宽为＝6(、那么－1)－6(________(2)如果抛物线＞2FnFFbxcaayx…、、我们定义、、1、(3)将抛物线＝2、＋3＋、(0)＞的准蝶形记为…()＝nnnnnn211FFFF的碟顶是与的相似比为为相似准蝶形、相应的碟宽之比即为相似比．如果、且nnnn1－2FFy. 的碟宽的中点、现在将(2)中求得的抛物线记为、其对应的准蝶形记为n1－11y①求抛物线的函数解析式．2FFF的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是、直接写出该直线的函、…、、②请判断n21数解析式；如果不是、说明理由．图Z10－7xOyPQMMPQ中、当中的线段、在△和点5．[2015·朝阳一模] 定义：对于平面直角坐标系PQMPQMPMQPQ的“等高距离”．＋为2边上的高为时、称为的“等高点”、称此时备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题PQ(4、2)2)、．(1)若 (1、5ABCPQ的“等高点”是________；3)中、(、4)、①在点(0(1、0)、、2MtPQPQt的值．的“等高点”、求(的“等高距离”的最小值及此时、0)为②若PPQPQy轴正半轴上且“等高距离”最小时、直接写2、当(0、0)、的“等高点”在(2)若＝Q的坐标．出点图Z10－8AB(6、3)、连接(2、3)、6．[2015·通州一模] 如图Z10－9、在平面直角坐标系中、已知点APABQPQPAB 的“邻近上都存在点、使得B.若对于平面内一点是线段、线段≤1、则称点点”．719DAB的“邻近点”．________(填“是”或“否”)；)是否是线段 (1)判断点(、55HmnyxABm 的取值范1)在一次函数的图象上、且是线段＝(2)若点的“邻近点”、求(、－围；yxbb的取值范围．若一次函数＝的图象上至少存在一个邻近点、直接写出＋(3)图Z10－9xOyPabQab′)、、)和点、给出如下[20157．·海淀一模] 在平面直角坐标系中、对于点((b，a≥1，??()3，2PQb的限变点的坐标是为点定义：若则称点′＝的限变点．例如：点?，－a<1b，??备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题))(()(52－－2，52，3，－.、点的限变点的坐标是()的限变点的坐标是________；(1)①点 13，2()()2，－－2，－11yAB ＝②在点的图象上某一个点的限变点、这个中有一个点是函数、x点是________．PyxxkkQb′的取值的图象上、其限变点的纵坐标＝－>＋3(－2≤－≤2)(2)若点、在函数bk的取值范围．′≤2、求范围是－5≤22PxyxtxttQb′的取＝＋－2的纵坐标(3)若点＋在关于的图象上、其限变点的二次函数bmbnmnsmnsts的取值范′≥＝或－′＜关于、其中>、求.令的函数解析式及值范围是围．图Z10－10GGPGQG上任为为上任一点、点] 8．[2015·西城一模给出如下规定：两个图形和点、2211PQGG之间的距离．和一点、如果线段的长度存在最小值、就称该最小值为两个图形21xOyO为坐标原点．在平面直角坐标系中、备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题CABOAA和、、点3)(－、0)、则点(2、3)和射线2之间的距离为(1)点的坐标为________(1OA________射线．之间的距离为kakyxy)11(Z10－之间的距离为2、那么＝________．(2)如果直线＝(和双曲线可在图＝x)中进行研究OFOEOE、在坐标平面绕原点°、得到射线3)、将射线逆时针旋转(3)点的坐标为(160、MOEOF.、之间的距离相等的点所组成的图形记为图形内所有和射线MMb若涉及平面中某个区域时可以用阴、并描述图形中画出图形(的组成部分；①请在图())影表示2NOFWyxMOE、组成的图形记为图形、抛物线与图形、＝的公共部分记为图形－2②将射线NW和图形请直接写出图形之间的距离．图Z10－11参考答案北京真题体验MO的反称点不存在．、1)关于⊙解：(1)①点1.(2备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题13NNO、关于⊙0)的反称点存在、反称点．′(点(、0)22TTO．′(0、、3)关于⊙点0)(1的反称点存在、反称点FExyxy．、、0)＝－＋2与、点轴、2)轴分别交于点(0②如图①、直线(2xP.的横坐标为设点OPxPEFi＜≤2、≤2(时、)当点在线段0上、即0≤OPOPOPP、′、使得′＝∴在射线＋上一定存在一点2OOPPFPOPE的反称＝的反称点存在、其中点2与点或点、点重合时、∴点关于⊙关于⊙xO2.＜、不符合题意、∴0＜点为OPxxiiPEF 2时、、上、即＞＜0(或)当点＞不在线段2OPPOPOP 2∴对于射线＋上任意一点、′、总有′＞OP∴点的反称点不存在．关于⊙xPx2.＜的取值范围是综上所述、点0的横坐标＜CPCPCPABP 1的反称点＜(2)若线段′在⊙上存在点≤2.、使得点的内部、则关于⊙BAOBA＝30°、. 2 3)依题意可知点、∠的坐标为(6、0)、点(0的坐标为Cx、0)．设圆心的坐标为(xCCHABH、如图②、作于点①当⊥＜6时、过点CHCPCA≤4、＜≤≤2、∴∴0＜0xx＜6、2≤∴0＜6－≤4、∴xCBCH≤2、、＜6时、＞2并且、当2≤ABPCP＝2、∴在线段上一定存在点、使得PCCCCx＜≤6. 在⊙∴此时点关于⊙的内部、∴的反称点为2、且点x≥6时、如图③. ②当CACP≤2≤、0∴≤xx≤8.6∴0≤≤－6≤2、∴xCBCA≤2、、6≤并且、当≤8时、＞2ABPCP＝2、使得、∴在线段上一定存在一点备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题PCCCCx≤8. 的反称点为的内部、∴、且点6∴此时点在⊙关于⊙≤Cxx≤8. 的取值范围是综上所述、圆心2≤的横坐标1yx＞0)(不是有界函数．2．解：(1) ＝xyxx≤2)是有界函数、边界值为3. －4＝＜＋1(yxyx的增大而减小、、＝－随＋1(2)对于xayaa＝－1、＋当1＝＝时、2＝－、xbyb＋当1.＝＝－时、b＋1＜2－2≤－，???ba，＞??b≤3. 1＜∴－(3)由题意、函数平移后的表达式为2mxmmyx≥0)≤＝．、－ (－1≤xymxym；＝－＝时、0＝1－时、；当当＝－12xmymm. 时、－当＝＝根据二次函数的对称性、2mmmm.－－当0≤≥≤1时、12mmmm. ＜－当－＞1时、11mmm.1－①当0≤≥≤时、2tm. －＝1由题意、边界值31tm≤、≤≤1时、0当≤441m≤. 0≤∴41mmm.－＜≤1时、1②当＜2tm. ＝由题意、边界值33tm≤1、时、≤当≤≤1443m≤≤1. ∴4mtm、时、由题意、边界值③当≥＞13tm值． 1∴不存在满足≤的≤4133mmt≤≤1.≤1综上所述、当0≤时、满足≤或≤444EOR.作⊙的切线、设切点为3．解：(1)①如图(a)所示、过点ORO＝1. 1∵⊙、∴的半径为EO＝2、∵OER＝30∴∠°、O的左侧还有一个切点、使得组成的角等于30°、根据切线长定理得出⊙EO的关联点．∴点是⊙备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题11FED 0)、(2 )、3(0、－2)、、∵、(22EODOOFEO＜∴、＞、FODO上不可能找到两点与点∴°、点一定是⊙的连线的夹角等于的关联点、而在⊙60EDDEFO. 、的关联点是故在点、、中、⊙CP刚好是⊙的关联点、②由题意可知、若PBPAPC则点°、到⊙之间所夹的角为的两条切线60和CPBAPB. 30＝(b)可知∠°＝60°、则∠由图BC rPCBCBC＝2＝2连接、、则＝sin CPB∠rPddPC.到圆心的距离≤2∴若点满足为⊙0≤的关联点、则需点OPPP点、则点2到原点的距离、由上述证明可知、考虑临界点位置的＝2×1＝GFOOHHOl30、∵∠如图(c)、过点作°、轴的垂线＝、垂足为OGOGF°、、＝2∴∠60＝GP与点可得点重合．1MxPPM过点作轴于点、⊥22OMP30＝可得∠°、2OPOM、∴°＝＝3cos302PPPOP的关联点、则为⊙上、点必在线段从而若点21m≤≤3.∴0EF上的所有点都是某个圆的关联点、欲使这个圆的半径最小、则这个圆的圆心应(2)若线段EF的中点．是线段考虑临界情况、如图(d)、1EFKKFKNEF＝2、的关联点时、则＝2即恰好点、为⊙＝2r＝1、此时、EFrr≥1.上的所有点都是某个圆的关联点、则这个圆的半径故若线段的取值范围为备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题B的坐标是(0、2)或．解：(1)①点(0、－2)． 41AB的“非常距离”的最小值为②点.与点23Cyx＋3＝(2)①∵上的一个动点、是直线43Cxx＋3)、的坐标为( 、∴设点0043xx ＋2、∴－＝0048x＝－、此时、078CD的“非常距离”的最小值为、与点∴点7815C(－、)此时．7734E(－、②)．55334xx＋3－＝、－－005458x＝－、解得0589C 的坐标为(－、)、则点55CE的“非常距离”的最小值为与点点1.北京专题训练2015y＝是闭区间[1、2015]1.解：(1)反比例函数上的“闭函数”．理由如下：x2015yyx 的增大而减小、在第一象限、反比例函数随＝x xy＝2015；当＝1时、xy＝1、当＝2015时、即图象过点(1、2015)和(2015、1)、xy≤2015、符合闭函数的定义、1≤∴当1≤≤2015时、有2015y＝是闭区间[1、2015]上的“闭函数”．∴反比例函数x2xxkyx 1＝的图象开口向上、对称轴为直线－2、－(2)由于二次函数＝2xyxxky随的增大而增大．在闭区间[1∴二次函数、＝2]－2－内、kyx2. 、∴时、＝－＝1当1＝kxy2. ＝－＝2当、∴＝2时、、(2、2)1)即图象过点(1、和yx1≤1≤∴当≤2、符合闭函数的定义、≤2时、有k2.＝－∴][()nm，k≠0bkxy上的“闭函数”、＋(3)因为一次函数＝是闭区间根据一次函数的图象与性质、有：备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题kmmnn)、、)(Ⅰ)当和>0时、图象过点((、mkbm，＋＝??∴?nkbn，＝＋??k＝1，??解得?b，＝0??yx.＝∴kmnnm)、(时、图象过点( 、、)(Ⅱ)当和<0mkbn，＝＋??∴?nkbm，＝＋??k＝－1，??解得?bmn，＝＋yxmn、＋∴＝－＋yxyxmn.或＋＝－＋∴一次函数的解析式为＝2x≥0、 2．解：(1)∵2x－1≥－1. ∴2x－1＞－2.∴{}2x21，－－＝－∴min2.2)(x21－kxxk、＝－(2)∵1－2＋＋2)(x1－kk1.－1≥－＋∴2kxx 3＋、、－3}∵min{2－＝－k3. －1≥－∴k2. ≥－∴m (3)－3≤≤7. ．解：(1)②③3 )(含边界．(2)所有联络点所组成的区域为图(a)中阴影部分MyMTTy轴对称、联络点、阴影部分关于上只有一个点为－(3)①∵点在轴上、⊙21MACBD相切于(0、1)、如图(b)所示．0)(0∴⊙与直线相切于、或与直线备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题rM、＝又∵⊙的半径1M．、2)(0、－1)或∴点(0的坐标为TTBCMMAD无交点、⊙经检验：此时⊙－与直线上只有一个点为、联络点、符合题意．21M 2)．1)或(0∴点、的坐标为(0、－M2. 或∴点的纵坐标为－11My＝对称、故不妨设点位于阴影部分下方．②阴影部分关于直线2yyMTTM轴上、⊙轴对称、在上只有一个点为联络点、阴影部分关于－∵点21ADACOMM相切于与直线(0、0)∴⊙与直线、且⊙相离．FADBCMEMADE与(c)的交点为⊥．于点、如图、设过点作1FrMOrME、．＝(0、、>∴)21OFRtAOFAOFAO、＝90°、、在＝△中、∠1＝2AO52 522AFOAOOFAF. ＋＝＝∠＝、∴sin＝AF52512 AFOFEMFEMFMFOrEFMOMRt∠＝＋＝＝∠＋、sin、＝在sin△中、∠°、＝9052r）1＋（52EFMFMME.＝·sin∴∠＝5r）＋15（2rr >>0∴.又∵、5r2. 5∴0<＋<2 ．解：4(1)4 a1 (2)3FF的碟宽∶(3)①∵的碟宽＝2∶1、21备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题222. ∴∶＝aa12121aa.＝＝、∴∵2133F的碟顶坐标为、(1、又∵由题意得1)222)(x1－y1.∴＋＝23FFF、…、②的碟宽的右端点在一条直线上；、n21xy5. ＝－＋其解析式为BA、5．解：(1)MxPQPxPPQ、′轴的交点即为“等高点”′(2)如图、作点与关于轴的对称点、′、连接QP此时“等高距离”最小、最小值为线段的长．′PP 2)(1、2)、∴．′(1∵、－bykxPQ＝′、的函数解析式为设直线＋根据题意、有4?k?，＝3bk，＝－＋2???解得?bk，＋2104＝???b?.＝－3104xPQy.的函数解析式为－∴直线＝′335xy、0时、解得当＝＝25t.即＝2PPPQPPPQ根据题意、可知⊥′＝4、＝3、′、22PQPPPQ5. ＝′′＋＝∴5.∴“等高距离”最小值为52 4 52 54 5QQ)或)(．－(3)、(、5555 ．解：(1)是6mxnABnHmnyHm1. 1(上、∴、)在直线＝＝(2)∵点－(、是线段)－的“邻近点”、点ABxy3)(4、＝－1与线段．交于直线mmn①当－1≥3.≥4时、有＝nABHABxmn－(、3)到线段的距离是、又∥轴、∴此时点mn5.≤≤40∴≤－3≤1、∴备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题nmnm3.、∴＝≤－②当1≤4时、有nmnABABxH－又)∥到线段轴、∴此时点、(的距离是、3mn 4≤1、∴3≤、∴0≤3－≤m5.≤综上所述、3≤b2.＋－2≤≤1(3)如图①、②、－3B1) ②点73、xx，1≥＋3，－??yPxxy的图2)的图象上的点(2)依题意、＝＝－的限变点必在函数＋3(≥－?xx<1，－2≤－3??象上．bbx2. ′取最大值＝1∴时、′≤2、即当xbx5.＝－＝＋3.∴当′＝－2时、－2xbx3. ＋或－55时、－5＝＝－－当3′＝－xx8. ＝＝－2∴或b∵－5≤′≤2、kk的取值范围是5≤由图象可知、≤8.222ttxtxttxy－2、＋－＋)＝((3)∵＋＝tt )、．∴顶点坐标为(ntbbmb＞′的取值范围是、与题意不符．′≥1、′≤或若ttymxt；的最小值为＝≥1、当≥1时、若、即22ttntxyt [(1＝－－]当＜1时、)的值小于－[(1－)＋＋]、即．22ttnsmtt1.∴＝＝)－＝＋＋(1－＋2tstst∴关于1(的函数解析式为＋＝≥1)．st2. 取最小值当时、＝1ss ∴≥2.的取值范围是13 (1)3 8．解：1－(2)GOHyMOGOEOOFOH的轴正半轴、∠、、则图形为：(3)①如图、过点分别作射线、的垂线 )．图中的阴影部分边及其内部的所有点(备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题33xyxyMy下方重叠的部＝图形(下方与直线也可描述为：轴正半轴、直线＝－说明：33) 含边界分(4. ② 3备战中考模拟试卷．。
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一、选择题1、(2018北京昌平区初一第一学期期末) 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b= ab 2 + a .如：1☆3=1×32+1=10. 则（-2）☆3的值为 A ．10 B ．-15 C. -16 D ．-20 答案：D 二、填空题3、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定义新运算：对于任意有理数a ，b ，当a ≤b 时，都有2a b a b ∆=；当a ＞b 时，都有2a b ab ∆=．那么， 2△6 = ， 2()3-△(3)-= ．答案：24，-64．（2018北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+．如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作D E A B ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°． 答案605、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线l 1，l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，若p 、q 分别是点M 到直线l 1，l 2的距离，则称(p ，q )为点M 的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．三、解答题图2图1E A6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算：a c =bad bc d -．例如：1214-23=-2.34××=（1）按照这个规定，请你计算5624的值．（2）按照这个规定，当5212242=-+-x x 时求x 的值． 答案（1）5624=20-12=8 (2)（2）由 5212242=-+-x x 得5224221=++-)()(x x ...............................................................4 解得，x = 1 (5)7、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a ，b ，c ，d ，可以组成两个有理数对（a ，b ）与（c ，d ）.我们规定：（a ，b ）★（c ，d ）=bc －ad .例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2． 根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ;（2）若有理数对（－3，2x －1）★（1，x +1）=7，则x = ;（3）当满足等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数时，求整数k 的值． 答案. 解：（1）﹣5……………………..２分（2）1 ……………………..４分（3）∵等式（－3，2x －1）★（k ，x ＋k ）=5＋2k 的x 是整数 ∴（2x ﹣1）k ﹣（﹣3）（x ﹢k ）=5﹢2k ∴（2k ﹢3）x =5∴523x k =+∵k 是整数 ∴2k +3=±1或±5∴k =1，﹣1，﹣2，﹣4……………………..７分8、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a ，b ，定义运算：a ⊙b =()1a a b +-，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(3)-⊙(5)-＝3(35)123-⨯---=．（1）求(2)-⊙132的值；（2）对于任意有理数m ，n ，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m ⊕n ＝ （用含m ，n 的式子表示）．答案 解：（1）(2)-⊙1132(23)122=-⨯-+- 4=-.（2）答案不唯一，例如：m n ⊕=(1)m n +.9．（2018北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B 在直线y = 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围． 解：（1）25π； ………………… 2分（2）∵直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点,A B 的“确定圆”的面积 为9π，∴⊙A 的半径3AB =且直线y x b =+与⊙A 相切于点B ，如图， ∴AB CD ⊥，45DCA ∠=°．①当0b >时，则点B 在第二象限． 过点B 作BE x ⊥轴于点E ，∵在Rt BEA ∆中，45BAE ∠=°，3AB =， ∴2BE AE ==．∴22B-（，． ②当0b <时，则点'B 在第四象限．同理可得'22B ．综上所述，点B 的坐标为22-（，或22-（）． ………………… 6分（3）5m -≤或11m ≥．10．（2018北京延庆区初三统一练习）平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点C (3，4)（1）下列各点中， 与点C 互为反等点；D (-3，-4)，E （3，4），F （-3，4）（2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标p x 的取值范围；（3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG的两个交点互为反等点， 求r 的取值范围．解：(1)F ……1分(2) -3≤p x ≤3 且p x ≠0 ……4分(3)4 < r≤5 ……7分11. （2018北京市朝阳区综合练习（一））对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为 线段AB 的伴随点． （1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是 ； ②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ， 且MN =，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围． 解：（1）①线段AB 的伴随点是: 23,P P . ………………………………………………2分 ②如图1，当直线y =2x +b 经过点（-3，-1）时，b =5，此时b 取得最大值.…………………………………………………………4分 如图2，当直线y =2x +b 经过点（-1，1）时，b =3，此时b 取得最小值.………………………………………………………5分∴b的取值范围是3≤b≤5. ………………………………………6分（2）t的取值范围是-12.2t≤≤……………………………………8分12．（2018北京丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形1W，2W给出如下定义：点P为图形1W上一点，点Q为图形2W上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形1W，2W的“中立点”．如果点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么“中立点”M的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121yyxx．已知，点A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)．（1）连接BC，在点D(12，0)，E(0，1)，F(0，12)中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是____________；（2）已知点G(3，0)，⊙G的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K可以成为点A和⊙G 的“中立点”，求点K的坐标；（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范围．图1图2解：（1）点和线段的“中立点”的是点D ，点F ； ………2分（2）点A 和⊙G 的“中立点”在以点O 为圆心、半径为1的圆上运动. 因为点K 在直线y =- x +1上， 设点K 的坐标为（x ，- x +1）， 则x 2+（- x +1）2=12，解得x 1=0，x 2=1.所以点K 的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5分（3）（说明：点与⊙C 的“中立点”在以线段NC 的中点P 为圆心、半径为1的圆上运动.圆P 与y 轴相切时，符合题意.） 所以点N 的横坐标的取值范围为-6≤x N ≤-2. ………8分13．（2018北京海淀区第二学期练习）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C ，给出如下定义：若C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在C 上，则称P 为C 的反射点．下图为C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，A 的反射点是____________；②点P 在直线y x =-上，若P 为A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．解（1）①A 的反射点是M ，N ． ………………1分②设直线y x =-与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D ，E ，F ，G ，过点D 作⊥DH x 轴于点H ，如图．A BC N可求得点D 的横坐标为2-．同理可求得点E ，F ，G 的横坐标分别为2，2，2． 点P 是A 的反射点，则A 上存在一点T ，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在A 上，则'OP OP =.∵1'3≤≤OP ，∴13≤≤OP ． 反之，若13≤≤OP ，A 上存在点Q ，使得OP OQ =，故线段PQ 的垂直平分线经过原点，且与A 相交．因此点P 是A 的反射点．∴点P 的横坐标x 的取值范围是22≤x --，或22≤x ． ………………4分 （2）圆心C 的横坐标x 的取值范围是44≤≤x -． ………………7分 14、．（2018北京西城区九年级统一测试）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A 是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r 的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 接写出b 的取值范围．解：（1．………………………………………………………………………… 1分②是．……………………………………………………………………………2分 （2）①如图9，当r =1时，不妨设直线QM 与⊙C 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM ⊥CM ．∵ (1,0)Q -，(1,0)C ，r =1， ∴ 2CQ =，1CM =． ∴MQ =此时2MQk CQ==．…………………………………………………… 3分②如图10，若直线QM 与⊙C 不相切，设直线QM 与⊙C 的另一个交点为N （不妨设QN ＜QM ，点N ，M 在x 轴下方时同理）． 作CD ⊥QM 于点D ，则MD=ND ．∴ ()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=．x图9 图10∵ 2CQ =， ∴ 2MQ NQ DQk DQ CQ CQ+===．∴ 当k DQ= 此时1CD ==． 假设⊙C 经过点Q ，此时r = 2． ∵ 点Q 在⊙C 外，∴ r 的取值范围是1≤r ＜2． …………………………………………… 5分（3）b ＜ 7分15. （2018北京怀柔区一模）P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜PA PB≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”． (1)当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O的“特征点”是 ；②点P 在直线y=x+b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b的取值范围；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=x+1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围．解：(1)①P 1（,0）、P 2（0,2）…………………………………………………………………2分 ②如图， 在y=x+b 上，若存在⊙O 的“特征点”点P ，点O 到直线y=x+b 的距离m≤2. 直线y=x+b 1交y 轴于点E ，过O 作OH ⊥直线y=x+b 1于点H. 因为OH=2，在Rt△DOE 中，可知OE=2. 可得b 1=2.同理可得b 2=-2.∴b 的取值范围是:≤b ≤. …………………………………………………6分 (2)x>或 . …………………………………………………………………………8分⋅2222222-2233-<x16. （2018北京平谷区中考统一练习）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式； （3）⊙OP 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．解：（1）60； ······························ 1 （2）∵以CD 为边的“坐标菱形”为正方形， ∴直线CD 与直线y =5的夹角是45°． 过点C 作CE ⊥DE 于E ．∴D （4,5）或()2,5-． ············ 3 ∴直线CD 的表达式为1y x =+或3y x =-+． ··5（3）15m ≤≤或51m -≤≤-． (7)17．（2018北京顺义区初三练习）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x =分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．解：（1）是．图2图12L 1过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，C ．（3）m 的取值范围是m ＞1，k 与m 之间的关系式为k 2=m 2-1 ． ……… 8分18、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的距离为1d ，到y 轴的距离为2d ，若12d d ≥，则称1d 为点P 的最大距离；若12d d <，则称2d 为点P 的最大距离.例如：点P （3-，4）到到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P 的最大距离为4.（1）①点A （2，5-）的最大距离为 ；②若点B （a ，2）的最大距离为5，则a 的值为 ；（2）若点C 在直线2y x =--上，且点C 的最大距离为5，求点C 的坐标；在．点M ，使点M 的最大距离为5，直（3）若⊙O 上存．接写出⊙O 的半径r 的取值范围.解：（1）①5……………………… 1分②5±……………………… 3分 （2）∵点C 的最大距离为5，∴当5x <时，5y =±，或者当5y <时，5x =±. ………………4分分别把5x =±，5y =±代入得： 当5x =时，7y =-，当5x =-时，3y =，当5y =时，7x =-，当5y =-时，3x =，∴点C （5-，3）或（3，5-）.……………………… 5分 （3）5r ≤≤…………………………………7分19、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）在平面直角坐标系xOy 中，点A （0, 6），点B 在x 轴的正半轴上. 若点P ,Q 在线段AB 上，且PQ 为某个一边与x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q 的“X 矩形”. 下图为点P,Q 的“X 矩形”的示意图.（1）若点B （4,0），点C 的横坐标为2，则点B ,C 的“X 矩形”的面积为 . （2）点M ，N 的“X 矩形”是正方形，① 当此正方形面积为4，且点M 到y 轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的坐标及经过点N 的反比例函数的表达式； ② 当此正方形的对角线长度为3，且半径为r 的⊙O 与它没有交点，直接写出r 的取值范围 .备用图答案：（1）6； …………………………………………………………………………1分 （2）① B （6,0） ………………………………………………………………………2分N （1,5）或N （5,1） …………………………………………………………4分xy 5=； ……………………………………………………………………………5分 ② 23230-<<r 或229>r . …………………………………………………8分20、（2018北京东城第一学期期末）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当⊙O 的半径为3时， 在点P 1（1,0），P 21），P 3（72,0），P 4（5,0）中，⊙O 的和睦点是________； （2）若点P （4,3）为⊙O 的和睦点，求⊙O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线y =﹣1上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点E ），若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．答案： 解： （1）P 2，P 3； ………………2分 （2）由勾股定理可知，OP =5，以点O 为圆心，分别作半径为4和6的圆，分别交射线OP 于点Q ，R ，可知PQ =PR =1，此时P 是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满足0<r <4时，点OP -r >1，此时，P 不是⊙O 的和睦点； 若⊙O 半径r 满r >6时，r -OP >1，此时，P 也不是⊙O 的和睦点；若⊙O 半径r 满足4<r <6时，设⊙O 与射线OP 交于点T 即PT <1时，可在⊙O 上找一点S ，使PS =1，此时P 是⊙O 的和睦点；综上所述，46r ≤≤． ………………4分（3）53A x --≤， 11A x -≤≤． ………………8分21、（2018北京丰台区第一学期期末）28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”.（1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12，2），P 2（0，－2），P 3，0）中，⊙O 的“离心点”是 ；②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；（2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . 如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.解：（1）①2P ，3P ； ……2分②设P （m ,－m ＋3），则()5322=+-+m m . …3分解得11=m ，22=m . ……4分 故1≤m ≤2. ……6分（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分22、（2018年北京海淀区第一学期期末）对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________； （2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分（2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan 2OAM ∠=，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B .作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC .∴ 1tan tan 2HMC OAM ∠=∠=. ∴12MH HC HA MH ==. 设MH y =，则2AH y =，12CH y =， ∴ 522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为45.又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85，故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t ≤≤. ……………3分 由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：8455t -≤≤-.……………4分 ∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或4855t ≤≤. （3）41b -≤≤-或14b ≤≤………………7分23、（2018北京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的横坐标为x ，纵坐标为2x ，满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点A (1,2)、B (2,1)、M (21，1)、N (1，21)中，是“关系点”的 ； (2)⊙O 的半径为1，若在⊙O 上存在“关系点”P ，求点P 坐标；(3)点C 的坐标为(3，0)，若在⊙C 上有且只有一个．．．．．．“关系点”P ，且“关系点”P 的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C 的半径r 的取值范围．解：(1)A 、M . ……………………………………………………………………………………2分 (2)过点P 作PG ⊥x 轴于点G …………………………………………………………………3分 设P （x ，2x ）∵OG 2+PG 2=OP 2………………………………………………………………………………4分 ∴x 2+4x 2=1∴5x 2=1∴x 2=∴x = ∴P (，)或P (，)……………………………………………………5分 (3)r =或 …………………………………………………………7分24、（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）以点P 为端点竖直向下的一条射线PN ，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线1PN ，2PN ，我们规定：12N PN ∠为点P 的“摇摆角”， 射线PN 摇摆扫过的区域叫作点P 的“摇摆区域”（含1PN ，2PN ）. 在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)P .（1）当点P 的摇摆角为60︒时，请判断(0,0)O 、(1,2)A 、(2,1)B 、(20)C +属于点P 的摇摆区域内的点是______________________（填写字母即可）；（2）如果过点(1,0)D ，点(5,0)E 的线段完全在点P 的摇摆区域内，那么点P 的摇摆角至少为_________°；（3）⊙W 的圆心坐标为(,0)a ，半径为1，如果⊙W 上的所有点都在点P 的摇摆角为60︒ 时的摇摆区域内，求a 的取值范围．5155±5555255-552-5564117≤<r备用图解：（1）点B ，点C ； …………………………………………2分 （2）90°………………………………………………………3分 （3）当⊙W 运动到摇摆角的内部，与PF 左边的射线相切时如图28-1∵点(2,3)P 的摇摆角为60° ∴30KPF ∠=︒，3PF =在Rt△PFK 中， tan tan 30KFKPF PF∠=∠︒=在可求得KF ∵30KPF ∠=︒，∴60PKF ∠=︒在Rt△PFK 中， sin sin 60QW QKF KW∠=∠︒=，可求得KW =∴22OW OF KF KW =-+== 当⊙W 运动到摇摆角的内部，与PF 右边的射线相切时如图28-2同理可求得OWxx∴2a ≤25、（2018北京密云区初三（上）期末）已知在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出如下的定义：若在图形G 上存在一点Q ,使得Q P 、之间的距离等于1，则称P 为图形G 的关联点. （1）当O 的半径为1时， ①点11(,0)2P,2P ,3(0,3)P中，O 的关联点有_____________________.②直线经过（0，1）点，且与y 轴垂直，点P 在直线上.若P 是O 的关联点，求点P 的横坐标x 的取值范围.（2）已知正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.备用图 备用图答案：（1）12P P 、 ………2分（2）如图，以O 为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于12,P P 两点.线段12P P 上的动点P （含端点）都是以O 为圆心，1为半径的圆的关联点.故此x ≤≤…………………………………………………………6分（3）由已知，若P 为图形G 的关联点，图形G 必与以P 为圆心1为半径的圆有交点.正方形ABCD 边界上的点都是某圆的关联点∴ 该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点故此，符合题意的半径最大的圆是以O 为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，1 为半径的圆.综上所述，13r ≤≤ .………………………..8分26、（2018北京平谷区第一学期期末）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”． （1）以O 为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点” ；（2）点M ,N 是一对“互换点”，点M 的坐标为(m ,n )，且(m ＞n )，⊙P 经过点M ,N ．①点M 的坐标为(4,0)，求圆心P 所在直线的表达式； ②⊙P 的半径为5，求m －n 的取值范围．解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）； (2)（2）①连结MN ，∵OM =ON =4，∴Rt △OMN 是等腰直角三角形． 过O 作OA ⊥MN 于点A ，∴点M ,N 关于直线OA 对称． ................................ 3 由圆的对称性可知，圆心P 在直线OA 上． ................... 4 ∴圆心P 所在直线的表达式为y=x ． .. (5)②当MN 为⊙P 直径时，由等腰直角三角形性质，可知m －n = .... 6 当点M ,N 重合时，即点M ,N 横纵坐标相等，所以m －n =0； . (7)∴m －n 的取值范围是0＜m －n ≤ (8)27、（2018北京石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为),(11y x ，点Q 的坐标为),(22y x ，且21x x ≠，21y y ≠，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P ，Q 的“相关等腰三角形”．下图为点P ，Q 的“相关等腰三角形”的示意图．．．．（1）已知点A 的坐标为)1,0(，点B 的坐标为)0,3(-，则点A ，B 的“相关等腰三角形”的顶角为_________°；（2）若点C 的坐标为)3,0(，点D 在直线34=y 上，且C ，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD 的表达式；（3）⊙O 的半径为2，点N 在双曲线xy 3-=上．若在⊙O 上存在一点M ，使得点M 、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．解：（1）120º； ……………………………………………………………2分（2）∵C ,D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60°，底边与x 轴平行，∴直线CD 与x 轴成60°角，与y 轴成30°角，通过解直角三角形可得D 的坐标为)343(，或)343(，-，进一步得直线CD 的表达式为33+=x y 或33+-=x y . …………………………………………5分（3）31N x -≤≤-或13N x ≤≤. ……………………8分28、（2018北京通州区第一学期期末）点P 的“d 值”定义如下：若点Q 为圆上任意一点，线段PQ 长度的最大值与最小值之差即为点P 的“d 值”，记为P d .特别的，当点P ，Q 重合时，线段PQ 的长度为0.当⊙O 的半径为2时： （1）若点⎪⎭⎫⎝⎛-0,21C ，()4,3D ，则=C d _________，=D d _________； （2）若在直线22+=x y 上存在点P ，使得2=P d ，求出点P 的横坐标； （3）直线()033>+-=b b x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .若线段AB 上存在点P ，使得32<≤P d ，请你直接写出b 的取值范围.答案：A，29、（2018北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为(2,2) (2,2)B-．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q'落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________；②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．答案：30、（2018北京昌平区二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 我们给出如下定义：“横长”a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.例如：点A (2-,0) ，点 B (1,1) ，点 C (1-, 2-)，则A 、B 、C 三点的 “横长”a =|1(2)--|=3，A 、B 、C 三点的“纵长”b =|1(2)--|=3. 因为a =b ，所以A 、B 、C 三点为正方点.（1）在点R (3，5) ，S (3，2-) ，T (4-，3-)中，与点A 、B 为正方点的是 ； （2）点P (0，t )为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为 ；（3）已知点D (1，0).①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E 组成的图形；xy②若直线l ：12y x m =+上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．（备用图）解：（1）点R ……………………… 1分 （2）−2或3……………………… 3分（3）①画出如图所示的图像……………………… 5分②52m ≥或2m ≤-……………………… 7分31、（2018北京朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于1，则称P 为直线m 的平行点．（1）当直线m 的表达式为y =x 时，①在点P 1（1，1），P 2（0，2），P 3（22-，22）中，直线m 的平行点是 ； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标.（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线x y 3=的平行点，直接写出n的取值范围．答案：（1）①P 2，P 3 ……………………………………………………………………2分y xyx② 解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线.设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1. 由直线m 的表达式为y =x ，可知∠OAB=∠OBA =45°. 所以OB=2.直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q . 连接OQ 1，作Q 1N ⊥y 轴于点N ，可知OQ 1=10. 在Rt △OHQ 1中，可求HQ 1=3. 所以BQ 1=2.在Rt △BHQ 1中，可求NQ 1=NB=2. 所以ON=22.所以点Q 1的坐标为（2，22）.同理可求点Q 2的坐标为（22-，2-）.……………………………4分如图2，当点B 在原点下方时，可求点Q 3的坐标为（22，2）点Q 4的坐标为 （2-，22-）. ………………………………………………………6分综上所述，点Q 的坐标为（2，22），（22-，2-），（22，2），（2-，22-）. （2）334-≤n ≤334. ……………………………………………………………8分32、（2018北京东城区二模）研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =.基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ； （2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)A t +，C ( t . ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________. (1) 12M M ，； -----------------------------------------------------------------2分（2）①当4t =时，()41A ，，()51B ，，()53C ，，()43D ，， 此时矩形ABCD 上的所有点都在抛物线214y x =的下方， ∴.d MF = ∴.AF d CF ≤≤∵=4AF CF ，∴d 4≤---------------------------------------------------------------------------------- 5分②33 1.t --2≤≤2------------------------------------------------------------------------8分33、（2018北京房山区二模）已知点P ，Q 为平面直角坐标系xOy 中不重合的两点，以点P 为圆心且经过点Q 作⊙P ，则称点Q 为⊙P 的“关联点”，⊙P 为点Q 的“关联圆”.（1）已知⊙O 的半径为1，在点E （1，1），F （－12，32 ），M （0，－1）中，⊙O 的“关联点”为 ； （2）若点P （2，0），点Q （3，n ），⊙Q 为点P 的“关联圆”，且⊙Q 的半径为 5 ，求n 的值；（3）已知点D （0，2），点H （m ，2），⊙D 是点H 的“关联圆”，直线443y x =-+与 x 轴，y 轴分别交于点A ，B . 若线段AB 上存在⊙D 的“关联点”，求m 的取值范围.解：（1）① F ，M.………………………………………………………………………2′（注：每正确1个得1分） （2）如图1，过点Q 作QH ⊥x 轴于H . ∵PH =1，QH =n ，PQ = 5 ∴由勾股定理得，PH 2+QH 2=PQ 2 即()22215n +=解得，2n =或－2. ………………………………………………………4′（3）由443y x =-+，知A （3，0），B （0，4） ∴可得AB =5I. 如图2（1），当⊙D 与线段AB 相切于点T 时，连接DT 则DT ⊥AB ，∠DTB=90°∵OA DTsin OBA AB BD∠== ∴可得DT =DH 1=65图21()∴165m =…………………………………………………5′ II. 如图2（2）, 当⊙D 过点A 时，连接AD .由勾股定理得DA =OD 2+OA 2=DH 2=13 ……………………6′综合I ，II可得：65m ≤-或65m ≤………………………………8′34、（2018北京丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点()11,y x P 与()22y x Q，之间的“直距”定义为：2121y y x x D PQ -+-=.例如：点M （1，2-），点N （3，5-），则132(5)5MN D =-+---=.已知点A (1，0)、点B (-1，4). （1）则_______=AO D ，_______=BOD ；（2）如果直线AB 上存在点C ，使得CO D 为2，请你求出点C 的坐标； （3）如果⊙B 的半径为3，点E 为⊙B 上一点，请你直接写出EO D 的取值范围.答案. （1）1AO D =，5BO D =（2）如图：解法1：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x +2.设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则222x x +-+=，则点C 的坐标为（0，2）或42(,)33-.解法2：由点A 和点B 坐标可得，直线AB 的解析式为y =-2x +2.点C 与点O 之间的“直距CO D ”为2的运动轨迹为以点O 为中心、对角线分别位于坐标轴上、对角线长度为4的正方形.设点C 的坐标为（x ，-2x +2），则利用直线解析式可求得，点C 的坐标为（0，2）或42(,)33-. ………………5分（3）EO D 的取值范围为45EO D -≤+7分35、（2018北京海淀区二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点1(,)a b ，2(1,)a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-．（1）写出函数21y x =-的限减系数；（2）0m >，已知1y x=（1,0x m x -≤≤≠）是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围． （3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．答案28．解：（1）函数21y x =-的限减系数是2；（2）若1m >，则10m ->，（1m -，11m -）和（m ，1m）是函数图象上两点，11101(1)m m m m -=-<--，与函数的限减系数4k =不符，∴1m ≤． 若102m <<，（1t -，11t -）和（t ，1t）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0t m <≤，1111(1)t t t t -=---， ∵(1)0t t -->，且2211111(1)()()24244t t t m --=--+≤--+<，∴1141t t ->-，与函数的限减系数4k =不符.∴12m ≥． 若112m ≤≤，（1t -，11t -）和（t ，1t ）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0t m <≤，1111(1)t t t t -=---， ∵(1)0t t -->，且2111(1)()244t t t --=--+≤，∴11141(1)t t t t -=≥---，当12t =时，等号成立，故函数的限减系数4k =． ∴m 的取值范围是112m ≤≤． （3）11-n ≤≤．36．（2018北京市东城区初二期末）定义：任意两个数,a b ，按规则c ab a b =++扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”. （1）若1,a b ==直接写出,a b 的“如意数”c ；（2） 如果4,a m b m =-=-,求,a b 的“如意数”c ，并证明“如意数” 0c ≤（3）已知2=1(0)a x x -≠，且,a b 的“如意数”3231,c x x =+-，则b = (用含x 的式子表示) .解：（1） 1.2c =分2224,(4)()(4)()44444(m 2)05a m b mc m m m m m m c m m c （2）分分=-=-∴=-⨯-+-+-=-+-=-+-=--∴≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅26b x =+（3）分37.（2018北京市平谷区初二期末）对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于a 的最大整数，称[]a 为a 的根整数，例如：[]39=，[]310=.(1)仿照以上方法计算：[]=4_______;[]=26________.（2）若[]1=x ，写出满足题意的x 的整数值______________.如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次[][]13310=→=，这时候结果为1.（3）对100连续求根整数，______次之后结果为1.（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是________. 解：(1)2, 5 (2)1,2,3 (3) 3 (4)25538.（2018北京市顺义区八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.（1）下列分式: ①211x x -+；②222a b a b --；③22x y x y +-；④222()a b a b -+. 其中是“和谐分式”是 (填写序号即可)； （2）若a 为正整数，且214x x ax -++为“和谐分式”，请写出a 的值;（3） 在化简22344a a bab b b -÷-时， 小东和小强分别进行了如下三步变形:小东：22344=a a ab b b b -⨯-原式223244a a ab b b =--()()222323244a b a ab b ab b b --=- 小强：22344=a a ab b b b -⨯-原式 ()22244a a b a b b =--()()2244a a a b a b b --=- 显然，小强利用了其中的和谐分式, 第三步所得结果比小东的结果简单， 原因是： ，请你接着小强的方法完成化简. 解：（1）②………………1分 （2） 4，5………………3分（3）小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母. ………………4分原式()222444a a aba b b-+=-。