质点力学习题课
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质点习题课
选择题答案应选【c】。
x 2
x
6
例2 一质点以静止出发沿半径为R＝3m的圆周运动，切 向加速度at＝3m/s,当总加速度与半径成450时，所经过 的时间t=____,在上述时间内质点经过的路程s=_____。
t dv at v v0 at dt 3t 0 dt v 2 (3t ) 2 an 3t 2 R 3 当 an at时， 有3t 2 3, t 1( s)
2
1 1 2 2 A m(v2 v1 ) 0.5 (41 29) 3(J) 2 2
18
例10 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端 悬挂一质量为m的小球，开始时使弹簧为原长而小球 恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球刚 能脱离地面位置，在此过程中外力作功为:
I I mg IT 0, 2mg IT IT I mg
21
例13 如图，光滑斜面与水平面的夹角为＝300，轻弹 簧上端固定，今在弹簧的另一端轻轻挂上质量为M＝ 1kg的木块，则木块沿斜面向下滑动。当木块下滑x＝30 厘米时，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以 速度v=200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的倔强系数 为k=1N/m,求子弹打入木块后他们的共同速度。 解：（1）木块下滑过程机械能守恒 k 选弹簧原长处为势能零点 M 0 m 1 2 1 2 kx MV1 Mgx sin 0 2 2 kx2 解出： v1 2 gx sin 0.83 m/s （滑块） M 方向沿斜面向下。
1 1
t2
y 0.5t
A mtdt t 1 t2 4 1 2 2 A mtdt 0.5 tdt 0.5 (4 2 ) 3(J) t 2 2 1
x 2
x
6
例2 一质点以静止出发沿半径为R＝3m的圆周运动，切 向加速度at＝3m/s,当总加速度与半径成450时，所经过 的时间t=____,在上述时间内质点经过的路程s=_____。
t dv at v v0 at dt 3t 0 dt v 2 (3t ) 2 an 3t 2 R 3 当 an at时， 有3t 2 3, t 1( s)
2
1 1 2 2 A m(v2 v1 ) 0.5 (41 29) 3(J) 2 2
18
例10 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端 悬挂一质量为m的小球，开始时使弹簧为原长而小球 恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球刚 能脱离地面位置，在此过程中外力作功为:
I I mg IT 0, 2mg IT IT I mg
21
例13 如图，光滑斜面与水平面的夹角为＝300，轻弹 簧上端固定，今在弹簧的另一端轻轻挂上质量为M＝ 1kg的木块，则木块沿斜面向下滑动。当木块下滑x＝30 厘米时，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以 速度v=200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的倔强系数 为k=1N/m,求子弹打入木块后他们的共同速度。 解：（1）木块下滑过程机械能守恒 k 选弹簧原长处为势能零点 M 0 m 1 2 1 2 kx MV1 Mgx sin 0 2 2 kx2 解出： v1 2 gx sin 0.83 m/s （滑块） M 方向沿斜面向下。
1 1
t2
y 0.5t
A mtdt t 1 t2 4 1 2 2 A mtdt 0.5 tdt 0.5 (4 2 ) 3(J) t 2 2 1
6.质点力学习题课
v = u − v′ = u − 2gl (1− cosϕ)
以地面为参考系，对系统（小球与地球） 以地面为参考系，对系统（小球与地球）应用功能 原理， 原理，则摆线对小球作的总功为
1 2 1 2 A = mv − mu + mgl (1 − cosϕ) 2 2 = − mu 2 gl (1 − cosϕ )
(2 )
= acosωti + bsinωtj × − mωasinωti + mωbcosωtj 2 2 = mωab cos ωtk − (− m ω ab sin ω t k )
(
L = r × mv
)(
)
= mωabk
i a cosωt
j k bsinωt 0
−ωa sinωt ωbcosωt 0
2 2
[
(
)
](
(
)
)
t 的时间内， t r 在 >0 的时间内，当 = 2时， ⋅ a = 0 υ ⋅ a = 2 i − 2 tj ⋅ − 2 j = 4 t 所以， t 的时间内， 所以，在 > 0 的时间内， ⋅ a ≠ 0. υ
[
](
)
)
(
)
(
)(
牛顿定律部分
牛顿定律部分
1.如图所示，用一斜向上的力F (与水平成300 角)，将一重为G 的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F都不能使 木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数µ的大小为：
υ 船，岸 = ui + Vj V = V0 x
t
x=
∫ y = ∫ vdt = ∫
0 t
udt = ut
t
习题课-质点力学
d 2s v2 dv v2 v ˆ ˆ ˆ a = 2 τˆ + n = τˆ + n = aττˆ + an n dt R dt R
角加速度
dω β= dt v v
aτ = β R an = ω R
2
3. 运动学两类问题的求解 已知质点的运动方程，求质点的状态 微分 已知质点的运动方程，求质点的状态—微分 已知质点的状态，求质点的运动方程 积分 已知质点的状态，求质点的运动方程—积分 三 注意区分
t1
v v 1 dA = F ⋅ dr = dEk Ek = mv 2
Aab = ∫
rb ra
力的空间积累效应
2 v v F ⋅ dr = Ekb − Eka
uu d L v M= u v dtv v L=r×p
第三定律
v v v v v v Fij + Fji = 0, ri × Fij + rj × Fji = 0
dx 2 v= = 9t − 6t dt
d2x a = 2 = 9 − 12t dt
从上式可见质点开始时沿x 正向运动， 从上式可见质点开始时沿 正向运动，而加 速度在0.75s后反向，所以运动有折返。正确的解 后反向， 速度在 后反向 所以运动有折返。 法是找到运动折返的时刻。 法是找到运动折返的时刻。 dx v=0 即 =0 由 dt x1.5 = xmax t = 1.5s 得 x1 所以 x2 X1.5
dω = 2dt
∫θ
t
θ + 75
dθ = ∫
t +5
t
2tdt
∫
ω
0
d ω = ∫ 2dt
0
75 = (t + 5)2 − t 2
质点力学习题课
G
3
例.一质点沿 X轴作直线运动，其 v t曲线 如图所示。当 t 0时，质点位于坐标原点 ，
vm
s
则t 4.5s时，质点在 X轴上的位置为： A 0. B 5m. C 2m. D 2m. E 5m.
2
1
0
解：x v( t )dt
2.5 4.5
v
m m′
(m m)v m(u v) mv ( m m)v mu v m m
u
v
20
例、 半径为R、质量为M、表面光滑的半球放在光滑的水 平面上，在其正上方放置一质量为m的小滑块，当小滑块 从顶端无初速度地滑下后，在图示的 角位置处开始脱 离半径。已知 cos 0.7，求M/m 解：选择m+M为系统，系统水平方向动量守恒：有 m 0 0 MV mv
f G
N
解：受力分析如图： 列 方 程 N F cos300 0
0
30
F
则
F sin300 f G 0
由于 F G
F sin300 G 得出： F cos 300
F sin300 1 0 F cos 30 3
f N
选 B
8
例.设有水平力 F作用于斜面上的质点 m.为了使
y 水 流
变的划速 u 垂直于水流方向离岸划出，求船划过中流
之前相对于岸的运动轨迹。 解： 船，岸 船，水 水，岸 V0 ui xj d/2 t
x
t 0
0
udt ut
o u
V
x 划 船
2
y
V0 xdt d 2
质点力学习题课
E = 5000 × 0.02 = 100 J
如果把石块换成钢板，那么钢板获得的动能增大 警告：没有经过训练的人，切勿去尝试， 以免造成伤害！
6、习题1-5
v0
h
y O
l
x
v
x
θ
r
分析：绳上各点的速度相同吗？ 思考：小船越走越快吗？
h v0 a=− 3 i x
2 2
7、一艘小船在静止水中的速度为3m/s，一 个船夫要驾此船渡河，同时需要在渡河时的 距离最短，若水流速度为4m/s，问船夫应选 择向哪个方向划行？假设水流的速度在各处 都相同。
1 1 2 2 mgh = MvM + mvm 2 2
动量在水平方向上守恒
m(vm )x + M (vM )x = 0
vm = vr + v M
αm
m M h M
(vm )x = vM − vr cos α
vM 2 gh = m cos α 2 (M + m) M + m sin α
∆r
v
r′
o r
A
2、斜抛运动，求最高点处的曲率半径
v0
P A
o
θ
3、轻弹簧，k，原长 l0 ，吊天花板， 将弹簧由长 l1 为变为 l2 ，此过程中弹 性力作的功是多少？
4 、 m1 、 m2 ， 两块水平木板， B 放在地面上，若以 A 在弹 簧（ k ）上的平衡位置为重 力和弹性势能的零点，试 写出系统（A、弹簧、地球） 的总势能表达式. 设弹簧原长时A处于x0位置
v0 = 2 gh
1 2 Ek = Mv 2
m m ∴v = v0 ≈ v0 M +m M
质点力学习题课
Fdt mdv
设t1时刻t质t12点F的dt速度为vv12v1m, 设dvt2时刻m质v点2 的m速v度1 为v2，则
I P2 P1
此式说明：物体在运动过程中，所受合外力的冲量等 于该物体动量的增量。
第十一页，编辑于星期五：五点 四十六分。
8．有一质点作直线运动，其运动方程 为x=6t2-2t3 (SI制)，试求：
4．一子弹以水平速度v0射入一静止于光滑水平面上的 木块后，随木块一起运动。对于这一过程正确的分 析是 (A)子弹、木块组成的系统机械能守恒； (B)子弹、木块组成的系统水平方向的动量守恒；
(C)子弹所受的冲量等于木块所受的冲量；
(D)子弹动能的减少等于木块动能的增加。 [B]
第九页，编辑于星期五：五点 四十六分。
（1）第二秒内的平均速度； （2）第三秒末的速度； （3）第一秒末的加速度； （4）质点作什么类型的运动？
解：(1)先求出质点在第二秒内的位移。由运动方程可知 t=1s，x1=6×12-2×13=4m t=2s，x2=6×22-2×23=8m
第二秒内的平均速度为:
v x2 x1 8 4 4m s1
i0
i0
i0
i0
第六页，编辑于星期五：五点 四十六分。
1．某质点的运动方程为 x=3t-5t3+6(SI) ， 则该质点作
(A) 匀加速直线运动，加速度沿X正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X负方向； (C) 变加速直线运动，加速度沿X正方向； (D) 变加速直线运动，加速度沿X负方向。
[D]
解：设三角形木块相对地面的加速度 为a1，小木块相对地面的加速度为a2 ，小木块相对三角形木块的加速度为 a2’，小木块与三角形木块之间的作 用力为N1和N，地面对三角形木块的支 持力为N2。
质点力学习题课
v v v P = P0 = C
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质点力学习题课 牛顿运动定律
第1章 质点力学 章
（3）力的空间累积 ） 变力的功： 变力的功： = A 势能： 势能：
∫
b
a
v v b F ⋅ d r = ∫ F cos θdr
a
动能定理： 动能定理：A = E k − E k 0
E p ( x, y, z) =
M
B
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质点力学习题课 牛顿运动定律
第1章 质点力学 章
点时相对M的速度为 解: (1)设m在B点时相对 的速度为 ，M 设 在 点时相对 的速度为v， 对地的速度为V， 对地的速度为 ，对m,M系统水平方向动 系统水平方向动 量守恒， 地系统机械能守恒. 量守恒，对m,M,地系统机械能守恒 地系统机械能守恒 m ( v − V ) − MV = 0
0
x ∫0 2vdv = −∫l2 g1− l dx m 1 1 v v = 3gl2 =1.21 m/s m g 1 2
v
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v T
3
1
v T′
l2
o
v x mg
质点力学习题课 牛顿运动定律
第1章 质点力学 章
7. 如图所示，已知：半径为 的光滑球面， 如图所示，已知：半径为R的光滑球面 的光滑球面， 质量为M的滑块 质量为m 水平速度v 的滑块， 质量为 的滑块 ， 质量为 、 水平速度 0的 油灰球。 油灰球 。 求 ： （ 1） 它们滑至何处 ） 它们滑至何处(θ=？ )脱 ？ 脱 离球面？ 离球面 ？ （ 2） 如欲使二者在 处就脱离球 ） 如欲使二者在A处就脱离球 则油灰球的入射速率至少为多少？ 面，则油灰球的入射速率至少为多少？ v v0 M
力学(质点力学习题课)
d
m1k m m1m 2
2 2
d l d
2 2
如图，质量M =2.0kg 的笼子，用轻弹簧悬挂 起来，静止在平衡位置，弹簧伸长 x 0 0 . 10 m ，今有m =2.0kg 的油灰由距离笼底高 h =0.30m 处自由落到笼子上， 求笼子向下移动的最大距离。
习题四
解：由题意得弹簧的劲度系数
A
m1
k
B
m2
解：（1）释放后，弹簧恢复到原长时，A 要离开墙壁，
设此时 B 的速度为
vB0
，由机械能守恒得
1 2
kx
2 0
1 2
3 m v
2 B0
v B 0 x0
k 3m
A 离墙后，系统在光滑水平面上运动，动量守 恒和机械能守恒，有
m 1 v1 m 2 v 2 m 2 v B 0
k
A
m1
T
B
m2
F
k
O
A
m1
T
B
m2
F
x1
x1 F k
x
解：建立坐标系，设弹簧伸长 x 1 时，A、B所受合外力 为零，有
F kx 1 0
m 对 m 1 、 2 系统（T为内力），由动能定理
WF WK 1 2 1 2
m 1 m 2 v 2
2
m 1v
1 2 m 2v W F
2
代入（2）式得
WT 2
F
2 m1 m 2 k m1 m 2
2
W T 1 W T 2
F
2 m1 m 2 k m1 m 2
2
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（
）
(A) a 2 g (1 cos ) (B) a g sin (C) a g
(D) a 4 g (1 cos ) g sin
2 2 2 2
A B
例3.
A B C D
人造卫星绕地球作圆周运动，由于 受到稀薄空气的摩擦阻力，人造卫 星的速度和轨道半径的变化趋势应 为（ ）。 速度减小，半径增大 速度减小，半径减小 速度增大，半径增大 速度增大，半径减小
m
H
M
h
2 g ( H h)( M m) v' 2 M m sin
例6. 水从5m 的高处以每分钟60kg的速率注
入静放在地上的桶中,桶的质量为12kg, 求水 注入 dt 715.5 N
例7. 如图所示，一轻绳跨过摩擦可被忽略的轻 滑轮，在绳的一端接一质量为 m1 的物体，在 m2 的环，求当环相对于绳 另一侧有一质量为 以恒定的加速度 a 沿绳向下滑动时，物体和环 相对地面的加速度各是多少？环与绳间的摩擦 力为多大？
习题讨论课
例1. 如图所示，设物体沿着光滑圆形轨道下滑， 在下滑过程中，下面哪种说法是正确的？ （A）物体的加速度始终指向圆心； （B）物体的速度均匀增加； （C）轨道的支持力大小不断增加； （D）物体所受合外力大小变化，但方向始终 指向圆心；
O
R
例2. 质点的质量为m，置于光滑球面的顶点A处 （球面固定不动），如图所示。当它由静止开 始下滑到球面上B点时，它的加速度的大小为
例4. 一个有1/4圆弧滑槽（半径为R）的大物
体质量为M，停在光滑的水平面上，另一质量 为m 的小球自圆弧顶点由静止下滑。求当小球 m 滑到滑槽底部时，滑槽和小球相对于地面的 速度？此时滑槽对小球的支持力为多大？ 支持力对系统、滑槽、小球 所作的功分别为多大？
M v 2 gRi M m
m2 V 2 gRi M M m
v0 m h ln 4.89 m kS 2 v
能力训练与知识拓展 (蹦极)
例9.一个身高为2m的人从湖边 高25m的平台上做蹦极跳，弹性 绳的一端系在他的脚上，另一端 固定在平台上，他从静止开始下 落。弹性绳的长度和弹性选择在 当他的头刚好触及湖面时，其速 度减小为零。最终静止时，人的 头高于水面8m。求：（1）没有 拉伸时的绳长；（2）在跳下过 程中的最大速度和加速度。
m1 g m2 (a g ) a1 m1 m2 m2 g m1 (a g ) a2 m1 m2
m1
m1m2 (2 g a) f m1 m2
m2
能力训练与知识拓展 例8. 10m高台跳水，要求游泳池的深度为～5.0 m，
试用力学原理分析之。
能力训练与知识拓展
10 m高台跳水，要求游泳池的深度为～5.0 m，试用 力学原理分析之。
取跳水运动员的质量为 m 50.0 kg，入水后身体与运 2 动方向垂直的截面面积为 S 0.08 m，人在水中的阻 力为 f阻 k Sv 2 2 ， 为水的密度，k 0.50为人在 水中的阻力系数。（提示：运动员自跳起至落水前 的运动可认为是自由落体，运动员的密度近似为水 的密度，并考虑到跳水运动员一般当向下的速度为 -1 v 2 m s 时翻身，并以脚蹬池底为好）
l0 13 m
vmax 17.7 m s
-1
h0
l 2 l1
h
amax 4 g 39.2 m s
-2
WN 0
m2 WNM gR M m m2 WNm gR M m
N mg m
V v
R
2
例5.如图所示，一质量为 M 的劈形物体置于水平面 上，另一质量为 m 的物体从斜面顶端由静止开始下 滑，接触面间摩擦忽略不计。图中H、h 、 均已知， 试求 m 滑至 h 时相对于 M 的速度。
能力训练与知识拓展 (蹦极)
例9.一个身高为2m的人从湖边高 25m 的平台上做蹦极跳，弹性绳 的一端系在他的脚上，另一端固 定在平台上，他从静止开始下落。 弹性绳的长度和弹性选择在当他 的头刚好触及湖面时，其速度减 小为零。最终静止时，人的头高 于水面 8m 。求：（ 1 ）没有拉伸 时的绳长；（ 2 ）在跳下过程中 的最大速度和加速度。