中考数学之平面几何最全总结+经典习题
平面几何100题及答案(前80题)
第一题、如图，F为。
0外一点，PA、PB分别切6于A、B, PCD为ST割线，CO 交CX）于另一点E, AC、EB交于点F,证明：CD平分匕ADF。
"证明方法一：如图，延长ED交CA于K,根据条件知四边形CADB为调和四边形，故ED、EC、EA、EB构成一组调和线束，进而知K、C、A、F构成一组调和点列。
而KD±CD, 故CD平分ZADFo 3证明方法二：如鼠连結OA、OE、AB、BC,因为ZAFB = ZACE-ZBEC =ZAOE-ZBOC ISCT-NAOC-NBOC 半，且PA = PB,故点P为TkABF的外心。
于是知ZPFA= ZPAC = ZPDA,所以P、A、D、F 四点共圆。
又PA= PF,故CD 平分Z A DF。
3第二题、如图，AB为©0直径，C、D为O。
上两点，且在AB同侧，。
在C、D两处的切城交于点E, BC、AD交于点F, EF交AB于证明：E、C、页、D四点共圆。
“证明：如图，延长白C、BD交于点K,则BC1AK, AD丄BK,从而知F^)AKAB的垂心。
又在圆内接六边形CCADDB中使用帕斯卡定理，知K、E、F三点共线，从而KM丄卽于価。
于是知匕CMF = ZCAF= ZCDE,所以E、C、页、D四点共圆。
K第三题、如图，AB为。
直径，C、D为伽上两点'且在AB同侧，O0在C. D两处的切线交于点E, BC、AD交于点F, EB交0。
于点G,证明；ZCEF = 2/AGF。
“证明：如图，根据条件知匕CF D =典牌=(脸-®；(i对-命)=Z CAB + / DBA = ZECF + ZEDF；且EC = ED；故点E 为△CED 外心。
于是知/EFC = ZECF = ZCAB = ZCGE,敌E、C、F、G四点共圆。
所以“ZCGF = ZCEF = 2(90° - ZECF)= 2(90° - ZCAB)= 2ZABC 二2ZAGC " 0lWZAGF = —=—,即得ZCEF = 2ZAGFo，2 2第四題、如图，AB为直径，P为AB延长线上一点，PC切于C,点C关于朋的对称点为点D, CE1AD于E, F为CE中点，AF交于K,求证：AP为ZXPCK外扬圆的切线。
完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)通过将倍长中点相关线段进行旋转变换，可以构造出旋转全等模型。
这种模型的特点是，将相邻等线段所成角的一半旋转后拼接在一起，形成对称全等。
同时，也可以通过将两个等腰三角形或正多边形的夹角进行变化，来构造出模型变形。
如果遇到复杂图形找不到旋转全等，可以先找到两个正多边形或等腰三角形的公共极点，然后围绕公共极点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
幂定理可以用等线段、等比值、等乘积进行代换，从而将两个数之间的比值转换成乘积。
在相似证明中，常用的辅助线是平行线，根据题目条件来确定比值并做出相应的平行线。
题目一：在半圆中，圆心为O，圆上有点C、E，CD垂直于AB，EF垂直于AB，EG垂直于CO。
证明CD等于GF。
题目二：在正方形ABCD内部，点P满足∠PAD＝∠PDA＝15度。
证明△PBC是正三角形。
题目三：在图中，ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。
证明A2B2C2D2是正方形。
题目四：在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F。
证明∠DEN＝∠F。
题目五：在△ABC中，H为垂心，O为外心，且OM垂直于BC于M。
1）证明AH等于2OM；2）如果∠BAC等于60度，证明AH等于AO。
1.设P为正三角形ABC内任意一点，连接PA,PB,PC，由三角形不等式可得PA+PB>AB。
PB+PC>BC。
PC+PA>CA。
将三式相加得到2PA+2PB+2PC>AB+BC+CA=3，即PA+PB+PC>3/2.又由于P到三角形三边的距离不超过1，所以PA+PB+PC<3，综上可得1.5≤PA+PB+PC<3，即所求不等式成立。
2.设P为正方形ABCD内任意一点，连接PA,PB,PC,PD。
由于正方形四边相等，所以PA+PC=2，PB+PD=2.又由于P到四边的距离不超过1，所以PA+PB+PC+PD<4.将前两式相加得到PA+PB+PC+PD=2(PA+PB)/2+2(PC+PD)/2≥2√(PA·PB)+2√(PC·P D)。
中考数学平面几何经典题
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F GC EBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABCP 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）D1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 200，求∠BED 的度数．1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
中考数学之平面几何总结+经典习题
中考数学之平面几何总结+经典习题This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.平面几何知识要点（一）【线段、角、直线】1.过两点有且只有一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。
垂直平分线，简称“中垂线”。
定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。
中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。
垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
角1.同角或等角的余角相等。
2.同角或等角的补角相等。
3.对顶角相等。
角的平分线性质角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。
【平行线】平行线性质1：两直线平行，同位角相等。
平行线性质2：两直线平行，内错角相等。
平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线判定1：同位角相等，两直线平行。
平行线判定2：内错角相等，两直线平行。
平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。
平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
平面几何知识要点（二）【三角形】面积公式：1． 已知三角形底a ，高h ，12S ah =2． 正三角形面积 S=24a (a 为边长正三角形)3．已知三角形三边a,b,c ，则S =（海伦公式） 其中：()2a b c p ++= （周长的一半） 4．已知三角形两边a ，b 及这两边夹角C ，则1sin 2S ab C =。
中考数学之平面几何最全总结+经典习题
中考数学之平面几何最全总结+经典习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN平面几何知识要点（一）【线段、角、直线】1.过两点有且只有一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。
垂直平分线，简称“中垂线”。
定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。
中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。
垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
角1.同角或等角的余角相等。
2.同角或等角的补角相等。
3.对顶角相等。
角的平分线性质角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。
【平行线】平行线性质1：两直线平行，同位角相等。
平行线性质2：两直线平行，内错角相等。
平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线判定1：同位角相等，两直线平行。
平行线判定2：内错角相等，两直线平行。
平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。
平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
平面几何知识要点（二）【三角形】 面积公式：1． 已知三角形底a ，高h ，12S ah =2． 正三角形面积 S=24a (a 为边长正三角形)3．已知三角形三边a,b,c ，则S =（海伦公式）其中：()2a b c p ++=（周长的一半） 4．已知三角形两边a ，b 及这两边夹角C ，则1sin 2S ab C =。
初中数学解平面几何题练习题及答案
初中数学解平面几何题练习题及答案解题方法1：平面几何的基本概念初中数学中的平面几何题目有很多，解答这些题目的方法也有很多种。
在解答平面几何题目之前，我们首先需要了解一些基本概念。
1. 点、直线和射线：点是没有大小和形状的，用大写字母表示，如：A、B、C；直线是由有无数个点组成的，用小写字母表示，如：a、b、c；射线是由一个起点和无限延伸方向的线段组成的，用字母和一个箭头表示，如：AB→。
2. 线段和向量：线段是由两个点确定的，用两个字母表示，如：AB；向量是有大小和方向的，用一个字母和上面加一箭头表示，如：→AB。
3. 角度和角：角度是由两个射线或线段确定的，用一个小写字母表示，如：∠a；角是由三个点确定的，其中一个点是顶点，用大写字母表示，如：∠ABC。
解题方法2：平面几何的定理和公式在解答平面几何题目时，我们还需要运用一些定理和公式。
1. 相关定理：- 同位角定理：若两条直线被一条截线所交，则两条直线上的同位角互等。
- 垂直角定理：如果两条直线相交，且相交的四个角中有两个相互垂直，则这两个角是垂直角，垂直角互等。
2. 相关公式：- 两点之间的距离公式：设两点A(X₁, Y₁)和B(X₂, Y₂)，则AB 的距离为√[(X₂-X₁)²+(Y₂-Y₁)²]。
- 斜率公式：设点A(X₁, Y₁)和点B(X₂, Y₂)，则AB的斜率为k=ΔY/ΔX=(Y₂-Y₁)/(X₂-X₁)。
练习题1：已知点A(-3,4)，B(1,6)，C(5,2)，D(-1,0)，连接AD和BC，求证：AD与BC平行。
解答过程：首先，我们需要求出线段AD和BC的斜率，然后判断斜率是否相等，若相等，则可以证明AD与BC平行。
斜率公式：k=ΔY/ΔX=(Y₂-Y₁)/(X₂-X₁)线段AD的斜率：k₁=(0-4)/(-1+3)=-2/2=-1线段BC的斜率：k₂=(2-6)/(5-1)=-4/4=-1由上述计算可知，线段AD和BC的斜率相等，因此AD与BC平行。
平面解析几何经典题（含答案）
平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角与斜率、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角a 的范围000180a £<（2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k Û=。
特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ^Û=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
互相垂直。
二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称名称方程的形式方程的形式 已知条件已知条件 局限性局限性 点斜式点斜式为直线上一定点，k 为斜率为斜率 不包括垂直于x 轴的直线轴的直线 斜截式斜截式k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线轴的直线 两点式两点式是直线上两定点是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线直线截距式截距式a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直不包括垂直于x 轴和y 轴或线在y 轴上的非零截距轴上的非零截距过原点的直线过原点的直线 一般式一般式A ，B ，C 为系数为系数 无限制，可表示任何位置的直线直线 三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
九年级数学中考典型及竞赛训练专题25平面几何的最值问题2(附答案解析)
九年级数学中考典型及竞赛训练专题25 平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值.求几何最值问题的基本方法有：1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证.2.几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理.3.数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等.例题与求解【例1】在RtA ABC中，CB=3, C4=4, M为斜边AB ±一动点.过点M作MD丄AC于点D,过M 作ME丄CB于点E,则线段DE的最小值为__________________ .（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDMF为矩形，连结CM,则DE= CM,将问题转化为求CM的最小值.【例2】如图，在矩形ABCD中，4B=20cm, BC=10cm.若在AC, AB上各取一点M, N,使BM+M/V 的值最小，求这个最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：作点8关于&C的对称点连结B'M, B'A,贝'J BM= B'M,从而BM+MN= B'M+MN.要使BM+MN的值最小，只需使FM十M/V的值最小，当B', M, N三点共线且B7V丄AB时，B'M+MN的值最小.【例3】如图，己知DABCD, AB=a, BC=b（a>b）, P为边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q.求AP+BQ的最小值. （永州市竞赛试题）解题思路：设AP=x,把AP, BQ分别用x的代数式表示，运用不等式以a2+b2>2ab或a+b》2范 (当且仅当a=b时取等号)来求最小值.【例4］阅读下列材料：问题如图1, 一圆柱的底面半径为5dm,高为5dm, BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到C点的最短路线.小明设计了两条路线：沿AB剪开路线1：侧面展开图中的线段AC.如图2所示.设路线I的长度为/i，则/i2=AC2=AB2 +BC2 =25+(571)2=25+25n2.路线2：高线AB十底面直径BC.如图1所示.设路线 / 的长度为b，则 F = (BCMB)2=(5+10)2 =225.••/I2-/22 = 25+257T2-225=257r2-200=25(7T2-8), /. 42 >/22 , /. h>l2 .所以，应选择路线2.(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米"继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：路线1：h2=AC2= ____________ :路线2： /22= (AB+BC) 2= __________ .•••/『______ 於，・・・h___ /2(填“〉"或“<"),所以应选择路线__________ (填“1"或"2")较短.(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为门高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点&出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短. (衢州市中考试题)解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题•比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便.比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减.【例5】如图，己知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2, BF=1.为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD内截取一个矩形块MD/VP,使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率. (中学生数学智能通讯赛试题)解题思路：设DN* PN=y,则S=xy.建立矩形MD/VP的面积S与x的函数关系式，利用二次函数性质求S的最大值，进而求钢板的最大利用率.【例6】如图，在四边形ABCD 中,AD=DC=1, Z DAB=A DCB=90°, BC, AD 的延长线交于P,求AB& PAB 的最小值.（中学生数学智能通讯赛试题）AR PA解题思路：设PD=x （x>l ）,根据勾股定理求出PC,证RtA PCD- RtA PAB,得到 ——=——，求出 P AB,根据三角形的面积公式求出y=AB^P AB .整理后得到y$4,即可求出答案.能力训练A 级1. 如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形.容易知道当两张纸条 垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ________________ .（烟台市中考试题）2. D 是半径为5cm 的O0内一点，且OD=3cm,则过点0的所有弦中，最短的弦 _______________ cm.（广州市中考试题）3. 如图，有一个长方体，它的长BC=4,宽AB=3,高BBi=5. —*只小虫由A 处出发，沿长方体表面 爬行到G ，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ___________ .（"希望杯"邀请赛试题）4.如图，Uh ABC 中，AB=1Q, BC=6,经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB, CA 分别相交于点E, F,则线段EF 长度的最小值是（）（兰州市中考试题）5. 如图，圆锥的母线长04=6,底面圆的半径为2. —小虫在圆锥底面的点&处绕圆锥侧面一周又第1题图A. 4A /2B. 4.75C. 5D. 4.8第4題图回到点则小虫所走的最短距离为（）（河北省竞赛试题）A. 12B. 4TIC. 6 VID. 6 羽6. 如图，已知Z MON= 40°, P 是Z MO N 内的一定点，点A, B 分别在射线OM, OA/上移动，当△网3 周长最小时，ZAPB 的值为（）（武汉市竞赛试题）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°7. 如图，血是以等边三角形ABC-边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点.若4C=5, 则四边形ACBP 周长的最大值是（）（福州市中考试题）A. 15B. 20C. 15+5V2D. 15+5 石交AB 于M,交DC 与N.⑴设AE=x,四边形ADNM 的面积为S,写出S 关于x 的函数关系式. （2）当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？（山东省中考试题）9. 如图，六边形ABCDEF 内接于半径为/•的O0,其中AD 为直径，且AB=CD=DE=FA.（1）当Z BAD=75°时，求处的长； （2）求证：BCII 40II FE ：⑶设AB=X t 求六边形ABCDEF 的周长/关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，/取得最大值.10. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2, BC=3,点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ）. Q 是BC第6题图&如图，在正方形ABCD 中，AB=2,第8題图E 是AD 边上一点（点E 与点A, D 不重合），BE 的垂直平分线第7題图边上任意一点.连结AQ ，DQ,过P 作PEII DQ 交于AQ 于F,作PF//AQ 交DQ 于F.（1） 求证：△&PE-厶 ADQ ；（2） 设&P 的长为X,试求APEF 的面积关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，取得 最大值？最大值为多少？（3）当Q 在何处时，AADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）11. 在等腰AABC 中，AB=AC=5, BC=6.动点M, N 分别在两腰AB, AC 上（M 不与B 重合，N 不与A, C 重合），且M/VII BC.将NAMN 沿M/V 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P.（1） 当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？（2）设MN=x, △ MNP 与等腰NABC 重叠部分的面积为y,试写出y 与x 的函数关系式，当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B 级1. 己知凸四边形ABCD 中，AB+AC+CD= 16,且S 馳彤MCO =32,那么当AC= _____________________ , BD= 时，四边形4BCD 面积最大，最大值是 _________ .（“华杯赛"试题）2. 如图，已知ZkABC 的内切圆半径为门Z4=60°, BC=2y[3 ,则/■的取值范围是 ___________ •（江苏 省竞赛试题）3. 如图O0的半径为2, O0内的一点P 到圆心的距离为1,过点P 的弦与劣弧金组成一个弓形,则此弓形面积的最小值为 __________4. 如图，A4BC 的面积为 1,点 D, G, E 和 F 分别在边 AB, AC, BC 上，BD<DA, DGII BC, DEWAC,A B第2题图 第3题图第4题图GFIIAB,则梯形DEFG面积的最大可能值为.（上海市竞赛试题）5.已知边长为a的正三角形ABC,两顶点A, B分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结0C,则0C的最大值是____________ •（潍坊市中考试题）6.已知直角梯形ABCD中，ADW BC,丄BC, AD=2, BC=DC=5,点P在BC上移动，则当必+ PD取最小值时，"PD中边AP上的高为（）（鄂州市中考试题）D. 3第6題图第7题图第8题图7.如图，正方形&BCD的边长为4cm,点P是BC边上不与点B, C重合的任意一点，连结AP,过点P 作PQ丄&P交DC于点Q.设BP的长为xcm, CQ的长为ycm.（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；（2）当尸丄cm时，求x的值. （河南省中考试题）4&如图，y轴正半轴上有两点A（0, a）, 8（0, b）,其中a>b>0.在x轴上取一点C,使乙ACB最大, 求C点坐标. （河北省竞赛试题）9.如图，正方形&BCD的边长为1,点M, /V分别在BC, CD上，使得△ CMN的周长为2.求:（1）Z MAN的大小；（2）△MAN的面积的最小值. （“宇振杯"上海市竞赛试题）10,如图，四边形ABCD中，AD= CD, Z DAB=A ACB=90°,过点D作DE丄AC于F, DE与相交于GFIIAB,则梯形DEFG 面积的最大可能值为 .（上海市竞赛试题）点E.(1) 求证：AB AF=CB ・CD ；(2) 已知AB=15cm, 8C=9cm, P 是射线DE 上的动点，设DP=xcm(x>0),四边形BCDP 的面积为ycm 2. ① 求y 关于x 的函数关系式；② 当x 为何值时，NPBC 的周长最小？求出此时y 的值.(南通市中考试题)11. 如图，己知直线/： y = Rx+2 — 4R 伙为实数).(1) 求证：不论k 为任何实数，直线/都过定点M,并求点M 的坐标；(2) 若直线/与x 轴、y 轴的正半轴交于A, B 两点,求AAOB 面积的最小值.(太原市竞赛试题)12. 如图，在RtA ABC 中，Z C=90°, BC=2, AC=x,点F 在边AB ±,点G, H 在边BC 上，四边形 EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE=AC.(1) 求y 关于x 的函数解析式；(2) 当x 为何值时，y 取得最大值？求出y 的最人值.(上海市竞赛试题)第6题图第9题图专题25 平面几何的最值问题12~5提示：当CM丄AB时，CM值最小，CM =警詈例2如图.蜩+ M/V的最小值为点厅到离B'F, BE= ABBC = 4^5 cm, BB' = 8>/5 cm , AE = ACJ AB'_ BE'= 8>/5cm.在△ABF中，由丄BB，2AB的距•处=丄AB'B'F,得B'F=16cm.故BM + MN的最小值为216旳例3由5DS△呻得話喘’即话畔:.AP+BQ=x+--b. \'x+ — >2jx— = 2y/ab,・••当且仅当x x V x= 俪时，上式等号成立.故当AP=y^b时.AP+BQ最小，其最小值为2他（例5题图）-b.例4⑴£=25 + *, /； =49, /i</2,故要选择路线/较短.（2）/；=//+（〃）'，f =（方+ 2r）‘，一g=r[（沪一4”一4/?].当r=斗时，/f = 1},当r> 严厶时,I； > I；,当r<-^—时，/； < 7；. 例 5 设DN=x, PN=y,贝！）S=xy.由厶APQc^^ABF,得=丄_兀__4 _2-（4-x） 2即x=10—2y,代入S=xy 得S=xy=y（10—2y）,即S=-2（y-# 25 5+ —.因3<y<4,而）/=空不在自变量y的取值范围内，所以y=仝不是极值点.当y=3时.S（3）=12.当y=4时，S（4）=&故Smax=12.此2时，钢板的最大利用率——j ---------- =80%. 例6设PD=x（x〉l）,则PC= ,由RtAPCDcoA42— x2xl2咙得妇警.眉，令FS.则尸敎5如=斜’求y的最小值有时’y有最小值4.②运用基本不等式"弓+占S23222 r-1 2口+心•••当〒=口即当口时宀有最小值丄③借用判别式.去分母’得塔+2 (1—y) x+l+2y=0,由A=4 (1—y) 2—4 (l+2y) =4y (y —4) >0,得y>4, .'.y 的最小值为 4. A 级1. 17提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2.83. >/744.D5.D6. B7. C 提示：当点P 与点D 重合时.四边形ACBP 的周长最大.& ⑴连结 ME,过N 作 NF 丄ABTF.可证明 R^EBA^Rt^MNF,得 MF=AE=x.\'ME 2=AE 2+AM 2, 故 .即(2-AM) —X+AM, AM=1 一丄x 2,.・.S=人“十xAD=人“十力尸 x2422=AM+AM+MF=2AM+AE=2 (1 一丄F) +/= — 丄x 2+x+2.42(2) S=~- (x 2-2x+l) +-= 一丄(x-1)计？.故当胚=x=l 时，四边形ADNM 的面积最大,2 2 2 2 此时最大值为-.29. (1) BC 长为迥.(2)提示：连结BD (3)过点B 作BM 丄AD T M ・由 ⑵ 知四边形ABCD3AB ， x 2,W为等腰梯形.从而 BC=AD-2 AM=2r-2AM.由厶BAM^^DAB,得 AM=・・・BC=2/•—一.AD 2rr最大值6 r.10. (1) Z.APE= Z.ADQ, Z.AEP=Z.AQD.・'.^APE^^ADQ. (2)由厶APE^>^ADQ, 'PDFs'1 1 13 3 3ADQ, S\PEF = — SmPfQf,得 S APEF = — — x~~^~x =—— (x — — )，+—.故当 x=—时，即 P 是 AD 的中点2 3 3 2 4 2 时，Sw 取得最大值.(3)作A 关干直线BC 的对称点A f.连结D 川交BC 干Q,则这个Q 点就是使 △AD0周长最小的点，此时0是BC 的中点.11. (1)点P 恰好在BC 上时，由对称性知MN 是厶4肚 的中位线・・••当MN=^BC=3时，点P 在r"r"x同理.EF=2r- — .l=4x+2 (2 r-—)=--r r r(x-r) 2+6r (0<v<V2 r)..当 x=r^, l 取得(第8題图)5. 卑丄4提示：当04=03时.0C 的长最大.6.CBC 上.( 2）由已知得"BC 底边上的高力=J5L32 =4.①当0＜疋3时.如图1,连结AP 并延长交BC 干点D, AD 与MN 交干点0.2 12 1 1由MAWC,得A 。
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平面几何知识要点（一）【线段、角、直线】1.过两点有且只有一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。
4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。
垂直平分线，简称“中垂线”。
定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。
中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。
垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
角1.同角或等角的余角相等。
2.同角或等角的补角相等。
3.对顶角相等。
角的平分线性质角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。
【平行线】平行线性质1：两直线平行，同位角相等。
平行线性质2：两直线平行，内错角相等。
平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线判定1：同位角相等，两直线平行。
平行线判定2：内错角相等，两直线平行。
平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。
平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
平面几何知识要点（二）【三角形】面积公式：1．已知三角形底a，高h，2．正三角形面积S=(a为边长正三角形)3．已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）其中：（周长的一半）4．已知三角形两边a，b及这两边夹角C，则。
5．设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r，则6．设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则记住★：已知正三角形边长为，其外接圆半径为，内切圆半径为，则有：，，内角和定理：三角形三个内角的和等于180°推论1 ：直角三角形的两个锐角互余推论2 ：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3 ：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形性质：如果两三角形全等，那么其对应边，对应角相等。
其中对应边除了三角形的边长外，还包括对应高，对应中线，对角平分线。
全等三角形判定定理：边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS）边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（SAS）角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（ASA）推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
相似三角形性质定理性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比。
性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形判定定理判定定理1：两角对应相等，两三角形相似（ASA）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
推论2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。
（三线合一）推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形1．勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方（）逆命题：如果三角形的三边长有关系，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理可以判断一个三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中c为最长边: 如果：，则△ABC是直角三角形；如果，则△ABC是锐角三角形；如果，则△ABC是钝角三角形。
2．直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。
逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半，由 此性质可推出：含30°的直角三角形三边之比为1：：2。
4.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
5.直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半，即也等于6. 射影定理：①如果△ABC 是直角三角形,∠C=90°，CD ⊥AB，则②如果△ABC ，CD ⊥AB ，，则: △ADC ∽△CDB③对一般三角形的拓展：如图，如果△ADC ∽△ACB ，则：7．如果∠ADE=∠B 或 ∠AED=∠C ，或 ∠C+∠DEB=180°, 或 ∠B+∠CDE=180° 那么有：AD ·AC=AE ·AB8.如果DE ∥BC , 那么有：9．在△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，那么：10．内、外角角平分线：DO 平分∠AOB ，EO 平分∠COB ， 可以推出：∠DOE=90°,∠AOD+∠COE=90°平面几何知识要点（三）【四边形及多边形】 面积公式：平行四边形面积=底×高 矩形面积=长×宽 菱形面积=对角线乘积的一半 或 菱形面积=底×高 梯形面积==中位线×高对角线相互垂直四边形面积=对角线乘积的一半。
平行四边形：性质定理1：平行四边形两组对边分别平行 性质定理2：平行四边形两组对角分别相等。
性质定理3：平行四边形两组对边分别相等。
ABCDa bchab cor ABCD OB D EAABCDABCDE推论：夹在两条平行线间的平行线段相等；平行线间的距离处处相等。
性质定理4：平行四边形的对角线互相平分。
是中心对称图形判定定理1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
判定定理3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
判定定理5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形性质定理1：矩形对边分别平行且相等；性质定理2：矩形的四个角都是直角。
性质定理3：矩形对角线互相平分且相等性质定理4：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形判定定理2：有一个直角的平行四边形；判定定理3：对角线相等的平行四边形是矩形菱形性质定理1：菱形对边平行，四条边都相等。
性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
性质定理3：菱形既是中心对称图形也是轴对称图形。
判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。
判定定理2：一组邻边相等的平行四边形是菱形；判定定理3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形性质定理1：正方形对边平行，四边相等；性质定理2：正方形的四个角都是直角；性质定理3：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
性质定理3：正方形既是中心对称图形也是轴对称图形。
判定定理1：有一个直角一组邻边相等的平行四边形是正方形；判定定理2：一组邻边相等的矩形是正方形；判定定理3：一个角为直角的菱形是正方形。
等腰梯形性质定理1：等腰梯形两底互相平行，两腰相等；性质定理2：等腰梯形在同一底上的两个底角相等。
性质定理3：等腰梯形的两条对角线相等。
性质定理4：等腰梯形是轴对称图形。
判定定理1：腰相等的梯形是等腰梯形；判定定理2：在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。
判定定理3：对角线相等的梯形是等腰梯形。
如果等腰梯形对角线相互垂直，则高与中位线相等。
四边形四边中点连成的四边形图形：1．如果原四边形对角线相等且垂直，那么四边形中点连成的新四边形为正方形；2．如果原四边形对角线只相等不垂直，那么四边形中点连成的新四边形为菱形；3．如果原四边形对角线垂直但不相等，那么四边形中点连成的新四边形为矩形；4．如果原四边形对角线既不相等又非垂直，那么四边形中点连成的新四边形为平行四边形。
5．四边形中点连接的图形的面积是原四边形面积的一半.其它定理和公式1．定理：四边形的内角和等于360°，四边形的外角和等于360°。
2．多边形内角和定理: n边形的内角的和等于（n-2）×180°推论：任意多边的外角和等于360°3．n边形从一个顶点出发的对角线，共有(n－3)条，将n边形分成了(n－2)个三角形；n边形一共有(n－3)条对角线。
4．正n边形的每个内角都等于：常用辅助线平面几何知识要点（四）【圆、弧、弦】圆及圆的相关量的定义圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
弧、弦的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆、弧的表示方法: 圆--⊙弧-----⌒弦心距定义：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
圆心角定义：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆周角定义：顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
圆心距定义：两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
连心线定义：过平面内不重合的两个圆的圆心的直线叫做这两个圆的连心线。