东北三省三校2019届高三第三次模拟考试数学(文)试卷(有答案)
东北三省三校2019届高三第三次模拟考试
数学（文）试卷
2019年哈师大附中高三第三次模拟考试
文科数学答案
一．选择题
1-6 CACDCA 7-12 BBADCB
二．填空题
13. 80 14. 2 15. 03m <≤ 16. ①③⑤
三．解答题
17. 解：（Ⅰ）sin sin sin sin 2sin sin 1cos cos cos cos ⎛⎫⋅-
⋅=⋅ ⎪⎝⎭A B A B A B A B A B ------2分 ()sin sin 0,2cos cos sin sin 1⋅≠∴-=A B A B A B
()1cos 2
A B ∴+= ------4分 0,3ππ<+<∴+=
A B A B ， 23
π∴=C ------6分
1cos cos cos 32π⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A B A A A A A ------8分
1sin cos sin 226π⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭A A A ------10分 0,,3666π
π
π
π<<∴-<-<A A 11sin 262π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝
⎭A
cos -A B 的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
------12分 18.（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BD
取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则,AC OB AC OD ⊥⊥，∴点,,O B D 共线，即AC BD ⊥ 又∵PA AC A =， ∴BD ⊥平面PAC ------3分 ∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD ------5分
（Ⅱ）解：取CD 中点N ，连接,MN BN ，则MN ∥PD
∴BMN ∠或其补角是异面直线PD 与BM 所成的角 ------7分
Rt PAD ∆中，2PA AD ==，∴PD =MN =
Rt MOB ∆中，1=，∴BM =
BDN ∆中，1,1,30BD DN BDN ==∠=，由余弦定理得
2222cos302BN BD DN BD DN =+-⋅⋅= ------9分
BMN ∆
中，2222cos 24BM MN BN BMN BM MN +--∠===⋅⋅ ------11分
所以直线PD 与BM
所成角的余弦值为24
． ------12分
19.解：（I ）
---------- 1分
11(346357358360+362+362+364+372+373+376=36310
x =⨯+++） 21(313321322324+330+332+334+343+350+361=33310
x =⨯+++） 1236333330()x x N -=-= 故实验前后握力的平均值下降30 N ---------4分
（Ⅱ）
80,80t y ==，91()()1800i i i t t y y =--=-∑， 922222212222()=080(2080)(4080)(6080)(8080)(10080)(12080)(14080)(16080)24000
i
i t t =--+-+-+-+-+-+-+-+-=∑（）
121()()1800=
=0.07524000
()n i i i n i i t t y y b t
t ==---=--∑∑ -------8分 =80(0.075)8086a y bt =---⨯=
y 关于时间t 的线性回归方程为：0.07586y t =-+ --------10分
（III ）九组数据中40分钟到60分钟y 的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了 -------- 12分
20.（I ）证明：设00(,)A x y ，（000,0x y >>），(0,1)F ∴直线AF 的斜率为00
1y x -，
由已知直线BF 斜率存在，直线BF 的方程为00
11x y x y =+- --------2分 令1y =-，00
2(1)y x x -=002(1)(,1)y B x -∴- --------3分 直线AB 的斜率为20002020000
1142(1)
22(1)
4x y x y x x x x x ++==---- ，由24
x y =知，002x x x y ='=
∴直线AB 与抛物线相切
--------5分 (II)解：00(,)A x y ,11(,)M x y ,22(,)N x y
直线AM 的斜率为2
20
11010101044
4
x x y y x x x x x x --+==--
直线AN 的斜率为2
20
22020202044
4
x x y y x x x x x x -
-+==--
--------7分 AM AN ⊥10
20
144x x x x ++∴⋅=-1020()()16x x x x ∴++=-
--------8分 2
120120()16x x x x x x ∴+++=-
20
411x y
x y x y ⎧=⎪⎨=+⎪-⎩ 200
4401x x x y ∴--=-，
12120
4,41x x x x x y +==--
-------10分 2
000
44161x x x y ∴-++=--
2
00230y y ∴--=
00y > ∴03y = 又00x > ∴
存在A ，使得AM AN ⊥
-------12分
21.解：（I ）()x f 的定义域为()()∞+，11,0
当0=k 时，()()21ln 1---
='x x x x f -------1分 令()x x x g ln 1--=，()21x
x x g -=' ()1,0∈x ，()0>'x g ，()x g 单调递增 -------2分 ()∞+∈，1x ，()0<'x g ，()x g 单调递减 -------3分 ()()011max <-==g x g
()0<'∴x f
∴()x f 的减区间为()()0,11，，，
+∞无增区间 -------5分
（II ）()0>x f ⇔
01ln 1>--+x k x x ⇔()()11ln 1>-+<x x x x k -------6分 令()()1ln 1-+=x x x x h ，则()()
21ln 2---='x x x x h -------8分 令()x x x ln 2--=ϕ，则()01>-='x
x x ϕ∴()x ϕ在()∞+，1上单调递增， ()03ln 13<-=ϕ，()02ln 224>-=ϕ
∴存在唯一()4,30∈x ，使得()00=x ϕ -------10分 即0ln 200=--x x ，0
0ln 11x x +=-
列表如下：
()()()()4,31
ln 100000min ∈=-+==x x x x x h x h ∴整数k 的最大值为3. -------12分
22.解：（I ）设=3πθ时对应的点为M ，2=
3
πθ时对应的点为N 线段AP 扫过的面积21=1236弓形弓形扇形OMN AMN OMN S S S S S ππ∆∆=++==⨯⨯= --------4分 （II ）设(cos ,sin )P θθ，(2,0)A
P 为线段AQ 的中点，(2cos 2,2sin )Q θθ∴- ---------6分 Q 在曲线C 上，曲线C 的直角坐标方程为221x y +=
∴22(2cos 2)(2sin )1θθ-+=
8cos 7θ∴=，7cos 8
θ= ---------8分
7(,8P ---------10分 23.解：（I ）4123<-++x x
①当1≥x 时，414<+x ，43<
∴x
舍； ②当132<<-x 时，432<+x ，21<∴x ，此时2
132<<-x ； ③当23x ≤-时，414<--x ，，此时3245-≤<-x ， 综上，不等式的解集为⎪⎭⎫ ⎝
⎛-21,45 ---------4分 （II ）4222))(11(11,1,0,0=⋅+≥++=++=+∴=+>>n m m n n m m n n m n m n m n m n m ∴当且仅当21=
=n m 时，4)11(min =+n
m ，423≤+--∴x a x 恒成立， ---------6分 由已知0>a ① 当a x ≥时，423≤---x a x ，26a x -≤+恒成立，min (26)26a x a -≤+=+，
0>a ，∴显然成立；
② 当a x <<-32时，423≤---x x a ，64+≤∴x a 恒成立，10463x +> ∴103
；a ≤ ③ 当23x ≤-时，423≤++-x x a ，x a 22-≤∴恒成立，3
10)22min =-≤∴x a （ 综上：1003a <≤，故a 的取值范围是10(0,]3
---------10分 45->∴x。
2019届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟数学(文)试题(解析版)
2019届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟数学（文）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数61iz i=-，则z 的实部为（ ） A ．-3 B ．3C ．-2D ．2【答案】A【解析】利用复数除法运算法则化简复数z ，结合实部概念得到结果. 【详解】 ∵66(1)3(1)3312i i i i i i i +==+=-+-， ∴z 的实部为-3 故选A 【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的基本概念，属于基础题.2．若集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =-≥，则A B =I （ ）A ．{2}B ．{3}C ．{1,2}D ．{2,3}【答案】D【解析】化简集合B ，由交集概念得到结果. 【详解】∵2{|20}B x x x =-≥，{}1,2,3A =∴{|20}B x x x =≥≤或，{2,3}A B =I . 故选D 【点睛】本题考查交集的概念与运算，属于基础题.3．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与过其右焦点的直线2y x =-行，则该双曲线的实轴长为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意可得2ba=，225a b +=，从而得到结果. 【详解】∵双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与过其右焦点的直线2y x =-行， ∴2ba=，225a b +=，1a =，2b =，∴22a =. 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查运算能力，属于基础题.4．若向量a v ，b v 满足||2a =v ，3b =v ，a b -=v v ()a a b ⋅+=vv v （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】对条件a b -=v v 3a b ⋅=v v ，从而可得结果.【详解】 ∵()222||2a ba b a b -=+-⋅vv v v v v 4927a b =+-⋅=vv ，∴3a b ⋅=v v ，∴()2||7a a b a a b ⋅+=+⋅=vvv v v v . 故选C 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的性质，考查运算能力，属于基础题. 5．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：由表中数据求得y 关于x 的回归方程为ˆˆ0.65yx a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35C ．34D ．12【答案】A【解析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可． 【详解】Q 8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．6．若函数()sin (0)f x x x ωωω=>的最小正周期为π，则()f x 的单调增区间为（ ）A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈B ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ C ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈D ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ 【答案】A【解析】化简函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由周期性得到2ω=，进而得到函数的单调增区间. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2ππω=，2ω=，由()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 故选：A 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，考查函数的周期性与单调性，考查三角恒等变换，属于中档题.7．如图所示的程序框图，若输出的30S =，则输入的整数m 值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】根据程序框图的运行，得到每一步的k 和S 的值，当停止循环，输出S 时，此时的S 用m 表示，令其等于30，得到结果. 【详解】执行程序框图，可得S m =，12k m m =+<+； 21S m =+，2k m =+； 33S m =+，32k m m =+>+，输出33S m =+，由3330m +=得9m =. 故选C 项. 【点睛】本题考查程序框图的运行，根据输出值求输入值，属于简单题. 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．210B ．208C ．206D ．204【答案】D【解析】根据三视图还原出原几何体，并得到各棱的长度，通过切割法求出其体积. 【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体， 正方体的边长为6，切去一个三棱锥的底面是直角边长分别为6，6的等腰直角三角形，高为2， 故该几何体的体积为311666220432V =-⨯⨯⨯⨯=. 故选D 项. 【点睛】本题考查三视图还原几何体，切割法求几何体体积，属于简单题.9．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对123100++++L 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数2()(0)36057xf x m m =>+，则(1)(2)(3)(2018)f f f f m +++++L 等于（ ）A ．20183m +B ．240363m +C ．40366m +D ．240376m +【答案】A【解析】通过材料，理解高斯算法，根据高斯算法进行倒序相加，得到答案. 【详解】()()()()1232018f f f f m ++++L 21223605736057m m ⨯⨯=+++++L()()22017220183605736057m m m m +++++，又()()()()1232018f f f f m ++++L ()()22018220173605736057m m m m ++=+++++L22213605736057m m ⨯⨯+++，两式相加可得()()()()1232018f f f f m ++++L 24036201863m m ++==.故选A 项. 【点睛】本题考查对题意的理解，倒序相加法求和，属于简单题.10．已知函数()f x 是偶函数，定义域为R ，单调增区间为[0,)+∞，且(1)0f =，则(1)(1)0x f x --≤的解集为（ ）A ．[2,0]-B ．[1,1]-C ．(,0][1,2]-∞UD ．(,1][0,1]-∞-⋃【答案】C【解析】利用偶函数的性质分类讨论解不等式即可. 【详解】由题意可知：函数()f x 在](0，-∞单调递减，且()10f -= 令1x t -=，则()0tf t ≤.当0t ≥时，()0f t ≤，01t ≤≤；当0t <，()0f t ≥，1t ≤-，∴011x ≤-≤或11x -≤-.∴0x ≤或12x ≤≤. 故选：C 【点睛】本题考查综合函数的奇偶性与单调性，注意奇函数在对称区间的单调性相同，而偶函数在对称区间的单调性相反．11．已知三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若DC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=o，AB =DC =O 的表面积为（ ）A ．28πB ．30πC ．32πD ．36π【答案】B【解析】由于C 处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体，求出体对角线长，即外接球的直径. 【详解】由于C 处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体.设球O 半径为R ，则()222230R CD AB =+=，球表面积2430S R ππ==. 故选B 【点睛】本题考查球O 的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键,属基础题.12．已知()()11,101,01x f x f x x x ⎧--<<⎪+=⎨⎪≤<⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a的取值范围是( ) A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}28,3⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}28,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意，先表示出当()1,0x ∈-的()f x 表达式，再根据()f x 表达式画出对应图像，若要使方程()21f x ax a -=-有唯一解，即等价于函数()y f x =与函数()21g x ax a =+-有唯一的一个交点，采用数形结合进行求解即可.【详解】令()1,0x ∈-，则()10,1x +∈，()11f x x +=+，所以()11,101,01x f x x x x ⎧--<<⎪=+⎨⎪≤<⎩，作出()f x 图像，如图所示，方程()21f x ax a -=-有唯一解，即等价于()()21f x g x ax a ==+-有唯一的一个交点，()121212g x ax a a x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，恒过1,12A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为()1,1B ，43AB k =，422,33a a ∴>>，当()g x 与曲线()()11,101f x x x =--<<+相切时，也满足条件，令2112123101ax a ax ax a x -=+-⇒++-=+，229880a a a ∆=-+=，解得08a a ==-或，0a =（舍去）， 所以当方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是{}28,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.答案选D 【点睛】本题考查函数解析式的求法、函数的图像、方程的解与函数图像的关系，需要结合基本运算能力，推理能力，数形结合思想，转化与化归思想，对考生核心的数学素养要求较高.二、填空题 13．曲线11x y xe x =++在点(0,1)处的切线方程为__________． 【答案】1y = 【解析】求得函数11x y xe x =++的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程． 【详解】 ∵11x y xe x =++ ∴()2111xy x e x ⎛⎫'=-++ ⎪+⎝⎭∴x=0时，110y '=-+= ∴1y = 故答案为1y = 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14．已知变量,x y 满足约束条件236,1,33,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则目标函数2z x y =+的最小值为__________． 【答案】7-【解析】作出不等式组对应的平面区域，数形结合即可得到目标函数2z x y =+的最小值． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z ＝x +2y 得y 12=-x 2z +， 平移直线y 12=-x 2z +，由图象可知当直线y 12=-x 2z+经过点A 时，纵截距最小，z也最小，由3310x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得A （﹣3，﹣2）∴目标函数2z x y =+的最小值为7- 故答案为：7- 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B .若点F到直线AB 的距离为51414b ，则该椭圆的离心率为__________． 【答案】23【解析】由椭圆的顶点和截距式方程求出直线AB 的方程，化为一般式方程，利用点到直线的距离公式列出方程化简，再由a 、b 、c 的关系求出离心率的值． 【详解】AB 方程为0bx ay ab +-=，点(),0F c -到直线AB 2251414bc ab b a b --=+，∴()2222514a c a b +=+.∴()2222252214a c ac a c ++=-.∴()()2318130a c a c -+=.∴23c e a ==.故答案为：23【点睛】本题考查了椭圆的方程与性质，考查了点到直线的距离公式，考查推理能力与运算能力，属于中档题.16．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a =，cos cos tan sin sin A C A A C+=+，则sin sin b cB C ++的取值范围是__________．【答案】4) 【解析】由cos cos tan sin sin A CA A C+=+结合三角恒等变换知识可得cos2cos A B =，即2B A=，从而得到64A ππ<<，又sin sin sin b c a B C A+=+，进而可得结果. 【详解】由已知得()()sin sin sin cos cos cos A A C A A C +=+，∴22cos sin sin sin cos cos A A A C A C -=-，∴()cos2cos cos A A C B =-+=. ∵ABC ∆是锐角三角形， ∴2B A =且022A π<<，032A ππ<-<，∴64A ππ<<.∵2a =，∴)sin a A ⎡∈⎣.又sin sin sin b c a B C A+=+，∴()sin sin b cB C+∈+.故答案为()4【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理的应用．考查了学生对三角函数基础知识的理解和灵活运用．三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10120S =，21a a -，42a a -，12a a +成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求满足1522nT >的最小的n 值. 【答案】（1）21n a n =+；（2）14.【解析】（1）设出等差数列的基本量，根据条件，得到方程，解出首项和公差，可以得到{}n a 的通项.（2）根据（1）得到的通项，求出前n 项和n S ，得到1nS 的通项，然后利用裂项相消求和得到n T ，从而求出满足1522n T >的最小的n 值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由10120S =得11045120a d +=，12924a d +=， 由21a a -，42a a -，12a a +成等比数列 得()2124d a d d +=且0d ≠，∴123a d =， ∴13a =，2d =，∴等差数列{}n a 的通项公式为()()1131221n a a n d n n =+-=+-⋅=+. （2）∵()()1122n n n dS na n n -=+=+，∴()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴1111111112324352n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭， 由1522n T >得1131222n n +<++，()33560n n ->，∴n 的最小值为14. 【点睛】本题考查等差数列中基本量的计算，裂项法求数列通项，属于中档题.18．某县共有户籍人口60万，经统计，该县60岁及以上、百岁以下的人口占比13.8%，百岁及以上老人15人.现从该县60岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230人，得到如下频数分布表：（1）从样本中70岁及以上老人中，采用分层抽样的方法抽取21人，进一步了解他们的生活状况，则80岁及以上老人应抽多少人？（2）从（1）中所抽取的80岁及以上老人中，再随机抽取2人，求抽到90岁及以上老人的概率；（3）该县按省委办公厅、省人民政府办公厅《关于加强新时期老年人优待服务工作的意见》精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：①本县户籍60岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取55元基本养老金；②本县户籍80岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴；（a）百岁及以上老年人，每人每月发放345元的生活补贴；（b）90岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放200元的生活补贴；（c）80岁及以上、90岁以下老年人，每人每月发放100元的生活补贴.试估计政府执行此项补贴措施的年度预算.【答案】（1）6；（2）13；（3）6984万元【解析】（1）采用分层抽样的方法抽，求出各阶段人数的比例，即可求出结果；（2）直接利用古典概型公式即可得到结果；（3）根据县60岁以上、百岁以下的人口占比13.8%，计算本县户籍60岁各阶段人数．每月领取55元基本养老金，再加外享受高龄老人生活补贴计算总和政府执行此项补贴措施的年度预算．【详解】（1）样本中70岁及以上老人共105人，其中80岁及以上老人30人，所以21人中，80岁及以上老人应抽21306105⨯=人.（2）在（1）中所抽取的80岁及以上的6位老人中，90岁及以上老人1人，记为A，其余5人分别记为,,,,B C D E F，从中任取2人，基本事件共15个：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F .记“抽到90岁及以上老人”为事件M ，则M 包含5个基本事件， ∴()51153P M ==. （3）样本中230人的月预算为2305525100520016150⨯+⨯+⨯=（元），用样本估计总体，年预算为5461013.8%161504001512698410230⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭（元）.所以政府执行此项补贴措施的年度预算为6984万元. 【点睛】本题考查了样本的数字特征及频率分布表的应用，考查古典概型，考查计算能力，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 为11A C 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥.（1）求证：AB BC ⊥；（2）若1//C F 平面ABE ，且12C F =，求点A 到平面BCE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（23【解析】（1）根据1C F AB ⊥，1CC AB ⊥可得AB ⊥平面11BCC B ，故而AB BC ⊥；（2）设平面1EC F 与AB 的交点为G ，连接EG ，FG ，利用1//C F 平面ABE ，得到1//C F EG ，也可以得到1//EC FG ，进而得到四边形1EC FG 是平行四边形，根据条件求得ABC V 的面积为2，BCE V 的面积为2，将三棱锥顶点和底面转换，利用等积法求得结果. 【详解】（1）在直三棱柱中，1CC AB ⊥，又1C F AB ⊥，且1C F ，1C C ⊂平面11BCC B ，111CC C F C =I ，AB ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂Q 平面11BCC B ，AB BC ∴⊥.（2）设平面1EC F 与AB 的交点为G ，连接EG ，FG ， 平面1EC F ⋂平面ABE EG =，1//C F Q 平面ABE ，1//C F EG ∴，Q 平面1EC FG 与棱柱两底面的交线为FG ，1EC ，1//EC FG ∴，∴四边形1EC FG 是平行四边形.1FG EC ∴=，又E 是11A C 的中点，111122FG AC AC ∴==，F ∴是BC 中点， 由直棱柱中1CF =，12C F =，13CC ∴=，ABC V 的面积为2.由（1）知11222AC AC AB ===，5BE CE ∴==，BCE ∴△的面积为2.设点A 到平面BCE 的距离为d ， 由体积法得22333d =， 3d ∴=， 点A 到平面BCE 的距离为3.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有应用线面垂直证明线线垂直，利用等积法求点到平面的距离，属于简单题目.20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F ，斜率为1的直线与抛物线C交于点A ，B ，且8AB =． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点Q （1，1）作直线交抛物线C 于不同于R （1，2）的两点D 、E ，若直线DR ，ER 分别交直线:22l y x =+于M ，N 两点，求|MN|取最小值时直线DE 的方程． 【答案】（1）24y x =；（2）20x y +-=．【解析】（1）过点F 且斜率为1的直线方程与抛物线的方程联立，利用8AB =求得p 的值，即可求得抛物线C 的方程；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，由题意求出,M N x x 得值，建立MN 的解析式，再求出MN 的最小值以及直线DE 的方程． 【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2pF ， 直线方程为：2p y x =-， 代入22(0)y px p =>中，消去y 得： 22304p x px -+=，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有123x x p +=，由8AB =，得128x x p ++=，即38p p +=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为：24y x =；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，如图所示，由2(1)14x m y y x=-+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得：244(1)0y my m -+-=， ∴12124,4(1)y y m y y m +==-， 设直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+， 由()11222y k x y x ⎧=-+⎨=+⎩，解得点M 的横坐标112M k x k =-， 又k 1=1121y x --=142y +，∴x M =112k k -=-12y ，同理点N 的横坐标22N x y =-， 1221212()4y y y y y y +--==421m m -+，∴|MN|=5|x M -x N |=5|-12y +22y |=25|2112y y y y -|=285141m m m ⋅-+-=22511m m m ⋅-+-，令1,0m t t -=≠，则1m t =+，∴|MN|=25•221t t t ++=25•211()1t t ++=25•2113()24t ++≥25•34=15， 所以当2t =-，即01x ≠时，|MN|取最小值为15， 此时直线DE 的方程为20x y +-=．【点睛】本题主要考查了抛物线线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21．已知函数ln ()(,)x af x bx a b R x-=-∈. （1）当0b =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()f x g x x=在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值，且函数()g x 在(0,)e 上有两个零点，求实数b 的取值范围.【答案】（1）()f x 在1(0,)ae +上单调递增，在1(,)a e ++∞上单调递减；（2）211(,)2e e. 【解析】（1）当0b =时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f （x ）的单调性；（2）函数()g x 在()0,e 上有两个零点等价于函数()(),0,g x x e ∈的图像与x 轴有两个交点，数形结合即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）当0b =时，()ln x af x x-=， ()()221ln 1ln x x a a x x f x x x ⋅--+-=='， 令()0f x '=，得1a x e +=， 当()10,ax e+∈时，()0f x '>，当()1,ax e+∈+∞时，()0f x '<.所以函数()f x 在()10,ae +上单调递增，在()1,ae++∞上单调递减.（2）()()2ln f x x ag x b xx-==-，()()2431ln 2122ln x x a x a x x g x x x ⋅--⋅-=='+， ∵()g x 在x e =∴(0g e '=即1210a +-=，∴0a =. 所以()2ln x g x b x =-，()312ln xg x x -'=， 函数()g x 在(e 上单调递增，在),e +∞上单调递减，得函数的极大值12ge b e=-， ∴当函数()g x 在()0,e 上有两个零点时，必有()0,10,2g e b e ⎧<⎪⎨->⎪⎩得2112b e e<<. 当2112b e e <<时，210g e b e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭. ∴()g x 的两个零点分别在区间1e e ⎛ ⎝与),e e 中.∴的取值范围是211,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）min 2PQ =此时31(,)22P .【解析】试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(3,sin )αα⇒P 到2C 的距离3π()2sin()2|32d αα==+-⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α2，此时P 的直角坐标为31(,)22.试题解析： （1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，3π()2sin()2|32d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.【考点】坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．23．已知函数()|2||3|()f x x a x a R =+--∈. （1）若1a =-，求不等式()10f x +>的解集；（2）已知0a >，若()32f x a +>对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|1x x <-或}1x >；（2）(2,)+∞.【解析】（1）1a =-时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.（2）0a >时，分类讨论去绝对值，得到()f x 解析式，由函数的单调性可得()f x 的最小值，通过恒成立问题，得到关于a 的不等式，得到a 的取值范围. 【详解】（1）因为1a =-，所以()12,2134,322,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， 所以不等式()10f x +>等价于12210x x ⎧<⎪⎨⎪--+>⎩或1323410x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+>⎩或3210x x >⎧⎨++>⎩， 解得1x <-或1x >.所以不等式()10f x +>的解集为{|1x x <-或}1x >.（2）因为0a >，所以()3,233,323,3a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤⎨⎪++>⎪⎪⎩，根据函数的单调性可知函数()f x 的最小值为322a a f ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 因为()32f x a +>恒成立，所以3322aa --+>，解得2a >. 所以实数a 的取值范围是()2,+∞. 【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.。
2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)
2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=a+i（a∈R）的模为，则a=（）A. 1B. ±1C. 2D. ±22.设命题：∀x∈R，x2-3x+2≤0，则￢p为（）A. ∃x0∈R，x02-3x0+2≤0B. ∀x∈R，x2-3x+2＞0C. ∃x0∈R，x02-3x0+2＞0D. ∀x∈R，x2-3x+2≥03.已知集合A={x|＜0}，B={x|y=），则A∩B=（）A. （-1，2）B. [-1，2）C. [-1，2]D. [-2，2]4.已知函数（f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以为（）A. y＝2sin（2x+）B. y＝2sin（x+）C. y＝2sin（2x﹣）D. y＝2sin（x﹣）5.过抛物线y2=4x的焦点作一条倾斜角为的直线，与抛物线交于A，B两点，则|AB|=（）A. 4B. 6C. 8D. 166.函数y=4x+2x+1+3（x∈R）的值域为（）A. [2，+∞）B. （3，+∞）C. （，+∞）D. [9，+∞）7.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且△POQ为等边三角形（其中O为原点），则k的值为（）A. 或-B.C. 或-D.8.已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是（）cm2A. 20+2πB. 20+3πC. 24+2πD. 24+3π9.在边长为2的正方形ABCD内任取一点P，使得∠APB≤的概率为（）A. 1-B.C.D. 1-10.阅读右面的程序框图，如果输入的实数x的取值范围是（-∞，1]∪[2，+∞），那么输出的函数值f（x）取值范围是（）A. [0，2]B. [，2]C. [，4]D. [，2]∪{4}11.已知函数f（x）=a sin x+b cos x，且f（）是它的最大值（其中a，b为常数，且m≠0），给出下列命题：①函数f（x-）为奇函数②函数f（x）的图象关于x=对称；③函数f（-）是函数的最小值④函数f（x）的图象在y轴右侧与直线y=的交点按横坐标从小至大依次记为P1，P2，P3，P4…则|P2P4|=2π．其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 412.函数f（x）=，若存在实数m，使得方程f（x）=m有三个相异实根，则实数a的范围是（）A. [，+∞）B. [0，]C. （-∞，2]D. [，2）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，-2），=（t，3），若∥，则t=______14.等比数列{a n}中，a1=1，a3•a5=64，则a2019=______15.设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=3x-2y的最小值为______．16.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解法，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程=4的解为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差效列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S2+a2=4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=2n+1•a n求{b n}的前项和T n．18.棉花的优质率是以其纤维长度来衡量的，纤维越长的棉龙品质越高．棉花的品质分类标准为纤维长度小于等于28mm的为粗绒棉，纤维长度在（25，33]为细绒棉，纤维长度大于33mm的为长绒棉，其中纤维长度在38mm以上的棉花又名“军海1号”，某采购商从新疆某一棉花基地抽测了100根棉花的纤维长度，得到数据如下图频率分有表所示纤维长度（mm）≤25（25，33]（33，38]＞38根数2384020（）若将频率作为概率，根据以上数据，能否认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求（2）用样本估计总体，若这批棉共有10000kg，基地提出了两种销售方案给采购商参考．方案一：不分等级卖出，每千克按13.5元计算．方案二：对10000kg棉花先分等级再销售，分级后不同等级的棉花售价如表纤维长度（mm）≤25（25，33]（33，38]＞38根数281525从采购商的角度，请你帮他决策一下该用哪个方案．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，再从6根棉花中取两根进行检验，求抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率．19.如图，在五棱锥P-ABCDE中，AB∥DE，BC∥AE，AE⊥平面PDE，AB=AE=PD=2DE=2BC=4，∠PDE=60°．（1）证明：PE⊥CD；（2）过点D作平行于平面PAE的截面，与直线AB，PB，PC分别交于F，G，H，求夹在该截面与平面PAE之间的几何体体积．20.已知函数f（x）=x-1--ln x．（1）若a=0，求f（x）在x=1处的切线方程（2）若函数f（x）存在两个极值点x1和x2，求证：f（x1x2）+≥2ln2-1．21.已知定点P（2，0），圆M：x2+y2+4x-60=0，过点P的直线l₁交圆M于R，S两点，过点P作直线l2∥MS交直线MR于Q点（1）求Q点的轨迹方程E（2）若A，B，C，D是曲线E上不重合的四个点，且AC与BD交于点（-2，0），•=0，求||+||的取值范围22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点O为极点，x轴正半籼为极轴；建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与C2交于A，B两点，且|AB|=2，求α的值．23.设函数f（x）=|x-a|，如果不等式f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}．（1）求a的值；（2）当x∈（0，1），证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵z=a+i（a∈R）的模为，∴，解得a=±1．故选：B．直接利用复数模的计算公式列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.答案：C解析：解：命题为全称命题，命题：∀x∈R，x2-3x+2≤0，则￢p为∃x0∈R，x02-3x0+2＞0，故选：C．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.答案：B解析：解：集合A={x|＜0}=（-2，2），∵B={x|y=），∴-x2+x+2≥0，解得-1≤x≤2，即B=[-1，2]，∴A∩B=[-1，2），故选：B．化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．4.答案：A解析：解：由函数f（x）=A sin（ωx+φ）的部分图象知，A=2，T=-=，解得T=π.∴ω==2；又ωx+φ=2×+φ=，解得φ=.∴f（x）=2sin（2x+）．故选：A．由函数f（x）的部分图象求得A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题.5.答案：D解析：解：抛物线的焦点坐标为F（1，0），p=2，过焦点的直线的斜率k=tan=，则直线方程为y=（x-1），代入y2=4x得（x-1）2=4x，整理得x2-14x+1=0，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=14，则|AB|=x1+x2+p=14+2=16，故选：D．求出焦点坐标和直线方程，结合过焦点直线方程，利用设而不求的思想进行求解即可．本题主要考查直线和抛物线的应用，联立方程组，利用设而不求思想，结合抛物线的弦长公式进行计算是解决本题的关键．6.答案：B解析：解：令t=2x（t＞0），∴函数y=4x+2x+1+3（x∈R）化为f（t）=t2+2t+3=（t+1）2+2（t＞0），∴f（t）＞3．即函数y=4x+2x+1+3（x∈R）的值域为（3，+∞）．故选：B．令t=2x（t＞0），把原函数转化为关于t的一元二次函数求解．本题考查利用换元法及配方法求函数的值域，是基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查直线和圆的位置关系，是基础题．由已知可得，圆心（0，0）到直线的距离d=，结合点到直线的距离公式可求k．【解答】解：∵y=kx+1与圆x2+y2=1过点（0，1），设P（0，1），∵△POQ为等边三角形，边长为1，∴圆心（0，0）到直线的距离d=，解可得，k=，故选C．8.答案：B解析：解：三视图复原几何体是一个组合体，上部是横卧的圆柱的一半，底面是一个半圆，其中半径为1，高为2的半圆柱；下部是正方体，棱长为：2，半圆柱的侧面积为π×1×2+π×12=3π，正方体部分的侧面积为2×2×5=20，所以组合体的表面积为20+3π（cm2）．故选：B．三视图复原几何体是一个组合体，上部是圆柱的一半，下部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．本题考查由三视图求组合体的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．9.答案：A解析：解：如图正方形的边长为2，图中白色区域是以AB为直径的半圆，当P落在半圆内时，∠APB＞；当P落在半圆上时，∠APB=；当P落在半圆外时，∠APB＜．故使∠APB＜的概率P==1-．故选：A．由题意画出图形，再由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，明确P点的位置是解答该题的关键，是基础题．10.答案：D解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．可得当-∞＜x＜-2时，f（x）=2；当-2≤x≤1时，f（x）∈[，2]；当x=2时，f（x）=4；当x＞2时，f（x）=2；综上，可得输入的实数x的取值范围是（-∞，1]∪[2，+∞）时，输出的函数值f（x）取值范围是[，2]∪{4}．故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值，由已知分类讨论即可求解．本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基本知识的考查．11.答案：C解析：解：由于函数f（x）=a sin x+b cos x=sin（x+∅），且f（）是它的最大值，∴+∅=2kπ+，k∈Z，∴∅=2kπ+，∴tan∅==1．∴f（x）=|a|sin（x+）．对于①，由于f（x-）=|a|sin x．是奇函数，故①正确；对于②，由于当x=时，f（x）=|a|，故函数f（x）的图象不关于x=对称，故②不正确；对于③，由于f（-）=|a|sin（-+）=-|a|，为函数f（x）的最小值，故③正确；对于④，函数f（x）的图象即把函数y=|a|sin x的图象向左平移个单位得到的，故|P2P4|等于一个周期2π，故④正确．故选：C．由题意可得f（x）=sin（x+∅），对于①，由于f（x-）=|a|sin x．是奇函数，可判断①；对于②，由于x=时，f（x）=|a|，可判断②；对于③，由f（-）=|a|sin（-+）=-|a|，是函数f（x）的最小值，可判断③；对于④，由题意可得，|P2P4|等于一个周期2π，可判断④．本题考查两角和正弦公式，正弦函数的最值，对称性，奇偶性，函数图象的变换，得到f（x）=|a|sin（x+）是解题的关键，属于中档题．12.答案：D解析：解：当-2≤x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1．∴f′（x）=6x2+6x=6x（x+1）令f′（x）=0⇒x=0或x=-1；令f′（x）＞0⇒-2＜x＜-1；令f′（x）＜0⇒-1＜x＜0；且最大值为f（-1）=-2+3+1=2；f（-2）=-16+12+1=-3；f（0）=1；当0≤x≤2时，f′（x）=ae x，则若a＜0时，可得f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（0，2）上单调递减且最大值为f（0）＜0，不存在有三个相异实根，故不成立舍掉；同理，当a=0时也不存在舍掉；即实数a必须大于0；故当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，2）上单调递增，若想f（x）=m有三个相异实根，必须满足⇒．故选：D．分情况讨论，通过函数的单调性求出满足条件的方程的充要条件，列出不等式求解即可得答案．本题考查了函数与方程的综合应用，直线与抛物线的关系的应用，属于中档题．13.答案：-解析：解：向量=（1，-2），=（t，3），若∥，则3×1-（-2）×t=0，解得t=-．故答案为：-．根据平面向量的共线定理，列方程求出t的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．14.答案：解析：解：依题意，数列{a n}是等比数列，设其公比为q，则a3•a5=64=，即a6=64=26，所以q=2或q=-2，所以a2019==22018，故答案为：22018．数列{a n}是等比数列，设其公比为q，则a3•a5=64=，即a6=64=26，所以q=2或q=-2，代入即可．本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．15.答案：-1解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，当目标函数z=3x-2y过点A时，z取得最小值；由，求得A（1，2），所以z的最小值为z min=3×1-2×2=-1．故答案为：-1．画出不等式组表示的平面区域，结合图形找出最优解，计算目标函数的最小值．本题考查了不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．16.答案：解析：解：由=4，得，其几何意义为平面内动点（x，2）与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4．平面内动点与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4的点的轨迹为．联立，解得x=．故答案为：．由=4，得，其几何意义为平面内动点（x，2）与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4．求出平面内动点与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，取y=2求得x 值即可．本题考查曲线与方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．17.答案：解：（1）等差效列{a n}的公差设为d，且a1=1，S2+a2=4，可得1+1+d+1+d=4，解得d=，则a n=1+（n-1）=；（2）b n=2n+1•a n=（n+1）•2n，前n项和T n=2•2+3•4+4•8+…+（n+1）•2n，2T n=2•4+3•8+4•16+…+（n+1）•2n+1，相减可得-T n=4+4+8+16+…+2n-（n+1）•2n+1=2+-（n+1）•2n+1，化为T n=n•2n+1．解析：（1）等差效列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n+1•a n=（n+1）•2n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式，等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）将频率作为概率，根据以上数据，长绒棉占全部棉花的比例为P==60%，∴该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求“．（2）方案一：13.5×10000=135000．方案二：2×200+8×3800+15×4000+25×2000=140800．∴从采购商的角度，该用方案一．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，其中“军海1号”抽取到：6×=2，再从6根棉花中取两根进行检验，基本事件总数n==15，抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”包含的基本事件个数m==8，∴抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率p=．解析：（1）将频率作为概率，能求出该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求“．（2）方案一：13.5×10000=135000．方案二：2×200+8×3800+15×4000+25×2000=140800．从采购商的角度，该用方案一．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，其中“军海1号”抽取到2根，再从6根棉花中取两根进行检验，利用古典概型能求出抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：（1）证明：∵DE=2，PD=4，∠PDE=60°，∴PE==2，∴PE⊥DE．∵AE⊥平面PDE，PE⊂平面PDE，∴AE⊥PE，又AE∩DE=E，AE⊂平面ABCDE，DE⊂平面ABCDE，∴PE⊥平面ABCDE，又CD⊂平面ABCDE，∴PE⊥CD．（2）解：∵平面PAE∥平面DFGH，∴DF∥AE，PA∥GF，又BC∥AE，AB∥DE，∵AE⊥平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AE⊥DE，∴四边形AEDF是矩形，∴V P-AEDF=S矩形AEDF•PE==．∵AP∥GF，∴P到平面DFGH的距离等于A到平面DFGH的距离，由（1）可知PE⊥平面ABCDE，故而PE⊥AF，又AF⊥AE，AE∩PE=E，∴AF⊥平面PAE，∴AF⊥平面DFGH，∵BC∥AE，DF∥AE，∴BC∥DF，又BC⊄平面DFGH，DF⊂平面DFGH，∴BC∥平面DFGH，又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面DFGH=GH，∴BC∥GH，∵AF=DE=AB，故F为AB的中点，∴G为PB的中点，∴H是PC的中点，∴GH=BC=1，又梯形DFGH的高为PE=，∴V P-DFGH=V A-DFGH=•AF=×（1+4）××2=．∴夹在该截面与平面PAE之间的几何体体积V=V P-AEDF+V P-DFGH=7．解析：（1）根据AE⊥DE，PE⊥DE可得PE⊥平面ABCDE，于是PE⊥CD；（2）求出梯形DFGH的面积，分别计算棱锥P-AEDF和棱锥P-DFGH的体积．本题考查了线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题．20.答案：解：（1）函数f（x）=x-1--ln x．若a=0，f（x）=x-1-ln x，f′（x）=1-，f（1）=0，f′（1）=0，f（x）在x=1处的切线方程为y=0，（2）证明：函数f（x）=x-1--ln x．f′（x）=，因为函数f（x）存在两个极值点x1和x2，所以f′（x）=0，x1=1，x2=，a∈（0，）∪（，1），f（x1x2）+=-2-ln，令t=，t∈（0，1）∪（1，+∞），h（t）=4t-ln t-2，h′（t）=4-=0，t=，所以y=h（t）在（0，）单调递减，在（，1），（1，+∞）单调递增；所以h（t）最小值为h（）=2ln2-1；即h（t）≥2ln2-1；即f（x1x2）+≥2ln2-1．解析：（1）将a=0代入函数，求函数的导数和函数的切点的坐标，利用点斜式可求f（x）在x=1处的切线方程；（2）函数f（x）存在两个极值点x1和x2，求证：f（x1x2）+≥2ln2-1．即证明f（x1x2）+=-2-ln≥2ln2-1，令t=，t∈（0，1）∪（1，+∞），转换成新函数h（t）=4t-ln t-2≥2ln2-1，即求函数h（t）的最小值大于等于2ln2-1即可；本题考查了导数的综合应用，属于中档题．21.答案：解：（1）如图，可得QP=QR，所以QM+QP=QM+QR=MR=8＞MP=4，所以Q点的轨迹是以M，P点为焦点的椭圆，其中a=4，c=2，所以b2=12，故点Q的轨迹方程为；（2）由（1）可知左焦点（-2，0），且AC⊥BD，①当直线AC、BD中有一条直线的斜率不存在时，||+||=6+8=14；②当直线AC的斜率为k，k≠0，其方程为：y=k（x+2），联立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，所以==，同理可得：=，所以||+||=，令1+k2=t（t＞1），||+||==∈[，14），综上，||+||的取值范围是[，14]．解析：（1）根据题意画出图象，可得QM+QP＞MP，即可知Q点的轨迹是以M，P点为焦点的椭圆；（2）由条件可判断出AC、BD过椭圆左焦点，分别讨论AC、BD斜率存在与不存在的情况，表示出||+||，即可求出取值范围．本题考查点的轨迹方程，利用数形结合判断出轨迹为椭圆是关键，属于中档题．22.答案：解：（1）曲线C2的极坐标方程为．利用三角函数的展开式，转换为直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=4，（2）曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），转换为直角坐标方程为y+1=k（x-1），（k=tanα），所以圆心（1，1）到直线l的距离d=，所以，解得k=，所以．解析：（1）直接利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程．（2）利用勾股定理和点到直线的距离公式的应用求出直线的斜率，进一步求出直线的倾斜角．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.答案：解：（1）∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴0和2为方程|x-a|=1的两实根，∴|a|=1且|2-a|=1，∴a=1，∴a的值为1；（2）证明：当x∈（0，1）时，=====4，当且仅当即x=时取等号，∴．解析：（1）由f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，可知0和2为方程|x-a|=1的两实根，将0和2代入方程|x-a|=1中可求出a的值；（2）由题意可得=，利用基本不等式可得的最小值，从而证明≥4．本题考查了不等式的解集与方程根之间的关系，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．。
吉林省吉林市2019届高三第三次调研测试数学(文)试卷(含答案)
吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第三次调研测试文科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 已知集合{1,1},A =-2{|20}B x x x =+-=，则U A B =A. {1}-B. {1,1}-C. {2,1,1}--D. {1,1,2}- 2. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”,4i i e π表示的复数位于复平面内 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知角α的终边经过点(P -，则sin2α的值为A. B. C. 12- D. 4. 已知命题,p q ，则“p ⌝为假命题”是“p q ∨为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积为2，则正视图的面积A. 2B. 16. 已知双曲线2222:1(0,0)y xC a ba b-=>>的实轴C的渐近线方程为A. y=±B. y=C.2y x=D.4y x=7. 函数123cos()y xπ=+图象上相邻的最高点和最低点之间的距离为A.B.C.D.8. 已知AB是圆22620x y x y+-+=内过点(2,1)E的最短弦，则||AB等于A.B. C.D.9. 执行如图所示的程序框图，则输出S的值为A.213log32+B.2log3C. 2D. 310. 已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径长为A. 5B.C. 9D. 311. ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，且4sin sin()sin,a A c C ab B c-=-=，1112正视图俯视图侧视图x则ABC ∆面积的最大值为A. B. 4C.D. 12. 抛物线24y x =的焦点F ，点(4,3)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长取最小值时，线段PF 的长为A. 1B. 134C. 5D. 214二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13. 利用分层抽样的方法在学生总数为1200的年级中抽取30名学生，其中女生人数14 人，则该年级男生人数为 . 14. 已知向量(,1),(1,1)r r a m b =-=，若||||||a b a b -=+r r r r ，则实数m = .15. 已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为 .16. 已知函数()|ln |f x x =，实数,m n 满足0m n <<，且()()f m f n =，若()f x 在区 间2[,]m n 上的最大值是2，则n m的值为 .三、解答题：共70分。
2019年三省三校一模考试文科数学试卷(含答案)
一． 选择题1-6 DBCCBA 7-12 BBCADD二．填空题13. 3 14. 乙 15. 30 16. 4π三．解答题17．解：（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)126π=++=++f x x x x …………………2分 ∵[0,]2x π∈，∴72666πππ≤+≤x ， …………………4分 ∴1sin(2)1226π≤++≤x ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； …………………6分 （Ⅱ）∵3()sin(2)162π=++=f A A ∴1sin(2)62π+=A ∵0π<<A ，∴132666πππ<+<A ，∴5266ππ+=A ，即3π=A …………………8分由余弦定理，2222cos =+-a b c bc A ，∴2642=+-c c ，即2220--=c c又0>c ，∴1=c …………………10分 ∴1sin 2∆==ABC S bc A…………………12分18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件M设每周累计户外暴露时间不少于28小时的4为学生分别为A,B,C,D ,其中A 表示近视的学生,随机抽取2名,所有的可能有AB,AC,AD,BC,BD,CD 共6种情况,其中事件M 共有3种情况, 即AB,AC,AD,所以()3162==P M 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12． …………………4分（Ⅱ）根据以上数据得到列联表： 近视 …………………8分所以2K 的观测值2200(40406060)8.000 6.635(4060)(6040)(4060)(6040)k ⨯⨯-⨯==>++++， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.…………………12分19. 解:（Ⅰ）（方法一）：由已知11183323P BCG BCG V S PG BG GC PG -∆=⋅=⋅⋅⋅= ∴4PG = …………………2分 ∵PG ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD ，∴PG BG ⊥∴1124422PBG S BG PG ∆=⋅=⨯⨯= ∵13AG GD = ∴3332442BDG BCG S S ∆∆=⋅=⨯= …………………4分 设点D 到平面PBG 的距离为h ,∵D PBG P BDG V V --= 1133PBG BDG S h S PG ∆∆∴⋅⋅=⋅⋅, 11344332h ∴⋅⋅=⋅⋅32h ∴= …………………6分K M F GD C B A P（方法二）：由已知11183323P BCG BCG V S PG BG GC PG -∆=⋅=⋅⋅⋅= ∴4PG = ………………2分 ∵PG ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PBG∴平面PBG ⊥平面ABCD ∵平面PBG 平面=ABCD BG 在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ， 则DK ⊥平面PBG∴DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离 …………………4分223434322===∴=BC AD GD BC 在∆DKG 中，DK =DG sin 45︒=23 ∴点D 到平面PBG 的距离为23 …………………6分 （Ⅱ）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC 于M ，连结FM ，又因为DF ⊥GC , DM DF D = ∴GC ⊥平面FMD ，⊂FM 平面FMD ∴GC ⊥FMPG ⊥平面ABCD ，⊂GC 平面ABCD ∴PG ⊥GC∴FM ∥PG由GM⊥MD 得：3c o s 452GM G D ︒== …………………10分 32312PF GM FC MC ∴=== …………………12分 20. 解：（Ⅰ）24y x =焦点为(1,0)F ，则1(1,0)F -，2(1,0).F122a PF PF =+= 解得,1,1a c b ==，所以椭圆E 的标准方程为22 1.2x y += …………............4分 （Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，1122(,),(,).A x y B x y联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩得22(1)220,t y ty ++-= 易知0.∆>则1221222,12.1t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩.........6分 ()()111212121211(2)(2)F A F Bx x y y t y t y y y ⋅=+++=+++ =221212222(1)2()41t t y y t y y t -++++=+． 因为111F A FB ⋅=，所以22221t t -=+1，解得213t =． (8)分 联立22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210t y ty ++-=，()2810t ∆=+> 设3344(,),(,)C x y B x y ，则3423422,21.2t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩….....…….........10分112341273F CD S F F y y ∆=⋅-=== ….....…….........12分21. 解：（Ⅰ）当e a =时，()e e x t x x =-，'()e e x t x =-， (1)分令'()0=t x 则1=x 列表如下：......3分所以(极小值==t x . (5)（Ⅱ）设()()()ln e e ln e x F x f x g x x a ax x a =-+-+=-+-+，(1)≥x1'()e x F x a x=-+，(1)≥x 设1()e x h x a x =-+，2221e 1()e x x x h x x x ⋅-'=-=， ...........…........7分 由1x ≥得，21,x ≥2e 10->x x ，'()0>h x ，()h x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，① 当10e a +-≥，即1a e ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增, 又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有且只有一个实数解. ..........9分②当10e a +-<，即1a e >+时，由（Ⅰ）可知e x ex ≥， 所以11'()e ,'()0x a a e e F x a ex a F e a x x e e a a =+-≥+-≥⋅+-=>，又11a e e>+ 故00(1,),()0a x F x e'∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =， 故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1.又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥， '()()2x s x k x e x ==-,()220'=-≥->x s x e e ,故'()k x 在()1,+∞单调递增，又'(1)0k > 1当时，∴>x'()0，>k x ()∴k x 在()1,+∞单调递增，故()(1)0>>k a k ，故()0F a >， 又0a a x e>>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=， 故在()0,x a 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1x .又在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1.综上，1a e ≤+. (12)22.解：（Ⅰ）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩ (2)分所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=. …….................4分（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角， 代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ…….................7分1212OA OB +=+=+=ρρρρ (8)分 1cos θ∴= 满足0∆>16πθ∴=或56π， l 的倾斜角为6π或56π， 则1tan k θ==…….................10分23．解：（Ⅰ）因为a x a x x a x x f 444)(=--≥+-=，所以 a a 42≤，解得 44≤≤-a .故实数a 的取值范围为]4,4[-. .…….................4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，4=m ，即424x y z ++=. 根据柯西不等式222)(z y y x +++[][]2222221)2(4)(211+-+⋅+++=z y y x []21164()22121x y y z ≥+-+= …….................8分 等号在z y y x =-=+24即884,,72121x y z ==-=时取得。
东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三第三次模拟考试数学(理)试题
第1页，总9页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）2019届高三第三次模拟考试数学（理）试题考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. 设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2. 已知向量的夹角为，，，则（ ）A ．-16B ．-13C ．-12D ．-103. 已知双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 等比数列的各项和均为正数，，,则（ ）A ．14B ．21C ．28D ．635. 设命题，则为（ ）A ．B ．C ．D ．6. 运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（ ）答案第2页，总9页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．3B ．4C ．5D ．67. 一项针对都市熟男（三线以上城市，岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者，1980全体被调查者 80后被调查者 80前被调查者 电子产品 56.9% 66.0% 48.5% 服装 23.0% 24.9% 21.2% 手表14.3% 19.4% 9.7% 运动、户外用品 10.4% 11.1% 9.7% 珠宝首饰 8.6% 10.8% 6.5% 箱包8.1% 11.3% 5.1% 个护与化妆品 6.6% 6.0% 7.2% 以上皆无25.3%17.9%32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误的是（ ）A ．都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B ．从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C ．80前超过3成一年内从未购买过表格中七类高价商品D ．被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为8. 椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则=（ ）A ．1B ．C ．D ．。
东北三省三校2019届高三第一次模拟考试数学(文)试题(含解析)
东北三省三校2019年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（）A. 4B. -4C. 2D. -2 【答案】D【解析】【分析】先将复数进行化简得，得出答案.【详解】复数=所以虚部为-2故选D【点睛】本题主要考查了复数的化简，属于基础题.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定义得出答案.【详解】因为可得，集合，所以故选B【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.已知向量的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题，先求出，可得结果.【详解】所以故选C【点睛】本题主要考查了数列的运算，属于基础题.4.设直线与圆相交于两点，且，则圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】圆的圆心坐标为,半径为，利用圆的弦长公式,求出值，进而求出圆半径，可得圆的面积. 【详解】圆的圆心坐标为,半径为，，直线与圆相交于两点，且，圆心到直线的距离，所以，解得，圆的半径，所以圆的面积，故选C.【点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，属于中档题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.5.等差数列的前项和为，且，，则（）A. 30B. 35C. 42D. 56【答案】B【解析】【分析】先根据题目已知利用公式求出公差，，再利用求和公式得出结果.【详解】因为是等差数列，所以，所以公差，根据求和公式故选B【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.6.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，利用两角和的正切公式求得，再根据同角三角函数的关系求解即可.【详解】因为，所以，所以，且解得，故选A.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．7.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则（）A. 2B. 1C. 0D. -1 【答案】D【解析】【分析】根据已知的程序框图，模拟程序的执行过程，可的结果.【详解】当输入x的值为4时，第一次不满足，但是满足x能被b整除，输出；当输入x的值为5时，第一次不满足，也不满足x能被b整除，故b=3第二次满足，故输出则-1故选D【点睛】本题主要考查了程序框图，属于较为基础题.8.设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性可得，根据幂函数的单调性可得，从而可得结果. 【详解】因为指数函数是减函数，,所以<，即；因为幂函数是增函数，,所以>,即，所以，故选B.【点睛】本题主要考查幂函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.9.已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（）A. ，B. ，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，，得出，再得出，得出答案.【详解】对于答案A：，，得出与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：，，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；答案C：，，得出，再得出，故C正确；答案D: ，，，得出与是相交的或是垂直的，故D错故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.10.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示，早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年，在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值；从区间内随机抽取200个数，构成100个数对，其中满足不等式的数对共有11个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据满足不等式的数对表示的点在轴上方、正方形内且在圆外，得出数对所在的平面区域，利用几何概型概率公式列方程可得出的值.【详解】在平面坐标系中作出边长为1的正方形和单位圆，则符合条件的数对表示的点在轴上方、正方形内且在圆外的区域，区域面积为，由几何概型概率公式可得解得，故选A.【点睛】本题主要考查随机模拟实验以及“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.11.双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】先根据双曲线的定义求出，然后据题意周长的最小值是当三点共线，求出a的值，再求出离心率即可.【详解】由题易知双曲线的右焦点，即，点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知所以周长为：当点共线是，周长最小即解得故离心率故选D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题.12.若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，利用导数研究函数的单调性，由数形结合可得结果.【详解】，可得,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，求得，由可得在上递减，由可得在上递增，，当时，；当时，所以，当，即时，的图象在轴右边有两个不同的交点，所以使函数在区间上有两个极值点，实数的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性与最值，考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将极值问题转化为方程问题，再转化为函数图象交点问题是解题的关键.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知满足约束条件：，则的最大值是______．【答案】3【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，再求出与的交点，带入求出答案.【详解】满足约束条件：，可行域如图：解得由题，当目标函数过点A时取最大值，即故答案为3【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题.14.甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____．【答案】乙【解析】【分析】根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案.【详解】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；故答案是乙【点睛】本题主要考查了推理证明，属于基础题.15.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为____．【答案】【解析】【分析】根据题意，证明出CD平面ABC，从而证明出CD AC，然后取AD的中点O，可得OC=OA=OB=OD，求出O为外接球的球心，然后求得表面积即可.【详解】由题意，可得BC CD，又因为底面，所以AB CD，即CD平面ABC，所以CD AC取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体外接球的球心，因为所以球半径故外接球的表面积故答案为【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.设函数.（1）当时，求函数的值域；（2）中，角的对边分别为，若，且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1) 利用二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为，求得,结合正弦函数的单调性即可求函数的值域；(2)由得，可求出的值，利用余弦定理求出的值，再由三角形的面积公式可得结果.【详解】（1）∵，∴，∴∴函数的值域为；（2）∵，∴，∵，∴，∴，即由余弦定理，，∴，即又，∴∴.【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式，考查余弦定理与三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.17.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附:【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】(1)根据题意，时间不少于28小时的4名学生中，近视1名，不近视3名，所以恰好一名近视：，4名学生抽2名共有：，然后求得其概率.(2)先根据表格得出在户外的时间与近视的人数分别是多少，完成联表，然后根据公式求得的观测值，得出结果.【详解】（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件，则故随机抽取2名，中恰有一名学生不近视的概率为.（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：所以的观测值，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.【点睛】本题主要考查了概率和统计案例综合，属于基础题.18.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，，，四面体的体积为.（1）求点到平面的距离；（2）若点是棱上一点，且，求的值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）求出与，设点到平面的距离为,利用求解即可；（2）在平面内，过作垂直于，连结，先证明垂直，垂直，可得，再利用求解即可.【详解】（1）（方法一）：由已知∴∵⊥平面，平面，∴∴∵∴设点到平面的距离为,∵,法二：由已知∴∵⊥平面，平面∴平面⊥平面∵平面平面在平面ABCD内，过作⊥，交延长线于，则⊥平面∴的长就是点到平面的距离在中，==∴点到平面的距离为（2）在平面内，过作⊥于，连结，又因为⊥,∴⊥平面，平面∴⊥⊥平面，平面∴⊥∴∥由⊥得：【点睛】本题主要考查点面距离的求解、“等积变换”的应用以及线面垂直的判断与性质，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.19.已知分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于两点，且与椭圆相交于两点，当时，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由焦点为，求得，，解得，从而可得结果; （2）设直线方程为，联立，由，结合韦达定理求得，再联立，由，利用韦达定理可得结果．【详解】（1）焦点为，则，解得，所以椭圆的标准方程为（2）由已知，可设直线方程为，联立得易知则=．因为，所以，解得．联立，得，设，则【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.20.已知函数（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围.【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）当时，，，令，可得，列表判断两边的符号，根据极值的定义可得结果；（2）化简，求得，，设，可得，讨论的取值范围，根据函数的单调性，结合零点存在定理即可筛选出符合题意的的取值范围.【详解】（1）当时，，，令则列表如下：所以.（2）设，，设，，由得，，，在单调递增，即在单调递增，，①当，即时，时，，在单调递增,又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意.②当，即时，由（1）可知，所以，又故，当时，，单调递减，又，故当时，，在内，关于的方程有一个实数解1.又时，，单调递增，且，令，,,故在单调递增，又在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，，故在内，关于的方程有一个实数解.又在内，关于的方程有一个实数解1，不合题意.综上，.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.21.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程；（2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出求得结果即可.【详解】（1）由题，曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为：所以曲线C的极坐标方程：（2）直线的方程为，的参数方程为为参数)，然后将直线得参数方程带入曲线C的普通方程，化简可得：，所以故解得【点睛】本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键，属于基础题.22.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由不等式性质，解出a的值即可；（2）先求得m的值，然后对原式配形，可得再利用柯西不等式，得出结果.【详解】（1）因为函数恒成立，解得；（2）由第一问可知，即由柯西不等式可得：化简：即当且紧当：时取等号，故最小值为【点睛】本题主要考查了不等式选讲，不等式的性质以及柯西不等式，熟悉柯西不等式是解题的关键，属于中档题.。
2019年东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(文科)-解析版
2019年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数（1-i ）（3+i ）的虚部是（ ）A. 4B. −4C. 2D. −2 2. 若集合A ={x |-1≤x ≤2}，B ={x |log 3x ≤1}，则A ∩B =（ ）A. {x|−1≤x ≤2}B. {x|0<x ≤2}C. {x|1≤x ≤2}D. {x|x ≤−1或x >2}3. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，|a⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则|3a ⃗ +b ⃗ |=（ ） A. √5 B. √17 C. √19 D. √214. 设直线y =x -√2与圆O ：x 2+y 2=a 2相交于A ，B 两点，且|AB |=2√3，则圆O 的面积为（ ）A. πB. 2πC. 4πD. 8π 5. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2+a 10=16，a 8=11，则S 7=（ ）A. 30B. 35C. 42D. 566. 已知α∈（0，π2），tan （α+π4）=-3，则sinα=（ ）A. 2√55B. √55C. 45D. 357. 执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为4，第二次输入的x 的值为5，记第一次输出的a 的值为a 1，第二次输出的a 的值为a 2，则a 1-a 2=（ ）A. 0B. −1C. 1D. 28. 设a =（57）37，b =（37）57，c =（37）37，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a <b <cB. b <c <aC. a <c <bD. c <a <b9. 已知α，β是不重合的平面，m ，n 是不重合的直线，则m ⊥α的一个充分条件是（ ）A. m ⊥n ，n ⊂αB. m//β，α⊥βC. n ⊥α，n ⊥β，m ⊥βD. α∩β=n ，α⊥β，m ⊥n10. 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人，这比欧洲早了约1000年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[-1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x ，y ），其中满足不等式y ＞√1−x 2的数对（x ，y ）共有11个，则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ）A. 7825B. 7225C. 257D. 22711. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （-√5，0），点A 的坐标为（0，2），点P 为双曲线右支上的动点，且△APF 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ） A. √2 B. √3 C. 2 D. √512. 若函数f （x ）=e x -ax 2在区间（0，+∞）上有两个极值点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），则实数a 的取值范围是（ ） A. a ≤e2B. a >eC. a ≤eD. a >e2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件：{x +2y −1≤0x −y −2≤0x ≥−1，则z =2x +y 的最大值是______．14. 甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴．甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是______．15. 等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3=8a 1+3a 2，a 4=16，则S 4=______．16. 四面体A -BCD 中，AB ⊥底面BCD ，AB =BD =√2，CB =CD =1，则四面体A -BCD 的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 设函数f （x ）=sin （2x -π6）+2cos 2x ．（Ⅰ）当x ∈[0，π2]时，求函数f （x ）的值域；（Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f （A ）=32，a =√6，b =2，求△ABC 的面积．18. 世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据： 每周累计户外暴露时间 （单位：小时） [0，7） [7，14） [14，21） [21，28） 不少于28小时 近视人数 21 39 37 2 1 不近视人数3375253（Ⅰ）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（Ⅱ）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（Ⅱ）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？近视 不近视足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P （K 2≥k 0） 0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.82819. 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，P 在平面ABCD 上的射影为G ，且G 在AD 上，且AG =13GD ，BG ⊥GC ，GB =GC =2，E 是BC 的中点，四面体P -BCG 的体积为83．（Ⅰ）求异面直线GE 与PC 所成的角余弦值； （Ⅱ）求点D 到平面PBG 的距离；（Ⅲ）若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求PFFC 的值．20. 已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，点P （-1，√22）在椭圆E 上，且抛物线y 2=4x 的焦点是椭圆E 的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过点F 2作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆x 2+y 2=a 2+b 2相交于A ，B 两点，且与椭圆E 相交于C ，D 两点，当F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1时，求△F 1CD 的面积．21. 已知函数f （x ）=e x （e 为自然对数的底数），g （x ）=ax （a ∈R ）．（Ⅰ）当a =e 时，求函数t （x ）=f （x ）-g （x ）的极小值；（Ⅱ）若当x ≥1时，关于x 的方程f （x ）+ln x -e =g （x ）-a 有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围． 22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosαy =√3sinα（α为参数），直线l 的方程为y =kx ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若|OA |+|OB |=2√3，求k 的值．23. 已知函数f （x ）=|x -4a |+|x |，a ∈R ．（Ⅰ）若不等式f （x ）≥a 2对∀x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设实数m 为（Ⅰ）中a 的最大值，若实数x ，y ，z 满足4x +2y +z =m ，求（x +y ）2+y 2+z 2的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵（1-i）（3+i）=4-2i．∴复数（1-i）（3+i）的虚部是-2．故选：D．再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：B={x|0＜x≤3}；∴A∩B={x|0＜x≤2}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．3.【答案】C【解析】解：∵向量，的夹角为60°，||=1，||=2，∴==1，则|3+|====，故选：C．由已知结合向量数量积的定义可求，然后根据向量数量积的性质|3+|=，展开后可求．本题主要考查了向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础试题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，圆O：x2+y2=a2的圆心为（0，0），半径r=|a|，圆心到直线y=x-的距离d==1，又由弦长|AB|=2，则有a2=1+（）2=4，则圆O的面积S=πa2=4π；故选：C．根据题意，求出圆O的圆心与半径，求出圆心O到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得a2=1+（）2=4，结合圆的面积公式计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a10=16，a8=11，∴，解得a1=，d=，∴S7=7a1+==35．故选：B．利用等差数列通项公式列方程组，能求出a1=，d=，由此再利用等差数列前n项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵利用两角和的正切公式得tan （）==-3，∴tanα=2．∵α∈（0，），∴．再根据sin2α+cos2α=1，解得．故选：A．利用两角和的正切公式求出tanα，再结合角的范围及同角三角函数基本关系即可求出sinα．本题考查两角和的正切公式，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7.【答案】B【解析】解：当输入的x值为4时，b=2，第一次，不满足b2＞x，不满足x能被b整数，故输出a=0；当输入的x值为5时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；即第一次输出的a的值为a1的值为0，第二次输出的a的值为a2的值为1，则a1-a2=0-1=-1．故选：B．根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由函数y=（）x为减函数，可知b＜c，由函数y=x为增函数，可知a＞c，即b＜c＜a，故选：B．根据指数函数和幂函数的单调性即可求出．本题考查了指数函数和幂函数的单调性，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：当n⊥β，m⊥β时，m∥n，当n⊥α时，m⊥α，即充分性成立，即m⊥α的一个充分条件是C，故选：C．根据空间直线和平面垂直的判定定理以及性质结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面垂直的位置关系是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：从区间[-1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y ＞的数对（x，y）共有11个，即从区间[-1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y≤的数对（x，y）共有100-2×11=78个，由几何概型中的面积型可得：=，所以π==，故选：A．由不等式表示的平面区域得：不等式y ＞的平面区域为正方形内位于第一，二象限圆x2+y2=1外的区域，由几何概型中的面积型得：=，即π==，得解本题考查了几何概型中的面积型，及不等式表示的平面区域，属中档题11.【答案】D【解析】解：由|AF|==3，三角形APF的周长的最小值为8，可得|PA|+|PF|的最小值为5，又F'为双曲线的右焦点，可得|PF|=|PF'|+2a，当A，P，F'三点共线时，|PA|+|PF'|取得最小值，且为|AF'|=3，即有3+2a=5，即a=1，c=，可得e==．故选：D．由题意可得|AF|=3，可得|PA|+|PF|的最小值为5，由双曲线的定义可得|PA|+|PF'|+2a的最小值为5，当A，P，F'三点共线时，取得最小值，可得a=1，由离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：f′（x）=e x-2ax，若f（x）在（0，+∞）上有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），则y=e x和y=2ax在（0，+∞）上有2个交点，设直线y=2ax和y=e x相切时切点是A（m，e m），则y′=e x，y′|x=m=e m，故y-e m=e m（x-m），即y=e m x+（1-m）e m=2ax，故（1-m）e m=0，解得：m=1，故A（1，e），故2a=e，a=，故直线y=2ax和y=e x相交时，a ＞，故选：D．求出函数的导数，问题转化为y=e x和y=2ax在（0，+∞）上有2个交点，设直线y=2ax和y=e x相切时切点是A（m，e m），求出临界值，求出a的范围即可．本题考查了切线方程，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．13.【答案】3【解析】解：作出x，y满足约束条件：对应的平面区域如图：（阴影部分），由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A （，），代入目标函数z=2x+y得z=3．即目标函数z=2x+y的最大值为3．故答案为：3．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14.【答案】乙【解析】解：①设会弹钢琴的是甲，则甲、乙说的是真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是甲，②设会弹钢琴的是乙，则丙说的是真话，与题设相符，故会弹钢琴的是乙，③设会弹钢琴的是丙，则乙、丙说的时真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是丙，综合①②③得：会弹钢琴的是乙，故答案为：乙先理解题意，再进行简单的合情推理，逐一进行检验即可得解．本题考查了进行简单的合情推理，属简单题．15.【答案】30【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q ），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】4π【解析】解：如图，在四面体A-BCD中，AB⊥底面BCD，AB=BD=，CB=CD=1，可得∠BCD=90°，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥A-BCD的外接球的半径为1．其表面积为4π×12=4π．故答案为：4π．由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）f（x）=sin（2x-π6）+2cos2x=√32sin2x+12cos2x+1=sin（2x+π6）+1，…………………（2分）∵x∈[0，π2]，∴π6≤2x +π6≤7π6，…………………（4分）∴1 2≤sin（2x+π6）+1≤2，∴函数f（x）的值域为[12，2]；…………………（6分）（Ⅱ）∵f（A）=sin（2A+π6）+1=32，∴sin（2A+π6）=12，∵0＜A＜π，∴π6＜2A+π6＜13π6，∴2A+π6=5π6，即A=π3，…………………（8分）由余弦定理，a2=b2+c2-2bc cos A，∴6=4+c2-2c，即c2-2c-2=0，又c＞0，∴c=1+√3，…………………（10分）∴S△ABC=12bc sin A=12×2×(1+√3)×√32=32+√32．…………………（12分）【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+）+1，由已知可求范围≤2x+≤，利用正弦函数的性质可求其值域．（Ⅱ）由已知可求sin（2A+）=，可求范围＜2A+＜，从而可求A=，由余弦定理解得c的值，即可根据三角形的面积公式计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A，则P（A）=C31C11C42=12故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12．（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：近视不近视足够的户外暴露时间4060不足够的户外暴露时间6040所以K2的观测值k2=200×(40×40−60×60)2(40+60)×(60+40)×(40+60)×(60+40)=8.000＞6.635，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系．【解析】（Ⅰ）根据古典概型概率公式计算可得；（Ⅱ）先得2×2列联表，再根据表格中数据计算k2，再根据临界值表作答．本题考查了独立性检验，属中档题．19.【答案】解：（I ）由已知V P−BGC =13S △BCG ⋅PG =13⋅12BG ⋅GC ⋅PG =83，∴PG =4．在平面ABCD 内，过C 点作CH ∥EG 交AD 于H ，连接PH ，则∠PCH （或其补角）就是异面直线GE 与PC 所成的角．在△PCH 中，CH =√2，PC =√20，PH =√18，由余弦定理得，cos ∠PCH =√1010，∴异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值为√1010．（II ）∵PG ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PBG ∴平面PBG ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ，则DK ⊥平面PBG ∴DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离．∵BC =2√2∴GD =34AD =34BC =32√2．在△DKG ，DK =DG sin45°=32，∴点D 到平面PBG 的距离为32．（III ）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC ，M 为垂足，连接MF ， 又因为DF ⊥GC ，∴GC ⊥平面MFD ，∴GC ⊥FM ．由平面PGC ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥平面ABCD ∴FM ∥PG ； 由GM ⊥MD 得：GM =GD •cos45°=32． ∵PFFC =GMMC =3212=3，∴由DF ⊥GC 可得PFFC =3．【解析】（1）先利用等体积法求出PG 的长，在平面ABCD 内，过C 点作CH ∥EG 交AD 于H ，连接PH ，则∠PCH （或其补角）就是异面直线GE 与PC 所成的角，在△PCH 中利用余弦定理求出此角即可； （2）在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ，则DK ⊥平面PBG ，DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离，在△DKG 利用边角关系求出DK 长；（3）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC ，M 为垂足，连接MF ，先证明FM ∥PG ，然后利用三角形相似对应边成比例建立等量关系即可．本题主要考查四棱锥的有关知识，以及求异面直线所成角的问题，以及分析问题与解决问题的能力．简单几何体是立体几何解答题的主要载体，特别是棱柱和棱锥．20.【答案】解：（Ⅰ）y 2=4x 焦点为F （1，0），则F 1（-1，0），F 2（1，0），2a =|PF 1|+|PF 2|=2√2解得a =√2，c =1，b =1，所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1，（Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为x =ty +1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 2+y 2=3x=ty+1得（t 2+1）y 2+2ty -2=0 易知△＞0， 则y 1+y 2=-2t t 2+1，y 1y 2=-2t 2+1，所以F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1+1）（x 2+1）+y 1y 2=（ty 1+2）（ty 2+2）+y 1y 2=（t 2+1）y 1y 2+2t （y 1+y 2）+4=2−2t 2t 2+1 因为F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1， 所以2−2t 2t 2+1=1，解得t 2=13．联立{x =ty +1x 22+y 2=1，得（t 2+2）y 2+2ty -1=0 易知△=8（t 2+1）＞0，设C （x 3，y 3），B （x 4，y 4），则y 3+y 4=-2t t 2+2，y 1y 2=-1t 2+2，∴|y 3-y 4|=√(y 3+y 4)2−4y 3y 4=√8(1+t 2)t 2+2∴△F 1CD 的面积S =12|F 1F 2|•|y 3-y 4|=√8(1+t 2)t 2+2=√8×4373=4√67 【解析】（Ⅰ）y 2=4x 焦点为F （1，0），则F 1（-1，0），F 2（1，0），2a=|PF 1|+|PF 2|=2，求解a ，b 即可得到椭圆方程．（Ⅱ）设直线l 的方程为x=ty+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用联立 可得（t 2+1）y 2+2ty-2=0，通过韦达定理以及向量的数量积推出解得t 2=．联立，得（t 2+2）y 2+2ty-1=0．设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），利用韦达定理，求解三角形的面积．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查三角形的面积计算公式，把面积比转化为长度比是解题的关键，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）当a =e 时，t （x ）=e x -ex ，t ′（x ）=e x -e ，………（1分）令t ′（x ）=0，则x =1，x ，t ′（x ），t （x ）的变化列表如下： x （-∞，1） 1 （1，+∞） t ′（x ） - 0 + t （x ）单调递减极小值单调递增………（3分）所以t（x）极小值=t（1）=e-e=0……………（5分）（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x）+ln x-e+a=e x-ax+ln x-e+a，（x≥1），F′（x）=e x-a+1x，（x≥1），设h（x）=e x-a+1x ，h′（x）=x2⋅e x−1x2，………（7分）由x≥1得，x2≥1，x2e x-1＞0，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）单调递增，即F′（x）在（1，+∞）单调递增，F′（1）=e+1-a，①当e+1-a≥0，即a≤e+1时，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）在（1，+∞）单调递增，又F（1）=0，故当x≥1时，关于x的方程f（x）+ln x-e=g（x）-a有且只有一个实数解…（9分）②当e+1-a＜0，即a＞e+1时，由（Ⅰ）可知e x≥ex，所以F′（x）=e x+1x -a≥ex+1x-a，F′（ae）≥e•ae+ea-a=ea＞0，又ae＞1e=1，故∃x0∈（1，ae），F′（x0）=0，当x∈（1，x0）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，又F（1）=0，故当x∈（1，x0]时，F（x）＜0，在[1，x0）内，关于x的方程f（x）+ln x-e=g（x）-a有一个实数解1．又x∈（x0，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，且F（a）=e a+ln a-a2+a-e＞e a-a2+1，令k（x）=e x-x2+1（x≥1），s（x）=k′（x）=e x-2x，s′（x）=e x-2≥e-2＞0，故k′（x）在（1，+∞）单调递增，又k′（1）＞0，故x＞1时，k′（x）＞0，k（x）在（1，+∞）单调递增，故k（a）＞k（1）＞0，故F（a）＞0，又a＞ae＞x0，由零点存在定理可知，∃x1∈（x0，a），F（x1）=0，故在（x0，a）内，关于x的方程f（x）+ln x-e=g（x）-a有一个实数解x1，又在[1，x0）内，关于x的方程f（x）+ln x-e=g（x）-a有一个实数解1．综上，a≤e+1…（12分）【解析】（Ⅰ）代入a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合方程的解的个数确定a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵{x=√3cosα+2y=√3sinα，∴x2-4x+y2+1=0所以曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+1=0．（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为θ=θ1（ρ∈R，θ1∈[0，π）），其中θ1为直线l的倾斜角，代入曲线C得ρ2-4ρcosθ1+1=0，设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2．ρ1+ρ2=4cosθ1，ρ1ρ2=1＞0，△=16cosθ12-4＞0 ∴|QA|+|QB|=|ρ1|+|ρ2|=|ρ1+ρ2|=2√3∴cosθ1=±√32满足△＞0∴θ1=π6或5π6∴l的倾斜角为π6或5π6，则k=tanθ1=√33或-√33．【解析】（Ⅰ）先消去α得C的普通方程，再化成极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为θ=θ1（ρ∈R，θ1∈[0，π）），其中θ1为直线l的倾斜角，代入C的极坐标方程，利用韦达定理可求得．本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题．23.【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x-4a|+|x|≥|x-4a-x|=4|a|，所以a2≤4|a|，解得：-4≤a≤4．故实数a的取值范围为[-4，4]；（Ⅱ）由（1）知，m=4，即4x+2y+z=4，根据柯西不等式（x+y）2+y2+z2=121[（x+y）2+y2+z2]•[42+4+1]≥121[4（x+y）-2y+z]2=1621等号在x+y4=y−2=z即x=87，y=-821，z=421时取得．所以（x+y）2+y2+z2的最小值为1621．【解析】（Ⅰ）根据基本不等式的性质得到关于a的不等式，解出即可；（Ⅱ）根据柯西不等式的性质求出代数式的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式，考查基本不等式以及柯西不等式的性质，是一道常规题．。
东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2019届高三数学第三次模拟考试试题理(含解析)
东北三省三校（辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中）2019届高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，然后再求出即可．【详解】∵，，∴．故选C．【点睛】解答集合运算的问题时，首先要分清所给的集合是用列举法还是用描述法表示的，对于用描述法表示的集合，在运算时一定要把握准集合中元素的特征．2.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】∵命题，∴为：．故选A．【点睛】对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．3.已知向量的夹角为，，，则（）A. -16B. -13C. -12D. -10 【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律和数量积的定义求解即可得到答案．【详解】∵向量的夹角为，，，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查数量积的运算，解题时根据运算律和定义求解即可，属于基础题．4.已知双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由离心率为2可得，于是得，由此可得渐近线的方程．【详解】由得，即为双曲线的渐近线方程．∵双曲线离心率为2，∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为．故选D．【点睛】解题时注意两点：一是如何根据双曲线的标准方程求出渐近线的方程；二是要根据离心率得到．考查双曲线的基本性质和转化、计算能力，属于基础题．5.等比数列的各项和均为正数，，,则（）A. 14B. 21C. 28D. 63【答案】C【解析】【分析】根据题中的条件求出等比数列的公比，再根据即可得到所求．【详解】设等比数列的公比为，∵，，∴，即，解得或，又，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率．6.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布（单位：）现抽取500袋样本，表示抽取的面粉质量在的袋数，则的数学期望约为（）附：若，则，A. 171B. 239C. 341D. 477【答案】B【解析】【分析】根据正态分布中特殊区间上的概率得到面粉质量在上的概率为，然后根据可求出的数学期望．【详解】设每袋面粉的质量为，则由题意得，∴.由题意得，∴． 故选B ．【点睛】本题考查正态分布中特殊区间上的概率，解题时注意把所求概率转化为三个特殊区间上的概率即可．另外，由于面粉供应商所供应的某种袋装面粉总数较大，所以可认为的分布列近似于二项分布，这是解题的关键．7.在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 先将复数化为的形式，然后再根据由棣莫弗定理得到的复数的乘方公式计算即可． 【详解】由题意得复数可化为， 所以．故选A ．【点睛】本题以复数的运算为载体考查新信息问题，解题的关键是通过理解题意得到复数三角形式的乘方公式，考查计算和阅读理解的能力，属于基础题．8.运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】依次运行框图中给出的程序，根据输出结果所在的范围来判断图中的值．【详解】依次运行框图中的程序，可得：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；……因为输出的，所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中的值为4．故选B．【点睛】程序框图的补全及逆向求解问题思路：①先假设参数的判断条件满足或不满足；②运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；③根据此时各个变量的值，补全程序框图．此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本知识，以及综合分析问题和解决问题的能力，要求较高，属中档题．9.已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形的特征建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后根据直线方向向量的夹角求出异面直线所成的角．【详解】根据题意画出图形如下图所示．∵平面平面，平面平面，，∴平面，以过点D且与平面垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，∴,∴，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选A．【点睛】解题的关键是将求两条异面直线所成角转化为两向量夹角的问题求解，其中需要注意异面直线所成角与两向量夹角间的关系，解题的关键是要注意异面直线所成角的范围，此处容易出现错误，属于基础题．10.一项针对都市熟男（三线以上城市，岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者，1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C. 80前超过3成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为【答案】D【解析】【分析】根据表格中给出的信息，对四个选项分别进行分析、判断后可得答案．【详解】对于选项A，从表中的数据可得都市熟男购买电子产品的比例为，为最高值，所以A正确．对于选项B，从表中后两列的数据可看出，前6项的比例均是80后的意愿高于80前的意愿，所以B正确．对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中七类高价商品的比例为，约为3成，所以C正确．对于选项D，根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计图表的应用和阅读理解能力，解题的关键是读懂表中数据的意义，然后结合所求进行分析、判断，属于基础题．11.椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则=（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后求得到点的坐标与参数的关系，然后根据的中点在直线上求出参数的值，进而得到点的坐标，进而得到向量的坐标，于是可得结果．【详解】由题意直线与直线垂直，设直线的方程为．由消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴，解得．设，的中点为，则，∴，，∴点的坐标为．由题意得点在直线上，∴，解得．∴，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是得到直线的方程．其中题中的对称是解题的突破口，对于此类问题要注意两对称点的连线与对称轴垂直、两对称点的中点在对称轴上，解题是要注意这两点的运用，属于中档题．12.如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得在四棱锥中平面．作于，作于，连，可证得平面．然后作于，可得即为点到平面的距离．在中，根据等面积法求出的表达式，再根据基本不等式求解可得结果．【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是1的正方形，侧面中，，且．∵，∴平面．作于，作于，连，则由平面，可得，∴平面．又平面，∴．∵，，∴平面．在中，作于，则平面．又由题意可得平面，∴即为点到平面的距离．在中，，设，则，∴．由可得，∴，当时等号成立，此时平面，综上可得点到平面距离的最大值为．故选B．【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等差数列的前项和为，且，，则__________．【答案】80【解析】【分析】解方程组求出等差数列的首项和公差后再根据前项和公式求解即可．【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列中的基本运算，解题时注意方程思想的运用，同时将问题转化为等差数列的首项和公差的问题是解题的关键，属于基础题．14.函数的一条对称轴，则的最小值为__________．【答案】2【解析】【分析】根据题意得到，进而得，最后根据题中的要求得到答案．【详解】∵函数的一条对称轴，∴，∴，又，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的性质，解题时要把作为一个整体，然后再结合正弦函数的相关性质求解，同时还应注意的符号对结果的影响，属于中档题．15.若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数特征，可求得的取值范围．【详解】∵函数在上单调递增，∴函数在区间上为增函数，∴，解得，∴实数的取值范围是．故答案：．【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．16.已知，，其中，则下列判断正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）①关于点成中心对称；②在上单调递增；③存在，使；④若有零点，则；⑤的解集可能为.【答案】①③⑤【解析】【分析】对于①，根据函数为奇函数并结合函数图象的平移可得正确．对于②，分析可得当时，函数在上单调递减，故不正确．对于③，由，可得，从而得，可得结果成立．对于④，根据③中的函数的值域可得时方程也有解．对于⑤，分析可得当时满足条件，由此可得⑤正确．【详解】对于①，令，则该函数的定义域为，且函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又函数的图象是由的图象向上或向下平移个单位而得到的，所以函数图象的对称中心为，故①正确．对于②，当时，，若，则函数在上单调递减，所以函数单调递增；函数在上单调递增，所以函数单调递减．故②不正确．对于③，令，则当时，，则．所以，令，则成立．故③正确．对于④，若有零点，则，得，从而得，故，结合③可得当有零点时，只需即可，而不一定为零．故④不正确．对于⑤，由，得．取，则，整理得．当时，方程的两根为或．又函数为奇函数，故方程的解集为．故⑤正确．综上可得①③⑤正确．故答案为：①③⑤【点睛】本题考查函数性质的运用及命题真假的判定，解题时要结合函数的性质对函数的零点情况进行分析，注意直接推理的应用，同时在判断命题的真假时还要注意举反例的方法的运用，难度较大．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将切函数化为弦函数，整理后两边约掉，然后逆用两角和的余弦公式得到，于是，从而．（Ⅱ）将代入所求值的式子后化简得，然后再结合的范围得到所求．【详解】（Ⅰ）由条件得，∵，∴，∴，∵，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时注意三角形内角和定理的运用，同时要注意三角变换公式的合理应用．对于求范围或最值的问题，一般还是要以三角函数为工具进行求解，解题时需要确定角的范围．18.如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，，点是棱上的动点.（I）求证：平面平面；（Ⅱ）当线段最小时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）由底面可得．取的中点，连接，根据等腰三角形的性质可得，于是得到平面，根据面面垂直的判定可得所证结论．（Ⅱ）取中点，连接，可证得，建立空间直角坐标系．然后根据向量的共线得到点的坐标，再根据线段最短得到点的位置，进而得到．求出平面的法向量后根据线面角与向量夹角间的关系可得所求．【详解】（Ⅰ）证明：∵底面，底面，∴．取的中点，连接，∵是等边三角形，，∴，，∴点共线，从而得，又，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）解：取中点，连接，则，∴底面，∴两两垂直．以为原点如图建立空间直角坐标系，则，∴,设平面的法向量为，由，得，令，得．设，则，∴，∴当时，有最小值，且，此时．设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】空间向量的引入，为解决立体几何中的探索性问题提供了新的解决方法，即根据计算可解决探索性问题．解答空间角的有关问题时，可转化为向量的数量积问题来处理，但要注意向量的夹角与空间角的关系，在进行代数运算后还需要再转化为几何问题，属于中档题．19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（）等指标.（I）10 名实验对象实验前、后握力（单位：）测试结果如下：实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少？（Ⅱ）实验过程中测得时间（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（）的中的位数（）的九组对应数据为，.建立关于时间的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（I）茎叶图见解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）60分钟.【解析】【分析】（Ⅰ）结合所给数据可得茎叶图；分别求出实验前、后握力的平均数后比较可得结果．（Ⅱ）根据所给公式并结合条件中的数据可得，于是可得线性回归方程．（Ⅲ）分析九组数据可得，在40分钟到60分钟的下降幅度最大，由此可得结论．【详解】（Ⅰ）根据题意得到茎叶图如下图所示：由图中数据可得，，∴，∴故实验前后握力的平均值下降.（Ⅱ）由题意得，，，又，∴，∴，∴关于时间的线性回归方程为.（Ⅲ）九组数据中40分钟到60分钟的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了.【点睛】本题考查统计的基本问题，即数据的整理、分析和应用，解题时由于涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性和准确性，同时要充分利用条件中给出的中间数据，属于中档题．20.抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设，由此可得直线的斜率，进而得到直线的斜率，由此得到的方程为，令可得点的坐标，于是可得直线的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点A处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及可求得点A的坐标．【详解】（Ⅰ）由题意得焦点．设，∴直线的斜率为，由已知直线斜率存在，且直线的方程为，令，得，∴点的坐标为，∴直线的斜率为．由得，∴，即抛物线在点A处的切线的斜率为，∴直线与抛物线相切．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，由消去整理得，设，则．由题意得直线的斜率为，直线的斜率为，∵，∴，∴，∴，整理得，解得或．∵，∴，又，且，∴存在，使得．【点睛】解答本题时要注意以下几点：（1）题中所需要的点的产生的方法，即由线与线相交产生点的坐标；（2）注意将问题合理进行转化，如根据线的垂直可得斜率的关系；（3）由于解题中要涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性，通过利用抛物线方程进行曲线上点的坐标间的转化、利用“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解．21.已知函数，（为自然对数的底数）（I）若在上单调递减，求的最大值；（Ⅱ）当时，证明：.【答案】（I）2；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得对恒成立，即对恒成立，设，则对于恒成立，由，得，然后再验证时成立即可得到所求．（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得当时，单调递减，且，故当时，，整理得．然后再证明成立，最后将两不等式相加可得所证不等式．【详解】（Ⅰ）由，得．∵在上单调递减，∴对恒成立，即对恒成立，设，则对于恒成立.则，∴，当时，，且单调递增，，∴当，，单调递减；当，，单调递增．∴，即恒成立，∴的最大值为2．（Ⅱ）当时，单调递减，且，当时，，即，∴，∴，①下面证明，②令，则，∴在区间上单调递增，∴，故②成立．由①+②得成立．【点睛】本题考查导数在研究函数问题中的应用，解题时注意转化思想的运用，如把函数单调递减的问题转化为导函数小于等于零恒成立的问题求解．另外，在证明不等式时要根据不等式的特点选择合适的方法，对于一些复杂的不等式，可转化为简单的不等式的证明来求解．本题综合性较强、难度较大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线的参数方程为（为参数），，为曲线上的一动点.（I ）求动点对应参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且.【解析】【分析】（Ⅰ）先判断出线段所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设，由题意得，然后根据点在曲线上求出后可得点的坐标．【详解】（Ⅰ）设时对应的点为时对应的点为，由题意得轴，则线段扫过的面积.（Ⅱ）设，，∵为线段的中点，∴，∵在曲线上，曲线的直角坐标方程为，∴，整理得，∴，∴，∴存在点满足题意，且点的坐标为．【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（Ⅰ）解不等式: ；（Ⅱ）已知，若对任意的，不等式恒成立，求正数的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得不等式为，然后根据分类讨论的方法，去掉绝对值后解不等式组即可．（Ⅱ）根据题意先得到，故由题意得恒成立，分类讨论去掉绝对值后可得所求范围．【详解】（Ⅰ）由题意得不等式为．①当时，原不等式化为，解得，不合题意；②当时，原不等式化为，解得，∴；③当时，原不等式化为，解得，∴．综上可得∴原不等式的解集为．（Ⅱ）∵，∴.当且仅当且，即时等号成立，∴．由题意得恒成立，①当时，可得恒成立，即恒成立，∴，由，可得上式显然成立；②当时，可得恒成立，即恒成立，∵，∴；③当时，可得恒成立，即恒成立，∴．综上可得，∴故的取值范围是．【点睛】解绝对值不等式的关键是通过对对变量的分类讨论，去掉绝对值后转化为不等式（组）求解，考查转化和计算能力，属于中档题．。
2019届黑龙江省哈三中等九州之巅合作体高三第三次联考数学(文)试题(解析版)
2019届黑龙江省哈三中等九州之巅合作体高三第三次联考数学（文）试题一、单选题1．若复数()i z a a =+∈R ，则a =（ ） A ．1 B ．±1 C ．2 D ．2±【答案】B【解析】根据复数的模的定义进行计算可得a 的值. 【详解】解：由题意：复数()i z a a =+∈R ， 故212a +=，1a =±， 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的模的定义，属于基础题型.2．设命题p ：x ∀∈R ，2320x x -+≤，则p ⌝为（ ）A ．0x ∃∈R ，200320x x -+≤ B ．x ∀∈R ，320x x -+> C ．0x ∃∈R ，200320x x -+>D ．x ∀∈R ，320x x -+≥【答案】C【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】命题为全称命题,命题p ：x ∀∈R ，2320x x -+≤，则￢p 为0x ∃∈R ，200320x x -+>，故选：C . 【点睛】本题考查命题的否定，对于全称命题的否定，先否定量词，再否定结论即可，属于基础题.3．已知集合{20,2x A xB x y x +⎧⎫=<==⎨⎬-⎩⎭，则A B =I （ ）A ．()1,2-B ．[)1,2-C ．[]1,2-D ．[]22-,【答案】B【解析】由题意求出集合A 与B ,由交集的定义可得A B I 的值. 【详解】解：由题意可得：{}20222x A xx x x +⎧⎫=<=-<<⎨⎬-⎩⎭， {}{}2212B x y x x x x ==-++=-≤≤，故可得：{}12A B x x ⋂=-≤<， 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题型，求出集合A 与B 进行交集运算是解题的关键.4．已知函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以为（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用函数图像，求出A ，得出函数的周期，求出ω，通过点的坐标代入方程，结合ϕ的范围求出ϕ，可得到函数的解析式. 【详解】解：由图像可得：2A =,351346124T πππ=-=,可得T π=，故22Tπω==，将点(,2)12π代入()()2sin 2f x x ϕ=+且2πϕ<，可得3πϕ=，故()f x 的解析式为2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故选：A. 【点睛】本题主要考查由()sin y A ωx φ=+的部分图像确定其解析式，熟练掌握()sin y A ωx φ=+的性质是解题的关键.5．过抛物线24y x =的焦点作一条倾斜角为6π的直线，与抛物线交于,A B 两点.则AB =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】D【解析】写出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理以及抛物线的性质，可得AB 的长. 【详解】解：由抛物线方程为：24y x =，可得2p =,焦点坐标(1,0)，准线为1x =-，由直线过抛物线焦点作且倾斜角为6π，可得直线方程为：1)y x =-， 将直线方程代入抛物线方程整理可得：21410x x -+=， 设,A B 两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 由抛物线性质可得：1214216AB x x p =++=+=，故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的简单性质，将直线方程代入抛物线方程求出12x x +是解题的关键. 6．函数()1423xx y x R -=++∈的值域为（ ）A ．[)2,+∞B ．()3,+∞C ．13,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．[)9,+∞【答案】B【解析】令2,0xt t =＞，可得()21320y t t t =++＞，求出函数的对称轴，由二次函数的性质可得函数的值域. 【详解】 解：令2,0xt t =＞，可得()21320y t t t =++＞， 可得函数的对称轴为：14t =-，故函数在(0,)t ∈+∞上单调递增， 当0t =时，min 3y =，故函数的值域为()3,+∞， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的值域，解题的关键是利用换元法进行换元，根据指数函数的值域与二次函数的性质进行求解.7．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,P Q 两点，且POQ ∆为等边三角形(其中O为原点)，则k 的值为（ ）A B C ．3或3- D ．3【答案】C【解析】求出圆的圆心坐标和半径，可得圆心到直线的距离d ，由POQ ∆为等边三角形(其中O 为原点)，可得PQ 的长，由弦长公式可得PQ =代入可得k 的值. 【详解】解：由题意可得：圆221x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为1r =， 圆心到直线的距离：d =由POQ ∆为等边三角形(其中O 为原点)，可得1PQ =,由PQ =1=213k =，k =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的有关知识，涉及点到直线的距离公式、圆的标准方程等知识，其中求出圆心到直线的距离代入弦长公式求解是解题的关键.8．已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圈)，根据图中出的尺寸(单位:cm ) ，可得这个几何体的表面积是( )2cmA ．2020π+B ．203π+C ．242+πD ．243π+【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是由一个正方体和半个圆柱构成的组合体，根据三视图的数据求出各个面的面积再相加可得答案. 【详解】解：由三视图可得该几何体是由一个正方体和半个圆柱构成的组合体，可得这个几何体的表面积为：2211522121220322πππ⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+， 故选：B. 【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及根据三视图的数据求出各个面的面积.9．在边长为2的正方形ABCD 内任取一点P ，使得2APB π∠≤的概率为（ ） A ．18π-B ．8πC ．4π D ．14π-【答案】A【解析】作图分析，观察发现点P 若恰在以O 为圆心，1为半径的半圆弧上，则2APB π∠=，若在半圆弧内12APB π∠>，在半圆弧外22AP B π∠<，由几何概型概率计算公式求得答案. 【详解】作图分析，观察发现点P 若恰在以O 为圆心，1为半径的半圆弧上，则2APB π∠=若在半圆弧内12APB π∠>，在半圆弧外22AP B π∠<故2122212228P APB πππ⋅⨯-⎛⎫∠≤==-⎪⨯⎝⎭【点睛】本题考查几何概型的面积型问题，属于中档题.10．阅读下面的程序框图，如果输入的实数x 的取值范围是(][),12,-∞+∞U ，那么输出的函数值()f x 的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．{}1,244⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意分析程序框图，可得其作用是计算分段函数：2,[2,2]()2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-=⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值，可求出当实数x 的取值范围是(][),12,-∞+∞U 函数的值，可得答案.【详解】解：由题意分析程序框图，可得其作用是计算分段函数：2,[2,2]()2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-=⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值，故当输入的实数x 的取值范围是(][),12,-∞+∞U 时， 当(,2)x ∈-∞-时，()2f x =;当[2,1]x ∈-时，()2x f x =，此时1()[,2]4f x ∈; 当2x =时，()2x f x =，此时2()24f x ==;当(2,)x ∈+∞，()2f x =;综上可得()f x 的取值范围为{}1,244⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦，故选：D. 【点睛】本题主要考查算法与程序框图的相关知识，由题意得出程序框图的作用是计算分段函数的函数值是解题的关键.11．已知函数()f x asinx bcosx =+,且4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是它的最大值，(其中,a b 为常数，且0ab ≠)，给出下列命题：①函数4f x π⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数； ②函数()f x 的图象关于2x π=对称；③函效34f π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数的最小值； ④函数()f x 的图象在y 轴右侧与直线2ay =的交点按横坐标从小到火依次记为1234,,,?··P P P P 则242P P π=，其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】将()f x 化简为())f x x ϕ=+由4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是它的最大值可得())4f x x π+=，再利用正弦函数的性质对①②③④进行判断可得答案.【详解】解：由辅助角公式可得())f x asinx bcosx x ϕ=+=+,其中tan b aϕ=，由4f π⎛⎫⎪⎝⎭是它的最大值，可得242k ππϕπ+=+，24k πϕπ=+，故()2))44f x x k x πππ=++=+，对于①，4n x f x π⎛⎫- ⎪=⎝⎭为奇函数，故①正确；对于②，由())4f x x π+=，当42x k πππ+=+时即4x k ππ=+为函数的对称轴，故可得2x π=不是函数的对称轴，故②错误；对于③，33))4442f ππππ⎛⎫-=-+=-= ⎪⎝⎭， 是函数的最小值，故③正确；对于④，由())4f x x π+=，可得其最小正周期为2π，易得24P P 的长为一个周期的长，故242P P π=，故④正确；故正确的有①③④， 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换的应用及正弦函数的图像与性质，其中求出()f x 的解析式并根据正弦函数的性质进行判断是解题的关键.12．函数()32231,20,02x x x x f x ae x ⎧++-≤≤=⎨<≤⎩，若存在实数m ，使得方程()f x m =有三个相异实根，则实数a 的范围是（ ） A ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．210,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],2-∞D ．21,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】先考虑20x -≤≤时()f x 的单调性，再就0,0a a ≤＞分别求()f x 在02x <≤的最值，结合存在实数m ，使得方程()f x m =有三个相异实根，可得实数a 的范围. 【详解】解：当20x -≤≤时，'2()666(1)f x x x x x =+=+，当21x -≤≤-时，'()0f x ≥，()f x 在[2,1]x ∈--为增函数；当10x -≤＜时，'()0f x ≤，()f x 在(1,0]x ∈-为减函数； 又()23f -=-，()12f -=，()01f =因为存在实数m ，使得方程()f x m =有三个相异实根，所以当2(]0,x ∈，()f x 的最小值小于2，()f x 的最大值大于或等于1， 当0a ＞，2(]0,x ∈时，()2a fx ae ＜＜，故221a ae ⎧⎨≥⎩＜，解得：212a e ≤＜； 当0a ≤，2(]0,x ∈时，()0f x ≤总成立，舍去；综上可得21,2a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的零点与利用导数研究函数的单调性，注意先研究不含参数的函数的单调性，再结合函数的零点个数判断另一范围上函数的性质，本题属于难题.二、填空题13．已知向量()()1,2,,3a b t =-=r r ，若//a b r r，则t =__________．【答案】32-. 【解析】根据平面向量的共线定理，列出方程可得t 的值. 【详解】解：由已知向量()()1,2,,3a b t =-=r r ，且//a b r r，所以132t ⨯=-⨯，可得32t =-， 故答案为：32-. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示与平面向量的共线定理，属于基础题型.14．等比数列{}n a 中，1351,64a a a ==g，则2019a =__________． 【答案】20182【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1351,64a a a ==g，可得2q 的值，由等比数列的通项公式可得2019a 的值. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由1351,64a a a ==g，可得2323541()64a a a a q ===g ，可得24q =，故20182100910092018201911()42a a q q =⨯=⨯==， 故答案为：20182. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的基本量的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.15．设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为______. 【答案】1-【解析】根据不等式组画可行域，根据目标函数32z x y =-即3122y x z =-12z -表示斜率为32的直线的纵截距，数形结合确定最值点，求出最值点代入目标函数求解即可，【详解】画出可行域，如图：32z x y =-即3122y x z =-， 12z -表示斜率为32的直线的纵截距， 由图可知，当直线32z x y =-过A 点时，12z -取最大，即z 取最小值，由31x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得(1,2)A ， ∴32z x y =-的最小值为31221⨯-⨯=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查线性规划问题，一般思路是根据不等式组画可行域，根据目标函数确定最值点，求出最值点代入目标函数求解即可，属于基础题.16．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.化为点(),A x y 与点(),B a b 之间距离的几何问题.结合上述观点.可得方程4=的解为__________．【答案】5±【解析】由已知可将解方程的问题转为为双曲线的点坐标问题，求出双曲线的方程，可得点(,2)x 在曲线上，可得x 的值，可得答案. 【详解】4=化简可得：4=，可得点(,0)x 到点(3,2)--，(3,2)--的距离之差的绝对值为4，故可得点(,2)x 到点(3,0)-，(3,0)-的距离之差的绝对值为4， 故可得该曲线为双曲线，且24a =，2a =，3c =，可得25b =，所以该双曲线的标准方程为：22145x y -=，由点(,2)x 在曲线上，可得24145x -=，可得x =，故答案为：5±. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及简单性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1221,4a S a =+= （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列12n n n b a +=,求{}n b 的前n 项和n T【答案】（1）12n n a +=；（2）12n n +g 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1221,4a S a =+=，可得d 的值，可得数列{}n a 的通项公式；（2）求出{}n b 的的通项公式，由错位相减法可得n T 的值. 【详解】解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由1221,4a S a =+=，可得1224a a a ++=，可得232a =，2112d a a =-=，故111(1)1(1)22n n a a n d n +=+-=+-⨯= (2)由12n n n b a +=，12n n a +=，故可得()12n n b n =+ 可得：()12223212n nT n =⨯+⨯+++... ①()23122232...12n n T n +=⨯+⨯+++ ②①-②得：()()121222...212n n n T n +-=⨯+++-+可得：()()111412412212n n n n T n n --+-=--++=-g【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法及错位相减法求数列的和，考查学生的计算能力，属于基础题型.18．棉花的优质率是以其纤维长度来街量的，纤维越长的棉花晶质越高.棉花的品质分类标准为:纤维长度小于等于25mm的为粗绒棉，纤维长度在(]25,33的为细绒棉，纤维长度大于33mm的为长绒棉，其中纤维长度在38mm以上的棉花又名“军海1号”.某采购商从新疆某一棉花基地抽测了100根棉花的纤维长度，得到数据如下图频率分布表所示：（1）若将频率作为概率，根据以上数据，能否认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的60%以上”的要求？（2）用样本估计总体，若这批榨花共有10000kg,基地提出了两种销售方案给采购商参考.方案一：不分等级卖出，每千克按13.5元计算，方案二:对10000kg棉花先分等级再销售，分级后不同等级的棉花售价如下表：从来购商的角度，请你帮他决策一下该用哪个方案.（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花,再从此6根棉花中抽取两根进行检验.求抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率.【答案】（1）可以认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的60%以上；（2）选方案一更好；（3）815 P=.【解析】（1）由题意可得长绒棉的频数（2）分别求出方案一与方案二所花的钱数，对比可得答案；（3）求出从6根棉花中抽取两根进行检验，可得总的抽取方法数与抽到的两根棉花只有一根起“军海1号”的抽取方法数，可得抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率. 【详解】解：由题意可得长绒棉的频数为：402060+=， 故6060%100P ==，故可以认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的60%以上；(2)由题意可得方案一需花费：13.510000135000⨯=元； 方案二需花费:20.021000080.3810000150.410000250.210000140800⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 所以，选方案一更好；(3) 由题意结合用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，可得抽取的长绒棉为：40644020⨯=+根，抽取的军海1号为：20624020⨯=+根，再从此6根棉花中抽取两根进行检验，可得总的抽取方法有2615C =种，其中抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的抽取方法有11428C C ⨯=种，故抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率为：815P =. 【点睛】本题主要考查分层抽样与利用古典概型计算概率，考查学生的计算能力，属于中档题. 19．如图，在五棱锥P ABCDE -中，//,//AB DE BC AE AE ⊥，平面PDE ,22460AB AE PD DE BC PDE ︒=====∠=，,（1）证明: PE CD ⊥；（2）过点D 作平行于平面PAE 的截面，与直线,,AB PB PC 分别交于点,,F G H ,求夹在该截面与平面PAE 之间的几何体体积.【答案】（1）证明见解析；（2）73.【解析】（1）由题意AE ⊥平面PDE ，可得AE PE ⊥，在PDE ∆中由余弦定理可得23PE =，可得222PE ED PD +=，可得PE ED ⊥，故PE ⊥平面ABCDE ,故PE CD ⊥；（2）P AFDE P GFDH V V V --=+，分别求出P AFDE V -与P GFDH V -代入可得答案. 【详解】（1）由题意：AE ⊥平面PDE ，可得AE PE ⊥ 在PDE ∆中，4,2,60PD ED PDE︒==∠=,由余弦定理可得：222012cos 60164242122PE PD ED PD ED =+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯=，23PE =， 易得：222PE ED PD +=，PDE ∆为直角三角形，PE ED ∴⊥， 又由AE ED E =I ,AE ⊂平面ABCDE ,DE ⊂平面ABCDE , 可得PE ⊥平面ABCDE ,故PE CD ⊥；（2）由题意可得平面PAE P 平面GFDH ,又平面PAE I 平面ABCDE AE =,平面GFDH I 平面ABCDE DF =，故可得AE DF P ,又//AF DE ,可得四边形AEDF为平行四边形，可得4DF AE ==,122AF DE AB ===,故F 为AB 的中点， 同理由平面PAE P 平面GFDH ,又平面PAE I 平面PAB AB =,平面GFDH I 平面PAB GF =，故可得PA GF P ,且G 点为PB 的中点，易得////DF BC AE ,且DF ⊂平面GFDH ，且BC ⊄平面GFDH ，故可得BC ∥平面GFDH ，由BC ⊂平面PBC ，且平面PBC I 平面=GH GFDH ,故可得：BC GH P , 在PBC ∆中，BC GH P ，G 点为PB 的中点，可得GH 为PBC ∆的中位线，1=12GH BC =,连接BE 交DF 与O 点，易得=OE OB ,在PBE ∆中，OG PE P 且1=2OG PE 由PE ⊥平面ABCDE ，可得OG ⊥平面ABCDE ，可得OG DF ⊥,故1(14)22GFDH S =+=,易得DE ⊥平面GFDH ,且平面PAE P 平面GFDH ， 故P 点到平面GFDH 的距离即为DE 的长为2，可得：118233P AFDE P GFDH V V V --=+=⨯⨯=【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，及面面平行、线面平行的性质定理与空间几何体的体积，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于难题.20．已知函数 ()()211ln a x f x x x x-=--- （1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x 和2x . 求证：()21242ln 214a f x x a+≥--【答案】（1）0y =；（2）证明见解析.【解析】（1）0a =代入()f x 对其求导，可得()'f x ，求出()1f ，()'1f 由导数的几何意义可得函数在1x =处的切线方程； （2）对()f x 求导可得,令121,1ax x a==-，可得a 的取值范围，可得求出()212442ln111a a af x x a a a+=-----，令1a t a =-，可得()4ln 2h t t t =--，可得t 的取值范围，对()h t 求导，可得其单调性和最小值，可得证明. 【详解】解：（1）将0a =代入()f x ，可得()1ln f x x x =--，对其求导可得()1'1f x x=-， 可得()()10,'10f f ==，故可得切线方程过点(1,0)且斜率为0， 可得切线方程为：0y =；（2）证明：对()f x 求导可得：()()221'a x x a f x x --+=令(),'0f x =可得121,1ax x a==-，易得函数的定义域为(0,)+∞， 故可得21ax a=-＞0且211x x ≠=，可得110,,122a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得：()212442ln111a a a f x x a a a+=----- 令1at a =-，由110,,122a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()()()0,11,,4ln 2t h t t t ∈⋃+∞=--， ()11'40,,4h t t t =-==易得()y h t =在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()1,1,1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，所以()h t 最小值为12ln 214h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故可得：()2ln21h t ≥-，即()21242ln 214a f x x a+≥--.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求函数的单调区间与极值等知识，考查学生的计算能力与综合分析问题与解决问题的能力，体现了函数思想，化归与转化的思想，属于难题.21．已知定点()2,0P ，圆22:4600M x y x ++-=，过点P 的直线1l 交圆M 于,R S 两点，过点P 作直线2//l MS 交直线MR 于Q 点， （1）求Q 点的轨迹方程E ；（2）若,,,A B C D 是曲线E 上不重合的四个点，且AC 与BD 交于点()2,0-，0AC BD =u u u r u u u rg ，求AC BD +u u u r u u u r 的取值范围. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）96,147⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）由题意可得84QM QP MP +==＞,则Q 点的轨迹是以 ,M P 点为焦点的椭圆，求出b c a 、、的值，可得Q 点的轨迹方程E ； （2）由()1知()12,0F -， 且AC BD ⊥，①当直线,AC BD 中有一条直线的斜率不存在时，14AC BD +=u u u r u u u r②当直线AC 的斜率为,0k k ≠时,其方程为: ()2y k x =+，联立直线与椭圆，可得12x x +，12x x 的值，AC u u u r 可用k 来表示，同理可得DB u u u r，故AC BD +u u u r u u u r 可用k 来表示，令21,1k t t +=>，利用函数的性质可其取值范围,综合可得答案.【详解】解：（1）由题意可得：圆22:4600M x y x ++-=，222(2)8x y ++=，可得(2,0)M -, 如图：，易得：MSR MRS QPR ∠=∠=∠,可得QP QR =，84QM QP MP +==＞,则Q 点的轨迹是以 ,M P 点为焦点的椭圆.其中24,2,12,a c b==∴=故Q 点的轨迹方程为2211612x y +=；（2）由()1知()12,0F -， 且AC BD ⊥①当直线,AC BD 中有一条直线的斜率不存在时，14AC BD +=u u u r u u u r②当直线AC 的斜率为,0k k ≠时,其方程为: ()2y k x =+由()22211612y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()2222341616480k x k x k +++-=，设()()1222,,,A x y C x y则22121222161648,36434k k x x x x k k-+=-=+=+ ()22122241134k AC k x k+∴=+-=+u u u r 同理可得：()2224143k DB k+=+u u u r，所以()()()222216813443kAC BD k k ++=++uu u r u u u r令21,1k t t +=>()()2216816896,14114131712t AC BD t t t t ⎡⎫+==∈⎪⎢-+⎣⎭+-u u u r u u u r综上，AC BD +u u u r u u u r 的取值范围96,147⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法及直线与圆的位置关系，考查学生的分析能力与计算能力，体现了转化的数学思想，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩，(t 为参数，0)απ≤<,以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求曲线2C 的直角坐标方程:（2）若曲线1C 与2C 交于,A B两点，且AB =求α的值. 【答案】（1）()()222:114C x y -+-=；（2）3πα=或23πα=【解析】（1）将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入曲线2C 的极坐标方程可得曲线2C 的直角坐标方程； （2）曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩,设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，将曲线1C 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得12,t t的值，可得124sin AB t t α=+==α的值.【详解】（1）可得曲线2C的极坐标方程为：2sin 22(sin cos )24πρθρθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入方程可得：22222x y x y +=++，化简可得()()22114x y -+-=，故2C 的直角坐标方程: ()()22114x y -+-=. （2）曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩，(t 为参数，0)απ≤<,且曲线1C 与2C 交于,A B 两点，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，将1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩代入()()22114x y -+-=，可得24sin 0t t α-=，可得120,4sin t t α==，故可得124sin AB t t α=+==sin α=， 由0απ≤<，可得3πα=或23πα=. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及简单曲线的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题.23．设函数()f x x a =-，如果不等式()1f x ≤的解集为{}02x x ≤≤ （1）求a 的值（2）当()0,1x ∈时，证明：()()1141f x f x +≥+ 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由()f x x a =-，不等式()1f x ≤的解集为{}02x x ≤≤，求出x 的取值范围，可得a 的值；（2）由（1）可得()1f x x =-，当()0,1x ∈时，化简()()111f x f x ++，利用基本不等式可得证明. 【详解】（1）由()f x x a =-，不等式()1f x ≤的解集为{}02x x ≤≤， 可得：11x a -≤-≤，11a x a -≤≤+， 故：10,12a a -=+=，则1a =；（2）由（1）可得()1f x x =-，当()0,1x ∈时()()()111111112241111x x x x f x f x x x x x x x -⎛⎫+=+=+-+=++≥+= ⎪+---⎝⎭第 21 页 共 21 页 当且仅当11x x x x -=-，即12x =时成立， 故()()1141f x f x +≥+. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法及利用基本不等式证明不等式，属于基础题型，灵活运用基本不等式是解题的关键.。
2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)
2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2}，B={0，1}，则A∪B=（）A. {1}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2.设，则=（）A. B. C. D.3.设向量=（1，2），=（x，-1），且⊥，则（-）•（3+2）=（）A. 5B. 10C. 15D. 204.若x，y满足，若z=2x-3y有最小值为-7，则z的最大值是（）A. 7B. 14C. 18D. 205.已知角α的顶点为坐标原点始边为x轴正半轴，终边过点（-1，2）则sin（α+）（）A. B. C. D.6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛．问该粮仓的高是多少？已知1斛粟的体积为2.7立方尺，1丈为10尺，则该粮仓的外接球的表面积是（）A. 平方丈B. 平方丈C. 平方丈D. 平方丈7.如图所示的程序框图，若输入的a的值为15，则输出的结果是（）A. 84B. 120C. 162D. 2108.已知函数f（x）=（x2-a）e x，若曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为4e，则曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线的倾斜角为（）A. 0B.C.D.9.已知函数f（x）=cos（2x+θ）（|θ|≤）在[-，-]上单调递增，且f（）≤m，则实数m的取值范围为（）A. [，+∞）B. [，+∞）C. [1，+∞）D. [，+∞）10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AA1，CC1，BC的中点，则直线B1G与平面B1EDF所成角的正弦值为（）A. B. C. D.11.若函数f（x）=在区间[m，+∞）上是减函数，且函数y=f（x）有2个零点，则实数m的取值范围是（）A. [1，2）B. [e，+∞）C. [1，e]D. [1，e2）12.已知双曲线=1的离心率为c，若点（2，）与点（e，2）都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=±2x二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m万，各县人口占比如图，其中乙县人口为60万，则去年年底甲县的人口为万______14.若抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的标准方程为______15.已知f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x＜1时，f（x）=，若f（-）=-，则f（1）+f（）等于______．16.在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=，sin B+cos B=1，b2+c2-bc=a2，则△ABC的面积为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+3n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=n（2a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．18.齐齐哈尔医学院大一学生甲、乙丙三人为了了解昼夜温差大小与息感冒人数多少之间的关系，他们到气象局与校卫生所抄录了1至6月份每月15号的昼夜温差值与因息感冒而就诊的人数，得到如表格：日期1月15日2月15日3月15日4月15日5月15日昼夜温差101113128x（℃）就诊人数2225292616甲、乙、丙三人：先从这五组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验（Ⅰ）记选取的2组数据相隔的月份数相邻的概率；（Ⅱ）已知选取的是1月与5月的两组数据．（i）请根据2至4月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；（ii）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问这三人所得线性回归方程是否理想？参考公式：，）19.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面SBD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，SB=SD，且点E，F分别是SA，SD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥SB；（Ⅱ）在SC上是否存在点M，使平面MBD∥平面AEF，若存在，求出的值：若不存在，说明理由．20.已知椭圈C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+2与椭圆C有两个交点D，E，且O是坐标原点，当△ODE面积最大时，求k值．21.已知函数f（x）=-x3+x2，g（x）=a ln x．（Ⅰ）若y=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是减函数，求a的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=对任意给定的正实数a，曲线y=h（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．22.极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设P坐标为（-2，0），l与C的公共点为A，B，求|PA|•|PB|的值．23.已知a＞0，b＞0，c＞0，=1．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：根据题意，集合A={1，2}，B={0，1}，则A∪B={0，1，2}；故选：D．根据题意，由并集的定义计算可得答案．本题考查集合并集的计算，关键是掌握集合并集的定义，属于基础题．2.答案：D解析：解：==-i，则=+i，故选：D．利用复数的运算法则、共轭复数的定义．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：向量=（1，2），=（x，-1），由⊥，得•=x-2=0，解得x=2；∴=（2，-1），-=（-1，3），3+2=（7，4），∴（-）•（3+2）=-1×7+3×4=5．故选：A．根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，计算即可．本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示，由得A（a，3a）函数在点A（a，3a）处目标函数取得最小值：z=2×a-3×3a=-7，解得a=1．此时解得B（1，-6），所以z的最大值是：2+18=20．故选：D．先画出满足约束条件的平面区域，判断最优解的坐标，点的坐标代入目标函数，求解a，然后求解目标函数的最大值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．5.答案：A解析：解：由三角函数的定义可得sinα==，cosα=，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=（-）=．故选：A．根据三角函数的定义求出sinα，cosα，再根据和角正弦公式可得．本题考查了两角和的三角函数，属基础题．6.答案：C解析：解：由题意画出图形，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=3，AB=4.5，V=10000×2.7×10-3=27，粮仓的高AA1=（丈）．长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径为（2R）2==22+32+4.52=33.25=，∴外接球的表面积为4πR2=π（平方丈），故选：C．由题意画出图形，求出长方体的高，再由对角线长公式求得长方体外接球的直径，得到半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查长方体的体积的求法，考查长方体外接球表面积的求法，是基础题．7.答案：D解析：解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后是计算S=3×4+3×6+3×8+3×10+3×12+3×14+3×16=210；则输出的结果是S=210．故选：D．模拟程序框图的运行过程知该程序是计算等差数列前n项和的应用问题，计算即可．本题考查了利用算法与程序框图计算等差数列前n项和的应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．8.答案：A解析：解：函数f（x）=（x2-a）e x，可得：f′（x）=（x2+2x-a）e x，因为f′（1）=4e，所以：（3-a）e=4e，解得a=-1，f′（x）=（x2+2x+1）e x，∴f′（-1）=0；曲线y=f（x）在点（-1，f（1））处的切线的斜率为0．曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线的倾斜角为θ，tanθ=0，解得θ=0故选：A．求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解在点（-1，f（-1））处的切线的倾斜角．本题考查切线方程的求法，函数导数的应用，考查计算能力．9.答案：C解析：解：∵x∈[-，-，∴2x+，∵函数f（x）在[-，-]上单调递增，∴，k∈Z，∴，k∈Z，∵|θ|≤，∴当k=0时，符合题意，∴，∴当=0时，f（）=cos（）的最大值为1，∵f（）≤m在[-，-]上恒成立，∴m≥f（）max=1，∴m的取值范围为：[1，+∞）．故选：C．根据函数f（x）在[-，-]上单调递增，求出θ的范围，然后求出f（）的最大值即可．本题考查了三角函数的图象与性质，关键是θ的取值范围，属中档题．10.答案：B解析：解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则D（0，0，0），E（2，0，1），F（0，2，1），B1（2，2，2），G（1，2，0），=（2，0，1），=（0，2，1），=（-1，0，-2），设平面B1EDF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，-2），设直线B1G与平面B1EDF所成角为θ，则直线B1G与平面B1EDF所成角的正弦值为：sinθ===．故选：B．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线B1G与平面B1EDF所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.答案：A解析：解：函数f（x）=在区间[m，+∞）上是减函数，可得m|m|≥1-log2m，即为m2+log2m≥1，由h（x）=x2+log2x递增，且h（1）=1，可得m≥1，函数y=f（x）有2个零点，由x|x|=0，即x=0成立，由1-log2x=0，可得x=2＞m，则m的范围是[1，2）．故选：A．由题意可得m|m|≥1-log2m，即为m2+log2m≥1，解得m≥1，再由零点的定义，解方程即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性和零点问题，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．12.答案：B解析：解：双曲线=1的离心率为e，若点（2，）与点（e，2）都在双曲线C上，可得-=1，-=1，a2+b2=c2，e=，解得a=1，b=，c=，双曲线的渐近线方程为：y=±x，故选：B．通过点的坐标在双曲线上，结合a，b，c和离心率公式，列出方程组，转化求解即可．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率公式的应用，考查方程思想和运算能力，是基本知识的考查．13.答案：208解析：解：由图表可得：去年年底甲县的人口为=208万，故答案为208．先对图表信息的分析，再进行简单的合情推理可得解．本题考查了对图表信息的分析及进行简单的合情推理，属中档题．14.答案：（x-1）2+y2=4解析：解：因为抛物线y2=4x的焦点为圆心即（1，0），与抛物线的准线相切的圆的半径为：2．所求圆的方程为：（x-1）2+y2=4．故答案为：（x-1）2+y2=4．求出抛物线的焦点坐标，焦点到准线的距离就是所求圆的半径，然后写出圆的方程即可．本题考查圆的方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．15.答案：解析：解：∵f（x）是周期为2的奇函数，且当0≤x＜1时，f（x）=；∴，即：4b-5a=4①；且，即：a=0，带入①得，b=1；∴0≤x＜1时，；∴；又f（x+2）=f（x）；∴f（-1+2）=f（-1）；∴-f（1）=f（1）；∴f（1）=0；∴．故答案为：．根据条件可得出，从而整理可得4b-5a=4，又根据f（0）=0即可求出a=0，从而求出b=1，从而得出0≤x＜1时，，从而可求出，而根据f（x+2）=f（x）即可求出f（1）=0，从而得出．考查奇函数和周期函数的定义，以及奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，已知函数求值的方法．16.答案：解析：解：∵b2+c2-bc=a2，∴由余弦定理cos A===，∴由A∈（0，π），可得：A=，∵sin B+cos B=1，可得：2sin（B+）=1，可得：sin（B+）=，∵B∈（0，π），可得：B+∈（，），∴B+=，解得B=，可得C=π-B-C=，∴c=a=，∴S△ABC===．故答案为：．由已知利用余弦定理可求cos A=，结合范围A∈（0，π），可得A=，由已知可求sin（B+）=，结合B的范围可求B的值，利用三角形内角和定理可求C的值，进而可求c的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.答案：解：（Ⅰ）a1=1，a n+1=a n+3n（n∈N*）．可得a n-a n-1=3n-1，即有a n=a1+（a2-a1）+…+（a n-a n-1）=1+3+9+…+3n-1==；（Ⅱ）b n=n（2a n+1）=n•3n，前n项和T n=1•3+2•9+…+n•3n，3T n=1•9+2•27+…+n•3n+1，相减可得-2T n=3+9+27+…+3n-n•3n+1=-n•3n+1，化简可得T n=．解析：（Ⅰ）由题意可得a n-a n-1=3n-1，由a n=a1+（a2-a1）+…+（a n-a n-1），运用等比数列的求和公式，计算可得所通项公式；（Ⅱ）求得b n=n（2a n+1）=n•3n，由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列恒等式和等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）五组数据用月份数字代替，从中选取2组数据选法有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，记选取的2组数据月份相邻的为事件M，则M发生又4种情况，则P（M）=；（Ⅱ）（i）由已知数据求得，，由根式求得，，∴y关于x的线性回归方程为；（ii）当x=10时，，＜2．∴这三人所得线性回归方程不理想．解析：（Ⅰ）五组数据用月份数字代替，求出从中选取2组数据选法，再求出选取的2组数据月份相邻的事件数，则概率可求；（Ⅱ）（i）由已知数据求得，，则线性回归方程可求；（ii）在线性回归方程中取x=10，求得，由＜2，可得这三人所得线性回归方程不理想．本题考查随机事件概率的求法，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．19.答案：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∵平面SBD⊥平面ABCD，平面SBD∩平面ABCD=BD，∴AC⊥平面SBD∵SB⊂平面SBD，故AC⊥SB（Ⅱ）存在点M设AC∩BD=O，则O为正方形ABCD的中心，连接SO交EF于点G，连AG，CG，取CG的中点H，连OH并延长交SC于点M∵O是AC的中点，∴OH∥AG，即OM∥AG又EF∥BD，OM，BD⊄平面AEF，AG，EF⊂平面AEF，∴OM∥平面AEF，BD∥平面AEF又OM∩BD=O，OM．，BD⊂平面MBD∴平面MBD∥平面AEF在△SOC中，作GN∥HM交SC于N，则N是SM中点，M是CN中点，∴解析：利用已知与线面垂直的定义，直线与平面平行判定定理与性质得出结论，本题主要考查线面垂直的定义，直线与平面平行判定定理与性质．属于中档题20.答案：解：（Ⅰ）由题意，，解得．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）由，得（2+3k2）x2+12kx+6=0．设D（x1，y1），E（x2，y2），则△=144k2-24（2+3k2）＞0，即k2＞．，，|DE|==．O到DE的距离d=．∴△ODE的面积S=．令，则S=．当且仅当t=，即t=2时上式取“=”，此时，k=．解析：（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求弦长，再由点到直线距离公式求出O代直线的距离，写出三角形面积，利用换元法与基本不等式求最值，同时求得k 值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法与基本不等式求最值，是中档题．21.答案：解：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）=-x3+x2-a ln x，y′=-3x2+2x-，∵y=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是递减函数，∴-3x2+2x-≤0在（0，+∞）上恒成立，即a≥-3x3+2x2在（0，+∞）上恒成立，∵x=时y=-3x2+2x2取得最大值，令M（x）=-3x3+2x2，x＞0，则M′（x）=-9x2+4x=x（4-9x），∴0＜x＜时，M′（x）＞0；x＞时，M′（x）＜0，∴x=时，M（x）取得最大值M（）=-3（）3+2×（）2=，∴a≥；（Ⅱ）假设曲线y=h（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在x轴的两侧，不妨设P（t，h （t）），（t＞0），则Q（-t，t3-t2），（t≠1）．∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴．∴原问题等价于方程-t2+h（t）（t3+t2）=0（t＞0，t≠1）有实根．当0＜t＜1时，方程可化为-t2+（-t2-t2）（t3-t2）=0⇒t4-t2+1=0．令m（t）=t4-t2+1，0＜t＜1，则m′（t）=4t3-2t=2t（2t2-1），可得m（t）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴，可得此时方程无解．当t＞1时，方程-t2+a ln t•（t3-t2）=0，⇒，令G（T）=（t+1）ln t，（t＞1），G′（t）=ln t-+1，（t＞1）．显然G′（t）＞0，∴G（t）在区间（1，+∞）递增，∴G（t）＞G（1）=0．∴，综上，对任意给定的正实数a，曲线y=h（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在y轴上．解析：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）=-x3+x2-a ln x，只需y′=-3x2+2x-≤0即可，（Ⅱ）设P（t，h（t）），（t＞0），则Q（-t，t3-t2），（t≠1）．原问题等价于方程-t2+h（t）（t3+t2）=0（t＞0，t≠1）有实根．当0＜t＜1时，方程无解；当t＞1时，方程-t2+a ln t•（t3-t2）=0有解，可得a的范围．本题考查了函数的单调性，考查了分段函数的存在性问题，属于中档题．22.答案：解：（Ⅰ）由ρ=2sin（θ+）=2sinθ+2cosθ，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴x2+y2=2y+2x，即（x-1）2+（y-1）2=2，∴C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2．（Ⅱ）代入（x-1）2+（y-1）2=2并整理得t2-t+8=0，设点A，B的坐标对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=8，得|PA||PB|=|t1t2|=8．解析：（Ⅰ）根据和角的正弦公式以及极坐标与直角坐标的互化公式可得C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程，根据参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：证明：（I）∵=1，≥3，当且仅当=时取等号，∴≤，即abc≥27×6，∴≥=9．（II）∵=（）（）≥（•+•+•）2=（++）2=6，∴．解析：（I）根据基本不等式证明；（II）不等式左侧乘（），根据柯西不等式得出结论．本题考查了基本不等式，柯西不等式在不等式证明中的应用，属于中档题．。