随机过程复习题
随机过程复习题
第一章 1． 填空若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则()1EX P '=(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2证明:(1)因为()0kkk P s p s∞==∑，则()11k kk P s kp s∞-='=∑，令1s →，得()11kk E X P kp ∞='==∑ 。
（2）()11k kk P s kp s∞-='=∑，()()221k k k P s k k p s∞-=''=-∑()2222=k k k k k k p s kp s ∞--=-∑令1s →，得()()()222112P 1=1k k k kp kp EX p EX p EX p ∞='''-=--+=-∑()()2=P 1+1EX p '''∴()()()()222P 1+11DX EX EX p p ''''∴=-=-⎡⎤⎣⎦ 证毕3． 设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n nC p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n,()00k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--===+∑∑== 由性质得 ()(),0n t ditEX i inp dtp q ge ==-=-=+()()()22"22220n t iti npq d i p q g pne EX dt===-=+-+()22DX =EX EX =npq -4．设()0,1XN ，求X 的特征函数()g t解 dx xt g eitx ⎰∞+∞--=2221)(π由于e exx xixitx 2222=-，且〈+∞⎰∞+∞--dx xeitx 2221π，故由积分号下求导公式有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==-∞+∞-∞+∞--⎰⎰de e ixeg x i dx xt ixt itx 22'22221)(ππdx xt xieeitx itx ⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞---=222222ππ)(t tg -=于是得微分方程g ’(t)+tg(t)=0 解得方程的通解为eCtt g +-=22)(由于g(0)=1,所以C=0， 于是得X 的特征函数为e tt g 22)(-=5． 设随机变量()2,YN μσ，求Y 的特征函数是()Y g t .解：设()0,1XN ,则由例1.3知X 的特征函数 ett g 22)(-=令Y X σμ=+,则()2,YN μσ，由前面的命题知Y 的特征函数是()()eg e g tt t t i Xxi Y222σσμμ-==，6.()12,,,n X X X p ii 设是相互独立的随机变量，且X b n ，i=1,2,,n, ,b n p ⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑nn ii i=1i=1证明Y=X()()()()()()()111,,ini ii n it n n n n it it i i p t pe q t t pe q pe q b n p ====+∑=∏=∏+=+⎛⎫⎪⎝⎭∑∑∑ii i i X n i Y X i=1n n i i i=1i=1证因为X b n ，所以其特征函数为g i=1,2,,n,由特征函数的性质知，Y=X 的特征函数为g g 再由特征函数的唯一性定理知Y=X7． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且(),,...2,1,~n i iiX=λπ证明⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ证 因为(),~λπiiX所以其特征函数为()n i e t Xe g itii,...2,1,1==⎪⎭⎫⎝⎛-λ有特征函数的性质知，∑==ni iXY 1的特征函数为()()e eg g ni iti iti ie e t X t ni n i Y∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏∏11111λλ 再由唯一性定理知⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ。
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及标准答案汇总
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。
解：由定义，有：)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D（2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。
证明：我们要证明：n t t t <<<≤∀Λ210，有})()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P Λ形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P ΛΛΛΛΛ因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j Λ相互独立即可。
随机过程复习资料.doc
丄20 25 1. 设｛2V(r)J>0｝是一更新过程，已知P ｛X. =1｝ = 1/3, P ｛X i =2｝ = 2/3,则 P ｛N(3) = 2｝=§ 2.若Markov 链只存在一个类，则称它是不可约的，若状态同属一类,则d ① 与d(j)的大小关系d ⑴=d(j) (<,>,=)丄 423.设Markov 链的状态空间S = (1,2,3),转移矩阵P=-4..设｛B(f),宀 0｝是标准 Brown 运动，则 P(B(2)<0) = |.题目：X(/) = sin",U ~U[0,2刃.试判断X(/)为宽平稳还是严平稳过程.解：EX (t) = E(sin Ut) - ~ sin utdu = 01 ® 1= E(sinUtsinUs) = 一 I ——[cos+ 51) - cos u(t - s)]du2龙力 21 —,t = s =<2 0,心s故｛X(t)｝为宽平稳过程。
又sinU 与sin2U 的分布函数不同，故｛X (t)｝不是严平稳的 题目：MaMov 链的状态空间S = {1,2,3,4}，—步转移概率矩阵‘％0 o '1 0 0 0 0 % % 0%0 丿试对其状态进行分类，确定哪些是常返态,并确定其周期解：1.由转移概率矩阵知：10 2,并且有3 ^2,2^3； 4 T 2,2/4； 4宀3,3“4;故状态空间可以分为：S = {1,2}U ⑶U{4}.2.由转移概率矩阵知：几〉0(心1,2),所以状态1和2都是非周期的，又10 2故状态2也是非周期的.从状态4出发不可能返回到状态4,即集合{zz:z/>l,/^>0}为空集，故状态4的周期无穷大./11=z/H ,,=/H n +/r+/1<13,+-+/r+-n=l=i + 1 +0+---+0+•••2 2=1所以状态1为常返态，又1^-2,故2是常返态. ......... 4分+8f— f（"）= f ⑴ + f ⑵f ⑶+ …丿33 厶丿33 丿33 丁丿33 丁丿33 丁n-12=—+ 0 + 0 +•••3 厶13所以状态3为非常返态.+00f— N' f（"）—f ⑴ + f ⑵+ …J 44 丿44 J 44 ' J 44 ~n=l= 0 + 0 —=0<1故状态3也是非常返态.题目：将两个红球4个白球分别放入甲乙两个盒子中.每次从两个盒子中各取一球交换，以X(“)记第n次交换后甲盒中的红球数.1.说明｛X(n),n> 0｝是一Markov链并求转移矩阵P ；2.试证(X(n), n = 0,1,2, •••｝是遍历的；3.求它的极限分布.解：1.设X(“)为"次交换后甲盒中的红球数，则易见｛X(“)｝是马尔可夫链，状态空间为S =｛0,1,2｝；n 1 02 2转移矩阵为p = 3 4 18 8 80 1 0丿2.山于5 = ｛0,1,2｝有限，且S中状态互通，即不可约的，故｛X(")｝是正常返的，又状态1为非周期的，故1是遍历的，所以｛X®)｝是遍历链.题目：> 0｝为标准Brow”运动，验证｛X(/) = (1 -^―)｝, 0 V / V1｝是Brow”桥.1-t解：因为E[X(t)] = (l-t)E B(—) -01 — t皿⑴］n咕)")吩所以｛X(/)｝是Gauss过程，均值为零，协方差为5(1-0 ,即为Brown。
随机过程复习题07
1、填空题 、
（1）设随机变量 X 服从正态分布 N(0,4)，则其特征函 ） ， 数 f X (t ) 为 ；
n 存在， （2）若随机变量 X 的 n 阶矩 E ( X ) 存在，则 X 的特征 ）
函数 g(t)可微分 n 次，且当 k ≤ n 时， 可微分 关系为
（3） ） 设 则 X 的特征函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ g ( t1 , t 2 , L , t n ) =
；
( pijn ) 与首 （19）对一齐次马氏链，其任意 n 步转移概率 ）对一齐次马氏链，
f ij(l ) 之间的关系为 达概率
。
是均方连续的平稳过程， （20）设 { X ( t ), −∞ < t < ∞ } 是均方连续的平稳过程，则 ） 它的均值具有各态历经性的充要条件为 ；
(21) 、 设 平 稳 随 机 过 程 { X ( t ), −∞ < t < ∞ } 的 相 关 函 数 RX (τ ) = 6cos(ω 0τ + π ) ，则 X(t)的平均功率为 的平均功率为 ；
f ij( n ) =
；
f ij(n ) 定义表达式为 定义表达式为
（14）对一齐次马氏链，其首达概率 ）对一齐次马氏链， f ij(n ) = ；
lin X m − X n = m , n→∞
（15）设随机序列 { X n , n ≥ 1} 均方收敛于随机变量 X，则 ） ， ；
为马尔可夫链， 为常返态， （16）设 { X n , n ∈ T } 为马尔可夫链，已知 i 为常返态，其 ） 平均返回时间为 a，周期为 d，则 ， ，
14、已知平稳随机过程 X (t ) 的谱密度函数为 、
(完整)随机过程复习试题及答案,推荐文档
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
证明：当12n 0t t t t <<<<<L 时，1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x )≤L =n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n P(X(t)x X(t )=x )≤3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p pl l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
证明：{}(n)ij k IP P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U ={}k I P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈∑ ={}{}k IP X(l)=k X(0)=i P X(n)=j X(l)=k,X(0)=i ∈∑g =(l)(n-l)ik kjPP ∑，其意义为n 步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。
4.设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，{}k Y ,k=1,2,L 是一列独立同分布随机变量，且与{}N(t),t 0≥独立，令N(t)k k=1X(t)=Y ,t 0≥∑，证明：若21E(Y <)∞，则[]{}1E X(t)tE Y λ=。
应用随机过程期末复习题
1、设在底层乘电梯的人数服从均值5λ=的泊松分布，又设此楼共有N+1层。
每一个乘客在每一层楼要求停下来离开是等可能的，而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的。
求在所有乘客都走出电梯之前，该电梯停止次数的期望值。
2、设齐次马氏链{(),0,1,2,}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =，状态转移矩阵1102211124412033P=（1）画出状态转移图；（2）讨论其遍历性；（3）求平稳分布；（4）计算下列概率： i ）{(4)3|(1)1,(2)1};P X X X === ii ）{(2)1,(3)2|(1)1}P X X X ===.3、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达率为λ，若已知在第一小时内有两个顾客抵达银行，问：（1）此两个顾客均在最初20分钟内抵达银行的概率是多少？ （2）至少有一个顾客在最初20分钟抵达银行的概率又是多少？4、设2()X t At Bt C ++，其中A , B , C 是相互独立的标准正态随机变量，讨论随机过程{(),}X t t −∞<<+∞的均方连续、均方可积和均方可导性.5、设有实随机过程{(),}X t t −∞<<+∞，加上到一短时间的时间平均器上作它的输入，如下图所示，它的输出为1(),()()d tt TY t Y t X u u T −=∫，其中t 为输出信号的观测时刻，T 为平均器采用的积分时间间隔。
若()cos X t A t =，A 是（0, 1）内均匀分布的随机变量。
（1）求输入过程的均值和相关函数，问输入过程是否平稳？ （2）证明输出过程()Y t 的表示式为sin 2()cos()22T T Y t A t T=⋅−.（3）证明输出的均值为sin 12[()]cos()222T T E Y t t T =−，输出相关函数为12(,)R t t = 2sin 1232T T12cos()cos()22T Tt t −−，问输出是否为平稳过程？6、甲、乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，和局的概率为R ，1p q r ++=，设每局比赛后胜者记“1”，分负者记“-1”分，和局记“0”分。
随机过程试题与答案
随机过程试题与答案《随机过程》试题一、简答题（每小题4分，共16分） 1、φX t =E e jtX2、acos ωt +π3 ,acos ωt ?π4 . (任意两条即可)3、N t 为参数λ的poison 过程，{X n }是独立同分布的随机变量序列，且与N t相互独立，则称Y t = X n N tn=1为复合poison 过程。
4、二重积分 R X s,t dsdt ba b a 存在且有限。
二、（本题10分）解：（1）P N 12 ?N 8 =0 =e ?12. (5分)（2）f T t =3e ?3t t >00t ≤0(10分)三、（本题12分）解：(1){0,3}是正常返的闭集，{1，4}是正常返的闭集，{2}是非常返的。
（4分）（2）对于{0，3}和{1，4}的转移概率矩阵分别为P 1= 0.60.40.40.6 ，P 2= 0.60.40.20.8 (6分)记z 1 =(z 1 1,z 2 1)，z 2 =(z 1 2,z 2 2)，求解方程组z 1 =z 1 P 1， z 1 1 +z 2 1=1z 2 =z 2 P 2, z 1 2 +z 2 2=1得z 1 = 12,12 , z 2 = 13,23 。
则平稳分布为（10分）π= λ1,λ2,0,λ1,2λ2(12分)四、（本题13分）解：（1）Q = ?λλμ?(λ+μ) 0 0λ 00 μ0 0 ?(λ+μ)λμ?μ （4分）前进方程dP(t)dt =P(t)Q （6分）后退方程dP(t)dt=QP(t) （8分）（2）由πQ =0，π=1, π=(π0,π1,π2,π3) 解得平稳分布为π0=1?λμ1? λμ4,π1=λμ 1?λμ1? λμ4,π2=λμ2 1?λμ1? λμ4,π3=λμ3 1?λμ1? λμ4(13分) 五、（本题13分）解：（1）对任意的t 1,t 2,?,t n ∈R ，Z t 1 Z t 2 ?Z t n = t 12t 22?t n2 2t 12t 2?2t n X Y + ?2?2?2?2因X,Y 是相互独立的正态分布，所以 XY 是正态分布，又线性变换的性质可知Z t 1 ,Z t 2 ,?,Z t n T 服从多元正态分布，故Z t 是正态过程。
随机过程复习题答案
随机过程复习题答案
1. 随机过程的定义是什么？
答：随机过程是一组随机变量的集合，这些随机变量是时间或空间的函数，用来描述系统随时间或空间的演变。
2. 什么是马尔可夫链？
答：马尔可夫链是一种随机过程，其中未来状态的概率分布仅依赖于当前状态，而与之前的状态无关。
3. 描述随机游走的特点。
答：随机游走是一种马尔可夫过程，其中每一步移动到相邻状态的概率是固定的，并且每一步都是独立的。
4. 什么是平稳过程？
答：平稳过程是指其统计特性不随时间变化的过程，即过程的均值、方差和自相关函数不随时间变化。
5. 如何定义一个过程的遍历性质？
答：一个过程的遍历性质是指该过程的样本函数的统计特性与该过程的总体统计特性相一致。
6. 什么是鞅？
答：鞅是一种随机过程，其中给定当前和过去信息，未来某个时间点的期望值等于当前的值。
7. 描述泊松过程的基本性质。
答：泊松过程是一种计数过程，具有独立增量、平稳增量和泊松分布的到达时间间隔等基本性质。
8. 什么是布朗运动？
答：布朗运动是一种连续时间随机过程，其增量服从正态分布，且具有独立性和平稳性。
9. 如何确定一个过程是否是高斯过程？
答：如果一个过程的所有有限维分布都是多元正态分布，则该过程是高斯过程。
10. 什么是随机过程的谱分析？
答：随机过程的谱分析是研究过程功率谱密度的方法，它描述了过程在不同频率上的功率分布。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。
答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。
2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。
答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。
其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。
三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。
计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。
答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。
答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。
随机过程复习题二及其答案
随机过程复习题二及其答案一、选择题1. 随机过程的定义是什么？A. 一系列随机变量的集合B. 一系列确定变量的集合C. 一个随机变量D. 一个确定变量2. 什么是马尔可夫链？A. 一个具有时间序列的随机过程B. 一个具有空间序列的随机过程C. 一个具有独立同分布的随机过程D. 一个具有时间依赖性的随机过程3. 随机过程的期望值定义为：A. \( E[X(t)] \)B. \( E[X] \)C. \( \int_{-\infty}^{\infty} x f(x,t) \, dx \)D. \( \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i \)4. 以下哪个不是随机过程的属性？A. 期望B. 方差C. 协方差D. 导数5. 什么是平稳随机过程？A. 随机过程的期望随时间变化B. 随机过程的方差随时间变化C. 随机过程的统计特性不随时间变化D. 随机过程的协方差随时间变化答案：1. A2. A3. A4. D5. C二、简答题1. 解释什么是遍历定理，并给出其在随机过程分析中的应用。
2. 描述什么是泊松过程，并解释其主要特点。
3. 简述什么是布朗运动，并解释其在金融领域中的应用。
三、计算题1. 给定一个随机过程 \( X(t) \)，其期望 \( E[X(t)] = t \)，方差 \( Var[X(t)] = t^2 \)，计算 \( E[X^2(t)] \)。
2. 假设一个马尔可夫链 \( \{X_n\} \) 有状态空间 \( S = \{1, 2, 3\} \)，转移概率矩阵 \( P \) 为：\[P = \begin{bmatrix}0.1 & 0.8 & 0.1 \\0.5 & 0.3 & 0.2 \\0.2 & 0.6 & 0.2\end{bmatrix}\]计算状态 1 在第 3 步的概率。
四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用，并举例说明。
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3、（10分）某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson 过程，已知商店9：00开门，试求： （1）在开门半小时中，无顾客到来的概率； （2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。
3、解：设顾客到来过程为{N(t), t>=0}，依题意N(t)是参数为λ的Poisson 过程。
（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：1422102P N e e -⨯-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为102N ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，在未来半小时仍无顾客到来可表示为()1102N N ⎧⎫⎛⎫-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，从而所求概率为：()1412211(1)0|02211(1)0|00221(1)02P N N N P N N N N P N N e e ⎛⎫-⨯- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、（15分）设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。
若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为p ij （p ij 表示从销售状态i 经过一个月后转为销售状态j 的概率），一步转移矩阵为：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61326195913102121P 试对经过长时间后的销售状况进行分析。
4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且p ii >0，从而所有状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。
设平稳分布为π={π1，π2，π3}，求解方程组：π=πP, π1+π2+π3=1即：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++=++1619532912161312132133223211321ππππππππππππππ 得：236,239,238321===πππ 即极限分布为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=236,239,238π 由计算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最小。
3简述Poisson 过程的随机分流定理答：设t N 为强度为λ的poisson 过程，如果把其相应的指数流看成顾客流，用与此指数流相互独立的概率p,把每个到达的顾客，归入第一类，而以概率1-p 把他归入第二类。
对i=1,2,记 ()i t N 为t 前到达的第i 类顾客数，那么(1)(2){:0},{:0}t t N t N t ≥≥分别为强度为p λ与（1-p ）λ的poisson 过程，而且这两个过程相互独立。
4简述Markov 链与Markov 性质的概念答：如果随机变量是离散的，而且对于0n ∀≥及任意状态01111001,,,,,(|,,,)(|)n n n n n n n i j i i p j i i i p j i ξξξξξξ-+--+======= 都有 ，该随机序列为Markov 链，该对应的性质为Markov 性质。
5. 简述Markov 状态分解定理答：(1) Markov 链的状态空间S 可惟一分解为 12S T H H =⋃⋃⋃ ，其中T 为暂态的全体，而i H 为等价常返类。
（2）若Markov 链的初分布集中在某个常返类k H 上，则此Markov 链概率为1地永远在此常返类中，也就是说，它也可以看成状态空间为k H 的不可约Markov 链。
7． 什么是随机过程，随机序列？答：设T 为[0，+∞）或（-∞，+∞），依赖于t(t ∈T)的一族随机变量（或随机向量）{t ξ}通称为随机过程，t 称为时间。
当T 为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。
8 .什么是时齐的独立增量过程？答：称随机过程{t ξ：t ≥0}为独立增量过程，如果对于01,0,n n t t t ∀∀≤<<< 起始随机变量及其后的增量s t s ξξ+-是相互独立的随机变量组；如果s t s ξξ+-的分布不依赖于s, 则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。
4．设随机过程()cos 2,(,),X t X t t =∈-∞+∞X 是标准正态分布的随机变量。
试求数学期望()t E X ，方差()t D X ，相关函数12(,)X R t t ，协方差12(,)X C t t 。
解：因为2()c o X t X t =∈-∞，（1） 所以()(tE X E X ==⨯（2）22()(cos2)cos 2()cos 2,t D X D X t t D X t ==⨯=（2）21212(,)[()()][cos2cos2]cos 2,X R t t E X t X t E X t X t t ==⨯=（2）212121212(,)(,)()()(,)cos 2.X x x C t t R t t E t E t R t t t =-==2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。
解：设{}N (t ),t 0≥是顾客到达数的泊松过程，2λ=，故{}k -4(4)P N(2)=k ek!=，则{}{}{}{}{}-3P N (283≤==+++3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。
求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。
由题意可知，每个顾客的消费额Y 是服从参数为s 的指数分布，由指数分布的性质可知：21)(,1)(s Y D s Y E ===，故222)(sY E =，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期望)(1808)8(Y E m X ⨯⨯=；一天内商场营业额的方差)(1808)8(22Y E X ⨯⨯=σ。
6、（15分）设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。
【解答】[]()()[][]222()()()()()()()()()()()()()()()(1)E N t N t s E N t N t s N t N t E N t N t s N t E N t E N t E N t s N t E N t t s t t t t s λλλλλλλ+=+-+⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+-+⎣⎦=⋅++=++2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][22b btV bsV stV E +++= 2b st +=2.4 设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ωω+=，其中ω为常数，B A ,是相互独立且服从正态分布),0(2σN 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。
解 因B A ,独立，),0(~2σN A ，),0(~2σN B 所以，2][][,0][][σ====B D A D B E A E 均值 )]sin()cos([)]([)(t B t A E t X E t m X ωω+== 0][)sin(][)cos(=+=B E t A E t ωω 相关函数[]))sin()cos())(sin()cos(()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++==[]1221212212sin cos sin cos sin sin cos cos t t AB t t AB t t B t t A E ωωωωωωωω+++=][sin sin ][cos cos 221221B E t t A E t t ωωωω+= )sin sin cos (cos 21212t t t t ωωωωσ+= )(cos 212t t -=ωσ2 独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p ，对于2≥n ，令32,1,0或=n X ，这些值分别对应于第n-1次和第n 次抛掷的结果为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），求马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的一步和二步转移概率矩阵。
解 对应状态为 正，正）(0↔，↔1（正，反），↔2（反，正），↔3（反，反）p P p ==}{(00（正，正）正，正），q P p ==}{(01（正，正）正，反） 0}{(20==（正，正）反，正）P p （不可能事件） 0}{(30==（正，正）反，反）P p （不可能事件）同理可得下面概率0}{(10==（正，反）正，正）P p ，0}{(11==（正，反）正，反）P p p P p ==}{(12（正，反）反，正），q P p ==}{(13（正，反）反，反） p P p ==}{(20（反，正）正，正），q P p ==}{(21（反，正）正，反） 0}{(22==（反，正）反，正）P p ，0}{(23==（反，正）反，反）P p 0}{(30==（反，反）正，正）P p ，0}{(31==（反，反）正，反）P p p P p ==}{(32（反，反）反，正），q P p ==}{(33（反，反）反，反）一步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=q p q p q p q p00000000P 二步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=q pq p q p q p 00000000P(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛q pq p q p q p 00000000⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22222222q pq pqpq pq pq p q pq pqp q pq pq p8 某商品六年共24个季度销售记录如下表（状态1—畅销，状态2—滞销）以频率估计概率，求（1）销售状态的初始分布，（2）三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态的分布。
解 状态1的个数为15个，状态2的个数为9个 （1）所以，销售状态的初始分布为 ⎪⎭⎫⎝⎛=2492415)0(P T ()275.0625.0= （2）求一步转移概率状态11→共有7个，状态21→共有7个， 状态12→共有7个，状态22→共有2个， 所以，21147,211471211====p p ，92,972221==p p 一步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=92972121P ， ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=92972121P (2)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛92972121⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=16271162913613362392922197979221979221212197212121三步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=92972121162711629136133623P (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+=38.062.04.06.029161103291618136482596483899162271324919162771324919362672239367137223 三步转移后的销售状态分布为()()0.390.610.380.620.40.60.3750.625P )0(P )3(P 3T T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==）（ 6.1 设有随机过程)cos()(Θ+=t t X ω，其中0>ω为常数，Θ是在区间)2,0(π上服从均匀分布的随机变量，问)(t X 是否为平稳过程。