随机过程习题

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和
Φ是相互独立的随机变量， 3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为
1
λ
的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}
X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从Γ分布。

7．设{}n X ,n 0
≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，
n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)
j i ij i I
p (n)p p ∈=⋅∑。

8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}
(n)
ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥
(n)ij ij n=1
f f ∞
=∑，若ii f 1
<，称状态i 为非常返的。

三．计算题（每题10分，共50分）
1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：cos t H
X(t)=t T π⎧⎨⎩
,t (-,+)∈∞∞，设1
p
(H )=p (T )=2
，
求（1）{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。

解：（1）样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞； （2）当t=0时，{}{}1
P X(0)=0P X(0)=12
==
， 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩；同理0
x<-11F(x;1)=1x<12x 11
⎧⎪⎪
-≤⎨⎪≥⎪⎩
3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。

又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。

设
0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00
011011p p 0.70.3P=p p 0.40.6⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦，于是(2)
0.610.39P
PP=0.520.48⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2)
0.57490.4251P P P 0.56680.4332⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4)
00P 0.5749=。

4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。

写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。

解：一步转移概率矩阵010111P=333010⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
，
111333
(2)271
199911133
3,⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
P P (2)ij p 由>0知，此链有遍历性；(),,ππππ123设极限分布=，
1
1
5.设有四个状态{}I=0123，，，的马氏链，它的一步转移概率矩阵1100221
1002
2
P=11
11444
40
1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（１）画出状态转移图；
（２）对状态进行分类；
（３）对状态空间I 进行分解。

解：（1）图略；
（2）33303132p 1,p p p =而，，均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记{}1C =3；0，1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记{}2C =01，，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达12C C ，中的状态，而12C C ，中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记{}D=2。

（3）状态空间I 可分解为：12E=D C C ⋃⋃
3、（10分）某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson 过程，已知商店9：00开门，试求：
（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；
（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。

二、（12分）设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数
1(,)2cos X t t ω=，,2cos )ω,(2t t X -=t -∞<<+∞ 且1()0.8P ω=，2()0.2P ω=，分别求：
（1）一维分布函数);0(x F 和);4
π
(x F ；
（2）二维分布函数(0,;,)4
F x y π
四、（12分）设在[0, t )时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是5.2=λ（人/分）的泊松过程，试求：
（1）在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率；
（2）第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率； （3）相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。

七、（16分）已知齐次马氏链{(),0,1,2,}X n n = 的状态空间为{1,2,3}E =，状态转移矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=414
30414121313131
P （1）画出概率转移图；
（2）求二步转移矩阵及转移概率)
4(13p ； （3）此链是否为遍历的，试求其平稳分布。

1、（10分）有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}和{η(t )，-∞<t <∞}，设ξ(t )=A sin(ω t +Θ)，
η(t )=B sin(ω t +Θ+φ), 其中A ，B ，ω，φ为实常数，Θ均匀分布于[0，2π]，
试求R ξη(s ,t )。