实验三 线性系统稳态误差的研究
系统的稳态误差为
r (t ) t
e ss
1
r (t ) t
e ss
1
2
Kp
0型 I型 II型
Kv
0
Ka
0 0
ess
1
1
2
1 K
K
p
KvKp1来自 1Ka
K
0 0
Kv
K
0
Ka
三、系统稳定误差的计算
综述，系统的稳态误差与输入信号形式有 关，对于一个结构确定的系统，如果给定 输入形式不同，其稳态误差就不同；同时 稳态误差与系统结构也密切相关，如果给 定信号一定，不同结构的系统稳态误差也 不同。 按静态误差系数法计算稳态误差的方法， 是基于拉氏变换的终值定理，只能使用阶 跃、斜坡及加速度或他们的组合，如果输 入是其他任意时间函数，以上结论则不能 成立。
ess
特征方程为D( s) 1 Gk ( s) an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 a1s a0 0
n n 1 2 a s a s ... a s 等式两边同除以 n n 1 2 a1s a0 1 Gk ( s) 0 1 0 则 n n 1 2 an s an 1s ... a2 s 得 a1s a0 Gk ( s) 该系统为Ⅱ型系统 an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 开环增益为 a0 a1s a0 K 2 a2 n2 n 3 s (an s an 1s ... a2 )
ess
1、先求取系统的开环传递函数 Gk ( s)
Gk (s)
C(s)
设开环传递函数为 Gk ( s) M ( s) 即，开环传递函数 N ( s) 与闭环传递函数 M (s) 有相同的零点 Gk ( s ) M (s) N (s) GB ( s ) a s a0 1 Gk ( s ) 1 M ( s ) N ( s ) M ( s ) 得 Gk ( s ) 1 ? N (s)
线性系统的稳态误差(精)
3.6线性系统的稳态误差一个稳定的系统在典型外作用下经过一段时间后就会进入稳态，控制系统的稳态精度是其重要的技术指标。
稳态误差必须在允许范围之内，控制系统才有使用价值。
例如，工业加热炉的炉温误差超过限度就会影响产品质量，轧钢机的辊距误差超过限度就轧不出合格的钢材，导弹的跟踪误差若超过允许的限度就不能用于实战，等等。
控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量，是系统的稳态性能指标。
由于系统自身的结构参数、外作用的类型（控制量或扰动量）以及外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）不同，控制系统的稳态输出不可能在任意情况下都与输入量（希望的输出）一致，因而会产生原理性稳态误差。
此外，系统中存在的不灵敏区、间隙、零漂等非线性因素也会造成附加的稳态误差。
控制系统设计的任务之一，就是尽量减小系统的稳态误差。
对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。
通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统。
本节主要讨论线性系统原理性稳态误差的计算方法，包括计算稳态误差的一般方法，静态误差系数法和动态误差系数法。
3.6.1 误差与稳态误差控制系统结构图一般可用图3-29（a）的形式表示，经过等效变换可以化成图3-29（b）的形式。
系统的误差通常有两种定义方法：按输入端定义和按输出端定义。
⑴按输入端定义的误差，即把偏差定义为误差，Hsss=（3-25）E-RC)()(s())(⑵按输出端定义的误差5758)()()()(s C s H s R s E -=' （3-26）按输入端定义的误差)(s E （即偏差）通常是可测量的，有一定的物理意义，但其误差的理论含义不十分明显；按输出端定义的误差)(s E '是“希望输出”)(s R '与实际输出)(s C 之差，比较接近误差的理论意义，但它通常不可测量，只有数学意义。
两种误差定义之间存在如下关系：)()()(s H s E s E =' (3-27) 对单位反馈系统而言，上述两种定义是一致的。
自控原理实验指导书
实验二： 二阶系统阶跃响应分析
实验学时：2 实验类型：设计 实验要求：必修
7
一、实验目的： 1、学会用电子模拟装置(以集成运算放大器为主体)构成一个闭环模拟二阶系统的方法。 2、掌握测试二阶系统时域性能指标的方法。 3、通过实验进一步加深对二阶系统特性的认识和理解以及系统参数对系统特性的影响。 4、掌握各种仪器的使用。 二、实验仪器： 1、电子模拟装置 2、超低频双踪示波器 3、超低频信号发生器 4、万用表 三、实验原理： 二阶系统的原理方框图如图 2-1 所示 1台 1台 1台 1只 自制 型号 DF4313D 型号 JY8112D 型号 DT-8 3 0
R2
C(s) K R (s)
r(t)
R1 C(t)
模拟电路如图 1-1 所示:
C(s) K R (s)
R1＝51K
K
R2 R1
R2＝51K、510K
R0
图1--1
R0＝270K
由于输入信号 r(t)是从运算放大器的反相端输入，所以输出信号在相位上正好相反，传递 函数中出现负号。有时为了观测方便，也可以在输出端串一个反相器如图 1-2 所示。
510K 510K 信号发生器 模拟电路 Y1
R0
Y2
4
图 1--2 从输入端加入阶跃信号，观测不同的比例系数Ｋ时的输出波形，并作记录。 (绘制曲线 时，应将输入、输出信号绘制于同一坐标系中，以下记录波形时都这样处理)。 ２、积分(I)环节 微分方程
C
T
dc( t ) r(t ) d(t )
传递函数
阶 跃
理 想
6
响 应 波 形 T 环 节 R1= （R2=510K） C=1uf R1= PI R1= C= PD R2= R1= C= 实 测
3-3 第三节 系统误差分析与计算
第三节 系统误差分析与计算对于一个控制系统来说，不但要求其是稳定的，而且还要求其动态特性要好。
但这还不够，因为系统在输入作用下的过渡过程和稳态过程组成了时间响应的全部内容，因而研究系统的稳态过程也是相当重要的。
评定稳态过程的质量指标为稳态误差，是系统控制准确度的一种量度，是一项重要的性能指标。
控制系统设计的课题之一，就是如何使系统的稳态误差小于某个允许值。
一、误差与稳态误差1、误差误差——严格说就是被控对象的实际输出信号与理论输出信号之差。
工程上有两种误差定义。
①按输出端定义的误差含义：误差为系统希望输出量与系统实际输出量之差。
即： ()()()r e t c t c t =−或： ()()()r E s C s C s =−一般来说，这种误差信号直观实用，但是常无法进行测量，具有明显的数学意义，工程实际中相对前一种误差较少使用。
②按输入端定义的误差。
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111E s R s B s R s H s C s R s H s s R s R s H s s G s H s R s G s H s R s G s H s =−=−=−Φ⎡⎤=−Φ⎣⎦⎡⎤=−⋅⋅⎢⎥+⎣⎦=⋅+有时也将()()()11e s G s H s Φ=+称为误差传递函数。
或者，误差表示为时间的函数：()()()e t r t b t =−这种形式的误差可以进行测量，具有一定的物理意义。
2、稳态误差在时域中误差是时间t 的函数()e t 。
一个稳定的闭环控制系统，在外加输入作用下，经过一段时间，其瞬态响应分量衰减到可以忽略的程度，其输出信号()c t 趋于稳态分量，同样其误差信号()ss c t ()e t 也将趋于一个稳态的。
()ss e t 稳态误差——当时间当t 时，→∞()e t 的稳态分量称为稳态误差，既稳定系统误差的终值。
记为()ss e t ()。
3.6 稳态误差
Er (s) e (s)R(s)
单位负反馈时:误差Er
(s)
偏差
(s)=
1
1 G(s)
R(s)
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扰动作用下的误差En(s)
控制器
N(s)
R(s) G1((ss))
C(s)
G2(s(s)) •
H (s)
系统对扰动期望输出为零，扰动产生的输出端误差信号为
第三章 线性系统时域分析法
3.6 线性系统的稳态误差
3.6 线性系统的稳态误差
控制系统的性能
动态性能 稳态性能
稳态误差 ess
3.6 线性系统的稳态误差
• 由参考输入信号r(t)和扰动信号f(t)引起的稳态误差又称原理性 误差。 另外，制造误差、参数变动、非线性因数都可引起稳态误差。
本节只讨论系统原理性误差。 • 无差系统:在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统有差
误差：一般采用在输出端定义的误差，即期望输出与 实际输出之差
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被控量的期望值Cr(t)
R(s)
(s) G(s)
C(s)
可知，框图中，偏差不为0 时，偏差产生作用，使得输出 量趋于期望值
H (s)
当 (s)
0时，C(s)
Cr (s)
1 H (s)
R(s)
可得对应等效框图中，误差位置：
R(s)
1
Cr (s) E(s)
H (s)
H (s)
C(s)
G(s)
误差和偏差的关系
E(s) Cr (s) C(s) 1 R(s) C(s)
自控原理实验报告
一、实验目的1. 理解并掌握自动控制原理的基本概念和基本分析方法。
2. 掌握典型环节的数学模型及其在控制系统中的应用。
3. 熟悉控制系统的时间响应和频率响应分析方法。
4. 培养实验操作技能和数据处理能力。
二、实验原理自动控制原理是研究控制系统动态性能和稳定性的一门学科。
本实验主要涉及以下几个方面：1. 典型环节：比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节等。
2. 控制系统：开环控制系统和闭环控制系统。
3. 时间响应：阶跃响应、斜坡响应、正弦响应等。
4. 频率响应：幅频特性、相频特性等。
三、实验内容1. 典型环节的阶跃响应- 比例环节- 积分环节- 比例积分环节- 比例微分环节- 比例积分微分环节2. 典型环节的频率响应- 幅频特性- 相频特性3. 二阶系统的阶跃响应- 上升时间- 调节时间- 超调量- 峰值时间4. 线性系统的稳态误差分析- 偶然误差- 稳态误差四、实验步骤1. 典型环节的阶跃响应- 搭建比例环节、积分环节、比例积分环节、比例微分环节、比例积分微分环节的实验电路。
- 使用示波器观察并记录各个环节的阶跃响应曲线。
- 分析并比较各个环节的阶跃响应曲线，得出结论。
2. 典型环节的频率响应- 搭建比例环节、积分环节、比例积分环节、比例微分环节、比例积分微分环节的实验电路。
- 使用频率响应分析仪测量各个环节的幅频特性和相频特性。
- 分析并比较各个环节的频率响应特性，得出结论。
3. 二阶系统的阶跃响应- 搭建二阶系统的实验电路。
- 使用示波器观察并记录二阶系统的阶跃响应曲线。
- 计算并分析二阶系统的上升时间、调节时间、超调量、峰值时间等性能指标。
4. 线性系统的稳态误差分析- 搭建线性系统的实验电路。
- 使用示波器观察并记录系统的稳态响应曲线。
- 计算并分析系统的稳态误差。
五、实验数据记录与分析1. 典型环节的阶跃响应- 比例环节：K=1，阶跃响应曲线如图1所示。
- 积分环节：K=1，阶跃响应曲线如图2所示。
线性系统的稳态误差计算
G( s) K S ( S 2 bS C )
p 1 p 2 b C 4 2 p 2 C 2 p K 0.5C K 2 b 3
因为 ess 按定义
1 2 Kr
s 0
Kv
K 0.5, K 0.5C C
令r (t ) Rt 2 / 2，R 常量，R(s) R / s3。
sR(s) sR / s3 R R R ess lim lim lim 2 2 lim 2 s 0 1 G( s) H ( s ) s 0 1 G( s ) H ( s ) s 0 s s G ( s ) H (s ) s 0 s G (s ) H (s ) Ka
系统稳态误差计算通式则可表示为
ess
1 lim s R ( s )
s 0
sR( s) ess lim sE ( s) lim s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
K lim s
s 0
系统型别 e ss 与 K 开环增益有关 R ( s ) 输入信号
def
E ( s) 1 R(s) 1 H ( s)G( s)
E ( s ) e ( s ) R( s ) R( s ) 1 H ( s)G( s)
e(t ) L1[e (s)R(s)] ets (t ) ess (t )
瞬态分量
稳态分量
E ( s ) e ( s ) R( s )
要求对于阶跃作用下不存 在稳态误差，则必须选用 Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统
4.斜坡输入作用下的稳态误差和静态速度误差系数
r (t ) Rt，R 常量，R(s) R / s 2。
《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算
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实验三 线性系统稳态误差的研究
一、实验目的
1. 了解不同典型输入信号对于同一个系统所产生的稳态误差。
2．了解一个典型输入信号对不同类型系统所产生的稳态误差。
3．研究系统的开环增益K 对稳态误差的影响。
二、实验设备
1．THBCC-1型 信号与系统·控制理论及计算机控制技术实验平台 2．PC 机1台(含上位机软件) 37针通信线1根 3．双踪慢扫描示波器1台(可选)
三、实验内容
1. 观测0型二阶系统的单位阶跃和斜坡响应，并测出它们的稳态误差。
2．观测Ⅰ型二阶系统的单位阶跃和斜坡响应，并测出它们的稳态误差。
3．观测Ⅱ型二阶系统的单位斜坡和抛物线响应，并测出它们的稳态误差。
四、实验原理
下图为控制系统的方框图：
该系统的误差为E(S)的表达式为
G(S)
1R(S)E(S)+=
式中G(S)和H(S)分别为系统前向通道和反馈通道中的传递函数。
由上式可知，系统的误差不仅与其结构参数有关，而且也与其输入信号R(S)的大小有关。
本实验就是研究系统的稳态误差与上述因素间的关系。
有关0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统跟踪不同的输入信号时稳态误差的理论计算及其实验参考模拟电路，请参见附录。
五、实验步骤
1．利用实验平台上的模拟电路单元,设计(具体可参考本实验附录中的图3-2，观测波形时在输出端可以加入反相器进行观测)一个由两个惯性环节组成的0型二阶闭环系统的模拟电路。
待检查电路接线无误后,接通实验平台的电源总开关，并开启±5V ，±15V 直流稳压电源。
2．利用示波器（慢扫描示波器或虚拟示波器）观测0型二阶模拟电路的阶跃特性，并测
出其稳态误差。
3．利用示波器观测0型二阶模拟电路的斜坡响应曲线，据此确定其稳态误差。
4．参考实验步骤1、2、3，,设计(具体可参考本实验附录中的图3-4，观测波形时在输出端可以加入反相器进行观测)一个由一个积分环节和一个惯性环节组成的Ⅰ型二阶闭环系统的模拟电路。
并用示波器观测该系统的阶跃特性和斜坡特性，并分别测出其稳态误差。
5．参考实验步骤1、2、3，,设计(具体可参考本实验附录中的图3-6，观测波形时在输出端可以加入反相器进行观测)一个由两个积分环节和一个比例微分环节组成的Ⅱ型二阶闭环系统的模拟电路。
并用示波器观测该系统的斜坡特性和抛物线特性，并分别测出其稳态误差。
注意：1. 以上实验步骤2、3、4、5中的具体操作方法，请参阅“实验一”中的实验步骤3。
2．本实验所用的阶跃信号、斜坡信号可由实验平台的“函数信号发生器”、或由上位机软件的“信号发生器”或VBS脚本编辑器编程产生，但抛物线信号必须由上位机软件的“信号发生器”或VBS脚本编辑器编程产生。
上位机软件的“信号发生器”使用：打开信号发生器的界面选择相应的波形和需要的参数后点ON即可，上位机软件的“信号发生器”或VBS脚本编辑器编程由DA1输出。
六、实验报告要求
1．画出0型二阶系统的方框图和模拟电路图，并由实验测得系统在单位阶跃和单位斜坡信号输入时的稳态误差。
2．画出Ⅰ型二阶系统的方框图和模拟电路图，并由实验测得系统在单位阶跃和单位斜坡信号输入时的稳态误差。
3．画出Ⅱ型二阶系统的方框图和模拟电路图，并由实验测得系统在单位斜坡和单位抛物线函数作用下的稳态误差。
七、实验思考题
1．为什么0型系统不能跟踪斜坡输入信号？
2．为什么0型系统在阶跃信号输入时一定有误差存在？
3．为使系统的稳态误差减小，系统的开环增益应取大些还是小些？
4．解释系统的动态性能和稳态精度对开环增益K的要求是相矛盾的，在控制工程中如何解决这对矛盾？
八、附录
1．0型二阶系统
0型二阶系统的方框图和模拟电路图分别为图3-1和图3-2所示。
图3-1 0型二阶系统的方框图
图3-2 0型二阶系统的模拟电路图 1) 单位阶跃输入 因 G(S)
1R(S)E(S)+=
所以 0.3S 12
0.1S)0.2S)(1(10.1S)0.2S)(1(1S lim e 0
s ss =⨯+++++⨯
=→
2) 单位斜坡输入 ∞=⨯
+++++⨯
=→2
s ss S
12
0.1S)0.2S)(1
(10.1S)0.2S)(1(1S lim e
说明0型系统不能跟踪斜坡输入信号，而对于单位阶跃有稳态误差。
实验波形分别如图3-3中a 、b 所示，其中图b 中R 为单位斜坡输入信号，C 为输出信号。
图3-3 0型对于单位阶跃和单位斜坡输入时的响应曲线 2．Ⅰ型二阶系统
图3-4和图3-5分别为Ⅰ型二阶系统的方框图和模拟电路图
图3-4 Ⅰ型二阶系统的方框图
图3-5 Ⅰ型二阶系统的模拟电路图
1) 单位阶跃输入 因 S
1100.1S)S(10.1S)S(1G(S)
1R(S)E(S)⨯+++=
+=
所以 0S 110
0.1S)S(10.1S)S(1S lim e 0
s ss =⨯+++⨯
=→
2) 单位斜坡输入 0.1S
110
0.1S)S(10.1S)S(1S lim e 2
s ss =⨯
+++⨯
=→
在单位阶跃输入时Ⅰ型系统稳态误差为零，而对于单位斜坡输入时，Ⅰ型系统稳态误差为1.0。
3．Ⅱ型二阶系统
图3-6和图3-7分别为Ⅱ型二阶系统的方框图和模拟电路图
图3-6 Ⅱ型二阶系统的方框图
图3-7 Ⅱ型二阶系统的模拟电路图 1) 单位斜坡输入 因 2
2
2
S
10.47S)
10(1S S
G(S)
1R(S)E(S)⨯
++=
+=
所以 0S
10.47S)
10(1S S
S lim e 2
2
2
s ss =⨯
++⨯
=→
2) 单位抛物线输入 0.1S
10.47S)
10(1S S
S lim e 3
2
2
s ss =⨯
++⨯
=→
在单位斜坡输入时Ⅱ型系统稳态误差为零，而对于单位抛物线输入时，Ⅱ型系统稳态误差为1.0。