高三数学必修5复习不等式单元检测(附答案)
新人教必修五第三章不等式单元综合测试(含答案)
新人教必修五第三章不等式单元综合测试（含答案）新人教必修五第三不等式单元综合测试（含答案）一、选择题：1、若，且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．．D．2、函数的定义域为（）A．B．．D．3、已知，则（）A．B．．D．4、不等式的解集为（）A．B．．D．、已知等比数列的各项均为正数，公比，设，，则与的大小关系是（）A．B．．D．无法确定6、已知正数、满足，则的最小值是（）Ａ．18Ｂ．16．8D．107、下列命题中正确的是( )A．当且时B．当，．当，的最小值为D．当时，无最大值8、设直角三角形两直角边的长分别为a和b，斜边长为，斜边上的高为h，则和的大小关系是( )Ａ．Ｂ．．D．不能确定9、在约束条下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（）A．B．．D．10、若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．．D．或11、某商品以进价的2倍销售，由于市场变化，该商品销售过程中经过了两次降价，第二次降价的百分率是第一次的两倍，两次降价的销售价仍不低于进价的％，则第一次降价的百分率最大为（）A 10％B 1％20％D 2％12、在使成立的所有常数中，把的最大值叫做的“下确界”，例如,则故是的下确界，那么（其中，且不全为的下确界是（）A．２B．．４D．二、填空题13、设满足且则的最大值是___________14、已知变量满足约束条，若目标函数仅在点处取得最大值，则的取值范围为___________1、设，且，函数有最小值,则不等式的解集为___________16、某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_______三、解答题17、已知, 都是正数，并且，求证：18、关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围19、已知正数满足,求的最小值有如下解法：解：∵且∴，∴判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．20、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和0%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过18万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？21、已知函数，当时，；当时，。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》检测(答案解析)
一、选择题1．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，则()222x y +-的最小值为（ ）A ．12B ．45C ．92D ．4192．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．63．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．34．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ） A ．16B ．25C ．36D ．496．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．12-C ．2D ．-57．在各项均为正数的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，7S =14，则2614t a a =+的最小值为（ ） A ．9B ．94C ．52D ．28．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．6549．不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，则a+b 的值是（ ） A ．10 B ．﹣10 C ．14 D ．﹣14 10．设a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ，则（ ） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a≥bD ．a≤b11．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >12．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．13二、填空题131x x +x =______. 14．若实数m 和n 满足242329231m m n n m n ⨯-⋅+⨯=++，则23m n +的取值范围为______．15．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___．16．已知,x y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_____.17．已知点(3,3A ，O 是坐标原点，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA 在OP 上的投影，则z 的取值范围是__________.18．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．19．对一切R θ∈，213sin cos 2m m θθ->恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 20．当x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩时，|2|x y a -≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题21．已知函数2()31f x ax x =+-；（1）若()0f x <的解集为(1,)b -，求()f x 的零点， （2）若()f x 在(1,1)-内恰有1个零点，求a 的取值范围．22．定义两个函数的关系：函数()m x ，()n x 的定义域为A ，B ，若对任意的1x A ∈，总存在2x B ∈，使得()()12m x n x =，我们就称函数()m x 为()n x 的“子函数”.设,0a b >，已知函数()f x=23(1)b a b+--，22||11()1822||x g x x a a x x =+-++. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 是()g x 的“子函数”，求22a b ab+的最大值.23．近年来，某市在旅游业方面抓品牌创建，推进养生休闲度假旅游产品升级，其景区成功创建国家5A 级旅游景区填补了该片区的空白，某投资人看到该市旅游发展的大好前景后，打算在该市投资甲、乙两个旅游项目，根据市场前期调查， 甲、乙两个旅游项目五年后可能的最大盈利率分别为01000和0080，可能的最大亏损率分别为0040和0020，投资人计划投资金额不超过5000万，要求确保亏损不四超过1200万，问投资人对两个项目各投资多少万元，才能使五年后可能的盈利最大？ 24．已知函数2()()f x x ax a R =-∈. （1）若2a =，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若[1,)x ∈+∞时，2()2f x x ≥--恒成立，求a 的取值范围.25．已知关于x 的不等式23240x ax -++>. （1）当2a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为()4,m -，求实数a ，m 的值.26．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加mol/L y ，y 与x 的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩.根据经验，当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用.（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6mol/L ，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】作出可行域，利用()222x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，由图可知min0213222PM--==，（点M 到直线BC 的距离） ∴()222x y +-的最小值是23292⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：（1）22()()x a y b -+-，两点间的距离公式；（2）y bx a--：两点连线斜率， 2．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y xy +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.3．D解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z y x =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).4．A解析：A 【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域，由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ， 220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方， 由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min244z a ⎛⎫==+， 根据题意可得maxmin21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.5．A解析：A 【分析】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值. 【详解】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--得到：416416416(1)16111111a a ab a a a +=+=+-≥=------ 当且仅当：4=16(1)1a a --即32a =时取等号.故选：A 【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.6．A解析：A 【解析】作出不等式组11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图，得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫---⎪⎝⎭，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．B解析：B 【分析】根据等差数列的性质和前n 项和公式求得26a a +，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意172677()7()1422a a a a S ++===，∴264a a +=， ∴26262614114()()4t a a a a a a =+=++6622262644119(5)(52)444a a a a a a a a =++≥+⋅=，当且仅当62264a a a a =，即622a a =时等号成立． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．8．A解析：A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n +的最小值. 【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=. 因为1161116116116()()(17)(17)5555n m n mm n m n m n m n m n+=++=++≥⋅+=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以116m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.9．D解析：D 【解析】试题分析：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax 2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a 、b 即可． 解：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是即方程ax 2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．10．C解析：C 【解析】试题分析：作差法化简a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0． 解：∵a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ， ∴a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0， ∴a≥b ，故选C ．考点：不等式比较大小．11．D解析：D 【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 选项，由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；D 选项，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为,a b 不同时为0，所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，故正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.12．C解析：C 【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.二、填空题13．4【分析】将所给式子变形为然后利用基本不等式求解即可【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】关键点睛：此题的解题关键是将所给式子变形为从而满足基本不等式成立的条件最后计算求解解析：4【分析】 1111x x x x =+-++，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】 11x ≥， ()911211615111x x x x x x =-≥+⋅=-=+++， 11x x =+4x =时，等号成立. 故答案为：4.【点睛】 111x x +，从而满足基本不等式成立的条件，最后计算求解. 14．【分析】设方程化简为得到再结合基本不等式得到根据一元二次不等式不等式的解法即可求解【详解】设因为可得所以解得或又由当且仅当时即时等号成立整理得解得所以即则的取值范围为故答案为：【点睛】方法点睛：设利 解析：(1,2].【分析】设23m n t =+，方程化简为221523m n t t --=⨯⨯，得到2210t t -->，再结合基本不等式，得到23440t t --≤，根据一元二次不等式不等式的解法，即可求解.【详解】设23m n t =+，因为242329231m m n n m n ⨯-⋅+⨯=++，可得221523m n t t --=⨯⨯，所以2210t t -->，解得1t >或12t <-， 又由222235215235()24m nm n t t t +--=⨯⨯≤⨯=， 当且仅当23m n =时，即0m n ==时等号成立，整理得23440t t --≤，解得223t -≤≤， 所以12t <≤，即则23m n +的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2].【点睛】方法点睛：设23m n t =+，利用换元法把方程化简为221523m n t t --=⨯⨯，根据指数函数的性质和基本不等式，得出不等式2210t t -->和23440t t --≤是解答的关键. 15．1【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求最值即可【详解】由z=x-2y 得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线的截距最小此时z 最大由得A （10）代入目标函数z=解析：1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由z=x-2y 得1122y x z =-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线11 22y x z=-，，1122y x z=-，的截距最小，此时z最大，由2222x yx y-⎧⎨+⎩＝＝，得A（1，0）．代入目标函数z=x-2y，得z=1-2×0=1，故答案为1．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．16．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划解析：2【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y=-，则y x z=-，则z表示直线在y轴的截距的相反数，根据图像知当直线过点()2,0时，即2x=，0y=时，z有最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.17．【分析】作出可行域根据投影的定义得数形结合求出的取值范围即求z的取值范围【详解】作出可行域如图所示∴当时；当时的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影属于中档题解析：[]3,3-【分析】作出可行域.根据投影的定义得23cos z AOP =∠，数形结合求出AOP ∠的取值范围，即求z 的取值范围.【详解】作出可行域，如图所示 cos 3OA OPz OA AOP AOP OP ⋅==⋅∠=∠.5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，∴当6AOP π∠=时，max 2336z π==；当56AOP π∠=时，min 52336z π==-，z ∴的取值范围是[]3,3-. 故答案为：[]3,3-.【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影，属于中档题. 18．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然 解析：16【分析】作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域，如图所示：由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过A 时，z 最大由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =． 故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.19．【分析】求出的最大值然后解相应的不等式即可得【详解】由得或故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题根据参数出现的位置首先求出三角式的最大值然后只要解不等式即可得这实质上就是不等式恒成立问题中的分离 解析：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出sin cos θθ的最大值，然后解相应的不等式即可得． 【详解】11sin cos sin 222θθθ=≤， 由211322m m ->得13m <-或12m >． 故答案为：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，根据参数出现的位置，首先求出三角式sin cos θθ的最大值，然后只要解不等式即可得．这实质上就是不等式恒成立问题中的分离参数法，只是本题中不等式已经参变分离了．20．【分析】先根据条件作出可行域然后求出的取值范围由恒成立即即可得出答案【详解】由满足作出可行域如图设则表示直线在轴上的截距的相反数则由得当直线过点时有最大值4当直线过点时有最小值所以所以故答案为：【点解析：)4，⎡+∞⎣ 【分析】先根据条件作出可行域，然后求出2z x y =-的取值范围，由|2|x y a -≤恒成立，即max |2|x y a -≤，即可得出答案.【详解】由x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩，作出可行域，如图.设2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线2y x z =-在y 轴上的截距的相反数.则()()1,0,1,3A C ,由27010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得()3,2B . 当直线2y x z =-过点()3,2B时，z 有最大值4，当直线2y x z =-过点()1,3C 时，z 有最小值-1. 所以|2|4x y -≤，所以4a ≤故答案为：[)4+∞，. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.三、解答题21．（1）函数()f x 的零点为11,4-；（2）9[2,4]4a ⎧⎫∈-⋃-⎨⎬⎩⎭． 【分析】（1）由不等式解集与一元二次方程的根的关系得方程的根，由方程根的定义可求参数值，然后解方程可得零点．（2）可利用一元二次方程根的分布分类求解．注意分类0a =和0a ≠，在0a ≠时，()0f x =在(1,1)-上有一个解，还有1-是一个解，1是一个解分别求出另一解判断，另外0∆=时进行检验．从而可得结论．【详解】（1）依题意得方程2310ax x +-=的两根为-1，b ，将1x =-代入方程得4a =，于是方程2310ax x +-=可化为24310x x +-=，解得1x =-或14x =． 所以函数()f x 的零点为11,4-． （2）因为函数2()31f x ax x =+-在(1,1)-内恰有1个零点，所以该函数图象在(1,1)-内与x 轴只有一个公共点．（i ）当0a =时，由()31=0f x x =-，得1=(1,1)3x ∈-，故0a =满足题意；（ii ）当0a ≠时，①当函数()f x 的图象在x 轴两侧时，则由(1)(1)(4)(2)0f f a a -=-+<，解得24a -<<，此时24a -<<且0a ≠，满足题意当2a =-时，1(1,1)2x =∈-，满足题意； 当4a =时，1(1,1)4x =∈-，满足题意． ②当函数()f x 的图象在x 轴同侧时，则由23-4(1)0a ∆=⨯⨯-=， 解得94a =-． 由29()31=04f x x x =+--即2912+4=0x x -解得()21,13x =∈-， 故94a =-，满足题意． 综上所述，a 的取值范围是9[2,4]4⎧⎫-⋃-⎨⎬⎩⎭．【点睛】易错点睛：本题考查一元二次不等式的解集、一元二次方程的根、二次函数的图象之间的关系，掌握三个“二次”的关系是解题关键．利用二次函数图象可得一元二次方程根的分布的知识．要注意根的分布结论都是在开区间(,)a b 有解，而实际解题时还要分类讨论a 或者b 是方程根的情形，否则可能漏解．22．（1）减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞；（2）18.【分析】（1）根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解；（2）先求得函数()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭，利用基本不等式，求得函数()g x 的值域为116,)[a -+∞，根据题意，得到2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数233()1b f x b +=-有意义， 则满足2430x x -+≥，解得1x ≤或3x ≥，即定义域为{|1x x ≤或3}x ≥，又由函数243y x x =-+在减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 的减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞.（2）由函数233()1b f x b +=--，可得()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭， 211111()||||20422016||2||2g x x x x a x a a ⎛⎫⎛⎫=+++-≥+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1||||x x =时，即1x =±，等号成立， 所以()g x 的值域为116,)[a-+∞， 因为()f x 是()g x 的“子函数，所以2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞， 所以233116b a b a+--≥-，即13316a b a b +++≤， 又13(3)()103()b a a b a b a b++=++，221331316(3)6422a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫⎛⎫++≤≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭， 当且仅当1338a b a b+=+=时取“=”，即735 a-=，35b+=或735a+=，35b-=时，等号成立，所以103()64b aa b++≤，即2218a b b aab a b+=+≤所以22a bab+的最大值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.23．甲乙两项目投资额分别为1000万元和4000万元【解析】试题分析：设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y万元.根据已知条件可列出可行域为5000{0.40.212000,0x yx yx y+≤+≤≥≥，目标函数为0.8z x y=+，画出可行域，根据图像可知目标函数在点()1000,4000处取得最大值.试题设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y万元5000{0.40.212000,0x yx yx y+≤+≤≥≥求0.8z x y=+最大值如图作出可行域当目标函数结果点()1000,4000A时，0.8z x y =+取得最大值为4200 万元，此时对甲乙两项目投资额分别为1000 万元和4000 万元盈利最大.24．（1）{|1x x ≤-或3}x ≥；（2）(,4]-∞.【解析】试题分析：（1）先对不等式移项并因式分解得()()310x x -+≥，再根据不等号方向得不等式解集，（2）先化简不等式，并分离12a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，转化为求对应函数最值：()min a h x ≤，其中()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式求()h x 最值，即得a 的取值范围.试题（1）若()2,3a f x =≥即()()2230,310x x x x --≥-+≥ 所以原不等式的解集为{|1x x ≤-或3}x ≥（2）()22f x x ≥--即12a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭在[)1,x ∈+∞时恒成立， 令()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，等价于()min a h x ≤在[)1,x ∈+∞时恒成立，又()124h x x x ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当1x x =即1x =等号成立，所以4a ≤. 故所求a 的取值范围是(],4-∞.25．（1）223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）13m =，112a =-. 【分析】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>，即23440x x --<，利用一元二次不等式求解.（2）根据不等式的解集为()4,m -，则由4-，m 为方程23240x ax -++=的两根求解.【详解】（1）当2a =时，不等式为23440x x -++>，所以23440x x --<， 所以()23203x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭， 解得223x -<<，所以不等式23440x x -++>的解集为223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； （2）由已知得4-，m 为方程23240x ax -++=的两根， 则有243a m -+=--且443m -=-， 解得13m =，112a =-. 【点睛】 本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于中档题.26．（1）6天.（2）第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .见解析【分析】（1）由题可知168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，分类讨论求解满足4y ≥时的x 的范围，即可得出在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的天数；（2）根据已知求出函数解析式()16162014666y x x x x ⎡⎤=--=--+⎢⎥--⎣⎦，利用基本不等式即可求得当10x =时，max 6y =，从而得出结论.【详解】解：（1）由题意，x (单位：天)时刻后水中含有物质N 的量为：168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，由于当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用，即需4y ≥，则当06x ≤≤时，16842x -≥+且当612x <≤时，124x -≥， 解得：28x ≤≤，所以若在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的时间为：8-2=6天.（2）设第()812x x ≤≤天水中所含物质N 的量为mol/L y ，则()1220(8)2616168y x x x x ⎡⎤-⎢⎣=-+=--+⎦--⎥， ()161461466y x x ⎡⎤=--+≤-=⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1666x x -=-，即[]108,12x =∈时，等号成立， 即当10x =时，max 6y =，所以第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .【点睛】本题考查利用函数解决实际问题，考查分段函数和基本不等式的应用，确定函数的解析式是关键.。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》检测题(有答案解析)
一、选择题1．若x ，y 满足约束条件32100260220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则6z x y =+的最大值为（ ）A ．30B ．14C ．25D ．362．不等式20ax bx c -+>的解集为{}|21x x -<<，则函数2y ax bx c =++的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知变量,x y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩，则目标函数=21z x y =+-的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．6-5．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215 C ．516 D ．6546．已知实数x ，y 满足222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，3z x y =-，则z 的最小值是（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-7．下列函数中最小值为4 的是（ ）A ．4y x x =+B ．4sin sin y x x =+ （0πx << ）C ．343x x y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+8．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，且32x y +的最大值为10，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1B．()1++∞ C ．（1，3） D ．（3，+∞） 10．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．m ≤0B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <57 11．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64 B ．-36 C ．36D ．64 12．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．13二、填空题13．已知2xy x =+，则42x y +的最小值为_________ 14．已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．15．已知函数2()4f x x =+，()g x ax =，当[]1,4x ∈时，()f x 的图象总在()g x 图象的上方，则a 的取值范围为_________.16．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___．17．已知不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 18．对一切R θ∈，213sin cos 2m m θθ->恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 19．已知正实数x ，y 满足22462x y xy ++=，则2x y +的最小值是_________. 20．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，则a 的取值范围是________．三、解答题21．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值.甲给出的解法是：由21x y +=≥，则128x y +≥=≥，所以12x y +的最小值为8. 而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值. 22．某位病人为了维持身体的健康状态，需要长期服用药物类营养液以补充食物难以提供的两种微量元素α和β.根据医学建议：病人每天微量元素α的摄入量应控制在[]300,330（单位：微克），微量元素β的摄入量应控制在[]250,280（单位：微克）.目前，市面上可供选择的营养液主要是A 和B .已知1毫升营养液A 中含微量元素α是30微克，含微量元素β是10微克，每毫升费用5元；1毫升营养液B 中含微量元素α是15微克，含微量元素β是20微克，每毫升费用4元．（1）若该病人每天只吃单价较便宜的营养液B ，判断他的两种微量元素的摄入量能否同时符合医学建议，并说明理由；（2）如果你是医生，为了使得该病人两种微量元素的摄入量同时符合医学建议，且每天所需的费用最低，应该推荐病人每天服用营养液A 和营养液B 各多少毫升？该病人每天所需的营养液最低费用是多少元？23．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<.（1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值.24．已知函数()0f x m =≥恒成立．（1）求m 的取值范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值． 25．已知函数2(4)()x f x x+=(0)x >． （1）解不等式：f （x ）＞503； （2）求函数f （x ）的最小值． 26．培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N ，已知向水中每投放1个单位的物质N ，x （单位：天）时刻后水中含有物质N 的量增加mol/L y ，y 与x 的函数关系可近似地表示为关系可近似地表示为168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩.根据经验，当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用.（1）若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用几天？ （2）若在水中首次投放1个单位的物质N ，第8天再投放1个单位的物质N ，试判断第8天至第12天，水中所含物质N 的量是否始终不超过6mol/L ，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合目标函数确定出最优解，代入即可求解.【详解】画出约束条件32100260220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所标示平面区域，把目标函数6z x y =+，化为直线166z y x =-+，当直线166z y x =-+平移到点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由32100220x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得()6,4A ， 所以目标函数的最大值为666430z x y =+=+⨯=.故选：A.【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如z ax by =+ .求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+ 转化为直线的斜截式：a z y x b b =-+ ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值； （2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如y b z x a-=-，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解. 2．C解析：C【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解求出,,a b c 的关系，然后再判断二次函数的图象．【详解】∵不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<，∴2121baca a⎧-+=⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，∴2b ac aa=-⎧⎪=-⎨⎪<⎩，2222(2)y ax bx c ax ax a a x x=++=--=--，图象开口向下，两个零点为2,1-．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，二次函数的图象，解题关键是掌握一元二次不等式的解集与一元二次方程的解、二次函数的图象之间的关系．3．C解析：C【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件5021010x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩作出可行域如图，联立150xx y=⎧⎨+-=⎩，解得A（1，4），化目标函数z＝x+2y﹣1为y1222x z=-++，由图可知，当直线y1222x z=-++过A时，z有最大值为8．故选C．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．4．C解析：C【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由23z x y =-得到233z y x =-， 平移直线233z y x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ， 所以23z x y =-的最大值为max 523052z =⨯-⨯=， 故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．5．A解析：A【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n+的最小值. 【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =.因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=. 因为1161116116116()()(17)(17)5555n m n m m n m n m n m n m n+=++=++≥⋅+=， 当且仅当16n m m n =，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以116m n+的最小值为5. 故选：A.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.6．D解析：D【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为133z y x =-在y 轴截距最大值的求解问题，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由3z x y =-得：133z y x =-， ∴当z 取最小值时，133z y x =-在y 轴截距最大； 由图象可知，当133z y x =-过点A 时，在y 轴截距最大， 由222x x y =-⎧⎨+=⎩得：()2,2A -，min 2328z ∴=--⨯=-. 故选：D .【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将所求最值转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.7．C解析：C【解析】 A. 4y x x =+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y t t （，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．244x x y e e -≥⋅=， 当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．8．B解析：B【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值.【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示：易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得0a ≥，令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即max 3226210z a a =⨯+=+=，解得2a =.故选：B.【点睛】本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 9．A解析：A【解析】试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，选：A ．考点：简单线性规划的应用. 【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．10．D解析：D【分析】将()4f x m <-+恒成立转化为g (x ) = mx 2－mx ＋m －5 < 0恒成立，分类讨论m 并利用一元二次不等式的解法，求m 的范围【详解】若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立即可知：mx 2－mx ＋m －5 < 0在x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}上恒成立令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，对称轴为12x =当m ＝0时，－5 < 0恒成立当m < 0时，有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减∴在[1,3]上max ()(1)50g x g m ==-<，得m < 5，故有m < 0 当m >0时，有g (x ) 开口向上且在[1,3]上单调递增 ∴在[1,3]上max ()(3)750g x g m ==-<，得507m << 综上，实数m 的取值范围为57m < 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围11．D解析：D 【分析】先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a 【详解】∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.∴12312034a b x x a a x x a ⎧⎪<⎪⎪+==-⎨⎪⎪-==-⎪⎩，解得：=26a b -⎧⎨=⎩∴()6=2=64b a -故选：D 【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.12．C解析：C 【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.二、填空题13．【分析】依题意可得再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为所以所以所以所以所以所以所以当且仅当即时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正——各项均为正 解析：2【分析】依题意可得21x y +=，再利用基本不等式计算可得； 【详解】 解：因为()221(1)42xy xy x ⎡⎤+-+=+⎣⎦，()221(1)42xy x xy ⎡⎤+-+=+-⎣⎦，所以()()()()2222221(1)42222x y x xy x x xy x y ⎡⎤+-+=+-=+-++⎣⎦， 所以2242144x y y x xy +-+=-， 所以()()222210x y x y +-++=， 所以()2210x y +-=， 所以21x y +=，所以42x y +≥=42x y =，即14x =，12y =时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键解析：9 【分析】由已知结合基本不等式a b +≥，即可直接求解． 【详解】30a b ab +-+=，3a b ab ∴+=-,a b为正实数，a b ∴+≥a b =时取等号，3ab ∴-≥30ab ∴-≥，即)310≥3≥1≤-（舍去），9ab ∴≥，当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的最小值是9．故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已的一元二次不等式，进而解不等式得解，考查学生的转化思想与运算能力，属于基础题．15．【分析】由参变量分离法可得知不等式对任意的恒成立利用基本不等式求出的最小值即可得出实数的取值范围【详解】由题意可得则从而有由基本不等式可得当且仅当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：(),4-∞【分析】由参变量分离法可得知，不等式4a x x<+对任意的[]1,4x ∈恒成立，利用基本不等式求出4x x+的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得[]1,4x ∀∈，则24x ax +>，从而有4a x x<+，由基本不等式可得4424x xx x+≥⋅=，当且仅当2x=时，等号成立，所以，4a<.因此，实数a的取值范围是(),4-∞.故答案为：(),4-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D∀∈，()()minm f x m f x≤⇔≤；（2）x D∀∈，()()maxm f x m f x≥⇔≥；（3）x D∃∈，()()maxm f x m f x≤⇔≤；（4）x D∃∈，()()minm f x m f x≥⇔≥.16．1【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求最值即可【详解】由z=x-2y得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线的截距最小此时z最大由得A（10）代入目标函数z=解析：1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由z=x-2y得1122y x z=-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线1122y x z=-，，1122y x z=-，的截距最小，此时z最大，由2222x yx y-⎧⎨+⎩＝＝，得A（1，0）．代入目标函数z=x-2y，得z=1-2×0=1， 故答案为1． 【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．17．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解解析：1[,)4+∞.【分析】利用基本不等式求得24xx +在[]1,3x ∈的最大值，即可求得实数a 的范围. 【详解】因为[]1,3x ∈，则211444x x x x =≤=++，当且仅当4x x =时，即2x =等号成立， 即24xx +在[]1,3x ∈的最大值为14， 又由不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4+∞.故答案为：1[,)4+∞.【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得24xx +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．【分析】求出的最大值然后解相应的不等式即可得【详解】由得或故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题根据参数出现的位置首先求出三角式的最大值然后只要解不等式即可得这实质上就是不等式恒成立问题中的分离解析：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出sin cos θθ的最大值，然后解相应的不等式即可得． 【详解】11sin cos sin 222θθθ=≤，由211322m m ->得13m <-或12m >． 故答案为：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，根据参数出现的位置，首先求出三角式sin cos θθ的最大值，然后只要解不等式即可得．这实质上就是不等式恒成立问题中的分离参数法，只是本题中不等式已经参变分离了．19．【分析】由题易得然后由基本不等式可得最后可求得的最小值【详解】将式子变形为即因为所以（当且仅当时等号成立）所以有即故所以则的最小值是故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值考查逻辑思维能力和运解析：5【分析】由题易得()2222x y xy +=-，然后由基本不等式可得()()222224x y x y ++≥-，最后可求得2x y +的最小值. 【详解】将式子22462x y xy ++=变形为()2222x y xy ++=，即()2222x y xy +=-，因为0x >，0y >， 所以()()222222222224x y x y x y xy ++⎛⎫+=-≥-=- ⎪⎝⎭（当且仅当2x y =时，等号成立），所以有()()222224x y x y ++≥-，即()25224x y +≥，故()2825x y +≥，所以25x y +≥，则2x y +.. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.20．【分析】由题中定义得出作差变形后得出对任意的恒成立结合得出由此可求得实数的取值范围【详解】因为函数是距增函数所以恒成立由所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数新定义考查二次不等式恒成 解析：(1,)+∞【分析】由题中定义得出()()f x a f x +>，作差变形后得出22313304ax a x a a ++->对任意的x ∈R 恒成立，结合0a >得出∆<0，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x ax a x a a ⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为函数()y f x =是“a 距”增函数，所以22313304ax a x a a ++->恒成立， 由0a >，所以2210912014a a a ⎛⎫∆<⇒--<⇒> ⎪⎝⎭．因此，实数a 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查函数新定义，考查二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）最小值为5+. 【分析】（1）本题可通过两次基本不等式取等号的情况不能同时成立判断出甲的解法错误，然后将12x y+转化为2214y xx y +++，通过基本不等式即可求出最值； （2）本题首先可令x m =、12x n -=，将题意转化为“已知21m n +=，求min 13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”，然后将13+m n 转化为65n m m n++，通过基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）甲的解法错误，原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立. 正确解法：()12122221459y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13x y ==时等号成立. （2）令x m =，12x n -=，则0m >，0n >， 即可将“求函数()1312f x x x=+-最小值”转化为“已知21m n +=，求min 13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”，因为()13136255n mm n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭m =等号成立，所以当x =时，函数()1312f x x x=+-取最小值，最小值为5+. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．（1）不符合，理由见解析；（2）推荐病人每天服用5毫升营养液A ，服用10毫升营养液B ，既能符合医学建议又能使每天的营养液费用最少．病人每天服用营养液的最低费用为65元. 【分析】(1)根据题意，由微量元素α的摄入量控制在[]300,330计算营养液B 的服用量必须控制在[]20,22，此时β的摄入量在[]400,440，不符合；(2)根据题意，建立线性规划模型：54z x y =+，其中,x y 满足300301533025010202800,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≥≥⎩，利用线性规划求最值．【详解】解：（1）若该病人每天只吃单价较便宜的营养液B ，则为了将微量元素α的摄入量控制在[]300,330（单位：微克），营养液B 的服用量必须控制在[]20,22（单位：毫升），此时相应微量元素β的摄入量在[]400,440（单位：微克），不符合医学建议. 另解：“若该病人每天只吃单价较便宜的营养液B ，则为了将微量元素β的摄入量控制在[]250,280（单位：微克），营养液B 的服用量必须控制在[]12.5,14（单位：毫升），此时相应微量元素α的摄入量在[]187.5,210（单位：微克），不符合医学建议” （2）设该病人每天需服用x 毫升营养液A ，y 毫升营养液B ， 则每天的营养液费用为54z x y =+，由题意,x y 满足300301533025010202800,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≥≥⎩，即20222252280,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≥≥⎩可行域如下图所示把54z x y =+变形为4415y x z =-+，得到斜率为54-，在y 轴上截距为14z 的一族平行直线．由图可以看出，当直线4415y x z =-+经过直线220x y +=和直线225x y +=的交点M 时，截距14z 最 小，此时z 最小．解方程组220225x y x y +=⎧⎨+=⎩，得点M 为()5,10，∴min 545541065z x y =+=⨯+⨯=元，答：推荐病人每天服用5毫升营养液A ，服用10毫升营养液B ，既能符合医学建议又能使每天的营养液费用最少．病人每天服用营养液的最低费用为65元． 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)线性规划型应用性问题解题的关键是正确的建立线性规划模型. 23．（1）1；（2）9. 【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，列方程求出m 的值；（2）先求得141b a+=，可得14()()a b a b b a +=++，展开后利用基本不等式求出+a b 的最小值． 【详解】（1）不等式2122x x mx -+>可化为21(2)02x m x +-<，即[2(2)]0x x m +-<，所以不等式对应方程的两根为0和2(2)m --， 又不等式的解集为{|02}x x <<， 所以2(2)2m --=，解得1m =； （2）由正实数a ，b 满足4a b mab +=， 所以4a b ab +=，所以141b a+=， 所以1444()()5529b a b a b a b b a a b a +=++=+++， 当且仅当26a b ==时取等号， 所以+a b 的最小值为9． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了利用基本不等式求最值，是基础题． 24．（1）4m ≤；（2）94． 【分析】（1）函数()0f x m =≥恒成立，即+130x x m +--≥恒成立，设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤，利用绝对值不等式的性质求得()min g x 即可得解；（2）由（1）可得21432a b a b+=++，然后利用基本不等式计算即可求得74a b +的最小值． 【详解】（1）函数()0f x m =≥恒成立，即+130x x m +--≥恒成立，设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤， 又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=， 即()g x 的最小值为4，所以4m ≤； （2）由（1）知4n =，正数a ，b 满足21432a b a b+=++，所以()1217474432a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭ ()()121622432a b a b a b a b ⎛⎫=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ ()()222315432a b a b a b a b ++⎡⎤=++⎢⎥++⎣⎦ 54944+≥=， 当且仅当23a b a b +=+即3210b a ==时，等号成立， 所以74a b +的最小值为94． 【点睛】 本题考查绝对值不等式的应用，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.25．（1）8|03x x ⎧<<⎨⎩或}6x >；（2）16 【分析】 （1）令2(4)503x x +>，解得x 的范围与0x >求交集即可得解集. （2）将2(4)()x f x x+=展开整理，然后用基本不等式求最值. 【详解】（1）220(4)50()(4)5033x x f x x x x>⎧+⎪=>⇔⎨+>⎪⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩⎩或}6x >. （2）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=， 当且仅当16x x =，即4x =时函数2(4)()x f x x+=取得最小值16. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，和基本不等式求最值，属于基础题.26．（1）6天.（2）第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .见解析【分析】（1）由题可知168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，分类讨论求解满足4y ≥时的x 的范围，即可得出在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的天数； （2）根据已知求出函数解析式()16162014666y x x x x ⎡⎤=--=--+⎢⎥--⎣⎦，利用基本不等式即可求得当10x =时，max 6y =，从而得出结论.【详解】解：（1）由题意，x (单位：天)时刻后水中含有物质N 的量为：168,06212,612x y x x x ⎧-≤≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，由于当水中含有物质N 的量不低4mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用，即需4y ≥，则当06x ≤≤时，16842x -≥+且当612x <≤时，124x -≥， 解得：28x ≤≤，所以若在水中首次投放1个单位的物质N ，物质N 能持续有效发挥作用的时间为：8-2=6天.（2）设第()812x x ≤≤天水中所含物质N 的量为mol/L y ，则()1220(8)2616168y x x x x ⎡⎤-⎢⎣=-+=--+⎦--⎥， ()161461466y x x ⎡⎤=--+≤-=⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1666x x -=-，即[]108,12x =∈时，等号成立， 即当10x =时，max 6y =，所以第8天至第12天，水中所含物质N 的量始终不超过6mol/L .【点睛】本题考查利用函数解决实际问题，考查分段函数和基本不等式的应用，确定函数的解析式是关键.。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》测试(包含答案解析)
一、选择题1．设x ，y R +∈，1x y +=，求14x y+的最小值为（ ）． A ．2B ． 4C ．8D ．92．若实数x ，y 满足约束条件21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．1-B ．2C ．3D ．4 3．已知实数满足约束条件020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-4．不等式20ax bx c -+>的解集为{}|21x x -<<，则函数2y ax bx c =++的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值是（ ）A ．7-B ．2C ．3D ．5-6．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2212m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<<D ．42m -<<7．在各项均为正数的等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，7S =14，则2614t a a =+的最小值为（ ） A ．9 B ．94C ．52D ．28．不等式112x x ->+的解集是（ ）． A ．{}|2x x <-B ．{}|21x x -<<C ．{}|1x x <D ．{}|x x ∈R9．已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＝n B ．m ＜n C ．m ＞n D ．不确定10．已知变量,x y 满足不等式组22003x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．3-B ．23-C ．1D ．211．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭12．命题p :变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则y z x =的最小值为14，命题q :直线2x =的倾斜角为2π，下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝二、填空题13．若实数m 和n 满足242329231m m n n m n ⨯-⋅+⨯=++，则23m n +的取值范围为______．14．已知0x >，0y >，且212+=x y ，若2322+≥-x y m m 恒成立，则实数m 的取值范围_______．15．已知0,0a b >>，若313m a b a b+≥+恒成立，则m 的取值范围是_____．16．已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则28a b+的最小值为__________． 17．已知正实数,x y 满足 20x y xy +-=,则2x y +的最小值为 ,y 的取值范围是 ．18．已知ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =，AF x AB y AC =+，则xy 的最大值为________.19．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，则a 的取值范围是________．20．已知函数245x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图像横过定点P ，若点P 在直线20Ax By ++=上，且0AB >，则12A B+的最小值为_________． 三、解答题21．已知函数()223f x x x =--+. （1）解不等式()0f x ≥；（2）若对任意实数x ,都有()3f x a x ≥-，求实数a 的取值范围.22．已知实数x ，y 满足不等式组204030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，求目标函数23z x y =-的最值及相应的最优解．23．已知函数()21f x x x =-++． （1）求不等式()5f x ≤的解集； （2）若()f x 的最小值是m ，且3m a b +=，求212a b +的最小值．24．已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.25．已知定义域在()0,∞+上的函数()f x 满足对于任意的(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+，当且仅当1x >时，()0f x <成立.（1）设(),0,x y ∈+∞，求证()()y f f y f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）设()12,0,x x ∈+∞，若()()12f x f x <，试比较x 1与x 2的大小； （3）若13a -<<，解关于x 的不等式()2110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦.26．已知关于x 的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由“1”有代换利用基本不等式可得最小值． 【详解】因为x ，y R +∈，1x y +=，所以14144()559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即12,33x y ==时，等号成立．故选：D ． 【点睛】易错点睛：本题考查用基本不等式求最小值．解题关键是利用“1”的代换凑配出定值．用基本不等式求最值必须满足三个条件：一正二定三相等．特别是相等这个条件常常会不满足，因此就不能用基本不等式求得最值．2．D解析：D 【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论. 【详解】画出约束条件210110x y x x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩或210110x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图所示，.目标函数2z x y =-，可化为2y x z =-， 由图象可知，当直线2y x z =-经过点A 时， 使得目标函数2z x y =-取得最大值， 又由10210x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得(3,2)A ，所以目标函数的最大值为2324z =⨯-=， 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中等题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．A解析：A 【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为122zy x =-，通过平移直线法可求出2z -的最大值，从而可得z 的最小值． 【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数2z x y =-变形为122zy x =-，由图可知当直线经过点(0,2)A 时，截距2z -最大，所以，2z x y =-的最小值为4-． 故选：A 【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”． 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.4．C解析：C 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解求出,,a b c 的关系，然后再判断二次函数的图象． 【详解】∵不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<，∴21210b a c a a ⎧-+=⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，∴20b a c a a =-⎧⎪=-⎨⎪<⎩， 2222(2)y ax bx c ax ax a a x x =++=--=--，图象开口向下，两个零点为2,1-．故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，二次函数的图象，解题关键是掌握一元二次不等式的解集与一元二次方程的解、二次函数的图象之间的关系．5．B解析：B 【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为y x z =-+在y 轴截距最小值的求解问题，利用数形结合的方法可得到结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由z x y =+得：y x z =-+，当z 取最小值时，y x z =-+在y 轴截距最小， 由图象可知：当y x z =-+过A 时，在y 轴截距最小， 又()2,0A ，min 202z ∴=+=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：线性规划问题中，通常有三种类型的最值或取值范围问题： （1）截距型：形如z ax by =+的形式，转化为a zy x b b=-+，将问题转化为直线在y 轴截距的求解问题；（2）斜率型：形如cy d z ax b+=+的形式，转化为d y c c b a x a+⋅+，将问题转化为(),x y 与,b d a c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线斜率的求解问题； （3）距离型：形如z Ax By C =++的形式，转化为2222Ax By C z A B A B ++=++题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的距离的求解问题.6．D解析：D 【分析】先根据已知结合基本不等式得218x y+≥，再解不等式228m m +<即可得答案. 【详解】解：由于0x >，0y >，21x y +=， 所以()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y =，即122x y ==时等号成立， 由于不等式2212m m x y+>+成立，故228m m +<，解得：42m -<<. 故实数m 的取值范围是：42m -<<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题.7．B解析：B 【分析】根据等差数列的性质和前n 项和公式求得26a a +，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意172677()7()1422a a a a S ++===，∴264a a +=， ∴26262614114()()4t a a a a a a =+=++62264119(5)(5444a a a a =++≥+=，当且仅当62264a a a a =，即622a a =时等号成立． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法．8．A解析：A【解析】分析：首先对原式进行移项、通分得到302x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302x ->+， 即302x <+，则有20x +<，解得2x <-， 所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.9．C解析：C 【解析】因为a ＞2，所以a －2＞0，所以()112222m a a a a =+=-++≥--24+=，当且仅当a ＝3时取等号，故[4m ∈，)+∞．由b ≠0得b 2＞0，所以2－b 2＜2，所以222b -＜4，即n ＜4，故()0,4n ∈．综 上可得m ＞n ，故选C ．10．B解析：B 【分析】画出不等式组表示的区域，将目标函数2z x y =-转化为22x zy =-，表示斜率为12截距为2z-平行直线系，当截距最小时，z 取最大值，由图即可求解. 【详解】解：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示：故将目标函数2z x y =-转化为22x z y =-， 表示斜率为12截距为2z -平行直线系， 所以当截距最小时，z 取最大值，由图可知，使得直线22x zy =-经过可行域且截距最小时的解为22,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时242333max z =-=-. 故选：B 【点睛】本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值.11．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以121212()12()()22233333x x x x x x f x f x -----+++⋅=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.12．A解析：A 【分析】由约束条件作出可行域，由yz x=的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图：目标式yz x=表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题； 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．二、填空题13．【分析】设方程化简为得到再结合基本不等式得到根据一元二次不等式不等式的解法即可求解【详解】设因为可得所以解得或又由当且仅当时即时等号成立整理得解得所以即则的取值范围为故答案为：【点睛】方法点睛：设利解析：(1,2]. 【分析】设23m n t =+，方程化简为221523m n t t --=⨯⨯，得到2210t t -->，再结合基本不等式，得到23440t t --≤，根据一元二次不等式不等式的解法，即可求解. 【详解】 设23m n t =+，因为242329231m m n n m n ⨯-⋅+⨯=++，可得221523m n t t --=⨯⨯， 所以2210t t -->，解得1t >或12t <-， 又由222235215235()24m n mnt t t +--=⨯⨯≤⨯=， 当且仅当23m n =时，即0m n ==时等号成立，整理得23440t t --≤，解得223t -≤≤， 所以12t <≤，即则23m n +的取值范围为(1,2].故答案为：(1,2]. 【点睛】方法点睛：设23m n t =+，利用换元法把方程化简为221523m n t t --=⨯⨯，根据指数函数的性质和基本不等式，得出不等式2210t t -->和23440t t --≤是解答的关键.14．【分析】利用1的替换求出的最小值再解不等式即可【详解】因为当且仅当即时等号成立所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值涉及到解一元二次不等式是一道中档题解析：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用“1”的替换求出2x y +的最小值92，再解不等式23922m m -≤即可.【详解】 因为121122192()(2)(5)(54)2222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当22y x x y=， 即32x y ==时等号成立，所以23922m m -≤，解得332m -≤≤.故答案为：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，涉及到解一元二次不等式，是一道中档题.15．【分析】先将问题转化为恒成立再结合基本不等式求解即可得答案【详解】解：根据题意若恒成立等价于恒成立由于当且仅当即时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题是基础题 解析：(],12-∞【分析】先将问题转化为()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案.【详解】解：根据题意，0,0a b >>，若313m a b a b +≥+恒成立等价于()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由于0,0a b >>，()31993336612b a a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当9b aa b=，即3a b =时等号成立. 所以12m ≤ 故答案为：(],12-∞ 【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题.16．【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时解析：【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线(0)z ax by a b =+>>的斜率为a kb =-，由0a b >>可得10ak b-<=-<，因为直线40x y +-=的斜率为-1，所以当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．可得1a b +=．282828()()10b a a b a b a b a b+=++=++，利用基本不等式可得2828281010218b a b a a b a b a b+=++≥+⨯=． 详解：画出不等式组表示的平面区域为ABC ∆及其内部，如图． 由10y x y -=⎧⎨-=⎩ 可得点(1,1)B ．当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．所以1a b +=． 所以28282828()()1010218b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⨯=． 当且仅当2810,0b aa b a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩即12,33a b ==时，上式取“=”号．所以28a b+的最小值为18. 点睛：⑴ 线性规划问题应先画出平面区域，求(0)z ax by a b =+>>的最值时，当0b >时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越大；当0b <时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越小；⑵ 用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小．若,a b m m +=为常数，则111111()()(2)b aa b a b m a b m a b+=++=++，然后利用基本不等式求最值即可． 17．【解析】试题分析:因故又因为因故即所以故应填答案考点：基本不等式的运用【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知 解析：()8,1,+∞【解析】试题分析:因20x y xy +-=,故,又因为.因,故,即,所以.故应填答案.8,1y >.考点：基本不等式的运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知20x y xy +-=,变形为,然后将其代入可得,最后达到获解之目的.关于的范围问题,则借助题设条件,推得,解之得.18．【分析】首先根据平面向量的线性运算表示出再根据向量相等得到最后利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为DE 分别为ABAC 的中点所以又所以由所以当且仅当时取等号；故答案为：【点睛】本题考查平面向量基本 解析：116【分析】首先根据平面向量的线性运算表示出()11122AF t AB AC =-+，再根据向量相等得到12x y +=，最后利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =， 所以()12AF AD DF AD tDE AB t AE AD =+=+=+- ()11111122222AB t AC AB t AB AC ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭ 又AF x AB y AC =+，所以()11212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由12x y +=所以21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当14x y ==时取等号； 故答案为：116【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.19．【分析】由题中定义得出作差变形后得出对任意的恒成立结合得出由此可求得实数的取值范围【详解】因为函数是距增函数所以恒成立由所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数新定义考查二次不等式恒成解析：(1,)+∞【分析】由题中定义得出()()f x a f x +>，作差变形后得出22313304ax a x a a ++->对任意的x ∈R 恒成立，结合0a >得出∆<0，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x ax a x a a ⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为函数()y f x =是“a 距”增函数，所以22313304ax a x a a ++->恒成立， 由0a >，所以2210912014a a a ⎛⎫∆<⇒--<⇒> ⎪⎝⎭． 因此，实数a 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查函数新定义，考查二次不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.20．4【分析】先求出定点的坐标由题得再利用基本不等式求的最小值得解【详解】令所以定点的坐标为所以所以当且仅当时取等号所以的最小值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题考查基本不等式求最解析：4 【分析】先求出定点P 的坐标，由题得22A B +=，再利用基本不等式求12A B+的最小值得解. 【详解】令020,2,451x x y a +=∴=-∴=⨯-=-,所以定点P 的坐标为(2,1)--. 所以(2)20,22,0,0,0A B A B A B A B ⨯--+=∴+=⋅>∴>>.所以12112141(2)()(4)[44222A B A B A B A B B A +=⨯+⨯+=++≥+=. 当且仅当1,12A B ==时取“等号”. 所以12A B +的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．（1）5{|5}3x x -≤≤;(2) 5a ≤. 【解析】试题分析：（1） 零点分段法去绝对值，将()f x 表示成分段函数，由此解得解集为55,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）原不等式等价于23x x a -++≥恒成立.左边()23235x x x x -++≥--+=，故5a ≤.（1）1.当0x ≤时，()22322350f x x x x x x =--+=-++=+≥ 解得50x -≤≤2.当2x ≥时，()22322310f x x x x x x =--+=--+=-+≥ 解得无解3.当02x <<时，()223223350f x x x x x x =--+=--+=-+≥ 解得503x <≤综上可知不等式解集5{|5}3x x -≤≤（2）()3f x a x ≥-恒成立，即()23f x x x a =-++≥恒成立()23235x x x x -++≥--+=,故有5a ≤.22．在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），由2=030x y x -+⎧⎨-=⎩得()3A ，5，由+4=030x y x -⎧⎨-=⎩得()31B ，，由2=0+40x y x y -+⎧⎨-=⎩得()13C ，，作直线:230l x y -=，向上平移直线l ，z 减小，当l 过点()3A ，5时，z 取得最小值23359⨯-⨯=-；向下平移直线l ，z 增大，当l 过点()31B ，时，z 取得最大值23313⨯-⨯=；所以目标函数23z x y =-在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题方法是作出可行域，作出线性目标函数对应的直线，平移直线求得最优解，如果目标函数不是线性的，则可根据其几何意义求解，如直线的斜率、两点间的距离等，属于中档题．23．（1）[]23，-；（2）92． 【分析】（1）将()f x 解析式中绝对值符号去掉，求得分段函数解析式；再在每一段中求得()5f x ≤时的解集；从而得出答案；（2）先由（1）求出()f x 的最小值3m =，所以得1a b +=；再将212a b+构造成符合基本不等式的形式，从而求其最小值. 【详解】解：（1）21,1()213,1221,2x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，()5f x ≤等价于1,215x x ≤-⎧⎨-+≤⎩或1235x -<<⎧⎨≤⎩或2215x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤≤-或12x -<<或23x ≤≤．故不等式()5f x ≤的解集为[]23，-. （2）由（1）可知3m =，则1a b +=，则21212559()2222222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当23a =，13b =时，等号成立）． 故212a b +最小值为92． 【点睛】本题主要考查分段函数和基本不等式的相关性质，考查运算求解能力，属于基础题型. 24．（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据2a b ab +=，可得2ab a b =+≥1，进而求得1≥ab ，注意等号成立的条件，得到结果. 【详解】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥， ∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥ ∴1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1. 【点睛】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.25．（1）证明见解析；（2）12x x >；（3）答案见解析 【分析】 （1）取yy x x=⋅，代入已知等式即可证得结果； （2）由()()12f x f x <，结合（1）中等式()()y f f y f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得到120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，再根据当且仅当1x >时，()0f x <成立得到121x x >，从而得到12x x >； （3）在已知等式中取特值1x y ==求出()10f =，由（2）可知函数f （x ）在定义域()0,∞+上是减函数，在不等式()2110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦中，用()1f 替换0后利用函数的单调性脱掉“f ”，则不等式的解集可求. 【详解】（1）证明：∵()()()f xy f x f y =+，∴()()y f f x f y x ⎛⎫+=⎪⎝⎭， ∴()()y f f y f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）解：∵()()12f x f x <，∴()()120f x f x -<，又()()11220x f f x f x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∵当且仅当1x >时，()0f x <成立，∴当()0f x <时，1x >，∴121x x >，12x x >； （3）解：1x y ==代入()()()f xy f x f y =+得()()()111f f f =+，即()10f =， ∴()2110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦可得()()2111f x a x a f ⎡⎤-+++>⎣⎦，由（2）可知函数()f x 在定义域()0,∞+上是减函数，∴()20111x a x a <-+++<，当13a -<<时，()()22141230a a a a ∆=+-+=--<， 所以()2110x a x a -+++>恒成立；故只需满足()2111x a x a -+++<即()210x a x a -++<成立即可；即()()10x a x --<.当11a -<<时，1<<a x ；当1a =时，x ∈∅； 当13a <<时，1x a <<；综上可得：当11a -<<时，(),1x a ∈；当1a =时，x ∈∅；当13a <<时，()1,x a ∈ 【点睛】本题考查了函数单调性的定义，考查了含参一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知不等式结合函数的单调性得含有参数的不等式.26．（1）25-；（2）6⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，-. 【分析】（1）由不等式的解集为{}32x x x <->-或知0k <,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用0k <且24240k ∆=-<可解【详解】（1）∵不等式的解集为{}32x x x <->-或 ∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且0k < ∴25k =-（2）∵不等式的解集为R ∴0k <且24240k ∆=-<∴k <∴k 的取值范围是(6-∞，- 【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式 与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．。
(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》检测卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．若实数x ，y 满足1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3-B ．0C ．1D ．32．设x ，y 满足约束条件5010550x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则56a b+的最小值为（ ） A ．64B ．81C ．100D ．1213．若实数x ，y 满足约束条件403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．20C ．28D ．324．已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤5．已知x ，y 满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩若2x y m +≥恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．3m ≥B ．3m ≤C ．72m ≤D ．73m ≤6．设,x y 满足约束条件0{4312x y xx y ≥≥+≤，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．2,6C ．[]2,10D ．[]3,117．下列函数中最小值为4 的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+8．已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＝n B ．m ＜n C ．m ＞nD ．不确定9．已知0,0x y >>，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ） A ．14B ．4C ．18D ．810．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） A．BC ．1D ．211．设x ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A ．5-B ．3C ．5-或3D ．5或3-12．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21ac +>21b c + D ．a |c |>b |c |二、填空题13．设实数s ，t 满足0t >，且24s t +=，则128s s t+的最小值是____________. 14．若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________.15．已知函数2()4f x x =+，()g x ax =，当[]1,4x ∈时，()f x 的图象总在()g x 图象的上方，则a 的取值范围为_________.16．已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若2z y x =-的最大值为11，则实数c的值为____．17．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___．18．非负实数x ，y ，满足360x y +-≥，则521z x y =+-的最小值为__________．19．实数,x y 满足约束条件20,10,0,x y x y y -≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为4，则ab 的最大值为______20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则3a c +的最小值为___________.三、解答题21．给出下面三个条件：①函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数(1)f x +是偶函数；③函数()f x 的两个零点的差为2，在这三个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定问题：二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-，且___________(填所选条件的序号).（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若函数()()(21)3232xxg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润? 23．已知函数2(1)2f x x x =++（1）求关于x 的不等式2()(0)f x b b ≥≥的解集；（2）若不等式22[()]2()10f x mf x m -+-≥对于任意[2,1]x ∈-都成立，求m 的取值范围．24．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 25．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)＞2x ＋5.26．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围； （2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可求出结果. 【详解】由x ，y 满足条件1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩作出可行域，如图.则()()1,1,2,1B C ---，由1x y y x+=⎧⎨=⎩得11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭目标函数2z x y =+，化为2y x z =-+ 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.由图可知，当直线2y x z =-+过点C 时，z 有最大值. 所以z 的最大值为：2213z =⨯-= 故选：D【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2．D解析：D 【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，从而得,a b 的关系式561a b +=，然后用“1”的代换，配凑出积为定值，用基本不等式得最小值． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图，ABC 内部（含边界），作直线直线0ax by += ，z ax by =+中，由于0,0a b >>，ab是直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大， 所以当直线z ax by =+经过点()5,6时，z 取得最大值， 则561a b +=， 所以()56565661306160121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当111a b ==时，等号成立，故56a b+的最小值为121． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值．解题思路是利用简单的线性规划求得变量,a b 满足的关系式，然后用“1”的代换凑配出定值，再用基本不等式求得最小值．求最值时注意基本不等式的条件：一正二定三相等，否则易出错．3．C解析：C 【分析】画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由40340x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点(4,8)A ，由图得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(4,8)A 时，=3+2z x y 取最大值max 342828z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．D解析：D 【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，由函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f xx x =+，则函数()1f x x x =+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤， 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <. 5．D解析：D 【详解】作出满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩的可行域如图所示：平移直线20x y +=到点1(1,)3A 时，2x y +有最小值为73∵2x y m +≥恒成立 ∴min (2)m x y ≤+，即73m ≤ 故选D点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6．D解析：D 【分析】试题分析：作出不等式组0{4312x y xx y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()max 41501k --==--，所以z 的取值范围是[]3,11，故选D.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.7．C解析：C 【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y tt （，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．244x x y e e -≥⋅=， 当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜， 不成立． 故选C ．8．C解析：C【解析】因为a ＞2，所以a －2＞0，所以()112222m a a a a =+=-++≥--24+=，当且仅当a ＝3时取等号，故[4m ∈，)+∞．由b ≠0得b 2＞0，所以2－b 2＜2，所以222b -＜4，即n ＜4，故()0,4n ∈．综 上可得m ＞n ，故选C ．9．C解析：C 【分析】根据基本不等式求解即可得到所求最大值． 【详解】由题意得，221121112222228x y xy xy +⎛⎫⎛⎫=⨯≤⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,42x y ==时等号成立，所以xy 的最大值是18． 故选C ． 【点睛】运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab+≥逆用就是222a b ab +；,0)2a b a b +≥>逆用就是2(,0)2a b ab a b +⎛⎫> ⎪⎝⎭等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件．10．D解析：D 【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D. 【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11．B解析：B 【分析】画出可行域，讨论当0a =时,当0a <时，当0a >时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a 的值. 【详解】根据题中约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示，两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭， 当0a =时，z x ay =+无最小值； 当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，无最小值． 当0a >时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处有最小值： 21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =，故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.12．C解析：C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b>，a 2<b 2，排除A 、B ；因为211c +>0，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的； 当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，故选：C.【点睛】 该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.二、填空题13．【分析】变换得到利用均值不等式计算得到答案【详解】当且时即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值意在考查学生的计算能力和转化能力 解析：716【分析】 变换得到22816132s t s s s t s s t+=++，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】24s t +=，222178321163216162s s s s t s t s s t s s t t +=+=++≥-+=+， 当232t s s t =且0s <时，即23s =-，163t =时等号成立. 故答案为：716. 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.14．9【分析】首先由已知确定然后利用基本不等式求最小值【详解】因为所以又所以所以当且仅当时等号成立所以的最小值为9故答案为：9【点睛】易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件 解析：9【分析】首先由已知确定1,1a b >>，然后利用基本不等式求最小值．【详解】因为a b x y xy ==，所以1a y x -=，1b x y -=，又1,1x y >>，所以10,10a b ->->， 111(1)(1)()b a b a b x y x x -----===，所以(1)(1)1a b --=，4(1)4(1)559a b a b +=-+-+≥=，当且仅当14(1)a b -=-时等所以4a b +的最小值为9．故答案为：9．【点睛】易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．15．【分析】由参变量分离法可得知不等式对任意的恒成立利用基本不等式求出的最小值即可得出实数的取值范围【详解】由题意可得则从而有由基本不等式可得当且仅当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：(),4-∞【分析】 由参变量分离法可得知，不等式4a x x <+对任意的[]1,4x ∈恒成立，利用基本不等式求出4x x+的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得[]1,4x ∀∈，则24x ax +>，从而有4a x x <+，由基本不等式可得44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以，4a <. 因此，实数a 的取值范围是(),4-∞.故答案为：(),4-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.16．23【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值 解析：23画出不等式组表示的平面区域，数形结合判断出2z y x =-取最大值的点，即可建立关系求出.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，直线320x y c +-=在y 轴上的截距为2c ，则由图可知12c ≥，即2c ≥， 将2z y x =-化为122z y x =+， 观察图形可知，当直线122z y x =+经过点A 时，z 取得最大值， 由210320x y x y c -+=⎧⎨+-=⎩解得27237c x c y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故23221177c c +-⨯-=，解得23c =. 故答案为：23.【点睛】方法点睛：线性规划常见类型，（1）y b z x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率； （2）z ax by =+，可看作直线a z y x b b =-+的截距问题； （3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.17．1【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求最值即可【详解】由z=x-2y 得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线的截距最小此时z 最大由得A （10）代入目标函数z=解析：1作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由z=x-2y 得1122y x z =-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线1122y x z =-，，1122y x z =-，的截距最小， 此时z 最大， 由22 22x y x y -⎧⎨+⎩＝＝ ，得A （1，0）． 代入目标函数z=x-2y ，得z=1-2×0=1，故答案为1．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．18．3【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义即可得到结论【详解】解：解：不等式组为对应的平面区域为如图阴影所示由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时最小代入目标函数得即 解析：3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【详解】解：解：不等式组为00360x y x y ⎧⎪⎨⎪+-≥⎩，对应的平面区域为如图阴影所示，由521z x y =+-得5122z y x +=-+，平移直线5122z y x +=-+， 由图象可知当直线5122z y x +=-+经过点()0,2时， 直线5122z y x +=-+的截距最小，此时z 最小． 代入目标函数521z x y =+-得02213z =+⨯-=．即目标函数521z x y =+-的最小值为3．故答案为：3【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于中档题．19．2【分析】作出不等式对应的平面区域利用z 的几何意义确定取得最大值的条件然后利用基本不等式进行求可得的最大值【详解】作出不等式对应的平面区域由得则目标函数对应直线的斜率平移直线由图象可知当直线经过点A 解析：2【分析】作出不等式对应的平面区域,利用z 的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求，可得ab 的最大值.【详解】作出不等式对应的平面区域,由(0,0)z ax by a b =+>>得a z y x b b=-+， 则目标函数对应直线的斜率0a b -<，平移直线a y x b=-， 由图象可知当直线经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大.由2010x y x y -=⎧⎨--=⎩ 解得(2,1)A 此时z 的最大值为2422z a b ab =+=，当且仅当2,1b a ==时取等号. 24ab ∴解2ab故答案为: 2.【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键.20．【分析】根据面积关系建立方程关系结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】如图所示则的面积为即∴∴当且仅当即时取等号所以a+3c 的最小值为8+4故答案为：8+4【点睛】本题考查基本不等式的应用考查三解析：843+【分析】 根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则ABC 的面积为111sin1202sin 602sin 60222ac a c =⋅+⋅︒︒︒， 即22ac a c =+，∴1112a c +=.∴3(3)a c a c +=+1132242(423)843ca a c a c ⎛⎫⎛⎫+⨯=⨯++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当33843c a a c a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩即2232233a c ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩时取等号. 所以，a +3c 的最小值为8+43.故答案为：8+43.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.三、解答题21．(1). 2()2f x x x =-；(2). 16m ≤- (3). 12t >或13t --= 【分析】(1).首先根据(1)()21f x f x x +-=-求得,a b 的值，再根据① ② ③ 解得c 的值；(2). 将任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立问题转化为2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立的问题，从而转化为最值问题进行求解；(3).将问题转化为方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，接着对参数进行分类讨论即可.【详解】(1)因为二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-又22(1)()(1)(1)2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++---=++， 所以212x ax a b -=++，221a a b =⎧∴⎨+=-⎩解得：12a b =⎧∴⎨=-⎩因为二次函数2()2f x x x c =-+选① ：因为函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点，所以2(1)11f c -=+=- 0c ∴=；选② ：因 为 函数(1)f x +是偶函数,所以22(1)=(1)2(1)1f x x x c x c ++-++=+-,所以c 取任意值.选③ ：设 12,x x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=，由韦达定理可知：12122,x x x x c +==所以122x x -=解得：0c ；综上：()f x 的解析式为2()2f x x x =-.(2) 因为对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立, 32(log )m f x ∴≤-，[]31,27,log 2,39x x ⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎣⎦令3log t x =， 原不等式等价于2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立min (2())2(2)16m f t f ∴≤-=--=-,所以实数m 的取值范围为16m ≤-.(3) 因为函数()()(21)3232x x g x t f =--⨯-有且仅有一个零点，令30x m =>，所以方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，因为2()2f x x x =-即2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根， 当21=0t -即12t =时，220m --=解得1m =-不合题意； 当210t ->即12t >时， 2(21)420t m tm ---=表示的二次函数对应的函数图像是开口向上的抛物线，又恒过点(0,2)-，所以方程2(21)420t m tm ---=恒有一个正实根;当210t -<即12t时， 要想2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，只有()21682102021t t t x t ⎧=+-=⎪⎨=>⎪-⎩对解得：t =， 综上：实数t 的取值范围为12t >或t =. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．22．（1）20k =，()16002440,010L x x x =--≥+；（2）30万元. 【分析】 （1）0x =，28,y =代入已知模型求出k ，得年销售量函数解析式，求出销售价格后可得 利润函数；（2）利用基本不等式求最值．【详解】（1）由题意，可知当0x =时，28,y =283010k ∴=-， 解得20k =203010y x ∴=-+ 又每件产品的销售价格为801601.5y y +⨯元， ()801601.580160y L y y x y ⎛⎫+∴=⨯-++ ⎪⎝⎭4080y x =+-2040803010x x ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-+ ()16002440,010x x x =--≥+ （2）0x ≥，()1016001600101070101010x x x x ∴+=++++-≥== 当且仅当16001010x x =++时等号成立， 2440702370y ∴≤-= max 2370y ∴=故该工厂计划投入促销费为30万元时，才能获得最大利润，最大利润为2370万元.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，在已知函数模型时，需从题目中选取恰当的数据求出参数值，然后根据提示模型求出函数解析式．函数应用题中求最值方法一是利用基本不等式求得最值，一是利用函数的单调性求得最值．基本不等式要注意其最值存在的条件． 23．（1）答案见解析；（2）(,1][5,)-∞-⋃+∞．【分析】（1）根据条件即[(1)][(1)]0x b x b +++-≥，再分0b >和0b =两种情况写出不等式的解集.（2）令()t f x =，则[0,4]t ∈，即22210t mt m -+-≥在[0,4]t ∈上恒成立,从而求出答案.【详解】解：（1）由2()f x b ≥得：22210x x b ++-≥，∴[(1)][(1)]0x b x b +++-≥，①当0b >时，11b b -+>--，所以不等式的解集为{1 1}xx b x b ≥-+≤--∣或； ②当0b =时，111b b -+=--=-，2(1)0x +≥，所以不等式的解集为R ．（2）函数22()[()]2()10g x f x mf x m =-+-≥对于任意[2,1]x ∈-都成立等价于min ()0g x ≥，令()t f x =，又∵[2,1]x ∈-，∴[0,4]t ∈，则题意等价于22210t mt m -+-≥，即[(1)][(1)]0t m t m -+--≥，所以1t m ≥+或1t m ≤-，由1t m ≥+对[0,4]t ∈恒成立知：1m ≤-，由1t m ≤-对[0,4]t ∈恒成立知：5m ≥， 综上所述，m 的取值范围为(,1][5,)-∞-⋃+∞．【点睛】关键点睛：本题考查解含参数的二次不等式和二次不等式恒成立求参数的范围问题，解答本题的关键是令()t f x =，[0,4]t ∈，则题意等价于22210t mt m -+-≥，即[(1)][(1)]0t m t m -+--≥，所以1t m ≥+或1t m ≤-，属于中档题.24．(1) m ＝2 (2) ab ＋bc 的最大值为2【解析】试题分析：（1）根据绝对值内的零点，分类讨论，去掉绝对值符号，求出函数的最大值，即可得到m ．（2）利用重要不等式求解ab+bc 的最大值．(1)当x ≤－1时，f (x )＝3＋x ≤2；当－1<x <1时，f (x )＝－1－3x <2；当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4.故当x ＝－1时，f (x )取得最大值2，即m ＝2.(2)因为a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，所以ab ＋bc ≤22222a b c ++ ＝2，即ab ＋bc 的最大值为2. 25．(1)2()1f x x x =-+;(2)()(),14,-∞-+∞ 【分析】(1) 设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，利用待定系数法即可求出f （x ）；(2) 利用一元二次不等式的解法即可得出．【详解】(1).设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，∵函数f （x ）满足f （x+1）﹣f （x ）＝2x ，∴ f(x ＋1)－f(x)=()()211a x b x c ++++-()2ax bx c ++=2ax+a+b=2x∴ 220a a b =⎧⎨+=⎩ ，解得11a b =⎧⎨=-⎩．且f （0）＝1．∴ c=1 ∴f （x ）＝x 2﹣x+1．(2) 不等式f （x ）＞2x+5，即x 2﹣x+1＞2x+5，化为x 2﹣3x ﹣4＞0．化为（x ﹣4）（x+1）＞0，解得x ＞4或x ＜﹣1．∴原不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题.26．（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【分析】（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽.【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x 米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<； （2）()8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=， 当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立． 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．。
高中数学必修五第三章《不等式》单元测试题(含答案)
A．b－a>0
B． a3＋b2<0
C．b＋a>0
D．a2－b2<0
答案 C
解析 由 a－ |b|>0? |b|<a? － a<b<a? a＋b>0，故选 C.
3．设集合 U＝R，集合 M＝{ x|x>1} ，P＝ { x|x2>1} ，则下列关系中正确的是 ( )
A．M＝P
B． P M
C．M P
高中数学必修五第三章单元测试题
《不等式》
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 )
1．给出以下四个命题：
11 ①若 a>b，则 a<b；
②若 ac2>bc2，则 a>b；
③若 a>|b|，则 a>b； ④若 a>b，则 a2>b2.
(1)试解释 f(0)＝10， g(0)＝20 的实际意义； 1
(2)设 f(x)＝ 4x＋10， g(x)＝ x＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双 方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？
高中数学必修五第三章单元测试题
《不等式》参考答案
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
范围是 ( )
A．[ －2，－ 1]
B． [－ 2,1]
C．[ －1,2]
D．[1,2]
8．不等式 (x－2y＋ 1)(x＋y－3)<0 表示的区域为 ( )
9．f(x)＝ax2＋ax－ 1 在 R 上满足 f(x)<0，则 a 的取值范围是 ( )
(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知2244x y +=，则2211x y +的最小值为（ ） A ．52 B ．9 C ．1 D ．942．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．33．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（ ） A ．53- B ．15- C ．13 D ．954．某校的一个者愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和.若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为（ ）A ．15人B ．16人C ．17人D ．18人 5．设0a >，0b >，则下列不等式中不．恒成立的是（ ）． A ．12a a +≥ B ．222(1)a b a b +≥+-C≥D ．3322a b ab +≥ 6．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ）A ．254B ．499 C ．14425 D ．22549 7．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( )A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9>8．当x ，y 满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2=+t x y 最小值是（ ）A ．-4B ．-3C ．3D ．329．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．210．设x ，y 满足约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ） A ．5- B ．3 C ．5-或3 D ．5或3- 11．已知4213332,3,25a b c ===，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 12．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．4C ．8D ．12二、填空题13．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则11a b a b+--的最小值为____________. 14．已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若2z y x =-的最大值为11，则实数c的值为____．15x =______. 16．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.17．满足关于x 的不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是______． 18．已知,x y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_____.19．已知2z y x =-，式中变量x ，y 满足下列条件：213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，若z 的最大值为11，则k 的值为______.20．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则y x 的取值范围为__________． 三、解答题21．某公司生产某种产品，其年产量为x 万件时利润为()R x 万元，当035x <≤时，年利润为21()2R x x =-20250x ++，当35x >时，年利润为()18005202R x x x=--+. （1）若公司生产量在035x <≤且年利润不低于400万时，求生产量x 的范围； （2）求公司年利润()R x 的最大值.22．已知关于x 的一元二次不等式2(1)0ax a x b -++<的解集为112x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若不等式2(2)30bx m a x m +++-≥对任意实数[0,4]m ∈恒成立，求实数x 的取值范围．23．已知关于x 的不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<．（1）求a ，b 的值；（2）求关于x 的不等式()20ax ac b x bc +--<的解集． 24．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且24006,040()740040000,40x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩， （1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.25．解关于x 的不等式：()2230x a a x a -++>．26．某单位计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m 2，墙面的高度为3m ，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，设房屋正面地面长方形的边长为x m ，房屋背面和地面的费用不计. （1）用含x 的表达式表示出房屋的总造价；（2）当x 为多少时，总造价最低？最低造价是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】 利用22222211111(4)4x y x y xy ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后应用基本不等式可得最小值． 【详解】 由题意22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22224y x x y =，即2242,33x y ==时等号成立． 故选：D ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．2．B解析：B【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值.【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥， 所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>，当且仅当124a b -=+=时等号成立.因此，+a b 的最小值为7.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D【分析】 首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2y x -的几何意义求z 的最大值. 【详解】 24222x y y z x x +-==+-- 设2y m x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -， 如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， 即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95.【点睛】 关键点点睛：本题的关键是变形242x y z x +-=-，并理解z 的几何意义，利用数形结合分析问题. 4．D解析：D【分析】设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ，根据题意列不等式组，画出不等式组表示的平面区域，根据不等式的解为整数，可得结果.【详解】设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ，则737y x y x <<⎧⎨≥+⎩，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，根据不等式的解为整数，则阴影部分只有()6,5A 满足，6,5x y ∴==，该志愿者服务队总人数为76518++=人.故选：D.【点睛】本题主要考查二元一次不等式组的解的问题，于基础题.5．D解析：D【解析】分析：根据基本不等式、作差法、分析法论证A,B,C 正确，举反例得D 错误.详解：332222()()a b ab a b a ab b +-=-+-，当12b a b <<有3322a b ab <+， 故D项错误，其余恒成立：1122,a a a a+≥=⇒+≥ 2222222(1)(1)(1)02(1),a b a b a b a b a b +-+-=-+-≥⇒+≥+-当a b ≥时0a b a b a b a b ---+≥---+=⇒当a b <0>>D ．点睛：本题考查根据基本不等式、作差法、分析法论证等知识点，考查推理论证能力. 6．C解析：C【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值.【详解】由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=125=， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 7．C解析：C【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩ 则()32611f x x x x c =+++所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜，故选C .【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．8．B解析：B【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2=+t x y 在点(1,1)A --处取得最小值()()min 2113t =⨯-+-=-，本题选择B 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.9．C解析：C【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案.【详解】作出x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示， 目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值， 又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．B解析：B【分析】画出可行域，讨论当0a =时,当0a <时，当0a >时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a 的值.【详解】根据题中约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示， 两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当0a =时，z x ay =+无最小值； 当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，无最小值． 当0a >时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫ ⎪⎝⎭处有最小值： 21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =，故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.11．A解析：A【详解】因为4222 33332=4,3,5a b c===，且幂函数23y x=在(0,)+∞上单调递增，所以b<a<c.故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.12．C解析：C【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y=+转化为斜截式，即22x zy=-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件4040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y=+转化为斜截式，即22x zy=-+，平移直线2xy=-，由图可知当直22x z y =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩， 所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.二、填空题13．【分析】将所求代数式变形为将所求代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】已知正实数满足则当且仅当时即当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其12【分析】 将所求代数式变形为1121121a b a b b b+=+----，将所求代数式与()1b b +-⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可求得11a b a b +--的最小值. 【详解】已知正实数a 、b 满足21a b +=，则1211112112121a b b b a b b b b b--++=+=+-----()111111122112222b b b b b b b b -⎛⎫=+-+-=+-≥=⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭.当且仅当1b -=时，即当1b =时，等号成立，因此，11a b a b +--12.12. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．23【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值 解析：23【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合判断出2z y x =-取最大值的点，即可建立关系求出.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，直线320x y c +-=在y 轴上的截距为2c ，则由图可知12c ≥，即2c ≥， 将2z y x =-化为122z y x =+， 观察图形可知，当直线122z y x =+经过点A 时，z 取得最大值， 由210320x y x y c -+=⎧⎨+-=⎩解得27237c x c y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故23221177c c +-⨯-=，解得23c =. 故答案为：23.【点睛】方法点睛：线性规划常见类型，（1）y b z x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率；（2）z ax by =+，可看作直线a z y x b b =-+的截距问题； （3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.15．4【分析】将所给式子变形为然后利用基本不等式求解即可【详解】因为所以当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】关键点睛：此题的解题关键是将所给式子变形为从而满足基本不等式成立的条件最后计算求解解析：4【分析】11=+-，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】11≥，111615=-≥=-=，1=4x =时，等号成立. 故答案为：4.【点睛】11，从而满足基本不等式成立的条件，最后计算求解. 16．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点 解析：10【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】 解：作出不等式组对于的平面区域如图：由32z x y =+，则322z y x =-+， 平移直线322z y x =-+， 由图象可知当直线322z y x =-+， 经过点A 时，直线322z y x =-+，在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由20y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ， 此时322210max z =⨯+⨯=，故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 17．【分析】根据题意知不等式对应方程的实数根由此求出写出满足条件的一组有序实数对即可【详解】不等式的解集为方程的实数根为和2且即则满足条件的一组有序实数对的值可以是故答案为【点睛】本题考查了一元二次不等 解析：()2,1--【分析】根据题意知，不等式对应方程的实数根，由此求出20a b =<，写出满足条件的一组有序实数对即可．【详解】不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<， ∴方程()()20ax b x --=的实数根为12和2，且012a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩， 即20a b =<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是()2,1--．故答案为()2,1--．【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．18．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划 解析：2【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =-，则y x z =-，则z 表示直线在y 轴的截距的相反数，根据图像知当直线过点()2,0时，即2x =，0y =时，z 有最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.19．23【分析】先画出约束条件所表示的可行域结合图象确定目标函数的最优解代入最优解的坐标即可求解【详解】画出不等式组所表示的可行域如图所示可得交点又由解得目标函数可化为当直线过点C 时直线在轴上的截距最大 解析：23【分析】先画出约束条件所表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解，代入最优解的坐标，即可求解.【详解】画出不等式组213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，可得交点(0,1),(7,1)A B ，又由21211x y y x -=-⎧⎨-=⎩，解得(3,7)C ，目标函数2z y x =-可化为122z y x =+， 当直线122z y x =+过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 将C 代入直线320x y k +-=，解得23k =.故答案为：23【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，结合图象得出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合法，以及计算能力. 20．【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单的线性规解析：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出可行域，y x表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.【详解】如图，不等式组201030y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩表示的平面区域ABC （包括边界），所以y x 表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以122OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题. 三、解答题21．（1）1030x ；（2）480．【分析】（1）令21()202504002R x x x =-++，解之即可； （2）利用二次函数的最值和基本不等式分别求出()R x 两段函数的最大值,再比较大小即可．【详解】（1）当035x <时，令21()202504002R x x x =-++， 即2403000x x -+≤，解得1030x ，所以生产量x 的范围是1030x ；（2）当035x <时，222111()20250(40)250(20)450222R x x x x x x =-++=--+=--+， 故此时()R x 在(0,20)上单调递增，在(20,35)上单调递减，则此时()R x 最大值为(20)450R =；当35x >时，1160011600()()52052048022R x x x x x=-++≤-⨯⨯=，当且仅当160040x x==时，等号成立， 则此时()R x 最大值为(40)480R =，综上公司年利润()R x 的最大值为480万元．【点睛】本题考查了函数的应用，利用二次函数的性质和基本不等式求最值是解题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（Ⅰ）2,1a b =-=；（Ⅱ）{}(,1]1[3,)-∞-⋃⋃+∞．【详解】试题分析：（1）一元二次不等式的解集的端点即相应的二次方程的根；（2）二次不等式恒成立问题结合相应的函数图象特征，抓端点值即可.试题（Ⅰ）由根与系数的关系得11122,1112a a ab b a +⎧-+=⎪⎪⇒=-=⎨⎪-⨯=⎪⎩ （Ⅱ）由题意()2430x m x m +-+-≥对任意[]0,4m ∈恒成立，即()21430m x x x -+-+≥令()()2143g m x m x x =-+-+，即()()220430410g x x g x ⎧=-+≥⎪⎨=-≥⎪⎩， 故(]{}[),113,x ∈-∞-⋃⋃+∞. 23．（1）13a b =⎧⎨=⎩；（2）分类讨论，答案见解析． 【分析】（1）根据题意利用根与系数的关系列方程求出a 、b 的值；（2）不等式化为2(3)30x c x c +--<，求出对应方程的解，利用分类讨论写出不等式的解集．【详解】（1）由题意知：0a >且b 和1是方程2430ax x -+=的两根， 由根与系数的关系有4131b a b a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩， 解得13a b =⎧⎨=⎩． （2）不等式2()0ax ac b x bc +--<可化为2(3)30x c x c +--<，即(3)()0x x c -+<．其对应方程的两根为13x =，2x c =-①当3c ->即3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；②当3c -<即3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；③当3c -=即3c =-时，原不等式的解集为∅；综上所述：当3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；当3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；当3c =-时，原不等式的解集为∅；【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查运算求解能力，求解时注意进行分类讨论．24．（1）2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）当x ＝32时，W 取得最大值为6104万美元.【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【详解】（1）利用利润等于收入减去成本，可得当040x <时，2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-；当40x >时，40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+ 2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪∴=⎨--+>⎪⎩； （2）当040x <时，226384406(32)6104W x x x =-+-=--+，32x ∴=时，(32)6104max W W ==；当40x >时，400004000016736027360W x x x =--+-， 当且仅当4000016x x=，即50x =时，(50)5760max W W == 61045760>32x ∴=时，W 的最大值为6104万美元．【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利用均值不等式求最值，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.25．见解析【分析】由题意，将不等式()2230x a a x a -++>变形为2(0)()x a x a -->，分三种情况讨论，分别求解不等式的解集，即可得到答案．【详解】将不等式()2230x a a x a -++>变形为()()20x a x a -->.当a <0或1a >时，有a < a 2，所以不等式的解集为{|x x a <或2}x a >；当a =0或1a =时，a = a 2=0，所以不等式的解集为{|,x x R ∈且}x a ≠；当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为2{|x x a <或}x a >；【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的求解问题，其中解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.26．（1）16()36005800(0)f x x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭（2）当底面的长宽分别为4m ，3m 时，可使房屋总造价最低，34600元.【分析】（1）设底面的长为x m ，表示出正面，侧面面积，可得总造价；（2）由基本不等式可得最小值．【详解】解：（1）设底面的长为x m ，宽y m ，则12y x=m. 设房屋总造价为()f x ，由题意可得 1216()3120038002580036005800(0)f x x x x x x ⎛⎫=⋅+⨯⨯⨯+=++> ⎪⎝⎭（2）16()360058003600580034600f x x x ⎛⎫=++≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当16x x=即4x =时取等号. 答：当底面的长宽分别为4m ，3m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元.【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是根据已知条件引入变量（长度x ），列出总造价的函数式，从而再由基本不等式求得最小值．。
高中数学必修5第三章《不等式》单元质量测评(含答案)
高中数学必修5第三章《不等式》单元质量测评（含答案）满分150分，考试时间120分钟．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a <0，－1<b <0，则( )A ．－a <ab <0B ．－a >ab >0C ．a >ab >ab 2D ．ab >a >ab 22．已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤， {}2|40B x x =-=，下列结论成立的是（ ）A. B A ⊆B. A B A ⋃=C. A B A ⋂=D. {}2A B ⋂= 3．区域113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩构成的几何图形的面积是（ ）A. 2B. 1C.14 D. 124．若集合20{|}6A x x x +=-<，230B x xx =≤⎧+⎫⎨⎬-⎩⎭，则A B I 等于（ ） A ．()3,3- B ．[)2,2-C ．()2,2-D ．[)2,3-5．不等式2103x x ->+的解集是（ ） A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. ()4,+∞ C. ()(),34,-∞-⋃+∞ D. ()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭6．已知关于x 的不等式24x x m -≥对任意(]0,1x ∈恒成立，则有( )A. 3m ≤－B. 3m ≥－C. 30m ≤<－D. 4m ≥－7．若实数x,y 满足x 12104x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩，则z 2+x y =的最大值为（ ）A. 2B. 5C. 7D. 88．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( )A ．最小值12和最大值1B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值19．设满足约束条件y 01030x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z 3x y =-的最大值为( )A. 3B.C. 1D.10．已知直线l 过点P (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2 2D ．411．某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运()A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年12．若直线20ax by +-=（0,0a b >>）始终平分圆22222x y x y +--=的周长，则112a b+的最小值为（ ）A.34-B. 32-C. 32+D. 34+ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． 14．对任意实数x ，不等式2()(2)2240a x a x ---<-恒成立，则实数a 的取值范围是_______．15．已知x 、y 满足条件040328x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩，则25z x y =+的最大值为________．16.若不等式20x ax b --<的解集为{}23x x <<，则不等式2b 10x ax -->的解集为__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长．18. (本小题满分10分)求函数2710,(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 19．(本小题满分10分) 已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集是B . （1）求AB ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集是,AB 求20ax x b ++<的解集.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16.(1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分14分)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．22．（本小题满分14分）已知关于x 的不等式2320ax x -+≤的解集为{|1}x x b ≤≤． （1）求实数,a b 的值； （2）解关于x 的不等式： 0x cax b->-（为常数）参考答案 一．选择题二．填空题13．x ＜y 14. （-2,2] 15.19 16.11--23x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭三、解答题17． 解：设一条直角边长为x cm(0<x <10)，则另一条直角边长为(10－x ) cm ，面积S ＝12x (10－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋10－x 22＝252(cm 2)， 等号在x ＝10－x ，即x ＝5时成立， ∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋10－x 2＝52＋52＝52(cm)．18. 解：27104(1)5,11x x y x x x ++==+++++当1x >-，即10x +>时，59y ≥=，当且仅当1x =时取等号.19．解：（1）解2-230x x -<得，-13x <<，所以(1,3)A =-.解260x x +-<得，-32x <<，所以(3,2)B =-,(1,2)A B ∴⋂=-.(2)由2+a 0x x b +<的解集是(1,2)-，所以1-a 0420b a b +=⎧⎨++=⎩，解得a -1-2b =⎧⎨=⎩所以2-+-20x x <，解得解集为R 。
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高三数学必修5复习不等式单元检测（附答案）
第三不等式单元检测（A卷）
一、选择题(本大题共10个小题，每小题分，共0分)
1．(东高考，1)设集合＝{x|(x＋3)(x－2)＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则∩N ＝()．
A．[1，2) B．[1，2] ．(2，3] D．[2，3]
2．已知a，b，，d∈R，且＞d，则“a－＞b－d”__________“a＞b”．A．B．．D．以上都不对
3．设＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则与N的大小关系为()．A．＞N B．≥N ．＜N D．≤N
4．已知下列函数中，以4为最小值的函数有()．
①(x≠0)；
②＝s x＋；
③＝(1＋t x)
A．0个B．1个．2个D．3个
．不等式≥0的解集为{x|－3＜x＜－1或x≥2}，则a等于()．A．2 B．－2 ．D．
6．若α，β满足＜α＜β＜，则α－β的取值范围是()．
A．－π＜α－β＜π B．－π＜α－β＜0
．＜α－β＜D．＜α－β＜0
7．当|x|≤1时，函数＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值
范围是()．
A．a≥ B．a≤－1
．－1＜a＜D．－1≤a≤
8．若x，∈R，且则z＝x＋2的最小值等于()．
A．2 B．3 ．D．9
9．若a＞b＞1，，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则()．
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R
．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
10．已知a1＞a2＞a3＞0，则使得(1－aix)2＜1(i＝1，2，3)都成立的x 取值范围是()．
A．B．．D．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)
11．(辽宁开原高二检测)若二次不等式ax2＋bx＋＞0的解集是，那么不等式2x2－2bx－a＜0的解集是__________．
12．若x＞1，则的最小值为__________．
13．已知不等式组的解集是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是__________．
14．已知－1≤a＋b≤3且2≤a－b≤4，则2a＋3b的取值范围是__________．
三、解答题(本大题共个小题，共4分)
1．(10分)解不等式组
16．(10分)如果{x|2ax2＋(2－ab)x－b＞0}⊇{x|x＜－2或x＞3}，
其中b＞0，求a，b的取值范围．
17．(10分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？
18．(12分)已知x，都是正数，且x＋2＋x＝30，求x的最大值并求出相应的x，值．
19．(12分)(广东揭阳高二检测)国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的钻石的价值为4 000美元．
(1)写出钻石的价值关于钻石重量x的函数关系式；
(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为克拉和n 克拉，试证明：当＝n时，价值损失的百分率最大．参考答案
1 答案：A
解析：因为＝{x|－3＜x＜2}，所以∩N＝{x|1≤x＜2}，故选A．
2 答案：A
3 答案：A
解析：－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－a＋6)＝a2＋a＋1＝，∴＞N
4 答案：A
解析：对于①，当x＞0时，；当x＜0时，，即||≥4对于②，s x＋＝4无解．对于③，＝＋2＋t x＋2tan x≥ 所以①②③都不符合条．故
选A．
答案：B
解析：≥0⇔－3＜x＜－1或x≥2，∴a＝－2
6 答案：B
解析：∵＜α＜β＜，∴－π＜α－β＜0
7 答案：
解析：＝ax＋2a＋1可以看成关于x的一次函数，在[－1，1]上具有单调性，因此只需当x＝－1和x＝1时的函数值的符号相反，即(a＋2a＋1)(－a＋2a＋1)＜0，解这个关于a的一元二次不等式，得－1＜a ＜
8 答案：B
解析：由z＝x＋2得，当直线经过直线x＝1和＝x的交点A(1，1)时，z取得最小值，故z＝1＋2＝39 答案：B
解析：∵a＞b＞1，∴＜
又∵lg a＋lg b＝lg ab＜lg 2＝2lg ，
∴lg ＞(lg a＋lg b)，故选B．
10 答案：B
解析：(1－aix)2＜1 x2－2aix＜0 ＜0，
∴0＜x＜
又∵，∴选B．
11 答案：{x|x＞1或x＜－10}
解析：由题意知，和是方程ax2＋bx＋＝0(a≠0)的两实根，
∴∴不等式2x2－2bx－a＜0，即ax2＋ax－a＜0
∵a＜0，∴不等式化为x2＋9x－10＞0，解得x＞1或x＜－10
12 答案：
解析：∵x＞1，∴x－1＞0，x＋＝(x－1)＋＋1≥ ＋1＝，当且仅当x－1＝，即x＝3时取“＝”．
13 答案：a≤9
解析：不等式组解集为{x|2＜x＜3}，设f(x)＝2x2－9x＋a，则有解得a≤9
14 答案：
解析：设x＝a＋b，＝a－b，则有，，
∴2a＋3b＝∵－1≤x≤3，2≤≤4，∴由不等式性质可得≤2a＋3b≤
1 解：≤0ͤx∈[－2，6)．
2x2－x－1＞0ͤ(2x＋1)(x－1)＞0ͤx∈∪(1，＋∞)．
∴原不等式组的解集为∪(1，6)．
16 解：记A＝{x|2ax2＋(2－ab)x－b＞0}＝{x|(ax＋1)(2x－b)＞0}，B ＝{x|x＜－2或x＞3}．
(1)若a＝0，则，A⊇B不可能成立；
(2)a＜0时，由(ax＋1)(2x－b)＝2a ＞0可知，此不等式解集是介于与之间的区间，也不可能有A B；
(3)a＞0时，，
∵A⊇B，∴≥－2且≤3
∴a≥ 且0＜b≤6
17 解：如下图所示，设水稻种x亩，花生种亩，则由题意得
而利润P＝(3×400－240)x＋(×100－80)＝960x＋420(目标函数)．
联立得交点B(1，0)．
故当x＝1，＝0时，
Pax＝960×1＋420×0＝1 60(元)，
即水稻种1亩，花生种0亩时所得到的利润最大．18 解：∵x＞0，＞0，∴x＋2≥
又∵x＋2＋x＝30，∴≤x＋2＋x＝30，
整理得
∵，
∴不等式解集为，
∴0＜x≤18
即x最大值为18，此时x＝2，代入原式得x＝6，＝3
19 解：(1)由题意可设价值与重量的关系式为＝x2，
∵3克拉的钻石价值是4 000美元，
∴4 000＝•32，解得＝6 000，
∴＝6 000x2
答：此钻石的价值与重量的函数关系式为＝6 000x2
(2)若两颗钻石的重量为，n克拉，则原有价值是6 000(＋n)2，
现有价值是6 0002＋6 000n2，
价值损失的百分率
＝
＝，
当且仅当＝n时取等号．
答：当＝n时，价值损失的百分率最大．。