2014届高三一轮数学复习第8讲幂函数、指数与指数函数

子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，
假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：
太贝克)与时间 t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－3t0，
其中 M0 为 t＝0 时铯 137 的含量．已知 t＝30 时，铯 137 含
量的变．化．率．是－10ln 2(太贝克/年)，则 M(60)＝( D )
A．－1 或 1 或 3 B．1 或 3 C．－1 或 3 D．1
(2)已知幂函数 y＝f(x)的图象经过点(3 3，3)，则 f(32)与 f(54)的大小关系为( )
A．f(32)>f(54) B．f(32)≥f(54) C．f(32)<f(54) D．无法确定
【拓展演练 2】 (1)已知幂函数 f(x)＝(m2－m－1)·xm2－2m－1 为奇函数，
则 m＝ ；
(2)已知幂函数 f(x)＝x12(m－4)(m∈N)是偶函数，
且在(0，＋∞)上递减，则 f(x)＝
.
解析：(1)因为函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1 是幂函 数，所以 m2－m－1＝1，即 m2－m－2＝0，
所以 m＝2 或 m＝－1. 又 f(x)是奇函数，而 m＝－1 时，f(x)＝x2 为偶函数， 当 m＝2 时，f(x)＝x－1 为奇函数，所例 1】计算与化简：
(1)[(3
3 8
)
－
2 3
－
(5
4 9
)0.5
＋
(0.008)
－
2 3
÷(0.02)
－
1 2
×(0.32)12]÷0.06250.25；
(2)
3
a－6·3
3 a10·
a25· a－5.
解析：(1)原式＝[(287)23－(499)12＋(10800)23÷ 50 ×4102]÷(16020500)14
5．设 a＝0.20.3，b＝0.30.3，c＝0.30.2，则 a，b，c 的大小关
系为( B )
A．a>b>c
B．a<b<c
C．a<c<b
D．b<a<c
解析：因为函数 y＝x0.3 在(0，＋∞)上为增函数，所以 0.20.3<0.30.3，即 a<b；因为函数 y＝0.3x 在 R 上为减函数，所 以 0.30.3<0.30.2，即 b<c，所以 a<b<c，故选 B.
(2)因为 f(x)在(0，＋∞)上递减，所以21m－4<0 ， m∈N
所以mm<∈4N ，所以 m＝0,1,2,3. 而当 m＝1 或 2 或 3 时，f(x)不是偶函数； 当 m＝0 时，f(x)＝x－2 为偶函数， 故 f(x)＝x－2.
解析：(1)f(x)＝( 23)x 是 R 上的减函数，实数 m，n 满足 f(m)>f(n)，故 m＜n，故选 D.
f(x)＝ax 为 R 上的减函数不成立，故选 A.
3.(2013·安徽卷)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为
{x|x<－1 或 x>12}，则 f(10x)>0 的解集为( D )
A．{x|x<－1 或 x>lg 2}
B．{x|－1<x<lg 2}
C．{x|x>－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
C．(2013,2013)
D．(2013,2014)
解析：令 x－2013＝0，得 x＝2013，此时 y＝2014，即 过定点(2013,2014)，故选 D.
4．已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点(12，22)，则 k＋α＝
.
解析：因为 f(x)＝k·xα 为幂函数，所以 k＝1. 又 f(x)的图象过点(12， 22)，即(12)α＝ 22，所以 α＝12， 故 k＋α＝1＋12＝32.
解析：因为一元二次不等式 f(x)<0 的解集为 {x|x<－1 或 x>12}，所以可设 f(x)＝a(x＋1)(x－12)(a<0)， 由 f(10x)>0，可得(10x＋1)(10x－12)<0， 即 0<10x<12， 解得 x<－lg 2，选 D.
4.(2011·湖北卷)放射性元素由于不断有原子放射出微粒
(2)f(x)＝22xx－＋11＝2x2＋x＋1－1 2＝1＋2－x＋21. 因为 2x＋1∈(1，＋∞)，所以2－x＋21∈(－2,0)， 故 f(x)的值域为(－1,1)．
【拓展演练 3】
(1)设函数 f(x)＝a－|x|(a>0，且 a≠1)，f(2)＝4，则( )
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
(3)由(2)可知，函数 f(x)为 R 上的增函数， 当 x∈[－1,1]时，f(－1)≤f(x)≤f(1)， 所以 f(x)min＝f(－1)＝a2－a 1(a－1－a)＝－1. 要使 f(x)≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需 b≤－1. 所以 b 的取值范围是(－∞，－1]．
【拓展演练 4】 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0,1)时， f(x)＝4x2＋x 1. (1)求 f(x)在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．
C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)
(2)(2013·长郡中学第二次模拟)若函数 f(x)＝ax(a>0)，且
a≠1)在[－1,2]上的最大值为 4，最小值为 m，
且函数 g(x)＝(1－4m) x在[0，＋∞)上是增函数，
则 a＝
.
解析：(1)因为 f(2)＝4，即 a－2＝4，所以 a＝12， 所以 f(x)＝(12)－|x|＝2|x|，所以 f(－2)>f(－1)，故选 A. (2)函数 g(x)在[0，＋∞)上是增函数，则 1－4m>0，即 1 m<4. 若 a>1，则函数 f(x)在[－1,2]上的最小值为 a－1＝m，最大 值为 a2＝4，解得 a＝2，m＝12与 m<14矛盾； 当 0<a<1 时，函数 f(x)在[－1,2]上的最小值为 a2＝m，最 大值为 a－1＝4，解得 a＝14，m＝116满足条件． 所以 a＝14.
四 指数函数的综合应用
【例 4】已知函数 f(x)＝a2－a 1(ax－a－x)(a>0 且 a≠1)． (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)讨论 f(x)的单调性； (3)当 x∈[－1,1]时，f(x)≥b 恒成立，求 b 的取值范围．
分析：(1)函数的奇偶性可由定义来判断；(2)函数的单调 性可由定义，导数法或由基本函数的单调性观察确定，对含 参问题注意参数对单调性的影响；(3)f(x)≥b 恒成立，只需 f(x)min≥b.
2.(2012·山东卷)设 a>0 且 a≠1，则“函数 f(x)＝ax 在 R
上是减函数”是“函数 g(x)＝(2－a)x3 在 R 上是增函数”
的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当 f(x)＝ax 为 R 上的减函数时，0<a<1，则 2－a>0， 此时 g(x)＝(2－a)x3 在 R 上是增函数成立；当 g(x)＝(2－a)x3 在 R 上是增函数时，2－a>0，即 a<2，但 1<a<2 时，
a－3÷
3 a－7·3 a13＝
.
解析：(1)原式＝1＋14×(49)12－(1100)12 ＝1＋16－110＝1165. (2)原式＝(a32·a－32)13÷(a－73·a133)12 ＝(a0)13÷(a2)12 ＝1a.
二 幂函数的图象与性质
【例 2】(1)(改编)已知幂函数 y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图 象与 x、y 轴都无交点，且关于 y 轴对称，则 m 的值为( )
解析：(1)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称． 又 f(－x)＝a2－a 1(a－x－ax)＝－f(x)， 所以函数 f(x)为奇函数．
联合国教科文组织驻华代表M O在讲话中表示：我们必须继续努力，让数字基础设施惠及更多学校和学习者，结合信息与通信技术与教育政策和方案，提升教育工作者的能力，建立数字化学习资源的质 量保证机制，支持父母学习新技能以便督促子女的远程学习活动，保护学习者在线期间的隐私和安全，持深您等电子健康码绿码且当日体温正常的考生方可参加线下考试，让远在山区的小朋友们通过这 一束光，看到一个包罗万象的新世界，触发对大山以外世界的好奇与热爱，情感专区 /qinggan/，☆智能机器人展风采 人机互动共展智能时代新风采论坛独具特色 的启用智能机器人作为主持人，主持风格灵动活泼，巧妙机智，成功不在于一瞬间的爆发，取决于途中的坚持，做企业也是这个道理，CDA&;证书是美国儿童早期教育(ECE)行业受到最广泛认可的证书
解析：(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以当 x＝0 时，f(x)＝0. 设 x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)， 所以 f(x)＝－f(－x)＝－4－2x－＋x 1＝－4x2＋x 1，
2x 4x＋1
0<x<1
所以 f(x)＝0 x＝0
.
－4x2＋x 1 －1<x<0
(2)证明：设 0<x1<x2<1，则 f(x1)－f(x2)＝4x21x＋1 1－4x22x＋2 1 ＝2x1＋2x42＋x1＋2x11－42x22x＋1＋1x2－2x2 ＝2x1－ 4x12＋x211－ 4x22＋x1＋ 1 x2. 因为 0<x1<x2<1，所以 2x1<2x2，2x1＋x2>1， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 故 f(x)在(0,1)上是减函数．