第1讲圆和圆的位置关系
北师大版(2019)高中数学选择性必修1第1章2.4圆与圆的位置关系课件(共27张PPT)
两圆位置关系的判定
【针对训练1】判断下列圆C1与圆C2的位置关系：
⑴圆C1: x2+y2+2x+8y−8=0与圆C2: x2+y2−4x−4y−2=0；
分析：5
10
r1 r2
d
3 5
r1 r2
5
10
⑵圆C1: x2+y2+2x+6y+9=0与圆C2: x2+y2−6x+2y+1=0；
分析： d
2 5 r1 r2
4
外离
⑶圆C1: x2+y2+2y−4=0与圆C2: x2+y2−4x−16=0；
分析：d
5
内切
r1 r2
⑷圆C1: (x+3)2+(y-2)2=1与圆C2: (x-3)2+(y+6)2=144；
分析：d 10
r1 r2
11
内含
相交
两圆位置关系的判定
【问题4】你能总结一下用圆和圆的方程判定两圆的位置关系的步骤吗？
北师大版（2019）选择性必修第一册
§2.4 圆与圆的位置关系
情景引入
【问题1】将月亮与太阳抽象为圆，通过刚才的视频观察到的这两圆在日食
变化的过程中位置关系是怎样的？
•
C1
•
C2
情景引入
【问题1】将月亮与太阳抽象为圆，通过刚才的视频观察到的这两圆在日食
变化的过程中位置关系是怎样的？
•
•
C1
•
C1
切点.
探究两圆的位置关系
相交
•
C1
•
C2
两个圆有两个公共点,此时叫做这两个圆相交.
《与圆有关的位置关系(第1课时)》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版
24.2 与圆有关的位置关系教学内容1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，那么有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆及三角形的外心的概念．4．反证法的证明思路．教学目标1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，那么有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题．重难点、关键1．•重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．2．难点：讲授反证法的证明思路．3．关键：由一点、二点、三点、•四点作圆开始导出不在同一直线上的三个点确定一个圆．教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．老师点评：〔1〕在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．〔2〕圆规：一个定点，一个定长画圆．〔3〕都等于半径．〔4〕经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径．二、探索新知由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d那么有：点P在圆外⇒d>r点P在圆上⇒d=r点P在圆内⇒d<r反过来，也十清楚显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d=r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．下面，我们接下去研究确定圆的条件：〔学生活动〕经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．〔1〕作圆，使该圆经过点A，你能作出几个这样的圆？〔2〕作圆，使该圆经过点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？〔3〕作圆，使该圆经过点A、B、C三点〔其中A、B、C三点不在同一直线上〕，•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？老师在黑板上演示：〔1〕无数多个圆，如图1所示．〔2〕连结A、B，作AB的垂直平分线，那么垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．lBA(1) (2) (3)〔3〕作法：①连接AB、BC；②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图3所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A、B、C•三个点的距离相等〔中垂线上的任一点到两边的距离相等〕，所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线L1，又在线段BC的垂直平分线L2，•即点P为L1与L2点，而L1⊥L，L2Alm BAC ED OF ⊥L ，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与直线垂直〞矛盾． 所以，过同一直线上的三点不能作圆．上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的得出结论，而是假设命题的结论不成立〔即假设过同一直线上的三点可以作一个圆〕，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法． 在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如以下图．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心． 作法：〔1〕在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段； 〔2〕作两线段的中垂线，相交于一点． 那么O 就为所求的圆心． 三、稳固练习教材P100 练习1、2、3、4． 四、应用拓展例2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高27cm ，求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点，写出作法并求出这圆的半径〔比例尺1：10〕分析：要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或OA 或OB ，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt △EOC 中，设OF=x ，那么OE=27-x 由OC=OB 便可列出，•这种方法是几何代数解． 作法分别作DC 、AD 的中垂线L 、m ，那么交点O 为所求△ADC 的外接圆圆心． ∵ABCD 为等腰梯形，L 为其对称轴 ∵OB=OA ，∴点B 也在⊙O 上 ∴⊙O 为等腰梯形ABCD 的外接圆 设OE=x ，那么OF=27-x ，∵OC=OB222215(27)24x x +=-+ 解得：x=20∴221520+=25，即半径为25m ．五、归纳总结〔学生总结，老师点评〕 本节课应掌握：点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那么;;.P d r P d r P d r ⇔>⎧⎪⇔=⎨⎪⇔<⎩点在圆外点在圆上点在圆内 2．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．5．以上内容的应用．六、布置作业1．教材P110 复习稳固 1、2、3． 2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题．1．以下说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；•③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有〔• 〕A．1 B．2 C．3 D．42．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，那么它的外心与顶点C的距离为〔〕．A．2.5 B．2.5cm C．3cm D．4cmB ACBACDO3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，那么弦AD长为〔〕A．522 B．52C．2 D．3二、填空题．1．经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________•个圆，•圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，•圆心是________的交点． 2．边长为a的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________．3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形_________．三、综合提高题．1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD，•假设AB=AC，∠ADE=65°，试求∠BOC的度数．B AC O2．如图，通过防治“非典〞，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、C•为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，•要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．BAC3．△ABC 中，AB=1，AC 、BC 是关于x 的一元二次方程〔m+5〕x 2-〔2m-5〕x+12=0两个根，外接圆O 的面积为4π，求m 的值．答案:一、1．B 2．B 3．A二、1．无数，无数，线段PQ 的垂直平分线，一个，三边中垂线 2．33 a 36a 3．斜边 内 外 三、1．100°2．连结AB 、BC ，作线段AB 、BC 的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置． 3．∵πR 2=4π，∴R=12，∵AB=1，∴AB 为⊙O 直径，∴AC 2+BC 2=1，即〔AC+BC 〕2-2AC ·BC=1， ∴〔255m m -+〕2-•2·125m +=1，m 2-18m-40=0，∴m=20或m=-2， 当m=-2时，△<0〔舍去〕， ∴m=20．[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
圆和圆的位置关系1
直线 l与⊙A 相切 d ＝r 唯一公共 点 直线 l是⊙A的 切线 点C是切点
直线 l与⊙A 相离 d ＞r 没有公共点
知识导入
圆和圆的五种位置关系
设两圆的半径为Ｒ和ｒ，圆心距为ｄ
动画演示
定理1
相交两圆的性质定理
动画演示
圆和圆的五种位置关系
R O1 r O2 R O1 r O2 R O1 r O2
外离
外切
相交
O1O2>R+r
R
O1O2=R+r
R
R-r<O1O2<R+r
R
O1 O r 2
O1 O
r
2
O 1O 2r
内切
内含
同心圆
(一种特殊的内含)
O1O2=R-r
0≤O1O2<R-r
O1O2=0
相交两圆的性质定理
相交两圆的连心线垂直平分公共弦
已知：⊙O1和⊙O2相交于A、B（如图） 求证：O1O2是AB的垂直平分线 证明：连结O1A、O1B、O2A、 O2B
∴∠BAT=∠BTP，∠DCT=∠BTP,
∴∠BAT=∠DCT
P
∴ AB∥CD
分析
例２ 如图，⊙O1与⊙O2内切于点T，⊙O1的弦TA，
TB分别交⊙O2于C，D，连结AB，CD。
求证：AB∥CD 问：要证AB∥CD，只要哪些角相等？
B D O1 O2 C A
答：∠BAT=∠DCT 。 问：要证∠BAT=∠DCT ，能从图中找到合
两圆相切添两圆的公共切线
；.au/driverlicense/ 墨尔本驾照翻译 ；
术,而是控尸术.""控尸术?"南天冰云惊道："你の意思是这个小渺是壹具死尸
圆与圆的位置关系(一)
圆与圆的位置关系（一）教学目标：能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）；2010年考试说明要求B 。
知识点回顾：1.圆与圆的位置关系：设圆C1：222()()x a y b r -+-=和圆C2：222()()x m y n k -+-=，r k ≥，且设两圆圆心距为d ，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r两圆内切；(3)d ＞k+r两圆外离；(4)d ＜k+r两圆内含；(5)k-r ＜d ＜k+r 两圆相交．2.相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶221110x y D x E y F ++++=和圆C2∶++22y x 0222=++F y E x D ，则过两圆交点的直线方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 3.公切线长度的求法______________ 基础训练：1.圆16521222222=-+-=-++）（）与（）（）（y x y x 的位置关系为___________ 2.圆027********=-++=-++y y x x y x 与的位置关系为_____________. 3.半径为13，且与直线2x+3y-10=0切于点P(2，2)的圆方程方程为_____________ 4.已知以C(-4，3)为圆心的圆与圆122=+y x 相切，则圆C 的方程为_____________ 典型例题：已知点B '为圆A ：22(1)8x y -+=上任意一点，点B(-1,0)，线段BB '的垂直平分线和线段AB '相交于点M.（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知点00(,)M x y 为曲线E 上任意一点，求证：点0000324(,)22x y P x x ---关于直线0022x x y y +=的对称点为定点，并求出该定点的坐标.在平面直角坐标系xOy 中 ，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小.（1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||PA 、||PO 、||PB 成等比数列，求PA PB ⋅的范围；（3）已知定点Q （4-，3），直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN ⋅⨯∠是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程，若不存在，给出理由.18、如图，已知圆心坐标为的圆M 与x 轴及直线x y 3=分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x 轴及直线x y 3=分别相切于C 、D 两点，（1）求圆M 和圆N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．检测与反馈：1.圆36)1()7(1)2()3(2222=-+-=++-y x y x 与的位置关系为___________2.圆033023222222=--+=+-+y x y x y x y x 与的位置关系为_________3.过点A(0，6)且与圆C:0101022=+++y x y x 切于原点的圆方程为_________4.圆心在y 轴上，且与直线,01234:1=+-y x l 直线01243:2=--y x l 都相切的 圆的方程为_______________5.设集合{}{})0()1()1(,4),(22222<≤-+-=≤+=r r y x y x N y x y x M ）（，，当N N M =⋂时，则实数r 的取值范围______________11、直线20x y +=与圆222x y +=相交于,A B 两点，O 为原点，则OA OB ⋅=； 13、已知直线01=+-y kx 与圆C ：422=+y x 相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OB OA OM +=（O 为坐标原点），则实数k = ；。
初中数学知识点精讲精析 圆和圆的位置关系
3·6圆和圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．(2)相交2.两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．3.在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A ＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d＝R+r当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R-r．设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离d＞R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R＞r)(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)同心圆d=04.定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．1.两个同样大小的肥皂泡黏(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．【解析】∵OP ＝OO′＝PO′，∴△PO′O是一个等边三角形．∴∠OPO′=60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=∠NPO′=90°．∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°．2．如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？【解析】(1)设⊙O与⊙P外切于点A．∴ PA=OP-OA=8-5，∴ PA=3cm．(2)设⊙O与⊙p内切于点B．∴ PB=OP+OB=8+5，∴ PB=13cm．（3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．3．求证：四边形ABCD是等腰梯形．分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．【解析】证明：连结O1O2，∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．∴ AB∥CD．在⊙O2中，∵AB∥CD，又∵ AB≠CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．【解析】证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，又∵ PA⊥MN，∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，∴ AC=AD．∴ AM=AN．。
圆与圆的位置关系
图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。
教案：圆和圆的位置关系(1)
圆和圆的位置关系(一)教学目标：1．掌握圆和圆的几种位置关系的概念及相切两圆连心线的性质．2．能够根据两圆不同的位置关系，写出两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式；反过来，由两圆半径的和或差与圆心距的大小关系，判定两圆的位置关系．3．结合本节课的教学内容培养学生亲自动手实验，学会观察图形，主动获得知识的能力．4．继续培养学生运用旧知识探求新知识的能力．教学重点：圆和圆的五种位置关系的概念及相切两圆的连心线的性质．教学难点：理解相切两圆连心线性质的证明．教学过程：一、新课引入：教师板书课题：“7．13圆和圆的位置关系(一)”．回顾：点和圆三种位置关系到直线和圆的三种位置关系操作：把课前准备好的两个不等圆的纸版拿出来，同桌两人动手实验，发现圆和圆的位置关系有五种情况的过程，由学生上黑板公布自已发现的五种情况。
二、新课讲解：请两名同学上黑板讲解得到五种位置关系的方法．全班同学参与评议，同时观察图形具有的特点．找一名同学以两圆公共点的个数为依据，摆放出两圆各种不同的位置：找一名同学利用运动变化的观点来得到两圆的位置．设⊙O1为动圆，⊙O2为定圆，当⊙O1向⊙O2运动时，两圆的位置关系的变化如下：由学生实验得到结论，教师引导学生回答，教师概括总结：圆和圆的位置关系五种情况及各自的概念．(1)两圆外离：略(2)两圆外切(3)两圆相交(4)两圆内切(5)两圆内含这五种情况也可以归纳为三类：(2)相交设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离d＞R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R＞r)(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)同心圆d=01、练习题：⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，设(1)O1O2=8厘米； (2)O1O2=7厘米；(3)O1O5=5厘米； (4)O1O2=1厘米；(5)O1O2=0.5厘米； (6)O1和O2重合．请回答⊙O1与⊙O2的位置关系怎样？结合图7-96讲解“把经过两圆心的直线叫做连心线”．那么两圆外切、内切的切点与连心线有怎样的关系呢？得出：两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．例1 如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？三、课堂小结：(一)本节所学的知识点：1．圆和圆的位置关系的概念．3．相切两圆连心线的性质．(二)本节课所学的方法：1．会利用公共点的个数和定义判定两圆的位置关系．2．会用两圆半径和圆心距的关系判定两圆的位置关系．3．学会两圆相切连心线必过这两圆的切点．四、布置作业教材P．137习题7．5 A组 2 、3、4．。
圆与圆的位置关系(1)典型题(精选)
一、圆与圆的位置关系1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切(内切或外切)、两圆相离、两圆内含．设两个圆为1O 、2O ，半径分别为1R 、2R ，且12R R ≥，1O 与2O 间距离为d ，那么就有 12d R R >+⇔两圆相离； 12d R R =+⇔两圆相外切； 12d R R =-⇔两圆相内切； 1212R R d R R -<<+⇔两圆相交； 12d R R <-⇔两圆内含(这里12R R ≠)．2. 连心线的性质连心线是指通过两圆圆心的一条直线．连心线是它的对称轴．两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上． 如果两圆1O 、2O 相交于A 、B 两点，那么12O O 垂直平分AB ．如果两个半径不相等的圆1O 、圆2O 相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线12O O 上，并且 直线12O O 上，并且直线12O O 平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角． 如果两条外公切线分别切圆1O 于A 、B 两点、切圆2O 于C 、D 两点，那么两条外公切线长相等，且AB 、 CD 都被12O O 垂直平分．一、圆与圆位置关系的确定【例1】 右图是北京奥运会自行车比赛项目标志，图中两车轮所在圆的位置关系是（ ）A ．内含B ．相交C ．相切D ．外离【例2】 如图是一个五环图案，它由五个圆组成．下排的两个圆的位置关系是（ ）A ．内含B ．外切C ．相交D ．外离例题知识点圆与圆的位置关系（1）【例3】 右图是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切【例4】 如图，日食图中表示太阳和月亮的分别为两个圆，这两个圆的位置关系是 ．【例5】 图中圆与圆之间不同的位置关系有（ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【例6】 大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切 Ｃ．相交 D ．内含【例7】 已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O 2的半径R 为4cm ，两圆的圆心距O 1O 2为1cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内含 C ．内切 D ．外切【例8】 已知1O ⊙与2O ⊙的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距127cm O O =，则两圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【例9】 两圆的圆心坐标分别是)0，和()01，，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是（ ） A ．相交B ．外离C ．外切D ．内切【例10】 已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为6和3，O 1、O 2的坐标分别是(5，0)和(0，6)，则两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离【例11】 分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________．【例12】 如图，A ⊙，B ⊙的半径分别为1cm ，2cm ，圆心距AB 为5cm ．如果A ⊙由图示位置沿直线AB向右平移3cm ，则此时该圆与B ⊙的位置关系是_____________．【例13】 已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根，且122O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是 ．【例14】 已知1O ⊙与2O ⊙半径的长是方程27120x x -+=的两根，且1212O O =，则1O ⊙与2O ⊙的位置关系是___________．【例15】 已知关于x 的一元二次方程()22104x R r x d -++=无实数根，其中R r 、分别是12O O ⊙、⊙的半径，d 为此两圆的圆心距，则12O O ⊙、⊙的位置关系为______________．【例16】 已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程28209x x -+=的两根，且121OO =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是_________．【例17】 如图，1O ⊙和2O ⊙的半径为1和3，连接12O O 交2O ⊙于点P ，128O O =，若将1O ⊙绕点P 按顺时针方向旋转360︒，则1O ⊙与2O ⊙共相切_______次．【例18】 如图，点A B ，在直线MN 上，11AB =厘米，A B ，的半径均为1厘米．A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，B 的半径也不断增大，其半径r (厘米)与时间t (秒)之间的关系式为1r t =+(0)t ≥．（1）试写出点A B ，之间的距离d (厘米)与时间t (秒)之间的函数表达式； （2）问点A 出发后多少秒两圆相切？【例19】 如图，A B 、⊙⊙的圆心A B ，在直线l 上，两圆半径都为1cm ，开始时圆心距4cm AB =，现A B ⊙⊙，同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，A ⊙运动的时间为 秒．l【例20】 如右图a ，在矩形ABCD 中，20cm AB =，4cm BC =，点P 从A 开始沿折线A B C D ---以4cm/s的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为(s)t ． （1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形?（2）如右图b ，如果P ⊙和Q ⊙的半径都是2cm ，那么t 为何值时，P ⊙和Q ⊙外切?图a二、圆与圆位置关系的性质【例21】 已知1O 和2O 外切，它们的半径分别为2cm 和5cm ，则12O O 的长是（ ）A ．2cmB ．3cmC ．5cmD ．7cm【例22】 O 的半径为3cm ，点M 是O 外一点，4OM cm =，则以M 为圆心且与⊙O 相切的圆的半径是 cm ．【例23】1O ⊙和2O ⊙相切，1O ⊙的直径为9cm ，2O ⊙的直径为4cm ．则12O O 的长是_________．【例24】 如图，1O ，2O ，3O 两两相外切，1O 的半径11r =，2O 的半径22r =，3O 的半径33r =，则123O O O △是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形【例25】 若A ⊙和B ⊙相切，它们的半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为_______________．【例26】已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是( ) A．01d<d>d>D．01≤或5dd<<B．5d>C．01<<或5【例27】一条皮带安装在半径是14和4的两只皮带轮上(皮带紧绷且不相交)，若皮带在两只轮子切点间的距离是24，那么两轮圆心间的距离是___________．5和4cm，这两个圆的圆心距是【例28】已知相切两圆的半径分别为cm【例29】已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是．A BC D。
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第1讲 圆与圆的位置关系
一、知识梳理
、r ）
切点。
3、外公切线长：L=2212)r r (d --；内公切线长：L=2
212)r r (d +-
二、典型问题分析：
问题1．如图⊙O 和⊙OA 交于M 、N ，且A 在⊙O 上，弦MC 交⊙O 于点D ，连结AD ，NC ，求证：DA ⊥NC
问题2．⊙O 和⊙O 1外切于C ，AB 是外公切线， 延长⊙O 交AB 的延长线于P 点，若∠P=300，AB=2，求两圆的半径。
问题3.如图，ΔABC 的∠C ＝Rt ∠，BC ＝4，AC ＝3，两个外切的等圆⊙O 1，⊙O 2各与AB ，AC ，BC 相切于F ，H ，E ，G ，求两圆的半径。
问题4.如图，⊙O 1和⊙O 2相切于点P ，AB 切两圆于A ，B ，ΔPAB 的周长为40，面积为60，求P 点到AB 的距离。
问题5.如图，⊙O 与⊙O 1外离，AB ，CD 是内公切线，OO ！是圆心距，⊙O 半径为4，⊙O 1半径为6，OO 1＝20，求两圆内公切线所夹的锐角及内公切线长。
问题6. 已知⊙O 1与⊙O 2的半径长分别为方程01492
=+-x x 的两根，若圆心距O 1O 2的长为5，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系如何？
问题7.如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AB 过P 点分别交⊙O 1和⊙O 2于A 、B 两点，BD 切⊙O 2于点B ，交⊙O 1于C 、D 两点，延长CP 交⊙O 2于Q 。
（1）求证：CQ CP
AD
PA =2
2；
（2）设⊙O 2的半径为r ，⊙O 1的半径为R ，若BP ＝2，AD ＝34，求
R
r
的值； （3）若AP ∶PB ＝3∶2，且C 为BD 的中点，求AD ∶BC 的值。
问题8、如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，P 为⊙O 1上一点，PB 的延长线交⊙O 2于C ，PA 交⊙O 2于点D ，CD 的延长线交⊙O 1于点N 。
（1）过点A 作AE ∥CN 交⊙O 1于点E ，求证PA ＝PE ； （2）连结PN ，若PB ＝4，BC ＝2，求PN 的长。
∙
2
O 1
O
∙2题图
N
E
P
D C
B
A
问题9、如图，已知⊙O 与⊙O '相交于A 、B 两点，点O 在⊙O '上，⊙O '的弦OC 交AB 于点D 。
（1）求证：OD OC OA ⋅=2
；
（2）如果AC ＋BC ＝3OC ，⊙O 的半径为r ，求证：AB ＝r 3。
O '
∙
∙
3题图 O D
C
B
A
问题10、已知点A 在⊙O 上，⊙A 与⊙O 相交于B 、C 两点，⊙A 的弦BD 与⊙O 相交于E 。
（1）如图1，判定△CED 的形状，并证明你的结论；
（2）如图2，当BD 经过O 时，若⊙A 的半径为6，
CE ＝1，求⊙O 的半径。
4题图1
∙∙4题图2
O
E
D C
B
A
家庭作业
1． 如图，两圆外切于P ，直线交两圆于A ，B ，C ，D ，求证：∠APD ＋∠BPC ＝180°
2． 如图，⊙O 和⊙O 1内切于E ，大圆弦AD 经过O 1且交⊙O 1于B ，C ，AB ：BC ：CD ＝2：4：3，
求⊙O 1与⊙O 半径之比。
3． 如图，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B ，过A 作直线分别交⊙O 1，⊙O 2于C ，D ，过B 作直线
分别交⊙O 1，⊙O 2于E ，F ，求证：CE ∥DF
4、如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，P 为⊙O 2上一点，PA 交⊙O 1于C ，PB 的延长线交⊙O 1于D ，过D 、C 的直线交⊙O 2于E 、F 。
求证：PE ＝PF 。
∙
2
O 1
O ∙
第1题图
E
F
P
D
C
B
A
问题1：解：连接MN ，OA ，AN ，MN 交OA 于B ， ∵MN 是公共弦，OA 为圆心距， ∴MN ⊥OA 于B ， ∴∠ABN=90°， 在⊙A 中，
∵∠C 的度数等于弧MN 的度数的一半，∠BAN 的度数也等于弧MN 的度数的一半， ∴∠C=∠BAN ，
∵M 、N 、A 、D 四点共圆， ∴∠ADC=∠BNA ， ∵∠BAN+∠BNA=90°， ∴∠C+∠EDC=90°， ∴∠AEC=180°-90°=90°． 答：∠AEC 的度数是90°． :
问题7：（1）证明：先证∠APD ＝∠BPC ，又∠BCP ＝∠DAP
∴△CPB ∽△APD ，∴CB CP AD PA =，即2
2
22CB CP
AD PA = ∵BC 切⊙O 2于O 2，∴CQ CP BC ⋅=2
∴CQ
CP
CQ CP CP AD PA =⋅=222 （2）解：连结O 1 O 2、O 1 A 、O 2 B ，则O 1 O 2过P 点。
证△AO 1P ∽△BO 2P ，∴AP
BP
R r =，再证AD
AP AB AD =，∴)2(2
AP AP AP AB AD +=⋅=，AP AP 2)34(22+=，解得AP ＝6 ∴
3
162==R r （3）解：∵C 为BD 的中点，∴BC ＝DC ，∴P
C D PBC S S ∆∆=。
∵AP ∶PB ＝3∶2，∴D A P S ∆∶
DPB S ∆＝3∶2，∴DA P S ∆∶PBC S ∆＝3∶1。
∵△DAP ∽△BCP ，2
⎪⎭
⎫
⎝⎛=∆∆BC DA S S PBC DAP ，∴
3=BC
DA。
问题9、
例2图
，∴
同理可得，
AC+BC=．
分析1 由结论联想到三角形的内角和定理，但是求证的两个角彼此重叠在一起，添过P点的公切线PQ可将角分解代换：∠APD=∠APB+∠BPQ+∠CPQ+∠CPD，∠QPB=∠A，∠QPC=∠D，这是弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，又由三角形外角定理有∠BCP=∠D+∠CPD，∠CBP=∠A+∠BPA，这表面上看是将角分散了，但是“分解与重新组合”，使求证：∠APD+∠BPC=180°的结论获得了新生:∠
APD+∠BPC=∠BPC+∠PBC+∠BCP=180°.
分析2 由结论联想△APD的内角和定理，作过P点的公切线PQ，∠BPC=∠BPQ+∠CPQ，∠BPQ=∠A，∠CPQ=∠D，最后得出∠APD+∠A+∠D=∠APD+∠BPC=180°.
2、解：过O
1作圆O2的直径，
∵半径为r
1的圆内切于半径为r2的圆，切点为P，
∴E、O
1、P共线，
设AC=3x，CD=4x，DB=2x，则r
1=2x，
由相交弦定理得：AO
1•O1B=EO1•PO1，
∴5x•4x=（2r
2-2x）•2x，
解得：r
2=6x，CD=4x，DB=2x，得到r1=2x，根据相交弦定理得到AO1•O1B=EO1•PO1，代入得方程5x•4x=（2r2-2x）•2x，求出r2=6x，即可求出答案．
3、CD和EF在两圆中不相交。
连接AB，在⊙O1中，∵ABEC是圆内接四边形，∴∠CEB+∠CAB=180°，
在⊙O2中，∵ABFD是圆内接四边形，∴∠CAB=∠BFD，
那么∠CEB+∠BFD=180°，∴CE∥DF。
4、提示：连结AB、AE，证∠PEF＝∠F；。