24.2.1点和圆的位置关系
九年级上数学《24.2.1 点和圆的位置关系》课件
r
点P在圆外
点P在圆上
点P在圆内
d>r
d=r
d<r
2． 三点定圆
过已知一点可作无数个圆． 过已知两点也可作无数个圆． 过不在同一条直线上的三点可以作一个圆， A 并且只能作一个圆．
B
C
3． 外接圆、内接三角形
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个 圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫这个圆的 内接三角形． A
A 3m
C
2m
回顾
画圆的关键是什么？
确定圆心 确定半径的大小
探究
1． 过一点可以作几个圆? 无数个
● ●
●
O O
●
A
●
O
●
O
O
圆心： 点A以外任意一点 半径： 这点与点A的距离
2． 过两点可以作几个圆？无数个
●
O ●O
●
●
A
O
●
B
●
O
圆心：线段AB的垂直平分线上
半径： 这点到A或B的距离
3． 过不在同一条直线上的三点可以作几个圆? A
A 3m
B站在以A为圆心， 以3m为半径的圆上任 意一点即可． 有无数个位置．
2． A站住教室中央，若要求Ｂ与A距离等于 3m，B与C距离2m，那么B应站在哪儿？有几个 位置？ 有两个位置．
B
A 3m 2m
C B
3． 现在要求Ｂ与A距离3m以外，B与C距离 2m以外，那么B应站在哪儿？有几个位置？ B应站在⊙A和⊙C的圆外 ， 有无数个位置．
反证法
假设命题的结论不成立，由此经过推理得 出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得 到原命题成立，这种方法叫做反证法．
人教版数学九年级上册第二十四章《24.点和圆的位置关系》课件
三角形外接圆的作法： 1.作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； 2.以该交点为圆心，交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可.
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，
视察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
锐角三角形的外心位于三角形内；
课堂练习
1.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关 系只能是( D )
A.点在圆内 C.点在圆心上
B.点在圆上 D.点在圆上或圆内
2.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠ACB的度数是__7_0_°__．
解：∵∠OAB=20°，OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB=20°， ∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=140°， ∴∠ACB=12∠AOB=70°．
A
B
C
PQ R M
2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与 本来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( D )
A．第①块 C．第③块
B．第④块 D．第②块
3.如图，AB，CD是⊙O内非直径的两条弦.
求证：AB与CD不能互相平分.
合作探究
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C可以 作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在 线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直 平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l， l2⊥l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一 条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一 条直线上的三点不能作圆．
【最新版】九年级数学上册课件：24.2.1 点和圆的位置关系
知识点 4 反证法
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
P l1
A
B
如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作
一个圆，设这个圆的圆心为P.
那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段
l2
BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点.
而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且 C 只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.
2. 连接AC，作线段AC的垂直平分 B E O M C 线EF，交MN于点O；
3. 以O为圆心，OB为半径作圆.
所以⊙O就是所求作的圆.
探究新知
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原
了吗？
方法: 1. 在圆弧上任取三点A、B、C;
A B
2. 作线段AB、BC的垂直平分线,
3.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为（3,4），
则点P与⊙O的位置关系为 （B ）
A.在⊙O内
B.在⊙O上
C.在⊙O外 外
D.在⊙O上或⊙O
课堂检测
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它
的外接圆半径= 5 .
5.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度 数是___7_0_°___．
B
C
A
课堂小结
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系/
点与圆的 位置关系
作 圆
点在圆外 点在圆上 点在圆内
d>r d=r d<r
P
r R
过一点可以作无数个圆
九年级数学上册课件：24.2.1点和圆的位置关系
阿依古丽 阿勒玛勒镇中学
一、查学诊断
▪ 1、圆上的点到圆心的距离都 。
2．如图，若AC＝BC，则点C在______．
二、示标导入
我国射击运动员在奥运 会上屡获金牌，为我国 赢得荣誉，右图是射击 靶的示意图，它是由许 多同心圆（圆心相同， 半径不等的圆）构成的， 你知道击中靶上不同位 置的成绩是如何计算的 吗？
设⊙O的半径为r,点P 到圆心的距离OP = d，则有： P
点和圆 点P在圆内
的位置 点P在圆上
关系 点P在圆外
d＜r；
d = r；
d＞r .
P
P
O·
r
符号
读作“等价
A
于”，它表示从符号
的左端可以得到右端从右端
也可以得到左端．
点与圆的位置关系
例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，
AD=4厘米
过三点 2、若三点不共线，则过这三点不能作直线，
但过任意其中两点一共可作三条直线.
AB
C
A
B
C
对于一个圆来说,过几个点能 作一个圆,并且只能作一个圆？
归纳结论：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一
个．
A
经过三角形三个顶点的圆叫做三
角形的外接圆。
三角形外接圆的圆心叫做这个 三角形的外心。
2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条 直线上不能作圆；
3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也 可能作不出一个圆.
A
A
A
B
B
A
B
B
D
C
D
C
D
24.2.1点和圆的位置关系课件
典型例题
如图，已知等边三角形ABC中，边长为 6cm，求它的外接圆半径。
A
E O B D C
C 90 1、如图，已知 Rt⊿ABC 中 ，
若 AC=12cm，BC=5cm， 求的外接圆半径。
B
C
A
如图，等腰⊿ABC中， AB AC 13cm，
BC 10cm ，求外接圆的半径。
方法，领会其思想。心的距离为d。则 位置 数量
●
●
O
●
点在圆内
●
d﹤r d＝r d>r
点在圆上 点在圆外
练习：1、已知圆的半径等于5厘米，点到圆心的距离是:
A、8厘米
B、4厘米
C、5厘米。
请你分别说出点与圆的位置关系。
自学效果检测
2.⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为 8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是： 点A在⊙O内 ；点B在 ⊙O上 ；点C在⊙O外。 3.正方形ABCD的边长为 3 cm，以A为 圆心2cm为半径作⊙A，则点C( C ) A.在⊙A上 B.在⊙A内
A A
●
A
●
O C B ┐
O C
●
O
B
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
1、判断下列说法是否正确 (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ ). (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( × ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( × ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( √ ) 2、若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的 形状为( B ) A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形
人教版数学九年级上册说课稿24.2.1《点和圆的位置关系》
人教版数学九年级上册说课稿24.2.1《点和圆的位置关系》一. 教材分析《点和圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二节内容。
本节主要介绍点和圆之间的位置关系，包括点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况。
通过学习，使学生能够理解并掌握点和圆的位置关系，为后续学习圆的性质和应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的性质和概念有一定的理解。
但对于点和圆的位置关系，可能还存在一定的模糊认识。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、思考、交流等方式，自主探索点和圆的位置关系，提高他们的空间想象能力和思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握点和圆的位置关系，能够判断一个点在圆内、圆上还是圆外。
2.过程与方法：通过观察、思考、交流等，培养学生自主探索和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于尝试、积极思考的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.重点：点和圆的位置关系的判断。
2.难点：理解和掌握点和圆位置关系的内在联系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔、几何模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的圆形象，如硬币、篮球等，引导学生关注圆的特点，激发学生学习兴趣。
2.自主探索：让学生观察和思考，通过动手画图、讨论等方式，探索点和圆的位置关系。
3.引导发现：教师引导学生发现点和圆位置关系的规律，总结出点和圆的判断方法。
4.巩固练习：设计一些具有针对性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
5.课堂小结：教师和学生一起总结本节课的主要内容和收获。
6.布置作业：设计一些拓展性的作业，让学生课后继续思考和探索。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。
可以采用流程图、图示、列表等形式，展示点和圆的位置关系。
八. 说教学评价教学评价可以从学生的学习态度、课堂表现、练习成绩等方面进行。
人教版九年级数学上册24.2.1《点和圆的位置关系》教学设计
人教版九年级数学上册24.2.1《点和圆的位置关系》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册24.2.1《点和圆的位置关系》是圆的相关知识的一个重要内容。
本节内容通过探讨点和圆的位置关系，引导学生理解点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，从而掌握判断点与圆的位置关系的依据。
教材通过丰富的实例和生动的语言，让学生在探究中发现规律，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的认识和判断能力有所提高。
但是，对于点和圆的位置关系的理解，部分学生可能会感到抽象和难以理解。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动的实例和直观的图形，帮助学生建立正确的空间观念，引导学生主动探究和发现规律。
三. 教学目标1.理解点到圆心的距离与圆的半径之间的关系。
2.学会判断点与圆的位置关系。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
4.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系的依据。
2.教学难点：理解和运用点到圆心的距离与圆的半径之间的关系判断点与圆的位置关系。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问和引导，激发学生的思考，让学生在探究中发现规律。
2.直观教学：利用图形和实例，帮助学生建立正确的空间观念，提高学生的直观想象力。
3.合作学习：鼓励学生分组讨论和交流，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，包括相关的图形和实例。
2.教学道具：准备一些圆形的道具，以便在课堂上进行直观演示。
3.练习题库：准备一些有关点和圆的位置关系的练习题，以便进行课堂巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学过的几何知识，如直线、圆等，为学生建立新的知识联系打下基础。
2.呈现（15分钟）教师通过课件展示点和圆的位置关系，引导学生观察和分析点到圆心的距离与圆的半径之间的关系。
点和圆的位置关系课件人教版九年级上册
当OP
时点P在圆内；当OP
点 P 不在圆外.
； 时，
初中数学
课后作业
3. 已知 AB =6 cm，画半径为4 cm的圆，使它经过A， B 两点. 这样的圆能画出多少个？如果半径为3 cm， 2 cm呢？
4. 思考：经过三个已知点 A，B ，C 作圆．
初中数学
同学们，再见！
已知 AB =6 cm，画半径为4 cm的圆，使它经过A，B 两点.
点和圆的位置关系
E 点到圆心的距 经过一个已知点 A 作圆．
点在圆上 点 P3 在圆内 d3＜r ．
r O 离等于半径 （2）若PO=4，则点P在
；
过一点可以画无数个圆．
A 如图，已知矩形ABCD的边AB=3 cm，AD=4 cm.
初中数学
巩固练习
2. 体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4 m 和 5.1 m ，他们投出的铅球分别落在图中哪个 区域内？ 小明
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小丽
初中数学
巩固练习
3. 已知⊙O的面积为25π： （1）若PO=5.5，则点P在 圆外 ； （2）若PO=4，则点P在 圆内 ； （3）若PO= 5 ，则点P在圆上； （4）若点P不在圆外，则PO__≤__5______．
A
D
(B在圆上，D在圆外，C在圆外)
B
C
初中数学
巩固练习
4. 如图，已知矩形ABCD的边AB=3 cm，AD=4 cm.
（2）以点A为圆心，4 cm 为半径作圆A，则点B、C、 D与圆A的位置关系如何？
A
D
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
B
C
初中数学
巩固练习
4. 如图，已知矩形ABCD的边AB=3 cm，AD=4 cm.
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A N
作法：1、连结AB，作线段AB的
F 垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直平
B
EO
M
C
分线EF，交MN于点O； 3、以O为圆心，OB为半径作圆。
所以⊙O就是所求作的圆.
问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘
复原了吗？
方法: 1、在圆弧上任取三点A、
A B
B、C;
2、作线段AB、BC的垂
A
D
B
C
变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），
P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的
P有几个？求出点P的坐标.
y
A x
P2 O P4 P1 P3
P1( 5, 0)
P2 ( 5, 0) P3 (4, 0)
5 P4 ( 4 , 0)
二 过不共线三点作圆
合作探究
问题1如何过一个点A作一个圆？ 过点A可以作多少个圆？
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外
d ＜r d= r d＞r
练一练：
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离 分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的
位置关系是：点A在 圆内 ；点B在 圆上 ；点 C在 圆外 .
方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是 确定外接圆的直径(或半径)长度．
例3 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm， O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
以不与A点重合的任意一点 为圆心，以这个点到A点的 距离为半径画圆即可； 可作无数个圆.
· A ··
· ·
问题2：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少 个圆？
作线段AB的垂直平分线，以其
上任意一点为圆心，以这点和
·
点A或B的距离为半径画圆即可;
可作无数个圆.
A ·· B
·
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
导入新课
情境引入
你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的， 你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？
想一想
视频引入
一 点和圆的位置关系 问题1：观察下图中 C
点与圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外.
问题2：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在 点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
C
B●
●
三 三角形的外接圆及外心
试一试： 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、
B、C三点的圆. A
O C
B
要点归纳
A
1. 外接圆
⊙O叫做△ABC的_外__接__圆___，
B
△ABC叫做⊙O的_内__接__三__角__形___.
●O C
2.三角形的外心： 定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
A
A
A
●O
●O
●O
B
┐
CB
C
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
要点归纳
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接 圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；三角形的外心 到三角形的三个顶点的距离相等.
典例精析
例2：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为 原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于 点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
直平分线,其交点O即为 圆心;
C O
3、以点O为圆心，OC长
为半径作圆.
⊙O即为所求.
针对训练
某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们 分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想 规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。 请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个 位置呢？
●A
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在直角△AOD中， OA＝OD·tan∠ADO＝ 3 3， AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是( 3 3 ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π.
作图：三角形三边中垂线的交点. 性质：到三角形三个顶点的距离相等.
判一判： 下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ ) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( × ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( × ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( √ )
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝 角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三 角形与它的外心的位置关系.
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若
OP= 3 ，则点P在（ D ）
A.大圆内
B.小圆内
o
C.小圆外
D.大圆内，小圆外
要点归纳 点和圆的位置关系
P
P
d
d Pd
r
r
r
P
r
R
点P在⊙O内 d<r 点P在⊙O上 d=r
点P在⊙O外 d>r 点P在圆环内 r≤d≤R
数形结合：位置关系
数量关系
例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆 的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点） 2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用. （重点） 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 4.了解反证法的证明思想.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与
⊙A的位置关系如何？
A
D
解：AD=4=r，故D点在⊙A上
AB=3<r，故B点在⊙A内
AC=5>r，故C点在⊙A外
B
C
（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有 一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取 值范围？（直接写出答案）
3<r<5
经过A,B两点的圆的圆心在线段
AB的垂直平分线上.
F
经过B,C两点的圆的圆心在线段
A
BC的垂直平分线上.
B ●
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在
o
C
这两条垂直平分线的交点O的位置.
G
归纳总结
位置关系
定理： 不在同一直线上的三个点确定
一个圆.
B 有且只有
F A
●
o
C
G
练一练 已知：不在同一直线上的三点A、B、C. 求作： ⊙O,使它经过点A、B、C.