点与圆的三种位置关系
点和圆的位置关系
点和圆的位置关系
点到圆的位置关系是直角坐标系中比较常见的一种位置关系，它表示特定点P(x, y)与圆C（x_0， y_0）之间的位置关系。
圆心C（x_0， y_0）与任意点P（x， y）之间的距离可以用几何定义表示：
|P(x,y) - C (x0,y0)| = r
其中r为圆C的半径。
一般来说，当点P在圆内时，表达式|P(x,y) -C(x0,y0)| <r ,满足该不等式，点P 和圆的位置关系为点P在圆内。
当点P在圆外时，表达式
|P(x,y) - C (x0,y0)| >r ,满足该不等式，点P和圆的位置关系为点P在圆外。
当点P在圆上时，表达式|P(x, y) - C (x0, y0)| = r ，满足该等式，点P和圆的位置关系为点P在圆上。
在直角坐标系中，可以将点P(x, y)与圆C(x0, y0)使用如下几何方程式表示：
以上几何方程式表示了点P与圆C之间的位置关系。
其中右边的r^2为圆C的半径平方，左边是点P到圆C的距离的平方。
满足该等式，即可判断出点P和圆C之间的位置关系。
因此，点到圆的位置关系，可以利用几何定义或几何方程式来表示，由此可以判断出点P和圆的位置关系的正确性。
人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)
点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。
人教版初中九年级上册数学课件 《点和圆的位置关系》圆
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A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定
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8．如图，在网格(每个小正方形的边长均为 1)中选取 9 个格点(格线的交点称为 格点)，如果以点 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆 内，则 r 的取值范围为( B )
A．2 2<r< 17 B． 17<r≤3 2 C． 17<r<5 D．5<r< 29
A． 10 C．34
B．189 D．10
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11．【易错题】已知⊙O是△ABC的外接圆， 边BC＝4cm，且30°⊙或15O0°半径也为4cm，则∠A的度 数是____________________.
1102或．8 【易错题】在Rt△ABC中，AB＝6， BC＝8，则这个三角形的外接圆直径是 ____________.
A．△ABE C．△ABD
B．△ACF D．△ADE
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4．如图，点 A、B、C 在同一条直线上，点 D 在直线 AB 外，过这四个点中的 任意 3 个，能画的圆有( C )
A．1 个 C．3 个
B．2 个 D．4 个
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Hale Waihona Puke 5．【四川雅安中考】如图，△ABC 内接于⊙O，BD 是⊙O 的直径，∠CBD＝21°， 则∠A 的度数为_____6_9_°___.
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6．如图，已知矩形ABCD的边 AB＝3cm，BC＝4cm，以点A为圆 心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、 D与⊙A有怎样的位置关系．
解：连接AC．∵AB＝3cm，BC ＝AD＝4cm，∴AC＝5cm，∴点B 在⊙A内，点D在⊙A上，点C在 ⊙A外．
中考数学复习之与圆有关的位置关系,考点过关与基础练习题
34.与圆有关的位置关系➢知识过关1.点和圆的位置关系2.直线与圆的位置关系3.切线的判定与性质切线的定义：直线与圆有_____公共点时，这条直线是圆的切线.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的______切线的判定：经过半径的外端并且______这条半径的直线是圆的切线.到圆心距离等于______的直线是圆的切线.➢考点分类考点1直线与圆的位置关系的判定例1如图所示，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3cm，BC=3cm，若OA=x cm,△O的半径为1cm，请问当x在什么范围内取值时，AC与△O相交、相切、相离？D考点2切线的判定例2 如图所示，AB是△O的直径，C是O上一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN 的垂线，垂足为点D，且△BAC=△CAD.(1)求证：直线MN是△O的切线；(2)若CD=3，△CAD=30°，求△O的半径.考点3 切线的性质 例3 如图所示，在△O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作△O 的切线，切点为D ，连接BD.(1)求证：△A=△BDC(2)若CM 平分△ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM=1时，求MN 的长.➢ 真题演练1.如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝60°，P A ＝2，PC ＝4，则△ABC 的面积为（ ）A ．43√3B ．32√3C ．2√3D ．3√32．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B ＝90°，∠BCD ＝120°，AB ＝4，BC ＝2，则AD 的长为（ ）A ．2√3B ．4−√3C ．√3+1D ．2+√33．如图，P A 、PB 、CE 分别与⊙O 相切于点A 、B 、D 点，若圆O 的半径为6，OP ＝10，则△PCE 的周长为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．204．如图所示，点P 是⊙O 的半径OC 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦，连接AC ，BC ，若∠P AB ＝70°，则∠ACB 的大小为（ ）A ．70°B ．110°C ．120°D ．140°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝12，若⊙O 与△ABC 的三边分别相切于点D ，E ，F ，且△ABC 的周长为32，则DF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，已知DC 是⊙O 的直径，点B 为CD 延长线上一点，AB 是⊙O 的切线，点A 为切点，且∠BAD ＝35°，则∠ADC ＝（ ）A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°7．如图，PC 、PB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，延长PC ，与BA 的延长线交于点E ，过C 点作弦CD ，且CD ∥AB ，连接DO 并延长与圆交于点F ，连接CF ，若AE ＝2，CE ＝4，则CD 的长度为（ ）A ．3B ．4C ．185D ．2458．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB ，交CB 的延长线于点E ．若BA 平分∠DBE ，AD ＝7，CE =√13，则AE 的长度为 ．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若sin ∠CAB =35，DF ＝5，则AB 的长为 ．10．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，C为⊙O上一点连接AC、BC，若∠C＝55°，则∠P的度数是°．11.如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．（1）求CD的长度．（2）求EG的长度．（3）求FB的长度．12．如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求P A的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．13．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．（1）求证：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，P A＝4，求tan∠PCB的值．➢ 课后练习1．如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点，过半径OB 的中点C 作CD ⊥OB 交P A 于点D ，若PD ＝3，AD ＝5，则⊙O 的半径长为（ ）A ．2√7B ．4√2C ．3√3D ．2√52．如图，等边三角形ABC 的边长为4，⊙C 的半径为√3，P 为AB 边上一动点，过点P 作⊙C 的切线PQ ，切点为Q ，则PQ 的最小值为（ ）A ．12B ．√3C ．2√3D ．33．如图，点O 是矩形ABCD 对角线BD 上的一点，⊙O 经过点C ，且与AB 边相切于点E ，若AB ＝4，BC ＝5，则⊙O 的半径长为（ ）A ．165B ．258C ．5√419D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC =√2，点D 是AB 边上一个动点，以点D 为圆心r 为半径作⊙D ，直线BC 与⊙D 切于点E ，若点E 关于CD 的对称点F 恰好落在AB 边上，则r 的值是（ ）A ．√2−1B ．1C ．√2D ．√2+15．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠D＝30°，AB＝4，那么线段CD的长是．6．如图，△ABD内接于⊙O，AD为直径，CD为⊙O的切线，连接BC，若CD＝AD，AB ＝2，BC=2√13，则BD＝．7．已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，M是线段AD的中点，点P是对角线AC 上的动点，连接PM，以P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与菱形ABCD的边相切时，AP的长为．8．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，且BD＝CD，DF ⊥AC于点F．给出以下四个结论：̂=DÊ；④∠A＝2∠FDC．①DF是⊙O的切线；②CF＝EF；③AE其中正确结论的序号是．9．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，点O为边BC上一动点，连接OA．以O为圆心，OB为半径作圆，交OA于D，过D作⊙O的切线，交AC于点E．当⊙O与边AC相切时，CE的长为．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ=12∠DOQ．若AQ＝AC，AD＝4时，写出BP的长为．11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=√3AD．12．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．➢冲击A+。
圆与圆有关的位置关系 讲义(教师版)
与圆有关的位置关系1.能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系；2.能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系；3.能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系．1.点与圆的位置关系的判定；2.直线与圆的位置关系的判定.点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：点P在圆内⇔d<r点P在圆上⇔d=r点P在圆外⇔d>r【注意】点与圆的位置关系是由点P到圆心的距离ｄ和圆的半径ｒ的数量关系决定的，在运用这一性质时应注意“形”与“数”之间的转化．2.确定圆的条件：不在同一条直线上的三点确定一个圆．【注意】可以让学生通过作图进行归纳总结“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，熟练掌握其方法，经过一点或经过两点作圆，因为圆心不能唯一确定，半径也就不能确定．所以作出的圆都有无限多个．“不在同一直线上的三点确定一个圆”，这个“确定”的含义是“有且只有”．3.外接圆与外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．【注意】要注意的是，锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是三角形斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部，反之成立．例1.矩形ABCD中，AB=8，BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P 是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A.点B、C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B、C均在圆P内【答案】解：连接PD、PC，⊙AB=8，点P 在边AB 上，且BP=3AP ，⊙AP=2，BP=6 在Rt APD ∆中，7PD ====，⊙⊙P 的半径r=7， 在Rt BPC ∆中，9PC ===⊙PB=6＜r ，PC=9＞r⊙点B 在圆P 内、点C 在圆P 外．故选C ．【解析】此题主要考查判断点与圆的位置关系．需要比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据BP=3AP 和AB=8求得AP 的长，然后利用勾股定理求得圆P 的半径PD 的长，根据点B 、C 到P 点的距离判断点P 与圆的位置关系即可．练习1.如图，在Rt⊙ABC 中⊙ACB=90°，AC=6，AB=10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 上C.点P 在⊙O 外D.无法确定 【答案】A【解析】解：⊙AC=6，AB=10，CD 是斜边AB 上的中线， ⊙AD=5，OP=2.5，OC=OA=3， ⊙OP ＜OA ，⊙点P 在⊙O 内，故选A ．练习2.如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1， 点A坐标为12⎛ ⎝⎭，则点A 与⊙O的位置关系是（ ）ABA.点A 在⊙O 外B.点A 在⊙O 上C.点A 在⊙O 内D.无法判断【答案】解：⊙点A 坐标为12⎛ ⎝⎭，⊙OA = ⊙点A 在⊙O 上，故选B ．【解析】本题考查点与圆的三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外．根据点与圆的位置关系比较点到圆心的距离与1的大小关系，然后再确定点在圆上、内、外． 练习3.点P 到⊙O 的圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，d 与r 的值是一元二次方程的两个根，则点P 与⊙O 的位置关系为（ ）A.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 外C.点P 在⊙O 上D.点P 不在⊙O 上 【答案】解：解方程2320x x -+=得：x=1或x=2， ⊙d≠r ，⊙点P 不在⊙O 上， 故选D ．【解析】本题考查了点与圆的位置关系及用因式分解法解一元二次方程的知识，解题的关键是正确地解方程.解方程求得方程的两个根即可得到d 与r 的值，然后做出判断．点与圆心之间的距离d 和该圆的半径r 有三种不同的大小关系，则点与圆也有三种不同的位置关系，所以在判断点与圆的位置关系时，只需要判断点到圆心的距离与半径的大小即可.例2.如图所示，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（-2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）0232=+-xxA.（-1，2）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（2，1）【答案】C【解析】解：如图所示，⊙AW=1，WH=3，=⊙BQ=3，QH=1，=⊙AH=BH同理，AD=BD，所以GH为线段AB的垂直平分线，易得EF为线段AC的垂直平分线，H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，则BH=AH=HC，H为圆心．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（-1，1）．故选C．练习1.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A.点PB.点QC.点RD.点M【答案】B【解析】根据垂径定理的推论，则作弦AB和BC的垂直平分线，交点Q即为圆心．故选B．练习2.如图，小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A.第⊙块B.第⊙块C.第⊙块D.第⊙块【答案】B【解析】解：第⊙块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于圆心，进而可得到半径的长．故选B．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心.例3.下列说法中，正确的有（）①三点可以确定一个圆；⊙ 三角形的外心是三角形三边中线的交点；⊙ 锐角三角形的外心在三角形外；⊙ 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】解：⊙不在同一直线上三点才可以作一个圆，⊙⊙错误；⊙三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，⊙⊙错误；⊙锐角三角形的外心在三角形的内部，⊙⊙错误；⊙三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，⊙根据垂直平分线性质得出三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，⊙⊙正确；故选A．练习1.有如下结论：⊙一个圆只有一个内接三角形；⊙一个三角形只有一个外接圆；⊙直角三角形的外心是它斜边的中点；⊙等边三角形的外心是它角平分线的交点．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】解：一个圆有无数个内接三角形，⊙⊙错误；三角形只有一个外接圆，⊙⊙正确；直角三角形斜边的中点到直角三角形三个顶点的距离相等，是直角三角形的外心，⊙⊙正确；等边三角形具有等腰三角形的三线合一的性质，等边三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也是三条角平分线的交点，⊙⊙正确；故选C．练习2.正三角形的外接圆的半径和高的比为( )A.1⊙2B.2⊙3C.3⊙4D.1⊙3【答案】B【解析】连接OB，AO，延长AO交BC于D，⊙⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙AD⊙BC，⊙OBC=12⊙ABC =12×60°=30°，⊙⊙ADB=90°，⊙OBC=30°，⊙12 OD OB⊙AD=OA+OD，⊙AD=OB+12OB =32OB，即OB：AD =2：3．故选B．练习3.已知：如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，D为CB延长线上一点，⊙AOC=130°，则⊙ABD 的度数为（）A.40°B.50°C.65°D.100°【答案】C【解析】解：在优弧AC上任意找一点E，连接AE、CE，根据圆周角定理得⊙E=65°；⊙四边形ABCE内接于⊙O，⊙⊙ABD=⊙E=65°．故选C不在同一直线上三点才可以作一个圆，在同一直线上三点不能作一个圆，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形的内部.直线与圆的位置关系1.直线与圆的三种位置关系：【注意】判断直线与圆的位置关系时，既可以用直线与圆的公共点个数来判断，也可以用圆心到直线的距离d与r的大小关系来判定．要注意让学生根据不同的条件准确快速地判断直线与圆的位置关系．2.切线的判定方法（1）定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线．（2）数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线（d=r）．（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．例1.已知⊙O 的半径为3cm ，点P 是直线l 上一点，OP 长为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ） A.相交 B.相切C.相离D.相交、相切、相离都有可能【答案】D【解析】本题知道⊙O 的半径为3cm ，并知道点P 是直线l 上一点，OP 长为5cm ，并没有告诉圆心到直线l 的距离，且根据已知条件无法确定圆心到直线l 的距离的大小，所以此时要根据直线圆的位置关系的三种情况分别探究是否都有可能.通过具体的数值分析，可知直线l 与圆的位置关系三种都有可能，所以选D.练习1.如图，⊙O 的半径OC=5cm ，直线l ⊥OC ，垂足为H ，且l 交⊙O 于点A 、B 两点，AB=8cm ，则l 沿OC 所在的直线向下平移____cm 时与⊙O 相切.【答案】2【解析】本题是一道判断直线与圆相切有关的问题,涉及到垂径定理、勾股定理以及平移等有关知识的应用.要判断直线l 沿OC 的方向平移多少cm 时与⊙O 相切，只要求到CH 的长度即可.因为CH=OC -OH ，所以只要求到OH 就可解决问题. 解：连接OA ，在Rt⊙AOH 中，因为0A=5cm ，AH=4cm ， 所以OH=3452222=-=-AH OA cm.所以CH=OC -OH=2cm.即l 沿OC 所在的直线向下平移2cm 时与⊙O 相切.练习2.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，⊙AOD=30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm ．如果⊙P 以1cm/s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么（ ）秒钟后⊙P 与直线CD 相切． A ．4B ．8C ．4或6D ．4或8【解析】本题是一道设计比较新颖的题目，要判断几秒种后⊙P与直线CD相切，则需要计算出当P与直线CD相切时，圆心P移动的距离，如图，在移动的过程中，P与直线CD相切有两种情况，如图，当圆心运动到P1、P2的位置时与直线CD相切，只要求到PP1，PP2长度即可.解：当圆心移动到P1、P2的位置时，设P1与直线CD切于E点，则P1E=1，因为⊙POD=30°，所以OP1=2，所以PP1=6-2=4，同样可求PP2=8cm，所以经过4秒或8秒钟后⊙P与直线CD 相切.故选D.练习3.如图，⊙ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE 为直径的圆与BC的位置关系（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定【答案】A【解析】解：过点A作AM⊙BC于点M，交DE于点N，⊙AM·BC=AC·AB，⊙AM=4.8⊙D、E分别是AC、AB的中点，⊙DE⊙BC，DE=12BC=5⊙AN=MN=12AM，⊙MN=2.4，⊙以DE为直径的圆半径为2.5⊙r=2.5＞2.4，⊙以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．故选A练习4.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=x与⊙O的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.以上三种情况都有可能 【答案】B【解析】解：⊙令x=0，则y=令y=0，则， ⊙A(0，，,0)，⊙⊙AOB 是等腰直角三角形， ⊙AB=2，过点O 作OD⊙AB ，则OD=BD=1 ⊙直线y=x与⊙O 相切．故选B判断直线与圆的位置关系时，既可以用直线与圆的公共点个数来判断，也可以用圆心到直线的距离d 与r 的大小关系来判定．例2.如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，⊙ADE = 60°，⊙C = 30°．判断直线CD是否为⊙O 的切线，并说明理由．【答案】解：连接OD ，如图，⊙⊙ADE=60°，⊙C=30°， ⊙⊙A=⊙ADE -⊙C=60°-30°=30°， 又⊙OD=OA ，⊙⊙ODA=⊙A=30°， ⊙⊙EDO=90°，⊙OD 为⊙O 的半径，⊙CD 是⊙O 的切线【解析】本题考查圆切线的判定方法：若直线与圆有唯一交点，则此直线是圆的切线；若圆心到直线的距离等于圆的半径，则此直线是圆的切线；经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和该点，证明该连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径，由题可知直线CD 与圆有公共点，故直接连接OD 证明OD⊙CD 即可．练习1.已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D ．求证： 直线DA 为⊙O 的切线．【答案】解：连接OA ，⊙BC 为⊙O 的直径，BA 平分⊙CBF ，AD⊙BF ，⊙⊙ADB=⊙BAC=90°，⊙DBA=⊙CBA；⊙⊙OAC=⊙OCA，⊙⊙DAO=⊙DAB+⊙BAO=⊙BAO+⊙OAC=90°，⊙OA为⊙O半径，⊙DA为⊙O的切线．【解析】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．练习2.已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足⊙D=⊙ACB.判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【答案】直线BD与⊙O相切．证明：如图，连接OB．⊙⊙OCB=⊙CBD+⊙D，⊙1=⊙D，⊙⊙2=⊙CBD，⊙AB⊙OC，⊙⊙2=⊙A，⊙⊙A=⊙CBD．⊙OB=OC，⊙⊙BOC+2⊙3=180°．⊙⊙BOC=2⊙A，⊙⊙A+⊙3=90°．⊙⊙CBD+⊙3=90°．⊙⊙OBD=90°．⊙OB为⊙O半径，⊙直线BD与⊙O相切．【解析】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．练习3.如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO，求证：BD是⊙O的切线．【答案】连接BO，⊙AB=AD，⊙⊙D=⊙ABD⊙AB=AO，⊙⊙ABO=⊙AOB又在⊙OBD中，⊙D+⊙DOB+⊙ABO+⊙ABD=180°，⊙⊙OBD=90°，即BD⊙BO⊙OB为⊙O半径，⊙BD是⊙O的切线．练习4.已知：如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊙DC，交DC的延长线于点E，且AC平分⊙EAB．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若⊙ADC=30°，AC=6，求BC的长．【答案】（1）连接OC，则⊙CAO=⊙ACO．⊙AC平分⊙EAB，⊙⊙EAC=⊙CAO．⊙⊙EAC=⊙ACO ．⊙AE⊙OC ． ⊙⊙DCO=⊙E=90°，即DE⊙OC ． ⊙OC 为半径，⊙DE 是⊙O 的切线． （2）⊙⊙ADC=30°，⊙⊙EAD=60°， ⊙⊙BAC=12⊙EAD=30°， ⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙BC=【解析】本题考查了切线的判定与性质；证明某一直线是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一直线来判定切线．（1）应用判定定理判定圆的切线时，必须先弄清“题设”中的两个条件：一是经过半径的外端，二是垂直于这条半径，这两者缺一不可；（2）切线的判定定理中，只有证明是切线后，这个交点才能称为切点；（3）证明切线常见题型：⊙已知交点：连半径、证垂直；⊙交点未知：作垂直、证半径．例3.等腰⊙ABC 中，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，过点D 作⊙O 的切线交AB 于点E ，交AC 的延长线与点F ．求证：EF⊙AB ．【答案】解：连接OD ，⊙OC=OD ，⊙⊙ODC=⊙OCD ，又⊙AB=AC，⊙⊙OCD=⊙B，⊙⊙ODC=⊙B，⊙OD⊙AB，⊙ED是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，⊙OD⊙EF，⊙AB⊙EF ．练习1.如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B 作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．（1）求⊙AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．【答案】解：（1）在⊙AOC中，AC=2，⊙AO=OC=2，⊙⊙AOC是等边三角形，⊙⊙AOC=60°，⊙⊙AEC=30°；（2）⊙OC⊙l，BD⊙l．⊙OC⊙BD．⊙⊙ABD=⊙AOC=60°．⊙AB为⊙O的直径，⊙⊙AEB=90°，⊙⊙AEB为直角三角形，⊙EAB=30°．⊙⊙EAB=⊙AEC．⊙CE⊙OB，又⊙CO⊙EB，⊙四边形OBEC为平行四边形．又⊙OB=OC=2．⊙四边形OBEC是菱形．归纳切线的性质：(1)切线和圆有唯一公共点（切线的定义）；(2)圆心到直线的距离等于圆的半径（判定方法(2)的逆命题）；(3)切线垂直于过切点的半径（切线的性质定理）；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点（推论1）；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心（推论2）．例4.如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为（）A．5B．6C．√30D．112【答案】B【解析】解：连接OM、ON，⊙四边形ABCD是正方形，⊙AD=AB=11，⊙A=90°，⊙圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，⊙⊙OMA=⊙ONA=90°=⊙A，⊙OM=ON，⊙四边形ANOM是正方形，⊙AM=OM=5，DE与圆O相切于E点，圆O的半径为5，⊙AM=5，DM=DE，⊙DE=11﹣5=6，故选B．练习1.如图，在Rt⊙AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．【答案】2【解析】解：连接OP、OQ．⊙PQ 是⊙O 的切线，⊙OQ⊙PQ ； 根据勾股定理知PQ 2=OP 2﹣OQ 2， ⊙当PO⊙AB 时，线段PQ 最短， ⊙在Rt⊙AOB 中，OA=OB=3， ⊙AB=OA=6，⊙OP==3， ⊙PQ===2．故答案为：2．练习2.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得⊙APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点. 已知点D （21，），E （0，-2），F （32，0） （1）当⊙O 的半径为1时，⊙在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是__________；⊙过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使⊙GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围.【答案】(1) ⊙；⊙；(2)21E D 、30≤≤m 1≥r【解析】(1) ⊙；⊙由题意可知，若点要刚好是圆的关联点；需要点到圆的两条切线和之间所夹的角度为； 由图可知，则，连接，则rBC CPBBCPC 22sin ==∠=； ⊙若点为圆C 的关联点；则需点P 到圆心的距离d 满足r d 20≤≤； 由上述证明可知，考虑临界位置的P 点，如图2；点P 到原点的距离212=⨯=OP ；过作轴的垂线，垂足为，； ⊙，⊙； ⊙，⊙； 易得点与点重合，过作轴于点； 易得，⊙；从而若点为圆的关联点，则点必在线段上，⊙；E D 、P C P C PA PB ︒601︒=∠60APB ︒=∠30CPB 图1CBAPBC PO x OH H 3232tan ===∠OG OF OGF ︒=∠60OGF 360sin =︒⋅=OG OH 23sin ==∠OP OH OPH ︒=∠60OPH 1P G 2P x M P ⊥2M ︒=∠302OM P 330cos 2=︒⋅=OP OM P O P 21P P 30≤≤m(2) 若线段上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段的中点； 考虑临界情况，如图3；即恰好点为圆的关联时，则； ⊙此时；故若线段上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径的取值范围为.利用直线与圆相切的性质可以处理一些较综合的问题，其中相切的性质可以为解题提供垂直的条件.圆与圆的位置关系1.圆和圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含2.设两圆圆心距为d ，两圆半径分别为R ，r （R>r ）由圆和圆的位置关系及圆心距d 与R ，r （R>r ）之间的关系得： 两圆外离d R r ⇔>+； 两圆外切d R r ⇔=+；EF EFF E 、K2212===EF KN KF 1=r EF r 1≥r两圆相交R r d R r ⇔-<<+；两圆内切d R r ⇔=-；两圆内含0d R r ⇔≤<-3.相交两圆性质定理: 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦．4.相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．例1.两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）A.内切B.相交C.外切D.外离【答案】B【解析】解：根据题意得R+r=5+3=8，R -r=5-3=2，圆心距=7，⊙2＜7＜8，⊙两圆相交．故选B ．练习1.已知⊙O 1与⊙O 2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距12O O 可能是（ ）A.2B.3C.6D.12【答案】C【解析】解：两圆半径之差为3，半径之和为11，两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，所以，3＜12O O ＜11．符合条件的数只有C ．故选C ．练习2.已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程2430x x -+=的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A 、外离B 、外切C 、相交D 、内切【答案】B【解析】解：⊙2430x x -+=，⊙（x -3）（x -1）=0，解得：x=3或x=1，⊙⊙O 1与⊙O 2的半径12,r r 分别是方程2430x x -+=的两实根，⊙124r r +=，⊙⊙O 1与⊙O 2的圆心距d=4，⊙⊙O 1与⊙O 2的位置关系是外切．故选B ．练习3.若两个圆相切于A 点，它们的半径分别为10cm 、4cm ，则这两个圆的圆心距为( )A ．14cmB ．6cmC ．14cm 或6cmD ．8cm【答案】C 【解析】解：⊙两圆半径分别为10cm 、4cm ，⊙若这两个圆外切，则圆心距为：10+4=14（cm ），若这两个圆内切，则圆心距为：10-4=6（cm ），⊙这两个圆的圆心距为14cm 或6cm ．故选C ．练习4.定圆O 的半径是4cm ，动圆P 的半径是2cm ，动圆在直线l 上移动，当两圆相切时，OP 的值是（ ）A.2cm 或6cmB.2cmC.4cmD.6cm【答案】A【解析】解：设定圆O 的半径为R=4cm ，动圆P 的半径为r=2cm ，分两种情况考虑： 当两圆外切时，圆心距OP=R+r=4+2=6cm ；当两圆内切时，圆心距OP=R -r=4-2=2cm ，综上，OP 的值为2cm 或6cm ．故选A由圆和圆的位置关系及圆心距d 与R ，r （R>r ）之间的关系得：两圆外离d R r ⇔>+； 两圆外切d R r ⇔=+；两圆相交R r d R r ⇔-<<+；两圆内切d R r ⇔=-；两圆内含0d R r ⇔≤<-.例2.已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，若⊙O 1的半径r 1=2cm ，⊙O 2的半径r 2=3cm ．求BC 的长．【答案】解：连接O 1B ，O 2C ，O 1O 2，过点O 1作O 1D⊙O 2C 于D ，⊙直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，⊙O 1B⊙BC ，O 2C⊙BC ，⊙四边形O 1BCD 是矩形，⊙CD=O 1B=r 1=2cm ，BC=O 1D ，⊙O 2D=O 2C -CD=3-2=1（cm ），⊙⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，在Rt⊙O 2DO 1中，O 2O 1=r 1+r 2=2+3=5（cm ），⊙O 1D=cm ，⊙BC=cm ．【解析】此题考查两圆相切的性质、切线的性质、矩形的判定与性质．难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握相切两圆的性质．练习1.如图为某机械的截面图，相切的两圆⊙O 1，⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切，且O 1O 2⊙l 1（l 1为水平线），⊙O 1，⊙O 2的半径均为30mm ，弧AB 的最低点到l 1的距离为30mm ，公切线l 2与l 1间的距离为100mm ．则⊙O 的半径为（ ）A.70mmB.80mmC.85mmD.100mm【答案】B【解析】解：如图，设⊙O 的半径为Rmm ，依题意，得CE=100-30=70（mm ），⊙l 2⊙O 1O 2，⊙CD=O 1D=30（mm ），DE=CE -CD=70-30=40（mm ），OD=OE -DE=R -40（mm ），在Rt⊙OO 1D 中，O 1O=R -30（mm ），O 1D=30mm ，由勾股定理，得O 1D 2+OD 2=O 1O 2，即302+（R -40）2 =（R -30）2，解得R=80mm ．故选B 练习2.如图，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3两两相切,AB 为⊙O 1，⊙O 2的公切线，AB 为半圆，且分别与三圆各切于一点．若⊙O 1，⊙O 2的半径均为1，则⊙O 3的半径为（ ）A.1B.121 1 【答案】C 【解析】解：如图，分别作三个圆心到AB 的垂线，垂足分别点E 、D 、F ，⊙O 1与⊙O 2的半径相等且相切于S ，则O 3D 过点S ，且点D 是半圆AB 的圆心，延长DS 交圆D 于点W ，则WD 是半圆AB 的半径．EFO 2O 1是矩形，SDEO 1是正方形，DQ=DW=SD+O 3S+O 3W设圆O 3的半径为R ，由勾股定理得O 3DO 1-1．故选C ．两圆相切有两种情况：内切和外切，注意在处理两圆相切问题时需要分类讨论.例3.已知：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过A 点的割线分别交两圆于C ，D ，弦CE⊙DB ，连接EB ，试判断EB 与⊙O 2的位置关系，并证明你的结论．【答案】解：过B 作⊙O 2的直径BH ，连接AH ，AB ，⊙BH 是⊙O 2的直径，⊙⊙BAH=90°，⊙CE⊙DB ，⊙⊙ACE=⊙D⊙⊙H=⊙D ，⊙ACE=⊙ABE ，⊙⊙H=⊙ABE⊙⊙H+⊙ABH=90°，⊙⊙ABH+⊙ABE=90°⊙⊙EBH=90°， 又⊙O 2B 为半径，⊙EB 是⊙O 2的切线．【解析】此题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是根据题意作出辅助线，再根据在同圆中等弧所对的圆周角相等和三角形的内角和等于180°进行解答．练习1.已知：相交两圆的公共弦的长为6cm ，两圆的半径分别为cm 23，cm 5，求这两个圆的圆心距．【答案】解：当公共弦在圆心的同侧时如图，AB=6cm ，O 1A=5cm ，O 2A=⊙公共弦长为6cm ，⊙AC=3cm ，AC⊙O 1O 2，⊙O 1C=4cm ，O 2C=3cm ，⊙当公共弦在两个圆心之间时，圆心距=4+3=7cm ；当公共弦在圆心的同侧时，圆心距=4-3=1cm ．则这两个圆的圆心距是7cm 或1cm ．【解析】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理．注意此题应考虑两种情况是解题关键．先根据勾股定理，得圆心距的两部分分别是4cm，3cm，然后根据两圆的位置关系确定圆心距．练习2.已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D．（1）如图，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立？证明你的结论；（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．【答案】解：（1）EA=ED成立．证明：连接AB，在EA延长线上取点F；⊙AE是⊙O1的切线，切点为A，⊙⊙FAC=⊙ABC，⊙⊙FAC=⊙DAE（对顶角），⊙⊙ABC=⊙DAE，而⊙ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，⊙⊙ABC=⊙D，⊙⊙DAE=⊙D，⊙EA=ED；（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以，直线CA与⊙O2相切，直径为4．两圆相交的重点是对相交弦的处理.。
与圆有关的位置关系及切线定理
与圆有关的位置关系及切线定理与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系如果圆的半径是r ，这个点到圆⼼的距离为d，那么：（1）点在圆外d>r ；（2）点在圆上d＝r；（3）点在圆内d2、直线与圆位置关系的定义及有关概念（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点（2）直线和圆有⼀公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.3、直线和圆的位置关系如果⊙ O的半径为r ，圆⼼O到直线l 的距离为d，那么（1）直线l 和⊙ O相交d（2）直线l 和⊙ O相切d＝r；（3）直线l 和⊙ O相离d>r；典例精析例1：已知直线l ：y＝x－3 和点A（0，3），B（3，0），设P点为l 上⼀点，试判断P、A、B是否在同⼀个圆上？例2：下列说法正确的是（）A. 过圆内接三⾓形的顶点的直线是圆的切线B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交D. 若直线和圆有唯⼀公共点，则公共点是切点例3：设直线l到⊙ O的圆⼼的距离为d，⊙ O的半径为R，并使x2 2 dx R 0 ，试根据关于x 的⼀元⼆次⽅程根的情况讨论l 与⊙ O的位置关系.3、圆和圆的位置关系外离（没有公共点）外切（1）相离（2）相切（有⼀个公共点）（3）相交（有两个公共点）内含（包括同⼼圆）内切注：两圆同⼼是两圆内含的⼀种特例.2、两圆的位置与两圆的半径、圆⼼距之间的数量关系设两圆的半径分别为R 和r ，圆⼼距为d，那么（1）两圆外离d>R＋r （2）两圆外切d＝R＋r（3）两圆相交R－r（4）两圆内切d＝R－r （5）两圆内含d典例精析例1：已知两个圆的半径分别为2、3，圆⼼距是d，若两圆有公共点，则 d 的取值范围为例2：已知⊙ O1 和⊙ O2内切，圆⼼距为7cm，⊙ O1 的半径为8cm，求⊙ O2 的半径.例4：如图：⊙ M的半径为8cm，⊙ N的半径为6cm，MN＝10cm，两圆相交于A、B 两点，连接AB与MN交于点C，求AB的长与相切有关的性质定理1、切线的性质定理：定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆⼼且垂直于切点的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切点的直线必经过圆⼼.2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3、切线的判定⽅法（1）定义：和圆只有⼀个公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：和圆⼼的距离等于半径的直线是圆的切线；（证长度）（3）定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.（证⾓度）两圆相切与相交的性质：（1）如果两圆相切，那么两圆的连⼼线经过切点；（2）两圆相交，连⼼线垂直平分相交圆的公共弦。
点与圆的位置关系
课堂小结
点与圆的 位置关系
位置关系数量化
点在圆外 点在圆上
d>r d=r
点在圆内
d<r
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
定理： 过不在同一直线上的三个点确定一个圆
一个三角形 的外接圆是 唯一的.
注意：同一直线上的三个点不能作圆
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3. 在直角△AOD中，∠DAO＝30°， ∴AD＝2OD＝6，
OA＝ AD2 -OD2 ＝ 3 3， ∴点A的坐标是( 3 3 ，0)． ∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π.
已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8. （3）若以点A为圆心，以r为半径作圆，使B 、C、D三点中至少有一点在圆内，有一点在 圆外，则r的取值如何？
6＜r＜10
作图探究
问题1过点A可以作多少个圆？ 这些圆的分布有什么特点？
可作无数个圆.这样的圆有 无数个，在分布上没有什 么特点.
· A ··
· ·
B
△ABC叫做⊙O的_内__接__三__角__形___.
●O C
2.三角形的外心 定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三边中垂线的交点. 性质：到三角形三个顶点的距离相等.
问题4：经过平面内的三个点一定能作出一个圆吗？ 思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
P l1
A
B
点与圆的位置关系知识点总结_概述及解释说明
点与圆的位置关系知识点总结概述及解释说明1. 引言1.1 概述在数学几何中，点与圆的位置关系是一种基础且重要的概念。
研究点与圆的位置关系可以帮助我们理解圆和其他几何图形之间的互动，进而应用于解决各种实际问题。
本文将总结和解释点与圆的位置关系知识点，包括点在圆内部、点在圆上以及点在圆外部的情况，同时还会介绍圆与圆的位置关系以及圆与直线的位置关系。
1.2 文章结构本文分为五个部分：引言、点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆与直线的位置关系以及结论。
下面将逐一介绍这些部分内容。
1.3 目的本文旨在提供一个清晰明了的知识总结和解释，并帮助读者对点与圆的位置关系有更深入和全面的理解。
通过学习这些知识，读者能够掌握各种不同情况下点与圆之间可能存在的几何关系，从而更好地解决相关问题。
此外，文章还将尝试给出一些实际应用场景，并探讨该知识对进一步学习的启示。
2. 点与圆的位置关系:2.1 点在圆内部:当一个点位于圆内部时，它到圆心的距离小于圆的半径。
可以通过以下步骤来判断点是否在圆内部：- 确定点的坐标以及圆心的坐标。
- 计算点与圆心之间的距离，可以使用勾股定理或者距离公式来计算。
- 如果计算得到的距离小于圆的半径，则可以得出结论，该点位于圆内部。
2.2 点在圆上:当一个点位于圆上时，它到圆心的距离等于圆的半径。
同样可以使用以上步骤来判断点是否在圆上：- 确定点的坐标以及圆心的坐标。
- 计算点与圆心之间的距离。
- 如果计算得到的距离等于圆的半径，则可以得出结论，该点位于圆上。
2.3 点在圆外部:当一个点位于圆外部时，它到圆心的距离大于圆的半径。
同样可以使用以上步骤来判断点是否在圈外部：- 确定点的坐标以及园心座標- 计算点与园心距离的值- 如果计算出的距离大于圓半徑，就可以得到结论说這个點在圓外部。
3. 圆与圆的位置关系:3.1 内切、外切和相交关系:在平面几何中，圆与圆之间有三种可能的位置关系。
内切关系：当两个圆恰好相切于一个点时，我们称它们为内切。
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点与圆的三种位置关系
一、学习目标：
1、了解点与圆的三种位置关系；
2、能根据点与圆心的距离判断点与圆的位置关系；
3、能画出经过一点、经过两点的圆。
二、探索：
问题1：点与圆的位置关系有哪几种？
（做一做）如图，直线上有四点O、A、B、
C ，
且OA=1，OB=2，OC=3，
以O为圆心，2r为半径画O，
则点A在圆 ，点B在圆 ，
点C在圆 。
结论：⑴ 点与圆的位置关系有三种：点在 ，点在 ，点
在 。
⑵ 设O的半径为r，
①若点A在圆内 OA r；
②若点B在圆上 OB r；
③若点C在圆外 OC r。
三、练习A
填一填：1、设O的半径为10㎝，
⑴ 若PO=8㎝，则点P在圆 。
∵r ，OP ，
∴OP r（填“＞”、“＜”、“＝”），
∴点P在圆 。
⑵ 若PO=10㎝，则点P在圆 。
∵r ，OP ，
∴OP r（填“＞”、“＜”、“＝”），
∴点P在圆 。
⑶ 若PO=12㎝，则点P在圆 。
∵r ，OP ，
∴OP r（填“＞”、“＜”、“＝”），
∴点P在圆 。
2、已知O的半径为5r㎝，A为线段OP的中点，当OP满足下列
条件时，分别指出点A和O的位置关系：
① OP6㎝ ② OP10㎝ ③ OP14㎝
解：∵OP6㎝， 解：∵OP10㎝， 解：∵OP14㎝，
∴AO ㎝， ∴AO ㎝， ∴AO
㎝，
A
B
A
B
C
∴AO r， ∴AO r， ∴AO
r
，
∴点A在 。 ∴点A在 。 ∴点A
在 。
问题二：如何判定一个圆经过已知点？
1、如图经过已知点A的圆是（ ）
2、根据以下条件，作O
（1）经过一个已知点A，作O
思考：这样的圆能做 个，请在上图中再做一个经过A点的O
结论：过一点可以画 个圆。
（2）经过两个已知点A、B，作O
分析：圆心O在线段AB的 线上，
思考：这样的圆能画 个。
结论：过已知两点可以画 个圆。
（3）经过不共线的三点A、B、C，作O
分析：∵O经过A、B、C三点
∴O经过A、B两点
A
B
C
A
B
A
B
∴圆心O在线段AB的 上，
同理：O经过A、C两点
∴圆心O在线段AC的 上，
∴点O是 和 的交点
思考：这样的圆能画 个。
练习B
1、试一试：
（1）如图，①画OA，使OA经过点B，
②画OA，使OA经过点C
③能否画出OA，使它同时经过点B和点C？
（2）已知线段AB=6㎝，
①画半径为4㎝的圆，
使它经过A、B两点，
这样的圆能画 个。
②画半径为3㎝的圆，
使它经过A、B两点，
A
B
这样的圆能画 个。
③画半径为2㎝的圆，
使它经过A、B两点，
这样的圆能画 个。
2、如图，试画出经过△ABC三个顶点的圆O