点与圆的位置关系
点和圆的位置关系(共32张PPT)
随堂练习
6.如图，⊿ABC中，∠C=90°， B
BC=3，AC=6，CD为中线，
以C为圆心,以 3 5 为半径作圆，
2
C
则点A、B、D与圆C的关系如何？
D A
7.画出由所有到已知点O的距离大于或 等于2CM并且小于或等于3CM的点组 成的图形。
OO
问：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A ，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆上，D在圆外，C在圆外)
A
D
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，
则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
B
C
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D 与圆A的位置关系如何？
∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作 一个圆.
A
O C
B
定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆.
1.由定理可知：经过三角形三
个顶点可以作一个圆.并且只 能作一个圆.
2.经过三角形各顶点的圆叫做三 角形的外接圆。
3.三角形外接圆的圆心叫做三角 B
形的外心，这个三角形叫做
这个圆的内接三角形。
经过一个已知点A能确定一个圆吗?
形的外接圆的面积. 垂直平分线的交点
已知：不在同一直线上的三点 A、B、C
（）
证明:∵点O在AB的垂直平分线上，
⊙O的半径6cm，当OP=6时，点P在
；
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆。
圆的外部可以看成是
。
思考：过任意四个点是不是一定可以作一个圆?请举
例说明.
点、直线、圆与圆的位置关系
点、直线、圆与圆的位置关系【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【变式】点A在以O为圆心，3 为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.类型二、直线与圆的位置关系2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切。
点、直线、圆与圆的位置关系
平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内
当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。
当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。
当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。
例1．如图1，已知矩形ABCD的边AB=4cm，AD=3cm。
（1）△ABC的形状是______，理由是______。
（2）求证：BC平分∠ABE；
（3）若∠A=60°，OA=2，求CE的长．
（3）若将图10-1中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF处，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，如图10-3，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？
题型四、切线长定理的运用
15．如图11，在△ABC中，O是△ABC的内心，若∠A=50°，则∠BOC=______。
16．如图12，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是______。
题型二、切线的判定
12．如图8，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径。求证：AE与⊙O相切。
题型三、切线性质的应用及拓展
13．如图9，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，OP交⊙O于点B，点C为优弧AMB上一点，若∠P=28°，求∠ACB的度数。
外离 d>R+r
外切 d=R+r
相交 R－r<d<R+r
内切 d=R－r
内含 0≤d<R－r（其中d=0，两圆同心）
点与圆的位置关系
试试看!
用反证法证明（填空）：在三角形的内角中， 至少有一个角大于或等于６０° 已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大 于或等于６０度
假设所求证的结论不成立，即 Ｂ 证明 ∠Ａ＿＿６０°， ∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０° ＜ ＜ ＜ 则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
圆外的点
圆上的点
圆内的点
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的 点，圆内的点和圆外的点。 圆的内部可以看成是到圆心的距离小于半径的的点的集 合 ； 圆 的 外 部 可 以 看 成 是 到圆心的距离大于半径的点的集合 。
典型例题
例：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘 米
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作 圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系 如何？ (B在圆上，D在圆外，C在圆外)
问：⊙O的半径6cm，当OP=6时， 点P在圆上 ；当OP ＜6 时点P 在圆内；当OP ≤6 时，点P不在 圆外。
画出由所有到已知点O的距离大于 或等于2CM并且小于或等于3CM的 点组成的图形。
O
O
问题:多少个点可以确定一个圆呢? 解决: 步骤1:过一点,可以画多少个圆?
步骤2:过两点,可以画多少个圆? 步骤3:过三个点,可以做多少个圆?
A
D
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A， 则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
B
C
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、 D与圆A的位置关系如何？ (B在圆内，D在圆内，C在圆上)
问1：⊙O的半径10cm，A、B、C三点 到圆心的距离分别为8cm、10cm、 12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关 系是： 点A在 圆内 ∵OA=8<10 ∴点A在圆内 点B在 圆上 ∵OB=10=10 ∴点B在圆上 点C在 圆外 ∵OC=12>10 ∴点C在圆外
点和圆、直线和圆的位置关系
学习笔记-点和圆、直线和圆的位置关系主要内容：点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、切线的判定及性质、圆和圆的位置关系。
（1）点和圆的位置关系：数量关系和位置关系的对应（2）圆的确定1、过一点可做无数个圆；2、过二点可做无数个圆；3、不在同一条直线上的三点确定（有且只有）一个圆；过在一条直线的三点不能做圆；4、不在同一条直线上的四点有可能作一个圆，也有可能做不出一个圆；（3）三角形的外接圆1、三角形外接圆、圆的内接三角形、外心（外接圆圆心，三角形三条边的中垂线交点）；2、“接”：三角形顶点与圆的关系，顶点在圆上；“外、内”：三角形和圆的位置关系；（4）反证法1、定义：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，有矛盾断定假设不正确，从而得出原命题成立；2、使用场景：用于解决不易直接证明或不能直接证明的命题，主要适用于：①结论是否定形式的命题②结论是无限形式的命题③结论是“至多”或“至少”形式的命题3、否定形式“大（小）于——不大（小）于”“或——且”“至多有n个——至少有n+1个”“都是——不都是”（5）“一箭穿心”模型（圆外一点到圆的最大距离和最小距离）先把圆心到点的距离d求出来，最大距离为d+r，最小距离为d-r（三角形三边关系可证明）；（1）直线和圆的位置关系：数量关系和位置关系的对应（2）直线与圆相离，直线到圆的最大距离和最小距离先把圆心到直线的距离d求出来，最大距离为d+r，最小距离为d-r（垂线段最短可证明）；（1）切线的定义➢与圆只有一个交点的直线➢圆心到直线的距离等于半径的直线（2）切线的判定➢定义法：与圆只有一个公共点➢数量关系：d=r（圆心到直线的距离等于半径）➢位置关系（切线判定定理）：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线证明切线的常用辅助线：◆有交点，连半径，证垂直◆无交点，作垂直，证半径（3）切线的性质➢切线与圆有且只有一个公共点➢圆心到切线的距离等于圆的半径➢（切线的性质定理）圆的切线垂直于过切点的半径以下是两个推论：⏹经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点⏹经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心有切线后的常用辅助线：切点的位置确定：连接圆心和切点，得垂直，即连切点得垂直切点位置不确定：过圆心作切线的垂线，垂足就是切点，即作垂直得切点（4）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角主要讲解下面这个图形：找出图中互相垂直的线段、直角三角形、等腰三角形、全等三角形注意：适当讲解弦切角定理（两角互余可证明），开阔学生做题的思路。
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
初三数学总复习点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.点与圆的位置关系:有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r，直线与圆相切⇔d=r，直线与圆相离⇔d＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则①两圆外离⇔d＞R+r；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R＋r；有3条公切线；③两圆相交⇔R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R－r（R＞r）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d＜R—r（R＞r）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．（二）：【课前练习】1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：⑴当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____；⑵当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____；⑶当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.2.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（） A．3 B．23 C．3 D．43.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径 cm．4.两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（） A．d＞8 B．0＜d≤2C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞85.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_____个．二：【经典考题剖析】1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心1．3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（）A．0个 B．l个 C．2个 D．3个2.已知半径为3cm，4cm的两圆外切，那么半径为6cm且与这两圆都外切的圆共有___个．3.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位置关系是（）A．内含 B．外离 C．内切 D．相交4.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）3344A B C D....45535.如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（）A．70° B．40° C．50° D．20°三：【课后训练】1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________.2.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_________个．3.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切4.如图，A、B是⊙上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65○，则∠BAC等于（）A．35○B．25○C．50○D．65○5.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x 2－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切6.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB 切小圆于M ，若环形的面积为9π，求AB 的长．7.如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，∠APB=90°，OP=4，求⊙O 的半径．8.如图，△ABO 中，OA= OB ，以O 为圆心的圆经过AB 中点C ，且分别交OA 、OB 于点E 、F ．（1）求证：AB 是⊙O 切线；（2）若△ABO 腰上的高等于底边的一半，且AB=4 3 ，求 ECF的长9.如图，CB 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、D ，CD 的延长线与⊙O 的直径BE 的延长线交于A 点，连OC ，ED ．（1）探索OC 与ED 的位置关系，并加以证明；（2）若OD ＝4，CD=6，求tan ∠ADE 的值．10.如图,⊙O 的半径为1,过点A(2,0)的直线切⊙O 于点B,交y 轴于点C (1)求线段AB 的长(2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式C O A B x y。
点与圆的位置关系
点与圆有关的位置关系一、点与圆的位置关系：点P与⊙O的位置关系:设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔;rd>点P在圆上⇔;rd=点P在圆内⇔.rd<注意：OP长是两个点之间距离，不是点到直线距离，P点到圆心距离与半径大小关系决定P点与圆的位置关系.过已知点画圆：（1）过已知一点画圆→可画无数个圆→圆心无规律可循；（2）过已知两点画圆→可画无数个圆→圆心在连接两点的线段垂直平分线上；（3）过不在同一直线上的三点画圆→只可画一个圆→圆心是连接两点的线段垂直平分线的交点. 三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心：三角形三条边垂直平分线的交点.（1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.（2）锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是三角形的斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部，反之成立.任何一个三角形都有唯一的外接圆反证法定义：不是直接从原题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）推理得出矛盾；（3）得出结论.类型1. 点与圆的位置关系例1.如图，在ABCRt∆中，∠C＝900，BC＝3cm，AC=4cm，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，问点A,C及AB、AC的中点D、E与⊙B有怎样的位置关系?变式题:如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，以A为圆心，使B、C、D三点中至少有一个点在圆内，至少有一个点在圆外，求此圆半径R的取值范围.例3. 如图⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是多少?例4. 如图是某平原地区的三个村庄A 、B 、C ，现计划新建一个电站，为了使变电站到三个村庄的距离相等，请你帮助规划者确定变电站P 的位置.例5. 在等腰三角形ABC 中B,C 为定点，且AC=AB ，D 是BC 的中点，以BC 为直径作⊙D ，回答下列问题：（1）∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 上？ （2）∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 内？（3）∠A 等于多少度时，点A 在⊙D 外？类型2. 证明几个点在同一个圆上例1. 如图，已知菱形ABCD 的对角线为AC 和BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：E 、F 、G 、H 四个点在同一个圆上.例2. 如图，∠A=∠C=∠D ＝900，求证：A 、B 、C 、D 、E 在同一个圆上.类型3. 不在同一直线上的三点确定一个圆例1. （1）已知一个三角形的三边长分别为6cm 、8cm 、10cm ，则这个三角形外接圆面积等于 2cm .(2) 下列说法正确的是（ ）A. 经过三个点一定可以作圆B. 任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形C. 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接D. 三角形的外心到三角形各边距离相A B C D O H E G F A E B C D . A . B . C例2. 如图，∆ABC 中AB=AC=10，BC=12，求∆ABC 的外接圆半径.类型4. 反证法例1. 求证：经过同一直线上的三个点不能作出一个圆.例2. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于600.例3. 用反证法证明：圆内不是直径的两条弦不能互相平分.例4. 用反证法证明：已知，如图AB ∥CD ，CD ⊥EF ，垂足是N ，求证：AB ⊥EF.作业：填空题： 1．若⊙O 的半径为r ，点A 到圆心O 的距离为d ，当点A 在圆外时，d ______r ；当点A 在圆上时，d ______r ；当点A 在圆内时，d ______r ．2．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2cm ，BC ＝4cm ，CM 是中线，以C 为圆心，以cm 5长为半径画圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有点______，在圆上的有点______，在圆内的有点______．3．已知⊙O 的半径为1，点P 与O 的距离为d ，且方程x 2－2x ＋d ＝0有实数根，则P 在 ⊙O 的______．4．过一点A 可作______个圆，过两点A 、B 可作______个圆，且圆心在线段AB 的______上，过三点A 、B 、C ，当这三点______时能且只能作一个圆，且圆心在______上．5．等边三角形的边长为6cm ，则它的外接圆的面积为______．6．在Rt △ABC 中，已知两直角边的长分别为6cm 和8cm ，那么Rt △ABC 的外接圆的面积是7．锐角三角形的外心在______，直角三角形的外心在______，钝角三角形的外心在______． 选择题：8．两个圆的圆心都是O ，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在( )(A)⊙r 1内 (B)⊙r 2外EF AC9．⊙O的半径r＝10cm，圆心到直线L的距离OM＝8cm，在直线L上有一点P，且PM＝6，则点P( )(A)在⊙O内(B)在⊙O上(C)在⊙O外(D)可能在⊙O内也可能在⊙O外10．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是( )(A)点P在⊙O内(B)点P在⊙O上(C)点P在⊙O外(B)点P在⊙O上或在⊙O外11．三角形的外心是( )(A)三条中线的交点(B)三条中垂线的交点(C)三条高的交点(D)三条角平分线的交点解答题：12．如图1，使用直尺和圆规确定如图所示的破残轮片的圆心位置．图113．点P到⊙O上的点的最大距离是6cm，最小距离是2cm，求⊙O的半径．14．某商场有三个销量较大的柜台，经理想修建一个收银台，使得三个柜台到收银台的距离相等．如果三个柜台的位置如图2所示，那么如何确定收银台的位置?图2问题探究：15．已知：如图3，三个边长为2a个单位长度的正方形如图所示方式摆放．图①图②图③∴______为所求作的圆．∴______为所求作的圆．(1)画出覆盖图①的最小圆；(2)将图①中上面的正方形向右平移a个单位长度，得到图②，请用尺规作出覆盖新图形的最小圆(不写作法，保留作图痕迹)；(3)可以利用图③，比较(1)和(2)中的两个圆的大小，通过计算简要说明理由．。
与圆有关的位置关系
R与圆有关的位置关系一、知识梳理1、点和圆的位置关系.对于给定的圆，平面上的点与这个圆的位置关系有三种： 点在圆内；点在圆上；点在圆外．点P 在⊙O 内0d R ⇔≤＜； 点Q 在⊙O 上d R ⇔=； 点R 在⊙O 外d R ⇔>． 2、直线与圆的位置关系.直线l 与O 相离d R ⇔>； 直线l 与O 相切d R ⇔=； 直线l 与O 相交0d R ⇔≤＜．3、圆与圆的位置关系.圆与圆的位置关系可以分为三种情况： 若两圆没有公共点，则两圆相离； 若两圆有唯一公共点，则两圆相切；若两圆有两个公共点，则两圆相交．（1）相离⎧⎨⎩外离内含；（2）相交；（3）相切⎧⎨⎩外切内切．外离12d R R ⇔>+ 外切12d R R ⇔=+ 相交1212R R d R R ⇔-<<+内切12d R R ⇔=- 内含120d R R ⇔<-≤ 相交两圆连心线的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 相切两圆连心线的性质定理：相切两圆的连心线经过切点．二、例题精讲例1、如图，在ABC △中，90C ∠=︒，43AC BC ==，，点P 是线段AC 上的一个动点，以点P 为圆心、P A 长为半径作⊙P ，B C 、两点分别在这个圆的外部和内部，试确定点P 的位置范围．A例2、如图，⊙1O 与⊙2O 内切于点P ，经过⊙1O 上点Q 的切线与⊙2O 相交于A 、B 两点，直线PQ 交⊙2O 于点R ．求证： =RARB ．例3、已知Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，以点B 为圆心作⊙B ． （1）如果⊙B 与斜边AC 相切，那么B 的半径长R 是多少？（2）如果⊙B 与斜边AC 只有唯一一个公共点，求⊙B 的半径长R 的取值范围． （3）⊙B 如果与斜边AC 有两个公共点，求⊙B 的半径长R 的取值范围． （4）如果⊙B 与斜边AC 没有公共点，求⊙B 的半径长R 的取值范围．1、已知矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，如果分别以点A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在C 内，点B 不在C 内，那么A 的半径长R 的取值范围是什么？PO 1 O 2QABR·· ABCD343DA2、已知Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，点O 是AC 上一点，AO m =，O 的半径长为1，如果O 与直角边AB 没有公共点，求m 的取值范围．例4、已知两相交圆的半径是5和4，公共弦长为6，求这两圆的圆心距．例5、已知点()2 0A ，、()8 0B ，．（1）点P 在y 轴正半轴上，若过点P 、A 、B 的圆的面积最小，求点P 的坐标； （2）点P 在直线y x =上，若过点P 、A 、B 的圆的面积最小，求这个圆的圆心坐标．1、已知1O 与2O 相交于A 、B 两点，连心线12O O 交AB 于点C，1O A =，2O A =6AB =，求12O AO ∠的度数．2、已知：如图，两个半径长为r 的等圆1O 与2O 外切于点T ，点A 、点B 分别是1O 、2O 上的点，且AT BT ⊥，垂足为点T ．试猜想线段AB 的长与半径r 的数量关系，并证明你的猜想．压轴题：已知一次函数m x y +-=21的图像经过点A （-2，3），并与x 轴相交于点B ，二次函数22-+=bx ax y 的图像经过点A 和点B ．（1）分别求这两个函数的解析式；（2）如果将二次函数的图像沿y 轴的正方向平移，平移后的图像与一次函数的图像相交于点P ，与y 轴相交于点Q ，当PQ ∥x 轴时，试问二次函数的图像平移了几个单位．如图，已知AB ⊥MN ，垂足为点B ，P 是射线BN 上的一个动点，AC ⊥AP ，∠ACP =∠BAP ，AB =4，BP =x ，CP =y ，点C 到MN 的距离为线段CD 的长． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．（2）在点P 的运动过程中，点C 到MN 的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x 的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离．（3）如果圆C 与直线MN 相切，且与以BP 为半径的圆P 也相切，求BP ∶PD 的值．AB P D CNM。
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点与圆的位置关系Revised on November 25, 202035.1 点与圆的位置关系教学目标:1.掌握点与圆的三种位置关系及这三三种位置关系对应圆的半径与点到圆心距离之间数量关系.2.经历探索点与圆三种位置关系,体会数学分类讨论思考问题的方法.教学重点: 用数量判定点与圆的位置关系.教学难点: 判定点与圆的位置关系.教学过程:一、创设问题情境1.足球运动员踢出的地滚球在球场上滚动,再其穿越中间圆形区域的过程中,足球与这个圆的位置关系呢2.代号为"白沙"的台风经过了小岛A 。
在每一时刻，台风所侵袭的区域总是以其中心为圆心的一个圆。
小岛在遭受台风袭击前后，他与台风的侵袭区域有什么不同的位置关系呢二、合作探索1．点与圆有几种不同的位置关系你还能举出类似的的实例吗点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。
2．如图表示点与圆的三种位置关系。
点P 在⊙O 内 点P点P3.在你画出的三幅图中,分别测量点到圆心的距离d ，并与圆的半径的r 大小进行比较.4.点与圆有三种位置关系对应的r 与d 之间的数量关系分别是怎样的与同学交流并填写下表P O位置关系。
6．归纳与概括：点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外三、典型例题1. 例：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5㎝， ，以3㎝为半径画圆，请你判断：（1） 点C 与⊙A 的位置关系（2） 点B 与⊙A 的位置关系 （3） AB 的中点D 与⊙A 的位置关系2. 练习：P36四、回顾与反思：点与圆的三种位置关系及这三三种位置关系对应圆的半径与点到圆心距离之间数量关系.五、作业:P36 1、2、3直线和圆的位置关系教学目标:1使学生掌握直线和圆的三种位置以及位置关系的判定和性质。
2培养学生用运动变化的观点，去观察图形，研究问题的能力。
3渗透类比、分类、化归、数形结合的思想，指导相应的学习方法，使学生不仅学会数学，而且会学数学教学重点:掌握直线和圆的三种位置关系的性质与判定教学难点:如何引导学生发现隐含在图形中的两个数量d和r并加以比较。
教学过程:一、复习引入我们已经研究了点和圆的位置关系，回忆一下有几种情况是怎样判定各个位置关系的点和圆的位置关系是用什么方法研究（演示投影或放录像）今天我们将借鉴这些方法和经验共同探讨在同一平面内“直线和圆的位置关系”（板书课题）二、探索、学习新知识1、直线和圆的位置关系①利用投影演示直线和圆的运动变化过程，要求学生观察，圆和直线的位置关系在哪些方面发生了变化设法引导观察“公共点个数”的变化。
Ⅰ没有公共点Ⅱ有唯一公共点Ⅲ有两个公共点，②引导学生思考：Ⅰ直线和圆有三个（或三个以上）的公共点吗为什么Ⅱ通过刚才的研究，你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型分类的标准各是什么③在此基础上，揭示直线和圆的位置关系的定义（板书）④提问：Ⅰ有人说：“直线和圆有一个公共点时，叫做直线和圆相切”，你说这句话对吗为什么引导学生对照定义，揭示唯一的含义。
Ⅱ有人说：“当直线和圆相离时，直线和圆一定没有公共点”，你说对吗为什么引导学生认识凡定义都可反过来作判定2、直线和圆的位置关系的判定和性质引导1：通过刚才的研究我们已经知道，借助公共点的个数可以判定，直线和圆的位置关系，那么请同学们思考一下，能否象判定点和圆的位置关系那样，用数量关系来判定直线和圆的位置关系呢引导2：点和圆的位置关系的判定运用了哪两个数量之间的关系直线和圆的位置关系中可以出现哪些量呢说出你的思考过程引导3：如何用图形来反映半径和圆心到直线的距离，这两个量呢（投影）引导4：如何由数量关系并结合观察图形判定相应的位置关系呢从而板书判定（略）引导5：如何证明d>r直线和圆相离（投影片）引导6：运用数量关系判定“直线与圆的位置关系”以及“点和圆的位置关系”有何区别与联系呢引导7：以上三个判定，反过来成立吗为什么由此得出性质。
3、指导学习方法小组讨论以下问题：（后全班交流，教师引导）①通过学习，对于如何研究图形之间的位置关系有何收获体会②在运数量关系判定直线和圆的位置关系时，运用了“圆心到直线的距离”这一概念，回忆它的发现过程，对你有何启发③通过比较数量关系判定“点和圆的位置关系”与“直线和圆的位置关系”的联系，你有何启发（放投影片）4、巩固练习（投影片）（1）填表（2）填空：(a)⊙o与直线l至少有一个公共点，则半径r与d的关系d≤r(b)⊙o的半径为5cm，A在直线l上，且oA=5cm，则l与⊙o的关系相交或相切(c)⊙o直径为5cm，o到直线l的距离为4cm，则l与⊙o的关系相离(d)已知圆的半径是8cm，若圆心到直线的距离分别是①3cm②8cm③13cm，那么直线与圆的位置分别是相交、相切、相离5、变式练习（投影片）（2）△ABC中，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,Rt△若以C为圆，2cm长为半径画⊙C，则⊙C与AB的位置关系是相离，若要使AB与⊙C相切，则⊙C的半径应是2.4cm。
变式1：若以C为圆心，4cm长为半径画⊙C呢（相交）这时直线AB叫什么（割线）要使直线成为⊙C的割线，⊙C的半径应在什么范围内取值（r>2.4cm）相离呢（r<2.4cm）变式2：若以A为圆心，3cm长为半径画⊙A，那么⊙A的切线是哪条直线（BC）并指出切点（C），并观察切线。
BC相对于⊙A半径AC的位置特点。
三：小结1.直线和圆的位置关系的定义，性质，判定。
（放投影片，巩固练习<1>的表格）。
2.研究图形之间位置关系的方法：常常通过观察图形的运动变化去发现其本质特征。
3.明确类比，联想是学习数学常用的方法，体会本节得教学中渗透的数学思想、分类、化归、数学结合等。
四：作业：P39 练习2 P40 3、4、5、6五：课后思考：（放投影片）⑴垂直于半径的直线是圆的切线吗⑵过半径外端的直线是圆的切线吗⑶过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线吗⑷过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线吗板书设计：探索切线的性质教学目标：1、使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题。
2、通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．3、培养学生自主探究，勇于发现，善于解决问题的能力。
教学重点切线的性质探究教学难点方法的理解及实际运用教学用具：多媒体课时：一课时教学过程（一）复习情境导入:1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系．2、请学生判断直线和圆的位置关系．学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其它方法．(板书课题)(二)实践与探索1、分别指出下面各圆中圆和直线m是哪一种位置关系圆心与直线m的距离d与半径r间有何关系：2、根据圆的判定定理，一条直线要成为圆的切线，需要具备哪两个条件答：1、性质定理的证明：如图：如果直线AT是⊙o的切线，A为切点，那么AT和半径OA一定垂直吗切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径2、性质定理的推论：推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心预备练习：1、已知：如图：在△ABC中，AC与⊙O相切于点C，BC过圆心），∠BAC=63°，求∠ABC的度数。
2、已知：如图：AB是⊙O的弦，AC切⊙于点A，且∠BAC=54°，求∠OBA的度数。
例:如果在地球赤道上空同样高度的位置上放置等距的三颗地球同步通信卫星,使卫星发射的信号刚好能够覆盖全部赤道,那么卫星高度应是什么 (地球半径R≈6370km)分析:我们把赤道看成一个圆,同样高度且等距的三颗卫星的信号刚好覆盖全部赤道,等同于一个等边三角形的三边与赤道所在的圆都相切练习：课本P43作业：小结：1.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径2、性质定理的推论：推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心切线的判定教学目标：1、了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系。
2、探索并掌握识别切线的方法。
3、增强学生应用数学的意识，逐步培养学生的创新意识。
教学重点：切线的判定定理教学难点：切线判定定理的理解及实际运用教法方法：1、在教学中，组织学生自主观察、分析，深刻理解切线的判定定理和性质定理及其推论，并归纳切线的几种判定方法和切线的性质；2、在教学中，以“理解定理——归纳概括——应用”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．教学用具：多媒体课时：一课时教学过程：一、新课导入1、直线与圆的位置关系有几种2、雨天转动雨伞，观察水珠顺着什么方向飞出这就是我们今天要研究的直线与圆相切的情况。
二、讲解新课1.切线的判定画⊙O及半径OA，画一条直线l过半径OA的外端点，且垂直于OA，观察直线与圆有几个交点仅有一个交点，即直线l与⊙O相切。
结论：经过半径外端，且垂直于这半径的直线是圆的切线。
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行定理中的两个条件缺一不可吗总结切线的识别方法：⑴直线与圆只有一个交点，⑵d＝r时就是切线，⑶过半径外端且垂直与半径。
2.三角形的内切圆试一试：一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。
分析：画圆应先定圆心，后定半径。
在△ABC内只需作各内角的平分线交于点I，以I为圆心，I 到AB的距离为半径作圆，则⊙I必与△ABC的三条边都相切。
与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。
三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。
这个三角形叫做圆的外切三角形。
内心就是三角形三条内角平分线的交点。
内心与外心类比：名称确定方法图形性质三、知识巩固：例1、判断： (1)经过半径外端的直线是圆的切线． (2)垂直于半径的直线是圆的切线． (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线． 采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由， 例2、如图，已知直线AB 经过⊙O 上的点A ，且AB ＝OA ，∠直线AB 是⊙O 的切线吗为什么例3、如图，线段AB 经圆心O ，交⊙O 与点A 、C ，∠BAD ＝∠B 边BD 交圆与点D ，BD 是⊙O 的切线吗为什么例4、如图，半径3㎝的⊙O 切AC 与B ，AB ＝3BC ＝3，则∠AOC 度数是 。
练习：P47 作业：小结：1.经过半径外端，且垂直于这半径的直线是圆的切线。
2.三角形的内切圆oC B圆与圆的位置关系【教学目标】1、理解两圆相切的概念。
2、掌握两圆相切的性质及其应用。