正弦定理解三角形
利用正弦定理解三角形
利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：
1、已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角。
2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角。
例题设计一：
已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）。
（1）∠A＝60°∠B=45° a＝10
（2）∠A＝45°∠B＝105° c＝10
（1）属于已知三角形的两角和其中一角的对边，先由三角形内角和定理知∠C＝180°-∠A-∠B＝75°，然后由正弦定理直接得：b＝＝＝≈8.2，c==≈11.2
（2）为已知两角和另一角的对边，这时先利用∠A+∠B+∠C＝π，求出另一角∠C＝30°，然后由正弦定理得：a===
b===
这两道例题均选自教材，使学生明确在三角形中已知两角和任意一边时，这样的三角形是唯一确定的。
学会用方程思想分析正弦定理解决问题。
习题设计一：
设计意图：巩固当堂内容
已知在△ABC中,c=10, ∠A=45°,∠C=30°,求a、b和∠B.
解：∵，∴a＝，∠B＝180°-
（∠A+∠C）＝180°-（45°+30°）＝105°，∵，
∴ b＝＝20sin75°=20×=5+5.
例题设计二：
已知△ABC中，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）
（1） a=3 b=4 ∠A＝30°
（2） a=b＝6 ∠A＝120°
（3） a=2 b=3 ∠A＝45°
（1）由正弦定理得sinB＝＝＝，再由三角形内角和定理
知∠B的范围为：0°＜B＜150°，∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°，再根据“三角形中大边对大角”知 b=4＞a＝3，∴∠B＞∠A，
∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°；
当∠B≈41.8°时，∠C≈180°-30°-41.8°＝108.2°，
c＝＝≈5.7；
当∠B≈138.2°时，∠C≈180°-30°-138.2°≈11.8°，
c＝＝≈1.2。
2）由正弦定理得，sinB＝＝＝，再由三角形内角和定理知∠B范围为：0°＜B＜60°，∴∠B=45°，
∴∠C=180°-∠B-∠C=15°，再由正弦定理得：
c=＝≈2.2。
（3）由正弦定理得：sinB===＞1，与
矛盾，∴无解。
这三道例题均选自教材，使学生明确在三角形中，已知两边和其中一边的对角时，这样的三角形是不唯一的，可能出现两解，一解或无解的情况。
学会用分类讨论思想去解决问题。
习题设计二：
设计意图：巩固当堂内容，规范解题步骤。
1、在△ABC中b=10,c=,∠C=60°，求∠B、∠A及a。
解：在△ABC中，b=10,c=,，∴∠B<∠C=60°,由正弦定理得
sinB=,∴∠B＝45°, ∠A=180°-（∠B+∠C）=75°, ∴a=
2、在△ABC中，已知a=,b=,∠B＝45°,求∠A、∠C和c。
解：由正弦定理，得sinA=。
∴∠A＝60°或120°.
当∠A＝60°时，∠C＝180°-（∠A+∠B）=75°，
c=.
当∠A＝120°时，∠C＝180°-（∠A+∠B）=15°，
c=.
故∠A＝60°，∠C＝75°，c＝或
∠A＝120°，∠C＝15°，c=.
例题设计三：
根据下列条件，判断解三角形时是否有解，若有解，有几个解。
（1）a=, b=, ∠A=120°；
（2）a=60, b=48, ∠B=60°；
（3）a=7, b=5, ∠A=80°；
（4）a=14, b=16, ∠A=45°.
解法一：理解透正弦定理，从解答中即可判断。
（1）∵∠A＝120°，由＝，得sinB===，只有一个值。
∴有一解。
（2）由＝得sinA===＞1，与
0＜sinA≤1矛盾，∴无解。
（3）由＝得sinB＝=＜1，又∵b＜a,
∴∠B＜80°，∴有一解。
（4）由＝得sinB=＜1，又b＜a，∴∠B＞∠A，
∴∠B有一锐角值和一钝角值，即有两解。
使学生明确若有一个为钝角，则是一解或无解，若无钝角则是一解或两解，然后可由大边对大角来具体判断解的情况。
解法二：是从几何作图看：能否作出符合条件的三角形。
下图为在△ABC中，已知a、b和∠A时，解三角形的各种情况：
（1）当∠A为锐角时：
a＜bsinA 无
解 a＝bsinA 一解
bsinA＜a＜b 两解 a≥
b 一解
（2）当∠A为直角或钝角时：
a≤b 无解a＞
b 一解
通过上述方法可得：
（1）∵∠A＞90°，且a＞b,∴有一解，即这样的三角形是唯一的。
（2）∵asinB=60×=30, b=48,∴b＜asinB,无解。
即不存在这样的三角形。
（3）∵a=7，b=5，∠A＝80°，∴a＞b，有一解。
即这样的三角形是唯一的。
（4）∵bsinA=16×=8,a=14,∴bsinA＜a＜b，有两解。
即符合条件的三角形有两个。
让学生总结出：
1、三角形有唯一的条件：
（1）、已知三角形的两角和一条边。
（2）、已知a、b、∠A，解三角形时，若∠A为钝角或直角，且a＞b时，有唯一解；若∠A为锐角，且a b时，有唯一解；当a＝bsinA时有唯一解。
2、三角形有两解的条件：
已知a、b、∠A解三角形时，若∠A为锐角，且bsinA＜a＜b时，有两解。
3、三角形无解的条件：
已知a、b∠A解三角形时，且a＜bsinA时无解；若∠A为钝角或直角时，则a≤b时无解。
培养学生总结归纳能力、合作意识与自主探究精神，学会用数形结合思想来解决问题。
习题设计三：
已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答。
（1）a=10， b=20，∠A＝80°；
（2）a=2，b=6，∠A＝30°.
解：（1）a=10,b=20,a＜b，∠A＝80°＜90°，讨论如下：
∵bsinA=20·sin80°＞20·sin60°＝10，∴a＜b·sinA.
∴本题无解。
（2）a=2,b=6,a＜b,∠A＝30°＜90°,又∵bsinA=6sin30°=3, a＞bsinA, ∴本题两解。
由正弦定理得sinB===,∴∠B
1=60°或∠B
2
=120°
当∠B
1=60°时，∠C
1
=90°,c
1
===4；
当∠B
2=120°时,∠C
2
=30°,c
2
＝＝＝2.
∴∠B
1=60°，∠C
1
=90°,c
1
=4；或∠B
2
=120°，∠C
2
=30°，c
2
＝2。
通过练习让学生固定解题模式。
解三角形(1)---正弦定理
解三角形(1)---正弦定理【定理推导】如图1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考： （1）∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？（2）显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大，能否用一个 等式把这种关系精确地表示出来？如图1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a 、AC=b 、AB=c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有asinA c =，sin b B c =，又sin 1c C c==,则a b c c sinA sinB sinC ===，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C ==。
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（分为锐角三角形和钝角三角形两种情况）如图1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =，则：sin sin abAB=， 同理可得sin sin cbCB=，从而sin sin abAB=sin cC=思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
证法二：（向量法）过点A 作j AC ⊥ ，由向量的加法可得AB AC CB =+则()j AB j AC CB ⋅=⋅+ ∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅()()00cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即sin sin =a cA C证明三：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a aCD R A D===， 同理：sin b B =2R ，sin cC＝2R同理，过点C 作⊥ j BC ，可得sin sin =b c B C ，从而a b c sinA sinB sinC==类推：当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
解三角形知识点
《必修五》解三角形知识点归纳一、正弦定理 正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 符号语言：2sin sin sin a b cR A B C=== 特点：对称美、和谐美 （一）理解定理1、正弦定理：在△ABC 中，2sin sin sin sin sin sin a b c a b cR A B C A B C++====++【在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角，从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】2、正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如角化边sin sin b Aa B=②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a BA b= 3、常用公式及其结论⑴正弦定理包含三个等式sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C=每一个等式中都包含四个量，可以“知三求一” (2)三内角和为180︒即180A B C ︒++=，222A B C π+=- (3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,,;,,.a b c a c b b c a a b c b c a a c b +>+>+>-<-<-< (4)面积公式：2111sin sin sin 2sin sin sin 2224abcS ab C bc A ac B R A B C R===== ⑸三角函数的恒等变形：sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=- ，()tan tan A B C +=-，sincos 22A B C +=，cos sin 22A B C+=，tan tan 22A B C +=，tan tan +tan tan tan tan A B C A B C +=⋅⋅ ⑹C B A c b a sin :sin :sin ::= ⑺角化边: C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===⑻边化角:RcC Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===⑼在△ABC 中，①若B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形; ②若B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形;③若222cos cos +cos 1A B C +=或cos cos cos a A b B c C +=，则△ABC 是直角三角形.⑽在△ABC 中，sin sin sin A B C a b c A B C >>⇔>>⇔>>（二）题型：使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1： 利用正弦定理公式原型解三角形题型2： 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化.例如：222222sin 3sin 2sin 32A B C a b c +=⇒+=题型3： 三角形解的个数的讨论 方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数.（三）三角形内角平分线定理：△ABC 中，AD 是A ∠的角平分线，则DCBDAC AB = 我们知道，当一个三角形已知任意两角和一边时，根据全等三角形的判定定理可以得知这个三角形就是唯一确定的,也就是可解的.先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理计算另两边.另外，一个三角形的三边之间必须满足：任意两边之和大于第三步且任意两边之差小于第三边.当已知一个三角形的三边时，已知的三条边必须满足上面的条件才能够作出三角形.否则作不出三角形，当然也无法解三角形.从上面的探讨可以得知，已知三角形的三边要解三角形时，必须满足三边关系，解三角形才有意义.当已知三边时，连续利用余弦定理的推论求出较小边的对角，再用三角形内角和求出第三个角. 如果已知三角形的两边及其夹角，那么根据三角形的判定定理我们知道这个三角形是唯一确定的，也就是可解的.我们可以利用余弦定理计算第三边，用余弦定理的推论或正弦定理计算其余两个角. 如果已知任意两边及其中一边的对角如何来解三角形呢？我们先看下面的例题： 例题：已知：在△ABC 中，22,25,133,a cm b cm A ︒===解三角形. 解：22,25,133a cm b cm A ︒===∴根据正弦定理，得sin 25sin133sin 0.831122b A B a ︒==≈ 0180B ︒︒<< ∴56.21B ︒≈，或123.79B ︒≈ 180A B C ︒++= ∴9.21C ︒=-或76.79C ︒=-【师】：问题出在哪里呢？【生】：分析已知条件，我们注意到,133a b A ︒<=，是一个钝角，根据三角形的性质应该有A B <,因而B 也是一个钝角.而在一个三角形中是不可能存在两个钝角的.【师】：从上面的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形.如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解);②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)二、余弦定理（一）知识与工具：余弦定理：222222222222222222cos 22cos 2cos cos 22cos cos 2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩（二）题型:使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1:利用余弦定理公式的原型解三角形题型2:利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。
正弦定理、解三角形
解三角形[前言]1.三角形的构成要素是三条边与三个角，所谓的解 ②该性质对所有三角形均适用，却只关注边且为不 三角形，即根据已知条件求边的长短与角的大小； 等关系，没有体现角；多数情况中，该性质作为判 求解的方法，不再是传统意义上的尺规测量，而是 段三角形构成的条件；借助三角形本身所固有的性质来求角的大小、边的 ③该性质对所有的三角形均适用，尽管同时涉及角 长度，正是“解铃还须系铃人”； 与边，但体现的是不等关系；④⑤⑥这几条性质不能推广，针对某一类具体的三 2.对于三角形的性质，常见的可概括为以下几条： 角形适用；①内角和定理：三个内角相加之和为180°； ⑦⑧这些性质反映了三角形的外延问题，往往不在 ②两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 解三角形的范畴③大角对大边，小边对小角； 综括上述性质的特征：④勾股定理：a 2+b 2=c 2； 解三角形所采用的性质必须满足四点要求：(1)对 ⑤在直角三角形中，30°所对的直角边为斜边的一半 所有的三角形均适用；(2)必须为等式；(3)必须有 ⑥等腰三角形两腰相等，两底角相等；等边三角形 角的参与；(4)必须有边的参与.满足四点要求的性 三条边相等，三个角相等； 质有正弦定理与余弦定理，即解三角形的主要方法. ⑦直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，斜边长为外接圆的直径； 3.所谓角已知，不见得已知角的度数，凡是角的正 ⑧三角形的外角等于与它不相邻的两个内角相加之 弦值、余弦值、正切值已知，即为角已知；在解三 和等等； 角形中，求角的大小，也不见的求角的度数，可以 比较上述性质： 是角的某一个三角函数值，原因在于角已为任意角 ①内角和定理对所有三角形均适用，但只体现了角 不囿于锐角或者特殊角. 的关系，不能解决有关边的问题；[正弦定理]1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即a sinA =b sinB =c sinC 其中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边. 对于直角三角形、钝角三角形，同理可证. 2.几何意义：对任意一个∆ABC 中，均有：对于任意一个三角形，对边与对角正弦的比值是 三角形外接圆的直径，借助于正弦定理可求三角 形外接圆的半径. 3.正弦定理的变形：正弦定理建立了对角与对边 间的关系，通过正弦定理可实现角与边的转换. 使用该变形，可将边转化为角，已知条件随之体 现为角与角间的关系；处理角间的关系，需要与内角和定理、两角和差公式、二倍角公式等配套 应用.使用该变形，可将角转化为边，已知条件也转化 为边与边间的关系；处理边间的关系，往往应用 余弦定理.4.一些常见的结论：①在∆ABC 中，三内角A 、B 、C 间有以下关系： sinA =sin (B +C) sinB =sin (A +C) sinC =sin (A +B)cosA =−cos (B +C) cosB =−sin (A +B) cosC =−cos (A +B)②在∆ABC 中，三个内角A 、B 、C 与对边a 、b 、c 间有以下关系：sinA:sinB:sinC =a:b:c a+b+c sinA+sinB+sinC =2R ②根据内角和定理求第三角.需分两种情况：其一 若已知角与所求角以具体的度数形式表示，则第 三角也以度数形式表示大小；其二，若已知角与所 求角至少有一个以三角函数值的形式表示，则第三 角也将以三角函数值的形式表示，优先选择求第三 角的正弦值，同时需要借助两角和差公式； ③再结合正弦定理求出第三边的长度.【例1】(2018∙南通市高三二调)在∆ABC 中，已知AB =1，AC =√2，B =45°，则BC 的长为_________. 解析：由正弦定理可得：ABsinC =ACsinB 即1sinC =√2sin45° 所以sinC =12因为C ∈(0°，180°) 所以C =30°或150°当C =150°时，B +C =195°>180°(舍去) 所以C =30° A =105° 由正弦定理得：AC sinB =BCsinA =2 所以BC =2sin105°=√6+√22【例2】∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c且A =π4，a =6，b =8，则c =( )A.4√2−2或4√2+2B.4√2−2C.4√2+2D.4 解析：由正弦定理可得：a sinA=b sinB即sinB =2√23∵ sin 2B +cos 2B =1 ∴cosB =±13当cosB =13时，∵A +B +C =π∴sinC =sin (A +B )=sin (π4+B)=4+√26由正弦定理可得：a sinA =csinC即c =6√2sinC =4√2+2 当cosB =−13时，∵A +B +C =π ∴sinC =sin (A +B )=sin (π4+B)=4−√26由正弦定理可得：a sinA =c sinC√2sinC √2题型二 两角一边解三角形 已知条件为两角一边模式，采用正弦定理解三角形； 相较与两边一角解三角形(存在对角对边关系)，难度 要低些，且只有一组解. ①利用内角和定理求出第三角.分两种情况，若已知 两角的度数，所求为第三角的度数；若已知两角的三 角函数值，所求为第三角的三角函数值，优先考虑角 的正弦值，若为余弦值或正切值，需利用同角三角函 数关系式转化为正弦值，注意，作为内角，其正弦值 一律取正； ②根据正弦定理，求出余下两边的长度. 【例3】∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA =45，cosC =513，a =1，则b =____________.解：∵ cos 2A +sin 2A =1且cosA =45∴sinA =35 或sinA =−35(舍)同理可得：sinC =1213∵A +B +C =π ∴sinB =sin (A +C)即sinB =sinAcosC +cosAsinC =6365 由正弦定理可得： asinA=bsinB 故b =2113 答案：2113题型三 角边互换思想的应用利用内角和定理及诱导公式、两角和差公式消角； 消角时尽量选择相对独立的角. 【例4】[2016∙高考全国卷乙]∆ABC 的内角A ，B ，C 的 对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC (acosB +bcosA ) =c ，求角C .解析：由正弦定理可知：a =2RsinA ，b =2RsinB c =2RsinC ∵ 2cosC (acosB +bcosA )=c ∴2cosC (sinAcosB +sinBcosA )=sinC 即2cosCsin (A +B )=sinC ∵A +B +C =π ∴sin (A +B )=sinC∴2cosCsinC =sinC ∵sinC >0(内角的正弦值为正) ∴cosC =12 故C =π3【例5】已知∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，asinA +csinC −√2asinC =bsinB ,求角 B .解析：角边互换中，若将边化为角，则次数将为 二次，正弦定理中次数为1，余弦定理中次数为二 次，选择将角化边使用余弦定理解题.由正弦定理知：sinA =a2R ，sinB =b2R ，sinC =c2R ∵asinA +csinC −√2asinC =bsinB∴ a 2+c 2−√2ac =b 2 即a 2+c 2−b 2=√2ac∴cosB =a 2+c 2−b 22ac =√2ac2ac =√22∴B =π4Cb a h aA D B一种情况是将高逆时针旋转所得∆ABC一种情况是将高顺时针旋转所得∆ADC④若角A的对边大于角A的邻边即a≥b>bsinA，只有一解，如图所示：b h aA另外一种情况如虚线表示，已将角A由内角变为外角不合题意故舍去.当角A为钝角时，若角A的对边大于邻边则有一解否则无解.【例6】不解三角形，判断下列三角形解的个数.(1)a=5，b=4，A=120°；(2)a=7，b=14，A=150°；(3)a=9，b=10，A=60°.解析：(1)∵A为钝角且a>b∴ 满足条件的三角形只有一个；(2)∵A为钝角且b>a∴根据大角对大边应有B>A一个三角形中不会有两个钝角故无解；(3)角A所对的高h=bsinA=10sin60°=5√3∵5√3<a<b ∴ 满足条件的三角形有两个.【模拟练习】1在∆ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2ccosA+a=2b，则角C=____________.2在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c;若acosB+bcosA=csinA，则∆ABC的形状为_________.3.在∆ABC中，a=3，b=2√6，B=2A，则C=____.4.已知a，b，c分别为∆ABC三个内角A，B，C的对边，且√3ac =cosA+2sinC，则角A=________.5.在∆ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，已知sinB+sinA(sinC−cosC)=0，a=2，c=√2，则∠C的值为________.6.[江苏省苏锡常镇四市2018届调研]设三角形∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3c−bb，则cosA=_________.。
(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式．教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.知识点清单一. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半径）sin A sinB sinC2. 变形：1)a b c a b csin sin sinC sin sin sinC 2）化边为角：a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A;b sin B a sin Ab sinBc sinC c sin C3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A asin B b sinC c sinC c5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与cc sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边c sinC4. △ABC中，已知锐角A，边b，则① a bsin A 时，B 无解；② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解；③ bsinA a b 时， B 有两个解。
如：①已知 A 60 ,a 2,b 2 3,求 B （有一个解 ）②已知 A 60 ,b 2,a 2 3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
解三角形
C .10( 6 2 ) D.10( 6 2 )
典例:
例1：在△ABC中，∠B=450，AC= cosC= 2 5
5
（1）求BC边的长
10 ，
（2）记AB的中点为D，求中线CD的长度
例2：
在ABC中，m
(cos
C
,
sin
C
),n
(cos
（4）余弦定理的变式：cos C a2 b2 c2 2ab
（5）三角形面积公式：SΔ
1 ah
2
,
SΔ
1 ab sinC
2
（6）在△ABC中，易推出： ① sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),
tanA=-tan(B+C)
② sin A cos B C , cos A sin B C ,
解斜三角形
知识要点归纳
（1）正弦定理：
a b c 2R sinA sinB sinC
（2）余弦定理： c2=a2+b2-2abcosC
（3）正弦定理的变式：
a=2RsinA b=2RsinB
sin A a sinB b
2R
2R
c=2RsinC.
sinC c 2R
a : b : c sin A: sinB : sinC
基础训练: 1、在△ABC中, 若A 600，a 4 3,b 4 2
则B=
。
2、在△ABC中, a=6,b= 6 3 ,A=300
则边c=
。
3、在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2:3:4, 则CosB=_________
(完整版)解三角形1.1正弦定理和余弦定理知识点总结
第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba 。
二、正弦定理（一）知识与工具：正弦定理：在△ABC 中， R Cc B b A a 2sin sin sin ===。
（外接圆圆半径） 在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。
注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180°(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式：S=21absinC=Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC 111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径） )(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)(4)三角函数的恒等变形。
(5) sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin 2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（6）(边化角公式）sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（7）(角化边公式） ::sin :sin :sin a b c A B C =（8）sin sin sin (9),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === （10）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1 利用正弦定理公式原型解三角形题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。
正弦定理、余弦定理和解斜三角形
5．6正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理：,22sin sin sin ∆====S abcR C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径）， （∆S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinCa=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,轮换得另二式)余弦定理变式：bca cb A 2cos 222-+= , (轮换得另二式)余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – b c 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2- 2﹒a ﹒b=a 2+b 2- 2abcosC(其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c)【例1】 在△ABC 中，求证：tan A tan B ＝a 2＋c 2－b2b 2＋c 2－a2.►变式训练1 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边．求证：cos B cos C ＝c －b cos A b －c cos A .【例2】在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．►变式训练2 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．CABa cb【当堂训练】1、在三角形ABC 中, 如果B A cos sin =, 那么这个三角形是 （ ） A ．直角三角形 B ． 锐角三角形C ．钝角三角形D ． 直角三角形或钝角三角形2、在△ABC 中，“︒A>30”是“1sinA>2”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、在△ABC 中，已知B=30°, ，那么这个三角形是 （ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4、设A 是△ABC 中的最小角，且1cos 1a A a -=+，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．a ≥3 B ．a ＞－1 C ．－1＜a ≤3 D ．a ＞05、在△ABC 中，a,b,c,分别是三内角A 、B 、C 所对的边，若B=2A ，则b:a 的取值范围是（ ）A ．()2,2-B ．()1,2C ．()1,1-D ．()0,16、在△ABC 中，若三个内角A ，B ，C 成等差数列且A<B<C ，则cos cos A C 的取值范围是（ ） A ．11,24⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭7、在A B C ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和12c b =+A ∠和B tan 的值．8、已知ABC ∆的三边a 、b 、c 成等比数列，且cot cot A C +=，3=+c a ． （1）求B cos ；（2）求ABC ∆的面积．【家庭作业】 一、填空题1．在ABC Δ中，已知613πB ,b ,a ===，则=c ___________ 2．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为34:，则它的顶角的正切值是__________3．在ABC Δ中，若2cos cos sin cos cos sin sin sin =+++B A B A B A B A ，那么三角形的形状为_______________4．在ABC Δ中，()()211=++B cot A cot ，则=C sin log 2_______________ 5．在ABC Δ中，313===S ,b ,πA ，则=++++Csin B sin A sin c b a 6．在锐角ABC Δ中，若11-=+=t B tan ,t A tan ，则t 的取值范围是__________ 7．在ABC Δ中，若1222=-+Csin B sin Asin C sin B sin ，则=A ________________8．在ABC Δ中，已知42πA ,a ==，若此三角形有两解，则b 的取值范围是__________________ 9．(A)在ABC Δ中，ac b ,B C A ==+22，则三角形的形状为________________(B) 已知A B C π++=，且sin cos cos A B C =⋅，则在cot cot tan tan B C B C ++、、s i nB+s i nC 及cos cos B C +中必为常数的有_________ 10．(A)在ABC Δ中，21==a ,c ，则C 的取值范围是__________________(B)已知三角形的三边长分别是()2223,33,20a a a a a a ++++>，则三角形的最大角等于______________ 二、 选择题11．在ABC Δ中，B cos A cos B sin A sin +=+是2πC =（ ） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12．在ABC Δ中，若543::C sin :B sin :A sin =则此三角形是 （ ） A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 13．在ABC Δ中，若232222b A cosc C cos a =+，那么其三边关系式为 （ ） A.c b a 2=+ B. b c a 2=+ C.a c b 2=+ D. b c a 322=+14．(A)在ABC Δ中，c ,b ,a 为三角形三条边，且方程02222=++-b a cx x 有两个相等的实数根，则该三角形是 （ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形(B)已知关于x 的方程2cos cos 1cos 0x x A B C +⋅-+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC Δ是 （ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形 三、解答题15．在ABC Δ中，若22Acos C sin B sin =，试判断三角形的形状16．在ABC Δ中，若()()ac c b a c b a =+-++，求B 。
解三角形
石器时代2.5 http://www.shiqi.co/ 石器时代2.5
这一名称是英国考古学家卢伯克于1865年首先提出的，这个时代在地质年代上已进入全新世。石器时代只是个时间区段 概念，石器时代并不代表那个时候的人类只会使用石器；据近代考古出土大量的文化遗存表明，几千年前的古人已经步 入冶铸、稻作、制陶、纺织等文明时期。青铜、铁器为金属品，遗存几千年的较少；陶器、玉器可存时间长，出土的遗 存较多。 去！”明秀蹙眉道：“这怎么好？你看，要末搬到我那里去？”“四姐！”宝音感铭肺腑。“其实奶奶也未必会劝你换 个地方养病，”明秀道，“毕竟以我愚见，病人似乎不宜挪床。但老太太这院子邻着湖，水气大是真的。你看罢，万一 真要你换个院子，你不愿回你自己的，就尽管到我那里去得了。”按按宝音的手，“没事，自家姐妹，应该的。”这时 候新药已经煎得，筱筱也把明秀的替换衣裙换过来了，明秀就在宝音屋中换了一身，没再坚持给宝音喂药。宝音自己喝 药，少不得又是嫌苦、又是咳嗽、作态了一番。明秀反复劝慰，起身告辞了。明柯已把杨琴搬走。明柯看着小厮搬了杨 琴，树影下略立一立，看见另一条路上，明蕙来了。明蕙看起来挺急的样子，埋头赶路，步伐匆匆，不像从前一边顾着 姗姗的仪态、一边还四处瞟人。明柯考虑一下，没有躲起来，而是扬声道：“七妹妹！”“五哥！”明蕙赶紧的越过花 径树影给他行礼，看看周围没杂人，敢直说，“我舅舅托我谢你，我那几个不争气的表兄弟多承您安置了！”“谢仪昨 日就收到了。”明柯答礼，“妹妹何必这么客气。”明蕙陪笑。好容易见着明柯，她是想多寒喧几句，争奈又急着找明 秀。明柯倒是看出她的急来了，有意还逗她几句，说了会儿宝音的病，才道：“我还有事，只好先走了。有空一定与七 妹妹多聊聊。”明蕙如蒙大赦，辞别了，一径往明秀这儿来，丫头迎住她，抱歉的讲，四 在更换衣裳，只好请七 等等。 明蕙便看看壁上挂的一幅时人新写的草字，认了一会儿，十四个字总算都认全了，乃是“疏枝亦可临江钓，高处唯能对 佛言”，又去念署名，辨了半天只辨出一个“澹”字，底下又似“台”、又似“名”，铁画银勾，一派糊涂，便丢开了， 扶着窗前芍药曲栏，去看檐下云石架上摆的青石盆子，却是几个月前用过的盂兰盆，这会儿里头不塞珍宝玩物了，洗涤 干净，满满储一盆清水，水里养了两条筷子长的玉色鱼儿。旁边假山细泉泻下来，溅些银珠在青石盆里，一双鱼儿就齐 齐翻了个水花。水花外，明蕙听见极细的衣履声，回头，明秀来了，月黄衫子，外罩赤针纹彩旋袄，下系浅绛罗裙，裙 底蹑真红珠履，衬那亭亭玉立的身材，好不俊秀清丽。“四姐姐！”明蕙如见了九天仙女儿，赶紧上前迎住，满腔的话 就待喷出来。“七妹七妹，叫你等久了吧？”明秀一脸温婉和无可奈何，“真真的对不住，偏叫你赶上这时候。”“四 姐姐怎么这时候要换身衣裳呢？”明蕙只好把自己的事咽回去，先关心明秀。“前头去笙妹妹那儿了。”明秀道，“你 听说了吧？她喀血了，当时还吐了大哥一身呢。”“难道她又吐姐姐身上了！”明蕙吃惊。第三十八章 凭尽栏杆说元 夜（5) “那倒不至于，”明秀摇头，“误把
三角函数的正弦定理
三角函数的正弦定理正文：三角函数的正弦定理是解决三角形中未知边或角的重要工具之一。
它是基于三角形中的正弦关系而推导得出的定理。
在本文中，我们将介绍三角函数的正弦定理的原理、公式及其应用。
1. 定理原理正弦定理的原理基于三角形中的正弦关系。
对于任意一个三角形ABC，其三个内角分别为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c。
根据正弦关系，我们可以得到以下公式：sinA/a = sinB/b = sinC/c2. 定理公式根据正弦定理的原理，我们可以推导出三角形的任意一边与其对应角的关系。
具体地，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC或者写成等价的形式：sinA/a = sinB/b = sinC/c其中，a、b、c分别代表三角形ABC的边长，A、B、C分别代表对应的内角。
3. 定理应用正弦定理在解决三角形中未知边或角的问题上起到了重要的作用。
通过运用正弦定理，我们可以根据已知条件求解未知量。
以下是几个应用正弦定理的例子：例一：已知三角形的两边长度分别为5cm和8cm，夹角为60度，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，我们可以写出以下公式：x/sin60 = 8/sin(180-60-60)解方程得到x ≈ 6.93cm，因此第三边长度约为6.93cm。
例二：已知三角形的两边长度分别为9cm和12cm，夹角为45度，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，我们可以写出以下公式：x/sin45 = 12/sin(180-45-90)解方程得到x ≈ 9.9cm，因此第三边长度约为9.9cm。
通过以上例子，我们可以看到正弦定理在求解未知边长时的应用。
对于更复杂的问题，我们可以通过将已知条件代入公式进行计算。
总结：三角函数的正弦定理是解决三角形中未知边长或角度的重要工具。
通过使用该定理，我们可以通过已知条件求解未知量。
在实际应用中，我们可以运用正弦定理解决各种三角形相关的问题。
因此，熟练掌握正弦定理对于解题非常重要。
解三角形最全知识点总结
解 三 角 形正弦定理要点1 正弦定理在一个三角形中，各边和所对角的正弦值的比相等，即a sinA ＝b sinB ＝csinC.要点2 解三角形三角形的三个角A ，B ，C 和三条边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形. 正弦定理可以解决的问题1.已知两角及一边解三角形，只有一解.2.已知两边及一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解.方法1:计算法.方法2：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：要点3 正弦定理的变式CB A c b a sin :sin :sin ::)1(=RA aC B A c b a C A c a C B c b B A b a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin )2(==++++=++=++=++A c C aB cC b A b B a sin sin ;sin sin ;sin sin )3(===B Cb A C ac A B a C B c b C A c B A b a sin sin sin sin ;sin sin sin sin ;sin sin sin sin )4(======（边化角）C R c B R b A R a sin 2;sin 2;sin 2)5(===要点5 常用结论1．A ＋B ＋C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.5．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .6．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3.7.sin A ＝sin B ⇔A ＝B ； sin(A －B )＝0⇔A ＝B ； sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a<bsinA a ＝bsinA bsinA ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解（角化边）R c C R b B R a A 2sin ;2sin ;2sin )6(===要点4 三角形的面积公式 Bac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆题型一 解三角形例1 已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B.例2(1)在△ABC 中，(1)a ＝6，b ＝2，B ＝45°，求C ；(2)A ＝60°，a ＝2，b ＝233，求B ；(3)a ＝3，b ＝4，A ＝60°，求B.题型二 判断三角形解的个数(1)在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝45°.则满足此条件的三角形的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个(2)在△ABC 中，已知b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一个解 B ．两个解 C ．无解 D ．无法确定(3)已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若这个三角形有两解，求x 的取值范围【解析】 例1 ∵a sinA ＝c sinC ，∴a ＝csinA sinC ＝10×sin45°sin30°＝10 2.B ＝180°－(A ＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sinB ＝c sinC ，∴b ＝csinB sinC ＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．例2(1)由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝asinB b ＝6×222＝32.又0°<A<180°，且a>b ，∴A>B.∴A ＝60°或120°.∴C ＝75°或C ＝15°. (2)由正弦定理，得sinB ＝bsinAa＝233×322＝22.∵a ＝2＝323>b ，∴A>B ，∴B ＝45°. (3)由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝4×323＝23>1.∴这样的角B 不存在．练习(1)A ． (2) B. (3)2<x<2 2题型三 判断三角形的形状 例3 (1)在△ABC 中，已知a 2tanB ＝b 2tanA ，试判断△ABC 的形状．(2)在△ABC 中，若sinA ＝2sinB ·cosC ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ；(3)在△ABC 中，cosA a ＝cosB b ＝cosCc.【解析】 (1)由已知，得a 2sinB cosB ＝b 2sinAcosA.由正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB(R 为△ABC 的外接圆半径)，得4R 2sin 2AsinB cosB ＝4R 2sin 2BsinAcosA.∴sinAcosA ＝sinBcosB ，∴sin2A ＝sin2B.∵2A ∈(0，2π)，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(2)由已知a 2＝b 2＋c 2.∴A ＝90°，C ＝90°－B.由sinA ＝2sinB ·cosC ，得1＝2sinB ·cos(90°－B)．∴sinB ＝22(负值舍去)．∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 为等腰直角三角形．(3)由已知，得cosA sinA ＝cosBsinB.∴cosA ·sinB ＝cosB ·sinA.∴tanA ＝tanB.∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B.同理可证：B ＝C.∴△ABC 为等边三角形．题型四 正弦定理中的比例性质例4 (1)已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，求a －2b ＋csinA －2sinB ＋sinC.(2)在△ABC 中，若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，求sinA ∶sinB ∶sinC ． 【解析】 (1)∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.∵a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝1sin30°＝2，∴a ＝2sinA ，b ＝2sinB ，c ＝2sinC.∴a －2b ＋c sinA －2sinB ＋sinC＝2. (2)若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则存在常数k(k>0)，使得b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k. ，则有a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3题型五 三角形的面积公式例5 (1)在△ABC 中，A ＝30°，c ＝4，a ＝3，求△ABC 的面积． (2)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，求边AB 的长．(3)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，求θcos .(4)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.【解析】(1)由正弦定理，得sinC ＝csinA a ＝4sin30°3＝23.，∵c>a ，A 为锐角，∴角C 有两解．①当角C 为锐角时，cosC ＝1－sin 2C ＝53，sinB ＝sin(180°－30°－C)＝sin(150°－C)＝sin150°cosC －cos150°sinC ＝12·53＋32·23＝16(5＋23)， ∴S △ABC ＝12acsinB ＝12×3×4×16(5＋23)＝5＋23；②当角C 为钝角时，cosC ＝－53，sinB ＝sin(150°－C)＝16(23－5)， ∴S △A B C ＝12acsinB ＝23－ 5.综上可知：△ABC 的面积为23＋5或23－ 5.(2)在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·CA ·sinC ＝12×2·AC ·sin60°＝32AC ＝3，∴AC＝2.∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝2.(3)∵S △ABC ＝12AB ·BCsin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4，∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.(4)因为cosB ＝2cos 2B2－1＝35，故B 为锐角，sinB ＝45.所以sinA ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝asinC sinA ＝107，所以S ＝12acsinB ＝12×2×107×45＝87.1．1.2 余 弦 定 理要点1 余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：C ab b a c cos 2222-+=；A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=要点2 余弦定理的推论bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 222-+= 要点3 由余弦定理如何判断三角形形状是锐角三角形是锐角是钝角三角形是钝角是直角三角形是直角ABC A c b a ABC A c b a ABC A cb a∆⇒⇔+∆⇔⇔+>∆⇔⇔+=<222222222要点4 利用余弦定理可以解决的问题（1）已知两边和夹角解三角形（2）已知两边及一边的对角解三角形 （3）已知三边解三角形题型一 已知两边和夹角解三角形例1 （1）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A.【解析】 方法一：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3. ∴c ＝6－ 2.又b>a ，∴B>A.∴A 为锐角．由正弦定理，得sinA ＝a c sinC ＝26－2×6－24＝12.∴A ＝30°.方法二：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3.∴c ＝6－ 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A<180°，∴A ＝30°.题型二 已知两边及一边的对角解三角形例2（1）在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a.（2）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，A ＝45°，解此三角形． 【解析】（1）方法一：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos30°.∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理，得sinA ＝asinBb＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.方法二：由b<c ，B ＝30°，b>csin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sinC ＝csinB b ＝33×123＝32.∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋（33）2＝6. 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.（2）由a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得22＝(2)2＋c 2－22ccos45°， c 2－2c －2＝0，解得c ＝1＋3或c ＝1－3(舍去)．∴c ＝1＋ 3.cosB ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋3）2－（2）22×2×（1＋3）＝32.∴B ＝30°，C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.题型三 已知三边解三角形例3 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sinC.【解析】 ∵a>c>b ，∴A 为最大角．∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°<A<180°，∴A ＝120°.∴sinA ＝sin120°＝32. 由正弦定理，得sinC ＝csinAa＝5×327＝5314.∴最大角A 为120°，sinC ＝5314. 题型四 判断三角形的形状 例4 （1）在△ABC 中，cos 2A2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC 的形状．（2）在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，且2cosA ·sinB ＝sinC ，试确定△ABC的形状．【解析】（1）方法一：在△ABC 中，∵cos 2A2＝b ＋c 2c ，∴1＋cosA 2＝b 2c ＋12，∴cosA ＝b c.又由余弦定理知cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是以C 为直角的直角三角形．方法二：由方法一知cosA ＝b c ，由正弦定理，得b c ＝sinB sinC，∴cosA ＝sinBsinC .∴sinCcosA ＝sinB ＝sin[180°－(A ＋C)]＝sinAcosC ＋cosAsinC.∴sinAcosC ＝0，∵A ，C 是△ABC 的内角，∴sinA ≠0.∴只有cosC ＝0，∴C ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．（2）方法一(角化边)：由正弦定理，得sinC sinB ＝cb.由2cosA ·sinB ＝sinC ，得cosA ＝sinC 2sinB ＝c 2b .cosA ＝c 2＋b 2－a 22bc ，∴c 2b ＝c 2＋b 2－a 22bc.即c 2＝b2＋c 2－a 2，∴a ＝b.又∵(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，∴(a ＋b)2－c 2＝3b 2，∴4b 2－c 2＝3b 2，∴b ＝c. ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．方法二(边化角)：∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sinC ＝sin(A ＋B)．又∵2cosA ·sinB ＝sinC ，∴2cosA ·sinB ＝sinA ·cosB ＋cosA ·sinB. ∴sin(A －B)＝0.又∵A 与B 均为△ABC 的内角，∴A ＝B.又由(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，得(a ＋b)2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab.即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cosC ＝12.而0°<C<180°，∴C ＝60°.又∵A ＝B ，∴△ABC 为等边三角形．1．2 应用举例(第一课时)解三角形的实际应用举例要点1 基线(1)定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．(2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．要点2 仰角和俯角在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，要点3 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为α.要点4 方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图中∠ABC为北偏东60°或为东偏北30°；正南方向：指目标在正南的方向线上．依此类推正北方向、正东方向和正西方向．要点5 坡度坡面的铅直高度和水平宽度L 的比叫做坡度(或叫做坡比)．即坡角的正切值.要点6 测量距离的基本类型及方案类别两点间不可通或不可视两点间可视但点不可达两点都不可达图形方法用余弦定理用正弦定理在△ACD中用正弦定理求AC 在△BCD中用正弦定理求BC 在△ABC中用余弦定理求AB结论AB＝a2＋b2－2abcosC AB＝asinCsin（B＋C）①AC＝asin∠ADCsin（∠ACD＋∠ADC）②BC＝asin∠BDCsin（∠BCD＋∠BDC）③AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB要点7测量高度的基本类型及方案类别点B与点C，D共线点B与点C，D不共线图形方法先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形求出AB在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠ACB可知，即而求出AB结论AB＝a1tan∠ACB－1tan∠ADBAB＝asin∠BDC×tan∠ACBsin（∠BCD＋∠BDC）题型一 有关距离问题例1 要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．【解析】 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝∠ADB ＋∠ADC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5，∴A ，B 之间的距离为 5 km.题型二 测量高度例2 A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD. 【解析】 如图，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝AD sin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)． ∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．所以，山高CD 为2 186 m.题型三 测量角度例3 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼救信号，我海军护航舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 3 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．【解析】 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t. 在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCcos120°， 可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t 2－t －1＝0， 解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．舰艇需1小时靠近货船．此时AB ＝103，BC ＝10，在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝AB sin120°.所以sin ∠CAB ＝BCsin120°AB ＝10×32103＝12.所以∠CAB ＝30°.所以护航舰航行的方位角为75°.1．2 应用举例(第二课时)题型一 有关面积问题三角形面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12 bc sin A ＝12 ac sin B .(3)S ＝12·r ·(a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径 )．(4),))()((c p b p a p p S ---=其中2cb a p ++=例1 （1）已知△ABC 的面积为1，tanB ＝12，tanC ＝－2，求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积．（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.①若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； ②若sinB ＝2sinA ，求△ABC 的面积．【解析】（1） ∵tanB ＝12，∴0<B<π2.∴sinB ＝55，cosB ＝255.又∵tanC ＝－2，∴π2<C<π.∴sinC ＝255，cosC ＝－55.则sinA ＝sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋cosBsinC ＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255×255＝35. ∵a sinA ＝b sinB ，∴a ＝bsinA sinB ＝35b.则S △ABC ＝12absinC ＝12·35b 2·255＝1. 解得b ＝153，于是a ＝ 3.再由正弦定理，得c ＝asinC sinA ＝2153. ∵外接圆的直径2R ＝a sinA ＝533，∴R ＝536.∴外接圆的面积S ＝πR 2＝25π12.（2）①∵S ＝12absinC ＝12ab ·32＝3，∴ab ＝4. ①∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－2ab －2abcosC ＝(a ＋b)2－12＝4，∴a ＋b ＝4. ② 由①②可得a ＝2，b ＝2.②∵sinB ＝2sinA ，∴b ＝2a.又∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433.∴S ＝12absinC ＝233题型二 正余弦定理的综合问题例2 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA ＝(2b ＋c)sinB ＋(2c ＋b)sinC.①求A 的大小；②求sinB ＋sinC 的最大值．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，求b.【解析】 (1)①由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.故cosA ＝－12，∴A ＝120°.②由(1)，得sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(60°－B)＝32cosB ＋12sinB ＝sin(60°＋B)． 故当B ＝30°时，sinB ＋sinC 取得最大值1.(2)由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bccosA.又a 2－c 2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2ccosA ＋2.① 又sinAcosC ＝3cosAsinC ，∴sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC. ∴sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，sinB ＝4sinCcosA.由正弦定理，得sinB ＝bc sinC.故b ＝4ccosA.② 由①②解得b ＝4.例3 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. (1)①求cos ∠CAD 的值；②若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.①求sin ∠BAD ； ②求BD ，AC 的长．【解析】(1)①在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.②设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD.因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫2772＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD)＝sin ∠BADcos ∠CAD －cos ∠BADsin ∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝AC sin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA＝7×32216＝3.(2)①在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B)＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB ＝437×12－17×32＝3314.②在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cosB ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.题型三 证明恒等式例4 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sinC.(2)在△ABC 中，记外接圆半径为R.求证：2Rsin(A －B)＝a 2－b2c .(3)已知在△ABC 中，a 2＝b(b ＋c)，求证：A ＝2B.【证明】 (1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ， 两式相减，得a 2－b 2＝b 2－a 2－2bccosA ＋2cacosB.∴a 2－b 2c 2＝acosB －bcosAc.由正弦定理，知a c ＝sinA sinC ，b c ＝sinB sinC .∴a 2－b 2c 2＝sinAcosB －sinBcosA sinC ＝sin （A －B ）sinC .(2)由正弦定理的变形形式：sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R 及由等号左边的a 2，b 2，c 2，运用余弦定理进行转化，即可得．左边＝2R(sinAcosB －cosAsinB)＝a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2－b2c ＝右边．(3)方法一：∵a 2＝b(b ＋c)，根据正弦定理，得sin 2A ＝sinB(sinB ＋sinC)，即sin 2A －sin 2B ＝sinBsinC. ∴cos2B －cos2A2＝sinBsinC.∴sin(A ＋B)sin(A －B)＝sinBsinC.又在△ABC 中，sin(A ＋B)＝sinC ≠0，∴sin(A －B)＝sinB.∴A －B ＝B 或(A －B)＋B ＝π(舍去)．∴A ＝2B. 方法二：2bcosB ＝2b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝b （c 2＋bc ）ac ＝b （b ＋c ）a ＝a ，即2bcosB ＝a ，根据正弦定理，得sinA ＝2sinBcosB ，即sinA ＝sin2B.∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π. 若A ＋2B ＝π，则B ＝C.由a 2＝b(b ＋c)，知a 2＝b 2＋c 2. ∴B ＝C ＝π4，A ＝π2，∴A ＝2B.。